Toán 9 - Chuyên đề 2: Đường tròn – Dây cung – Tiếp tuyến của đường tròn

Nội dung text: Toán 9 - Chuyên đề 2: Đường tròn – Dây cung – Tiếp tuyến của đường tròn

1. CHUYÊN ĐỀ 2.ĐƯỜNG TRÒN – DÂY CUNG – TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN CHỦ ĐỀ 1: SỰ XÁC ĐỊNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Định nghĩa: Đường tròn tâm O bán kính R 0 là hình gồm các điểm cách điểm Omột khoảng R kí hiệu là (O;R) hay (O) + Đường tròn đi qua các điểm A1 ,A2 , ,An gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác A1A2 An + Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác A1A2 An gọi là đường tròn nội tiếp đa giác đó. Những tính chất đặc biệt cần nhớ: + Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm vòng tròn ngoại tiếp + Trong tam giác đều , tâm vòng tròn ngoại tiếp là trọng tâm tam giác đó. + Trong tam giác thường: Tâm vòng tròn ngoại tiếp là giao điểm của 3 đường trung trực của 3 cạnh tam giác đó Tâm vòng tròn nội tiếp là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác đó PHƯƠNG PHÁP: Để chứng minh các điểm A1 ,A2 , ,An cùng thuộc một đường tròn ta chứng minh các điểm A1 ,A2 , ,An cách đều điểm O cho trước. Ví dụ 1. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a . AM,BN,CP là các đường trung tuyến. Chứng minh 4 điểm B,P,N,C cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó. Giải: Vì tam giác ABC đều nên các trung tuyến đồng thời cũng là đường cao . Suy ra AM,BN,CP lần lượt vuông góc với BC,AC,AB . A Từ đó ta có các tam giác BPC,BNC là tam giác vuông Với BC là cạnh huyền, suy ra MP MN MB MC P N Hay: Các điểm B,P,N,C cùng thuộc đường tròn Đường kính BC a , tâm đường tròn là B C M
2. Trung điểm M của BC Ví dụ 2.Cho tứ giác ABCD có Cµ Dµ 900. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BD,DC,CA . Chứng minh 4 điểm M,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm đường tròn đó . Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Giải: T B M A N O Q D C P Kéo dài AD,CB cắt nhau tại điểm T thì tam giác TCD vuông tại T . + Do MN là đường trung bình của tam giác ABD nên NM / /AD + MQ là đường trung bình của tam giác ABC nên MQ / /BC . Mặt khác AD  BC MN  MQ . Chứng minh tương tự ta cũng có: MN  NP,NP  PQ . Suy ra MNPQ là hình chữ nhật. Hay các điểm M,N,P,Q thuộc một đường tròn có tâm là giao điểm O của hai đường chéo NQ,MP Ví dụ 3.Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) . Gọi M là trung điểm của AC G là trọng tâm của tam giác ABM . Gọi Q là giao điểm của BM và GO . Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BGQ . Giải: A P N G M Q I K O B C Vì tam giác ABC cân tại A nên tâm O của vòng tròn ngoại tiếp tam giác nằm trên đường trung trực của BC .Gọi K là giao điểm của AO và BM
3. Dưng các đường trung tuyến MN,BP của tam giác ABM cắt nhau tại trọng tâm G .Do MN / /BC MN  AO . Gọi K là giao điểm của BM và AO thì K là trọng tâm của tam giác ABC suy ra GK / /AC . Mặt khác ta có OM  AC suy ra GK  OM hay K là trực tâm của tam giác OMG MK  OG . Như vậy tam giác BQG vuông tại Q . Do đó tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác GQB là trung điểm I của BG . Ví dụ 4. Cho hình thang vuông ABCD có Aµ Bµ 900 .BC 2AD 2a, Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AC M là trung điểm của HC . Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDM Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Giải: A D H E O M N B C Gọi N là trung điểm của BH thì MN là đường trung bình của tam giác HBC suy ra MN  AB , mặt khác BH  AM N là trực tâm của tam giác ABM suy ra AN  BM . 1 Do MN / / BC MN / / AD nên ADMN là hình bình hành suy ra AN / /DM . Từ đó ta có: 2 DM  BM hay tam giác DBM vuông tại M nên tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác DBM là trung điểm Ocủa B .D 1 1 1 a 5 Ta có R MO BD AB2 AD2 4a2 a2 . 2 2 2 2 Bài toán tương tự cho học sinh thử sức. Cho hình chữ nhật ABCD , kẻ BH vuông góc với AC . Trên AC,CD ta lấy các điểm M,N sao cho AM DN . Chứng minh 4 điểm M,B,C,N nằm trên một đường tròn. AH DC Gợi ý: B· CN 900 , hãy chứng minh B· MN 900 Ví dụ 5 .Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Gọi M,N là trung điểm của CD,DE . AM cắt BN tại I . Chứng minh rằng các điểm M,I,O,N,D nằm trên một đường tròn. Giải:
4. N B C E D M H1 K1 H I J K A D O O N B F E A Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Do ABCDEF là lục giác đều nên OM  CD,ON  DE M,N,C,D nằm trên đường tròn đường kính OD . Vì tam giác OBN OAM nên điểm O cách đều AM,BN suy ra OI là phân giác trong của góc A· IN . OH  AM Kẻ DH1 2OH (Do OH là đường trung bình của tam giác DAH1 DH1  AM OK  BN OK JO 1 Kẻ DK1 2OK (Do với J AD  NB ) DK1  BN DK1 JD 2 Do OK OH DH1 DK1 suy ra D cách đều AM,BN hay ID là phân giác ngoài của A· IN O· ID 900 . Vậy 5 điểm M,I,O,N,D cùng nằm trên một đường tròn đường kính OD . Ví dụ 6. Cho hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm BC,N là điểm thuộc đường chéo AC 1 sao cho AN AC . Chứng minh 4 điểm M,N,C,D nằm trên cùng một đường tròn. 4 Giải: Ta thấy tứ giác MCDN có M· CD 900 nên để chứng minh 4 điểm M,N,C,D cùng nằm trên một đường tròn ta sẽ chứng minh M· ND 900 Cách 1: Kẻ đường thẳng qua N song song với AB cắt BC,AD tại E, .F Xét hai tam giác vuông 1 1 NEM và DFN EM NF AB,EN DF AB từ đó suy ra NEM DFN do đó 4 4 N· ME D· NF,M· NE N· DF M· NE D· NF 900 Hay tam giác MND vuông tại N . Suy ra 4 điểm M,N,C,D cùng nằm trên đường tròn đường kính MD Cách 2: Gọi K là trung điểm của ID với I là giao điểm của hai đường chéo. Dễ thấy MCKN là hình bình hành nên suy ra CK / /MN . Mặt khác do NK  CD,DK  CN K là trực tâm của tam giác CDN CK  ND MN  ND .
5. E M B C I N K A F D Ví dụ 7. Trong tam giác ABC gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của AB,BC,CA . A1 ,B1 ,C1 lần lượt là các chân đường cao hạ từ đỉnh A,B,C đến các cạnh đối diện. A2 ,B2 ,C 2là trung điểm của HA,HB,HC . Khi đó 9 điểm M,N,P,A1 ,B1 ,C1 ,A2 ,B2 ,C2 cùng nằm trên một đường tròn gọi là đường tròn Ơ le của tam giác Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Giải: A A2 B1 C 1 H P M Q I C2 B2 C B A1 N 1 1 a). Thật vậy ta có MN P A C P AC, MA P NC P BH mà BH  AC suy ra MNC B là hình 2 2 2 2 2 2 2 2 chữ nhật, tương tự ta có MPB2C2 , NPA2B2 là hình chữ nhật nên 9 điểm M,N,P,A1 ,B1 ,C1 ,A2 ,B2 ,C2 cùng nằm trên một đường tròn có tâm là trung điểm của các đường chéo của 3 hình chữ nhật trên. Từ đó ta suy ra tâm đường tròn Ơ le là trung điểm Q của HI
6. Ví dụ 8. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) AD là đường kính của (O) . M là trung điểm của BC,H là trực tâm của tam giác. Gọi X,Y,Z lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên HB,HC,BC . Chứng minh 4 điểm X,Y,Z,M cùng thuộc một đường tròn Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Giải: I A J X H O E K Y C B M Z D Phân tích: M là trung điểm BC M cũng là trung điểm của HD (Bài toán quen thuộc). X,Y,Z lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên HB,HC,BC kết hợp tính chất điểm M làm ta liên tưởng đến đường tròn Ơ le của một tam giác: Từ những cơ sở đó ta có lời giải như sau: + Giả sử HB cắt DY tại I,HC cắt DX tại K ,J là trung điểm của IK . Ta dễ chứng minh được BHCD là hình bình hành suy ra hai đường chéo HD,BC cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường. Vì DX  HI, DI  HC suy ra K là trực tâm của tam giác IHD nên K· DI K· HI H· CD (chú ý HI / /CD) và C· HD K· ID (cùng phụ với góc H· DI ). Từ đó suy ra KID : CHD + Mặt khác CM,DJ là hai trung tuyến tương ứng của tam giác CHD và KID , như vậy ta có DIJ : CHM J·DI H· CM . Từ đó suy ra DJ  BC tại Z hay Z thuộc đường tròn đường kính MJ . Theo bài toán ở ví dụ 6 , đường tròn đường kính MJ là đường tròn Ơ le của tam giác IHD . Từ đó ta có: X,Y,Z,M đều cùng nằm trên đường tròn đường kính MJ . Đó là điều phải chứng minh.
7. Ví dụ 9. Cho tam giác ABC có trực tâm H . Lấy điểm M,N thuộc tia BC sao cho MN BC và M nằm giữa B,C . Gọi D,E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M,N lên AC,AB . Chứng minh cácđiểm A,D,E,H cùng thuộc một đường tròn. Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Giải: A D E H K C N B M Giả sử MD cắt NE tại K . Ta có HB / /MK do cùng vuông góc với AC suy ra H· BC K· MN ( góc đồng vị) . Tương tự ta cũng có H· CB K· NM kết hợp với giả thiết BC MN BHC KMN S BHC S KMN HK / /BC . Mặt khác ta có BC  HA nên HK  HA hay H thuộc đường tròn đường tròn đường kính AK . Dễ thấy E,D (AK) nên cácđiểm A,D,E,H cùng thuộc một đường tròn. Ví dụ 10. Cho tam giác ABC . P là điểm bất kỳ PA,PB,PC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại A1 ,B1 ,C1 . Gọi A2 ,B2 ,C2 là các điểm đối xứng với A1 ,B1 ,C 1qua trung điểm của BC,CA,AB . Chứng minh rằng: A2 ,B2 ,C2 và trực tâm Hcủa tam giác ABC cùng thuộc một đường tròn. Giải: A C2 B B 2 3 B C I 1 3 O A4 G H K B4 A P 2 C C4 1 C B A3 A1 + Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC ,theo bài toán quen thuộc về đường 1 tròn Ơ le thì G thuộc đoạn OH và OG OH . Gọi A ,B ,C lần lượt là trung điểm của 3 3 3 3
8. BC,CA,AB . Theo giả thiết A3 là trung điểm của A1A2 , vậy G là trọng tâm của tam giác ABC và AA1A2 . Gọi A4 ,B4 ,C4 lần lượt là trung điểm của AA1 ,BB1 ,CC1 . Vì G là trọng tâm của tam giác GA4 1 AA1A2 nên . Gọi K là trung điểm của OP vì AA1 là dây cung của GA2 3 OP (O) OA  AA A thuộc đường tròn tâm K đường kính OP hay KA (2) 4 1 4 4 2 GK 1 + Gọi I là điểm thuộc tia đối GK sao cho (3). Từ (1) và (3) suy ra IH / /KO và GI 3 IH 2KO OP . Từ (2) và (3) ta dễ thấy IA2 / /KA4 và IA2 2KA4 OP . Từ đó suy ra IA2 IH hay A2 I;IH . Tương tự ta có B2 ,C2 I;IH . Hay A2 ,B2 ,C2 ,H thuộc đường tròn tâm I bán kính IH OP ta có điều phái chứng minh. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 1.Khi một đường thẳng có hai điểm chung A,B với đường tròn (O )ta nói đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt. Khi đó ta có những kết quả quan trọng sau: O O H A M B M A H B + OH  AB OH R,HA HB R2 OH2 . Theo định lý Pitago ta có: OH2 MO2 MH2 Mặt khác ta cũng có: OH2 R2 AH2 nên suy ra MO2 MH2 R2 AH2 MH2 AH2 MO2 R2 (MH AH) MH AH MO2 R2 + Nếu M nằm ngoài đoạn AB thì MA.MB MO2 R2 + Nếu Mnằm trong đoạn AB thì MA.MB R2 MO2 Mối liên hệ khoảng cách và AB2 dây cung: R2 OH2 4 2. Khi một đường thẳng chỉ có một điểm chung Hvới đường tròn (O ,) ta nói đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, hay là tiếp tuyến của đường tròn (O) . Điểm H gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến với đường tròn (O) Như vậy nếu là tiếp tuyến của (O) thì vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm Ta có OH R Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì
9. Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé + Điểm đó cách đều hai tiếp điểm + Tia kẻ từ điểm đó đến tâm O là tia phân giác góc tạo bởi 2 tiếp tuyến +Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm + Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó thì vuông góc với đoạn thẳng nối hai tiếp điểm tại trung điểm của đoạn thẳng đó. A O O M H H Δ B 3. Khi một đường thẳng và đường tròn (O) không có điểm chung ta nói đường thẳng và đường tròn (O) không giao nhau. Khi đó OH R O H Δ 4. Đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh tam giác là đường tròn nội tiếp tam giác Đường tròn nội tiếp có tâm là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác 5. Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và phần kéo dài hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác Tâm đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác ngoài góc B và góc C Mỗi tam giác có 3 đường tròn bàng tiếp. A M P D F B O O B C A N E C Đường tròn nội tiếp ΔABC Đường tròn bàng tiếp trong góc A
10. Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Ví dụ 1. Cho hình thang vuông ABCD (Aµ Bµ 900 ) có O là trung điểm của AB và góc C· OD 900 . Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB . Giải: A C H O E B D Kéo dài OC cắt BD tại E vì C· OD 900 suy ra E· OD 900 . Xét tam giác COD và EOD ta có OD chung OC OA 1 OC OD COD EOD . Suy ra DC DE hay tam giác ECD cân tại D . Kẻ OD OB OH  CD thì OBD OHD OH OB mà OB OA OH OB OA hay A,H,B thuộc đường tròn (O) . Do đó CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB . Ví dụ 2. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Gọi M,N là hai điểm trên các cạnh AB,AD sao cho chu vi tam giác AMN bằng 2a . Chứng minh đường thẳng MN luôn tiếp xúc với 1 đường tròn cố định. Giải: M B A E H N D C
11. Trên tia đối của BA ta lấy điểm E sao cho BE ND . Ta có BCE DCN CN CE . Theo giả thiết ta có: MN AM AN AB AD AM MB AN DN AM AN MB BE . Suy ra MN MB BE ME . Từ đó ta suy ra MNC MEC C· MN C· MB . Kẻ CH  MN CH CB CD a . Vậy D,H,B thuộc đường tròn tâm C bán kính CB a suy ra MN luôn tiếp xúc với đường tròn tâm C bán kính bằng a . Ví dụ 3. Cho tam giác ABC cân tại A đường cao BH . Trên nửa mặt phẳng chứa C bờ AB vẽ Bx  BA cắt đường tròn tâm B bán kính BH tại D . Chứng minh CD là tiếp tuyến của (B) Giải: A H α 1 B 2 C D x µ µ ¶ 0 Vì tam giác ABC cân tại A nên ta có: B C . Vì Bx  BA B2 90 . Mặt khác ta cũng có ¶ 0 ¶ ¶ ¶ ¶ B1 90 B1 B2 . Hai tam giác BHC và BDC có BC chung, B1 B2 , BH BD R suy ra BHC BDC(c.g.c) suy ra B· HC B· DC 900 . Nói cách khác CD là tiếp tuyến của đường tròn (B) Ví dụ 4. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB AC) đường cao AH . Gọi E là điểm đối xứng với B qua H . Đường tròn tâm O đường kính ECcắt AC tại K . Chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn (O) . Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé