Một số bài Hình học Lớp 9 nâng cao - Giang Tiền Hải

Nội dung text: Một số bài Hình học Lớp 9 nâng cao - Giang Tiền Hải

1. Bài hình khó của thầy Giang Tiền Hải Đề bài:Đường tròn (I) nằm trong đường tròn (O) và tiếp xúc với (O) tại M. Các dây AB, AC của (O) tiếp xúc với (I) tại D, E tương ứng.Trên BC lấy K sao cho CK = (AB + BC – CA):2. Tia AK cắt (O) tại N. Chứng minh rằng MN // BC. A E D O I B K C M N Hướng dẫn giải Nhận xét :Đây là dạng bài khó ,dùng cho đề thi Olympic ! Nếu nhìn kĩ thì đề bài cho có liên quan đến đường tròn nội tiếp Đường tròn (I) có liên quan đến định lý lyness Thực chất :Để giải được bài toán này ,em thật sự không phải là siêu nhân mà có copy một chút lời giải của tác giả về một số định lý về cái đường tròn này ở trang web : Các bạn và thầy cô vào xem để tham khảo Đề giải bài toán này ,chúng ta cần có 2 bài toán phụ :
2. Bài toán phụ số 1:Đường tròn tâm (I;r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D .Kẻ đường kính DE của (I) .Tiếp tuyến tại E của (I) cắt AB và AC lần lượt tại M và N 1/Chứng minh :BD.EM=CD.EN 2/Trên đoạn thẳng BC lấy điểm F sao cho CF=(AB+BC-AC):2 .Chứng minh :3 điểm A,E,F thẳng hàng Cách giải 1/Cho đường tròn (I) tiếp xúc với BC tại K Theo tính chất tiếp tuyến ta có :ME=MK ,BK=BD IM là phân giác góc EIK ,IB là phân giác KID => góc MIB=90 độ . Áp dụng hệ thức lượng tam giác MIB : ME.BD=MK.BK=IK2=r2 Chứng minh tương tự :NE.CD=r2=>ME.BD=EN.CD 2/Theo bài toán quen thuộc ta chứng minh được :BD=(AB+BC-AC):2 Từ đó suy ra BD=CF =>CD=BF=> Theo như trên ME.BD=EN.CD=> => => =>
3. MN//BC => (Ta lét )=> => Góc ACB=góc ANM , => (c-g-c)=>góc CAF = góc CAE=>3 điểm A,E,F thẳng hàng Bài toán phụ số 2:Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O;R) .Đường tròn (I) tiếp xúc trong với (O) tại điểm K và tiếp xúc với 2 cạnh AB và AC lần lượt tại M và N 1/Chứng minh :Tâm D đường tròn nội tiếp tam giác ABC là trung điểm của đoạn thẳng MN 2/MN cắt BC tại G .Chứng minh :GK vuông góc với DK Cách giải 1/Cho KN và KM cắt (O) lần lượt tại H và S Ta có IK=IN=> góc INK=góc OKN , OK=OH=>góc OKN=góc OHK =>góc INK=góc OHK=>IN//OH mà IN_|_AC=>OH_|_AC=>H là điểm chính giữa cung AC .Chứng minh tương tự :S là điểm chính giữa cung AB Cho BH cắt MN tại D .Kẻ tiếp tuyến chung YKX tại K của 2 đường tròn
4. Trong đường tròn (O) góc HBK=góc HKX ,trong đường tròn (I) góc NMK=góc HKX=>góc NMK =góc HBK=>Tứ giác DMBK nội tiếp =>góc ABK+góc MDK=180 độ , mà trong đường tròn (O) góc ABK+góc ACK=180 độ => góc MDK =góc ACK=>Tứ giác NDKC nội tiếp =>góc KCD = góc MNK , trong đường tròn (I) góc MNK=góc SKY ,trong đường tròn (O) góc SKY = góc KCS=>góc KCD= góc KCS=>3 điểm S,D,C thẳng hàng .Do H và S là các điểm chính giữa cung AC và AB =>Dễ chứng minh được D là giao điểm 2 đường phân giác góc B và C=>D là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Ta có :AD là tia phân giác góc BAC .Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta cũng có AI là tia phân giác góc BAC=>3 điểm A,D,I thẳng hàng =>AI vuông góc với MN tại D và DM=DN=>Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là trung điểm của MN 2/Ta có góc DKB=góc AMN(Tứ giác KBMD nội tiếp ) ,góc AMN=góc ANM(AM=AN) ,góc ANM = góc DKC (Tứ giác DKCN nội tiếp )=> DKB=góc DKC=> DK là tia phân giác trong góc B của tam giác BKC Áp dụng định lý menelaus trong tam giác ABC ta có : =1 .Do NA=MA => Dễ thấy MK là tia phân giác góc BKA => . Tương tự : Lấy 2 biểu thức chia nhau vế theo vế => => =>GK là tia phân giác ngoài của tam giác BKC .Mà KD là tia phân giác trong của tam giác BKC => KG vuông góc với KD Quay trở lại bài toán
5. Gọi S là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .Áp dụng bài toán phụ số 2 ta có S là trung điểm của DE và 3 điểm A,S,I thẳng hàng , AI_|_DE tại S.Cho MS cắt (O) tại L ,theo bài toán phụ số 2 cho góc SMB = góc SMC =>OL vuông góc với BC .Cho AI cắt (O) tại J dễ thấy OJ vuông góc với BC ,dẫn đến 3 điểm L,O,J thẳng hàng .Cho LJ cắt BC tại V thì V là trung điểm của BC.Cho DE cắt BC tại G ,theo bài toán phụ số 2 cho MG vuông góc với MS mà dễ thấy MS vuông góc với MJ => 3 điểm G,M,J thẳng hàng Đường tròn (S) tiếp xúc với BC tại P .Vẽ đường kính PT của (S).Theo bài toán phụ số 1 ta chứng minh được 3 điểm A,T,K thẳng hàng và BP=CK Ta có :BP=CK =>VP=VK.Trong tam giác TPV có SP=ST ,VP=VK =>SV//AK => góc SAK =góc JSV .Ta có góc SGJ = góc GVJ= 90 độ =>Tứ giác GSVJ nội tiếp =>góc JSV = góc VGJ .Ta có :GC_|_LJ ,LM_|_GJ nên góc VGJ= góc MLJ , mà góc MLJ = góc MAS => góc SAK = góc MAS => góc BAM = góc CAK => cung BM = cung NC=>BC//MN