Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở GD & ĐT Thanh Hóa (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở GD & ĐT Thanh Hóa (Có đáp án)

1. Vũ Ngọc Thành Latex húa ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HểA 2017-2018 MễN THI: TOÁN 9 Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề VUNGOCTHANH1984.BLOGSPOT.COM à pa 2018 pa 2018ả pa 1 Cõu 1. Rỳt gọn biểu thức P + − + . = a 2pa 1 − a 1 2pa + + − Lời giải (a 0 Điều kiện: > a 1 6= Khi đú: " # pa 2018 pa 2018 pa 1 P + − + = (pa 1)2 − (pa 1)(pa 1) 2pa + − + (pa 2018)(pa 1) (pa 2018)(pa 1) pa 1 + − − − + . + = (pa 1)2(pa 1) 2pa + − 2.2017pa pa 1 . + = (pa 1)2(pa 1) 2pa + 2017− = a 1 − ọ VUNGOCTHANH1984.BLOGSPOT.COM Ă Â2 Cõu 2. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa măn x y px py pz , px py pz Ă Â2 + = + − + 6= x px pz px pz vày z .Chứng minh đẳng thức + − − . Ă Â2 6= y py pz = py pz + − − Lời giải Ta cú: Ă Â2 Ă Â2 Ă Â2 x px pz px py pz y px pz + − + − − + − Ă Â2 Ă Â2 Ă Â2 y py pz = px py pz x py pz + − + − − + − Ă ÂĂ Â Ă Â2 px 2py pz px pz px pz + − − + − Ă ÂĂ Â Ă Â2 = 2px py pz py pz py pz Ă+ − ÂĂ − + −Â px pz 2px 2py 2pz Ă − ÂĂ + − Â = py pz 2px 2py 2pz − + − px pz − = py pz − ọ 1
2. Vũ Ngọc Thành Latex húa VUNGOCTHANH1984.BLOGSPOT.COM Cõu 3. Tỡm số tự nhiờn abcd sao cho abcd abc ab a 4321 . + + + = Lời giải Ta cú: abcd abc ab a 4321 1111a 111b 11c d 4321 (1) + + + = ⇔ + + + = Vỡ a, b, c, d N và 1 a 9, 0 b, c, d 9 nờn 3214 1111a 4321 ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ a 3 . Thay vào (1) ta được: 111b 11c d 988 (2) ⇒ = + + = Lập luận tương tự ta cú: 880 111b 988 b 8 .Thay vào (2) ta được: 11c d 100 ≤ ≤ ⇒ = + = Mà 91 11c 100 c 9 và d 1 . ≤ ≤ ⇒ = = Vậy abcd 3891 = ọ VUNGOCTHANH1984.BLOGSPOT.COM ((m 1)x y 2 Cõu 4. Cho hệ phương trỡnh − + = (m là tham số và x, y là ẩn số) x 2y 2 + = Tỡm tất cả cỏc tham số nguyờn m để hệ phương trỡnh cú nghiệm (x, y) trong đú x, y là cỏc số nguyờn. Lời giải Từ phương trỡnh thứ hai ta cú: x 2 2y thế vào phương trỡnh thứ nhất được: = − (m 1)(2 2y) y 2 (2m 3)y 2m 4(3) − − + = ⇔ − = − Hệ cú nghiệm x, y là cỏc số nguyờn (3) cú nghiệm y là số nguyờn. ⇔ 2m 4 1 Với m Z 2m 3 0 (3) cú nghiệm y − 1 ∈ ⇒ − 6= ⇒ = 2m 3 = − 2m 3 "2m 3 1 " m 2 − − y Z − = = ∈ ⇔ 2m 3 1 ⇔ m 1 − = − = Vậy cú 2 giỏ trị m thoả măn là 1; 2. ọ VUNGOCTHANH1984.BLOGSPOT.COM Cõu 5. Giải phương trỡnh p1 x p4 x 3 . − + + = Lời giải (1 x 0 Điều kiện xỏc định − ≥ 4 x 1 ( ) 4 x 0 ⇔ − ≤ ≤ ∗ + ≥ Với điều kiện (*), phương trỡnh đă cho tương đương với: 5 2p1 x.p4 x 9 p(1 x)(4 x) 2 + − + = ⇔ − + = (1 x)(4 x) 4 ⇔ − + = x2 3x 0 ⇔ + = x(x 3) 0 ⇔ + = " x 0 = ⇔ x 3 = − 2
3. Vũ Ngọc Thành Latex húa Đối chiếu với điều kiện (*) ta được x 0; x 3 = = − ọ VUNGOCTHANH1984.BLOGSPOT.COM Cõu 6. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, AB 12cm, AC 16cm . Gọi I là giao điểm cỏc = = đường phõn giỏc trong của tam giỏc ABC, M là trung điểm của cạnh BC . Chứng minh rằng đường thẳng BI vuụng gúc với đường thẳng MI. Lời giải Ta cú BC pAB2 AC2 20cm . Gọi E là giao điểm của BI với AC. = + = AE EC AE EC 1 Theo tớnh chất đường phõn giỏc ta cú: + AB = BC = AB BC = 2 BC + EC 10cm ⇒ = 2 = Ta cú ∆ICE ∆ICM(c g c) do:EC MC 10 ; ICE ƒICM ; IC chung. = − − = = = Suy ra: IEC ƒIMC IEA ƒIMB = ⇒ = Mặt khỏc ƒIBM IBA hai tam giỏc IBM, ABE đồng dạng = ⇒ ƒBIM BAEƒ 900 BI MI ⇒ = = ⇒ ⊥ ọ VUNGOCTHANH1984.BLOGSPOT.COM Cõu 7. Cho hỡnh thoi ABCD cú gúc BADƒ 500 , O là giao điểm của hai đường chộo. Gọi = H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ O đến đường thẳng AB. Trờn tia đối của tia BC lấy điểm M ( điểm M khụng trựng với điểm B), trờn tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN. 1. Chứng minh rằng MB.DN BH.AD . = 2. Tớnh số đo gúc àMON . Lời giải 3
4. Vũ Ngọc Thành Latex húa 1. Ta cú MBHƒ ADNƒ , MHBƒ ANDƒ = MB BH= ∆MBH ∆ADN MB.DN BH.AD (1) ∼ ⇒ AD = DN ⇒ = BH OB 2. Ta cú:∆OHB ∆AOD DO.OB BH.AD (2) ∼ ⇒ DO = AD ⇒ = MB OB Từ (1) và (2) ta cú: MB.DN DO.OB = ⇒ DO = DN Ta lại cú: MBOƒ 1800 CBDƒ 1800 CDBƒ ODNƒ nờn ∆MBO ∆ODN OMBƒ NODƒ = − ³= − ´= ³ ∼ ´ ⇒ = Từ đú suy ra: àMON 1800 MOBƒ NODƒ 1800 MOBƒ OMBƒ 1800 OBCƒ 1150 = − + = − + = − = ọ VUNGOCTHANH1984.BLOGSPOT.COM Cõu 8. Cho đường trũn (O) cố định và hai điểm phõn biệt B, C cố định thuộc đường trũn (O) . Gọi A là một điểm thay đổi trờn đường trũn (O) ( A khụng trựng với B và C), M là trung điểm của đoạn thẳng AC. Từ điểm M kẻ đường thẳng vuụng gúc với đường thẳng AB, cắt đường thẳng AB tại điểm H. Chứng minh rằng khi điểm A thay đổi trờn đường trũn (O) thỡ điểm H luụn nằm trờn một đường trũn cố định. Lời giải 4
5. Vũ Ngọc Thành Latex húa Gọi D là trung điểm của đoạn BC, vỡ tam giỏc BOC, AOC là cỏc tam giỏc cõn tại O nờn OD BC, OM AC . ⊥ ⊥ Ta cú: ODCƒ OMCƒ 900 Bốn điểm O, D, C, M cựng nằm trờn đường trũn (I) cú tõm Icố = = ⇒ định, đường kớnh OC cố định. Gọi E là điểm đối xứng với D qua tõm I, khi đú E cố định và DE là đường kớnh của đường trũn (I) . Nếu H E, H B 6= 6= - Với M E BHEƒ 900 ≡ ⇒ = - VớiM E , do DM BH DMHà 900 . 6= ∥ ⇒ = Khi đú DMEƒ DMHà 900 H, M,E thẳng hàng. Suy ra BHEƒ 900 = = ⇒ = Vậy ta luụn cú: BHEƒ 900 hoặc H E hoặc H B do đú H thuộc đường trũn đường kớnh BE = ≡ ≡ cố định. ọ VUNGOCTHANH1984.BLOGSPOT.COM 1 1 1 Cõu 9. Cho a, b, c là cỏc số thực dương thoả măn điều kiện 2 . Chứng minh a + b + c ≤ rằng: 1 1 1 2 p5a2 2ab 2b2 + p5b2 2bc 2c2 + p5c2 2ca 2a2 ≤ 3 + + + + + + Lời giải s 1 1 1 1 Với x, y, z 0 ta cú : x y z 3p3 xyz và 3 3 ∀ > + + ≥ x + y + z ≥ xyz à1 1 1ả 1 1 à1 1 1ả (x y z) 9 . ⇒ + + x + y + z ≥ ⇒ x y z ≤ 9 x + y + z Đẳng thức xảy ra khix y z + + = = 1 1 1 à 1 1 1 ả Ta cú: 5a2 2ab 2b2 (2a b)2 (a b)2 (2a b)2 + + = + + − ≥ + ⇒ p5a2 2ab 2b2 ≤ 2a b ≤ 9 a + a + b + Đẳng thức xảy ra khia b + + 1 = 1 1 à 1 1 1ả Tương tự: . Đẳng thức xảy ra khib c p5b2 2bc 2c2 ≤ 2b c ≤ 9 b + b + c = 1 + 1+ 1 à1 +1 1 ả . Đẳng thức xảy ra khic a p5c2 2ca 2a2 ≤ 2c a ≤ 9 c + c + a = Vậy + + + 1 1 1 1 à 3 3 3ả p5a2 2ab 2b2 + p5b2 2bc 2c2 + p5c2 2ca 2a2 ≤ 9 a + b + c + + + + + + 1 à 1 1 1ả ≤ 3 a + b + c 2 . ≤ 3 3 Đẳng thức xảy ra khi a b c . = = = 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. ọ 5
6. Vũ Ngọc Thành Latex húa VUNGOCTHANH1984.BLOGSPOT.COM Cõu 10. Cho hỡnh vuụng ABCD và 2018 đường thẳng thỏa măn đồng thời hai điều kiện: 1. Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hỡnh vuụng. 1 2. Mỗi đường thẳng đều chia hỡnh vuụng thành hai phần cú tỉ lệ diện tớch bằng 3 Chứng minh rằng trong 2018 đường thẳng đú cú ớt nhất 505 đường thẳng đồng quy. Lời giải Giả sử hỡnh vuụng ABCD cú cạnh là a ( a > 0). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Gọi d là một đường thẳng bất kỳ trong 2018 đường thẳng đă cho thỏa măn yờu cầu bài toỏn. Khụng mất tớnh tổng quỏt, giả sử d cắt cỏc đoạn thẳng AD, MP, BC lần lượt tại S, E, K sao cho SCDSK 3SABKS = Từ SCDSK 3SABKS ta suy ra được:DS CK 3(AS BK) = + =1 + a AS a BK 3(AS BK) AS BK a ⇔ − + − = + ⇔ + = 2 1 EM a suy ra E cố định và d đi qua E. ⇔ = 4 a Lấy F, H trờn đoạn NQ và G trờn đoạn MP sao cho FN GP HQ . = = = 4 Lập luận tương tự như trờn ta cú cỏc đường thẳng thỏa măn điều kiện của đề bài phải đi qua một trong bốn điểm cố định E, F, G, H. Theo nguyờn lư Dirichlet từ 2018 đường thẳng thỏa măn điều kiện của đề bài phải cú ớt ã2018á nhất 1 505 đường thẳng đi qua một trong bốn điểm E, F, G, Hcố định, nghĩa là 4 + = 505 đường thẳng đú đồng quy. ọ 6