Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 các tỉnh - Năm học 2009-2010

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 các tỉnh - Năm học 2009-2010

1. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI AN GIANG Năm học 2009 – 2010 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Lớp: 9 Thời gian làm bài: 150 phút SBD: PHÒNG: (Không kể thời gian phát đề) Bài 1: (4,0 điểm) Chứng minh rằng các số sau đây là những số nguyên: æö25212 1/. a=ç÷-++(527) èø3-133 133 2/. b =4+53+548-+10743 Bài 2: (6,0 điểm) 1/. Cho phương trình ẩn x , tham số m : x22-2(m++1)xmm+2-=30 Xác định các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm xx12, sao cho 2008<xx21<<2013 . ì 3322 ï2(x+y)3=+( xyxy ) 2/. Giải hệ phương trình: í 3 îïxy+=36 Bài 3: (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y=x3+2(1+x3+1) +xx33+2(11-+) Bài 4: (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), các tiếp tuyến tại A và C đồng quy với đường thẳng BD ở M. Chứng minh rằng: AB. CD = BC. AD Bài 5: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC kéo dài về phía C, lấy một điểm M. Một đường thẳng D đi qua M cắt các cạnh CA, AB tại N và P. Chứng minh BMCM rằng: - không đổi, khi M và D thay đổi. BPCN Hết
2. Ubnd tØnh b¾c ninh ®Ò thi chän häc sinh giái cÊp tØnh Së gi¸o dôc vµ §µo t¹o N¨m häc: 2009 - 2010 M«n thi: to¸n – líp 9 - thcs (Thêi gian lµm bµi: 150 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) §Ò chÝnh thøc Ngµy thi 14 th¸ng 4 n¨m 2010 C©u 1 (3,5 ®iÓm) 2+-323 1) Rót gän biÓu thøc: + . 2+4+232 423 2) Cho hµm sè f(x) = (x3 + 6x - 5)2010. TÝnh f(a), víi a = 3 3+ 17 + 3 3 - 17 . C©u 2 (4,5 ®iÓm) 1) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: ìx2 -2xy+=2yx ï ï2 íy-2yz+=2zy. ï z2 -2zx+=2xz îï 1 2/ Gi¶i ph­¬ng tr×nh: x32-xx-=. 3 C©u 3 (4,0 ®iÓm) Cho ®­êng trßn (O, R) néi tiÕp h×nh thang ABCD (AB//CD), víi E; F; G; H theo thø tù lµ tiÕp ®iÓm cña (O, R) víi c¸c c¹nh AB; BC; CD; DA. EBGD EB 4R 1) Chøng minh = . Tõ ®ã, h·y tÝnh tû sè ,biÕt: AB= vµ BC=3R. EAGC EA 3 2) Trªn c¹nh CD lÊy ®iÓm M n»m gi÷a hai ®iÓm D vµ G sao cho ch©n ®­êng vu«ng gãc kÎ tõ M ®Õn DO lµ ®iÓm K n»m ngoµi (O, R). §­êng th¼ng HK c¾t (O, R) ë ®iÓm T (kh¸c H). Chøng minh MT = MG. C©u 4 (4,0 ®iÓm) 1/ Cho tam gi¸c ABC cã BC = a; CA = b; AB = c vµ R lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tho¶ m·n hÖ thøc R(b + c) = a bc . H·y x¸c ®Þnh d¹ng tam gi¸c ABC. 2/ Gi¶ sö tam gi¸c ABC kh«ng cã gãc tï, cã hai ®­êng cao AH vµ BK. Cho biÕt AH ³ BC vµ BK ³ AC. H·y tÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c ABC. C©u 5 (4,0 ®iÓm) 1/ T×m tÊt c¶ c¸c cÆp sè tù nhiªn n vµ k ®Ó (n4+4)2k1+ lµ sè nguyªn tè. 2/ Cho c¸c sè thùc a vµ b thay ®æi tháa m·n a33+=b2. T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña (a + b). HÕt (§Ò thi gåm 01 trang)
3. THI CH N H C SINH GI I C P T NH L P 9 THCS – T NH BÌNH NH MÔN TOÁN – Th i gian: 150 phút – Ngày 18 – 03 – 2009 Bài 1: (3 i m) Tìm t t c các c p s nguyên (m, n) sao cho 2n3 – mn2 – 3n2 + 14n – 7m – 5 = 0 Bài 2: (3 i m) 111 Cho x, y, z là 3 s th c khác 0 và 0 xyx yzzxxy Ch ng minh r ng 3 x222yz Bài 3: (3 i m) Gi i h ph ng trình: xy7 x20y36 Bài 4: (4 i m) Cho i m O thu c mi n trong c a tam giác ABC. Các tia AO, BO, CO c t các c nh tam giác ABC l n l t t i G, E, F. OAOBOC Ch ng minh r ng 2 AGBECF Bài 5: (4 i m) Cho ng tròn (O), ng kính AB. Trên tia ti p tuy n Ax v i ng tròn (O) l y i m C sao cho AC = AB. ng th ng BC c t ng tròn (O) t i D, M là m t i m thay i trên o n AD. G i N và P l n l t là chân ng vuông góc h t M xu ng AB và AC, H là chân ng vuông góc h t N xu ng ng th ng PD. a) Xác nh v trí c a M tam giác AHB có di n tích l n nh t. b) Ch ng minh r ng khi M thay i, HN luôn i qua m t i m c nh. Bài 6: (3 i m) 111 Ch ng minh: 17 18 23100 1
4. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 GIA LAI Năm học: 2009 – 2010 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể phát đề) ĐỀ BÀI: Câu 1: (2,5 điểm) Chứng minh rằng 251975+ 2010 chia hết cho 3. Câu 2: (2,5 điểm) Chứng minh rằng nếu xy+(1+xy22)(11+=) , thì x1+y22+yx10+=. Câu 3: (3 điểm) Cho 3 số dương abc, , . Chứng minh bất đẳng thức: 222 a+bb++cca ++ £ ++. abcabbcca Câu 4: (3,5 điểm) 2 Cho phương trình x-2(m-1) xm+-=30, mÎ ¡ . a) Chứng minh rằng với mọi mÎ ¡ , phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 . b) Tìm số nguyên m để các nghiệm x1 và x2 cũng là số nguyên. Câu 5: (4 điểm) 1 Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): yx= 2 và đường thẳng (d): 4 y=+mx 1 , mÎ ¡ . Chứng minh rằng với mọi mÎ ¡ : a) (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. b) Diện tích tam giác AOB không nhỏ hơn m +1.2. Câu 6: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với CA và CB lần lượt tại M và N. Đường thẳng MN cắt đường thẳng AI tại P. Chứng minh rằng góc IPB vuông. HẾT
5. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ - LỚP 9 HÀ NỘI Năm học 2009-2010 Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi : 31 - 3 - 2010 Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm 01 trang) Bài I (4 điểm) Tính giá trị của biểu thức: 3(2+-5).3 17538 A = ()x313+-xx20102009 với x= 5+-1465 Bài II (4 điểm) 1) Giải phương trình : x4+3x32-2xx-6+=40 2) Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: xy+x+ya=+1 x22y+=xya Bài III (4 điểm) 1) Giải bất phương trình: x43+xx++1 £ 0 x4-x32+21xx-+ 2) Tìm giá trị lớn nhất của: 111 B = ++ x3+y3+1y3+z3+11zx33++ Với x, y, z là các số dương và x, y, z = 1 Bài IV (6 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). D là một điểm bất kì thuộc cung nhỏ AC (D khác A và C). Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D tới các đường thẳng AB, AC. Gọi P là giao điểm các đường thẳng MN, BC. 1) Chứng minh DP và BC vuông góc với nhau. 2) Đường tròn (I; r) nội tiếp tam giác ABC. Tính IO với R = 5cm, r = 1,6cm. Bài V (2 điểm) Tìm các số x, y nguyên dương để C là số nguyên dương với xx3 + C = xy -1 Hết ( Giám thị không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
6. SỞ GD & ĐT HÒA BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009-2010 Đề chính thức Đề thi môn: toán Ngày thi: 25 tháng 3 năm 2010 Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) ( Đề thi gồm có 01 trang) Bài 1: ( 6 điểm) æö2+-323 1. Rút gọn biểu thức:ç÷- :3 ç÷ èø7-43 7+43 2. Biết: (x+x22+5)(yy++=55) ; Tính giá trị của biểu thức A= x + y 3. Phân tích thành nhân tử biểu thức sau: ( n+ 1)( n+3)(n + 5)( n+ 7) + 15 ( yêu cầu phân tích thành 4 nhân tử bậc nhất) Bài 2: ( 6 điểm) 1. Giải phương trình: x3 + 3x2 + x – 2 = 0 ìx33+=+33xyy 2. Giải hệ phương trình: ï . í2 îïx+xy -=200 3. Cho hàm số y = mx + 1- x+ m ( m là tham số) Tìm m để đồ thị hàm số là đường thẳng cắt 2 trục tọa độ thành tam giác có diện tích là 2. Bài 3: ( 5 điểm) 1. Cho hình thang cân ABCD biết 2 đáy AB = 10, CD =22 và DB là phân giác của góc ADC. Tính diện tích hình thang. 2. Cho 2 đường tròn (O; R) và ( I ; r) cắt nhau tại 2 điểm A, B. Biết R = 3; r = 4 và OI =5. Một cát tuyến qua B cắt 2 đường tròn lần lượt tại C và D. Chứng minh rằng: Tam giác ACD là tam giác vuông với mọi vị trí của cát tuyến CD. Bài 4: ( 1 điểm) Cho 2 số a, b thảo mãn a ³1; b ³ 4, Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng: 11 A = ab+++ . ab Bài 5:( 2 điểm) Tìm số chính phương có 4 chữ số thỏa mãn chữ số hàng ngìn và hàng trăm bằng nhau; Chữ số hàng chục và hàng đơn vị bằng nhau. Hết
7. SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2009 – 2010 Đề chính thức Môn thi: TOÁN LỚP 9 - BẢNG A Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1. (4,5 điểm): a) Cho hàm số f(x)=(x3+-12x31) 2010 Tính f(a) tại a=3316-85++1685 b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 5(x22+xy+y)=+7(x2y) Câu 2. (4,5 điểm): a) Giải phương trình: x2=x3-x22+-xx ì111 ï ++=2 ïxyz b) Giải hệ phương trình: í ï 21 -=2 4 îïxyz Câu 3. (3,0 điểm): Cho x; y; z là các số thực dương thoả mãn: xyz = 1 111 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A=++ x3+y3+1y3+z3+1z33++x1 Câu 4. (5,5 điểm): Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Từ một điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB. Vẽ các tiếp tuyến CD; CE với đường tròn tâm O (D; E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O'). Hai đường thẳng AD và AE cắt đường tròn tâm O' lần lượt tại M và N (M và N khác với điểm A). Đường thẳng DE cắt MN tại I. Chứng minh rằng: a) MI.BE= BI.AE b) Khi điểm C thay đổi thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5. (2,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AD. Điểm M di động trên đoạn AD. Gọi N và P lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AB và AC. Vẽ NH^ PD tại H. Xác định vị trí của điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất. - - - Hết - - -
8. Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o ®Ò thi chän häc sinh giái líp 9 THCS TØnh ninh b×nh N¨m häc 2009- 2010 M«n: To¸n C©u 1 (4,0 ®iÓm): 1111 1. Rót gän biÓu thøc: P =++++ 1+55+99++1320062010 2. Cho x =335(6+1) 5(61) . TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: A = x3 +15x C©u 2 (6,0 ®iÓm): ìx22+y+2(xy -=2)0 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh sau: ï 1. í 22 îïx+y-=2xy 16 2. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 16x4+5=+6433xx C©u 3 (6,0 ®iÓm): Cho tam gi¸c ABC cã B·AC = 600 , AC = b, AB = c (víi b > c). §­êng kÝnh EF cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC vu«ng gãc víi BC t¹i M. Gäi I vµ J lÇn l­ît lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ E xuèng c¸c ®­êng th¼ng AB vµ AC. Gäi H vµ K lÇn l­ît lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ F xuèng c¸c ®­êng th¼ng AB vµ AC. 1. Chøng minh c¸c tø gi¸c AIEJ vµ CMJE néi tiÕp. 2. Chøng minh ba ®iÓm I, J, M th¼ng hµng vµ IJ vu«ng gãc víi HK 3. TÝnh ®é dµi c¹nh BC vµ b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC theo b, c C©u 4 (2,0 ®iÓm): Cho x > 0, y > 0 vµ xy+£4 . 55 TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: M=+xy++ xy C©u 5 (2,0 ®iÓm): T×m c¸c cÆp sè nguyªn (x; y) tháa m·n: 5x - 3y = 2xy - 11. HÕT
9. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH QUẢNG NINH LỚP 9 THCS NĂM 2009-2010 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN ( BẢNG B) Ngày thi: 25/3/2010 Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài 1: ( 3,5 điểm ) xy+2y+1yz+2y+1zx++2x1 A =++ Cho biểu thức : xy+x+y+1yz+y+z+1zx+z++x1 ( với x;y;z là các số thực có giá trị khác -1). Chứng minh A là một số nguyên. Bài 2: ( 3,5 điểm ) Tìm số tự nhiên a sao cho A=a2 +10a +136 có giá trị là số chính phương. Bài 3. (4điểm) 271 -= Giải phương trình: 3x22-x+23x++5x2x Bài 4.( 7 điểm ) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C là điểm chính giữa cung AB, M là điểm bất kỳ thuộc cung BC ( điểm M khác B và C ) AM cắt OC tại I. Kẻ CK vuông góc với AM ( KÎAM), OK cắt BC tại N a) Chứng minh IKNC là tứ giác nội tiếp b) Khi M di chuyển trên cung BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICM luôn nằm trên một đường thẳng cố định. Bài 5: ( 2 điểm ) 2 A= Trục căn thức ở mẫu: 2.332++24 Hết
10. yN¬¸·½¸<²¸<½•·²¸¹·?·´3°çÌØÝͲx³¸<½îððçóîðïð M«n: ̱h² rN ½¸C²¸ ¬¸(½ Thêi gian lµm bµi: 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) Bµi 1. (3 ®iÓm) Gi¶i ph ¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn: 2x24y+ 2y4++y2 5x+2y=5xy242++x1 Bµi 2. (3 ®iÓm) Gi¶i hÖ ph ¬ng tr×nh: ì 3 85 4xy+4xy22+ += ï( ) 2 ï ( xy+) 3 í 1 13 ï2x += îïx+y3 Bµi 3. (3 ®iÓm) Chøng minh r»ng: NÕu ®a thøc P(x) = x4 + bx3 + cx2 + bx + 1 cã nghiÖm th× 2b +³c2. Bµi 4. (3 ®iÓm) Cho x; y lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n: 4x2 + y2 = 1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña 2x+ 3y biÓu thøc: A = . 2x ++y2 Bµi 5. (3 ®iÓm) Tõ mét ®iÓm E ë ngoµi ® êng trßn t©m O kÎ 2 tiÕp tuyÕn víi ® êng trßn t¹i A vµ B. Gäi M lµ ®iÓm n»m trªn ®o¹n AB (M kh¸c A vµ B, MA MB). Gäi C vµ D lµ 2 ®iÓm trªn ® êng trßn sao cho M lµ trung ®iÓm cña CD. C¸c tiÕp tuyÕn cña ® êng trßn t¹i C vµ D c¾t nhau t¹i F. Chøng minh r»ng tam gi¸c OEF lµ tam gi¸c vu«ng. Bµi 6. (3 ®iÓm) Cho ® êng trßn (O; R) vµ 2 ®iÓm A, B n»m ngoµi ® êng trßn sao cho OA = R2. T×m ®iÓm M trªn ® êng trßn sao cho tæng MA + 2.MB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Bµi 7. (2 ®iÓm) Mét tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè tù nhiªn cã 2 ch÷ sè. NÕu ®æi chç hai ch÷ sè cña sè ®o c¹nh huyÒn ta ® îc sè ®o cña mét c¹nh gãc vu«ng. TÝnh b¸n kÝnh ® êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ®ã. óóóØK¬óóó 1
11. K× thi chän HSG TØnh Thanh Hãa N¨m häc: 2009 - 2010 Bµi 1. (4 ®iÓm ) æö21xx+x-xx+-xxx Cho biÓu thøc : P = ç÷-+. èøxx-1x-12x+xx 121 a) Rót gän biÓu thøc P. x (5+26)(49 206)526 b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P khi = 493-112 Bµi 2. (5 ®iÓm ) 2xx13 a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: +=6 3x22-5x+232xx++ ìx(xy+=3)4 b) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: í2 î45y=-xy Bµi 3. (3 ®iÓm ) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: æöy++zzx+xy A = (x+y)(y+z)(zx+). ++ ç÷ èøxyz Víi x, y, z lµ ba sè thùc d­¬ng thay ®æi cã tæng b»ng 2 Bµi 4. (6 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ®Òu ABC néi tiÕp ®­êng trßn (O). Mét ®­êng th¼ng d thay ®æi nh­ng lu«n ®i qua A c¾t hai tiÕp tuyÕn t¹i B vµ C cña ®­êng trßn (O) t­¬ng øng t¹i M vµ N. §­êng th¼ng d c¾t ®­êng trßn (O) t¹i ®iÓm thø hai lµ E kh¸c A. MC c¾t NB t¹i F . Chøng minh r»ng: a) Hai tam gi¸c ACN vµ MBA ®ång d¹ng; hai tam gi¸c MBC vµ BCN ®ång d¹ng b) Tø gi¸c BMEF néi tiÕp ®­îc ®­êng trßn c) Khi d thay ®æi nh­ng lu«n ®i qua A th× ®­êng th¼ng EF lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh Bµi 5. (2 ®iÓm ) Trªn mét ®­êng trßn cho 6 ®iÓm ph©n biÖt. Hai ®iÓm b¾t k× trong 6 ®iÓm nµy ®Òu ®­îc nèi víi nhau b»ng mét ®o¹n th¼ng mµu xanh hoÆc mµu ®á. Chøng minh r»ng tån t¹i mét tam gi¸c cã ba c¹nh cïng mµu
12. UBND TỈNH TIỀN GIANG CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Độc lập – Tự do – Hạnh phúc KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP TỈNH Khoá ngày 23/3/2010 Đề chính thức Môn: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu. Câu 1: ( 5,0 điểm) ïìa32-=3ab233 1. Giả sử các số a, b thoả mãn: . Tính P=+ab22 í32 îïb-=3ab2010 2. Với giá trị nào của b thì hai phương trình: 2011x2 +bx+=11020 và 1102x2 +bx+=20110 có nghiệm chung. Câu 2: ( 5,0 điểm) 1. Giải phương trình: x-1+x3+x24+x+1=1+-x1 2 2. Cho phương trình: y+my+=p0 có hai nghiệm là y1 và y2 . Định m và p 1 1 để và cũng là nghiệm của phương trình này. 1y+ 1 1y+ 2 Câu 3: ( 2,0 điểm) Một thầy giáo còn trẻ dạy môn toán khi được hỏi bao nhiêu tuổi đã trả lời như sau: “ Tổng, tích, hiệu, thương của tuổi tôi và đứa con trai tôi cộng lại là 216”. Hỏi thầy giáo bao nhiêu tuổi? Câu 4: ( 3,0 điểm) Giả sử phương trình bậc hai ax2 +bx+=c0 có hai nghiệm thuộc đoạn [0; 1]. (a b)(2ac) Xác định a, b, c để biểu thức P = đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn a(a-+bc) nhất. Câu 5: ( 5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, qua A ta vẽ đường thẳng d di động. Gọi B’, C’ là hình chiếu của B và C xuống d; H là chân đường cao của tam giác ABC. 1. Chứng minh rằng đường tròn đường kính B’C’ qua một điểm cố định. 2. Tìm tập hợp trung điểm M của B’C’. Hết * Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng máy tính.
13. Sở GD Tp Hồ Chí Minh ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THÀNH PHỐ NĂM 2009 THỜI GIAN LÀM BÀI : 150 PHÚT Bài 1 (4 đ). Thu gọn các biểu thức sau 2 3 3 13 48 a) A 6 2 a b 1 a b  b b  B b)   a ab 2 ab  a ab a ab  với a,b 0,a b Bài 2 (4 đ). Cho phương trình m 3 x2 3 m 1 x m 1 m 4 0 a) Định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. b) Định m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm. Bài 3 (3 đ). Giải các phương trình sau: 2 a) 2 8x 7 4x 3 x 1 7 b) x 17 x2 x 17 x2 9 Bài 4 (3 đ). a) Với n là số nguyên dương. Hãy tìm ước chung lớn nhất của 2 số 21n 4 và 14n 3 b) Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh ab bc ca a b c c a b Bài 5 (3 đ).Cho hai đường tròn O và O cắt nhau tại 2 điểm A, B . Qua A kẻ đường thẳng cắt O tại M và cắt O tại N . Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. Bài 6 (3 đ). Cho đường tròn O đường kính AB và tia tiếp tuyến Ax . Từ M thuộc Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn O với C là tiếp điểm. Đường vuông góc với AB tại O cắt BC tại N . a) Có nhận xét gì về tứ giác OMBN . b) Trực tâm H của tam giác MAC di động trên đường cố định nào khi M di động trên tia Ax Hết NGUYỄN TĂNG VŨ
14. SỞ GD-ĐT TRÀ VINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009-2010 Đề thi chính thức Môn thi: TOÁN ngàyThi Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề ___ 7 - 4 - 20 Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức 10 x x 2 x 3 x 2 P = 1 : x 1 x 5 x 6 x 2 3 x 1- Rút gọn P. 2- Tính P khi x 4 2 3 Bài 2: (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng: 1 D1: y = 3x + 6; D2: y = x 1; D3: y 2x 4 2 Gọi A là giao điểm của D1 và D2, B là giao điểm của D1 và D3, C là giao điểm của D2 và D3. 1- Vẽ D1, D2 và D3. Tìm tọa độ của A, B, C. 2- Tính diện tích tam giác ABC. 3- Tính số đo A , B , C của tam giác ABC (độ, phút, giây). Bài 3: (4 điểm) 1- Giải phương trình: x2 3x 3 x 2 6x 3 53 x2 4x 3 x 2 5x 3 12 2- Giải hệ phương trình: y 4x 5 2 y 2x x y 1 7 Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH, HB 20cm, HC 45cm. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Kẻ các tiếp tuyến BM, CN với đường tròn (M và N là các tiếp điểm khác H). 1- Tính diện tích tứ giác BMNC. 2- Gọi I là giao điểm của đường thẳng CN và đường thẳng HA. Tính độ dài AI, IN. 3- Gọi J là giao điểm của đường thẳng AM và đường thẳng CB. Tính độ dài JM, JB. Bài 5: (3 điểm) Cho đường tròn (O, R), đường kính AB cố định và đường kính CD quay quanh điểm O. Các đường thẳng AC và AD cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn theo thứ tự tại E và F. 1- Chứng minh rằng tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn. 2- Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDFE. Chứng minh rằng điểm I di động trên đường thẳng cố định khi đường kính CD quay quanh điểm O. Hết TRỌNG TÚ - TRƯỜNG THCS HIỆP HÒA
15. së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o kú thi chän häc sinh giái cÊp tØnh líp 9 thCS TUYÊN QUANG n¨m häc 2009 - 2010 * m«n: to¸n ® Ò c h Ý nh t h øc Thêi gian lµm bµi: 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) (§Ò nµy cã 01 trang) C©u 1 (4 ®iÓm). Rút gọn các biểu thức sau: abc 1) P=++, trong đó a,,bc là các số đôi một khác (a-b)(a-c)(b-c)(b-a)(c a)()cb nhau. x+2x-1+xx 21 2) Q= , trong đó x ³ 2 . x+2x-1-xx 21 C©u 2 (4 ®iÓm). Tìm x, y, z thỏa mãn hệ sau: ì x 3 - 3x - 2 = 2 - y ï 3 íy - 3y - 2 = 4 - 2z . ï 3 îz - 3z - 2 = 6 - 3x C©u 3 (4 ®iÓm). 1) Chứng minh chữ số tận cùng (chữ số hàng đơn vị) của các số tự nhiên n và n5 là như nhau. 2) Tìm số nguyên tố p để 51p 2 + là số nguyên tố. C©u 4 (6 ®iÓm). Cho đường tròn tâm O, bán kính R > 0 không đổi và hai đường kính cố định AB, CD vuông góc với nhau. Lấy điểm I bất kỳ trên đoạn OC (I không trùng với O và C); dựng đường tròn tâm I bán kính IA, đường tròn này cắt tia AD và AC lần lượt tại M và N (khác điểm A). 1) Chứng minh rằng ba điểm I, M, N thẳng hàng. 2) Từ M kẻ đường thẳng song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại K. Chứng minh rằng: DM.DA = DK.DO. 3) Tính tổng MA + NA theo R. C©u 5 (2 ®iÓm). Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng: a4+b4+c4³a3++bc33 .HẾT
16. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH VĨNH LONG NĂM HỌC : 2009 - 2010 Môn thi : TOÁN LỚP 9 Thời gian làm bài : 150 phút Ngày thi: 21 – 03 – 2010 Bài 1: (4 điểm) Tìm các giá trị của tham số thực m để 2 phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm chung x2 + mx + 4 = 0 (1) và x2 + 4x + m = 0 (2) Bài 2: (2 điểm) 5t2+ Tìm các số nguyên t sao cho là một số nguyên 17 Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ x248æöx4 +=- 210ç÷ 3x èø3x Bài 4: (3 điểm) Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh và p là nửa chu vi của tam giác. Chứng minh rằng: 1 (p-a)(p-b)(p-£c)abc 8 Bài 5: (4 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A và D là một điểm trân cạnh AC (khác với A và C). Vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với BC tại E. Từ B, kẻ tiếp tuyến thứ hai BF với đường tròn (D). Gọi M là tung điểm của BC, N là giao điểm của BF và AM. Chứng minh năm điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn và AN = NF Bài 6: (3 điểm) Tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD, có AB = BC = 2 5 , CD = 6. Tính bán kính của nửa đường tròn. Hết
17. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009 – 2010 ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. —————————— Câu 1. (2.5 điểm) 22 ìïy=(xx++82)( ) Giải hệ phương trình: í ï168x-y+16=54x22+-xyy î Câu 2. (2.0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương n có tính chất với mỗi số nguyên lẻ a mà an2 £ thì n chia hết cho a. Câu 3. (3.0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ). AD,,BECF là ba đường cao (DÎBC,,EÎÎCAFAB) . Đường thẳng EF cắt BC tại G, đường thẳng AG cắt lại đường tròn ()O tại điểm M . 1. Chứng minh rằng bốn điểm A,M,,EF cùng nằm trên một đường tròn. 2. Gọi N là trung điểm cạnh BC và H là trực tâm tam giác ABC . Chứng minh rằng GH^ AN Câu 4. (1.5 điểm) Chứng minh rằng: 2 3 1111(a+b++cabc ) +++³ với mọi abc,,0> a+bb+cc+a2 3 abc (a+b)(b++c)()ca Câu 5. (1.0 điểm) Mỗi ô vuông đơn vị của bảng kích thước 10´10 (10 dòng, 10 cột) được ghi một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho bất kỳ hai số nào ghi trong hai ô chung một cạnh hoặc hai ô chung một đỉnh của bảng là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng có số được ghi ít nhất 17 lần. —Hết— (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ tên thí sinh: Số báo danh: