›
›
›

Các Chuyên đề ôn tập Toán 9 thi vào lớp 10

pdf 190 trang hoaithuong97 7674
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Các Chuyên đề ôn tập Toán 9 thi vào lớp 10", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfcac_chuyen_de_on_tap_toan_9_thi_vao_lop_10.pdf

Nội dung text: Các Chuyên đề ôn tập Toán 9 thi vào lớp 10

  1. 106 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 . BÀI TẬP 3 Bài 1: Cho hàm số y f x x2 2 2 f 2 f 3 f 5 1) Hãy tính ; ; ; f 3 1 3 2) Các điểm A 2;6 , B 2;3 , C 4; 24 , D ; có thuộc đồ thị hàm số không ? 2 4 Hướng dẫn giải 32 3 3 3 27 1) Ta có: f 2 . 2 .4 6 ; f 3 .32 .9 ; 2 2 2 2 2 2 32 3 15 2 3 2 3 2 1 f 5 . 5 .5 ; f 2 2 2 3 2 3 2 9 3 3 2) +) Thay toạ độ điểm A 2;6 vào công thức hàm số y f x x2 2 3 Ta có 6 .22 6 6 ( thỏa mãn) 2 3 Vậy điểm A 2;6 thuộc đồ thị hàm số y f x x2 2 3 +) Thay toạ độ điểm C 4; 24 vào công thức hàm số y f x x2 2 3 2 Ta có 24 . 4 24 24 ( vô lí) 2 3 Vậy điểm C 4; 24 không thuộc đồ thị hàm số y f x x2 2 3 +) Thay toạ độ điểm B 2;3 vào công thức xác định hàm số y f x x2 2 3 2 3 Ta có 3 . 2 3 .2 ( thỏa mãn) 2 2 3 Vậy điểm B 2;3 thuộc đồ thị hàm số y f x x2 2 1 3 3 2 +) Thay toạ độ điểm D ; vào công thức xác định hàm số y f x x 2 4 2 2 3 3 1 3 3 Ta có . (thỏa mãn) 4 2 2 4 4 1 3 3 2 Vậy điểm D ; thuộc đồ thị hàm số y f x x 2 4 2 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  2. 107 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 Bài 2: Trong hệ toạ độ Oxy, cho hàm số y f x m 2 x2 * 1) Tìm m để đồ thị hàm số * đi qua các điểm : a) A 1;3 b) B 2; 1 2) Thay m = 0. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số * với đồ thị hàm số y x 1 Hướng dẫn giải 1) a) Để đồ thị hàm hàm số y f x m 2 x2 * đi qua điểm A 1;3 Ta có: 3 m 2 . 1 2 3 m 2 m 1 Vậy với m = 1 thì đồ thị hàm số * đi qua điểm A 1;3 b) Để đồ thị hàm số y f x m 2 x2 * đi qua điểm B 2; 1 2 5 Ta có: 1 m 2 . 2 1 m 2 .2 2m 4 1 2m 5 m 2 5 Vậy với m thì đồ thị hàm số * đi qua điểm B 2; 1 2 2) +) Thay m = 0 vào công thức hàm số y f x m 2 x2 * ta có: y f x 2 x2 - Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số y f x 2 x2 với đồ thị hàm số y x 1 là nghiệm y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 1 của hệ phương trình: 2 2 y x 1 2x x 1 2x x 1 0 2 - Giải phương trình 2 2x2 x 1 0 Ta có: a + b + c = 2 + (-1) + (-1) = 0 nên phương trình 2 có 2 nghiệm phân biệt x1 1; 1 x (hoặc giáo viên cho HS phân tích vế trái thành dạng tích và giải phương trình 2 2 tích) 2 +) Với x1 1 y1 2.1 2 M 1;2 2 1 1 1 1 1 1 +) Với x2 y1 2. 2. N ; 2 2 4 2 2 2 Vậy với m = 0 thì đồ thị hàm số y 2 x2 và đồ thị hàm số y x 1 cắt nhau tại 2 điểm 1 1 phân biệt M 1;2 và N ; . 2 2 Bài 3: a) Vẽ đồ thị hàm số y x2 (P) và đường thẳng y x 2 d trên cùng một mặt phẳng toạ độ Oxy. b) Tìm toạ độ giao điểm của (P ) và d bằng phép tính. Hướng dẫn giải Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  3. 108 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 a) Vẽ đồ thị hàm số y x2 (P) Lập bảng giá trị tương ứng giữa x và y. x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 y x2 9 4 1 0 1 4 9 Đồ thị hàm số y x2 (P) là một Parabol có bề lõm quay xuống phía dưới và đi qua các điểm có toạ độ O 0;0 ; A 1;1 ; A' 1;1 ; B 2;4 ; B ' 2;4 ; C 3;9 ;C ' 3;9 +) Đường thẳng y x 2 d Cho x = 0 y = 2 D 0;2 Oy y = 0 x = 2 E 2;0 Ox Đường thẳng y 2 x 2 d đi qua 2 điểm D (0; 2) và E (2; 0) b) Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số y x2 (P) và đường thẳng y x 2 d là nghiệm y x2 y x2 y x2 1 của hệ phương trình: 2 2 y x 2 x x 2 x x 2 0 2 - Giải phương trình: x2 x 2 0 2 Ta có a + b + c = 1 + 1 + (- 2) = 0 nên phương trình (2) có hai nghiệm x1 1 ; x2 2 (hoặc giáo viên cho HS phân tích vế trái thành dạng tích và giải phương trình tích) 2 +) Với x1 1 y 1 1 1 M 1; 1 2 +) Với x2 2 y 2 2 4 N 2;4 - Vậy đồ thị hàm số y x2 (P) và đường thẳng y x 2 (d) cắt nhau tại 2 điểm M 1; 1 và N 2;4 . Sự tương giao giữa đường thẳng và đồ thị hàm số bậc hai. 1 Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho parabol ():P y x2 và đường thẳng 2 1 3 ():d y x 4 2 a) Vẽ đồ thị của ()P b) Gọi A x1; y 1 và B x2; y 2 lần lượt là các giao điểm của P) với ()d . Tính giá trị biểu x x thức T 1 2 . y1 y 2 Hướng dẫn giải Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  4. 109 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 a) HS tự vẽ. 1 1 3 b) Phương trình hoành độ giao điểm của P) và ()d : x2 x 2 4 2 3 x 2 y 2 A (2;2) 2 x1 x 2 2 4 3 9 3 9 . Vậy T x y B ; y y 9 25 1 2 2 2 8 2 8 8 Bài 5: Cho Parabol ():P y x2 và đường thẳng d: y (2 m 1) x m 2 ( m là tham số) a) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng d luôn cắt P) tại hai điểm phân biệt. b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d luôn cắt P) tại hai điểm phân biệt A x1; y 1 B x2; y 2 thỏa x1 y 1 x 2 y 2 0. Hướng dẫn giải a) Phương trình hoành độ giao điểm x2 (2 m 1) x m 2 x 2 (2 m 1) x m 2 0(*) Ta có (2m  1)2 4.1( m 2)4 m 2 8 m 94( m 1) 2 550 Vậy Parabol luông cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt. x1 x 2 2 m 1 b) Vì là nghiệm của phương trình nên theo hệ thức Vi-et ta có: . x1 x 2 m 2 2 y1 x 1 Mặt khác 2 . y2 x 2 3 3 2 2 Ta có xyxy1122 0 xx 12 0 xxxxxx 121122 0 1 x x 0 2m 1 0 m 1 2 2 2 2 2 x1 x 1 x 2 x 2 0 x1 x 2 3 x 1 x 2 0 2 4m 7 m 7 0 (v n ) 1 Vậy m . 2 Bài 6: Cho parabol ():P y x2 và đường thẳng ():d y 2 ax 4 a (với a là tham số ) 1 a) Tìm tọa độ giao điểm của ()d và P) khi a . 2 b) Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng ()d cắt P) taị hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x 2 thỏa mãn x1 x 2 3. Hướng dẫn giải Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  5. 110 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 a) Phương trình hoành độ ()d và P) là x2 2 ax 4 a 0 1 Khi a thì phương trình trở thành x2 x 2 0 2 Có a b c 0 nên phương trình có 2 nghiệm là x 1 ; x 2 . b) Phương trình hoành độ ()d và P) là x2 2 ax 4 a 0 (*) để đường thẳng ()d cắt P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm a 0 phân biệt ' a ( a 4) 0 a 4 a 0 x1 x 2 2 a Với theo Viét ta có a 4 x1 x 2 4 a 2 2 2 Vì x1 x 2 3 x 1 x 2 9 x 1 x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 x 2 9 4a 8 a | 8 a | 9 1 Với a 0 : 4a2 8|8|9 a a 4 a 2 16 a 90 a 2 3 a dk 2 2 2 Với a 4 : 4a 8 a | 8 a | 9 4 a 9 3 a dk 2 1 Vậy a . 2 Bài 7: Cho hai hàm số y x2 và y mx 4 , với m là tham số. a) Khi m 3 , tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị hàm số trên. b) Chứng minh rằng với mọi giá trị m, đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A1 x 1; y 1 và A2 x 2; y 2 Tìm tất cả các giá trị của m sao cho 2 2 2 y1 y 2 7 . Hướng dẫn giải a) Phương trình hoành độ giao điểm của y x2 và y mx 4 là x2 mx 4 0 (1) Thay m 3 vào phương trình (1) ta có: x2 3 x 4 0 Ta có: a b c 1 ( 3) ( 4) 0 2 x 1 Vậy phương trình x 3 x 4 0có hai nghiệm x 4 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  6. 111 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 Với x 1 y 1 A ( 1;1) Với x 4 y 16 B (4;16) Vậy với m 3 thì hai đồ thị hàm số giao nhau tại 2 điểm A( 1;1) và B(4;16) . b) Ta có số giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là số nghiệm của phương trình (1) Phương trình (1) có: m2 4  ( 4) m 2 16 0  m Do đó (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x 2 Vậy đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A1 x 1; y 1 và A2 x 2; y 2 với mọi m x1 x 2 m Theo hệ thức Vi-et ta có: x1 x 2 4 2 y1 x 1 Ta lại có: 2 y2 x 2 2 2 2 Theo đề, ta có: y1 y 2 7 2 2 2 2 x2 x 2 49 x x2 2 x x 2 x x 2 49 m2 2.( 4) 2 42 49 1 2 1 2 1 2 1 2 (m2 8) 2 81 m2 8 9 m 1 (trường hợp m2 8 9 vô nghiệm vì m2 0 ) 2 2 2 Vậy với m 1; m 1 thì y1 y 2 7 . 1 Bài 8: Cho hàm số y x2 có đồ thị ()P . 2 a) Vẽ đồ thị ()P của hàm số. b) Cho đường thẳng y mx n ( ) . Tìm m, n để đường thẳng () song song với đường thẳng y 2 x 5 ( d ) và có duy nhất một điểm chung với đồ thị ()P . Hướng dẫn giải a) HS tự vẽ đồ thị hàm số. m 2 b) song song với y 2 x 5 suy ra n 5 1 Phương trình hoành độ giao điểm của và (P): x2 2 x n 2 x2 4 x 2 n 0 (*) Để và ()P có một điểm chung duy nhất thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất thì 0 4 2n 0 n 2 (thỏa mãn) Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  7. 112 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 Vậy m 2; n 2 . Bài 9: Cho đường thẳng ()d có phương trình y x 2 và parabol ()P có phương trình y x2 a) Vẽ đường thẳng ()d và parabol ()P trên cùng hệ trục tọa độ Oxy . b) Đường thẳng ()d cắt ()P tại hai điểm A và B (với A có hoành độ âm, B có hoành độ dương). Bằng tính toán hãy tìm tọa độ các điểm A và B. Hướng dẫn giải a) HS tự vẽ đồ thị hàm số (d) và (P) b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x2 x2 x 2 x 20(2)(1)0 x x x 2 hoặc x 1 Với x 2 y 4 B (2;4) (vì B có hoành độ dương) Với x 1 y 1 A ( 1;1) (vì A có hoành độ âm) Vậy A( 1;1) ; B(2;4) 1 Bài 10: Cho hai hàm số y x2 và đồ thị hàm số ()P và y x 4 có đồ thị ()d 2 a) Vẽ đồ thị ()P b) Gọi AB, là các giao điểm của hai đồ thị ()P và ()d Biết rằng đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét, tìm tất cả các điểm M trên tia Ox sao cho diện tích tam giác MAB bằng 30 cm2. Hướng dẫn giải a) Vẽ đồ thị: HS tự vẽ b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: 1 x2 x 4 x 2 2 x 8 0 2 ( 1)2 ( 8) 9 0 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x 4; x 2 Với x 2 ta có y 2 A ( 2;2) Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  8. 113 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 Với x 4 ta có y 8 B (4;8) Gọi M( m ;0) thuộc tia Ox( m 0) Gọi CD( 2;0), (4;0) Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: M thuộc đoạn OD: Ta có SSSSAMB ABDC ACM BDM Có ABDC là hình thang, AC 2 cm , BD 8 cm , CD 6 cm (2 8)  6 2 ⇒ SABDC 30 cm 2 2 Suy ra SAMB 30 cm (loại) Trường hợp 2: M thuộc tia Dx (M D ) m 4 Ta có : SSSSAMB ABDC ACM BDM 2 Có SABCD 30 cm , MC m 2( cm ), MD m 4( cm ) Suy ra 1 1 S AC. CM .2.( m 2) m 2( cm2 ) ACM 2 2 1 1 S BD. DM .8.(m 4) 4(m 4)( cm2 ) BDM 2 2 2 SAMB 30cm S ACM S BDM m 2 4( m 4) m 6 m = 6 (thỏa mãn). Vậy M (6;0) là điểm cần tìm. Bài 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d ) : y 3 x m 1 và parabol ():P y x2 a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m. b) Gọi x1, x 2 là hoành độ các giao điểm của ()d và (P). Tìm m để x1 1 x 2 1 1 Hướng dẫn giải a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của ()d và ()P x2 3 x m 2 1 x 2 3 x m 2 1 0(*) 9 m2 1 8 m 2 0  m Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  9. 114 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 Suy ra phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m hay ()d luôn cắt ()P tại hai điểm phân biệt với mọi m . b) Ta có: x1 1 x 2 1 1 x 1 x 2 x 1 x 1 0 ( ) x1 x 2 3 Áp dụng hệ thức Vi-et cho (*): 2 x1 x 2 m 1 ( ) m2 1 3 0 m 2 4 m 2 Vậy m 2 . Bài 12: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho parabol ():P y x2 a) Vẽ parabol ()P b) Xác định toạ độ các giao điểm AB, của đường thẳng (d ) : y x 2 và ()P Tìm toạ điểm M trên ()P sao cho tam giác MAB cân tại M. Hướng dẫn giải a) HS tự vẽ đồ thị hàm số. b) Viết phương trình đường trung trực d ' của AB , tìm giao điểm của d ' và ()P ta tìm được giao điểm M. Hoành độ các giao điểm AB, của đường thẳng (d ) : y x 2 và (P) là nghiệm của phương trình: x2 x 2 x 2 x 2 0 x 1 hoặc x 2 + Với x 1 , thay vào ()P ta có: y ( 1)2 1 , ta có: A( 1; 1) + Với x 2 , thay vào ()P ta có: y (2)2 4 , ta có: B(2; 4) 1 5 Suy ra trung điểm của AB là: I ; 2 2 Đường thẳng d ' vuông góc với (d) có dạng: y x b 5 1 Vì d ' đi qua I nên: b b 3 2 2 Vậy d' : y x 3. 1 13 Phương trình hoành độ của d ' và (P) là: x2 x 3 0 x 2 1 13 7 13 + Với x y 2 2 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  10. 115 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 1 13 7 13 + Với x y 2 2 1 13 7 13 1 13 7 13 M Vậy có hai điểm cần tìm là: ; và ; . 2 2 2 2 Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d ) : y x m 1 và parabol ():P y x2 a) Tìm m để ()d đi qua điểm A(0;1) b) Tìm m để đường thẳng ()d cắt parabol ()P tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần 1 1 lượt là x1 x2 thỏa mãn: 4 x1 x 2 3 0 . x1 x 2 Hướng dẫn giải a) Thay x 0; y 1 vào phương trình đường thẳng ()d ta được: m 2 b) Phương trình hoành độ giao điểm của ()d và ()P là: x2 x ( m 1) 0(*) Để ()d cắt parabol ()P tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt 3 4m 3 0 m 4 x1 x 2 1 Khi đó theo định lý Vi-ét ta có: x1 x 2 ( m 1) 1 1 x1 x 2 4 Theo đề bài: 4 x1 x 2 3 0 4 x1x 2 3 0 m 2 0 x1 x 2 x1. x 2 m 1 m2 m 6 0 ( Điều kiện: m 1 ) m 3 (loại) hoặc m 2 (thỏa mãn). Vậy m 2 là giá trị cần tìm. Bài 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol ():P y x2 và đường thẳng (d ) : y 3 mx 3 (với m là tham số). a) Tìm m để đường thẳng ()d đi qua điểm A(1;3) b) Xác định các giá trị của m để ()d cắt ()P tại hai điểm phân biệt sao cho tổng 2 tung độ của hai giao điểm đó bằng 10 Hướng dẫn giải a) Đường thẳng ()d đi qua A(1;3) nên 3 3m  1 3 m 2 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  11. 116 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 b) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng ()d và Parabol ()P là: x2 3 mx 3 x 2 3 mx 3 0(*) Ta có 9m2 12 0 , với mọi m nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt. Do đó, đường thẳng ()d và Parabol ()P cắt nhau tại hai điểm x1; y 1 và x2; y 2 Theo định lý Vi-ét ta có: x1 x 2 3 m ; x 1  x 2 3 Theo bài ra ta có: 2 2 y1 y 2 10 x 1 x 2 10 2 x1 x 2 2 x 1 x 2 10 9m2 6 10 2 m 3 2 Vậy m là giá trị cần tìm. 3 Bài 15: Cho parabol ():P y x2 và đường thẳng ()d có phương trình: y 2( m 1) x 3 m 2 a) Tìm tọa độ giao điểm của ()P và ()d với m 3 . b) Chứng minh ()P và ()d luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B với mọi m . 2 2 c) Gọi x1; x 2 là hoành độ giao điểm của A và B . Tìm m để x1 x 2 20 . Hướng dẫn giải a) Thay m 3 ta được (d ) : y 8 x 7 Phương trình hoành độ giao điểm ()P và ()d khi m 3 là x2 8 x 7 x 2 8 x 7 0 Giải phương trình ta được x1 1; x 2 7 . Với x1 1 y 1 1; x2 7 y2 49 Tọa độ giao điểm của ()P và ()d là (1;1);(7;49) b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của ()P và ()d là: x2 2( m 1) x 3 m 2 0 (1) 2 2 2 1 11 m 2 m 1 3 m 2 m m 3 m  0 m 2 4 Nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt m suy ra ()P và ()d luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt AB, với mọi m . c) Ta có: x1; x 2 là nghiệm phương trình (1) vì 0 m . Theo Vi-et ta có: Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  12. 117 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 x1 x 2 2 m 2 x1 x 2 3 m 2 2 22 2 x1 x 220 x 1 x 2 2 x 1 x 2 20 (2 m 2) 2(3 m 2) 20 m 2 2 2m m 6 0 ( m 2)(2 m 3) 3 m 2 3 Vậy m 2 hoặc m là giá trị cần tìm. 2 Bài 16: Cho parabol ():P y x2 và đường thẳng (d ) : y 2( m 3) x 2 m 2 ( m là tham số). a) Với m 5 , tìm tọa độ giao điểm của parabol ()P và đường thẳng ()d b) Chứng minh rằng: với mọi m parabol ()P và đường thẳng ()d cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Tìm m sao cho hai giao điểm đó có hoành độ dương. c) Tìm điểm cố định mà đường thẳng ()d luôn đi qua với mọi m Hướng dẫn giải a) Với m 5 ()d có phương trình y 4 x 12 Hoành độ giao điểm của ()P và ()d là nghiệm phương trình: 2 2 x 6 x 4 x 12 x 4 x 12 0 ( x 6)( x 2) 0 x 2 x 6 y 36 x 2 y 4 Vậy với m 5 thì ()P và ()d cắt nhau tại hai điểm ( 6;36),(2;4) b) Hoành độ giao điểm của ()P và ()d là nghiệm phương trình: x2 2( m 3) x 2 m 2 x 2 2( m 3) x 2 m 2 0(1) (m 3)2 (2 m  2) m 2 4 m 11( m 2) 2 60 m Do đó (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m suy ra ()P và ()d cắt nhau tại hai điểm phân biệt x1; x 2 là hai nghiệm của phương trình (1), áp dụng định lý Viet ta có: x1 x 2 2( m 3) x1 x 2 2 m 2 Hai giao điểm đó có hoành độ dương khi và chỉ khi x1 x 2 0 2(m 3) 0 m 3 m 1 x1 x 2 0 2m 2 0 m 1 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  13. 118 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 Vậy với m 1 thì ()P và ()d cắt nhau tại hai điểm phân biệt với hoành độ dương. c) Gọi điểm cố định mà đường thẳng ()d đi qua với mọi m là x0; y 0 ta có: y0 2( m 3) x 0 2 m 2  m m 2 x0 2 6 x 0 y 0 2 0  m 2x0 2 0 x 0 1 6x0 y 0 2 0 y 0 8 Vậy với mọi m thì đường thẳng ()d luôn đi qua (1;8) Bài 17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d ) : y mx 3 tham số m và Parabol ():P y x2 a) Tìm m để đường thẳng ()d đi qua điểm A(1;0) b) Tìm m m để đường thẳng ()d d cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1; x 2 thỏa mãn x1 x 2 2 . Hướng dẫn giải a) Đường thẳng ()d đi qua điểm A(1;0) nên có 0 m  1 3 m 3 . b) Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa ()d và ()P : x2 mx 3 0 Có m2 12 ()d cắt P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x 2 khi m 2 3 m2 12 0 m 2 12 m 2 3 x1 x 2 m Áp dụng hệ thức Vi – Ét ta có: x1 x 2 3 Theo bài ra ta có 2 2 x1 x 2 2 x 1 x 2 4 x 1 x 2 4 x 1 x 2 4 m2 4.3 4 m 2 16 m 4 Vậy m 4 là giá trị cần tìm. Bài 18: Cho hàm số y ax2 có đồ thị ()P và đường thẳng (d ) : y mx m 3 a) Tìm a để đồ thị P) đi qua điểm B(2; 2) . Chứng minh rằng đường thẳng ()d luôn cắt đồ thị ()P tại hai điểm phân biệt C và D với mọi giá trị của m Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  14. 119 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 b) Gọi xC và xD lần lượt là hoành độ của hai điểm C và D . Tìm các giá trị của m sao 2 2 cho xCDCD x 2 x x 20 0 Hướng dẫn giải 1 a) ()P đi qua điểm B(2; 2) nên ta có: 2 a .22 a 2 1 Vậy ()P : y x2 2 b) Phương trình hoành độ giao điểm của ()P và ()d là: 1 x2 mx m 3 x 2 2 mx 2 m 6 0 (*) 2 m2(2 m  6) m 2 2 m 6( m 1) 2 50 m Do đó, đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt C và D với mọi giá trị của m. xCD x 2 m b) Áp dụng định lí Vi-ét ta có: xCD x 2 m 6 Theo giả thiết 2 2 2 xCDCDCDCD x 2 x x 20 0 x x 4 x x 20 0 (2) m2 4(2 m 6)200 4 m 2 8 m 40 4(m 1)2 0 m 1. Vậy với m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. . PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài F.01. Cho hàm số y ax2 a 0 có đồ thị parabol ()P a) Xác định a để ()P đi qua điểm A(;) 2 4 . b) Với giá trị a vừa tìm được ở trên hãy: i) Vẽ ()P trên mặt phẳng tọa độ; ii) Tìm các điểm trên ()P có tung độ bằng -2; iii) Tìm các điểm trên ()P cách đều hai trục tọa độ. Bài F.02. Cho hàm số y () m 1 x2 m 1 có đồ thị là ()P . a) Xác định m để ()P đi qua điểm A(;) 3 1 ; b) Với giá trị của m vừa tìm được ở trên, hãy: Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  15. 120 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 i) Vẽ ()P trên mặt phẳng tọa độ; ii) Tìm các điểm trên ()P có hoành độ bằng 1; iii) Tìm các điểm trên ()P có tung độ gấp đôi hoành độ. Bài F.03. Cho hàm số y ax2 a 0 có đồ thị parabol ()P a) Tìm hệ số a biết rằng ()P đi qua điểm M( 2 ; 4 ) . b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tạ độ và điểm N(2;4). c) Vẽ ()P và d tìm được ở các câu a) và b) trên cùng một hệ trục tọa độ. d) Tìm tọa độ giao điểm của ()P và d ở các câu a) và b). 1 Bài F.04. Cho ():P y x2 và d: y x . 2 a) Vẽ ()P và d trên cùng một hệ trục tọa độ; b) Xác định tọa độ giao điểm của ()P và d ; 1 c) Dựa vào đồ thị, hãy giải bất phương trình x2 x 2 Bài F.05. Cho Parabol ():P y x2 và đường thẳng (d ) : y 4 x 9 . a) Vẽ đồ thị ()P b) Viết phương trình đường thẳng d1 biết d1 song song với đường thẳng (d) và d1 tiếp xúc ()P Bài F.06. Cho parabol (P ) : y 2 x2 và đường thẳng d: y x 1 a) Vẽ parabol P) và đường thẳng (d) trên cùng một trục tọa độ. b) Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d và đi qua A( 1;2) 1 Bài F.07. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho parabol ():P y x2 và đường 2 1 3 thẳng ():d y x 4 2 a) Vẽ đồ thị của ()P b) Gọi A x1; y 1 và B x2; y 2 lần lượt là các giao điểm của P với d . Tính giá trị biểu x x thức T 1 2 . y1 y 2 Bài F.08. Cho parabol ():P y x2 và đường thẳng (d) y 2 ax 4 a (với a là tham số ) 1 a) Tìm tọa độ giao điểm của ()d và ()P khi a . 2 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  16. 121 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 b) Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng ()d cắt ()P taị hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x 2 thỏa mãn x1 x 2 3. Bài F.09. Cho hai hàm số y x2 và y mx 4 , với m là tham số. a) Khi m 3 , tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị hàm số trên. b) Chứng minh rằng với mọi giá trị m, đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A1 x 1; y 1 và A2 x 2; y 2 Tìm tất cả các giá trị của m sao cho 2 2 2 y1 y 2 7 . 1 Bài F.10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol ()P có phương trình y x2 và 2 hai điểm AB, thuộc ()P P có hoành độ lần lượt là xAB 1, x 2 a) Tìm tọa độ của hai điểm AB, . b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm AB, . c) Tính khoảng cách từ điểm O (gốc tọa độ) tới đường thẳng (d). 1 Bài F.11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol ()P có phương trình y x2 và 2 hai điểm AB, thuộc ()P P có hoành độ lần lượt là xAB 1, x 2 a) Tìm tọa độ của hai điểm AB, . b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm AB, . c) Tính khoảng cách từ điểm O (gốc tọa độ) tới đường thẳng (d). Bài F.12: Cho hàm số y x2 có đồ thị là ()P và hàm số y x 2 có đồ thị là (d) a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy b) Bằng phép tính, tìm tọa độ các giao điểm AB, của (P) và (d) ; (hoành độ của A nhỏ hơn hoành độ của B). Gọi C và D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên trục hoành, tính diện tích của tứ giác ABC 1 Bài F.13: Cho hàm số y x2 có đồ thị (P). 2 a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số. b) Cho đường thẳng y mx n() . Tìm m, n để đường thẳng () song song với đường thẳng y 2 x 5( d ) và có duy nhất một điểm chung với đồ thị ()P . Bài F.14: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho parabol ():P y x2 a) Vẽ parabol ()P b) Xác định toạ độ các giao điểm AB, của đường thẳng (d ) : y x 2 và ()P Tìm toạ điểm M trên (P) sao cho tam giác MAB cân tại M. Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  17. 122 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 1 Bài F.15: Cho parabol (P): y x2 và đường thẳng (a ) : y 2 x 1 2 a) Vẽ (P) và (a) trên cùng một hệ trục toạ độ. b) Xác định đường thẳng ()d biết đường thẳng ()d song song với đường thẳng ()a và cắt parabol (P) tại điểm có hoành độ bằng 2 . ề đ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN ủ Ch 7 HỆ THỨC VI-ET VÀ ỨNG DỤNG G. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN. HỆ THỨC VI-ET VÀ ỨNG DỤNG Dạng 1: Giải phương trình và phương trình quy về phương trình bậc hai 1.1 Giải phương trình bậc hai cơ bản. Đối với đề toán là giải phương trình với phương trình là phương trình bậc hai đơn giản (có dạng tổng quát ax2 bx c 0 ), học sinh có thể sử dụng phương pháp đưa về giải phương trình tích, hoặc sử dụng công thức nghiệm (hoặc công thức nghiệm thu gọn) và sử dụng cách nhẩm nghiệm để giải bài toán. 1. Định nghĩa Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax2 bx c 0, trong đó x là Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  18. 123 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a 0 . 2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai Đối với phương trình bậc hai ax2 bx c 0 ( a 0) và biệt thức b2 4 ac : b b Nếu > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x ; x . 12a 2 2 a b Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép x x . 1 2 2a Nếu 0. Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 3. Công thức nghiệm thu gọn Đối với phương trình bậc hai ax2 bx c 0 ( a 0) và b 2 b , b 2 ac : b b Nếu > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x ; x 1a 2 a b Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép x x . 1 2 a Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm. Bài 1: Giải phương trình: a) 3x2 5 x 2 0 b) 5x2 6 x 1 0 Hướng dẫn giải a) Cách 1: Đưa về giải phương trình tích bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 3x2 5203 x x 2 6 x x 203(2)(2)0 x x x 1 3x 1 0 x (3x 1)( x 2) 0 3 x 2 0 x 2 1  Vậy tập nghiệm của phương trình là S 2;  3  Cách 2: Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai. Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  19. 124 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 Ta có a 3; b = 5; c = -2 ; b2 4 ac 5 2 4.3.( 2) 25 24 49 0 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt: b 5 49 5 7 2 1 x 1 2a 2.3 6 6 3 b 5 49 5 7 12 x 2 2 2a 2.3 6 6 1  Vậy tập nghiệm của phương trình là S 2;  3  b) Phương pháp 1: Đưa về giải phương trình tích bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: 5x2 610 x 5 x 2 5 x x 10 5(1)(1)0 x x x 1 5x 1 0 x (5x 1)( x 1) 0 5 x 1 0 x 1 1  Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1;  5  Phương pháp 2: Sử dụng công thức nghiệm thu gọn ( hoặc công thức nghiệm tổng quát) để giải: b 6 Ta có a 5; b = 6 b' = = = -3; c = 1 2 2 ' b 2 ac ( 3) 2 5.1 9 5 4 0 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt: b' ' ( 3) 4 3 2 b' ' ( 3) 4 3 2 1 x 1; x 1 a 5 5 2 a 5 5 5 Phương pháp 3: Giải bằng cách nhẩm nghiệm. Ta có a 5; b = 6; c = 1 và a b c 5 ( 6) 1 0 . Vậy phương trình đã cho có 2 c 1 nghiệm phân biệt là x 1 và x . 1 2 a 5 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  20. 125 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 1.2. Giải phương trình quy về phương trình bậc hai 1.2.1. Phương trình trùng phương Cho phương trình: ax4 bx 2 c 0 ( a 0 ) (1) Phương pháp 1: Đặt ẩn phụ: Đặt t x 2 (t 0) Ta được phương trình: at2 bt c 0 (2) Nếu phương trình (2) (phương trình trung gian) có 2 nghiệm dương thì phương trình trùng phương có 4 nghiệm. Nếu phương trình trung gian có một nghiệm dương, một nghiệm âm hoặc có nghiệm kép dương thì phương trình trùng phương có 2 nghiệm Nếu phương trình trung gian có 2 nghiệm âm hoặc vô nghiệm thì phương trình trùng phương vô nghiệm. Cụ thể: Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt phương trình (2) có hai nghiệm dương phân 0 biệt P 0 S 0 Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt phương trình (2) có một nghiệm dương và 0 một nghiệm bằng 0 P 0 S 0 Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt phương trình (2) có một một nghiệm kép 0 0 S 0 dương hoặc có hai nghiệm trái dấu S 0 0 a. c 0 P 0 Phương trình (1) có 1 nghiệm phương trình (2) có một nghiệm kép bằng 0 hoặc có một nghiệm bằng không và nghiệm còn lại âm Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  21. 126 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 0 S 0 P 0 0 P 0 S 0 Phương trình (1) có vô nghiệm phương trình (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm 0 0 P 0 S 0 Nếu phương trình có 4 nghiệm thì tổng các nghiệm luôn bằng 0 và tích các nghiệm luôn c bằng . a Phương pháp 2: Giải trực tiếp phương trình trùng phương bằng cách đưa về giải phương trình tích: A 0 Biến đổi đưa về dạng phương trình tích : AB. 0 B 0 Bài 1: Giải phương trình: x4 13 x 2 36 0 (1) Hướng dẫn giải Cách 1: Đặt t x 2 ( điều kiện: t 0 ) phương trình (1) có dạng : t2 13 t 36 0 . Ta có a 1; b 13; c 36 b2 4 ac ( 13) 2 4.1.36 25 0 . 5 b ( 13) 5 t 9 (thỏa mãn điều kiện t 0 ) 1 2a 2 b ( 13) 5 t 4 (thỏa mãn điều kiện t 0 ) 2 2a 2 2 Với t1 9 x 9 x 9 x 3 2 Với t2 4 x 4 x 4 x 2 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  22. 127 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm : x1 2 ; x 2 3; x 3 2; x 4 3 . Cách 2: x4 13 x 2 36 0 (1) (x4 12 x 2 36) x 2 0 (x2 6) 2 x 2 0 (x2 6 x )( x 2 6 x ) 0 x2 6 x 0 2 x 6 x 0 2 Giải phương trình: x– x – 6 0 ta được 2 nghiệm: x1 2; x 2 3 . 2 Giải phương trình: x x – 6 0 ta được 2 nghiệm: x3 2; x 4 3 . Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm: x1 3; x 2 2; x 3 2; x 4 3 Bài 2: Giải phương trình: 5x4 3 x 2 – 2 0 (1) Hướng dẫn giải Đặt t x 2 ( điều kiện: t 0 ) phương trình (1) có dạng : 5t2 3 t 2 0 . Ta có a 5; b 3; c 2 b2 4 ac (3) 2 4.5.( 2) 49 0 7 b 3 7 2 t (thỏa mãn điều kiện t 0 ) 1 2a 2.5 5 b 3 7 t 1 (không thỏa mãn điều kiện t 0 ) 2 2a 2.5 2 2 2 Với t x2 x 1 5 5 5 Với t2 1 (loại) 2 2 Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm : x ; x . 15 2 5 Bài 3: Giải phương trình: x4 5 x 2 6 0 (1) Hướng dẫn giải Đặt t x 2 (điều kiện: t 0 ) phương trình (1) có dạng : Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  23. 128 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 t2 5 t 6 0 . Ta có a 1; b 5; c 6 b2 4 ac 5 2 4.1.6 1 0 1 b 5 1 t 2 (loại vì không thỏa mãn điều kiện t 0 ) 1 2a 2.1 b 5 1 t 3 (loại vì không thỏa mãn điều kiện t 0 ) 2 2a 2.1 Vậy phương trình (1) vô nghiệm. 1.2.2. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu Cách giải: Thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình. Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức. Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được. Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thoả mãn điều kiện xác định, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho. Bài 1: Giải phương trình: 14 1 2x x2 x 8 a. 1 b. x2 9 3 x x 1 (x 1)(x 4) Hướng dẫn giải 14 1 a. 1 x2 9 3 x ĐKXĐ : x 3 14 1 1 (x 3)( x 3) x 3 14 (x 3)( x 3) ( x 3) (x 3)( x 3) ( x 3)( x 3) 14 x – 3 x 3 x 3 x2 – 9 x 3 –14 0 x2 x – 20 0 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  24. 129 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 Ta có: a 1; b 1; c 20 b2 – 4 ac 12 – 4.1. –20 81 0 81 9 Phương trình có 2 nghiệm có 2 nghiệm phân biệt : b 1 9 x 4 (thỏa mãn điều kiện) 1 2a 2.1 b 1 9 x 5(thỏa mãn điều kiện) 2 2.a 2.1 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x1 4 ; x2 –5 2x x2 x 8 b. x 1 (x 1)(x 4) ĐKXĐ: x –1 và x 4 2x x2 x 8 x 1 (x 1)(x 4) 2x ( x 4) x2 x 8 (x 1)( x 4) ( x 1)( x 4) 2x x – 4 x2 – x 8 2x2 – 8 x – x 2 x – 8 0 x2 – 7 x – 8 0 Ta có: a 1; b 7; c 8 a– b c 1– –7 –8 0 Phương trình có 2 nghiệm : x1 –1 (loại vì không thỏa mãn ĐKXĐ) c x 8 (thỏa mãn ĐKXĐ) 2 a Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm: x 8 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  25. 130 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 1.2.3. Giải phương trình đưa về phương trình tích. Phương pháp: Biến đổi phương trình ban đầu về dạng phương trình tích sau đó giải các phương trình A 0 Tổng quát: AB. 0 . B 0 Bài 1: Giải phương trình a) (x 3)( x2 3 x 1) 0 b) x3 3 x 2 – 2 x 6 0 2 c) 2x2 3 –10 x 3 –15 x 0 d) x4 13 x 2 36 0 Hướng dẫn giải a) (x 3)( x2 3 x 4) 0 x 3 0 hoặc x2 3 x 4 0 +) x 3 0 x1 3 +) x2 3 x 4 0 (1) Ta có a 1; b 3, c 4 . và a b c 1 3 ( 4) 0 . Phương trình (1) có hai nghiệm: c x 1; x 4 2 3 a Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là: x1 3;x 2 1; x 3 4 b) x3 3 x 2 – 2 x – 6 0 x2 x 3 – 2 x 3 0 x 3 x2 – 2 0 x 3 0 hoặc x2 – 2 0 +) x 3 0 x1 3 2 2 +) x– 2 0 x 2 x2 2 hoặc x3 2 Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x1 3; x2 2; x 3 2 2 c. 2x2 3 –10 x 3 –15 x 0 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  26. 131 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 2 2x2 3 – 5 x 2 x 2 3 0 2x2 3 2 x 2 3 – 5 x 0 2x2 3 0 hoặc 2x2 – 5 x 3 0 +) 2x2 3 0 2x2 –3 x 2 1,5 (vô nghiệm) +) 2x2 – 5 x 3 0 . Có a 2; b 5; c 3 và a b c 2 – 5 3 0 Phương trình có 2 nghiệm: c 3 x 1 ; x 1 2 a 2 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: 3 x 1 ; x 1 2 2 d) x4 13 x 2 36 0 (1) (x4 12 x 2 36) x 2 0 (x2 6) 2 x 2 0 (x2 6 x )( x 2 6 x ) 0 x2 x 6 0 2 x x 6 0 2 Giải phương trình: x– x – 6 0 ta được 2 nghiệm: x1 2; x 2 3 . 2 Giải phương trình: x x – 6 0 ta được 2 nghiệm: x3 2; x 4 3 . Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm: x1 3; x 2 2; x 3 2; x 4 3 1.2.4. Giải phương trình chứa căn bậc hai. a) Phương trình chứa căn bậc hai đơn giản (quy được về phương trình bậc hai) Phương pháp: Đặt ẩn phụ và biến đổi phương trình ban đầu trở thành phương trình có dạng ax2 bx c 0 Bài 1: Giải phương trình: a) 4x 29 x 52 0 b) x x 1 8 0 Hướng dẫn giải a) 4x 29 x 52 0. Điều kiện x 0 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  27. 132 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 Đặt x t (điều kiện: t 0 ), Khi đó phương trình đã cho trở thành: 4t2 29 t 52 0 (1) 2 có a 4; b 29; c 52 và b2 4 ac 29 4.4.52 9 0 ; 3 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: b 29 3 t 4 (thỏa mãn điều kiện t 0); 1 2a 2.4 b 29 3 13 t (thỏa mãn điều kiện t 0); 2 2a 2.4 4 Với t1 4 x 4 x 16 (t/m) 13 13 169 Với t x x (t/m) 2 4 4 16 169 KL: Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x 16 ; x 1 2 16 b) x 2 x 1 7 0 . Điều kiện: x 1 0 x 1 x 2 x 1 7 0 x 1 2 x 1 8 0 . Đặt t x 1 , điều kiện: t 0 . Phương trình đã cho trở thành: t2 2 t 8 0 (1) có a 1; b 2; c 8 ; ' b '2 ac 1 9 9 0 ; ' 3 . Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: (thỏa mãn điều kiện t 0) b' 1 3 t 2 (loại vì không thỏa mãn điều kiện t 0) 2 a 1 Với t 4 x 1 4 x 1 16 x 15 (t/m) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 15 . b) Phương trình vô tỉ. Phương pháp chung là bình phương hai vế để khử dấu căn. Cần thử lại để loại trừ nghiệm ngoại lai. (ngoài ra có thể dùng cách đặt ẩn phụ đưa về phương trình không có dấu căn giống phần a – dạng ý b bài toán 1) Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  28. 133 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 B(x ) 0 Đặc biệt phương trình: A()() x B x 2 A()() x B x Ta chỉ có thể đem bình phương hai vế để giải bài toán tương đương khi cả hai vế cùng dương. Bài 1: Giải phương trình: a) x 2 x 3 0 c) 25 x2 x 1 b) 4 2x x2 x 2 d) x 4 1 x 1 2 x Hướng dẫn giải x 0 x 0 x 2 x 3 0 2 x 3 x a) 2 2 2x 3 x x 2 x 3 0 x 0 x 3. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 3 x 1 hoÆc x 3 b) 4 2x x2 x 2 x 2 0 x 2 x 2 x 3 2 2 2 4 2x x ( x 2) x 3 x 0 x 0 hoÆc x 3 c) 25 x2 x 1 x 1 0 x 1 x 1 x 4 2 2 2 25 x ( x 1) 2 x 2 x 24 0 x 4 hoÆc x 3 d) x 4 1 x 1 2 x x 4 1 2 x 1 x 1 1 4 x 4 x 2 2 x 4 1 x 2 (1 x )(1 2 x ) 1 2 x (1 x )(1 2 x ) 2 x 1 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  29. 134 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 1 4 x 2 1 1 x 1 2 2 x x 0 2 7 x 0  x (1 x )(1 2 x ) 4 x2 4 x 1 2 1.2.5. Giải phương trình chứa dấu GTTĐ - Ta thường xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối trên mỗi khoảng. Giải phương trình trên mỗi khoảng đó. - Có thể đặt ẩn phụ Bài 1: Giải phương trình a) x 2 x 1 1 b) x 6 x 2 5x 9 Hướng dẫn giải a) x 2 x 1 1 x 1 1 x2 1 x 1 1 x 1 1 x2 0 x 1 x 1 1 x2 x 0 hoÆc x 1 2 x 0 x 1 (1 x ) 2 x 1 1 x x 1 hoÆc x 2 Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1 1; x 2 0 b) x 6 x 2 5x 9 x 6 x2 5 x 9 x 2 6 x 15 0 x 1 2 2 x 6 x 5 x 9 x 4 x 3 0 x 3 Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1 1; x 2 3 Dạng 2: Hệ thức Vi-et và ứng dụng b a) Nếu x; x là hai nghiệm của phương trình ax2 bx c 0 a 0 thì x x và 1 2 1 2 a c x. x 1 2 a Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  30. 135 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 b) Muốn tìm hai số u và v, biết u v S; uv P , ta giải phương trình: x2 Sx P 0 (Điều kiện để có u và vlà SP2 4 0 ) c c) Nếu a b c 0 thì phương trình ax2 bx c 0 a 0 có hai nghiệm x 1; x 1 2 a c Nếu a b c 0 thì phương trình ax2 bx c 0 a 0 có hai nghiệm x 1; x 1 2 a Sử dụng hệ thức Vi-et, biến đổi biểu thức đã cho suất hiện tổng và tích các nghiệm từ đó tính được giá trị biểu thức. Các hệ thức thường gặp: 2 2 2 22 2 xx12 x 1 2 xxx 122 . 2 xxxx 1212 . 2 xxS 12 . 2 P . 2 2 x1 x 2 x 1 x 2 4 x 1 x 2 S 4 P . 2 2 x2 x 1 x 1 x 2 4 x 1 x 2 S 4 P . 2 22 2 xx12 xxxx 1212 xx 1212 xx 4 xx 12 SSP . 4 . xx3 3 xxxxxx 2 . 2 xxxx 2 3 xx . SS . 2 3 P . 12 121122 1212 12 2 2 2 2 xxx4 4 2 x 2 xx 2 2 2 xx 2 . 2 xx 2 2 xx 2 xx 2 2 . 121 2 12 12 12 12 12 2 SPP2 2 2 2 . 1 1 x x S 1 2 . x1 x 2 x 1 x 2 P 2 2 1 1x x x1 x 2 4 x 1 x 2 SP 4 2 1 . x1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 P 2 2 2 2 x x x x x x x x x1 x 2 x 1 x 2 4 x 1 x 2 SSP. 4 1 2 1 2 1 2 1 2 x2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 P xx3 3 xxxxxx 2 2 xxxx 2 xx . 12 121122 1212 12 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  31. 136 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 xx 2 4 xxxx 2 xx . SPSP2 4 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 xxx4 4 2 x 2 xxxx 2 2 2 2 SPSSP 2 2 . 2 4 1 2 1 2 1 2 1 2 . 2 Bài 1: Gọi x1, x 2 là hai nghiệm của phương trình: x x 2 2 0. Không giải phương trình, tính các giá trị của các biểu thức sau: 1 1 2 2 3 3 A ; B x1 x 2 ; C x1 x 2 ; D x1 x 2 . x1 x 2 Hướng dẫn giải Ta có a 1; c 2 2 . Và a. c 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. b S x x 1 1 2 a Theo Vi-et có: c P x x 2 2 1 2 a 1 1x x 1 A 2 1 . x1 x 2 x 1 x 2 2 2 2 2 2 B x1 x 2 x1 x 2 x 1 x 2 1 2 2 3 2 . 2 2 C x1 x 2 x 1 x 2 x1 x 2 4 x 1 x 2 2 2 142 2 942 22 221 221 221. 3 3 3 D x1 x 2 x1 x 2 3 x 1 x 2 x 1 x 2 1 3 2 2 7 3 2 . 2 Bài 2: Gọi x1, x 2 là hai nghiệm của phương trình: x 3 x 7 0 . Không giải phương trình a) Tính các giá trị của các biểu thức sau: 1 1 2 2 A . B x1 x 2 . x1 1 x 2 1 3 3 C x1 x 2 . D x1 x 2 . Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  32. 137 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 4 4 E x1 x 2 . F 3 x1 x 2 3 x 2 x 1 . b) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 1 và 1 . x1 1 x2 1 Hướng dẫn giải a) Ta có a 1; c 7. Và a. c 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. b S x x 3 1 2 a Theo hệ thức Vi-et ta có: c P x x 7 1 2 a 1 1x x 2 1 A 2 1 . x 1 x 1 x x x x 1 9 1 2 1 2 1 2 2 2 2 B x1 x 2 x1 x 2 x 1 x 2 23 . 2 2 C x1 x 2 x 1 x 2 x1 x 2 4 x 1 x 2 37 . 3 3 3 D x1 x 2 x1 x 2 3 x 1 x 2 x 1 x 2 72 . 4 4 22 2 E x1 x 2 S 2 P 2 P 527 2 2 F 3 x1 x 2 3 x 2 x 1 10 x 1 x 2 3 x 1 x 2 1. 1 1x2 x 1 2 1 S x 1 x 1 x x x x 1 9 1 2 1 2 1 2 b) Ta có: 1 1 1 P . x1 1 x 2 1 9 1 1 1 1 Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm là và là: XX2 0 x1 1 x2 1 9 9 2 Bài 3: Gọi x1, x 2 là hai nghiệm của phương trình: 3x 5 x 6 0 . Không giải phương trình, tính các giá trị của các biểu thức sau: x2 x 1 A 3 x1 2 x 2 3 x 2 2 x 1 . B . x1 1 x 2 1 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  33. 138 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 x1 2 x 2 2 C x1 x 2 D . x1 x 2 Hướng dẫn giải Ta có a 3; c 6. Và a. c 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. b 5 S x x 1 2 a 3 Theo Vi-et có: c P x x 2 1 2 a 2 2 2 200 Axxxx 3232131 2 2 1 xx 1 2 6 xx 1 2 136 PSP 2 3 2 x x x x 2 x x x x 2 38 B 2 1 2 1 1 2 2 1 . x 1 x 1 x x x x 1 3 1 2 1 2 1 2 2 2 97 C x x x x x x 4 x x . 1 2 1 2 1 2 1 2 3 x 2 x 2 2x x 2 x x 11 D 1 2 1 2 1 2 . x1 x 2 x 1 x 2 3 2 Bài 4: Gọi x1, x 2 là hai nghiệm của phương trình: 3x 5 x 6 0 . Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thỏa mãn: y1 2 x 1 x 2 và y2 2 x 2 x 1 . Hướng dẫn giải Xét phương trình 3x2 5 x 6 0 có a. c 3.( 6) 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. b 5 x x 1 2 a 3 Theo Vi-et ta có: c x x 2 1 2 a 5 S y y 2 x x 2 x x x x 1 2 1 2 2 1 1 2 3 2 212 Pyy 12 2 xxxx 1221 2 5 xx 12 2 xx 12 2 xx 12 9 5 212 Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm y ; y là : YY2 0 . 1 2 3 9 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  34. 139 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 2 Bài 5. Gọi x1, x 2 là hai nghiệm của phương trình: 2x 3 x 1 0 . Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thỏa mãn: x 2 y 1 1 y1 x 1 2 x2 a) . b) . y x 2 x 2 2 2 2 y2 x1 Hướng dẫn giải Xét phương trình 2x2 3 x 1 0 có a. c 3.( 6) 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm b 3 x x 1 2 a 2 phân biệt. Theo hệ thức Vi-et ta có: c 1 x x 1 2 a 2 11 S y y 1 2 2 a) Ta có: 13 P y y 1 2 2 11 13 Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm y ; y là : YY2 0 . 1 2 2 2 9 S y y 1 2 8 b) Ta có: 1 P y y 1 2 2 9 1 Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm y ; y là : YY2 0 . 1 2 8 2 Dạng 3: Phương trình chứa tham số Các điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước: a) Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2 bx c 0 a 0 có: 1. Có nghiệm (có hai nghiệm) 0 2. Vô nghiệm 0 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  35. 140 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) 0 (Nếu a 0 thì b 0 ) 4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) 0 5. Hai nghiệm cùng dấu 0 và P 0 6. Hai nghiệm trái dấu 0 và P 0 (hoặc a. c 0 ) 7. Hai nghiệm dương (lớn hơn 0) 0 ; S 0 và P 0 8. Hai nghiệm âm (nhỏ hơn 0) 0 ; S 0 và P 0 9. Hai nghiệm đối nhau 0 và S 0 10. Hai nghiệm nghịch đảo của nhau 0 và P 1 11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn a. c 0 và S 0 12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn a. c 0 và S 0 b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho x1 px 2 3 (với p là một số thực) 1- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt . b c 2- Áp dụng định lý Vi – ét tìm: x x (1) và x. x (2) 1 2 a 1 2 a b x1 x 2 3- Kết hợp (1) và (3) giải hệ phương trình: a x1; x 2 x1 px 2 4- Thay x1 và x2 vào (2) Tìm giá trị tham số. c) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện: x1 x 2 k k R 22 2 2 - Bình phương trình hai vế: x1 x 2 k x 1 x 2 4 x 1 x 2 k - Áp dụng định lý Vi-ét tính x1 x 2 và x1. x 2 thay vào biểu thức kết luận. d) Hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m; - Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  36. 141 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 b c - Áp dụng định lý Vi-ét tìm x x (1) và x. x (2) 1 2 a 1 2 a - Biến đổi kết quả không chứa tham số nữa. 4) So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số bất kỳ: Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm ( 0 ) Bước 2: Áp dụng Vi-ét tính x1 x 2 và x1. x 2 (*) +/ Với bài toán: Tìm mđể phương trình có hai nghiệm x1 x 2 0 Thay biểu thức Vi-ét vào hệ để tìm m x1 . x 2 0 +/ Với bài toán: Tìm mđể phương trình có hai nghiệm x1 x 2 0 Thay biểu thức Vi-ét vào hệ để tìm m x1 . x 2 0 +/ Với bài toán: Tìm mđể phương trình có hai nghiệm, trong đó có 1 nghiệm x1 , nghiệm kia x2 x1 . x 2 0 Thay biểu thức Vi-ét vào hệ để tìm m Bài 1: Cho phương trình x2 2 m 1 x m 2 1 0 ( x là ẩn số) a) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. b) Định m để hai nghiệm x , x của phương trình đã cho thỏa mãn: x x2 x 3 x . 1 2 1 2 1 2 Hướng dẫn giải a) 2m 1 2 4. m2 1 5 4 m 5 Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 0 5 4m 0 m 4 5 b) Phương trình có hai nghiệm m 4 x1 x 2 2 m 1 (*) Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 2 x1 x 2 m 1 2 Theo đề bài: x1 x 2 x 1 3 x 2 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  37. 142 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 2 x1 x 2 4 x 1 x 2 x 1 3 x 2 2 2 2m 1 4 m 1 x1 3 x 2 x1 3 x 2 5 4 m ( ) m 1 x1 x1 x 2 2 m 1 2 Từ (*) và ( ) ta có hệ phương trình: x 3 x 5 4 m 3( m 1) 1 2 x 2 2 2 Mặt khác ta có: x1 x 2 m 1 m 1 3( m 1)  m2 1 2 2 3 m2 1 4 m 2 1 m2 1 0 m 1 5 Kết hợp với điều kiện m m 1 (thỏa mãn) là các giá trị cần tìm. 4 Vậy với m 1 hoặc m 1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x , x thỏa mãn: 1 2 2 x1 x 2 x 1 3 x 2 . Phân tích: Đối với yêu cầu đề toán, sau khi ta thế từ hệ thức Vi-et ta được một phương trình liên hệ giữa x1, x 2 thì ta sẽ lập được một hệ phương trình từ đó giải hệ phương trình c với ẩn x; x ta sẽ tìm được ra x và x . Thay vào phương trình x. x ta sẽ giải được ra 1 2 1; 2 1 2 a tham số cần tìm. Bài 2: Tìm m để phương trình x2 5 x 3 m 1 0 ( x là ẩn số, m là tham số) có hai 3 3 nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 x 2 3 x 1 x 2 75 Hướng dẫn giải 52 4.1. 3m 1 29 12 m 29 Để phương trình có hai nghiệm 0 29 12m m 12 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  38. 143 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 x1 x 2 5 Áp dụng hệ thức Vi-ét x1 x 2 3 m 1 Ta có: x3 x 3 3 x x 75 1 2 1 2 x x x x 2 x x 3 x x 75 1 2 1 2 1 2 1 2 x x 25 x x 3 x x 75 1 2 1 2 1 2 75 3x1 x 2 x1 x 2 25 x1 x 2 75 3(3m 1) 78 9m x x x x 1 2 25 (3m 1) 1 2 26 3m 3(26 3m ) x x x x 3 1 2 26 3m 1 2 5 Kết hợp x x 5 suy ra x 1; x 4 Thay vào x x 3 m 1 suy ra m (thỏa mãn 1 2 1 2 1 2 3 29 m ) 12 5 Vậy m là giá trị cần tìm. 3 Bài 3: Cho phương trình x2 10 mx 9 m 0 ( m là tham số) a) Giải phương trình đã cho với m 1. b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa điều kiện x1 9 x 2 0 Hướng dẫn giải a) Với m 1 phương trình đã cho trở thành x2 10 x 9 0 x1 1 Ta có a b c 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là x2 9 b) ' 5m 2 1.9 m 25 m2 9 m Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là ' 0 25m2 9 m 0 (*) Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  39. 144 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 x 2 10 m (*) x1 x 2 9 m ( ) x1 x 2 10 m 10 x 2 10 m x 2 m từ (*) và giả thiết x1 9 x 2 0 ta có hệ phương trình: x1 9 x 2 0 x 1 9 x 2 x 1 9 m 2 m 0 Thay vào phương trình ( ) ta có: x1 x 2 9 m 9m 9 m 9 m ( m 1) 0 m 1 Với m 0 ta có ' 25m2 9 m 0 không thỏa mãn điều kiện phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Với m 1 ta có ' 25m2 9 m 16 0 thỏa mãn điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Kết luận: Vậy với m 1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa điều kiện x1 9 x 2 0 . 2 2 Bài 4: Cho phương trình x 2( m 1) x m m 1 0 ( m là tham số) a) Giải phương trình đã cho với m 0 . 1 1 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện 4 x1 x 2 Hướng dẫn giải a) Với m 0 , phương trình đã cho trở thành: x2 2 x 1 0 ' 2 ; x1,2 1 2 Vậy với m 0 thì nghiệm của phương trình đã cho là x1,2 1 2 . b) ' m 2 Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt 0 m 2 0 m 2 x1 x 2 2( m 1) Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 2 x1 x 2 m m 1 Do đó: Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  40. 145 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 1 1x1 x 2 2(m 1) 4 4 2 4 x1 x 2 x 1 x 2 m m 1 2 2 m 1 m m 1 0 m m 1 0 3 m 1 2( m2 m 1) 2 m 2 m 3 0 m 2 3  Kết hợp với điều kiện m 1;  là các giá trị cần tìm. 2  1 1 Bài 5: Cho phương trình x2 mx m 2 4 m 1 0 ( m là tham số). 2 2 a) Giải phương trình đã cho với m 1 . 1 1 b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn x1 x 2 x1 x 2 Hướng dẫn giải 1 9 a) Với m 1 phương trình trở thành x2 x 0 x 2 2 x 9 0 2 2 ' 10 0 . Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1 1 10; x 2 1 10 b) Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì 0 2 1 12 1 m 4. . m 4 m 1 0 8 m 2 0 m 2 2 4 1 Để phương trình có nghiệm khác 0 m2 4 m 1 0 2 m1 4 3 2 m2 4 3 2 x1 x 2 2 m Áp dụng hệ thức Vi-et ta có 2 x1. x 2 m 8 m 2 1 1 x1 x 2 0 Theo bài ra có x1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 1 0 x1 x 2 x1 x 2 1 0 m 0 2m 0 m 4 19 2 m 8 m 3 0 m 4 19 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  41. 146 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 1 Kết hợp với điều kiện m ; m 4 3 2; m 4 3 2 ta được m 0; m 4 19 4 1 2 Vậy m 0; m 4 19 là các giá trị cần tìm. 2 2 Bài 6: Cho phương trình x 2( m 1) x m 3 0 ( m là tham số). a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm. b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia. Hướng dẫn giải a) Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi ' 0 2 2 m 1 1. m 3 0 2m 4 0 m 2 Vậy m 2 thì phương trình đã cho có nghiệm. b) Với m 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm. Gọi một nghiệm của phương trình đã cho là a thì nghiệm kia là 3a . Theo hệ thức Vi-ét, a 3 a 2 m 2 (1) ta có: 2 a.3 a m 3 (2) 2 m 1 m 1 2 Từ phương trình (1) a thế vào phương trình (2) ta có 3 m 3 2 2 m2 6 m 15 0 có ' 24 0 . Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt: m2 3 2 6; m 2 3 2 6 (thỏa mãn điều kiện m 2 ) Vậy m 3 2 6 là các giá trị cần tìm. Bài 7: Cho phương trình x2 2 x m 2 1 0 ( m là tham số) a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . b) Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình trên theo m . c) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa: x1 3 x 2 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  42. 147 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 Hướng dẫn giải a) Ta có ' 12 1. m 2 1 1 m2 1 m2 2 0 , với mọi m Vì ' 0 , với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . b) Với mọi m , phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x 2 thỏa hệ thức Vi-ét: b 2 S x x 2 1 2 a 1 c m2 1 P x x m2 1 1 2 a 1 c) Ta có x1 x 2 2 (do trên) và x1 3 x 2 nên ta có hệ phương trình sau: x1 x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 x 2 2 x 3 x x 3 x 0 x 3 x 0 1 2 1 2 1 2 x1 x 2 2 x 1 1 2 x 1 3 * 2x 2 x 1 x 1 2 2 2 2 Thay * vào biểu thức x1 x 2 m 1 ta được: 3 .1 m2 1 m 2 2 m 2 Vậy m 2 là các giá trị cần tìm. 2 Bài 8: Cho phương trình x 2( m 1) x m 3 0 ( m là tham số). a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m . 2 2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P x1 x 2 (với x1 , x2 là nghiệm của phương trình đã cho) Hướng dẫn giải 2 '2 2 3 7 a) m1 1. m 3 m 3 m 4 m 0 , m 2 4 Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt. x1 x 2 2( m 1) x 1 x 2 2 m 2 b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1 x 2 m 3 2 x 1 x 2 2 m 6 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  43. 148 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 x1 x 2 2 x 1 x 2 4 0 không phụ thuộc vào m . 2 22 2 2 c) Pxxxx 1 2 1 2 2 xxm 1 2 4 1 2 m 3 4 mm 8 4 2 m 6 2 2 5 15 15 4m 10 m 10 2 m , m 2 4 4 15 5 5 Do đó P và dấu "" xảy ra khi 2m 0 m min 4 2 4 15 5 Vậy P với m . min 4 4 2 Bài 9: Cho phương trình x 2 m 2 x 2 m 0 ( m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 x 2 2 Hướng dẫn giải Phương trình x2 2 m 2 x 2 m 0 x 2 2 m 1 x 2 m 0 Điều kiện PT có 2 nghiệm không âm x1 , x2 là ' 0 m2 1 0 x1 x 2 0 2(m 1) 0 m 0 x x 0 2m 0 1 2 x1 x 2 2 m 1 Theo hệ thức Vi-ét: x1 x 2 2 m Ta có x1 x 2 2 x1 x 2 2 x 1 x 2 2 2m 2 2 2 m 2 m 0 (thoả mãn) Vậy m 0 là giá trị cần tìm. 2 Bài 10: Cho phương trình x 2 m 1 x 2 m 5 0 ( m là tham số). a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 1 x 2 Hướng dẫn giải Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  44. 149 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 2 2 a) Ta có 2 m 1 4.1. 2 m 5 4 m 12 m 22 2 2 2m 2.2 m .3 9 13 2 m 3 13 0 , m Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . x1 x 2 2 m 2 b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có (I) x1 x 2 2 m 5 x1 1 0 Theo giả thiết x1 1 x 2 x 1 1 x 2 1 0 x 1 x 2 x 1 x 2 1 0 (II) x2 1 0 Thay (I) vào (II) ta có: 2m 5 2 m 2 1 0 0. m 2 0 , đúng với mọi m . Vậy với mọi m thì phương trình trên có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 1 x 2 2 Bài 11: Cho phương trình x mx 1 0 (1) ( m là tham số). a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu. b) Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình (1): x2 x 1 x 2 x 1 Tính giá trị của biểu thức: P 1 1 2 2 x1 x 2 Hướng dẫn giải a) Ta có a. c 1. 1 1 0, với m nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m . 2 2 b) Ta có x1; x 2 là nghiệm của phương trình (1) nên ta có: x1 mx 1 1 0 và x2 mx 2 1 0 x2 mx 1 hay 1 1 2 x2 mx 2 1 x2 x 1 x 2 x 1 mx 1 x 1 mx 1 x 1 Do đó P 1 1 2 2 1 1 2 2 x1 x 2 x 1 x 2 x1 m 1 x 2 m 1 m 1 m 1 0 vì x1 , x2 0 . x1 x 2 Vậy P 0 . Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  45. 150 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 2 Bài 12: Xác định giá trị m trong phương trình x 8 x m 0 để 4 3 là nghiệm của phương trình. Với m vừa tìm được, phương trình đã cho còn một nghiệm nữa. Tìm nghiệm còn lại. Hướng dẫn giải Do 4 3 là nghiệm của phương trình nên thỏa mãn phương trình: 2 4 3 8 4 3 m 0 m 13 0 m 13 Thay m 13 vào phương trình ta được phương trình: x2 8 x 13 0 * ' 4 2 1.13 3 x 4 3 Phương trình * có hai nghiệm phân biệt là: 1 x2 4 3 Vậy x 4 3 là giá trị cần tìm. 2 Bài 13: Cho phương trình x 2 x m 3 0 ( m là tham số). a) Tìm m để phương trình có nghiệm x 1. Tính nghiệm còn lại. 3 3 b) Tìm m để hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn hệ thức x1 x 2 8 Hướng dẫn giải a) Vì phương trình x2 2 x m 3 0 có nghiệm x 1 nên ta có: ( 1)2 2.( 1)m 3 0 m 6 0 m 6. Ta có phương trình: x2 2 x ( 6) 3 0 x 2 2 x 3 0 c Ta có a b c 0 nên phương trình có hai nghiệm: x 1; x 3 1 2 a Vậy m 6 và nghiệm còn lại là x 3 . b) ' 12 1. m 3 m 2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt ' 0 m 2 x1 x 2 2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1 x 2 m 3 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  46. 151 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 3 3 Ta có x1 x 2 8 3 (x1 x 2 ) 3 x 1 x 2 ( x 1 x 2 ) 8 23 3.(m 3).2 8 6(m 3) 0 m 3 0 m 3 (thỏa mãn điều kiện) Vậy m 3 là giá trị cần tìm. 1 Bài 14: Cho phương trình x2 2 mx m 2 0 ( m là tham số). 2 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m . b) Tìm m để hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng nhau. c) Tìm m để hai nghiệm đó là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3. Hướng dẫn giải '2 2 1 1 a) m 1. m 0 , m . 2 2 Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m . 2 x1 m b) Hai nghiệm của phương trình là 2 2 x2 m 2 2 2 1 1 Theo đề bài ta có m m m2 2 m m 2 2 m 2 2m 0 m 0 2 2 2 2 c) Giả sử phương trình có hai nghiệm là x1; x 2 . Theo đề bài đó là số đo của 2 cạnh góc 2 2 2 vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3 nên ta có x1 x 2 3 9 Vậy ta có: 2 2 2 2 2 2 m 2 m m 9 2 m 8 0 m 4 0 2 2 m 2 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  47. 152 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 m 2 Vậy là các giá trị cần tìm. m 2 Bài 15: Cho phương trình x2 2 x m 2 1 0 ( m là tham số) a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . b) Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình trên theo m . c) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa: x1 3 x 2 Hướng dẫn giải a) Ta có ' 12 1. m 2 1 1 m2 1 m2 2 0 , với mọi m Vì ' 0 , với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . b) Với mọi m , phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x 2 thỏa hệ thức Vi-ét: b 2 S x x 2 1 2 a 1 c m2 1 P x x m2 1 1 2 a 1 c) Ta có x1 x 2 2 (do trên) và x1 3 x 2 nên ta có hệ phương trình sau: x1 x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 x 2 2 x 3 x x 3 x 0 x 3 x 0 1 2 1 2 1 2 x1 x 2 2 x 1 1 2 x 1 3 * 2x 2 x 1 x 1 2 2 2 2 2 2 Thay * vào biểu thức x1 x 2 m 1 ta được: 3 .1 m 1 m 2 m 2 Vậy m 2 là các giá trị cần tìm. 2 2 Bài 16: Tìm tất cả các số tự nhiên m để phương trình x m x m 1 0 ( m là tham số) có nghiệm nguyên. Hướng dẫn giải 2 m2 4.1. m 1 m 4 4 m 4 Phương trình có nghiệm nguyên khi m4 4 m 4 là số chính phương Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  48. 153 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 m 0 Nếu thì 0 (loại) m 1 Nếu m 2 thì 4 22 (nhận) Nếu m 3 thì 2m m 2 5 2 m2 4 m 5 0 2m2 4 m 5 4 m 4 m4 2 m 2 1 m 4 2 2 m2 1 m 2 không là số chính phương. Vậy m 2 là giá trị cần tìm Bài 17: Cho phương trình: x2 2 m 4 x m 6 0 a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. 1 1 b) Tính theo m biểu thức A rồi tìm m để A . x1 x 2 Hướng dẫn giải 2 a) Ta có: ' m 4 m 6 ' m 4 2 m 6 ' m2 8 m 16 m 6 ' m2 9 m 22 2 9 7 ' m 0,  m 2 2 Do ' 0, m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b) Theo câu a, ' 0, m nên phương trình luôn có hai nghiệm x1, x 2 thỏa hệ thức Vi-ét: b x x 2 m 4 2 m 4 2 m 8 1 2 a c x1. x 2 m 6 a Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  49. 154 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 1 1x x 2m 8 2 m 6 12 8 Có: A 1 2 x1 x 2 x 1. x 2 m 6 m 6 2 m 6 4 2 m 6 4 4 2 m 6 m 6 m 6 m 6 4 Để A thì suy ra 4 m 6 hay m 6 Ư(4)= 4; 2; 1;1;2;4 m 6 Lập bảng: m 6 4 2 1 1 2 4 m 2 4 5 7 8 10 Vậy m 2;4;5;7;8;10 thì A . Bài 18: Cho phương trình: x2 2 m 2 x 2 m 0 1 với x là ẩn số. a) Chứng tỏ phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x 2 2 b) Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức x2 x 1 x 1 Hướng dẫn giải 2 2 2 a) Ta có: ' m 2 2 m m 2 2 m m 4 m 4 2 m m2 2 m 4 m 1 2 3 0,  m Do ' 0, m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b) Theo câu a, ' 0, m nên phương trình luôn có hai nghiệm x1, x 2 thỏa hệ thức Vi-ét: b S x x 2 m 2 2 m 2 2 m 4 1 2 a c P x. x 2 m 1 2 a 2 2 Có x1 là nghiệm của phương trình nên ta có x1 2 m 2 x 1 2 m 0 x 1 2 m 2 x 1 2 m 2 Theo đề toán: x2 x 1 x 1 x2 x 1 2 m 2 x 1 2 m 2m 4 x1 x 1 2 m 2 x 1 2 m 4 2x1 2 m 4 x 1 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  50. 155 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 4 2 x x 12 2m 1 1 m 2 2 2 2 Thay x1 vào 1 ,ta được: 2 m 2 2 m 0 1 m 1 m 1 m 2 4 4 m 2 1 m 2 m 1 m 0 1 m 2 1 m 2 1 m 2 4 4 m2 3 m 2 2 m 1 2 m m 2 0 4 4m2 12 m 8 2 m 4 m 2 2 m 3 0 3 2 2m 8 m 14 m 12 0 m3 4 m 2 7 m 6 0 m 2 m2 2 m 3 0 m 2 . Vậy m 2 là giá trị cần tìm. Bài 19: Cho phương trình: x2 2 x 2 m 2 0 1 với x là ẩn số. a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m . 2 2 b) Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức x1 4 x 2 . Hướng dẫn giải a) Ta có: ' 1 2 2m2 1 2 m 2 0,  m Do ' 0, m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b) Theo câu a, ' 0, m nên phương trình luôn có hai nghiệm x1, x 2 thỏa hệ thức Vi-ét: b S x x 2 2 1 2 a c P x. x 2 m2 3 1 2 a 2 2 x1 2 x 2 Có: x1 4 x 2 x1 2 x 2 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  51. 156 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 4 x 1 x1 2 x 2 3 4 2 2 TH1: thay vào 3 .Ta được:  2m (vô lý) x x 2 2 3 3 1 2 x 2 3 x1 2 x 2 x 1 4 2 2 TH2: thay vào 3 . Ta được: 4 2 2m m 4 m 2 x1 x 2 2 x 2 2 Vậy m 2 là giá trị cần tìm . Bài 20: Cho phương trình: x2 – 5 x m 0 1 ( m là tham số). a) Giải phương trình trên khi m 6 . b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x 2 thỏa mãn: x1 x 2 3. Hướng dẫn giải a) Với m 6 phương trình 1 trở thành x2 – 5 x 6 0 * 25 – 4.6 1 0 . Suy ra phương trình có hai nghiệm: x1 3; x 2 2. b) Ta có: 25 4m 25 Để phương trình đã cho có 2 nghiệm x, x thì 0 m . 1 2 4 Kết hợp với hệ thức Vi-ét, ta có : x1 x 2 5 x 1 1 x1 x 2 5 1 x1 x 2 5 x1 x 2 3 x 2 4 x x m 2 . Giải hệ 1 , 3 : 4 1 2 x1 x 2 3 x x 5 x 4 1 2 1 x1 x 2 3 3 x1 x 2 3 x 2 1 Từ 2 và 4 suy ra: m 4 . Thử lại thì thoả mãn. Vậy m 4 là giá trị cần tìm. Bài 21: Cho phương trình x4 ( m 2 4 m ) x 2 7 m 1 0 . Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt và tổng bình phương tất cả các nghiệm bằng 10 Hướng dẫn giải Đặt X x2 X 0 Phương trình trở thành X4 ( m 2 4 m ) X 2 7 m 1 0 (1) Phương trình có 4 nghiệm phân biệt (1) có 2 nghiệm phân biệt dương Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  52. 157 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 2 2 0 (m 4 m ) 4(7 m 1) 0 2 S 0 m 4 m 0 (I) P 0 7m 1 0 Với điều kiện (I), (1) có 2 nghiệm phân biệt dương X1 , X 2 . Phương trình đã cho có 4 nghiệm x1,2 X 1 ; x X 3,4 2 2 2 2 2 2 x1 x 2 x 3 x 4 2( X 1 X 2 ) 2( m 4 m ) 2 2 m 1 Vậy ta có 2(m 4 m ) 10 m 4 m 5 0 m 5 Với m 1, (I) thỏa mãn Với m 5 , (I) không thỏa mãn. Vậy m 1 là giá trị cần tìm. Bài 22: Cho phương trình: x2 2 m 1 m 2 m 6 0 * a) Tìm m để phương trình * có hai nghiệm. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm âm. c) Tìm m để phương trình * có hai nghiệm x , x thỏa mãn x3 x 3 50 . 1 2 1 2 Hướng dẫn giải a) 2m 1 2 4 m2 m 6 25 0 25 0 với mọi giá trị của m. Vậy phương trình * luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . x x m2 m 6 b) Theo Vi-et ta có: 1 2 x1 x 2 2 m 1 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  53. 158 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 2 x1. x 2 0 m m 6 0 Để phương trình * có hai nghiệm âm thì: x1 x 2 0 2m 1 0 m 3 hoÆc m 2 1 m 3 m 2 Vậy với m 3 thì phương trình * luôn có hai nghiệm âm. c) Với 25 suy ra x1 m 2; x 2 m 3 3 3 3 3 2 Theo giả thiết, ta có: x1 x 2 50 m 2 m 3 50 5 3m 3 m 7 50 1 5 m1 m2 m 1 0 2 . 1 5 m2 2 Bài 23: Cho phương trình: 2x2 2 m 1 x m 1 0 a) Giải phương trình khi m 2 . b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ;x 2 thỏa mãn 3x1 4 x 2 11 c) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x1 ;x 2 không phụ thuộc vào m . d) Với giá trị nào của m thì x1 ;x 2 cùng dương. Hướng dẫn giải a) Với m 2 phương trình trở thành 2x2 3 x 1 0 . Ta có a b c 2 3 1 0 . Vậy phương trình có 2 nghiệm c 1 x 1; x 1 2 a 2 1  Vậy phương trình có tập nghiệm S; 1  2  b) Ta có b2 4 ac 2 m 1 2 4 . 2 . m 1 4m2 12 m 9 2 m 3 2 Vì 2m 3 2 0 với mọi m nên 0 với mọi m Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  54. 159 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm x1 ;x 2 với mọi m Theo hệ thức Vi-et ta có : 1 2m x x 1 1 2 2 m 1 x x 2 1 2 2 Kết hợp 3x1 4 x 2 11 và (1) ta có hệ 13 4m 13 4 m 1 2m x1 x 1 x1 x 2 4x1 4 x 2 2 1 2 m 7 7 2 1 2m 19 6 m 3x1 4 x 2 11 3x1 4 x 2 11 x1 x 2 x 2 2 14 Thay x1 ;x 2 vào pt (2) ta có m 1 x .x 1 2 2 13 4m 19 6 m m 1 . 7 14 2 24m2 51 m 198 0 8m2 17 m 66 0 m 2 33  33 TM . Vậy m 2 ;  m 8  8 c) Theo Vi-et ta có: 1 2m x1 x 2 2 2 x1 x 2 1 2 m 2 x 1 x 2 1 2 m m 1 2x x m 1 4 x x 2 m 2 x x 1 2 1 2 1 2 2 2 x1 x 2 4 x 1 x 2 1 Vậy hệ thức liên hệ 2 x1 x 2 4 x 1 x 2 1 có giá trị không phụ thuộc vào m . d) Theo câu b phương trình luôn có nghiệm với mọi m Để phương trình có hai nghiệm cùng dương thì Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  55. 160 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 1 2m 0 1 x1 x 2 0 2 1 2m 0 m 2 m  x1 x 2 0 m 1 m 1 0 0 m 1 2 Vậy không có giá trị nào của m để phương trình có hai nghiệm dương. Bài 24: Cho phương trình bậc hai: x2 2()( m 1 x m 1) 0 1 a) Tìm giá trị m để phương trình 1 có một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1. b) Tìm giá trị m để phương trình 1 có hai nghiệm đều nhỏ hơn 2 . Hướng dẫn giải 1 7 a) Ta có: ' (m 1)2 m 1 ( m ) 2 0,  m . Nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm 2 4 phân biệt với mọi m. Theo hệ thức Vi- ét ta có x1 x 2 2 m 1 x1. x 2 m 1 Để phương trình (1) có một nghiệm lớn hơn1 , một nghiệm nhỏ hơn 1 thì x1 1 x 2 1 0 x1 x 2 x 1 x 2 1 0 m 1 2 m 1 1 0 m 2 Cách 2: Đặt y x 1 x y 1 thì phương trình (1) trở thành: y + 1 2 2( m 1) y + 1 () m 1 0 y2 2 m . y + m 2 0 (2) Để phương trình (1) có một nghiệm x1 lớn hơn1 , một nghiệm x2 nhỏ hơn 1 thì phương trình (2) có hai nghiệm y1 ;y 2 trái dấu m 2 0 m 2 b) Để phương trình có hai nghiệm đều nhỏ hơn 2 thì 1 x2x201 2 xx2xx 1 2 1 2 40 m 1 3 m x 2 x 2 0 x x 4 3 1 2 1 2 m 1 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  56. 161 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 Bài 25: Cho phương trình x2 (2 m 3) x m 2 3 m 2 0 a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. b) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 2 .Tìm nghiệm còn lại. c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 3 x1 x 2 6 d) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia. Hướng dẫn giải a) Ta có: (2m 3)2 4.1.( m 2 3 m 2) 4m2 12 m 9 4 m 2 12 m 8 1 0 Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . b) Vì phương trình có một nghiệm bằng 2 nên ta thay x 2 vào phương trình có: 22 (2m 3)2 m 2 3 m 2 0 4 4m 6 m2 3 m 2 0 m2 m 0 m( m 1) 0 m 0 m 1 x x 2 m 3 2 x 2 m 3 1 2 x 2 2 Theo hệ thức Vi-et ta có: 2 thay 1 : 2 x1. x 2 m 3 m 2 2.x2 m 3 m 2 2 x2 3 Với m 0 thay vào ta có: x2 1 2.x2 2 2 x2 5 Với m 1 thay vào ta có: x2 3 2.x2 6 x1 x 2 2 m 3 c) Theo trên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt thỏa: 2 x1. x 2 m 3 m 2 3 x1 x 2 0 x 1 3 x 2 3 Vì 3 x1 x 2 6 nên x1 x 2 6 x 1 6 x 2 6 0 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  57. 162 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 (x1 3) ( x 2 3) 0 x 1 x 2 6 0 (x1 3)( x 2 3) 0 x 1 . x 2 3.( x 1 x 2 ) 9 0 (x1 6) ( x 2 6) 0 x 1 x 2 12 0 (x1 6)( x 2 6) 0 x 1 . x 2 6( x 1 x 2 ) 36 0 9 m 2m 3 6 0 2 m 9 0 2 m2 3 m 2 3(2 m 3) 9 0 m 2 9 m 20 0 ( m 4)( m 5) 0 2m 3 12 0 2 m 9 0 9 m m2 3 m 2 6(2 m 3) 36 0 m 2 9 m 20 0 2 (m 4)( m 5) 0 9 m 2 m 5 m 4 4 m 4 9 m 2 m 4 m 5 Vậy 4 m 4 Cách 2: Ta tính 1 0 Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt : 2m 3 1 x2 m 2 2 2m 3 1 x m 1 1 2 Vì 3 x1 x 2 6 nên 3 m 1 m 2 6 m 1 3 m 4 4 m 4 m 2 6 m 4 d) Phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia : 2m 3 1 2m 3 1 Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt : x m 1; x m 2 1 2 2 2 Theo yêu cầu đề toán : nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia : Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  58. 163 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 2 Trường hợp 1: x2 x 1 m 2 ( m 1)2 m 2 m2 2 m 1 m2 m 1 0 1 5 m 2 2 Trường hợp 2 : x1 x 2 m 1 m 2 2 (*) m2 4 m 4 m 1 0 m2 3 m 3 0 0 Phương trình (*) vô nghiệm. 1 5 Kết luận: m là giá trị cần tìm 2 Bài 26: Cho phương trình mx2 2( m 2) x m 3 0 a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn. c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m . 2 2 d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x1 x 2 Hướng dẫn giải a) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì m 0 và a. c 0 m( m 3) 0 m 0 m 0 m 3 0 m 3 0 m 3 m 0 m 0 m 3 0 m 3 b) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  59. 164 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 m 0 m 0 m 0 m 0 2 4(m 2) 4 m ( m 3) 0 2 2 m 4 m 4 m 3 m 0 m 4 0 2(m 2) 0 m 0 m 0 S 0 m m 2 m 2 P 0 m 3 0 0 m 3 0 m 3 m 2 m 3 c) Để phương trình đã cho có nghiệm x1, x 2 thì m 0 và 0 m 0 và m 4 2(m 2) 4 12 x x 2 3(x x ) 6 1 2 m m 1 2 m Khi đó theo Vi-ét ta có: m 3 3 12 x. x 1 4x . x 4 1 2 m m 1 2 m 3(x1 x 2 ) 4 x 1 x 2 2 . Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m . d) Với m 0 và m 4 thì phương trình luôn có hai nghiệm x1, x 2 thỏa mãn 2(m 2) x x 1 2 m m 3 x. x 1 2 m 2 2 2 Ta có: A x1 x 2 ( x 1 x 2 ) 2 x 1 x 2 2 2(m 2) m 3 2. m m 4(m2 4 m 4) 2 m 6 m2 m 4m2 16 m 16 2 m 2 6 m m2 2m2 10 m 16 m2 2 10 16 4 4 5 25 7 2 2 2. . m m m m 4 16 16 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  60. 165 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 2 4 5 7 7 m 4 16 16 7 4 5 16 A . Dấu “=” xảy ra khi m (tm) min 16 m 4 5 7 16 Vậy GTNN của x2 x 2 là xảy ra khi m 1 2 16 5 Bài 27: Cho phương trình bậc hai mx2 (5 m 2) x 6 m 5 0 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau. Hướng dẫn giải a) Xét phương trình mx2 5 m 2 x 6 m 5 0 Để để phương trình có hai nghiệm đối nhau thì: a 0 m 0 2 0 5m 2 4.m. 6 m 5 0 x x 0 5m 2 1 2 0 m m 0 2 m2 4 0 (luôn đúng với mọi m) m (thỏa mãn) 5 5m 2 0 2 Vậy m thì phương trình có hai nghiệm đối nhau. 5 b) Xét phương trình mx2 5 m 2 x 6 m 5 0 Để để phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau thì: a 0 m 0 2 0 5m 2 4.m. 6 m 5 0 x. x 1 6m 5 1 2 1 m Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  61. 166 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 m 0 m2 4 0 (luôn đúng với m ) m 1 (thỏa mãn) 6m 5 m Vậy m 1 thì phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau. Bài 28: Tỉm giá trị m để phương trình: a) 2x2 mx m 3 0 có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương. b) x2 2( m 1) x m 3 0 có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối. Hướng dẫn giải a) Xét phương trình 2x2 mx m 3 0 để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì: a. c 0 2.( m 3) 0 m 3 . 1 Với m 3 , áp dụng hệ thức Vi – ét ta có: b m x x x x 1 2 a 1 2 2 c m 3 x x x x 1 2a 1 2 2 Có nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương suy ra : m x x trong đó x 0 ; x 0 nên x x x x 0 0 m 0 . 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 Từ 1 và 2 suy ra 0 m 3 . Vậy 0 m 3 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương. Chú ý: Đề bài có nghĩa tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm trái dấu và tổng hai nghiệm âm. b) x2 2( m 1) x m 3 0 có hai nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối. Xét phương trình: x2 2( m 1) x m 3 0 (2) có: ( a 1; b 2( m 1); c m 3 ) PT (2) có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  62. 167 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 a 0 a 0 1 0 m 3 0 m 3 P0 a . c 0 1.( m 3) 0 m 1 m 1 0 m 1 S 0 b 2( m 1) 0 0 a 1 Vậy với m = 1 thì pt đã cho có hai nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối. Bài 29: Cho phương trình: x2 2 m 1 x m 2 3m 0 (1) a) Giải phương trình khi m 1. b) Tìm m để pt (1) có nghiệm. 1 1 c) Tìm m để (1) có hai nghiệm x1 , x 2 thỏa mãn 1 x1 x 2 Hướng dẫn giải a) Thay m 1 vào (1) ta có: x2 4 x 4 0 x 2 2 0 x 2 Vậy với m 1 thì phương trình có nghiệm x 2. b) Ta có: ' m 1 Để pt (1) có nghiệm thì ' 0 m 1 0 m 1. Vậy với m 1 thì pt (1) có nghiệm. 2 c) Áp dụng hệ thức Viet ta có: x1 x 2 2 m 1 ; x 1 x 2 m 3 m 1 1 1 x1 x 2 x1 x 2 x 1 x 2 0 2m 2 m2 3 m 0 m2 m 2 0 2 Ta có: a b c 1 1 2 0 Phương trình (2) có hai nghiệm m1 1;m 2 2 1 1 Vậy với m { 1;2} thì pt (1) có hai nghiệm x1 , x 2 thỏa mãn 1. x1 x 2 Bài 30: Cho phương trình x2 2 m 1 x 4 m 0 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  63. 168 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 a) Xác đinh m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó b) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 4 . Tính nghiệm còn lại. c) Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu) d) Với điều kiện nào cửa m thì phương trình có hai nghiệm cùng dương (cùng âm) e) Định m để phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia f) Định m để phương trình có hai nghiệm x1; x 2 thỏa mãn 2x1 x 2 2 2 2 g) Định m để PT có hai nghiệm x1; x 2 sao cho A 2 x1 2 x 2 x 1 x 2 nhận giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn giải a) ' m 1 2 1.4 m m2 2 m 1 m 1 2 Để PT có nghiệm kép ' 0 m 1 0 m 1 b) x 4 là một nghiệm của phương trình nên ta có 42 2 m 1 .4 4 m 0 4m 8 0 m 2 Với m 2 phương trình trở thành x2 6 x 8 0 x 2 x 4 0 x 2 0 x 2 x 4 0 x 4 Vậy nghiệm còn lại của phương trình là x 4 c) ' m 1 2 0  m Phương trình có hai nghiệm x1; x 2 . Áp dụng đinh lý Vi-et: x x 2 m 2 1 2 x1. x 2 4 m - Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu 4m 0 m 0 - Để phương trình có hai nghiệm trái dấu 4m 0 m 0 d) với m 0 PT có hai nghiệm cùng dấu . Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  64. 169 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 TH1: x1; x 2 cùng dấu dương 2m 2 0 m 1 Kết hợp m 1với điều kiện m 0 m 0 TH2: x1; x 2 cùng dấu âm 2m 2 0 m 1 m 1với điều kiện m 0 Vậy không có giá trị m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm e) Áp dụng đinh lý Vi-et: x1 x 2 2 m 2 (*) x1. x 2 4 m ( ) Không mất tính tổng quát ta giả sử: x1 2 x 2 x 1 2 x 2 0 2m 2 2m 2 x 2 x1 x 2 2 m 2 x2 3 Kết hợp với (*) ta có hệ phương trình: 3 x1 2 x 2 0 4 m 4 x1 2 x 2 x1 3 Thay vào phương trình ( ) ta có 2(m 1).4(m 1) x. x 4 m 4 m 1 2 9 2(m 1)2 9 m 2m2 5 m 2 0 1 m 2; m . Thỏa mãn. 1 2 2 1 Vậy với m 2; m thì phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn nghiệm này bằng hai 1 2 2 lần nghiệm kia. f) Định m để phương trình có hai nghiệm x1; x 2 thỏa mãn 2x1 x 2 2 2x1 x 2 2 (1) x1 x 2 2 m 2 (2) x1 x 2 4 m (3) Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  65. 170 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 Từ phương trình (1) và (2) ta có hệ phương trình 2m x 1 3x1 2 m 3 x 2 x 2 4m 6 2 1 x 2 3 2m 4 m 6 Thay vào phương trình (3) ta có: . 4m 3 3 m2 3 m 0 m 0 m m 3 0 (thỏa mãn). m 3 Vậy với m = 0 hoặc m 3 thì phương trình có hai nghiệm x1; x 2 thỏa mãn 2x1 x 2 2 2 2 g) A 2 x1 2 x 2 x 1 x 2 2 2 2 x1 x 2 x 1 x 2 2 2 x1 x 2 5 x 1 x 2 2 2m 2 2 5.4 m 8m2 4 m 8 2 1 15 15 8 m  m 4 2 2 15 1 A . Dấu "" xảy ra m () tm min 2 4 1 Vậy m để A đạt giá trị nhỏ nhất. 4 . BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Giải các phương trình: a) x2 x 1 x 2 x 2 40 ; 2 1 1 b) x 2 2 x 6 0 . x x Bài 2: Cho phương trình: x2 m 5 x 3 m 2 0. 1 a) Chứng minh rằng phương trình 1 luôn có nghiệm x1 3 với mọi giá trị của m ; Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  66. 171 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 b) Tìm m để phương trình 1 có nghiệm kép; c) Tìm m để phương trình 1 có nghiệm x2 1 2 . Bài 3: Không giải phương trình, hãy tính tổng các bình phương và hiệu các bình phương các nghiệm của phương trình: a) x2 5 x 6 0; b) 7x2 x 2 0 . Bài 4: Không giải phương trình, xét dấu các nghiệm của phương trình sau: a) 1 2 x2 7 x 1 2 0 ; b) 5x2 8 x 1 0 ; c) x2 2 2 x 2 0. Bài 5: Cho phương trình m 4 x2 2 m 3 x 2 0. 1 a) Chứng minh rằng phương trình 1 luôn có nghiệm với mọi m ; b) Tìm m để phương trình có một nghiệm là 1. Khi đó tìm nghiệm thứ hai của phương trình. Bài 6: Cho phương trình x2 2 m 1 x 2 m 0. 1 a) Chứng tỏ rằng phương trình 1 luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x 2 với mọi giá trị của m ; b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x 2 không phụ thuộc vào m , từ đó hãy biểu thị x2 theo x1 ; 2 2 c) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x1 x 2 . Bài 7: Cho phương trình mx2 2 m 5 x m 2 0. 1 a) Xác định m để phương trình 1 có nghiệm; b) Xác định m để phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x1, x 2 sao cho 6x1 1 6 x 2 1 2 . Bài 8: Cho phương trình x2 10 x m 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x 2 sao cho: a) x1 4 x 2 ; 3 3 b) x1 x 2 370 . Bài 9: Cho phương trình x2 2 mx 2 m 1 0 . Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x 2 thỏa mãn x1 3 x 2 14 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  67. 172 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 Bài 10: Cho phương trình x2 2 m 1 x m 2 4 m 13 0. 1 a) Xác định m để phương trình 1 có nghiệm; b) Xác định m để phương trình 1 có nghiệm âm. ề đ BẤT ĐẲNG THỨC ủ h C 8 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán bất đẳng thức. H. BẤT ĐẲNG THỨC . KIẾN THỨC LÍ THUYẾT 1. Định nghĩa bất đẳng thức Ta gọi hệ thức dạng a b (hay a b;;) a b a b là bất đẳng thức. Tính chất của bất đẳng thức 1. a b b a. 3. a b a c b c. 4. a b a. c b . c c 0 . 2. a b;. b c a c a b a. c b . c c 0  5. Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều được một bất đẳng thức cùng chiều.  6. Trừ từng vế của hai bất đẳng thức khác chiều được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức thứ nhất.  7. Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm, ta được một bất đẳng thức cùng chiều. Đặc biệt: a b 0 a2 b 2 ; a b a 2n b 2 n . a b a2n 1 b 2 n 1 . 1 1  8.Nếu a b 0 thì . a b 2. Một số hằng bất đẳng thức hay dùng. a b  1. Nếu a và b là hai số cùng dấu thì 2 (dấu = xảy ra a b). b a 1 1 4  2. Nếu a, b 0 thì (dấu xảy ra a b). a b a b Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  68. 173 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9  3. a b a b (dấu xảy ra khi a. b 0 ).  4. a b a b (dấu xảy ra khi a b 0 hoặc a b 0)  5. Bất đẳng thức Cô-si a b Với a, b 0 thì ab hay a b 2 ab . (dấu xảy ra khi a b ). 2 Vài dạng khác của bất đẳng thức Cô-si. 1 2 ( a, b 0) ). ab a b 2 a b 2 2 2 ab; a b 4 ab ; a b 2 ab . 2 2 a b a2 b 2 ab . 2 2 3. Phương pháp chứng minh bất đẳng thức 1. Phương pháp dùng định nghĩa của bất đẳng thức: Muốn chứng minh a b , ta chứng minh a b 0. Muốn chứng minh a b, ta chứng minh a b 0. 2. Phương pháp biến đổi tương đương: ABABABCD 1 2 2 2  . Nếu bất đẳng thức cuối đúng thì bất đẳng thức đầu đúng. 3. Phương pháp vận dụng tính chất của bất đẳng thức và vận dụng những hằng bất đẳng thức quen thuộc: Từ các bất đẳng thức đã biết ta dùng các tính chất của bất đẳng thức để suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. 4. Phương pháp phản chứng: Muốn chứng minh AB , ta giả sử AB rồi suy ra một điều vô lí (mâu thuẫn với điều đã cho hoặc đã biết), từ đó suy ra điều giả sử là sai, điều phải chứng minh là đúng. . BÀI TẬP Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: a b b c c a 8abc Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: a b b c c a 2 ab.2 bc.2 ac 8abc (đpcm) Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  69. 174 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 Bài 2: Cho 4 số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng: ac bd a b c d Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: ac bd a c b d . . a b c d a b c d a b c d 1 a c 1 b d 1 a b c d 1 2 a b c d 2 a b c d 2 a b c d ac bd a b c d (đpcm) a c Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa . b c Chứng minh rằng c a c c b c ab Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: c a c c b c c a c c b c . . ab b a a b 1 c a c 1 c b c 2 b a 2 a b 1 c c 1 c c 1 1 1 2 b a 2 a b c a c c b c ab (đpcm) a 1 Bài 4: Cho 2 số thực dương a, b thỏa . Chứng minh rằng: a b 1 b a 1 ab b 1 Hướng dẫn giải 1 ab Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: a b 1 a ab a a ab a (1) 2 2 ab Tương tự: b a 1 (2) 2 Cộng theo vế (1) và (2), ta được: a b 1 b a 1 ab (đpcm) Bài 5: Cho 2 số thực dương a, b. Chứng minh rằng: 16ab a b 2 a b 4 Hướng dẫn giải Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  70. 175 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: 2 2 2 2 2 2 4ab a b a b 4 16ab a b 4. 4ab a b 4. 4. a b (đpcm) 2 2 a b Bài 6: Cho 2 số thực dương a, b. Chứng minh rằng: ab a b 1 b a Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: a b ab a ab b a b ab a ab b a b ab 2 . 2 . 2 . a b 1 b a 2 2b 2 2a 2b 2a 2 2b 2 2a 2b 2a (đpcm) a b Bài 7: Chứng minh rằng: 2 , a,b 0 b a Hướng dẫn giải a b Vì a,b 0 nên 0, 0 b a Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: a b a b 2 . 2 (đpcm) b a b a 1 Bài 8: Chứng minh rằng: a 3 , a 1 a 1 Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: 1 1 1 a a 1 1 2 a 1 1 2 1 3 (đpcm) a 1 a 1 a 1 a 2 2 Bài 9: Chứng minh rằng: 2 , a R a 2 1 Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: a 2 2 a 2 1 1 1 1 a 2 1 2 a 2 1 2 (đpcm) a 2 1 a 2 1 a 2 1 a 2 1 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  71. 176 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 3a2 1 Bài 10: Chứng minh rằng: , a 0 1 9a4 2 Hướng dẫn giải Với a 0 , áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: 3a2 1 1 1 1 (đpcm) 4 4 1 1 9a 1 9a 2 1 2 2 2 3a 2 .3a 3a2 3a2 3a 3a2 2 2 2 a Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A a 1 2 , a 1 a 1 Hướng dẫn giải 2 2 2 a 2a 2 A a 1 a 1 2 2 2 a 1 1 a 1 a 1 2 2 1 a 1 a 1 a 1 1 Cauchy 1 2 a 1 2 2 2 2 a 1 2 2 2 2 2 a 1 2 a 1 2 1 2 4 8 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 a 1 2 hay a a 1 2 2 Vậy GTNN của A 2 2 2 1 Bài 12: Chứng minh rằng: a 3 , a b 0 b(a b) Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: 1 1 1 a b a b 33 b. a b . 3 b a b b a b b a b bc ca ab Bài 13: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR: a b c a b c Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  72. 177 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 Hướng dẫn giải Ta có: bc ca ab 1 bc ca 1 ca ab 1 ab bc a b c 2 a b 2 b c 2 c a bc ca ca ab ab bc . . . a b c a b b c c a a 2 b2 c 2 b c a Bài 14: Cho ba số thực abc 0 . CMR: b2 c 2 a 2 a b c Hướng dẫn giải Ta có: a 2 b 2 c 2 1 a 2 b 2 1 b 2 c 2 1 c 2 a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a 2 b c 2 c a 2 a b a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 b c a b c a . . b 2 c 2 c 2 a 2 a 2 b 2 a b c a b c Bài 15: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa abc 1. CMR b c c a a b a b c 3 a b c Hướng dẫn giải b c c a a b2 bc 2 ca 2 ab bc ca ab 2 a b c a b c a b c bc ca ca ab ab bc a b b c c a bc ca ca ab ab bc 2 2 2 a b b c c a 2 a b c a b c a b c a b c 33 a b c a b c 3 b c c a a b Vậy a b c 3 a b c b c c a a b Bài 16: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR: 6 a b c Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  73. 178 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 Hướng dẫn giải Ta có: b c c a a b b c c a a b 1 1 1 3 a b c a b c a b c b c a c a b 3 a b c 1 1 1 a b c 3 9 3 6 a b c  Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên. Xét các bài toán sau: 1 Bài 1: Cho số thực a 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của A a a 1 1 Sai lầm thường gặp là: A a 2 a. 2 . Vậy GTNN của A là 2. a a 1 Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 2 a a 1vô lý vì theo giả thuyết thì a a 2 . 1 a 1 3a a 1 3a 3.2 5 Lời giải đúng: A a 2 . 1 a 4 a 4 4 a 4 4 2 a 1 Dấu “=” xảy ra hay a 2 4 a 5 Vậy GTNN của A là . 2 Vì sao chúng ta lại biết phân tích được như lời giải trên. Đây chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức. Quay lại bài toán trên, dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng. Ta dự đoán A đạt GTNN khi a 2 . Khi đó ta nói A đạt GTNN tại “Điểm rơi a 2 ” . Ta không thể áp dụng bất Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  74. 179 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 1 đẳng thức AM - GM cho hai số a và vì không thỏa quy tắc dấu “=”. Vì vậy ta phải a 1 tách a hoặc để khi áp dụng bất đẳng thức AM - GM thì thỏa quy tắc dấu “=”. Giả sử a a 1 ta sử dụng bất đẳng thức AM - GM cho cặp số , sao cho tại “Điểm rơi a 2 ” thì a a 2 a 1 2 1 , ta có sơ đồ sau: a 2 4 a 1 1 2 a 2 1 a 3a 1 Khi đó: A a và ta có lời giải như trên. a 4 4 a a 1 Lưu ý: Để giải bài toán trên, ngoài cách chọn cặp số , ta có thể chọn các các cặp số sau: a 1 1 a, hoặc a, hoặc a, . a a a 1 Bài 2: Cho số thực a 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A a a 2 Sơ đồ điểm rơi: a 2 2 1 a 2 8 1 1 4 a 2 4 a 1 7a a 1 7a 1 7a 1 7.2 9 Sai lầm thường gặp là: A 2 . . 8 a 2 8 8 a 2 8 2a 8 2.2 8 4 Dấu “=” xảy ra a 2 . 9 Vậy GTNN của A là 4 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  75. 180 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 9 Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù GTNN của A là là đáp số đúng nhưng cách giải trên 4 1 1 mắc sai lầm trong đánh giá mẫu số: “ a 2 là sai”. 2a 2.2 a a 1 6a a a 1 6a 3 6.2 9 Lời giải đúng: A 3.3 . . 8 8 a 2 8 8 8 a 2 8 4 8 4 Dấu “=” xảy ra a 2 9 Vậy GTNN của A là 4 1 Bài 1: Cho 2 số thực dương a, b thỏa a b 1. Tìm GTNN của A ab ab Phân tích: 2 a b 1 Ta có: ab 2 4 ab 1 1 4 1 1 Sơ đồ điểm rơi: ab 4 4 1 4 16 4 ab Giải: Ta có: 2 a b 1 ab 2 4 1 ab 4 1 1 1 17 A 16ab 15ab 2 16ab 15ab 8 15. ab ab 4 4 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  76. 181 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 1 1 Dấu “=” xảy ra ab a b 4 2 17 Vậy GTNN của A là 4 18 Bài 2: Cho số thực a 6 . Tìm GTNN của A a 2 a Phân tích: 18 9 9 Ta có : A a 2 a 2 a a a Dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng. Ta dự đoán A đạt GTNN khi a 6 . Ta có sơ đồ a 2 36 36 3 điểm rơi: a 6 24 9 9 3 2 a 6 2 Giải: a29 9 23 a 2 a 2 9 9 23 a 2 9 23.36 Ta có: A 33 . . 39 24a a 24 24 a a 24 2 24 a 2 9 Dấu “=” xảy ra a 6 24 a Vậy GTNN của A là 39 Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a 2b 3c 20 . 3 9 4 Tìm GTNN của A a b c a 2b c Phân tích: Dự đoán GTNN của A đạt được khi a 2b 3c 20 ,tại điểm rơi a 2,b 3,c 4. Sơ đồ điểm rơi: Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  77. 182 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 a 2 2 3 4 a 2 3 3 2 3 a 2 b 3   3 3 b 3  2 9 3  2 2b 2 c 4   4 c 4 1  4 4  1 c Giải: 3a 3 b 9 c 4 a b 3c A 4 a 2 2b 4 c 4 2 4 3a 3 b 9 c 4 a 2b 3c 2 . 2 . 2 . 4 a 2 2b 4 c 4 3 3 2 5 13 Dấu “=” xảy ra a 2,b 3,c 4 Vậy GTNN của A là 13 ab 12 Bài 4: Cho3 số thực dương a, b, c thỏa . bc 8 1 1 1 8 121 Chứng minh rằng: a b c 2 ab bc ca abc 12 Phân tích: ab 12 Dự đoán GTNN của A đạt được khi , tại điểm rơi a 3,b 4,c 2. bc 8 Giải: Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  78. 183 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: a b 2 a b 2 1 33 . . 18 24 ab 18 24 ab 2 a c 2 a c 2 33 . . 1 9 6 ca 9 6 ca b c 2 b c 2 3 33 . . 16 8 bc 16 8 bc 4 a c b 8 a c b 8 4 44 . . . 9 6 12 abc 9 6 12 abc 3 13a 13b 13a 13b 13 13 13 2 . 2 . .12 18 24 18 24 18 24 3 13b 13c 13b 13c 13 13 13 2 . 2 . .8 48 24 48 24 48 24 4 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được: 1 1 1 8 121 a b c 2 (đpcm) ab bc ca abc 12  Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị đạt được tại tâm Xét bài toán sau: 1 1 Bài toán: Cho 2 số thực dương a, b thỏa a b 1 Tìm GTNN của A a b a b 1 1 1 1 Sai lầm thường gặp là: A a b 44 a.b. . 4 . Vậy GTNN của A là 4. a b a b 1 1 Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 4 a b a b 1. Khi đó a b 2 1 a b trái giả thuyết . Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  79. 184 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 Phân tích: 1 Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại a b 2 a b 1 1 2 1 1 Sơ đồ điểm rơi: a b 2 2 1 1 2 4 2 a b 1 1 1 1 Lời giải đúng: A 4a 4b 3a 3b 44 4a 4b. . 3 a b 8 3 5 a b a b 1 Dấu “=” xảy ra a b . Vậy GTNN của A là 5 2 3 Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a b c . 2 1 1 1 Tìm GTNN của A a b c a b c Phân tích: Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 1 a b c 2 Sơ đồ điểm rơi: a b c 1 1 2 1 1 a b c 2 2 1 1 1 2 4 2 a b c Giải: Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  80. 185 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 1 1 1 A 4a 4b 4c 3a 3b 3c a b c 1 1 1 66 4a.4b.4c. . . 3 a b c a b c 9 13 12 2 2 1 13 Dấu “=” xảy ra a b c . Vậy GTNN của A là 2 2 3 Bài 2: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a b c . 2 1 1 1 Tìm GTNN của A a 2 b 2 c 2 a b c Phân tích: Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 1 a b c 2 1 a 2 b 2 c 2 1 4 1 2 Sơ đồ điểm rơi: a b c 8 2 1 1 1 2 4 a b c Giải: 1 1 1 1 1 1 3 3 3 A a 2 b 2 c 2 8a 8b 8c 8a 8b 8c 4a 4b 4c 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 99 a 2 .b 2 .c 2 . . . . . . 8a 8b 8c 8a 8b 8c 4 a b c 9 1 9 9 1 9 9 27 9. . .2 4 3 abc 4 4 a b c 4 4 4 3 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  81. 186 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 1 Dấu “=” xảy ra a b c 2 27 Vậy GTNN của A là 4 a b ab Bài 3: Cho 2 số thực dương a, b. Tìm GTNN của A ab a b Phân tích: Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại a b Sơ đồ điểm rơi: a b 2a 2 ab a 2 1 a b 4 ab a 1 2 a b 2a 2 Giải: a b ab 3 a b a b ab 3.2 ab 3 5 A 2 . 1 4 ab a b 4 ab 4 ab a b 4 ab 2 2 Dấu “=” xảy ra a b 5 Vậy GTNN của A là 2 Bài 4: Cho 3 số thực dương a, b, c. a b c b c c a a b Tìm GTNN của A b c c a a b a b c Phân tích: Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại a b c Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  82. 187 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 Sơ đồ điểm rơi: a b c 1 b c c a a b 2 1 2 a b c 4 b c c a a b 2 2 a b c Giải: a b c b c c a a b 3 b c c a a b A b c c a a b 4a 4b 4c 4 a b c a b c b c c a a b 3 b c c a a b 66 . . . . . b c c a a b 4a 4b 4c 4 a a b b c c 3 b c c a a b 9 15 3 .6.6 . . . . . 3 4 a a b b c c 2 2 Dấu “=” xảy ra a b c 15 Vậy GTNN của A là 2 Bài 5: Cho 2 số thực dương a, b thỏa a b 1. 1 1 Tìm GTNN của : A a 2 b 2 2ab Phân tích: 1 Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại a b 2 1 2 1 a 2 b 2 Sơ đồ điểm rơi: a b 2 2 1 2 2 2ab Giải: Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  83. 188 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 1 1 1 1 4 A 2 2. 4 a 2 b 2 2ab a 2 b 2 2ab a 2 b 2 2ab a b 2 2 a 2 b 2 2ab 1 Dấu “=” xảy ra a b a b 1 2 Vậy GTNN của A là 4 1 1 Bài 6: Cho 2 số thực dương a, b thỏa a b 1. Tìm GTNN của A 1 a 2 b2 2ab Phân tích: 1 Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại a b 2 1 2 1 1 a 2 b 2 3 2 2 Sơ đồ điểm rơi: a b 3 2 1 2 3 2 ab Giải: 1 1 1 A 1 a 2 b 2 6ab 3ab 1 1 2 1 a 2 b 2 6ab 3ab 1 1 4 1 2. 1 a 2 b 2 6ab 3ab a b 2 1 4ab 3ab 2 2 4 1 a b Do ab 2 2 2 a b a b 2 a b 1 4 3 2 2 4 4 2 a b 2 1 3 a b 2 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  84. 189 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 4 4 8 2.1 1 3.1 3 1 a 2 b2 6ab 1 Dấu “=” xảy ra a b a b 2 a b 1 8 Vậy GTNN của A là 3 1 1 Bài 7: Cho 2 số thực dương a, b thỏa a b 1. Tìm GTNN của A 4ab a2 b2 ab Phân tích: 1 Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại a b 2 1 2 1 a 2 b 2 4 Sơ đồ điểm rơi: a b 2 2 2 1 4 ab 4ab 1 1 4 a b 1 4 1  4 2  ab  Giải: 1 1 1 1 A 4ab a 2 b 2 2ab 4ab 4ab 1 1 1 2 2 4ab. a 2 b 2 2ab 4ab 4ab 1 1 4 1 2. 2 2 a 2 b 2 2ab 4ab a b 2 4ab 2 Toán Hải TH &THCS Dong Khe
  85. 190 Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành ĐỀ vào TOÁN 10 9 2 4 1 a b 2 2 2 Do ab a b a b 2 4 2 5 2 a b 2 5 2 7 1 a 2 b 2 2ab 1 4ab 1 Dấu “=” xảy ra 4ab a b 2 a b a b 1 Vậy GTNN của A là 7 . BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho x 0 , chứng minh rằng: x 5 a) x x 1 1 ; b) 2 . x 4 Bài 2: Cho a, b , c 0 , chứng minh rằng: a) a b b c c a 8 abc ; a2 b 3 c b) 1 . 2b 3 c 4 a 1 2 3 200 Bài 3: Chứng minh rằng: 10 5 2 1 2 3 200 1 1 1 1 Bài 4: Chứng minh rằng: S 4 1 2 3 4 5 6 79 80 Bài 5: Cho a 1, b 1. Chứng minh rằng: a b 1 b a 1 ab Bài 6: Cho a, b , c 0 thỏa mãn điều kiện a c ; b c . Chứng minh rằng c a c c b c ab HẾT Toán Hải TH &THCS Dong Khe