›
›
›

Tài liệu hướng dẫn ôn thi vào Lớp 10 môn Toán

doc 40 trang dichphong 6150
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu hướng dẫn ôn thi vào Lớp 10 môn Toán", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doctai_lieu_huong_dan_on_thi_vao_lop_10_mon_toan.doc

Nội dung text: Tài liệu hướng dẫn ôn thi vào Lớp 10 môn Toán

  1. Hướng dẫn ôn thi vào 10 Bài tập rút gọn Bài 1 : 1) Đơn giản biểu thức : P = 14 6 5 14 6 5 . x 2 x 2 x 1 2) Cho biểu thức : Q = . x 2 x 1 x 1 x a) Rút gọn biểu thức Q. b) Tìm x để Q > - Q. c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên. Hướng dẫn : 1. P = 6 2 2. a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : Q = . x 1 b) Q > - Q x > 1. c) x = 2;3 thì Q Z 1 x Bài 2 : Cho biểu thức P = x 1 x x a) Rút gọn biểu thức sau P. 1 b) Tính giá trị của biểu thức P khi x = . 2 Hướng dẫn : x 1 a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : P = . 1 x 1 b) Với x = thì P = - 3 – 22 . 2 x x 1 x 1 Bài 3 : Cho biểu thức : A = x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức sau A. 1 b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 c) Tìm x để A 1 thì A = A. GV: Phạm Thị Dự 1 Trường THCS Nam Hồng
  2. Hướng dẫn ôn thi vào 10 1 1 3 Bài 4 : Cho biểu thức : A = 1 a 3 a 3 a a) Rút gọn biểu thức sau A. 1 b) Xác định a để biểu thức A > . 2 Hướng dẫn : 2 a) ĐKXĐ : a > 0 và a 9. Biểu thức rút gọn : A = . a 3 1 b) Với 0 . 2 x 1 x 1 x2 4x 1 x 2003 Bài 5 : Cho biểu thức: A = 2 . . x 1 x 1 x 1 x 1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa. 2) Rút gọn A. 3) Với x Z ? để A Z ? Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : x ≠ 0 ; x ≠ 1. x 2003 b) Biểu thức rút gọn : A = với x ≠ 0 ; x ≠ 1. x c) x = - 2003 ; 2003 thì A Z . x x 1 x x 1 2 x 2 x 1 Bài 6 : Cho biểu thức: A = : . x x x x x 1 a) Rút gọn A. b) Tìm x để A 0 ; x ≠ 1. Biểu thức rút gọn : A = . x 1 b) Với 0 0 ; x ≠ 1. Biểu thức rút gọn : A = x x 1 b) Ta xét hai trường hợp : 2 +) A > 0 > 0 luôn đúng với x > 0 ; x ≠ 1 (1) x x 1 GV: Phạm Thị Dự 2 Trường THCS Nam Hồng
  3. Hướng dẫn ôn thi vào 10 2 +) A 2 x x > 0 đúng vì theo gt thì x > 0. (2) x x 1 Từ (1) và (2) suy ra 0 < A < 2(đpcm). a 3 a 1 4 a 4 Bài 8 : Cho biểu thức: P = (a 0; a 4) a 2 a 2 4 a a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P với a = 9. Hướng dẫn : 4 a) ĐKXĐ : a 0, a 4. Biểu thức rút gọn : P = a 2 b) Ta thấy a = 9 ĐKXĐ . Suy ra P = 4 a a a a Bài 9 : Cho biểu thức: N = 1 1 a 1 a 1 1) Rút gọn biểu thức N. 2) Tìm giá trị của a để N = -2004. Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : a 0, a 1. Biểu thức rút gọn : N = 1 – a . b) Ta thấy a = - 2004 ĐKXĐ . Suy ra N = 2005. x x 26 x 19 2 x x 3 Bài 10 : Cho biểu thức P x 2 x 3 x 1 x 3 a. Rút gọn P. b. Tính giá trị của P khi x 7 4 3 c. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó. Hướng dẫn : x 16 a ) ĐKXĐ : x 0, x 1. Biểu thức rút gọn : P x 3 103 3 3 b) Ta thấy x 7 4 3 ĐKXĐ . Suy ra P 22 c) Pmin=4 khi x=4. 2 x x 3x 3 2 x 2 Bài 11 : Cho biểu thức P : 1 x 3 x 3 x 9 x 3 1 a. Rút gọn P. b. Tìm x để P c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P. 2 Hướng dẫn : 3 a. ) ĐKXĐ : x 0, x 9. Biểu thức rút gọn : P x 3 GV: Phạm Thị Dự 3 Trường THCS Nam Hồng
  4. Hướng dẫn ôn thi vào 10 1 b. Với 0 x 9 thì P 2 c. Pmin= -1 khi x = 0 a 1 a 1 1 Bài 12: Cho A= 4 a . a với x>0 ,x 1 a 1 a 1 a a. Rút gọn A b. Tính A với a = 4 15 . 10 6 . 4 15 ( KQ : A= 4a ) x 3 x 9 x x 3 x 2 Bài 13: Cho A= 1 : với x 0 , x 9, x 4 . x 9 x x 6 x 2 x 3 a. Rút gọn A. b. x= ? Thì A < 1. c. Tìm x Z để A Z 3 (KQ : A= ) x 2 15 x 11 3 x 2 2 x 3 Bài 14: Cho A = với x 0 , x 1. x 2 x 3 1 x x 3 a. Rút gọn A. b. Tìm GTLN của A. 1 c. Tìm x để A = 2 2 2 5 x d. CMR : A . (KQ: A = ) 3 x 3 x 2 x 1 1 Bài 15: Cho A = với x 0 , x 1. x x 1 x x 1 1 x a . Rút gọn A. x b. Tìm GTLN của A . ( KQ : A = ) x x 1 1 3 2 Bài 16: Cho A = với x 0 , x 1. x 1 x x 1 x x 1 a . Rút gọn A. x b. CMR : 0 A 1 ( KQ : A = ) x x 1 x 5 x 25 x x 3 x 5 Bài 17: Cho A = 1 : x 25 x 2 x 15 x 5 x 3 a. Rút gọn A. GV: Phạm Thị Dự 4 Trường THCS Nam Hồng
  5. Hướng dẫn ôn thi vào 10 b. Tìm x Z để A Z 5 ( KQ : A = ) x 3 2 a 9 a 3 2 a 1 Bài 18: Cho A = với a 0 , a 9 , a 4. a 5 a 6 a 2 3 a a. Rút gọn A. b. Tìm a để A 0 , x 4. x 4 x 2 x 2 x 2 x 4 a. Rút gọn A. 1 x 9 b. So sánh A với ( KQ : A = ) A 6 x 2 3 3 x y x y x y xy Bài20: Cho A = : với x 0 , y 0, x y y x x y x y a. Rút gọn A. xy b. CMR : A 0 ( KQ : A = ) x xy y x x 1 x x 1 1 x 1 x 1 Bài 21 : Cho A = x . Với x > 0 , x 1. x x x x x x 1 x 1 a. Rút gọn A. 2 x x 1 b. Tìm x để A = 6 ( KQ : A = ) x x 4 3 x 2 x Bài 22 : Cho A = : với x > 0 , x 4. x x 2 x 2 x x 2 a. Rút gọn A b. Tính A với x = 6 2 5 (KQ: A = 1 x ) 1 1 1 1 1 Bài 23 : Cho A= : với x > 0 , x 1. 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x a. Rút gọn A 3 b. Tính A với x = 6 2 5 (KQ: A = ) 2 x 2x 1 1 x 4 Bài 24 : Cho A= : 1 với x 0 , x 1. 3 x 1 x 1 x x 1 GV: Phạm Thị Dự 5 Trường THCS Nam Hồng
  6. Hướng dẫn ôn thi vào 10 a. Rút gọn A. x b. Tìm x Z để A Z (KQ: A = ) x 3 1 2 x 2 1 2 Bài 25: Cho A= : với x 0 , x 1. x 1 x x x x 1 x 1 x 1 a. Rút gọn A. b. Tìm x Z để A Z x 1 c. Tìm x để A đạt GTNN . (KQ: A = ) x 1 2 x x 3x 3 2 x 2 Bài 26 : Cho A = : 1 với x 0 , x 9 x 3 x 3 x 9 x 3 . a. Rút gọn A. 1 b. Tìm x để A 0 , x 1. x x x 1 x 2 x 1 x 1 a. Rút gọn A (KQ: A = ) x b.So sánh A với 1 x 1 1 8 x 3 x 2 1 Bài 29 : Cho A = : 1 Với x 0, x 3 x 1 3 x 1 9x 1 3 x 1 9 a. Rút gọn A. 6 b. Tìm x để A = 5 c. Tìm x để A < 1. x x ( KQ : A = ) 3 x 1 x 2 x 2 x2 2x 1 Bài30 : Cho A = . với x 0 , x 1. x 1 x 2 x 1 2 a. Rút gọn A. GV: Phạm Thị Dự 6 Trường THCS Nam Hồng
  7. Hướng dẫn ôn thi vào 10 b. CMR nếu 0 0 c. Tính A khi x =3+2 2 d. Tìm GTLN của A (KQ: A = x(1 x) ) x 2 x 1 x 1 Bài 31 : Cho A = : với x 0 , x 1. x x 1 x x 1 1 x 2 a. Rút gọn A. 2 b. CMR nếu x 0 , x 1 thì A > 0 , (KQ: A = ) x x 1 4 1 x 2 x Bài 32 : Cho A = 1 : với x > 0 , x 1, x 4. x 1 x 1 x 1 a. Rút gọn 1 b. Tìm x để A = 2 x 1 x 2 x 3 x 3 2 Bài 33 : Cho A = : với x 0 , x 1. x 1 x 1 x 1 x 1 a. Rút gọn A. b. Tính A khi x= 0,36 c. Tìm x Z để A Z x x 3 x 2 x 2 Bài 34 : Cho A= 1 : với x 0 , x 9 , x 4. 1 x x 2 3 x x 5 x 6 a. Rút gọn A. b. Tìm x Z để A Z x 2 c. Tìm x để A < 0 (KQ: A = ) x 1 Bài tập về hàm số bậc nhất Bài 1 : 1) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4). 2) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng trên với trục tung và trục hoành. Hướng dẫn : 1) Gọi pt đường thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b. GV: Phạm Thị Dự 7 Trường THCS Nam Hồng
  8. Hướng dẫn ôn thi vào 10 2 a b a 3 Do đường thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) ta có hệ pt : 4 a b b 1 Vậy pt đường thẳng cần tìm là y = 3x – 1 2) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1 ; Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 1 bằng . 3 Bài 2 : Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3. 1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến. 2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. 3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x – 1 đồng quy. Hướng dẫn : 1) Hàm số y = (m – 2)x + m + 3 m – 2 < 0 m < 2. 2) Do đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. Suy ra : x= 3 ; y = 0 3 Thay x= 3 ; y = 0 vào hàm số y = (m – 2)x + m + 3, ta được m = . 4 y x 2 3) Giao điểm của hai đồ thị y = -x + 2 ; y = 2x – 1 là nghiệm của hệ pt : y 2x 1 (x;y) = (1;1). Để 3 đồ thị y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + 2 và y = 2x – 1 đồng quy cần : (x;y) = (1;1) là nghiệm của pt : y = (m – 2)x + m + 3. 1 Với (x;y) = (1;1) m = 2 B ài 3 : Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 3. 1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1. 2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4). 3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m. Hướng dẫn : 1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m – 1 = - 2 m = -1. Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1. 2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m – 1)x + m + 3. Ta được : m = -3. Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4). 3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0). Ta có x0 1 y0 = (m – 1)x0 + m + 3 (x0 – 1)m - x0 - y0 + 3 = 0 y0 2 Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (1;2). Bài 4 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1). 1) Viết phương trình đường thẳng AB. 2) Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = (m 2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2). Hướng dẫn : 1) Gọi pt đường thẳng AB có dạng : y = ax + b. GV: Phạm Thị Dự 8 Trường THCS Nam Hồng
  9. Hướng dẫn ôn thi vào 10 1 a b a 2 Do đường thẳng đi qua hai điểm (1 ; 1) và (2 ;-1) ta có hệ pt : 1 2a b b 3 Vậy pt đường thẳng cần tìm là y = - 2x + 3. 2) Để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng AB đồng thời đi qua m 2 3m 2 điểm C(0 ; 2) ta cần : m = 2. 2 m 2m 2 2 Vậy m = 2 thì đường thẳng y = (m 2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2) Bài 5 : Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 3. 1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5) 2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm cố định ấy. 3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2 1. Hướng dẫn : 1) m = 2. 2) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0). Ta có 1 x 0 2 y0 = (2m – 1)x0 + m - 3 (2x0 + 1)m - x0 - y0 - 3 = 0 5 y 0 2 1 5 Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (; ). 2 2 Baứi 6 : Tìm giá trị của k để các đường thẳng sau : 6 x 4x 5 y = ; y = và y = kx + k + 1 cắt nhau tại một điểm. 4 3 Bài 7 : Giả sử đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A(1; 3) và B(-3; -1). Bài 8 : Cho hàm số : y = x + m (D). Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D) : 1) Đi qua điểm A(1; 2003). 2) Song song với đường thẳng x – y + 3 = 0. Chủ đề : Phương trình – bất phương trình bậc nhất một ần Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn . A. kiến thức cần nhớ : 1. Phương trình bậc nhất : ax + b = 0. Phương pháp giải : GV: Phạm Thị Dự 9 Trường THCS Nam Hồng
  10. Hướng dẫn ôn thi vào 10 a + Nếu a ≠ 0 phương trình có nghiệm duy nhất : x = . b + Nếu a = 0 và b ≠ 0 phương trình vô nghiệm. + Nếu a = 0 và b = 0 phương trình có vô số nghiệm. ax by c 2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn : a'x b' y c' Phương pháp giải : Sử dụng một trong các cách sau : +) Phương pháp thế : Từ một trong hai phương trình rút ra một ẩn theo ẩn kia , thế vào phương trình thứ 2 ta được phương trình bậc nhất 1 ẩn. +) Phương pháp cộng đại số : - Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho một ẩn nào đó của hệ có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau). - Trừ hoặc cộng vế với vế để khử ẩn đó. - Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai. B. Ví dụ minh họa : Ví dụ 1 : Giải các phương trình sau đây : x x a) 2 ĐS : ĐKXĐ : x ≠ 1 ; x ≠ - 2. S = 4  . x -1 x 2 2x 3 - 1 b) = 2 x 3 x 1 Giải : ĐKXĐ : x3 x 1 ≠ 0. (*) 2x 3 - 1 3 Khi đó : = 2 2x = - 3 x = x 3 x 1 2 3 3 3 Với x = thay vào (* ) ta có ( )3 + + 1 ≠ 0 2 2 2 3 Vậy x = là nghiệm. 2 Ví dụ 2 : Giải và biện luận phương trình theo m : (m – 2)x + m2 – 4 = 0 (1) + Nếu m 2 thì (1) x = - (m + 2). + Nếu m = 2 thì (1) vô nghiệm. Ví dụ 3 : Tìm m Z để phương trình sau đây có nghiệm nguyên . (2m – 3)x + 2m2 + m - 2 = 0. Giải : 4 Ta có : với m Z thì 2m – 3 0 , vây phương trình có nghiệm : x = - (m + 2) - . 2m - 3 để pt có nghiệm nguyên thì 4  2m – 3 . Giải ra ta được m = 2, m = 1. Ví dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 7x + 4y = 23. Giải : 23 - 7x x 1 a) Ta có : 7x + 4y = 23 y = = 6 – 2x + 4 4 Vì y Z x – 1  4. Giải ra ta được x = 1 và y = 4 GV: Phạm Thị Dự 10 Trường THCS Nam Hồng
  11. Hướng dẫn ôn thi vào 10 bài tập phần hệ pt Bài 1 : Giải hệ phương trình: 2x 3y 5 x 4y 6 2x y 3 x y 1 a) b) c) d) 3x 4y 2 4x 3y 5 5 y 4x x y 5 2 5 2 2x 4 0 x x y e) f) 4x 2y 3 3 1 1,7 x x y Bài 2 : Cho hệ phương trình : mx y 2 x my 1 1) Giải hệ phương trình theo tham số m. 2) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = -1. 3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Bài 3 : Cho hệ phương trình: x 2y 3 m 2x y 3(m 2) 1) Giải hệ phương trình khi thay m = -1. 2) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 4 : Cho hệ phương trình: (a 1)x y a có nghiệm duy nhất là (x; y). x (a 1)y 2 1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a. 2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x2 – 17y = 5. 2x 5y 3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức nhận giá trị nguyên. x y B ài5 : Cho hệ phương trình: x ay 1 (1) ax y 2 1) Giải hệ (1) khi a = 2. 2) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất. mx y n Bài 6 : Xác định các hệ số m và n, biết rằng hệ phương trình nx my 1 có nghiệm là 1; 3 . GV: Phạm Thị Dự 11 Trường THCS Nam Hồng
  12. Hướng dẫn ôn thi vào 10 a 1 x y 4 Bài 7 : Cho hệ phương trình (a là tham số). ax y 2a 1) Giải hệ khi a = 1. 2) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x + y 2. x - (m 3)y 0 Bài 8 (trang 22): Cho hệ phương trình : (m là tham số). (m - 2)x 4y m -1 a) Giải hệ khi m = -1. b) Giải và biện luận pt theo m. x - m y 0 Bài 9 : (trang 24): Cho hệ phương trình : (m là tham số). mx 4y m 1 a) Giải hệ khi m = -1. b) Tỡm giaự trũ nguyeõn cuỷa m ủeồ heọ coự hai nghieọm nguyeõn. c) Xaực ủũnh moùi heọ coự nghieọm x > 0, y > 0. Bài 10 (trang 23): Moọt oõtoõ vaứ moọt xe ủaùp chuyeồn ủoọng ủi tửứ 2 ủaàu moọt ủoaùn ủửụứng sau 3 giụứ thỡ gaởp nhau. Neỏu ủi cuứng chieàu vaứ xuaỏt phaựt taùi moọt ủieồm thỡ sau 1 giụứ hai xe caựch nhau 28 km. Tớnh vaọn toỏc cuỷa moói xe. HD : Vaọn toỏc xe ủaùp : 12 km/h . Vaọn toỏc oõtoõ : 40 km/h. Bài 11 : (trang 24): Moọt oõtoõ ủi tửứ A dửù ủũnh ủeỏn B luực 12 giụứ trửa. Neỏu xe chaùy vụựi vaọn toỏc 35 km/h thỡ seừ ủeỏn B luực 2 giụứ chieàu. Neỏu xe chaùy vụựi vaọn toỏc 50 km/h thỡ seừ ủeỏn B luực 11 giụứ trửa. Tớnh ủoọ quaỷng ủửụứng AB vaứ thụứi dieồm xuaỏt phaựt taùi A. ẹaựp soỏ : AB = 350 km, xuaỏt phaựt taùi A luực 4giụứ saựng. 4 Bài 12 : (trang 24): Hai voứi nửụực cuứng chaỷy vaứo moọt caứi beồ nửụực caùn, sau 4 giụứ 5 6 thỡ ủaày beồ. Neỏu luực ủaàu chổ mụỷ voứi thửự nhaỏt, sau 9 giụứ mụỷ voứi thửự hai thỡ sau 5 giụứ nửừa mụựi nay beồ . Neỏu moọt mỡnh voứi thửự hai chaỷy bao laõu seừ nay beồ. ẹaựp soỏ : 8 giụứ. Bài 13 : (trang 24): Bieỏt raống m gam kg nửụực giaỷm t 0C thỡ toỷa nhieọt lửụùng Q = mt (kcal). Hoỷi phaỷi duứng bao nhieõu lớt 1000C vaứ bao nhieõu lớt 200C ủeồ ủửụùc hoón hụùp 10 lớt 400C. Hửụứng daừn : x y 10 x 2,5 Ta coự heọ pt : 100x 20y 400 y 7,5 Vaọy caàn 2,5 lớt nửụực soõi vaứ 75 lớt nửụực 200C. Bài 14 : Khi theõm 200g axớt vaứo dung dũch axớt thỡ dung dũch mụựi coự noàng ủoọ 50%. Laùi theõm 300g nửụực vaứo dung dũch mụựi ủửụùc dung dũch axớt coự noàng ủoọ 40%. Tớnh noàng ủoọ axớt trong dung dũch ban ủaàu. Hửụứng daừn :Goùi x khoỏi axit ban ủaàu, y laứ khoỏi lửụùng dung dũch ban ủaàu. (x 200) .100% 50% y 200 x 400 Theo baứi ra ta coự heọ pt : (x 200) y 1000 .100% 40% y 500 Vaọy noàng ủoọ phaàn traờm cuỷa dung dũch axớt ban ủaàu laứ 40%. GV: Phạm Thị Dự 12 Trường THCS Nam Hồng
  13. Hướng dẫn ôn thi vào 10 Phương trình bậc hai định lý viet và ứng dụng A.Kiến thức cần ghi nhớ 1. Để biện luận sự cú nghiệm của phương trỡnh : ax2 + bx + c = 0 (1) trong đú a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xột 2 trường hợp a)Nếu a= 0 khi đú ta tỡm được một vài giỏ trị nào đú của m ,thay giỏ trị đú vào (1).Phương trỡnh (1) trở thành phương trỡnh bậc nhất nờn cú thể : - Cú một nghiệm duy nhất - hoặc vụ nghiệm - hoặc vụ số nghiệm b)Nếu a 0 Lập biệt số = b2 – 4ac hoặc / = b/2 – ac * 0 ( / > 0 ) : phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm phõn biệt: b b x1 = ; x2 = 2a 2a b / / b / / (hoặc x1 = ; x2 = ) a a 2. Định lý Viột. 2 Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trỡnh ax + bx + c = 0 (a 0) thỡ b S = x1 + x2 = - a c p = x1x2 = a Đảo lại: Nếu cú hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thỡ hai số đó là nghiệm (nếu có ) của phương trình bậc 2: x2 – S x + p = 0 3.Dấu của nghiệm số của phương trình bậc hai. 2 Cho phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 (a 0) . Gọi x1 ,x2 là các nghiệm của phương trình .Ta có các kết quả sau: x1 và x2 trái dấu( x1 0 và x2 > 0 ) p 0 S 0 0 Hai nghiệm cùng âm (x1 < 0 và x2 < 0) p 0 S 0 GV: Phạm Thị Dự 13 Trường THCS Nam Hồng
  14. Hướng dẫn ôn thi vào 10 0 Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương( x2 > x1 = 0) p 0 S 0 0 Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm (x1 < x2 = 0) p 0 S 0 4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét a)Tính nhẩm nghiệm. Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) c Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2 = a c Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = - a Nếu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn và 0 thì phương trình có nghiệm x1 = m , x2 = n hoặc x1 = n , x2 = m b) Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 ,x2 của nó Cách làm : - Lập tổng S = x1 + x2 - Lập tích p = x1x2 - Phương trình cần tìm là : x2 – S x + p = 0 c)Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc 2 có nghệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện cho trước.(Các điều kiện cho trước thường gặp và cách biến đổi): 2 2 2 2 *) x1 + x2 = (x1+ x2) – 2x1x2 = S – 2p 2 2 2 *) (x1 – x2) = (x1 + x2) – 4x1x2 = S – 4p 3 3 3 3 *) x1 + x2 = (x1 + x2) – 3x1x2(x1 + x2) = S – 3Sp 4 4 2 2 2 2 2 *) x1 + x2 = (x1 + x2 ) – 2x1 x2 1 1 x x S *) 1 2 = x1 x2 x1 x2 p x x x 2 x 2 S 2 2 p *) 1 2 1 2 = x2 x1 x1 x2 p 2 2 *) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a = p – aS + a 1 1 x1 x2 2a S 2a *) 2 x1 a x2 a (x1 a)(x2 a) p aS a (Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trước phải thoả mãn điều kiện 0 ) d)Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có một nghiệm x = x1 cho trước .Tìm nghiệm thứ 2 Cách giải: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x= x1 cho trước có hai cách làm +) Cách 1:- Lập điều kiện để phương trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm: 0 (hoặc / 0 ) (*) - Thay x = x1 vào phương trình đã cho ,tìm được giá trị của tham số GV: Phạm Thị Dự 14 Trường THCS Nam Hồng
  15. Hướng dẫn ôn thi vào 10 - Đối chiếu giá trị vừa tìm được của tham số với điều kiện(*) để kết luận +) Cách 2: - Không cần lập điều kiện (hoặc 0 ) /mà 0ta thay luôn x = x1 vào phương trình đã cho, tìm được giá trị của tham số - Sau đó thay giá trị tìm được của tham số vào phương trình và giải phương trình Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phương trình đã cho mà phương trình bậc hai này có 0 m2 – 9 > 0 m 3 .Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt: 2 2 x1 = m + 1 - m 9 x2 = m + 1 + m 9 + Nếu / = 0 m = 3 - Với m =3 thì phương trình có nghiệm là x1.2 = 4 - Với m = -3 thì phương trình có nghiệm là x1.2 = -2 + Nếu / 3 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt 2 2 x1 = m + 1 - m 9 x2 = m + 1 + m 9 Với -3< m < 3 thì phương trình vô nghiệm Bài 2: Giải và biện luận phương trình: (m- 3) x2 – 2mx + m – 6 = 0 Hướng dẫn Nếu m – 3 = 0 m = 3 thì phương trình đã cho có dạng 1 - 6x – 3 = 0 x = - 2 * Nếu m – 3 0 m 3 .Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có biệt số / = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18 GV: Phạm Thị Dự 15 Trường THCS Nam Hồng
  16. Hướng dẫn ôn thi vào 10 - Nếu / = 0 9m – 18 = 0 m = 2 .phương trình có nghiệm kép b / 2 x1 = x2 = - = - 2 a 2 3 - Nếu / > 0 m >2 .Phương trình có hai nghiệm phân biệt m 3 m 2 x1,2 = m 3 - Nếu / 2 và m 3 phương trình có nghiệm x1,2 = m 3 Với m < 2 phương trình vô nghiệm Bài 3: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất a) 2x2 + 2007x – 2009 = 0 b) 17x2 + 221x + 204 = 0 c) x2 + (3 5 )x - 15 = 0 d) x2 –(3 - 27 )x - 67 = 0 Giải a) 2x2 + 2007x – 2009 = 0 có a + b + c = 2 + 2007 +(-2009) = 0 c 2009 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = 1 , x2 = a 2 b) 17x2 + 221x + 204 = 0 có a – b + c = 17 – 221 + 204 = 0 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1 , c 204 x2 = - = - 12 a 17 c) x2 + (3 5 )x - 15 = 0 có: ac = - 15 < 0 . Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .áp dụng hệ thức Viet ta có : x1 + x2 = -(3 5 ) = - 3 + 5 x1x2 = - 15 = (- 3 ) 5 Vậy phương trình có 2 nghiệm là x1 = - 3 , x2= 5 (hoặc x1 = 5 , x2 = - 3 ) d ) x2 –(3 - 27 )x - 67 = 0 có : ac = - 67 < 0 Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .áp dụng hệ thức Viét ,ta có x1 x 2 3 - 2 7 x1 x 2 - 6 7 3(-2 7) Vậy phương trình có 2 nghiệm x1 = 3 , x2 = - 2 7 GV: Phạm Thị Dự 16 Trường THCS Nam Hồng
  17. Hướng dẫn ôn thi vào 10 Bài 4 : Giải các phương trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất (m là tham số) a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 Hướng dẫn : a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 có a + b + c = 1 + 3m – 5 – 3m + 4 = 0 Suy ra : x1 = 2 m 1 Hoặc x2 = 3 b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 (*) * m- 3 = 0 m = 3 (*) trở thành – 4x – 4 = 0 x = - 1 x1 1 * m – 3 0 m 3 (*) 2m 2 x 2 m 3 2 Bài 5: Gọi x1 , x2 là các nghịêm của phương trình : x – 3x – 7 = 0 a) Tính: 2 2 A = x1 + x2 B = x1 x2 1 1 C= D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) x1 1 x2 1 1 1 b) lập phương trình bậc 2 có các nghiệm là và x1 1 x2 1 Giải ; Phương trình bâc hai x2 – 3x – 7 = 0 có tích ac = - 7 B = x1 x2 = S 4 p 37 1 1 (x x ) 2 S 2 1 + C = = 1 2 x1 1 x2 1 (x1 1)(x2 1) p S 1 9 2 2 + D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x1 + x2 ) + x1x2 2 2 = 10x1x2 + 3 (x1 + x2 ) = 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1 b)Ta có : 1 1 1 S = (theo câu a) x1 1 x2 1 9 1 1 1 p = (x1 1)(x2 1) p S 1 9 1 1 Vậy và là nghiệm của hương trình : x1 1 x2 1 1 1 X2 – SX + p = 0 X2 + X - = 0 9X2 + X - 1 = 0 9 9 GV: Phạm Thị Dự 17 Trường THCS Nam Hồng
  18. Hướng dẫn ôn thi vào 10 Bài 6 : Cho phương trình : x2 – ( k – 1)x - k2 + k – 2 = 0 (1) (k là tham số) 1. Chứng minh phương trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k 2. Tìm những giá trị của k để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu 3 3 3. Gọi x1 , x2 là nghệm của phương trình (1) .Tìm k để : x1 + x2 > 0 Giải. 1. Phương trình (1) là phương trình bậc hai có: 6 9 = (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + 9 = 5(k2 - k + ) 5 5 3 9 36 3 36 = 5(k2 – 2. k + + ) = 5(k - ) + > 0 với mọi giá trị của k. Vậy phương 5 25 25 5 5 trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt 2. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p 0 (k – 1)[(2k - ) + ] > 0 4 16 5 87 k – 1 > 0 ( vì (2k - )2 + > 0 với mọi k) 4 16 k > 1 Vậy k > 1 là giá trị cần tìm Bài 7: Cho phương trình : x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số) 1. Giải phương trình (1) với m = -5 2. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi m 3. Tìm m để x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm của phương trình (1) nói trong phần 2.) Giải 2 1. Với m = - 5 phương trình (1) trở thành x + 8x – 9 = 0 và có 2 nghiệm là x1 = 1 , x2 = - 9 2. Có / = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + 1 – m + 4 = m2 + m + 5 1 1 19 1 19 = m2 + 2.m. + + = (m + )2 + > 0 với mọi m 2 4 4 2 4 GV: Phạm Thị Dự 18 Trường THCS Nam Hồng
  19. Hướng dẫn ôn thi vào 10 Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 3. Vì phương trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = 2( m + 1) và x1x2 = m – 4 2 2 2 Ta có (x1 – x2) = (x1 + x2) – 4x1x2 = 4( m + 1) – 4 (m – 4) 1 19 = 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + )2 + ] 2 4 1 19 19 1 1 => x x = 2(m ) 2 2 = 19 khi m + = 0 m = - 1 2 2 4 4 2 2 1 Vậy x x đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 khi m = - 1 2 2 Bài 8 : Cho phương trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m là tham số) 9 1) Giải phương trình khi m = - 2 2) Chứng minh rằng phương trình đã cho có nghiệm với mọi m 3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia. Giải: 9 1) Thay m = - vào phương trình đã cho và thu gọn ta được 2 5x2 - 20 x + 15 = 0 phương trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2= 3 2) + Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phương trình đã cho trở thành; 5x – 5 = 0 x = 1 + Nếu : m + 2 0 => m - 2 .Khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc hai có biệt số : = (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = 1 – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 > 0 Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt 2m 1 5 2m 4 2m 1 5 2(m 3) m 3 x1 = = 1 x2 = 2(m 2) 2m 4 2(m 2) 2(m 2) m 2 Tóm lại phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m 3)Theo câu 2 ta có m - 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia ta sét 2 trường hợp m 3 9 Trường hợp 1 : 3x1 = x2 3 = giải ra ta được m = - (đã giải ở câu 1) m 2 2 m 3 11 Trường hợp 2: x1 = 3x2 1= 3. m + 2 = 3m – 9 m = (thoả mãn điều kiện m 2 2 m - 2) 11 Kiểm tra lại: Thay m = vào phương trình đã cho ta được phương trình : 2 15x2 – 20x + 5 = 0 phương trình này có hai nghiệm 5 1 x1 = 1 , x2 = = (thoả mãn đầu bài) 15 3 Bài 9: Cho phương trình : mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) với m là tham số . 1. Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình (1) GV: Phạm Thị Dự 19 Trường THCS Nam Hồng
  20. Hướng dẫn ôn thi vào 10 2. Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu. 3. Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai. Giải 3 1.+ Nếu m = 0 thay vào (1) ta có : 4x – 3 = 0 x = 4 + Nếu m 0 .Lập biệt số / = (m – 2)2 – m(m-3) = m2- 4m + 4 – m2 + 3m = - m + 4 / 4 : (1) vô nghiệm / = 0 - m + 4 = 0 m = 4 : (1) có nghiệm kép b / m 2 4 2 1 x1 = x2 = - a m 2 2 / > 0 - m + 4 > 0 m 4 : phương trình (1) vô nghiệm 1 m = 4 : phương trình (1) Có nghiệm kép x = 2 0 m < 4 : phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: m 2 m 4 m 2 m 4 x1 = ; x2 = m m 3 m = 0 : Phương trình (1) có nghiệm đơn x = 4 c m 3 2. (1) có nghiệm trái dấu < 0 < 0 a m m 3 0 m 3 m 0 m 0 m 3 0 m 3 m 0 m 0 m 3 Trường hợp không thoả mãn m 0 m 3 Trường hợp 0 < m < 3 m 0 3. *)Cách 1: Lập điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm / 0 0 m 4 (*) (ở câu a đã có) - Thay x = 3 vào phương trình (1) ta có : 9 9m – 6(m – 2) + m -3 = 0 4m = -9 m = - 4 GV: Phạm Thị Dự 20 Trường THCS Nam Hồng
  21. Hướng dẫn ôn thi vào 10 9 - Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = - thoả mãn 4 9 *) Cách 2: Không cần lập điều kiện / 0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm được m = - .Sau 4 9 đó thay m = - vào phương trình (1) : 4 9 9 9 - x2 – 2(- - 2)x - - 3 = 0 -9x2 +34x – 21 = 0 4 4 4 x1 3 / có = 289 – 189 = 100 > 0 => 7 x 2 9 9 Vậy với m = - thì phương trình (1) có một nghiệm x= 3 4 *)Để tìm nghiệm thứ 2 ,ta có 3 cách làm 9 7 Cách 1: Thay m = - vào phương trình đã cho rồi giải phương trình để tìm được x2 = 4 9 (Như phần trên đã làm) 9 Cách 2: Thay m = - vào công thức tính tổng 2 nghiệm: 4 9 2( 2) 2(m 2) 4 34 x1 + x2 = m 9 9 4 34 34 7 x 2 = - x1 = - 3 = 9 9 9 9 Cách 3: Thay m = - vào công trức tính tích hai nghiệm 4 9 3 m 3 4 21 21 21 7 x1x2 = => x2 = : x1 = : 3 = m 9 9 9 9 9 4 Bài 10: Cho phương trình : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) với k là tham số 1.Tìm k để phương trình (1) có nghiệm kép 2. Tim k để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện : 2 2 x1 + x2 = 10 Giải. 1.Phương trình (1) có nghiệm kép / = 0 k2 – (2 – 5k) = 0 k2 + 5k – 2 = 0 ( có = 25 + 8 = 33 > 0 ) 5 33 5 33 k 1 = ; k2 = 2 2 5 33 5 33 Vậy có 2 giá trị k1 = hoặc k2 = thì phương trình (1) Có nghiệm kép. 2 2 GV: Phạm Thị Dự 21 Trường THCS Nam Hồng
  22. Hướng dẫn ôn thi vào 10 2.Có 2 cách giải. Cách 1: Lập điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: / 0 k2 + 5k – 2 0 (*) 2 2 2 Ta có x1 + x2 = (x1 + x2) – 2x1x2 2 Theo bài ra ta có (x1 + x2) – 2x1x2 = 10 b Với điều kiện(*) , áp dụng hệ trức vi ét: x1 + x2 = - - 2k và x1x2 = 2 – 5k a Vậy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10 2k2 + 5k – 7 = 0 7 (Có a + b + c = 2+ 5 – 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = - 2 / 2 Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lượt k1 , k2 vào = k + 5k – 2 / + k1 = 1 => = 1 + 5 – 2 = 4 > 0 ; thoả mãn 7 / 49 35 49 70 8 29 + k2 = - => = 2 không thoả mãn 2 4 2 4 8 Vậy k = 1 là giá trị cần tìm Cách 2 : Không cần lập điều kiện / 0 .Cách giải là: 2 2 7 Từ điều kiện x1 + x2 = 10 ta tìm được k1 = 1 ; k2 = - (cách tìm như trên) 2 Thay lần lượt k1 , k2 vào phương trình (1) 2 + Với k1 = 1 : (1) => x + 2x – 3 = 0 có x1 = 1 , x2 = 3 7 2 39 + Với k2 = - (1) => x - 7x + = 0 (có = 49 -78 = - 29 < 0 ) .Phương trình vô nghiệm 2 2 Vậy k = 1 là giá trị cần tìm Bài tập về pt bậc hai 2 Bài 1 : Cho phương trình : x – 6x + 1 = 0, gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính: 2 2 1) x1 + x2 2) x1 x1 x2 x2 x2 x2 x x x x 3) 1 2 1 x 1 2 . 2 2 2 2 x1 x1 1 x2 x2 1 Bài 2 : Cho phương trình: 2x2 – 5x + 1 = 0. Tính x1 x2 x2 x1 (với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình). Bài 3 : Cho phương trình bậc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0 1) Tìm các giá trị của m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. 2 2 2) Tìm giá trị của m thoả mãn x1 + x2 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phương trình). Bài 4 : Cho phương trình: x2 – 2mx + 2m – 5 = 0. 1) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 2) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. 3) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2, tìm các giá trị của m để: 2 2 2 2 x1 (1 – x2 ) + x2 (1 – x1 ) = -8. Bài 5 : Cho phương trình: GV: Phạm Thị Dự 22 Trường THCS Nam Hồng
  23. Hướng dẫn ôn thi vào 10 x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0. 1) Giải phương trình với m = 0. 2) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2. Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x1 + x2 = 4. Baứi 6 : Cho phương trình: x2 + 4x + 1 = 0 (1) 1) Giải phương trình (1). 3 3 2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tính B = x1 + x2 . Bài 7 : Cho phương trình : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số). a) Xác định m để phương trình có một nghiệm là bằng 2. Tìm nghiệm còn lại. 3 3 b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 + x2 0. Bài 8 : Cho phương trình: (m – 1)x2 + 2mx + m – 2 = 0 (*) 1) Giải phương trình khi m = 1. 2) Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt. Bài 9. Cho phương trình (2m-1)x2-2mx+1=0 Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0) Bài 10: Phương trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0 Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành –x+1=0=> x=1 Xét 2m-1 0=> m 1/2 khi đó ta có , = m2-2m+1= (m-1)2 0 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0) m m 1 1 với m 1/2 pt còn có nghiệm x= = 2m 1 2m 1 1 pt có nghiệm trong khoảng (-1,0)=> -1 2m 1 =>m<0 2m 1 0 2m 1 0 Vậy Pt có nghiệm trong khoảng (-1,0) khi và chỉ khi m<0 GiảI bài toán bằng cách lập pt Bài1 : Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km . Ô tô thứ nhất mỗi giờ chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ . Tính vận tốc mỗi xe ô tô . Bài 12 : Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Sau khi đi được 2/3 quãng đường với vận tốc đó, vì đường khó đi nên người lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10 km trên quãng đường còn lại. Do đó ô tô đến B chậm 30 phút so với dự định. Tính quãng đường AB. Bài 2 : Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 4 giờ 48 phút thì đầy. Nðu chảy cùng một thời gian như nhau thì lượng nước của vòi II bằng 2/3 lương nước của vòi I chảy được. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu đầy bể. Bài 3 : Một ô tô dự định đi từ A đền B trong một thời gian nhất định . Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ . Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ . Tính quãng đờng AB và thời gian dự định đi lúc đầu . Bài 4 : Quãng đờng AB dài 180 km. Cùng một lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B. Do vận tốc của ôtô thứ nhất hơn vận tốc của ôtô thứ hai là 15 km/h nên ôtô thứ nhất đến sớm hơn ôtô thứ hai 2h. Tính vận tốc của mỗi ôtô? GV: Phạm Thị Dự 23 Trường THCS Nam Hồng
  24. Hướng dẫn ôn thi vào 10 Bài 5 : Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ gồm 13 học sinh (cả nam và nữ) đã trồng được tất cả 80 cây. Biết rằng số cây các bạn nam trồng được và số cây các bạn nữ trồng được là bằng nhau ; mỗi bạn nam trồng được nhiều hơn mỗi bạn nữ 3 cây. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của tổ. Bài 6 : Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km. Một ô tô đi từ A đến B, nghỉ 90 phút ở B rồi trở lại từ B về A. Thời gian từ lúc đi đến lúc trở về là 10 giờ. Biết vận tốc lúc về kém vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc lúc đi của ô tô. Bài 7 : Một hình chữ nhật có diện tích 300m 2. Nếu giảm chiều rộng 3m, tăng chiều dài thêm 5m thì ta được hình chữ nhật mới có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu. Tính chu vi của hình chữ nhật ban đầu. Bài 8 : Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km, cùng lúc đó cũng từ A một bè nứa trôi với vận tốc dòng nước 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa trôi tại một địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nô. Bài 9 : Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 108 km. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc đi từ A đến B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên đến B trước xe thứ hai 12 phút. Tính vận tốc mỗi xe. Bài 10 : Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm. Đến khi làm việc, do phải điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiều hơn dự định 4 sản phẩm. Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công nhân là như nhau. Bài 11: Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng 120lít . Nếu đổ đầy nước vào bình thứ nhất rồi đem rót vào hai bình kia thì hoặc bình thứ 3 đầy nước, bình thứ 2 chỉ được 1/2 thể tích của nó, hoặc bình thứ 2 đầy nước thì bình thứ 3 chỉ được 1/3 thể tích của nó. Tìm thể tích của mỗi bình Bài 11 : Hai địa điểm A, B cách nhau 56km. Lúc 6h45' một người đi từ A với vận tốc 10km/h. Sau 2h , một người đi xe đạp từ B tới A với vận tốc 14km/h . Hỏi đến mấy giờ thì họ gặp nhau, chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu km Bài 12 : Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó ngược từ B trở về A. Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngược là 40'. Tính khoảng cách giữa A và B . Biết vận tốc ca nô không đổi, vận tốc dòng nước là 3km/h. Bài 13 : Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50km. Sau 1h30' một người đi xe máy cũng từ A và đến B sớm hơn một giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp 2.5 lần xe đạp Bài 14 : Một phòng họp có 360 ghế ngồi được xếp thành từng hàng và số ghế ở mỗi hàng bằng nhau. Nếu số hàng tăng thêm 1 và số ghế ở mỗi hàng tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế. Hỏi có bao nhiêu hàng, mỗi hàng có bao nhiêu ghế? Bài 15 : Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ 2 làm 6 giờ thì họ làm được 25% công việc. Hỏi mỗi người làm một mình công việc đó trong mấy giời thì xong?. Bài 16 : Hai vật chuyển động trên một đường tròn có đường kính 20m , xuất phát cùng một núc từ cùng một điểm. Nếu chúng chuyển động ngược chiều nhau thì cứ 2 giây lại gặp nhau. Nếu chúng chuyển động cùng chiều nhauthì cứ sau 10 giây lại gặp nhua. Tính vận tốc của mỗi vật. GV: Phạm Thị Dự 24 Trường THCS Nam Hồng
  25. Hướng dẫn ôn thi vào 10 Bài 17 : Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 800 sản phẩm. Sang tháng thứ hai tổ 1 vượt 15%.tổ 2 vượt 20%. Do đó cuối tháng cả hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm. Tính xem trong tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm Bài 18 : Một khối lớp tổ chức đi tham quan bằng ô tô. Mỗi xe chở 22 h/s thì còn thừa 01 h/s. Nếu bớt đi 01 ôtô thì có thể xếp đều các h/s trên các ôtô còn lại. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu ôtô, bao nhiêu h/s. Mỗi xe chở không quá 32 h/s. Bài 19 : Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy trong thời gian đã định và dự định sẽ sản xuất 300 chi tiết máy trong một ngày. Nhưng thực tế mỗi ngày đã làm thêm được 100 chi tiết, nên đã sản xuất thêm được tất cả là 600 chi tiết và hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày Tính số chi tiết máy dự định sản xuất. Bài 20: Một ca nô xuôi dòng 42km rồi ngược dòng trở lại là 20km mát tổng cộng 5giờ. Biết vận tốc của dòng chảy là 2km/h. Tìm vận tốc của ca nô lúc dòng nước yên lặng Bài 21: Một đội xe cần chuyên chở 120 tấn hàng. Hôm làm việc có 2 xe phải điều đi nơi khác nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn. Hỏi đội có bao nhiêu xe? Bài 22: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A đễn địa điểm B. Mỗi giờ ôtô thứ nhất chạy nhanh hơn ôtô thứ hai 12km nên đến địa điểm B trước ô tô thứ hai 100phút. Tính vận tốc của mỗi ô tô biết quãng đường AB dài 240km Bài 23: Nếu mở cả hai vòi nước chảy vào mệt bể cạn thì sau 2 giờ 55phút bể đầy bể. Nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là hai giờ. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể? Bài 24: Hai tổ học sinh trồng được một số cây trong sân trường. Nếu lấy 5 cây của tổ 2 chuyển cho tổ một thì số cây trồng được của cả hai tổ sẽ bằng nhau. Nếu lấy 10 cây của tổ một chuyển cho tổ hai thì số cây trồng được của tổ hai sẽ gấp đôi số cây của tổ một. Hỏi mỗi tổ trồng được bao nhiêu cây? Bài 25: Hai ô tô A và B khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh cách nhau 150km, đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô, biết rằng nếu vận tốc của ô tô A tăng thêm 5km/h và vận tốc ô tô B giảm 5km/h thì vận tốc của ô tô A bằng 2 lần vận tốc của ô tô B. Bài 26: Hai hợp tác xã đã bán cho nhà nước 860 tấn thóc. Tính số thóc mà mỗi hợp tác xã đã bán cho nhà nước. Biết rằng 3 lần số thóc hợp tác xã thứ nhất bán cho nhà nước nhiều hơn hai lần số thóc hợp tác xã thứ hai bán là 280 tấn ôn tập hình học 9 Phần 1 : hình học phẳng A. lý thuyết: I.Đường tròn: 1,Định nghĩa: GV: Phạm Thị Dự 25 Trường THCS Nam Hồng
  26. Hướng dẫn ôn thi vào 10 Tập hợp các điểm cách điểm 0 cho trước một khoảng cách R > 0 không đổi gọi là đường tròn tâm 0 bán kính R . Kí hiệu : ( 0 ; R) 2, Vị trí tương đối: * Của một điểm với một đường tròn : xét (0 ; R ) và điểm M bất kì vị trí tương đối Hệ thức M nằm ngoài ( O ; R ) OM > R M nằm trên ( O ; R ) hay M thuộc ( O ; OM = R R) M nằm trong ( O ; R ) OM R nhau * Của hai đường tròn : xét ( O;R) và (O’; R’) ( với d = O O’ ) vị trí tương đối Số điểm chung Hệ thức Hai đường tròn cắt nhau 2 R – r R + r nhau : GV: Phạm Thị Dự 26 Trường THCS Nam Hồng
  27. Hướng dẫn ôn thi vào 10 +đường tròn lớn đựng đường tròn nhỏ : d < R -r 3 . Tiếp tuyến của đường tròn : a. Định nghĩa : đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến của một đường tròn nếu nó chỉ có một điểm chung với đường đó . b, Tính chất : + Tính chất 1 : Nếu một đường thẳng là một tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đI qua tiếp điểm . + Tính chất 2 : Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì giao điểm này cách đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến . c, Cách chứng minh : Cách 1 : chứng minh đường thẳng đó có một điểm chung với đường tròn đó . Cách 2 : chứng minh đường thẳng đó vuông góc với bán kính của đường tròn đó tại một điểm và điểm đó thuộc đường tròn . 4 . Quan hệ giữa đường kính và dây cung : * Định lí 1 : Đường kính vuông góc với một dây cung thì chia dây cung ấy ra thành hai phần bằng nhau . * Định lí 2 : Đường kính đI qua trung điểm của một dây cung không đi qua tâm thì vuông góc với dây cung ấy. 5 . Quan hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm : * Định lí 1 : Trong một đường tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm . * Định lí 2 : Trong hai dây cung không bằng nhau của một đường tròn, dây cung lớn hơn khi và chỉ khi nó gần tâm hơn . II. Góc trong đường tròn: 1, Các loại góc trong đường tròn: - Góc ở tâm - Góc nội tiếp - Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đường tròn - Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung 2, Mối quan hệ giữa cung và dây cung: * Định lí 1: Đối với hai cung nhỏ trong một đường tròn: a, Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau b, Đảo lại, hai dây bằng nhau trương hai cung bằng nhau. * Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ trong một đường tròn: GV: Phạm Thị Dự 27 Trường THCS Nam Hồng
  28. Hướng dẫn ôn thi vào 10 a, Cung lớn hơn căng dây lớn hơn b, Dây lớn hơn trương cung lớn hơn. 3, Tứ giác nội tiếp: a, Định nghĩa: Tứ giác nội tiếp một đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn . Đương tròn đó được gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác. b, Cách chứng minh : * Cách 1: chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng thuộc một đường tròn * Cách 2: chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800 * Cách 3: chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh đối diện dưới cùng một góc. B. Bài tập: Bài 1: Cho tam giác ABC ( Â= 1v ), đường cao AH. Đường tròn đường kính AH cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E và F. a. CM: tứ giác AEHF là hình chữ nhật. b. CM: tứ giác EFCB nội tiếp. c. Đường thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC tại I. Chứng minh I là trung điểm của BC. d. CMR: Nếu S ABC = 2. S AEHF thì tam giác ABC vuông cân. Bài 2: Cho tam giác ABC ( AB> AC ) nội tiếp (O). Vẽ đường phân giác của góc  cắt (O) tại M. Nối OM cắt BC tại I. 1. Chứng minh tam giác BMC cân. 2. Chứng minh: góc BMA < góc AMC. 3. Chứng minh: góc ABC + góc ACB = góc BMC. 4. Đường cao AH và BP của tam giác ABC cắt nhau tại Q. Chứng minh OH // AH. 5. Trên AH lấy điểm D sao cho AD = MO. Tứ giác OMDA là hình gì? 6. Chứng minh AM là phân giác của góc OAH. 1 7. OM kéo dài cắt (O) tại N. Vẽ OE vuông góc với NC. Chứng minh OE MB . 2 8. Chứng minh tứ giác OICE nội tiếp. Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác OICE. 9. Chứng minh các tứ giác ABHP và QPCH nội tiếp. 10. Từ C vẽ tiếp tuyến của (O) cắt BM kéo dài tại K. Chứng minh CM là phân giác của góc BCK. GV: Phạm Thị Dự 28 Trường THCS Nam Hồng
  29. Hướng dẫn ôn thi vào 10 11. So sánh các góc KMC và KCB với góc A. 12. Từ B vẽ đường thẳng song song với OM cắt CM tại S. Chứng minh tam giác BMS cân tại M. 13. 13.Chứng minh góc S = góc EOI – góc MOC. 14. Chứng minh góc SBC = góc NCM. 15. Chứng minh góc ABF = góc AON. 16. Từ A kẻ AF // BC, F thuộc (O). Chứng minh BF = CA. Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại D, E. Gọi I là giao điểm của BE và CD. 1. Chứng minh AI vuông góc với BC. 2. Chứng minh góc IDE = góc IAE. 3. Chứng minh : AE . EC = BE . EI. 4. Cho góc BAC = 600 . Chứng minh tam giác DOE đều. Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Đường cao AH của tam giác ABC cắt (O) tại D , AO kéo dài cắt (O) tại E. a. Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân. b. Gọi M là điểm chình giữa của cung DE, OM cắt BC tại I. Chứng minh I là trung điểm của BC. c. Tính bán kính của (O) biết BC = 24 cm và IM = 8 cm. Bài 5: Trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB lấy hai điểm M và N sao cho các cung AM, MN, NB bằng nhau. Gọi P là giao điểm của AM và BN, H là giao điểm của AN với BM. CMR: a. Tứ giác AMNB là hình thang cân. b. PH ┴ AB. Từ đó suy ra P, H, O thẳng hàng. c. ON là tiếp tuyến của đường tròn đươnngf kính PH. Bài 6: Cho (O, R) , dây cung AB AC ), đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm I đường kính BH cắt AB tại E, đường tròn tâm K đường kính CH cắt AC tại F. a. Tứ giác AEHF là hình gì? GV: Phạm Thị Dự 29 Trường THCS Nam Hồng
  30. Hướng dẫn ôn thi vào 10 b. Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp. c. Chứng minh AE . AB = AF . AC. d. Chứmg minh EF là tiếp tuyến chung của (O) và (I). e. Gọi Ax là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh Ax // EF. Bài 8: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm D thuộc AB. Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với CD tại H, đường thẳng BH cắt CA tại E. a. Chứng minh tứ giác AHBC nội tiếp. b. Tính góc AHE. c. Chứng minh tam giác EAH và EBC đồng dạng. d. Chứng minh AD = AE. e. Khi điểm D di chuyển trên cạnh AB thì điểm H di chuyển trên đường nào? Bài 9: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC ( AB > BC ; AD > CD ). Gọi E là giao điểm của AB và CD, F là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: a. EF ┴ AC b. DA . DF = DC . DE c. Tứ giác BDFE nội tiếp. Bài 10: Cho đường tròn tâm O đường kính BC, điểm A thuộc (O). Vẽ bán kính OK // BA ( K và A nằm cùng phía đối với BC ). Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại C cắt OK tại I. a. Chứng minh IA là tiếp tuyến của (O). b. Chứng minh CK là tia phân giác của góc ACI. c. Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm. Tính OI, CI. Bài 11: Cho đoạn thẳng AB và O là trung điểm của AB. Vẽ về cùng phía với AB các tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Các điểm M, N theo thứ tự di chuyển trên Ax và By sao cho góc MON = 900. Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng : a. AB là tiếp tuyến của (I ; IO). b. MO là tia phân giác của góc AMN. c. MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB. d. Khi các điểm M, N di chuyển trên Ax, By thì tích AM. BN không dổi. Bài 12: Cho (O;R) và (O’; r)tiếp xúc ngoài tại A. Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn ( B thuộc (O); C thuộc (O’) ). Tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn tại A cắt BC tại M. a. Chứng minh A, B, C thuộc đường tròn tâm M. b. Đường thẳng OO’ có vị trí tương đối gì với (M) nói trên? GV: Phạm Thị Dự 30 Trường THCS Nam Hồng
  31. Hướng dẫn ôn thi vào 10 c. Xác định tâm đường tròn đi qua ba điểm O, O’ , M. d. Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn đi qua ba điểm O, O’, M. Bài 13: Cho (O) và (O’)tiếp xúcngoài tại A. Đường thẳng Ô’ cắt (O) và (O’) theo thứ tự tạu B và C ( khác A ). Gọi DE là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn ( D thuộc (O); E thuộc (O’)) . M là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng : a. Góc DME là góc vuông. b. MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn. c. MD . MB = ME . MC. Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), đường cao BD, CE , M là trung điểm của BC. a. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp. b. Chứng minh các tam giác ADE và ABC đồng dạng . c. Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) . Chứng minh Ax // DE. d. Chứng minh rằng nếu góc BAC = 600 thì tam giác DME là tam giác đều. Bài 15: Cho (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Vẽ các tiếp tuyến AB và AC , cát tuyến ADE. Gọi H là trung điểm của DE. a. Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp. b. Chứng minh HA là tia phân giác của góc BHA. c. Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng minh : AB2 = AI . AH. d. BH cắt (O) tại K . Chứng minh AE // CK. Bài 16: Cho (O), đường tròn AB. Vẽ tiếp tuyến xBy. Gọi C,D là hai điểm di động trên hai nửa mặt phẳng bờ AB đối nhau. Tia AC cắt Bx tại M, tia AD cắt By tại N. a. Chứng minh các tam giác ACD và AMN đồng dạng. b. Tứ giác MNDC nội tiếp. c. Chứng minh AC . AM = AD . AN và tích này không đổi khi C, D di động. Bài 17: Xét nửa đường tròn (O), đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn. kẻ tiếp tuyến Ax và dây AC bất kỳ. Tia phân giác của góc Cax cắt nửa đường tròn tại D, các tia AD và BC cắt nhau tại E. a. Chứng minh tam giác ABE cân tại B. b. Các dây AC và BD cắt nhau tại K. Chứng minh EK ┴ AB. c. Tia BD cắt tia Ax tại F. Chứng minh tứ giác AKEF là hình thoi. GV: Phạm Thị Dự 31 Trường THCS Nam Hồng
  32. Hướng dẫn ôn thi vào 10 Bài 18: Cho nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong nửa đường tròn (O ; R). Hai tiếp tuyến tại B và D cắt nhau tại T. a. Chứng minh rằng OT // AB. b. Chứng minh ba điểm O, C, T thẳng hàng. c. Tính chu vi và diện tích tam giác TBD theo R. d. Tính diện tích hình giới hạn bởi hai cạnh TB, TD và cung BCD theo R. Bài 19: Hai đườngtròn (O) và (O’) có bán kính R và R’ ( R > R’) tiếp xúc ngoài nhau tại C. Gọi AC và BC là hai đường kính đi qua C của (O) và (O’). DE là dây cung của (O) vuông góc với AB tại trung điểm của M của AB. Gọi giao điểm thứ hai của đường thẳng DC với (O’) là F. a. Tứ giác AEBD là hình gì? b. Chứng minh rằng ba điểm B, E, F thẳng hàng. c. Chứng minh tứ giác MDBF nội tiếp. d. DB cắt (O’) tại G. Chứng minh DF, EG, AB đồng qui. 1 e. Chứng minh MF DE và MF là tiếp tuyến của (O’). 2 Bài 20: Cho đường tròn tâm O, đường kính AC. Trên đoạn OC lấy một điểm B và vẽ đường tròn tâm O’ đường kính BC. Gọi M là trung điểm của AB. Từ M kẻ dây cung DE vuông góc với AB, DC cắt (O’) tại I. a.Tứ giác ADBE là hình gì ? tại sao? b.Chứng minh BI // AD. c.Chứng minh ba điểm I, B, E thẳng hàng và MD = MI. d.Xác định và giải thích vị trí tương đối của đường thẳng MI với (O’). Bài 21: Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN của đường tròn đó. Gọi I là trung điểm của dây MN. a. Chứng minh 5 điểm A,B,I,O,C cùng nằm trên một đường tròn. b. Nếu AB = OB thì tứ giác ABOC là hình gì ? Tại sao? Tính diện tích hình tròn và độ dài đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC theo bán kính R của (O). Bài 22: Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Tia phân giác của góc A cắt BC tại D, cắt (O) tại E. Tiếp tuyến của đường tròn tại A cắt đường thẳng BC tại M. a. Chứng minh MA = MD. b. Gọi I là điểm đối xứng với D qua M, gọi F là giao điểm của IA với (O).Chứng minh E, O, F thẳng hàng. GV: Phạm Thị Dự 32 Trường THCS Nam Hồng
  33. Hướng dẫn ôn thi vào 10 Bài 23: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng (O) đường kính MC. Đường thẳng BM cắt (O) tại D. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại S. a. Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp. CA là tia phân giác của góc SCB. b. Gọi E là giao điểm của BC với (O) . Chứng minh các đường thẳng BA, EM, CD đồng qui. c. Chứng minh DM là phân giác của góc ADE. d. Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE. Bài 24: Cho tam giác ABC vuông tại A. a. Nêu cách dựng (O) qua A và tiếp xúc với BC tại B. Nêu cách dựng (O’) qua tiếp xúc với BC tại C. b. Hai đường tròn (O) và (O’) ở vị trí tương đối nào? c. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tiếp tuyến chung của (O) và (O’). d. Cho AB = 36cm, AC = 48 cm. Tính độ dài BC và các bán kính của (O) , (O’). Bài 25: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, bán kính OC vuông góc với AB. Gọi M là một điểm di động trên cung BC ( M ≠ B, M ≠ C). AM cắt OC tại N. a. Chứng minh rằng tích AM . AN không đổi. b. Vẽ CD ┴ AM . Chứng minh các tứ giác MNOB và AODC nội tiếp. c. Xác định vị trí của điểm M trên cung BC để tam giác COD cân tại D. Bài 26: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), H là trực tâm của tam giác ABC, M là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. a. Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành. b. Gọi N và E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB và AC. Chứng minh ba điểm N. H , E thẳng hàng. c. Xác định vị trí của M để NE có độ dài lớn nhất. Bài 27: Cho (O,R) và (O’,r) tiếp xúc ngoài tại M ( R > r ). Đường thẳng OO’ cắt (O) tại C, cắt (O’) tại D . Tiếp tuyến chung ngoài AB (A (O), B (O') ) cắt đưòng thẳng OO’ tại H. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn ở M cắt AB tại I. a. Chứng minh các tam giác OIO’ và AMB là các tam giác vuông. b. Chứng minh AB 2 R.r . c. Tia AM cắt (O’) tại A’, tia BM cắt (O) tại B’. Chứng minh ba điểm A, O, B’ và A’ , O’ , B thẳng hàng và CD2 = BB’2 + AA’2. d. Gọi N và N’ lần lượt là giao điểm của AM với OI và BM với O’I. Tính độ dài các đoạn thẳng MI, AB, OI, O’I, OH, O’H theo R và r. Bài 28: Cho đường tròn (O) đường kính AB, một điểm C ( khác A, B ) nằm trên đường tròn . Tiếp tuyến Cx của (O) cắt tia AB tại I. Phân giác góc CIA cắt OC tại O’. GV: Phạm Thị Dự 33 Trường THCS Nam Hồng
  34. Hướng dẫn ôn thi vào 10 a. Chứng minh (O’, O’C) vừa tiếp xúc với (O) vừa tiếp xúc với đường thẳng AB. b. Gọi D,E theo thứ tự là giao điểm thứ hai của CA, CB với (O’). Chứng minh D, O’, E thẳng hàng . c. Tìm vị trí của C sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác OCI tiếp xúc với AC. Bài 29: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn. C và D là hai điểm di động trên nửa đường tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt tại E và F ( F nằm giữa B và E ). a. Chứng minh hai tam giác ABF và BDF đồng dạng. b. Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp. c. Khi D và C di động trên nửa đường tròn , chứng tỏ rằng : AC. AE = AD . AF = const . Bài 30: Cho (O). Vẽ hai dây AB và CD vuông góc tại M ở bên trong (O). Từ A vẽ một đường thẳng vuông góc với BC tại H, cắt CD tại E. F là điểm đối xứng của C qua AB. Tia AF cắt tia BD tại K. Chứng minh rằng: a. Góc MAH = góc MCB. b. Tam giác ADE cân. c. Tứ giác AHBK nội tiếp. Bài 31. Cho đoạn thẳng AB và C là một điểm nằm giữa A và B. Người ta kẻ trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax và By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy một điểm I. Tia Cz vuông góc với tia CI tại C và cắt By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P. Chứng minh: a. Tứ giác CPKB nội tiếp. b. AI.BK=AC.CB. c. APB vuông. d. Giả sử A, B, I cố định. Hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn nhất. Bài 32. Cho (O) và một điểm A nằm ngoài (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với (O). (B, C, M, N cùng thuộc (O); AM<AN). Gọi E là trung điểm của dây MN, I là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE với (O). a. Chứng minh bốn điểm A, O, E, C cùng nằm trên một đường tròn. b. Chứng minh góc AOC=góc BIC c. Chứng minh BI//MN. d. Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất. Bài 33. Cho tam giác ABC vuông ở A (AB<AC), đường cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy D sao cho HD=HB. Vẽ CE vuông góc với AD (E AD). a. Chứng minh tứ giác AHCE nội tiếp. b. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHCE. c. Chứng minh CH là tia phân giác của góc ACE. d. Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng CA, CH và cung nhỏ AH của đường tròn nói trên biết AC=6cm; góc ACB = 30o. Bài 34. Cho (O) có đường kính BC. Gọi A là một điểm thuộc cung BC (cung AB < cung AC). D là điểm thuộc bán kính OC. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC ở E, cắt tia BA ở F. a. Chứng minh tứ giác ADCF nội tiếp. GV: Phạm Thị Dự 34 Trường THCS Nam Hồng
  35. Hướng dẫn ôn thi vào 10 b. Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh: góc AME=2 góc ACB. c. Chứng minh AM là tiếp tuyến của (O). d. Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng BC, BA và cung nhỏ AC của (O) biết BC=8cm; góc ABC = 60o. Bài 35. Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R và một điểm M di chuyển trên nửa đường tròn. Người ta vẽ đường tròn tâm E tiếp xúc với (O) tại M và tiếp xúc với AB tại N. Đường tròn này cắt MA, MB lần lượt tại các điểm thứ hai C, D. a. Chứng minh CD//AB. b. Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đường thẳng MN đi qua một điểm K cố định. c. Chứng minh tích KM.KN cố định. d. Gọi giao điểm của các tia CN, DN với KB, KA lần lượt là C', D'. Tìm vị trí của M để chu vi tam giác NC'D' đạt giá trị nhỏ nhất có thể được. Bài 36. Cho một đường tròn đường kính AB, các điểm C, D ở trên đường tròn sao cho C, D không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD>AC. Gọi các điểm chính giữa các cung AC, AD lần lượt là M, N. Giao điểm của MN với AC, AD lần lượt là H, I. Giao điểm của MD với CN là K. a. CM: NKD và MAK cân. b. CM: tứ giác MCKH nội tiếp được. Suy ra KH//AD. c. So sánh các góc CAK với góc DAK. d. Tìm một hệ thức giữa số đo AC, số đo AD là điều kiện cần và đủ để AK//ND. Bài 37. Cho (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A và tiếp tuyến chung Ax. Một đường thẳng d tiếp xúc với (O 1), (O2) lần lượt tại B, C và cắt Ax tại điểm M. Kẻ các đường kính BO 1D, CO2E. a. Chứng minh M là trung điểm BC. b. Chứng minh O1MO2 vuông. c. Chứng minh B, A, E thẳng hàng; C, A, D thẳng hàng. d. Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác IO 1O2 tiếp xúc với d. d. Phần 2: Hình học không gian. A.Lý thuyết: I. Một số kiến thức cơ bản về hình học không gian: 1. Các vị trí tương đối: a.Vị trí tương đối của hai đường thẳng: * a // b a , b  (P), a và b không có điểm chung. * a cắt b a , b  (P), a và b có một điểm chung. * a và b chéo nhau a và b không cùng thuộc một mặt phẳng. b. Vị trí tương đối của đường thẳng a và mặt phẳng (P): * a // (P) a và (P) không có điểm chung. * a cắt (P) a và (P) có một điểm chung. GV: Phạm Thị Dự 35 Trường THCS Nam Hồng
  36. Hướng dẫn ôn thi vào 10 * a  (P) a và (P) có vô số điểm chung. c. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng (P) và (Q): * (P) // (Q) không có điểm chung. * (P)  (Q) = a có một đường thẳng a chung ( a gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng). * (P)  (Q). 2. Một số cách chứng minh: a. Chứng minh hai đường thẳng song song: C1: a và b cùng thuộc một mặt phẳng. a và b không có điểm chung. C2: a // c và b // c. (P) //(Q)  C3 : (P)  (R) a a // b (Q)  (R) b b.Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng: a // b   a //(P) b  (P) c.Chứng minh hai mặt phẳng song song: a,b  (Q),aXb  (P) //(Q) a //(P),b //(P)  d.Chứng minh hai đường thẳng vuông góc: a  (P)  a  b b  (P) e.Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: a  b,a  c   a  (P) bXc,b  (P),c  (P) g.Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: a  (P)  (P)  (Q) a  (Q) II. Một số hình không gian: 1. Hình lăng trụ: 1. Hình trụ: Sxq = P . h với P: chu vi đáy Sxq = P.h = 2 R.h với R: bán kính đáy V = B . h h : chiều cao V = B.h = R2.h h: chiều cao. B: diện tích đáy GV: Phạm Thị Dự 36 Trường THCS Nam Hồng
  37. Hướng dẫn ôn thi vào 10 2. Hình chóp: 2. Hình nón: 1 1 S P.d S P.d R.l xq 2 xq 2 với d: đường cao mặt bên 1 1 1 V B.h V B.h R 2 .h 3 3 3 d: đường sinh; h: chiều cao. 3. Hình chóp cụt: 3. Hình nón cụt: 1 1 S P P' .d S P P' .d R r d xq 2 xq 2 1 1 .h V B B' B.B' .h V B B' B.B' .h R 2 r 2 R.r 3 3 3 4. Hình cầu: S 4 R 2 4 V R 3 3 B. Bài tập: Bài 1: Cho hình bình hành ABCD và điểm S nằm ngoài mp(ABCD). Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của SA, SD. Tứ giác MNCB là hình gì? Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi G, H theo thứ tự là trung điểm của AD, CD. Lấy điểm E AB, F 1 1 BC sao cho: AE AB;CF CB . 4 4 a. Chứng minh GH // (ABC); EF // (ACD); EF // GH. b. Gọi I là giao điểm của EG và (BCD). CMR: F, H, I thẳng hàng. Bài 3: CMR: Nếu một mặt phẳng song song với đường thẳng a của mp(Q) mà (P) và (Q) cắt nhau thì giao tuyến của chúng song song với a. Bài 4: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d. Một mặt phẳng thứ ba (R) cắt (P) , (Q) theo thứ tự là các giao tuyến a và b. CMR: a. Nếu a x d = M thì a, b, d đồng qui. b. Nếu a // d thì a, b, d đôi một song song. 1 1 Bài 5: Cho tứ diện S.ABC, điểm D SA sao cho SD SA, E AB sao cho BE BA . Gọi M 4 4 là trung điểm của SC, I là giao điểm của DM và AC, N là giao điểm của IE và BC. CMR: a. SB // (IDE). b. N là trung điểm của BC. GV: Phạm Thị Dự 37 Trường THCS Nam Hồng
  38. Hướng dẫn ôn thi vào 10 Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Một đường thẳng d  (ABC) tại A. Trên d lấy điểm S bất kỳ. a. Chứng minh BC  SH. b. Kẻ AI là đường cao của tam giác SAH. Chứng minh AI  (SBC). c. Cho AB = 15 cm, AC = 20 cm , SA = 16 cm. Tính BC, SH rồi tính Sxq, Stp, V của hình chóp S . ABC. Bài 7: Cho tam giác ABC đều và trung tuyến AM, điểm I AM sao cho IA = 2.IM . Qua I vẽ đường thẳng d vuông góc với mp(ABC), trên d lấy điểm S bất kỳ. a. Chứng minh SA = SB = SC. b. Gọi IH là đường cao của tam giác SIM. CMR: IH  (SBC). c. Tính Sxq và V của hình chóp S . ABC biết AB 3 3cm ; SA = 5 cm. 1 1 Bài 8: Cho tứ diện S . ABC. Điểm E SA, F AB sao cho SE SA; BF BA . Gọi G, H 3 3 theo thứ tự là trung điểm của SC, BC. CMR: a. EF // GH. b. EG, FH, AC đồng qui. Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 8 cm, AC = 6 cm. Một đường thẳng d vuông góc vói mp(ABC) tại B, trên d lấy điểm S sao cho SA = 10 cm. a. CMR: SB  AC. b. Tính SB, BC, SC. c. CM: Tam giác SAC vuông. d. Tính Stp , V. Bài 10: Cho hình vuông ABCD cạnh 3 cm. Trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABCD) tại A lấy điểm S sao cho SA = 4 cm. CMR: a. (SAB)  (SAD). b. SC  BD. c. Các tam giác SBC và SDC vuông. d. Tính Sxq , V của hình chóp S . ABCD. Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABCD . A’B’C’D’ có đáy là hình thoi. Biét đường cao AA’ = 5 cm, các đường chéo AC’ = 15 cm , DB’ = 9 cm. a. Tính AB? b. Tính Sxq, V của hình lăng trụ ABCD . A’B’C’D’. c. Tính Sxq, V của hình chóp B’ . ABCD. 0 Bài 12: Cho lăng trụ tam giác đều ABC . A’B’C’ có AA’ = 4 cm , góc BAB’ = 45 . Tính Sxq và V. GV: Phạm Thị Dự 38 Trường THCS Nam Hồng
  39. Hướng dẫn ôn thi vào 10 Bài 13: Hình hộp chữ nhật ABCD . A’B’C’D’ có AD = 3 cm, AB = 4 cm, BD’ = 13 cm. Tính Sxq và V ? Bài 14: Cho hình hộp chữ nhật ABCD . A’B’C’D’ có AB = 12 cm, AD = 16 cm, AA’ = 25 cm. a. CM: Các tứ giác ACC’A’, BDD’B’ là hình chữ nhật. b. CM: AC’2 = AB2 + AD2 + AA’2. c. Tính Stp , V ? 0 Bài 15: Cho hình hộp chữ nhật ABCD . A’B’C’D’có AB = AA’ = a và góc A’CA = 30 . Tính Stp và V ? Bài 16: Cho hình lập phương ABCD . A’B’C’D’ có độ dài cạnh là 6 cm . a. Tính đường chéo BD’. b. Tính Stp và V của hình chóp A’ . ABD. c. Tính Stp và V của hình chóp A’.BC’D. Bài 17: Một thùng hình trụ có diện tích xung quanh bằng tổng diện tích hai đáy, đường cao của hình trụ bằng 6 dm. Hỏi thùng chứa được bao nhiêu lít nước ? ( biết rằng 1 dm3 = 1 lít ). Bài 18: Một mặt phẳng qua trục OO’ của một hình trụ, phần mặt phẳng bị giới hạn bởi hình trụ ( còn gọi là thiết diện) là một hình chữ nhật có diện tích bằng 72 cm2. Tính bán kính đáy, đường cao của hình trụ biết rằng đường kính đáy bằng một nửa chiều cao. Bài 19: Một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình chữ nhật có chiều dài 4 cm, chiều rộng 3 cm. Tính Sxq và V của hình trụ đó. Bài 20: Cho hình nón đỉnh A, đường sinh AB = 5 cm, bán kính đáy OB = 3 cm. a. Tính Sxq của hình nón. b. Tính V của hình nón. c. Gọi CD là dây cung của (O; OB)vuông góc với OB. CMR: CD  (AOB). Bài 21: Cho tam giác ABC vuông tại A quay một vòng quanh AB. Tính bán kính đáy, đường cao 0 của hình nón tạo thành. Từ đó tính Sxq , và V của hình nón biết rằng BC = 6 cm, góc ACB = 60 . Bài 22: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng 4 cm. Tính Sxq và V . Bài 23: Một hình nón cụt có đường cao 12 cm, các bán kính đáy là 10 cm và 15 cm. a. Tính Sxq của hình nón cụt. b. Tính V của hình nón sinh ra hình nón cụt đó. 0 0 Bài 24: Một hình thang ABCD có góc A và góc D =90 , AB = BC = a , góc C = 60 . Tính Stp của hình tạo thành khi quay hình thang vuông một vòng xung quanh: a. Cạnh AD. b. Cạnh DC. GV: Phạm Thị Dự 39 Trường THCS Nam Hồng
  40. Hướng dẫn ôn thi vào 10 GV: Phạm Thị Dự 40 Trường THCS Nam Hồng