Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh - Môn Toán 9 THCS

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh - Môn Toán 9 THCS

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH THANH HểA NĂM HỌC 2011 - 2012 Đề CHíNH THứC MễN: TOÁN Lớp 9 thcs Thời gian làm bài 150 phỳt khụng kể thời gian phỏt đề Ngày thi: 23 thỏng 3 năm 2012 Cõu I (4đ) ổ x- 1 x + 8 ử ổ 3 x- 1+ 1 1 ử ỗ ữ ỗ ữ Cho biểu thức P = ỗ + ữ:ỗ - ữ ốỗ3+ x- 1 10- xữứ ốỗx- 3 x- 1- 1 x- 1ữứ 1) Rỳt gọn P 3 2 2 3 2 2 2) Tớnh giỏ trị của P khi x = 4 4 3 2 2 3 2 2 Cõu II (4đ) Trong cựng một hệ toạ độ, cho đường thẳng d: y = x – 2 và parabol (P): y = - x2. Gọi A và B là giao điểm của d và (P). 1) Tớnh độ dài AB. 2) Tỡm m để đường thẳng d’: y =- x = m cắt (P) tại hai điểm C và D sao cho CD = AB. Cõu III (4đ) x 2 x 2 y 1) Giải hệ phương trỡnh y 2 1 y . x 2 2) Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh 2x6 + y2 –2 x3y = 320 Cõu IV (6đ) Cho tam giỏc nhọn ABC cú AB > AC. Gọi M là trung điểm của BC; H là trực tõm; AD, BE, CF là cỏc đường cao của tam giỏc ABC. Kớ hiệu (C1) và (C2) lần lượt là đường trũn ngoại tiếp tam giỏc AEF và DKE, với K là giao điểm của EF và BC. Chứng minh rằng: 1) ME là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). 2) KH  AM. Cõu V (2đ) Với 0 x; y; z 1 . Tỡm tất cả cỏc nghiệm của phương trỡnh: x y z 3 1 y zx 1 z xy 1 x yz x y z (Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm) Họ và tờn thớ sinh SDB 1
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THANH HểA NĂM HỌC 2011-2012 Mụn : TOÁN Ngày thi :18/02/2012 Cõu I: 1, C1, ổ x- 1 x + 8 ử ổ 3 x- 1+ 1 1 ử ỗ ữ ỗ ữ a, P = ỗ + ữ:ỗ - ữ(ĐK: x > 1; x ạ 10 ; x ≠ 5) ốỗ3+ x- 1 10- xứữ ốỗx- 3 x- 1- 1 x- 1ứữ Đặt x 1 a ( a ≥ 0) 3a + 9 ộ1 2a + 4ự 3(a + 3) a(a- 3) 3a ị P = : ờ . ỳ= . = - (a + 3)(3- a) ởờa a- 3 ỷỳ (a + 3)(3- a) 2(a + 2) 2(a + 2) 3 x- 1 3 x- 1( x- 1- 2) P = - = - 2( x- 1+ 2) 2(x- 5) b, 3+ 2 2 3- 2 2 x = 4 - 4 = 4 (3+ 2 2)2 - 4 (3- 2 2)2 = 3+ 2 2 - 3- 2 2 3- 2 2 3+ 2 2 = 1+ 2 - ( 2 - 1) = 2 (T/M) a x 1 2 1 1 (T/m) 3a 3.1 1 ị P = - = - = - 2(a + 2) 2(1+ 2) 2 C2, ộ ự 3 x- 1+ 9 ờ 1 2 x- 1+ 4ỳ a, P = : ờ . ỳ (ĐK: x > 1; x ạ 10 ) 10- x ởờ x- 1 x- 1- 3 ỷỳ 3( x- 1+ 3) x- 1.( x- 1- 3) P = . 10- x 2 x- 1+ 4 3 x- 1(x- 10)( x- 1- 2) 3 x- 1 3 x- 1( x- 1- 2) P = = - = - 2(10- x)(x- 1- 4) 2( x- 1+ 2) 2(x- 5) 3+ 2 2 3- 2 2 b) x = 4 - 4 = 4 (3+ 2 2)2 - 4 (3- 2 2)2 = 3+ 2 2 - 3- 2 2 3- 2 2 3+ 2 2 1 => x=1+ 2 - ( 2 - 1) = 2 vỡ x>1 P = P 2 Cõu II: 1) Hoành độ giao điểm là nghiệm phương trỡnh x2 + x -2=0 => x = 1 hoặc x = 2 2 2 2 Vậy A(1,-1) và B(-2;-4) hoặc A(-2;-4) vàB(1;-1) AB = (x2 – x1) + (y2 - y1) = 18 AB = 3 2 2)Để (d’) cắt (P) tại 2 điểm phõn biệt thỡ phương trỡnh x2-x+m=0 (1) 2
3. 1 cú hai nghiệm phõn biệt D > 0 m < 4 2 2 2 Ta cú CD = (x1-x2) +(y1-y2) mà y2 y1 x2 m x1 m x1 x2 2 2 2 nờn: y2 y1 x2 m x1 m x1 x2 Ta cú AB2 =18 2 2 2 2 nờn CD = AB CD = AB (x2-x1) +(y2-y1) =18 (*) 2 2 2(x1-x2) = 18 (x1-x2) = 9 2 (x1+x2) - 4x1x2 = 9 1-4m-9 = 0 (Theo Viet) m = - 2 (TM) Cõu III 1,ĐK xạ 0, yạ 0 C1, Dựng phương phỏp thế rỳt y theo x từ (1) thay vào pt (2) ta cú pt: 3x3 4x2 4x 0 x 0 (0 t / m) x 3x2 4x 4 0 2 3x 4x 4 0 (*) x1 2 y1 1 (*) 2 1 x y 2 3 2 3 C2, Nhõn vế của hai PT được: (x+y)2 = 1 x+y = ± 1 (1) 2 x Chia vế của hai PT được: 4 x 2y (2) y Từ 4 PT trờn giải được (x;y) = (1/3;2/3); (2;-1); (-2/3;-1/3); (-2;1) Thử lại: Chỉ cú hai nghiệm thoả món HPT là: (-2;1) và (1/3;2/3) 2, GPT: 2x6 + y2 – x3y = 320 C1, y2 2x3y 2x6 320 0 ' x6 2x6 320 320 x6 0 x6 320 x 2 vỡ x Z x 0; 1; 2 * x 0 y I y Z * x 1 y I y Z 3 6 2 16 * x 2 ' 320 2 256 0 ' 16 y 1 KL : x; y 2; 24 ; 2;8 ; 2; 8 ; 2;24 Cõu IV: (Đổi điểm C1 thành C’, C2 thành C’’ cho dể đỏnh mỏy và vẽ hỡnh) 1) Ta cú RE = RF = 90o nờn tứ giỏc AEHF nội tiếp một đường trũn tõm chớnh là (C1) là trung điểm AH 3
4. R AEC' R B1 R A1 R BEM R MEC R CEK = R MCE R DEC   R AEC' R BEM R MEK R MDE   ME  C'E R MED R MKE   ME là tt cua (C') ME là tt cua (C'') 2, gọi giao điểm AM với (C’) là I. ta cú: ME là tt của (C’’) ME2 = MI. MA ME là tt của (C’’) ME2 = MD. MK MI. MA = MD. MK  AIDK nt AIK = ADK = 1v KI  AM (1) Ta lại cú: AIH = 1v (gúc nt chắn nửa (C’) HI  AM (2) Từ (1) và (2) I; H; K thẳng hàng KH  AM (Đpcm) x y z 3 Cõu V: GPT (1) 1 y zx 1 z xy 1 x yz x y z Do vai trũ x,y,z như nhau nờn 0 Ê x Ê y Ê z Ê 1 * TH1: Nếu x= 0 => 4
5. y z 3 + = 1+ z 1+ zy y + z y 1 z 1 1 = > ( - ) + ( - ) = 1+ z y + z 1+ zy y + z y + z (y - 1)(y + 1+ z) z2 - 1 1 = > + = (1+ z)(y + z) (1+ yz)(y + z) y + z Ta cú VT 1 zx x z Dấu “=” xảy ra khi: x=1 hoặc z=1. + Ta lại cú: 1 zx x z 1 y zx x y z x x 1 y zx x y z y y + Tương tự: 1 z xy x y z z z 1 x yz x y z x y z x y z VT 1 . (2) 1 y zx 1 z xy 1 x yz x y z + Mặt khỏc, vỡ: 0 x; y; z 1 x y z 3 . Dấu “=” xảy ra khi : x = y = z = 1 3 3 VP 1 Dấu “=” xảy ra khi : x = y = z = 1 (3) x y z 3 + Từ (2) và (3) VT VP chỉ đỳng khi: VT VP 1 .Khớ đú x = y = z =1. * Vậy phương trỡnh cú nghiệm duy nhất: x; y; z 1;1;1 . 5