Bài giảng Toán 12 - Bài: Tính đơn điệu của hàm số

Nội dung text: Bài giảng Toán 12 - Bài: Tính đơn điệu của hàm số

1. Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số ① Tóm tắt lý thuyết Nội dung ② Phân dạng bài tập bài học ③ Bài tập rèn luyện
2. ① Tóm tắt lý thuyết ➊. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số = ( ) có đạo hàm trên khoảng 퐾. Nếu hàm số đồng biến trên khoảng 퐾 thì ′ ≥ 0, ∀ ∈ 퐾. Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng 퐾 thì ′ ≤ 0, ∀ ∈ 퐾.
3. ① Tóm tắt lý thuyết ➋. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số = ( ) có đạo hàm trên khoảng 퐾.  Nếu ′ > 0, ∀ ∈ 퐾thì hàm số đồng biến trên khoảng 퐾.  Nếu ′ < 0, ∀ ∈ 퐾thì hàm số nghịch biến trên khoảng 퐾.  Nếu ′ = 0, ∀ ∈ 퐾thì hàm số không đổi trên khoảng 퐾.
4. ① Tóm tắt lý thuyết ❸. Định lý: Cho hàm số = ( ) có đạo hàm trên khoảng 퐾. Nếu ′( ) ≥ 0, ∀ ∈ 퐾 và ′( ) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số = ( ) đồng biến trên khoảng 퐾. Nếu ′( ) ≤ 0, ∀ ∈ 퐾 và ′( ) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số = ( ) nghịch biến trên khoảng 퐾.
5. ② Phân dạng bài tập ➀. Dạng 1. Nhận dạng khoảng đồng biến, nghịch biến từ bảng biến thiên. Phương pháp: Dấu y’ >0 trên khoảng (a;b). Suy ra hàm số đồng biến trên (a;b) Dấu y’ <0 trên khoảng (a;b). Suy ra hàm số nghịch biến trên (a;b)
6. ③ Bài tập rèn luyện Câu 1: Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây ? Ⓐ. (-2;+∞). Ⓑ. (-2;3). Ⓒ. (3;+∞). Ⓓ. (-∞;-2). Lời giải • Trong khoảng −2; 3 ta thấy y’>0. Suy ra hàm số đồng biến.
7. ② Phân dạng bài tập ➁. Dạng 2. Nhận dạng khoảng ĐB, NB từ đồ thị. Phương pháp: Dáng đồ thị tăng trên khoảng (a;b). Suy ra hàm số ĐB trên (a;b) Dáng đồ thị giảm trên khoảng (a;b). Suy ra hàm số NB trên (a;b)
8. ③ Bài tập rèn luyện Câu 1: Cho hàm số y=f(x) xác định, liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng? Ⓐ. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞ ; 1). Ⓑ. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞ ; -1). Ⓒ. Hàm số đồng biến trên khoảng (0 ; +∞). Ⓓ. Hàm số đồng biến trên khoảng (-3 ; +∞) y Lời giải 1 • Trong khoảng −∞ ; −1 ta thấy dáng O 1 x đồ thị đi lên . Suy ra hàm số đã cho ĐB. −1 • Trong các khoảng khác đồ thị hàm số có dáng đi lên và có cả đi xuống −3
9. ② Phân dạng bài tập ➂. Dạng 3. Nhận dạng khoảng ĐB, NB từ hàm số cho bởi công thức Phương pháp: Lập BBT Dựa vào BBT kết luận nhanh khoảng ĐB, NB
10. ③ Bài tập rèn luyện Câu 1: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên ℝ? Ⓐ. y = 3x3 + 3x − 2 . Ⓑ. = 2 3 − 5 + 1 . Ⓒ. = 4 + 3 2 . −2 Ⓓ. = . +1 Lời giải: •Đặc trưng hàm trùng phương là không đồng biến trên ℝ. Loại C. •Hàm bậc nhất trên nhất cũng không đồng biến trên ℝ. Loại D. •Xét đáp án A, ta có TXĐ: D = ℝ. •Đạo hàm: ′ = 9 2 + 3 > 0, ∀ ∈ ℝ.
11. ② Phân dạng bài tập ➃. Dạng 4. Toán tham số m . Hàm đa thức. .Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c có biệt thức 훥 = 2 − 4 . Ta có: > 0  ( ) ≥ 0, ∀ ∈ 푅 ⇔ ቊ 훥 ≤ 0 < 0  ( ) ≤ 0, ∀ ∈ 푅 ⇔ ቊ 훥 ≤ 0  . Chú ý: Xét hệ số = 0 khi nó có chứa tham số.
12. ② Phân dạng bài tập ➃. Dạng 4. Toán tham số m .Xét bài toán: “Tìm để hàm số y = f(x,m) đồng biến trên 퐾”. Ta thường thực hiện theo các bước sau: . Tính đạo hàm ′( , ) . Lý luận: Hàm số đồng biến trên 퐾 ⇔ ′ , ≥ 0, ∀ ∈ 퐾 ⇔ ≥ , ∀ ∈ 퐾, ngược lại ≤ ( ) . Lập bảng biến thiên của hàm số ( ) trên 퐾, từ đó suy ra giá trị cần tìm của m.
13. ② Phân dạng bài tập ➃. Dạng 4. Toán tham số m . Hàm số bậc 3: = ax3 + 2 + +  Hàm số đồng biến trên ℝ ⇔ ′ ≥ 0, ∀ ∈ ℝ ⇔ > 0 > 0 ቊ ⇔ ቊ 2 훥 ′ ≤ 0 − 3 ≤ 0  Hàm số nghịch biến trên ℝ ⇔ ′ ≤ 0, ∀ ∈ < 0 < 0 ℝ ⇔ ቊ ⇔ ቊ 2 훥 ′ ≤ 0 − 3 ≤ 0 . Chú ý: Xét hệ số = 0 khi nó có chứa tham số.
14. ② Phân dạng bài tập ➃. Dạng 4. Toán tham số m + Hàm phân thức hữu tỷ: = + ➊. Xét tính đơn điệu trên tập xác định: −  Tập xác định = ℝ\ − ; Đạo hàm ′ = + 2  Nếu y/ > 0,∀ ∈ , suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng −∞; − và − ; +∞  Nếu y/ < 0, ∀ ∈ , suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng −∞; − ; − ; +∞
15. ② Phân dạng bài tập ➃. Dạng 4. Toán tham số m + Hàm phân thức hữu tỷ: = + ➋. Xét tính đơn điệu trên khoảng (a; b) thuộc tập xác định D:  Nếu hàm số đồng biến trên khoảng ; thì − > 0, ∀ ∈ ; ቐ − ∉ ;  Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng ; thì − < 0, ∀ ∈ ; ቐ − ∉ ;
16. ③ Bài tập rèn luyện +4 Câu 1: Cho hàm số = với là tham số. Gọi + 푆 là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của 푆. Ⓐ. 5. Ⓑ. 4. Ⓒ. Vô số. Ⓓ. 3. 2−4 Giải: = ℝ\ − ; ′ = . + 2 • Hàm số NBtrên các khoảng xác định khi ′ < 0, ∀ ∈ ⇔ 2 − 4 < 0 ⇔ 0 < < 4 • Mà ∈ ℤ nên có 3 giá trị thỏa mãn.
17. ③ Bài tập rèn luyện Câu 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m +2 để hàm số y= đồng biến +3 trên khoảng −∞; −6 . Ⓐ. 2. Ⓑ. 6. Ⓒ. Vô số. Ⓓ. 1. Giải: Tập xác định: = −∞; −3 ∪ −3 ; +∞ . 3 −2 • Ta có ′ = +3 2 • Hàm số đồng biến trên khoảng −∞; −6 2 3 − 2 > 0 > 2 ⇔ ቊ ⇔ ൝ 3 ⇔ < ≤ 2. −6 ≤ −3 ≤ 2 3 • Mà nguyên nên = 1; 2 .
18. ③ Bài tập rèn luyện Câu 3: Cho hàm số = − 3 − 2 + 4 + 9 + 5, với m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng −∞; +∞ Ⓐ. 4. Ⓑ. 6. Ⓒ. 7. Ⓓ. 5. • Giải: ′ = −3 2 − 2 + 4 + 9. • Hàm số nghịch biến trên −∞; +∞ khi • ′ ≤ 0, ∀ ∈ −∞; +∞ = −3 < 0 • ⇔ ቊ 훥′ = 2 + 3 4 + 9 ≤ 0 • ⇔ ∈ −9; −3 ⇒ có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
19. ② Phân dạng bài tập ➄. Dạng 5. Bài toán cho đồ thị đạo hàm . Ghi nhớ: . Đồ thị hàm số y= f’(x) nằm phía trên trục ox trên khoảng (a;b). Suy ra hàm số y= f (x) đồng biến trên (a;b) . Đồ thị hàm số y= f’(x) nằm phía dưới trục ox trong khoảng (a;b). Suy ra hàm số y= f(x) nghịch biến trên (a;b) . Nếu cho đồ thị hàm số y= f’(x) mà hỏi sự biến thiên của hàm số hợp y= f(u) thì sử dụng đạo hàm của hàm số hợp và xét dấu hàm số y= f’(u)
20. ③ Bài tập rèn luyện Câu 1: Cho hàm số = . Hàm số y= ′ có đồ thị như hình bên. Hàm số = 2 − đồng biến trên khoảng: Ⓐ. 1; 3 . Ⓑ. 2; +∞ . Ⓒ. −2; 1 . Ⓓ. −∞; 2 . ′ Giải : 2 − = 2 − ′. ′ 2 − = − ′ 2 − ′ • Hàm số đồng biến khi 2 − > 0 2 − 3 ⇔ ′ 2 − < 0 ⇔ ቈ ⇔ ቈ . 1 < 2 − < 4 −2 < < 1
21. ③ Bài tập rèn luyện Câu 2: Cho hàm số , hàm số = ′ liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình > + nghiệm đúng với mọi ∈ 0; 2 khi và chỉ khi Ⓐ. ≤ 2 − 2. Ⓑ. + , ∀ ∈ 0; 2 ⇔ < − , ∀ ∈ 0; 2 . • Xét hàm số = − trên 0; 2 . • Ta có ′ = ′ − 1. • Dựa vào đồ thị ta có ′ < 1, ∀ ∈ 0; 2 .
22. ′ Câu 2: Cho③ hàm số Bài, hàm tập rènsố luyện= liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình > + nghiệm đúng với mọi ∈ 0; 2 khi và chỉ khi Ⓐ. ≤ 2 − 2. Ⓑ. < 2 − 2. Ⓒ. ≤ 0 . Ⓓ. < 0 . • Suy ra ′ < 0, ∀ ∈ 0; 2 . • Do đó nghịch biến trên 0; 2 . • Dựa vào bảng biến thiên suy ra < , ∀ ∈ 0; 2 ⇔ ≤ 2 − 2.
23. Chọn bộ giáo án toán 12 LH:zalo 0919581049