Tuyển tập các bài toán Đại số ôn thi vào Lớp 10 THPT môn Toán

63 trang dichphong 6030

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tuyển tập các bài toán Đại số ôn thi vào Lớp 10 THPT môn Toán", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

tuyen_tap_cac_bai_toan_dai_so_on_thi_vao_lop_10_thpt_mon_toa.doc

Nội dung text: Tuyển tập các bài toán Đại số ôn thi vào Lớp 10 THPT môn Toán

ÔN TUYỂN SINH 10 1 2 2 x y x y 3 x 4 y 8 3 x 2 4 y 2 3 a) b) c) (®k x;y 2 ) 5 4 3 2 x y 2 2 x 2 y 2 1 x y x y 6x 6y 5xy x 3y 5 y 2 x 1 3 (x y)(x 2y) 0 2x 3y 5 ; ; 4 3 ; ; x y 1 x 2y 5 1 x 5y 3 2 2 3 3 5 x y 3x 3y 3 2 3 (x 1) 2(y 2) 5 (x 5)(y 2) (x 2)(y 1) ; ; . 2x 3y 6 2 3(x 1) (y 2) 1 (x 4)(y 7) (x 3)(y 4) (x 1)(y 2) (x 1)(y 3) 4 3(x y) 5(x y) 12 ; ; (x 3)(y 1) (x 3)(y 5) 1 5(x y) 2(x y) 11 1 1 4 1 2 1 5 5 7 5 2 4,5 x y 5 x y x y 2x 3y 3x y 8 x y 2 x y 1 ; ; ; 1 1 1 5 4 3 5 3 3 2 3 4 x y 5 x y x y 2x 3y 3x y 8 x y 2 x y 1 Chñ ®Ò IV Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp hÖ ph¬ng tr×nh. II, LÝ thuyÕt cÇn nhí: * B-íc 1: + LËp HPT - Chän Èn, t×m ®¬n vÞ vµ §K cho Èn. - BiÓu diÔn mèi quan hÖ cßn l¹i qua Èn vµ c¸c ®¹i l-îng ®· biÕt. - LËp HPT. * B-íc 2: Gi¶i HPT. * B-íc 3: §èi chiÕu víi §K ®Ó tr¶ lêi. III, Bµi tËp vµ híng dÉn: Bµi 1. Hai « t« cïng khëi hµnh mét lóc tõ hai tØnh A vµ B c¸ch nhau 160 km, ®i ng-îc chiÒu nhau vµ gÆp nhau sau 2 giê. T×m vËn tèc cña mçi « t« biÕt r»ng nÕu « t« ®i tõ A t¨ng vËn tèc thªm 10 km/h sÏ b»ng hai lÇn vËn tèc «t« ®i tõ B. Bµi 2. Mét ng-êi ®i xe m¸y ®i tõ A ®Õn B trong mét thêi gian dù ®Þnh. NÕu vËn tèc t¨ng14 km/h th× ®Õn B sím h¬n 2 giê. nÕu vËn tèc gi¶m 2 km/h th× ®Õn B muén 1 giê. TÝnh qu·ng ®-êng AB, vËn tèc vµ thêi gian dù ®Þnh. Bµi 3. Hai ca n« cïng khëi hµnh tõ hai bÕn A, B c¸ch nhau 85 km , ®i ng-îc chiÒu nhau vµ gÆp nhau sau 1 giê 40 phót.TÝnh vËn tèc riªng cña mçi ca n« biÕt r»ng vËn tèc cña ca n« xu«i dßng lín h¬n vËn tèc cña ca n« ng-îc dßng lµ 9 km/h (cã c¶ vËn tèc dßng n-íc) vµ vËn tèc dßng n-íc lµ 3 km/h. Bµi 4. Mét ca n« xu«i dßng 108 km vµ ng-îc dßng 63 km hÕt 7 giê. Mét lÇn kh¸c ca n« xu«i dßng 81 km vµ ng-îc dßng 84 km còng hÕt 7 giê. TÝnh vËn tèc cña dßng n-íc vµ vËn tèc thËt cña ca n«. Nguyễn Tấn Cường 18 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 Bµi 5. Mét « t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B dµi 120 km. §i ®-îc nöa qu·ng ®-êng xe nghØ 30 phót nªn ®Ó ®Õn n¬i ®óng giê xe ph¶i t¨ng vËn tèc thªm 5 km/h n÷a trªn qu·ng ®-êng cßn l¹i. TÝnh thêi gian xe ch¹y. Bµi 6. Hai ng-êi ®i ng-îc chiÒu vÒ phÝa nhau.M ®i tõ A lóc 6 giê s¸ng vÒ phÝa B. N ®i tõ B lóc 7 giê s¸ng vÒ phÝa A. Hä gÆp nhau lóc 8 giê s¸ng. TÝnh thêi gian mçi ng-êi ®i hÕt qu·ng ®-êng AB. BiÕt M ®Õn B tr-íc N ®Õn A lµ 1 giê 20 phót. 2 1 1 x y HPT: 1 y x 3 Bµi 7. Hai « t« khëi hµnh cïng mét lóc tõ A vµ B ng-îc chiÒu vÒ phÝa nhau. TÝnh qu·ng ®-êng AB vµ vËn tèc cña mçi xe. BiÕt r»ng sau 2 giê hai xe gÆp nhau t¹i mét ®iÓm c¸ch chÝnh gi÷a qu·ng ®-êng AB lµ 10 km vµ xe ®i chËm t¨ng vËn tèc gÊp ®«i th× hai xe gÆp nhau sau 1 giê 24 phót. x y 10 HPT: 2 1 (x 2y) 2(x y) 5 Bµi 8. Hai líp 9A vµ 9B cã tæng céng 70 HS. nÕu chuyÓn 5 HS tõ líp 9A sang líp 9B th× sè HS ë hai líp b»ng nhau. TÝnh sè HS mçi líp. Bµi 9. Hai tr-êng A, B cã 250 HS líp 9 dù thi vµo líp 10, kÕt qu¶ cã 210 HS ®· tróng tuyÓn. TÝnh riªng tØ lÖ ®ç th× tr-êng A ®¹t 80%, tr-êng B ®¹t 90%. Hái mçi tr-êng cã bao nhiªu HS líp 9 dù thi vµo líp 10. Bµi 10. Hai vßi n-íc cïng ch¶y vµo mét bÓ kh«ng cã n-íc sau 2 giê 55 phót th× ®Çy bÓ. NÕu ch¶y riªng th× vßi thø nhÊt cÇn Ýt thêi gian h¬n vßi thø hai lµ 2 giê. TÝnh thêi gian ®Ó mçi vßi ch¶y riªng th× ®Çy bÓ. Bµi 11. Hai tæ cïng lµm chung mét c«ng viÖc hoµn thµnh sau 15 giê. nÕu tæ mét lµm trong 5 giê, tæ hai lµm trong 3 giê th× ®-îc 30% c«ng viÖc. Hái nÕu lµm riªng th× mçi tæ hoµn thµnh trong bao l©u. Bµi 12. Mét thöa ruéng cã chu vi 200m . nÕu t¨ng chiÒu dµi thªm 5m, gi¶m chiÒu réng ®i 5m th× diÖn tÝch gi¶m ®i 75 m2 . TÝnh diÖn tÝch thöa ruéng ®ã. Bµi 13. Mét phßng häp cã 360 ghÕ ®-îc xÕp thµnh tõng hµng vµ mçi hµng cã sè ghÕ ngåi b»ng nhau. Nh-ng do sè ng-êi ®Õn häp lµ 400 nªn ph¶i kª thªm 1 hµng vµ mçi hµng ph¶i kª thªm 1 ghÕ míi ®ñ chç. TÝnh xem lóc ®Çu phßng häp cã bao nhiªu hµng ghÕ vµ mçi hµng cã bao nhiªu ghÕ. C©u II (2,5®):HN Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph¬ng tr×nh: Hai tæ s¶n xuÊt cïng may mét lo¹i ¸o. NÕu tæ thø nhÊt may trong 3 ngµy, tæ thø hai may trong 5 ngµy th× c¶ hai tæ may ®îc 1310 chiÕc ¸o. BiÕt r»ng trong mét ngµy tæ thø nhÊt may ®îc nhiÒu h¬n tæ thø hai lµ 10 chiÕc ¸o. Hái mçi tæ trong mét ngµy may ®îc bao nhiªu chiÕc ¸o? C©u III: (1,0®) C tho T×m hai sè a, b sao cho 7a + 4b = -4 vµ ®êng th¼ng ax + by = -1 ®i qua ®iÓm A(-2;-1). Bµi 3: (1,5®) hue 1 Hai m¸y ñi lµm viÖc trong vßng 12 giê th× san lÊp ®îc khu ®Êt. Nõu m¸y ñi thø nhÊt lµm mét m×nh 10 trong 42 giê råi nghØ vµ sau ®ã m¸y ñi thø hai lµm mét m×nh trong 22 giê th× c¶ hai m¸y ñi san lÊp ®îc 25% khu ®Êt ®ã. Hái nÕu lµm mét m×nh th× mçi m¸y ñi san lÊp xong khu ®Êt ®· cho trong bao l©u. Baøi 3: (1,50 ñieåm) KH Nguyễn Tấn Cường 19 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 Moät maûnh ñaát hình chöõ nhaät coù chieàu daøi hôn chieàu roäng 6(m) vaø bình phöông ñoä daøi ñöôøng cheùo gaáp 5 laàn chu vi. Xaùc ñònh chieàu daøi vaø chieàu roäng maûnh ñaát ñoù. Bài 3: Hà Tĩnh Một đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 15 tấn hàng. Khi sắp khởi hành thì 1 xe phải điều đi làm công việc khác, nên mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn 0,5 tấn hàng so với dự định. Hỏi thực tế có bao nhiêu xe tham gia vận chuyển. (biết khối lượng hàng mỗi xe chở như nhau) Câu 3: (2,5 điểm) BÌNH ĐỊNH Hai vòi nước cùng chảy vào 1 cái bể không có nước trong 6 giờ thì đầy bể. Nếu để riêng vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ, sau đó đóng lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 3 giờ nữa thì được 2/5 bể. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu? Baøi 3: (2,0 ñieåm) BÌNH ÑÒNH Ñeà chính thöùc Moät ngöôøi ñi xe maùy khôûi haønh töø Hoaøi AÂn ñi Quy Nhôn. Sau ñoù 75 phuùt, treân cuøng tuyeán ñöôøng ñoù moät oâtoâ khôûi haønh töø Quy Nhôn ñi Hoaøi AÂn vôùi vaän toác lôùn hôn vaän toác cuûa xe maùy laø 20 km/giôø. Hai xe gaëp nhau taïi Phuø Caùt. Tính vaän toác cuûa moãi xe, giaû thieát raèng Quy Nhôn caùch Hoaøi AÂn 100 km vaø Quy Nhôn caùch Phuø Caùt 30 km. C©u III: (1,5®). NghÖ An Mét thöa ruéng h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu réng ng¾n h¬n chiÒu dµi 45m. TÝnh diÖn tÝch thöa ruéng, biÕt r»ng nÕu chiÒu dµi gi¶m ®i 2 lÇn vµ chiÒu réng t¨ng 3 lÇn th× chu vi thöa ruéng kh«ng thay ®æi. Bµi 4. QUẢNG NINH (2,0 ®iÓm): Gi¶i bµi to¸n sau b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph¬ng tr×nh: Mét ca n« chuyÓn ®éng xu«i dßng tõ bÕn A ®Õn bÕn B sau ®ã chuyÓn ®éng ngîc dßng tõ B vÒ A hÕt tæng thêi gian lµ 5 giê . BiÕt qu·ng ®êng s«ng tõ A ®Õn B dµi 60 Km vµ vËn tèc dßng níc lµ 5 Km/h . TÝnh vËn tèc thùc cña ca n« (( VËn tèc cña ca n« khi níc ®øng yªn ) Câu 7 VĨNH PHÚC (1,5 điểm) Một người đi bộ từ A đến B với vận tốc 4 km/h, rồi đi ô tô từ B đến C với vận tốc 40 km/h. Lúc về anh ta đi xe đạp trên cả quãng đường CA với vận tốc 16 km/h. Biết rằng quãng đường AB ngắn hơn quãng đường BC là 24 km, và thời gian lúc đi bằng thời gian lúc về. Tính quãng đường AC. Câu 2 : PHÚ YÊN ( 2.0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Một đội xe cần phải chuyên chở 150 tấn hàng . Hôm làm việc có 5 xe được điều đi làm nhiệm vụ khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 5 tấn . Hỏi đội xe ban đầu có bao nhiêu chiếc ? ( biết rằng mỗi xe chở số hàng như nhau ) Bµi 3: (1,0 ®iÓm) hƯng yªn Mét ®éi xe cÇn chë 480 tÊn hµng. Khi s¾p khëi hµnh ®éi ®îc ®iÒu thªm 3 xe n÷a nªn mçi xe chë Ýt h¬n dù ®Þnh 8 tÊn. Hái lóc ®Çu ®éi xe cã bao nhiªu chiÕc? BiÕt r»ng c¸c xe chë nh nhau. Câu 4 (1,5 điểm) QUẢNG TRỊ Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là 720m 2, nếu tăng chiều dài thêm 6m và giảm chiều rộng đi 4m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính kích thước (chiều dài và chiều rộng) của mảnh vườn 2) H¶i d Ư¬ng Hai « t« cïng xuÊt ph¸t tõ A ®Õn B, « t« thø nhÊt ch¹y nhanh h¬n « t« thø hai mçi giê 10 km nªn ®Õn B sím h¬n « t« thø hai 1 giê. TÝnh vËn tèc hai xe « t«, biÕt qu·ng ®êng AB lµ 300 km. Nguyễn Tấn Cường 20 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 b) H¶i D¬ng chÝnh thøc Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 2 cm và diện tích của nó là 15 cm2. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó. Bµi 3 Hµ Giang ( 2,0 ®iÓm): Mét ngêi ®i xe ®¹p ph¶i ®i trong qu·ng ®êng dµi 150 km víi vËn tèc kh«ng ®æi trong mét thêi gian ®· ®Þnh. NÕu mçi giê ®i nhanh h¬n 5km th× ngêi Êy sÏ ®Õn sím h¬n thêi gian dù ®Þnh 2,5 giê. TÝnh thêi gian dù ®Þnh ®i cña ngêi Êy. Câu 3: (2đ) Long An Hai người đi xe đạp cùng xuất phát một lúc từ A đến B với vận tốc hơn kém nhau 3km/h. Nên đến B sớm ,mộn hơn kém nhau 30 phút. Tính vận tốc của mỗi người .Biết quàng đường AB dài 30 km. C©u 4: (1,5 ®iÓm) B¾c Ninh Hai gi¸ s¸ch cã chøa 450 cuèn. NÕu chuyÓn 50 cuèn tõ gi¸ thø nhÊt sang gi¸ thø hai th× sè s¸ch ë 4 gi¸ thø hai sÏ b»ng sè s¸ch ë gi¸ thø nhÊt. TÝnh sè s¸ch lóc ®Çu trong mçi gi¸ s¸ch. 5 C©u IV(1,5 ®iÓm) B¾c giang Mét «t« kh¸ch vµ mét «t« t¶i cïng xuÊt ph¸t tõ ®Þa ®iÓm A ®i ®Õn ®Þa ®iÓm B ®êng dµi 180 km do vËn tèc cña «t« kh¸ch lín h¬n «t« t¶i 10 km/h nªn «t« kh¸ch ®Õn B tríc «t« t¶i 36 phót.TÝnh vËn tèc cña mçi «t«. BiÕt r»ng trong qu¸ tr×nh ®i tõ A ®Õn B vËn tèc cña mçi «t« kh«ng ®æi. Bài 3: (1,5 điểm) ĐĂK LĂK Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 8m . Nếu tăng một cạnh góc vuông của tam giác lên 2 lần và giảm cạnh góc vuông còn lại xuống 3 lần thì được một tam giác vuông mới có diện tích là 51m2 . Tính độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông ban đầu. Bµi 2: (2,0 ®iÓm) B×NH D¦¥NG Mét h×nh ch÷ nhËt cã chu vi lµ 160m vµ diÖn tÝch lµ 1500m2. TÝnh chiÒu dµi vµ chiÒu réng h×nh ch÷ nhËt Êy . Chñ ®Ò V Ph¬ng tr×nh bËc hai+hÖ thøc vi-Ðt Tãm t¾t lÝ thuyÕt: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax2 + bx + c = 0 (a ≠0) (1) *Trong trường hợp giải và biện luận, cần chú ý khi a = 0 phương trình trở thành bậc nhất một ẩn (§5). A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Các dạng và cách giải Dạng 1: c = 0 khi đó x 0 2 1 ax bx 0 x ax+b 0 b x a Dạng 2: b = 0 khi đó c 1 ax2 c 0 x2 a Nguyễn Tấn Cường 21 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 c c -Nếu 0 thì x . a a c -Nếu 0 thì phương trình vô nghiệm. a Dạng 3: Tổng quát CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN b2 4ac ' b'2 ac 0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt ' 0: phương trình có 2 nghiệm phân biệt b b b' ' b' ' x ; x x ; x 1 2a 2 2a 1 a 2 a 0 : phương trình có nghiệm kép ' 0: phương trình có nghiệm kép b b' x x x x 1 2 2a 1 2 a 0 : phương trình vô nghiệm ' 0 : phương trình vô nghiệm Dạng 4: Các phương trình đưa được về phương trình bậc hai Cần chú ý dạng trùng phương, phương trình vô tỉ và dạng đặt ẩn phụ, còn dạng chứa ẩn ở mẫu và dạng tích đã nói ở §5. 3.Hệ thức Viet và ứng dụng 2 -Nếu phương trình ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì: b S x x 1 2 a c P x x 1 2 a u v S 2 -Nếu có hai số u và v sao cho S 4P thì u, v là hai nghiệm của phương trình x2 – uv P Sx + P = 0. c -Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = 1; x2 = . a c -Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = -1; x2 = . a 4.Điều kiện có nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0) -(1) có 2 nghiệm 0 ; có 2 nghiệm phân biệt 0 . 0 -(1) có 2 nghiệm cùng dấu . P 0 0 -(1) có 2 nghiệm dương P 0 S 0 Nguyễn Tấn Cường 22 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 0 -(1) có 2 nghiệm âm P 0 S 0 -(1) có 2 nghiệm trái dấu ac 0 thì A lớn nhất khi B nhỏ nhất; A nhỏ nhất khi B lớn nhất. -Nếu mB < 0 (giả sử m < 0) thì A lớn nhất khi B lớn nhất; A nhỏ nhất khi B nhỏ nhất. B 2.2.2. Phân thức A = , trong đó B có bậc cao hơn hoặc bằng bậc của C. C m D Khi đó ta dùng phương pháp tách ra giá trị nguyên để tách thành A n ; A n trong C C đó m, n là hằng số; D là đa thức có bậc nhỏ hơn bậc C. B 2.2.3. Phân thức A = , trong đó C có bậc cao hơn bậc của B. C 1 Cần chú ý tính chất: nếu A có giá trị lớn nhất thì có giá trị nhỏ nhất và ngược lại. A 2.3. Biểu thức A có chứa dấu giá trị tuyệt đối, chứa căn thức bậc hai: -Chia khoảng giá trị để xét. Nguyễn Tấn Cường 23 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 -Đặt ẩn phụ đưa về bậc hai. -Sử dụng các tính chất của giá trị tyệt đối: a b a b ; a b a b a,b . Dấu “=” xảy ra khi ab 0 . -Sử dụng một số bất đẳng thức quen thuộc. 1 Bất đẳng thức Côsi: a ,a , ,a 0 a a a n a a a dấu “=” xảy 1 2 n n 1 2 n 1 2 n ra khi a1 = a2 = = an. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski: a1,a 2 , ,a n ;b1,b2 , ,bn có 2 2 2 2 2 2 2 a1 a 2 a n b1 b2 bn a1b1 a 2b2 a nbn dấu “=” xảy ra khi a a a 1 2 n . b1 b2 bn Bµi tËp 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai sau TT C¸c ph-¬ng tr×nh cÇn gi¶i theo TT C¸c ph-¬ng tr×nh cÇn gi¶i theo ' 1. 6 x2 - 25x - 25 = 0 1. x2 - 4x + 2 = 0 2. 6x2 - 5x + 1 = 0 2. 9x2 - 6x + 1 = 0 3. 7x2 - 13x + 2 = 0 3. -3x2 + 2x + 8 = 0 4. 3x2 + 5x + 60 = 0 4. x2 - 6x + 5 = 0 5. 2x2 + 5x + 1 = 0 5. 3x2 - 6x + 5 = 0 6. 5x2 - x + 2 = 0 6. 3x2 - 12x + 1 = 0 7. x2 - 3x -7 = 0 7. 5x2 - 6x - 1 = 0 8. x2 - 3 x - 10 = 0 8. 3x2 + 14x + 8 = 0 9. 4x2 - 5x - 9 = 0 9. -7x2 + 6x = - 6 10. 2x2 - x - 21 = 0 10. x2 - 12x + 32 = 0 11. 6x2 + 13x - 5 = 0 11. x2 - 6x + 8 = 0 12. 56x2 + 9x - 2 = 0 12. 9x2 - 38x - 35 = 0 13. 10x2 + 17x + 3 = 0 13. x2 - 2 3 x + 2 = 0 14. 7x2 + 5x - 3 = 0 14. 42 x2 - 6x - 2 = 0 15. x2 + 17x + 3 = 0 15. 2x2 - 2 2 x + 1 = 0 Bµi tËp 2: BiÕn ®æi c¸c ph¬ng tr×nh sau thµnh ph¬ng tr×nh bËc hai råi gi¶i a) 10x2 + 17x + 3 = 2(2x - 1) - 15 b) x2 + 7x - 3 = x(x - 1) - 1 c) 2x2 - 5x - 3 = (x+ 1)(x - 1) + 3 d) 5x2 - x - 3 = 2x(x - 1) - 1 + x2 Nguyễn Tấn Cường 24 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 e) -6x2 + x - 3 = -3x(x - 1) - 11 f) - 4x2 + x(x - 1) - 3 = x(x +3) + 5 g) x2 - x - 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1 h) -x2 - 4x - 3(2x - 7) = - 2x(x + 2) - 7 i) 8x2 - x - 3x(2x - 3) = - x(x - 2) k) 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1 C©u III (1,0®): HN Cho ph¬ng tr×nh (Èn x): x2 – 2(m+1)x + m2 +2 = 0 1/ Gi¶i ph¬ng tr×nh ®· cho khi m = 1. 2 2 2/ T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 tho¶ m·n hÖ thøc x1 + x2 = 10. Bài 3: (2,0 điểm) AN GIANG Cho phương trình x2 +2 (m+3) x +m2 +3 = 0 1/ Tìm m để phương trình có nghiệm kép ? Hãy tính nghiệm kép đó. 2/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x1 – x2 = 2 ? Bài 4 : (1,5 điểm) AN GIANG Giải các phương trình sau : 1 3 1/ 2 2/ x4 + 3x2 – 4 = 0 x 2 6 x 4 2. THÁI BÌNH Giải phương trình: x 3 . x 2 C©u II: (2,0®) C tho Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh vµ c¸c ph¬ng tr×nh sau: 2 1. 6 - 3x ≥ -9 2. x +1 = x - 5 3 2x2 3x 2 3. 36x4 - 97x2 + 36 = 0 4. 3 2x 1 Bµi 1: (2,25®) hue Kh«ng sö dông m¸y tÝnh bá tói, h·y gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 3x 4y 17 a) 5x2 + 13x - 6=0 b) 4x4 - 7x2 - 2 = 0 c) 5x 2y 11 C©u I: HCM Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh sau: a) 8x2 - 2x - 1 = 0 2x 3y 3 b) 5x 6y 12 c) x4 - 2x2 - 3 = 0 d) 3x2 - 26 x + 2 = 0 Bài 2: (2,0 điểm) BÌNH ĐỊNH Cho phương trình: (1) a. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt. Nguyễn Tấn Cường 25 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 b. Gọi là 2 nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức c. Tìm hệ thức giữa và không phụ thuộc vào m. Bµi 2 nam ®Þnh (1,5 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh: x2 + (3 - m)x + 2(m - 5) = 0 (1), víi m lµ tham sè. 1) Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm x1 = 2. 2) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm x2 = 1 + 2 2 C©uII: (2,5®). NghÖ An Cho ph¬ng tr×nh bËc hai, víi tham sè m: 2x2 – (m+3)x + m = 0 (1). 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) khi m = 2. 2. T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n: x1 + x2 = 5 x1x2. 2 3. Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1). T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = x1 x2 Bài 2 ( 2 điểm) HẢI PHÒNG Cho phương trình x2 + mx + n = 0 ( 1) 1.Giải phương trình (1) khi m =3 và n = 2 x1 x2 3 2.Xác định m ,n biết phương trình (1) có hai nghiệm x .x thoả mãn 1 2 3 3 x1 x2 9 Bài 3 (1,5 điểm THÁI BÌNH)Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + m2 + 2 = 0 (ẩn x) 1) Giải phương trình đã cho với m =1. 2) Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ thức: 2 2 x1 + x2 = 10. Bài 2. (2,0 điểm) THÁI BÌNH m 1 x y 2 Cho hệ phương trình: (m là tham số) mx y m 1 1. Giải hệ phương trình khi m 2 ; 2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thoả mãn: 2 x + y 3. Câu 5( 2,5 điểm). VĨNH PHÚC mx 2y 1 Cho hệ phương trình ( m là tham số có giá trị thực) (1) 2x 4y 3 a, Giải hệ (1) với m = 1 b, Tìm tất cả các giá trị của m để hệ (1) có nghiệm duy nhất Bài 1 (1,5 điểm) THANH HÓA Cho phương trình: x2 – 4x + n = 0 (1) với n là tham số. 1.Giải phương trình (1) khi n = 3. 2. Tìm n để phương trình (1) có nghiệm. Bài 2 (1,5 điểm) THANH HÓA Nguyễn Tấn Cường 26 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 x 2y 5 Giải hệ phương trình: 2x y 7 mx y 1 Bài 2. ĐÀ NẲNG ( 2 điểm ) Cho hệ phương trình: x y 334 2 3 a) Giải hệ phương trình khi cho m = 1. b) Tìm giá trị của m để phương trình vô nghiệm. Câu 3 : PHÚ YÊN ( 2,5 điểm ) Cho phương trình x2 – 4x – m2 + 6m – 5 = 0 với m là tham số a) Giải phương trình với m = 2 b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm 3 3 c) Giả sử phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 , hãy tìm giá trị bé nhất của biểu thức P x1 x2 Bài 4 (2 điểm). QUẢNG TRỊ Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0. (1) a/ Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b/ Gọi x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Tìm m để 3( x1 + x2 ) = 5x1x2. Câu 3 (1,5 điểm). QUẢNG TRỊ Cho phương trình bậc hai: x2 - 2(m-1)x + 2m – 3 = 0. (1) a) Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m. b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu. 2) H¶i d Ư¬ng Cho ph¬ng tr×nh (Èn x): x2 2(m 1)x m2 1 0 . T×m gi¸ trÞ cña m 2 2 ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1,x2 tháa m·n x1 x2 x1x2 8 . C©u IV: HCM Cho ph¬ng tr×nh x2 - (5m - 1)x + 6m2 - 2m = 0 (m lµ tham sè) a) Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m. 2 2 b) Gäi x1, x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. T×m m ®Ó x1 + x2 =1. Bài 3 (1.0 điểm ) QUẢNG NAM 2 2 Cho phương trình x – 2mx + m – m + 3 có hai nghiệm x1 ; x 2 (với m là tham số ) . Tìm m 2 2 để biểu thức x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 3: (2,0 điểm) H¶i D¬ng chÝnh thøc Cho phương trình: x2- 2x + (m – 3) = 0 (ẩn x) a) Giải phương trình với m = 3. b) Tính giá trị của m, biết phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và thỏa mãn 2 điều kiện: x1 – 2x2 + x1x2 = - 12 C©u 5: (1,5 ®iÓm) B¾c Ninh Cho ph¬ng tr×nh: (m+1)x2 -2(m - 1)x + m - 2 = 0 (1) (m lµ tham sè) a/ Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) víi m = 3. 1 1 3 b/ T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 tháa m·n x1 x2 2 Nguyễn Tấn Cường 27 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 C©u III: (1,0 ®iÓm) B¾c giang LËp ph¬ng tr×nh bËc hai nhËn hai sè 3 vµ 4 lµ nghiÖm? Bµi 3: (1,5 ®iÓm) B×NH D¦¥NG Cho ph¬ng tr×nh x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m + 3 = 0 (víi x lµ Èn sè, m lµ tham sè ) a) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt . b) §Æt A = x1.x2 – 2(x1 + x2) víi x1, x2 lµ hai nghiÖm ph©n biÖt cña ph¬ng tr×nh trªn. Chøng minh : A = m2 + 8m + 7 c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A vµ gi¸ trÞ cña m t¬ng øng . Bµi 3 (1,5 ®iÓm): qu¶ng b×nh Cho ph¬ng tr×nh: (n + 1)x2 - 2(n - 1)x + n - 3 = 0 (1), víi n lµ tham sè. a) T×m n ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm x = 3. b) Chøng minh r»ng, víi mäi n - 1 th× ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt. Bµi tËp 3: Cho ph-¬ng tr×nh: x2 - 2(3m + 2)x + 2m2 - 3m + 5 = 0 a) Gi¶i ph-¬ng tr×nh víi m lÇn l-ît b»ng c¸c gi¸ trÞ: m = 2; m = - 2; m = 5; m = -5; m = 3; m = 7; m = - 4 b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x lÇn l-ît b»ng x = 3; x = -3; x = 2; x = 5; x = 6; x = -1 c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph-¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm kÐp. Bµi tËp 4: Cho ph-¬ng tr×nh: x2 - 2(m - 2)x + m2 - 3m + 5 = 0 a) Gi¶i ph-¬ng tr×nh víi m lÇn l-ît b»ng c¸c gi¸ trÞ: m = -2; m = 3; m = 7; m = - 4; m = 2; m = -7; m = - 8 b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x lÇn l-ît b»ng x = 1; x = - 4; x = -2; x = 6; x = -7; x = -3 c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph-¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm kÐp. Bµi tËp 5: Cho ph-¬ng tr×nh: x2 - 2(m - 2)x + 2m2 + 3m = 0 a) Gi¶i ph-¬ng tr×nh víi m lÇn l-ît b»ng c¸c gi¸ trÞ: m = -2; m = 3; m = 7; m = - 4; m = 2; m = -7; m = - 8 b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x lÇn l-ît b»ng x = 1; x = - 4; x = -2; x = 6; x = -7; x = -3 c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph-¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm kÐp. Bµi tËp 6: Cho ph-¬ng tr×nh: x2 - 2(m + 3)x + m2 + 3 = 0 a) Gi¶i ph-¬ng tr×nh víi m = -1vµ m = 3 b) T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = 4 c) T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt d) T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho· m·n ®iÒu kiÖn x1 = x2 Bµi tËp 7: Cho ph-¬ng tr×nh : ( m + 1) x2 + 4mx + 4m - 1 = 0 a) Gi¶i ph-¬ng tr×nh víi m = -2 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt c) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph-¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm d) T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho· m·n ®iÒu kiÖn x1 = 2x2 Bµi tËp 8: Nguyễn Tấn Cường 28 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 Cho ph-¬ng tr×nh : 2x2 - 6x + (m +7) = 0 a) Gi¶i ph-¬ng tr×nh víi m = -3 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph-¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = - 4 c) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt d) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph-¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm e) T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho· m·n ®iÒu kiÖn x1 = - 2x2 Bµi tËp 9: Cho ph-¬ng tr×nh : x2 - 2(m - 1 ) x + m + 1 = 0 a) Gi¶i ph-¬ng tr×nh víi m = 4 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt c) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph-¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm d) T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho· m·n ®iÒu kiÖn x1 = 3x2 Bµi tËp 10: BiÕt r»ng ph-¬ng tr×nh : x2 - 2(m + 1 )x + m2 + 5m - 2 = 0 ( Víi m lµ tham sè ) cã mét nghiÖm x = 1. T×m nghiÖm cßn l¹i Bµi tËp 11: BiÕt r»ng ph-¬ng tr×nh : x2 - 2(3m + 1 )x + 2m2 - 2m - 5 = 0 ( Víi m lµ tham sè ) cã mét nghiÖm x = -1 . T×m nghiÖm cßn l¹i Bµi tËp 12: BiÕt r»ng ph-¬ng tr×nh : x2 - (6m + 1 )x - 3m2 + 7 m - 2 = 0 ( Víi m lµ tham sè ) cã mét nghiÖm x = 1. T×m nghiÖm cßn l¹i Bµi tËp 13: BiÕt r»ng ph-¬ng tr×nh : x2 - 2(m + 1 )x + m2 - 3m + 3 = 0 ( Víi m lµ tham sè ) cã mét nghiÖm x = -1. T×m nghiÖm cßn l¹i. Bµi tËp 14: Cho ph-¬ng tr×nh: x2 - mx + 2m - 3 = 0 a) Gi¶i ph-¬ng tr×nh víi m = - 5 b) T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp c) T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu d)T×m hÖ thøc gi÷a hai nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo m e) T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt Bµi tËp 15: Cho ph-¬ng tr×nh bËc hai (m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0 a) Gi¶i ph-¬ng tr×nh víi m = 3 b) T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = - 2 c) T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp d) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m e) T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt Nguyễn Tấn Cường 29 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 f) Khi ph-¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = -1 t×m gi¸ trÞ cña m vµ t×m nghiÖm cßn l¹i Bµi tËp 16:Cho ph-¬ng tr×nh: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = 0 a) Gi¶i ph-¬ng tr×nh víi m = - 2 b) T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = - 2. T×m nghiÖm cßn l¹i c) T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt 2 2 d) T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 vµ x2 th¶o m·n: x1 + x2 = 8 2 2 e) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = x1 + x2 Bµi tËp 17: Cho ph-¬ng tr×nh: mx2 - (m + 3)x + 2m + 1 = 0 a) T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp b) T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt c) T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã hiÖu hai nghiÖm b»ng 2 d) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1vµ x2 kh«ng phô thuéc m Bµi tËp 18: Cho ph-¬ng tr×nh: x2 - (2a- 1)x - 4a - 3 = 0 a) Chøng minh r»ng ph-¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña a b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo a 2 2 c) T×m gi¸ trÞ nhá nhËt cña biÓu thøc A = x1 + x2 Bµi tËp 19: Cho ph-¬ng tr×nh: x2 - (2m- 6)x + m -13 = 0 a) Chøng minh r»ng ph-¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt 2 2 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = x1. x2 - x1 - x2 GI ẢI 16x + 16 9x + 9 4x + 4 16 - x + 1 Bµi tËp 20: Cho ph-¬ng tr×nh: x2 - 2(m+4)x + m2 - 8 = 0 a) T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt 2 2 b) T×m m ®Ó A = x1 + x2 - x1 - x2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt c) T×m m ®Ó B = x1 + x2 - 3x1x2 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt 2 2 d) T×m m ®Ó C = x1 + x2 - x1x2 Bµi tËp 21: Cho ph-¬ng tr×nh: ( m - 1) x2 + 2mx + m + 1 = 0 a) Gi¶i ph-¬ng tr×nh víi m = 4 b) T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu 2 2 c) T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 vµ x2 tho¶ m·n: A = x1 x2 + x2 x1 d) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m Bµi tËp 22: T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó c¸c nghiÖm x1, x2 cña ph-¬ng tr×nh 2 2 2 mx - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x1 x2 1 Bµi tËp 23: 2 2 Cho ph-¬ng tr×nh x - 2(m - 2)x + (m + 2m - 3) = 0. T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1, 1 1 x1 x2 x2 ph©n biÖt tho¶ m·n x1 x2 5 Bµi tËp 24: Nguyễn Tấn Cường 30 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 Cho ph-¬ng tr×nh: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m lµ tham sè). a) X¸c ®Þnh m ®Ó c¸c nghiÖm x1; x2 cña ph-¬ng tr×nh tho¶ m·n x1 + 4x2 = 3 b) T×m mét hÖ thøc gi÷a x1; x2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m Bµi tËp 25: Cho ph-¬ng tr×nh x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 (1) T×m gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã (1) cã nghiÖm x1 = 2x2. Bµi tËp 26: Cho ph-¬ng tr×nh mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 a) T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm. b) T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu. Khi ®ã trong hai nghiÖm, nghiÖm nµo cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n? c) X¸c ®Þnh m ®Ó c¸c nghiÖm x1; x2 cña ph-¬ng tr×nh tho¶ m·n: x1 + 4x2 = 3. d) T×m mét hÖ thøc gi÷a x1, x2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m. Bµi tËp 27: a) Víi gi¸ trÞ nµo m th× hai ph-¬ng tr×nh sau cã Ýt nhËt mét nghiÖm chung. T×m nghiÖm chung ®ã? x2 - (m + 4)x + m + 5 = 0 (1) x2 - (m + 2)x + m + 1 = 0 (2) b) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (1) lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (2) vµ ng-îc l¹i. Bµi tËp 28: Gäi x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh: x2 - (2m - 1)x + m – 2 = 0 2 2 T×m m ®Ó x1 x2 cã gi¸ trÞ nhá nhÊt Bµi tËp 29: Gäi x1; x2 lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh: 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: A =x1x2 - 2x1 - 2x2 Bµi tËp 30: Gäi x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh. x2 + 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0 2 2 T×m m ®Ó x1 x2 cã gi¸ trÞ nhá nhÊt. Nguyễn Tấn Cường 31 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 Bµi tËp 31: Cho ph-¬ng tr×nh: x2 - m + (m - 2)2 = 0 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = x1x2 + 2x1 + 2x2 Bµi tËp 32: Cho ph-¬ng tr×nh: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m lµ tham sè). T×m m sao cho 2 nghiÖm 2 2 x1; x2 cña ph-¬ng tr×nh tho¶ m·n 10x1x2 +x1 x2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. T×m gi¸ trÞ ®ã. Chñ ®Ò VI HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Định lý Pitago ABC vuông tại A AB2 AC2 BC2 2.Hệ thức lượng trong tam giác vuông Nguyễn Tấn Cường 32 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 A B C H 1) AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC 2) AB.AC = AH.BC 3) AH2 = BH.HC 1 1 1 4) AH2 AB2 AC2 Kết quả: a 3 a 2 3 -Với tam giác đều cạnh là a, ta có: h ; S 2 4 3.Tỉ số lượng giác của góc nhọn Đặt ACB ; ABC  khi đó: AB AH AC HC AB AH AC HC sin ; cos ; tg ; cot g BC AC BC AC AC HC AB AH b asin B acosC ctgB ccot gC c acosB asinC bctgB btgC Kết quả suy ra: 1) sin cos; cos sin; tg cotg; cot g tg sin cos 2) 0 sin 1; 0 cos AC, kẻ trung tuyến AM và đường cao AH. Chứng minh: BC2 a) AB2 AC2 2AM2 2 b) AB2 AC2 2BC.MH VD2.Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm. a) Chứng minh AC vuông góc với BD. b) Tính diện tích hình thang. VD3.Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15;  ADC=700. C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN Nguyễn Tấn Cường 33 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 1.Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến BD. Gọi I là hình chiếu của C trên BD, H là hình chiếu của I trên AC. Chứng minh: AH = 3HI. 2.Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh bằng a, vẽ một đường thẳng cắt BC ở E và cắt đường thẳng DC ở F. 1 1 1 Chứng minh: AE2 AF2 a 2 3.Cho tam giác cân ABC có đáy BC = a;  BAC = 2 ; 450 . Kẻ các đường cao AE, BF. a) Tính các cạnh của tam giác BFC theo a và tỉ số lượng giác của góc . b) Tính theo a, theo các tỉ số lượng giác của góc và 2 , các cạnh của tam giác ABF, BFC. c) Từ các kết quả trên, chứng minh các đẳng thức sau: 2tg 1) sin 2 2sin cos ; 2) cos2 =cos2 sin2 ; 3) tg2 1 tg2 Chñ ®Ò VII §6.CHỨNG MINH BẰNG NHAU – SONG SONG, VUÔNG GÓC - ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Tam giác bằng nhau A A'; B B'; C C' a) Khái niệm: ABC A'B'C' khi AB A'B'; BC B'C'; AC A'C' b) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác: c.c.c; c.g.c; g.c.g. c) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông: hai cạnh góc vuông; cạnh huyền và một cạnh góc vuông; cạnh huyền và một góc nhọn. d) Hệ quả: Hai tam giác bằng nhau thì các đường cao; các đường phân giác; các đường trung tuyến tương ứng bằng nhau. 2.Chứng minh hai góc bằng nhau -Dùng hai tam giác bằng nhau hoặc hai tam giác đồng dạng, hai góc của tam giác cân, đều; hai góc của hình thang cân, hình bình hành, -Dùng quan hệ giữa các góc trung gian với các góc cần chứng minh. -Dùng quan hệ các góc tạo bởi các đường thẳng song song, đối đỉnh. -Dùng mối quan hệ của các góc với đường tròn.(Chứng minh 2 góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc hai cung bằng nhau của một đường tròn, ) 3.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau -Dùng đoạn thẳng trung gian. -Dùng hai tam giác bằng nhau. -Ứng dụng tính chất đặc biệt của tam giác cân, tam giác đều, trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, hình thang cân, hình chữ nhật, -Sử dụng các yếu tố của đường tròn: hai dây cung của hai cung bằng nhau, hai đường kính của một đường tròn, -Dùng tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang, Nguyễn Tấn Cường 34 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 4.Chứng minh hai đường thẳng, hai đoạn thẳng song song -Dùng mối quan hệ giữa các góc: So le bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù nhau, -Dùng mối quan hệ cùng song song, vuông góc với đường thẳng thứ ba. -Áp dụng định lý đảo của định lý Talet. -Áp dụng tính chất của các tứ giác đặc biệt, đường trung bình của tam giác. -Dùng tính chất hai dây chắn giữa hai cung bằng nhau của một đường tròn. 5.Chứng minh hai đường thẳng vuông góc -Chứng minh chúng song song với hai đường vuông góc khác. -Dùng tính chất: đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại. -Dùng tính chất của đường cao và cạnh đối diện trong một tam giác. -Đường kính đi qua trung điểm của dây. -Phân giác của hai góc kề bù nhau. 6.Chứng minh ba điểm thẳng hàng -Dùng tiên đề Ơclit: Nếu AB//d; BC//d thì A, B, C thẳng hàng. -Áp dụng tính chất các điểm đặc biệt trong tam giác: trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, -Chứng minh 2 tia tạo bởi ba điểm tạo thành góc bẹt: Nếu góc ABC bằng 1800 thì A, B, C thẳng hàng. -Áp dụng tính chất: Hai góc bằng nhau có hai cạnh nằm trên một đường thẳng và hai cạnh kia nằm trên hai nửa mặt phẳng với bờ là đường thẳng trên. -Chứng minh AC là đường kính của đường tròn tâm B. 7.Chứng minh các đường thẳng đồng quy -Áp dụng tính chất các đường đồng quy trong tam giác. -Chứng minh các đường thẳng cùng đi qua một điểm: Ta chỉ ra hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm và chứng minh đường thẳng còn lại đi qua điểm đó. -Dùng định lý đảo của định lý Talet Chñ ®Ò VII §8.CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG HỆ THỨC HÌNH HỌC A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Tam giác đồng dạng A A'; B B'; C C' -Khái niệm: ABC : A'B'C' khi AB AC BC A'B' A'C' B'C' -Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác: c – c – c; c – g – c; g – g. -Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông: góc nhọn; hai cạnh góc vuông; cạnh huyền - cạnh góc vuông *Tính chất: Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai đường cao, hai đường phân giác, hai đường trung tuyến tương ứng, hai chu vi bằng tỉ số đồng dạng; tỉ số hai diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng. 2.Phương pháp chứng minh hệ thức hình học -Dùng định lí Talet, tính chất đường phân giác, tam giác đồng dạng, các hệ thức lượng trong tam giác vuông, Giả sử cần chứng minh MA.MB = MC.MD Nguyễn Tấn Cường 35 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 -Chứng minh hai tam giác MAC và MDB đồng dạng hoặc hai tam giác MAD và MCB. -Trong trường hợp 5 điểm đó cùng nằm trên một đường thẳng thì cần chứng minh các tích trên cùng bằng tích thứ ba. Nếu cần chứng minh MT2 = MA.MB thì chứng minh hai tam giác MTA và MBT đồng dạng hoặc so sánh với tích thứ ba. Ngoài ra cần chú ý đến việc sử dụng các hệ thức trong tam giác vuông; phương tích của một điểm với đường tròn. Chñ ®Ò §10.CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP A.KIẾN THỨC CƠ BẢN Phương pháp chứng minh -Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm. -Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù nhau. -Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại hai góc bằng nhau. -Chứng minh tổng của góc ngoài tại một đỉnh với góc trong đối diện bù nhau. -Nếu MA.MB = MC.MD hoặc NA.ND = NC.NB thì tứ giác ABCD nột tiếp. (Trong đó M AB  CD; N AD  BC ) -Nếu PA.PC = PB.PD thì tứ giác ABCD nội tiếp. (Trong đó P AC  BD ) -Chứng minh tứ giác đó là hình thang cân; hình chữ nhật; hình vuông; Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn ta có thể chứng minh lần lượt 4 điểm một lúc. Song cần chú ý tính chất “Qua 3 điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một đường tròn” D¹ng V Bµi tËp H×nh tæng hîp C©u IV(3,5®): HN Cho ®êng trßn (O;R) vµ ®iÓm A n»m bªn ngoµi ®êng trßn. KÎ tiÕp tuyÕn AB, AC víi ®êng trßn (B, C lµ c¸c tiÕp ®iÓm). 1/ Chøng minh ABOC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2/ Gäi E lµ giao ®iÓm cña BC vµ OA. Chøng minh BE vu«ng gãc víi OA vµ OE.OA = R2. 3/ Trªn cung nhá BC cña ®êng trßn (O;R) lÊy ®iÓm K bÊt kú (K kh¸c B vµ C). TiÕp tuyÕn t¹i K cña ®- êng trßn (O;R) c¾t AB, AC theo thø tù t¹i P, Q. Chøng minh tam gi¸c APQ cã chu vi kh«ng ®æi khi K chuyÓn ®éng trªn cung nhá BC. 4/ §êng th¼ng qua O vµ vu«ng gãc víi OA c¾t c¸c ®êng th¼ng AB, AC theo thø tù t¹i c¸c ®iÓm M, N. Chøng minh PM + QN ≥ MN. C©u V: (4,0®) C tho Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, cã AB = 14, BC = 50. §êng ph©n gi¸c cña gãc ABC vµ ®êng trung trùc cña c¹nh AC c¾t nhau t¹i E. 1. Chøng minh tø gi¸c ABCE néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn. X¸c ®Þnh t©m O cña ®êng trßn nµy. 2. TÝnh BE. 3. VÏ ®êng kÝnh EF cña ®êng trßn t©m (O). AE vµ BF c¾t nhau t¹i P. Chøng minh c¸c ®êng th¼ng BE, PO, AF ®ång quy. 4. TÝnh diÖn tÝch phÇn h×nh trßn t©m (O) n»m ngoµi ngò gi¸c ABFCE. Bµi 4: (2,75®) hue Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB = 2R. VÏ tiÕp tuyÕn d víi ®êng trßn (O) t¹i B. Gäi C vµ D lµ hai ®iÓm tuú ý trªn tiÕp tuyÕn d sao cho B n»m gi÷a C vµ D. C¸c tia AC vµ AD c¾t (O) lÇn lît t¹i E vµ F (E, F kh¸c A). Nguyễn Tấn Cường 36 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 1. Chøng minh: CB2 = CA.CE 2. Chøng minh: tø gi¸c CEFD néi tiÕp trong ®êng trßn t©m (O’). 3. Chøng minh: c¸c tÝch AC.AE vµ AD.AF cïng b»ng mét sè kh«ng ®æi. TiÕp tuyÕn cña (O’) kÎ tõ A tiÕp xóc víi (O’) t¹i T. Khi C hoÆc D di ®éng trªn d th× ®iÓm T ch¹y trªn ®êng th¼ng cè ®Þnh nµo? C©u V: HCM Cho tam gi¸c ABC (AB<AC) cã ba gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn (O) cã t©m O, b¸n kÝnh R. Gäi H lµ giao ®iÓm cña ba ®êng cao AD, BE, CF cña tam gi¸c ABC. Gäi S lµ diÖn tÝch tam gi¸c ABC. a) Chóng minh r»ng AEHF vµ AEDB lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn. b) VÏ ®êng kÝnh AK cña ®êng trßn (O). Chøng minh tam gi¸c ABD vµ tam gi¸c AKC ®ång d¹ng AB.BC.CA víi nhau. Suy ra AB.AC = 2R.AD vµ S = . 4R c) Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC. Chøng minh EFDM lµ tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn. d) Chøngminh r»ng OC vu«ng gãc víi DE vµ (DE + EF + FD).R = 2 S. Baøi 4: (4,00 ñieåm) KH Cho ñöôøng troøn (O; R). Töø moät ñieåm M naèm ngoaøi (O; R) veõ hai tieáp tuyeán MA vaø MB (A, B laø hai tieáp ñieåm). Laáy ñieåm C baát kì treân cung nhoû AB (Ckhaùc vôùi A vaø B). Goïi D, E, F laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa C treân AB, AM, BM. a. Chöùng minh AECD laø moät töù giaùc noäi tieáp. b. Chöùng minh: C· DE C· BA c. Goïi I laø giao ñieåm cuûa AC vaø ED, K laø giao ñieåm cuûa CB vaø DF. Chöùng minh IK//AB. d. Xaùc ñònh vò trí ñieåm C treân cung nhoû AB ñeå (AC2 + CB2) nhoû nhaát. Tính giaù trò nhoû nhaát ñoù khi OM = 2R. Bài 4: Cho đường tròn tâm O có các đường kính CD, IK (IK không trùng CD) 1. Chứng minh tứ giác CIDK là hình chữ nhật 2. Các tia DI, DK cắt tiếp tuyến tại C của đường tròn tâm O thứ tự ở G; H c. Chứng minh 4 điểm G, H, I, K cùng thuộc một đường tròn. d. Khi CD cố định, IK thay đổỉ, tìm vị trí của G và H khi diện tích tam giác DỊJ đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 4: (3 điểm) BÌNH ĐỊNH Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), I là trung điểm của BC, M là 1 điểm trên đoạn CI (M khác C và I). Đường thẳng AM cắt (O) tại D, tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AIM tại M cắt BD tại P và cắt DC tại Q. a. Chứng minh DM . AI = MP . IB b. Tính tỉ số Baøi 4: (3,0 ñieåm) BÌNH ÑÒNH Ñeà chính thöùc Cho tam giaùc vuoâng ABC noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AB. Keùo daøi AC (veà phía C) ñoaïn CD sao cho CD = AC. 1. Chöùng minh tam giaùc ABD caân. Nguyễn Tấn Cường 37 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 2. Ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi AC taïi A caét ñöôøng troøn (O) taïi E. Keùo daøi AE (veà phía E) ñoaïn EF sao cho EF = AE. Chöùng minh raèng ba ñieåm D, B, F cuøng naèm treân moät ñöôøng thaúng. 3. Chöùng minh raèng ñöôøng troøn ñi qua ba ñieåm A, D, F tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn (O). Bài 4 (4.0 điểm ) QUẢNG NAM Cho đường tròn tâm (O) ,đường kính AC .Vẽ dây BD vuông góc với AC tại K ( K nằm giữa A và O).Lấy điểm E trên cung nhỏ CD ( E không trùng C và D), AE cắt BD tại H. c) Chứng minh rằng tam giác CBD cân và tứ giác CEHK nội tiếp. d) Chứng minh rằng AD2 = AH . AE. e) Cho BD = 24 cm , BC =20cm .Tính chu vi của hình tròn (O). f) Cho góc BCD bằng α . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A , vẽ tam giác MBC cân tại M .Tính góc MBC theo α để M thuộc đường tròn (O). Bµi 3. nam ®Þnh ( 3,0 ®iÓm) Cho ®êng trßn (O; R) Vµ ®iÓmA n»m ngoµi (O; R) .§êng trßn ®êng kÝnh AO c¾t ®êng trßn (O; R) T¹i M vµ N. §êng th¼ng d qua A c¾t (O; R) t¹i B vµ C ( d kh«ng ®i qua O; ®iÓm B n»m gi÷a A vµ C). Gäi H nlµ trung ®iÓm cña BC. 1) Chøng minh: AM lµ tiÕp tuyÕn cña (O; R) vµ H thuéc ®êng trßn ®êng kÝnh AO. 2) §êng th¼ng qua B vu«ng gãc víi OM c¾t MN ë D. Chøng minh r»ng: a) Gãc AHN = gãc BDN b) §êng th¼ng DH song song víi ®êng th¼ng MC. c) HB + HD > CD C©u IV: (3,0®). NghÖ An Cho ®êng trßn (O;R), ®êng kÝnh AB cè ®Þnh vµ CD lµ mét ®êng kÝnh thay ®æi kh«ng trïng víi AB. TiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O;R) t¹i B c¾t c¸c ®êng th¼ng AC vµ AD lÇn lît t¹i E vµ F. 1. Chøng minh r»ng BE.BF = 4R2. 2. Chøng minh tø gi¸c CEFD néi tiÕp ®êng trßn. 3. Gäi I lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c CEFD. Chøng minh r»ng t©m I lu«n n»m trªn mét ®- êng th¼ng cè ®Þnh. Bµi 5. (3,0 ®iÓm) QUẢNG NINH Cho ®iÓm M n»m ngoµi ®êng trßn (O;R). Tõ M kÎ hai tiÕp tuyÕn MA , MB ®Õn ®êng trßn (O;R) ( A; B lµ hai tiÕp ®iÓm). a) Chøng minh MAOB lµ tø gi¸c néi tiÕp. b) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AMB nÕu cho OM = 5cm vµ R = 3 cm. c) KÎ tia Mx n»m trong gãc AMO c¾t ®êng trßn (O;R) t¹i hai ®iÓm C vµ D ( C n»m gi÷a M vµ D ). Gäi E lµ giao ®iÓm cña AB vµ OM. Chøng minh r»ng EA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED. Bài 3 : (3 điểm) HẢI PHÒNG Cho tam giác ABC vuông tại A .Một đường tròn (O) đi qua B và C cắt các cạnh AB , AC của tam giác ABC lần lượt tại D và E ( BC không là đường kính của đường tròn tâm O).Đường cao AH của tam giác ABC cắt DE tại K . 1.Chứng minh A· DE A· CB . 2.Chứng minh K là trung điểm của DE. 3.Trường hợp K là trung điểm của AH .Chứng minh rằng đường thẳng DE là tiếp tuyến chung ngoài của đường tròn đường kính BH và đường tròn đường kính CH. Bài 4: (3,5 điểm) KIÊN GIANG Nguyễn Tấn Cường 38 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R. Trên tia đối của AB lấy điểm C sao cho BC = R, trên đường tròn lấy điểm D sao cho BD = R, đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt tia AD ở M. a) Chứng minh tứ giác BCMD là tứ giác nội tiếp . b) Chứng minh tam giác ABM là tam giác cân . c) Tính tích AM.AD theo R . d) Cung BD của (O) chia tam giác ABM thành hai hần. Tính diện tích phần của tam giác ABM nằm ngoài (O) . Bài 5 : (3,5 điểm) AN GIANG Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB và dây CD vuông góc với nhau (CA < CB). Hai tia BC và DA cắt nhau tại E. Từ E kẻ EH vuông góc với AB tại H ; EH cắt CA ở F. Chứng minh rằng : 1/ Tứ giác CDFE nội tiếp được trong một đường tròn. 2/ Ba điểm B , D , F thẳng hàng. 3/ HC là tiếp tuyến của đường tròn (O). Bài 4 (3,5 điểm) THÁI BÌNH Cho đường tròn (O; R) và A là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). 1) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp. 2) Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh BE vuông góc với OA và OE.OA=R2. 3) Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O; R) lấy điểm K bất kì (K khác B và C). Tiếp tuyến tại K của đường tròn (O; R) cắt AB, AC theo thứ tự tại các điểm P và Q. Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC. 4) Đường thẳng qua O, vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại các điểm M, N. Chứng minh PM + QN ≥ MN. Bài 4. (3,5 điểm) THÁI BÌNH Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DM, đường thẳng này cắt các đường thẳng DM và DC theo thứ tự tại H và K. 1. Chứng minh: Các tứ giác ABHD, BHCD nội tiếp đường tròn; 2. Tính C· HK ; 3. Chứng minh KH.KB = KC.KD; 1 1 1 4. Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC tại N. Chứng minh . AD2 AM2 AN2 Câu 8:( 3,0 điểm). VĨNH PHÚC Nguyễn Tấn Cường 39 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 Trên đoạn thẳng AB cho điểm C nằm giữa A và B. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là AB kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm I, tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P ( P khác I) a, Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp một đường tròn, chỉ rõ đường tròn này. b, Chứng minh C· IP P· BK . c, Giả sử A, B, I cố định. Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho diện tích tứ giác ABKI lớn nhất. Bài 4 (3,5 điểm) THANH HÓA Cho nửa đương tròn tâm O đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia BA lấy điểm G (khác với điểm B) . Từ các điểm G; A; B kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) . Tiếp tuyến kẻ từ G cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A avf B lần lượt tại C và D. 1. Gọi N là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ G tới nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác BDNO nội tiếp được. CN DN 2. Chứng minh tam giác BGD đồng dạng với tam giác AGC, từ đó suy ra . CG DG 3. Đặt B· OD Tính độ dài các đoạn thẳng AC và BD theo R và . Chứng tỏ rằng tích AC.BD chỉ phụ thuộc R, không phụ thuộc . Bài 3. ( 3,5 điểm ) ĐÀ NẲNG Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và 2 O sao cho AI = AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao 3 cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E. a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong một đường tròn. b) Chứng minh ∆AME ∆ACM và AM2 = AE.AC. c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2. d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất. Câu 4 : PHÚ YÊN ( 2,5 điểm ) Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB = 2R . Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC a) Chứng minh tứ giác : CBMD nội tiếp được b) Chứng minh rằng : DB.DC = DN.AC c) Xác định vị trí của điểm D để diện tích hình bình hành ABCD có diện tích lớn nhất và tính diện tích trong trường hợp này Bµi 4: (3,0 ®iÓm) hƯng yªn Cho A lµ mét ®iÓm trªn ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R. Gäi B lµ ®iÓm ®èi xøng víi O qua A. KÎ ®- êng th¼ng d ®i qua B c¾t ®êng trßn (O) t¹i C vµ D (d kh«ng ®i qua O, BC < BD). C¸c tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O) t¹i C vµ D c¾t nhau t¹i E. Gäi M lµ giao ®iÓm cña OE vµ CD. KÎ EH vu«ng gãc víi OB (H thuéc OB). Chøng minh r»ng: a) Bèn ®iÓm B, H,M, E cïng thuéc mét ®êng trßn. b) OM.OE = R2 c) H lµ trung ®iÓm cña OA. Bài 5 (3,5 điểm). QUẢNG TRỊ Nguyễn Tấn Cường 40 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 Cho tam giác ABC có góc A bằng 600, các góc B, C nhọn. vẽ các đường cao BD và CE của tam giác ABC. Gọi H là giao điểm của BD và CE. a/ Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp. b/ Chứng minh tam giác AED đồng dạng với tam giác ACB. DE c/ Tính tỉ số . BC d/ Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh OA vuông góc với DE. Câu 5 (3,5 điểm) QUẢNG TRỊ Cho điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R. Từ A kẻ đường thẳng (d) không đi qua tâm O, cắt đường tròn (O) tại B và C ( B nằm giữa A và C). Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại D. Từ D kẻ DH vuông góc với AO (H nằm trên AO), DH cắt cung nhỏ BC tại M. Gọi I là giao điểm của DO và BC. 1. Chứng minh OHDC là tứ giác nội tiếp được. 2. Chứng minh OH.OA = OI.OD. 3. Chứng minh AM là tiếp tuyến của đường tròn (O). 4. Cho OA = 2R. Tính theo R diện tích của phần tam giác OAM nằm ngoài đường tròn (O). C©u IV : (3,0 ®iÓm) H¶i d Ư¬ng Cho ®êng trßn (O), d©y AB kh«ng ®i qua t©m. Trªn cung nhá AB lÊy ®iÓm M (M kh«ng trïng víi A, B). KÎ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i H. KÎ MK vu«ng gãc víi AN K AN . 1) Chøng minh: Bèn ®iÓm A, M, H, K thuéc mét ®êng trßn. 2) Chøng minh: MN lµ ph©n gi¸c cña gãc BMK. 3) Khi M di chuyÓn trªn cung nhá AB. Gäi E lµ giao ®iÓm cña HK vµ BN. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M ®Ó (MK.AN + ME.NB) cã gi¸ trÞ lín nhÊt. Câu 4:(3 điểm) H¶i D¬ng chÝnh thøc Cho tam giác MNP cân tại M có cậnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn ( O;R). Tiếp tuyến tại N và P của đường tròn lần lượt cắt tia MP và tia MN tại E và D. a) Chứng minh: NE2 = EP.EM b) Chứng minh tứ giác DEPN kà tứ giác nội tiếp. c) Qua P kẻ đường thẳng vuông góc với MN cắt đường tròn (O) tại K ( K không trùng với P). Chứng minh rằng: MN2 + NK2 = 4R2. Bµi 4: Hµ Giang (3,0 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp trong ®êng trßn t©m O, ba ®êng cao AD, BE, CF cña tam gi¸c ABC c¾t nhau ë H. KÐo dµi AO c¾t ®êng trßn t¹i M, AD c¾t ®êng trßn O ë K ( K kh¸c A, M kh¸c A). Chøng minh r»ng : a, MK song song BC. b, DH = DK. c, HM ®i qua trung ®iÓm I cña BC. Bài 4: (3 điểm) BÌNH THUẬN Cho tam giác ABC vuông tại A có các cạnh AB = 4,5 cm; AC = 6 cm. 1/ Tính độ dài đường cao AH và diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 2/ Trên cạnh AC lấy điểm M và vẽ đường tròn (O) đường kính MC, BM cắt (O) tại D; DA cắt (O) tại S; (O) cắt BC tại N. Chứng minh: a/ Các tứ giác ABCD, ABNM nội tiếp. b/ CA là phân giác góc SCB. Câu 4: (3đ) Long An Cho đường tròn (O) đường kính AB, C là một điểm nằm giữa O và A Đường thẳng qua C vuông góc với AB cắt (O) tại P,Q.Tiếp tuyến tại D trên cung nhỏ BP, cắt PQ ở E; AD cắt PQ tại F .Chứng minh: Nguyễn Tấn Cường 41 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 a/ Tứ giác BCFD là tứ giác nội tiếp. b/ED=EF c/ED2=EP.EQ C©u 6: (3,0 ®iÓm) B¾c Ninh Cho nöa ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB. Tõ ®iÓm M trªn tiÕp tuyÕn Ax cña nöa ®êng trßn vÏ tuyÕp tuyÕn thø hai MC(C lµ tiÕp ®iÓm). H¹ CH vu«ng gãc víi AB, ®êng th¼ng MB c¾t ®êng trßn (O) t¹i Q vµ c¾t CH t¹i N. Gäi giao ®iÓm cña MO vµ AC lµ I. Chøng minh r»ng: a/ Tø gi¸c AMQI néi tiÕp. b/ ·AQI ·ACO c/ CN = NH. C©u V:(3,0 ®iÓm) B¾c giang 1/ Cho tam gi¸c ABC nhän néi tiÕp ®êng trßn t©m O. C¸c ®êng cao BH vµ CK tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i ®iÓm I. KÎ ®êng kÝnh AD cña ®êng trßn t©m O, c¸c ®o¹n th¼ng DI vµ BC c¾t nhau t¹i M.Chøng minh r»ng. a/Tø gi¸c AHIK néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn. b/OM BC. 2/Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A,c¸c ®êng ph©n gi¸c trong cña go¸c B vµ gãc C c¾t c¸c c¹nh AC vµ AB lÇn lît t¹i D vµ E. Gäi H lµ giao ®iÓm cña BD vµ CE, biÕt AD=2cm, DC= 4 cm tÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng HB. C©u V:(3,0 ®iÓm) B¾c giang Cho ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB cè ®Þnh. H thuéc ®o¹n th¼ng OA( H kh¸c A;O vµ trung ®iÓm cña OA). KÎ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i H. MN c¾t AK t¹i E. 1. Chøng minh tø gi¸c HEKB néi tiÕp. 2. Chøng minh tam gi¸c AME ®ång d¹ng víi tam gi¸c AKM. 3. Cho ®iÓm H cè ®Þnh, x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña K ®Ó kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MKE nhá nhÊt. Bài 4: (3,5 điểm) ĐĂK LĂK Cho tam giác vuông cân ADB ( DA = DB) nội tiếp trong đường tròn tâm O. Dựng hình bình hành ABCD ; Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AC ; K là giao điểm của AC với đường tròn (O). Chứng minh rằng: 1/ HBCD là một tứ giác nội tiếp. 2/ D· OK 2.B· DH 3/ CK.CA 2.BD2 Bµi 4 (3,5®iÓm) B×NH D¦¥NG Cho ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB cã b¸n kÝnh R, tiÕp tuyÕn Ax. Trªn tiÕp tuyÕn Ax lÊy ®iÓm F sao cho BF c¾t ®êng trßn t¹i C, tia ph©n gi¸c cña gãc ABF c¾t Ax t¹i E vµ c¾t ®êng trßn t¹i D . a) Chøng minh OD // BC . b) Chøng minh hÖ thøc : BD.BE = BC.BF . c) Chøng minh tø gi¸c CDEF néi tiÕp. d) X¸c ®Þnh sè ®o cña gãc ABC ®Ó tø gi¸c AOCD lµ h×nh thoi. TÝnh diÖn tÝch h×nh thoi AOCD theo R . Bµi 4 (3,0 ®iÓm): qu¶ng b×nh Cho tam gi¸c PQR vu«ng c©n t¹i P. Trong gãc PQR kÎ tia Qx bÊt kú c¾t PR t¹i D (D kh«ng trïng víi P vµ D kh«ng trïng víi R). Qua R kÎ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi Qx t¹i E. Gäi F lµ giao ®iÓm cña PQ vµ RE. d) Chøng minh tø gi¸c QPER néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn. Nguyễn Tấn Cường 42 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 e) Chøng minh tia EP lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DEF f) TÝnh sè ®o gãc QFD. g) Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng QE. Chøng minh r»ng ®iÓm M lu«n n»m trªn cung trßn cè ®Þnh khi tia Qx thay ®æi vÞ trÝ n»m gi÷a hai tia QP vµ QR Bài 4: (4,0 điểm) ÐẠI HỌC TÂY NGUYÊN Cho tam giác ABC ( AB  CEH +  CDH = 1800 Mµ  CEH vµ  CDH lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®êng cao => BE  AC => BEC = 900. CF lµ ®êng cao => CF  AB => BFC = 900. Nh vËy E vµ F cïng nh×n BC díi mét gãc 900 => E vµ F cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BC. VËy bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®êng trßn. XÐt hai tam gi¸c AEH vµ ADC ta cã:  AEH =  ADC = 900 ; ¢ lµ gãc chung AE AH => AEH  ADC => => AE.AC = AH.AD. AD AC * XÐt hai tam gi¸c BEC vµ ADC ta cã:  BEC =  ADC = 900 ; C lµ gãc chung BE BC => BEC  ADC => => AD.BC = BE.AC. AD AC 4. Ta cã C1 = A1 ( v× cïng phô víi gãc ABC) C2 = A1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BM) => C1 =  C2 => CB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc HCM; l¹i cã CB  HM => CHM c©n t¹i C => CB còng lµ ®¬ng trung trùc cña HM vËy H vµ M ®èi xøng nhau qua BC. 5. Theo chøng minh trªn bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®êng trßn => C1 = E1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BF) Nguyễn Tấn Cường 43 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 Còng theo chøng minh trªn CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp C1 = E2 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HD) E1 = E2 => EB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc FED. Chøng minh t¬ng tù ta còng cã FC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DFE mµ BE vµ CF c¾t nhau t¹i H do ®ã H lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF. Bµi 2. Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), c¸c ®êng cao AD, BE, c¾t nhau t¹i H. Gäi O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE. A 1. Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp . 2. Bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn. 1 1 3. Chøng minh ED = BC. O 2 1 4. Chøng minh DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O). 2 E 5. TÝnh ®é dµi DE biÕt DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. H 3 Lêi gi¶i: XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: B 1 D C  CEH = 900 ( V× BE lµ ®êng cao)  CDH = 900 ( V× AD lµ ®êng cao) =>  CEH +  CDH = 1800 Mµ  CEH vµ  CDH lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp 2. Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®êng cao => BE  AC => BEA = 900. AD lµ ®êng cao => AD  BC => BDA = 900. Nh vËy E vµ D cïng nh×n AB díi mét gãc 900 => E vµ D cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh AB. VËy bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn. 3. Theo gi¶ thiÕt tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã AD lµ ®êng cao nªn còng lµ ®êng trung tuyÕn => D lµ trung ®iÓm cña BC. Theo trªn ta cã BEC = 900 . 1 VËy tam gi¸c BEC vu«ng t¹i E cã ED lµ trung tuyÕn => DE = BC. 2 V× O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE nªn O lµ trung ®iÓm cña AH => OA = OE => tam gi¸c AOE c©n t¹i O => E1 = A1 (1). 1 Theo trªn DE = BC => tam gi¸c DBE c©n t¹i D => E3 = B1 (2) 2 Mµ B1 = A1 ( v× cïng phô víi gãc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3 0 0 Mµ E1 + E2 = BEA = 90 => E2 + E3 = 90 = OED => DE  OE t¹i E. VËy DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O) t¹i E. 5. Theo gi¶ thiÕt AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. ¸p dông ®Þnh lÝ Pitago cho tam gi¸c OED vu«ng t¹i E ta cã ED2 = OD2 – OE2  ED2 = 52 – 32  ED = 4cm Bµi 3 Cho nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB = 2R. Tõ A vµ B kÎ hai tiÕp tuyÕn Ax, By. Qua ®iÓm M thuéc nöa ®êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn thø ba c¾t c¸c tiÕp tuyÕn Ax , By lÇn lît ë C vµ D. C¸c ®êng th¼ng AD vµ BC c¾t nhau t¹i N. 1. Chøng minh AC + BD = CD. 6. Chøng minh MN  AB. 2. Chøng minh COD = 900. 7. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó chu vi AB2 tø gi¸c ACDB ®¹t gi¸ trÞ nhá 3. Chøng minh AC. BD = . nhÊt. 4 4. Chøng minh OC // BM Lêi gi¶i: 5. Chøng minh AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ®êng kÝnh CD. Nguyễn Tấn Cường 44 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 y x D / I M / C N A O B Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM. Mµ CM + DM = CD => AC + BD = CD Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: OC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AOM; OD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BOM, mµ AOM vµ BOM lµ hai gãc kÒ bï => COD = 900. Theo trªn COD = 900 nªn tam gi¸c COD vu«ng t¹i O cã OM  CD ( OM lµ tiÕp tuyÕn ). ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao trong tam gi¸c vu«ng ta cã OM2 = CM. DM, AB2 Mµ OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 => AC. BD = . 4 Theo trªn COD = 900 nªn OC  OD .(1) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: DB = DM; l¹i cã OM = OB =R => OD lµ trung trùc cña BM => BM  OD .(2). Tõ (1) Vµ (2) => OC // BM ( V× cïng vu«ng gãc víi OD). Gäi I lµ trung ®iÓm cña CD ta cã I lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c COD ®êng kÝnh CD cã IO lµ b¸n kÝnh. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã AC  AB; BD  AB => AC // BD => tø gi¸c ACDB lµ h×nh thang. L¹i cã I lµ trung ®iÓm cña CD; O lµ trung ®iÓm cña AB => IO lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang ACDB => IO // AC , mµ AC  AB => IO  AB t¹i O => AB lµ tiÕp tuyÕn t¹i O cña ®êng trßn ®êng kÝnh CD CN AC CN CM 6. Theo trªn AC // BD => , mµ CA = CM; DB = DM nªn suy ra BN BD BN DM => MN // BD mµ BD  AB => MN  AB. 7. ( HD): Ta cã chu vi tø gi¸c ACDB = AB + AC + CD + BD mµ AC + BD = CD nªn suy ra chu vi tø gi¸c ACDB = AB + 2CD mµ AB kh«ng ®æi nªn chu vi tø gi¸c ACDB nhá nhÊt khi CD nhá nhÊt , mµ CD nhá nhÊt khi CD lµ kho¶ng c¸ch gi÷ Ax vµ By tøc lµ CD vu«ng gãc víi Ax vµ By. Khi ®ã CD // AB => M ph¶i lµ trung ®iÓm cña cung AB. Bµi 4 Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®êng trßn bµng tiÕp gãc A , O lµ trung ®iÓm cña IK. A 1. Chøng minh B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®êng trßn. 2. Chøng minh AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O). 3. TÝnh b¸n kÝnh ®êng trßn (O) BiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm. Lêi gi¶i: (HD) 1. V× I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®êng trßn bµng tiÕp I gãc A nªn BI vµ BK lµ hai tia ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï ®Ønh B 1 1 0 B 2 C Do ®ã BI  BK hayIBK = 90 . H T¬ng tù ta còng cã ICK = 900 nh vËy B vµ C cïng n»m trªn o ®êng trßn ®êng kÝnh IK do ®ã B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®êng trßn. Ta cã C1 = C2 (1) ( v× CI lµ ph©n gi¸c cña gãc ACH. 0 0 K C2 + I1 = 90 (2) ( v× IHC = 90 ). Nguyễn Tấn Cường 56 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 I1 =  ICO (3) ( v× tam gi¸c OIC c©n t¹i O) 0 Tõ (1), (2) , (3) => C1 + ICO = 90 hay AC  OC. VËy AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O). Tõ gi¶ thiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm. AH2 = AC2 – HC2 => AH = 202 122 = 16 ( cm) CH 2 122 CH2 = AH.OH => OH = = 9 (cm) AH 16 OC = OH 2 HC 2 92 122 225 = 15 (cm) Bµi 5 Cho ®êng trßn (O; R), tõ mét ®iÓm A trªn (O) kÎ tiÕp tuyÕn d víi (O). Trªn ®êng th¼ng d lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp ®iÓm). KÎ AC  MB, BD  MA, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB. 1. Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp. d 2. Chøng minh n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét A P ®êng trßn . K D 2 2 3. Chøng minh OI.OM = R ; OI. IM = IA . N 4. Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi. H O M 5. Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng. I 6. T×m quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®êng th¼ng d Lêi gi¶i: C (HS tù lµm). V× K lµ trung ®iÓm NP nªn OK  NP ( quan hÖ ®êng kÝnh B Vµ d©y cung) => OKM = 900. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã OAM = 900; OBM = 900. nh vËy K, A, B cïng nh×n OM díi mét gãc 900 nªn cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh OM. VËy n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn. 3. Ta cã MA = MB ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau); OA = OB = R => OM lµ trung trùc cña AB => OM  AB t¹i I . Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã OAM = 900 nªn tam gi¸c OAM vu«ng t¹i A cã AI lµ ®êng cao. ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; vµ OI. IM = IA2. 4. Ta cã OB  MB (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; AC  MB (gt) => OB // AC hay OB // AH. OA  MA (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; BD  MA (gt) => OA // BD hay OA // BH. => Tø gi¸c OAHB lµ h×nh b×nh hµnh; l¹i cã OA = OB (=R) => OAHB lµ h×nh thoi. 5. Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => OH  AB; còng theo trªn OM  AB => O, H, M th¼ng hµng( V× qua O chØ cã mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AB). 6. (HD) Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => AH = AO = R. VËy khi M di ®éng trªn d th× H còng di ®éng nhng lu«n c¸ch A cè ®Þnh mét kho¶ng b»ng R. Do ®ã quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®êng th¼ng d lµ nöa ®êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH = R Bµi 6 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®êng cao AH. VÏ ®êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH. Gäi HD lµ ®êng kÝnh cña ®êng trßn (A; AH). TiÕp tuyÕn cña ®êng trßn t¹i D c¾t CA ë E. 1. Chøng minh tam gi¸c BEC c©n. V× AB CE (gt), do ®ã AB 2. Gäi I lµ h×nh chiÕu cña A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH. võa lµ ®êng cao võa lµ 3. Chøng minh r»ng BE lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (A; AH). ®êng trung tuyÕn cña 4. Chøng minh BE = BH + DE. BEC => BEC lµ tam gi¸c Lêi gi¶i: (HD) c©n. => B1 = B2 AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) vµ AE = AC (2). Nguyễn Tấn Cường 46 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 E D A I 1 2 B H C 2. Hai tam gi¸c vu«ng ABI vµ ABH cã c¹nh huyÒn AB chung, B1 = B2 => AHB = AIB => AI = AH. 3. AI = AH vµ BE  AI t¹i I => BE lµ tiÕp tuyÕn cña (A; AH) t¹i I. 4. DE = IE vµ BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED Bµi 7 Cho ®êng trßn (O; R) ®êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Ax vµ lÊy trªn tiÕp tuyÕn ®ã mét ®iÓm P sao cho AP > R, tõ P kÎ tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (O) t¹i M. X N J 1. Chøng minh r»ng tø gi¸c APMO néi tiÕp ®îc mét ®êng trßn. P 2. Chøng minh BM // OP. 1 3. §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N. Chøng I minh tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh. M 4. BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN vµ OM kÐo dµi c¾t nhau t¹i J. Chøng minh I, J, K th¼ng hµng. K Lêi gi¶i: (HS tù lµm). 2 A 1 ( 1 ( Ta cã  ABM néi tiÕp ch¾n cung AM;  AOM lµ gãc ë t©m O B AOM ch¾n cung AM =>  ABM = (1) OP lµ tia ph©n gi¸c  AOM 2 AOM ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ) =>  AOP = (2) 2 Tõ (1) vµ (2) =>  ABM =  AOP (3) Mµ  ABM vµ  AOP lµ hai gãc ®ång vÞ nªn suy ra BM // OP. (4) XÐt hai tam gi¸c AOP vµ OBN ta cã : PAO=900 (v× PA lµ tiÕp tuyÕn ); NOB = 900 (gt NOAB). => PAO = NOB = 900; OA = OB = R; AOP = OBN (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5) Tõ (4) vµ (5) => OBNP lµ h×nh b×nh hµnh ( v× cã hai c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau). Tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh => PN // OB hay PJ // AB, mµ ON  AB => ON  PJ Ta còng cã PM  OJ ( PM lµ tiÕp tuyÕn ), mµ ON vµ PM c¾t nhau t¹i I nªn I lµ trùc t©m tam gi¸c POJ. (6) DÔ thÊy tø gi¸c AONP lµ h×nh ch÷ nhËt v× cã PAO = AON = ONP = 900 => K lµ trung ®iÓm cña PO ( t/c ®êng chÐo h×nh ch÷ nhËt). (6) AONP lµ h×nh ch÷ nhËt => APO =  NOP ( so le) (7) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau Ta cã PO lµ tia ph©n gi¸c APM => APO = MPO (8). Tõ (7) vµ (8) => IPO c©n t¹i I cã IK lµ trung tuyÕn ®«ng thêi lµ ®êng cao => IK  PO. (9) Tõ (6) vµ (9) => I, J, K th¼ng hµng. Bµi 8 Cho nöa ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®êng trßn ( M kh¸c A,B). Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB chøa nöa ®êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn Ax. Tia BM c¾t Ax t¹i I; tia ph©n gi¸c cña gãc IAM c¾t nöa ®êng trßn t¹i E; c¾t tia BM t¹i F tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K. 1) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp. 4) Chøng minh r»ng : Tø 2) Chøng minh r»ng: AI2 = IM . IB. gi¸c AKFH lµ h×nh thoi. 3) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n. Nguyễn Tấn Cường 47 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 5) X¸c ®Þnh vÞ trÝ M ®Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®îc mét ®êng trßn. X Lêi gi¶i: I 1. Ta cã : AMB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) 0 => KMF = 90 (v× lµ hai gãc kÒ bï). F AEB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => KEF = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). M => KMF + KEF = 1800 . Mµ KMF vµ KEF lµ hai gãc ®èi H E cña tø gi¸c EFMK do ®ã EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp. K 1 2 2 1 A O B Ta cã IAB = 900 ( v× AI lµ tiÕp tuyÕn ) => AIB vu«ng t¹i A cã AM  IB ( theo trªn). ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao => AI2 = IM . IB. Theo gi¶ thiÕt AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM => IAE = MAE => AE = ME (lÝ do ) => ABE =MBE ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => BE lµ tia ph©n gi¸c gãc ABF. (1) Theo trªn ta cã AEB = 900 => BE  AF hay BE lµ ®êng cao cña tam gi¸c ABF (2). Tõ (1) vµ (2) => BAF lµ tam gi¸c c©n. t¹i B . BAF lµ tam gi¸c c©n. t¹i B cã BE lµ ®êng cao nªn ®ång thêi lµ ®¬ng trung tuyÕn => E lµ trung ®iÓm cña AF. (3) Tõ BE  AF => AF  HK (4), theo trªn AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM hay AE lµ tia ph©n gi¸c HAK (5) Tõ (4) vµ (5) => HAK lµ tam gi¸c c©n. t¹i A cã AE lµ ®êng cao nªn ®ång thêi lµ ®¬ng trung tuyÕn => E lµ trung ®iÓm cña HK. (6). Tõ (3) , (4) vµ (6) => AKFH lµ h×nh thoi ( v× cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®êng). (HD). Theo trªn AKFH lµ h×nh thoi => HA // FH hay IA // FK => tø gi¸c AKFI lµ h×nh thang. §Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®îc mét ®êng trßn th× AKFI ph¶i lµ h×nh thang c©n. AKFI lµ h×nh thang c©n khi M lµ trung ®iÓm cña cung AB. ThËt vËy: M lµ trung ®iÓm cña cung AB => ABM = MAI = 450 (t/c gãc néi tiÕp ). (7) Tam gi¸c ABI vu«ng t¹i A cã ABI = 450 => AIB = 450 .(8) Tõ (7) vµ (8) => IAK = AIF = 450 => AKFI lµ h×nh thang c©n (h×nh thang cã hai gãc ®¸y b»ng nhau). VËy khi M lµ trung ®iÓm cña cung AB th× tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®îc mét ®êng trßn. Bµi 9 Cho nöa ®êng trßn (O; R) ®êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Bx vµ lÊy hai ®iÓm C vµ D thuéc nöa ®êng trßn. C¸c tia AC vµ AD c¾t Bx lÇn lît ë E, F (F ë gi÷a B vµ E). 1. Chøng minh AC. AE kh«ng ®æi. 2. Chøng minh  ABD =  DFB. 3. Chøng minh r»ng CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp. Lêi gi¶i: ABF cã ABF = 900 ( BF lµ C thuéc nöa ®êng trßn nªn ACB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng tiÕp tuyÕn ). trßn ) => BC  AE. => AFB + BAF = 900 (v× ABE = 900 ( Bx lµ tiÕp tuyÕn ) => tam gi¸c ABE vu«ng t¹i B cã BC lµ tæng ba gãc cña mét tam gi¸c ®êng cao => AC. AE = AB2 (hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao ), mµ AB lµ b»ng 1800) (2) ®êng kÝnh nªn AB = 2R kh«ng ®æi do ®ã AC. AE kh«ng ®æi. Tõ (1) vµ (2) => ABD = ADB cã ADB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ). DFB ( cïng phô víi BAD) => ABD + BAD = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 1800)(1) Nguyễn Tấn Cường 48 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 X E C D F A O B Tø gi¸c ACDB néi tiÕp (O) => ABD + ACD = 1800 . ECD + ACD = 1800 ( V× lµ hai gãc kÒ bï) => ECD = ABD ( cïng bï víi ACD). Theo trªn ABD = DFB => ECD = DFB. Mµ EFD + DFB = 1800 ( V× lµ hai gãc kÒ bï) nªn suy ra ECD + EFD = 1800, mÆt kh¸c ECD vµ EFD lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CDFE do ®ã tø gi¸c CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp. Bµi 10 Cho ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®êng trßn sao cho AM SPA = 900 ; AMB = 900 ( néi tiÕp ch¾n 3 A H O nöa ®êng trßn ) => AMS = 900 . Nh vËy P vµ M cïng nh×n AS díi mét gãc b»ng 900 nªn cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh AS. M' VËy bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®êng trßn. 1 2. V× M’®èi xøng M qua AB mµ M n»m trªn ®êng trßn nªn M’ còng S' n»m trªn ®êng trßn => hai cung AM vµ AM’ cã sè ®o b»ng nhau => AMM’ = AM’M ( Hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) (1) Còng v× M’®èi xøng M qua AB nªn MM’  AB t¹i H => MM’// SS’ ( cïng vu«ng gãc víi AB) => AMM’ = AS’S; AM’M = ASS’ (v× so le trong) (2). => Tõ (1) vµ (2) => AS’S = ASS’. Theo trªn bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®êng trßn => ASP=AMP (néi tiÕp cïng ch¾n AP ) => AS’P = AMP => tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P. 3. Tam gi¸c SPB vu«ng t¹i P; tam gi¸c SMS’ vu«ng t¹i M => B1 = S’1 (cïng phô víi S). (3) Tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P => S’1 = M1 (4) Tam gi¸c OBM c©n t¹i O ( v× cã OM = OB =R) => B1 = M3 (5). 0 Tõ (3), (4) vµ (5) => M1 = M3 => M1 + M2 = M3 + M2 mµ M3 + M2 = AMB = 90 nªn 0 suy ra M1 + M2 = PMO = 90 => PM  OM t¹i M => PM lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn t¹i M Bµi 11. Cho tam gi¸c ABC (AB = AC). C¹nh AB, BC, CA tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i c¸c ®iÓm D, E, F . BF c¾t (O) t¹i I , DI c¾t BC t¹i M. Chøng minh : 1. Tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän. Nguyễn Tấn Cường 56 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 BD BM 2. DF // BC. 3. Tø gi¸c BDFC néi tiÕp. 4. CB CF Lêi gi¶i: A 1. (HD) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã AD = AF => tam gi¸c ADF c©n t¹i A => ADF = AFD s® cung DF DEF => DF // BC. AB AC I 3. DF // BC => BDFC lµ h×nh thang l¹i cã  B = C (v× tam gi¸c ABC c©n) => BDFC lµ h×nh thang c©n do ®ã BDFC néi tiÕp ®îc mét ®êng trßn . B M E C 4. XÐt hai tam gi¸c BDM vµ CBF Ta cã  DBM = BCF ( hai gãc ®¸y cña tam gi¸c c©n). BDM = BFD (néi tiÕp cïng ch¾n cung DI);  CBF = BFD (v× so le) => BDM = CBF . BD BM => BDM  CBF => CB CF Bµi 12 Cho ®êng trßn (O) b¸n kÝnh R cã hai ®êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau. Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy ®iÓm M (M kh¸c O). CM c¾t (O) t¹i N. §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M c¾t tiÕp tuyÕn t¹i N cña ®êng trßn ë P. Chøng minh : C 1. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp. 2. Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh. 3. CM. CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M. 4. Khi M di chuyÓn trªn ®o¹n th¼ng AB th× P ch¹y trªn ®o¹n th¼ng M O cè ®Þnh nµo. A B Lêi gi¶i: 1. Ta cã OMP = 900 ( v× PM  AB ); ONP = 900 (v× NP lµ tiÕp tuyÕn ). N Nh vËy M vµ N cïng nh×n OP díi mét gãc b»ng 900 => M vµ N cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh OP => Tø gi¸c OMNP néi tiÕp. A' P D B' 2. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp => OPM =  ONM (néi tiÕp ch¾n cung OM) Tam gi¸c ONC c©n t¹i O v× cã ON = OC = R => ONC = OCN => OPM = OCM. XÐt hai tam gi¸c OMC vµ MOP ta cã MOC = OMP = 900; OPM = OCM => CMO = POM l¹i cã MO lµ c¹nh chung => OMC = MOP => OC = MP. (1) Theo gi¶ thiÕt Ta cã CD  AB; PM  AB => CO//PM (2). Tõ (1) vµ (2) => Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh. 3. XÐt hai tam gi¸c OMC vµ NDC ta cã MOC = 900 ( gt CD  AB); DNC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => MOC =DNC = 900 l¹i cã C lµ gãc chung => OMC  NDC CM CO => => CM. CN = CO.CD mµ CO = R; CD = 2R nªn CO.CD = 2R2 kh«ng ®æi => CM.CN =2R2 CD CN kh«ng ®æi hay tÝch CM. CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M. 4. ( HD) DÔ thÊy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P ch¹y trªn ®êng th¼ng cè ®Þnh vu«ng gãc víi CD t¹i D. V× M chØ ch¹y trªn ®o¹n th¼ng AB nªn P chØ ch¹y trªn do¹n th¼ng A’ B’ song song vµ b»ng AB. Nguyễn Tấn Cường 50 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 Bµi 13 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A (AB > AC), ®êng cao AH. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê BC chøa ®iÓn A , VÏ nöa ®êng trßn ®êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, Nöa ®êng trßn ®êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F. 1. Chøng minh AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt. 2. BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 3. AE. AB = AF. AC. 4. Chøng minh EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®êng trßn . Lêi gi¶i: A 1. Ta cã : BEH = 90 0 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®êng trßn ) E => AEH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). (1) 1 I CFH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®êng trßn ) 2 1( F => AFH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).(2) 1 1 EAF = 900 ( V× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A) (3) ) 2 B O1 H O2 C Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt ( v× cã ba gãc vu«ng). 2. Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt nªn néi tiÕp ®îc mét ®êng trßn =>F1=H1 (néi tiÕp ch¾n cung AE) . Theo gi¶ thiÕt AH BC nªn AH lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®êng trßn (O1) vµ (O2) => B1 = H1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HE) => B1= F1 => EBC+EFC = AFE + EFC mµ AFE + EFC = 1800 (v× lµ hai gãc kÒ bï) => EBC+EFC = 1800 mÆt kh¸c EBC vµ EFC lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c BEFC do ®ã BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 3. XÐt hai tam gi¸c AEF vµ ACB ta cã A = 900 lµ gãc chung; AFE = ABC ( theo Chøng AE AF minh trªn) => AEF  ACB => => AE. AB = AF. AC. AC AB * HD c¸ch 2: Tam gi¸c AHB vu«ng t¹i H cã HE  AB => AH2 = AE.AB (*) Tam gi¸c AHC vu«ng t¹i H cã HF  AC => AH2 = AF.AC ( ) Tõ (*) vµ ( ) => AE. AB = AF. AC 4. Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt => IE = EH => IEH c©n t¹i I => E1 = H1 . O1EH c©n t¹i O1 (v× cã O1E vµO1H cïng lµ b¸n kÝnh) => E2 = H2. 0 0 => E1 + E2 = H1 + H2 mµ H1 + H2 = AHB = 90 => E1 + E2 = O1EF = 90 => O1E EF . Chøng minh t¬ng tù ta còng cã O2F  EF. VËy EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®êng trßn . Bµi 14 Cho ®iÓm C thuéc ®o¹n th¼ng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. VÏ vÒ mét phÝa cña AB c¸c nöa ®êng trßn cã ®êng kÝnh theo thø tù lµ AB, AC, CB vµ cã t©m theo thø tù lµ O, I, K. §êng vu«ng gãc víi AB t¹i C c¾t nöa ®êng trßn (O) t¹i E. Gäi M. N theo thø tù lµ giao ®iÓm cña EA, EB víi c¸c nöa ®êng trßn (I), (K). E 1. Chøng minh EC = MN. 2. Chøng minh MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa ®êng N trßn (I), (K). 3 1 2 3. TÝnh MN. H 1 4. TÝnh diÖn tÝch h×nh ®îc giíi h¹n bëi ba nöa ®êng trßn M Lêi gi¶i: 1 2 1 0 1. Ta cã: BNC= 90 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn t©m K) A I C O K B => ENC = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). (1) AMC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®êng trßn t©m I) => EMC = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).(2) AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn t©m O) hay MEN = 900 (3) Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt => EC = MN (tÝnh chÊt ®êng chÐo h×nh ch÷ nhËt ) 2. Theo gi¶ thiÕt EC AB t¹i C nªn EC lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®êng trßn (I) vµ (K) Nguyễn Tấn Cường 51 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 => B1 = C1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung CN). Tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt nªn => C1= N3 => B1 = N3.(4) L¹i cã KB = KN (cïng lµ b¸n kÝnh) => tam gi¸c KBN c©n t¹i K => B1 = N1 (5) 0 0 Tõ (4) vµ (5) => N1 = N3 mµ N1 + N2 = CNB = 90 => N3 + N2 = MNK = 90 hay MN  KN t¹i N => MN lµ tiÕp tuyÕn cña (K) t¹i N. Chøng minh t¬ng tù ta còng cã MN lµ tiÕp tuyÕn cña (I) t¹i M, VËy MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa ®êng trßn (I), (K). 3. Ta cã AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nöc ®êng trßn t©m O) => AEB vu«ng t¹i A cã EC  AB (gt) => EC2 = AC. BC  EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo trªn EC = MN => MN = 20 cm. 4. Theo gi¶ thiÕt AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm 2 2 2 2 2 2 Ta cã S(o) = .OA = 25 = 625 ; S(I) = . IA = .5 = 25 ; S(k) = .KB = . 20 = 400 . 1 Ta cã diÖn tÝch phÇn h×nh ®îc giíi h¹n bëi ba nöa ®êng trßn lµ S = ( S(o) - S(I) - S(k)) 2 1 1 S = ( 625 - 25 - 400 ) = .200 = 100 314 (cm2) 2 2 Bµi 15 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm M, dùng ®êng trßn (O) cã ®êng kÝnh MC. ®êng th¼ng BM c¾t ®êng trßn (O) t¹i D. ®êng th¼ng AD c¾t ®êng trßn (O) t¹i S. 1. Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. Chøng minh CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. 3. Gäi E lµ giao ®iÓm cña BC víi ®êng trßn (O). Chøng minh r»ng c¸c ®êng th¼ng BA, EM, CD ®ång quy. 4. Chøng minh DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE. 5. Chøng minh ®iÓm M lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE. Lêi gi¶i: C C 2 1 1 2 3 O O D 3 E 2 S 1 1 E 2 S M D 2 M 1 2 1 2 1 2 2 3 1 3 1 F A F A B B H×nh a H×nh b 1. Ta cã CAB = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); MDC = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => CDB = 900 nh vËy D vµ A cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 900 nªn A vµ D cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BC => ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2. ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => D1= C3( néi tiÕp cïng ch¾n cung AB). ¼ ¼ D1= C3 => SM EM => C2 = C3 (hai gãc néi tiÕp ®êng trßn (O) ch¾n hai cung b»ng nhau) => CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. 3. XÐt CMB Ta cã BACM; CD  BM; ME  BC nh vËy BA, EM, CD lµ ba ®êng cao cña tam gi¸c CMB nªn BA, EM, CD ®ång quy. ¼ ¼ 4. Theo trªn Ta cã SM EM => D1= D2 => DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE.(1) Nguyễn Tấn Cường 52 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 5. Ta cã MEC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn (O)) => MEB = 900. Tø gi¸c AMEB cã MAB = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn tø gi¸c AMEB néi tiÕp mét ®êng trßn => A2 = B2 . Tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => A1= B2( néi tiÕp cïng ch¾n cung CD) => A1= A2 => AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DAE (2) Tõ (1) vµ (2) Ta cã M lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE TH2 (H×nh b) C©u 2 : ABC = CME (cïng phô ACB); ABC = CDS (cïng bï ADC) => CME = CDS => C»E C»S S¼M E¼M => SCM = ECM => CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. Bµi 16 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A.vµ mét ®iÓm D n»m gi÷a A vµ B. §êng trßn ®êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E. C¸c ®êng thẬng CD, AE lÇn lît c¾t ®êng trßn t¹i F, G. Chøng minh : B 1. Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EBD. 2. Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp . 3. AC // FG. 4. C¸c ®êng th¼ng AC, DE, FB ®ång quy. O Lêi gi¶i: E 1. XÐt hai tam gi¸c ABC vµ EDB Ta cã BAC = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); DEB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) 1 1 0 F G => DEB = BAC = 90 ; l¹i cã ABC lµ gãc chung => DEB  CAB . D 0 0 0 2. Theo trªn DEB = 90 => DEC = 90 (v× hai gãc kÒ bï); BAC = 90 1 ( v× ABC vu«ng t¹i A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800 mµ S A C ®©y lµ hai gãc ®èi nªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp . * BAC = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); DFB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) hay BFC = 900 nh vËy F vµ A cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 900 nªn A vµ F cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BC => AFBC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 3. Theo trªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp => E1 = C1 l¹i cã E1 = F1 => F1 = C1 mµ ®©y lµ hai gãc so le trong nªn suy ra AC // FG. 4. (HD) DÔ thÊy CA, DE, BF lµ ba ®êng cao cña tam gi¸c DBC nªn CA, DE, BF ®ång quy t¹i S. Bµi 17. Cho tam gi¸c ®Òu ABC cã ®êng cao lµ AH. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh«ng trïng B. C, H ) ; tõ M kÎ MP, MQ vu«ng gãc víi c¸c c¹nh AB. AC. 1. Chøng minh APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ h·y x¸c ®Þnh t©m O cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c ®ã. 2. Chøng minh r»ng MP + MQ = AH. 3. Chøng minh OH  PQ. Lêi gi¶i: 2. Tam gi¸c ABC cã AH lµ ®êng cao => 1. Ta cã MP  AB (gt) => APM = 900; MQ  AC (gt) 1 SABC = BC.AH. => AQM = 900 nh vËy P vµ Q cïng nh×n BC díi mét gãc 2 b»ng 900 nªn P vµ Q cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh Tam gi¸c ABM cã MP lµ ®êng cao => AM => APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp. 1 SABM = AB.MP * V× AM lµ ®êng kÝnh cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c 2 APMQ t©m O cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ lµ Tam gi¸c ACM cã MQ lµ ®êng cao => trung ®iÓm cña AM. 1 SACM = AC.MQ 2 Nguyễn Tấn Cường 53 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 A O P 1 2 Q B H M C 1 1 1 Ta cã SABM + SACM = SABC => AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH 2 2 2 Mµ AB = BC = CA (v× tam gi¸c ABC ®Òu) => MP + MQ = AH. 3. Tam gi¸c ABC cã AH lµ ®êng cao nªn còng lµ ®êng ph©n gi¸c => HAP = HAQ => H»P H¼Q ( tÝnh chÊt gãc néi tiÕp ) => HOP = HOQ (t/c gãc ë t©m) => OH lµ tia ph©n gi¸c gãc POQ. Mµ tam gi¸c POQ c©n t¹i O ( v× OP vµ OQ cïng lµ b¸n kÝnh) nªn suy ra OH còng lµ ®êng cao => OH  PQ Bµi 18 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB. Trªn ®o¹n th¼ng OB lÊy ®iÓm H bÊt k× ( H kh«ng trïng O, B) ; trªn ®êng th¼ng vu«ng gãc víi OB t¹i H, lÊy mét ®iÓm M ë ngoµi ®êng trßn ; MA vµ MB thø tù c¾t ®êng trßn (O) t¹i C vµ D. Gäi I lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC. 1. Chøng minh MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. Chøng minh c¸c ®êng th¼ng AD, BC, MH ®ång quy t¹i I. 3. Gäi K lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c MCID, Chøng minh KCOH lµ tø gi¸c néi tiÕp . Lêi gi¶i: M 0 1. Ta cã : ACB = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®êng trßn ) 1 => MCI = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). _ ADB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®êng trßn ) C 1 K 2 => MDI = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). 4 3 _ D => MCI + MDI = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c MCID nªn MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp. I 2. Theo trªn Ta cã BC  MA; AD  MB nªn BC vµ AD lµ hai 1 A ®êng cao cña tam gi¸c MAB mµ BC vµ AD c¾t nhau t¹i I nªn I lµ trùc O H B t©m cña tam gi¸c MAB. Theo gi¶ thiÕt th× MH  AB nªn MH còng lµ ®êng cao cña tam gi¸c MAB => AD, BC, MH ®ång quy t¹i I. 3. OAC c©n t¹i O ( v× OA vµ OC lµ b¸n kÝnh) => A1 = C4 KCM c©n t¹i K ( v× KC vµ KM lµ b¸n kÝnh) => M1 = C1 . 0 0 0 Mµ A1 + M1 = 90 ( do tam gi¸c AHM vu«ng t¹i H) => C1 + C4 = 90 => C3 + C2 = 90 ( v× gãc ACM lµ gãc bÑt) hay OCK = 900 . XÐt tø gi¸c KCOH Ta cã OHK = 900; OCK = 900 => OHK + OCK = 1800 mµ OHK vµ OCK lµ hai gãc ®èi nªn KCOH lµ tø gi¸c néi tiÕp. Nguyễn Tấn Cường 56 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 Bµi 19. Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AC. Trªn b¸n kÝnh OC lÊy ®iÓm B tuú ý (B kh¸c O, C ). Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AB. Qua M kÎ d©y cung DE vu«ng gãc víi AB. Nèi CD, KÎ BI vu«ng gãc víi CD. 1. Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp . D 2. Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi. 3. Chøng minh BI // AD. 4. Chøng minh I, B, E th¼ng hµng. I 5. Chøng minh MI lµ tiÕp tuyÕn cña (O’). 1 3 Lêi gi¶i: 2 0 0 A / / 1 1 C 1. BIC = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => BID = 90 M O 2 B O' (v× lµ hai gãc kÒ bï); DE  AB t¹i M => BMD = 900 => BID + BMD = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c MBID nªn MBID lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2. Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña AB; DE  AB t¹i M nªn M 1 còng lµ trung ®iÓm cña DE (quan hÖ ®êng kÝnh vµ d©y cung) E => Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi v× cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®êng . 3. ADC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => AD  DC; theo trªn BI  DC => BI // AD. (1) 4. Theo gi¶ thiÕt ADBE lµ h×nh thoi => EB // AD (2). Tõ (1) vµ (2) => I, B, E th¼ng hµng (v× qua B chØ cã mét ®êng th¼ng song song víi AD mµ th«i.) 5. I, B, E th¼ng hµng nªn tam gi¸c IDE vu«ng t¹i I => IM lµ trung tuyÕn ( v× M lµ trung ®iÓm cña DE) =>MI = ME => MIE c©n t¹i M => I1 = E1 ; O’IC c©n t¹i O’ ( v× O’C vµ O’I cïng lµ b¸n kÝnh ) => I3 = C1 mµ C1 = E1 ( Cïng phô víi gãc EDC ) => I1 = I3 => I1 + I2 = I3 + I2 . Mµ 0 0 I3 + I2 = BIC = 90 => I1 + I2 = 90 = MIO’ hay MI  O’I t¹i I => MI lµ tiÕp tuyÕn cña (O’). Bµi 20. Cho ®êng trßn (O; R) vµ (O’; R’) cã R > R’ tiÕp xóc ngoµi nhau t¹i C. Gäi AC vµ BC lµ hai ®êng kÝnh ®i qua ®iÓm C cña (O) vµ (O’). DE lµ d©y cung cña (O) vu«ng gãc víi AB t¹i trung ®iÓm M cña AB. Gäi giao ®iÓm thø hai cña DC víi (O’) lµ F, BD c¾t (O’) t¹i G. Chøng minh r»ng: 1. Tø gi¸c MDGC néi tiÕp . D 2. Bèn ®iÓm M, D, B, F cïng n»m trªn mét ®êng trßn 1 3. Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi. G 4. B, E, F th¼ng hµng M C 5. DF, EG, AB ®ång quy. A B 6. MF = 1/2 DE. O O' 1 2 7. MF lµ tiÕp tuyÕn cña (O’). 1 3 Lêi gi¶i: 1 F 0 1. BGC = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) E => CGD = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï) Theo gi¶ thiÕt DE  AB t¹i M => CMD = 900 => CGD + CMD = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c MCGD nªn MCGD lµ tø gi¸c néi tiÕp 2. BFC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => BFD = 900; BMD = 900 (v× DE  AB t¹i M) nh vËy F vµ M cïng nh×n BD díi mét gãc b»ng 900 nªn F vµ M cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BD => M, D, B, F cïng n»m trªn mét ®êng trßn . 3. Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña AB; DE  AB t¹i M nªn M còng lµ trung ®iÓm cña DE (quan hÖ ®êng kÝnh vµ d©y cung) => Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi v× cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®êng . 4. ADC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => AD  DF ; theo trªn tø gi¸c ADBE lµ h×nh tho => BE // AD mµ AD  DF nªn suy ra BE  DF . Theo trªn BFC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => BF  DF mµ qua B chØ cã mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi DF do ®o B, E, F th¼ng hµng. Nguyễn Tấn Cường 55 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 5. Theo trªn DF  BE; BM  DE mµ DF vµ BM c¾t nhau t¹i C nªn C lµ trùc t©m cña tam gi¸c BDE => EC còng lµ ®êng cao => ECBD; theo trªn CGBD => E,C,G th¼ng hµng. VËy DF, EG, AB ®ång quy 6. Theo trªn DF  BE => DEF vu«ng t¹i F cã FM lµ trung tuyÕn (v× M lµ trung ®iÓm cña DE) suy ra MF = 1/2 DE ( v× trong tam gi¸c vu«ng trung tuyÕn thuéc c¹nh huyÒn b»ng nöa c¹nh huyÒn). 7. (HD) theo trªn MF = 1/2 DE => MD = MF => MDF c©n t¹i M => D1 = F1 O’BF c©n t¹i O’ ( v× O’B vµ O’F cïng lµ b¸n kÝnh ) => F3 = B1 mµ B1 = D1 (Cïng phô víi DEB 0 0 ) => F1 = F3 => F1 + F2 = F3 + F2 . Mµ F3 + F2 = BFC = 90 => F1 + F2 = 90 = MFO’ hay MF  O’F t¹i F => MF lµ tiÕp tuyÕn cña (O’). Bµi 21. Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB. Gäi I lµ trung ®iÓm cña OA . VÏ ®êng tron t©m I ®i qua A, trªn (I) lÊy P bÊt k×, AP c¾t (O) t¹i Q. 1. Chøng minh r»ng c¸c ®êng trßn (I) vµ (O) tiÕp xóc nhau t¹i A. Q 2. Chøng minh IP // OQ. 1 3. Chøng minh r»ng AP = PQ. P 4. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña P ®Ó tam gi¸c AQB cã diÖn tÝch lín nhÊt. Lêi gi¶i: 1 1. Ta cã OI = OA – IA mµ OA vµ IA lÇn lît lµ c¸c b¸n kÝnh cña ®êng 1 A O B trßn (O) vµ ®êng trßn (I) . VËy ®êng trßn (O) vµ ®êng trßn (I) tiÕp I H xóc nhau t¹i A . 2. OAQ c©n t¹i O ( v× OA vµ OQ cïng lµ b¸n kÝnh ) => A1 = Q1 IAP c©n t¹i I ( v× IA vµ IP cïng lµ b¸n kÝnh ) => A1 = P1 => P1 = Q1 mµ ®©y lµ hai gãc ®ång vÞ nªn suy ra IP // OQ. 3. APO = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => OP  AQ => OP lµ ®êng cao cña OAQ mµ OAQ c©n t¹i O nªn OP lµ ®êng trung tuyÕn => AP = PQ. 1 4. (HD) KÎ QH  AB ta cã SAQB = AB.QH. mµ AB lµ ®êng kÝnh kh«ng ®æi nªn SAQB lín nhÊt khi QH 2 lín nhÊt. QH lín nhÊt khi Q trïng víi trung ®iÓm cña cung AB. §Ó Q trïng víi trung ®iÓm cña cung AB th× P ph¶i lµ trung ®iÓm cña cung AO. ThËt vËy P lµ trung ®iÓm cña cung AO => PI  AO mµ theo trªn PI // QO => QO  AB t¹i O => Q lµ trung ®iÓm cña cung AB vµ khi ®ã H trung víi O; OQ lín nhÊt nªn QH lín nhÊt. Bµi 22. Cho h×nh vu«ng ABCD, ®iÓm E thuéc c¹nh BC. Qua B kÎ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi DE, ®êng th¼ng nµy c¾t c¸c ®êng th¼ng DE vµ DC theo thø tù ë H vµ K. 1. Chøng minh BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. TÝnh gãc CHK. A B 3. Chøng minh KC. KD = KH.KB 4. Khi E di chuyÓn trªn c¹nh BC th× H di chuyÓn trªn ®êng nµo? 1 Lêi gi¶i: 0 H 1. Theo gi¶ thiÕt ABCD lµ h×nh vu«ng nªn BCD = 90 ; BH  DE O E 0 t¹i H nªn BHD = 90 => nh vËy H vµ C cïng nh×n BD díi mét 1 2 gãc b»ng 900 nªn H vµ C cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BD => BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp. ) 2. BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => BDC + BHC = 1800. (1) 1 D C K BHK lµ gãc bÑt nªn KHC + BHC = 1800 (2). Tõ (1) vµ (2) => CHK = BDC mµ BDC = 450 (v× ABCD lµ h×nh vu«ng) => CHK = 450 . 3. XÐt KHC vµ KDB ta cã CHK = BDC = 450 ; K lµ gãc chung Nguyễn Tấn Cường 56 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 KC KH => KHC  KDB => => KC. KD = KH.KB. KB KD 4. (HD) Ta lu«n cã BHD = 900 vµ BD cè ®Þnh nªn khi E chuyÓn ®éng trªn c¹nh BC cè ®Þnh th× H chuyÓn ®éng trªn cung BC (E  B th× H  B; E  C th× H  C). Bµi 23. Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Dùng ë miÒn ngoµi tam gi¸c ABC c¸c h×nh vu«ng ABHK, ACDE. 1. Chøng minh ba ®iÓm H, A, D th¼ng hµng. E 2. §êng th¼ng HD c¾t ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c M ABC t¹i F, chøng minh FBC lµ tam gi¸c vu«ng c©n. 3. Cho biÕt ABC > 450 ; gäi M lµ giao ®iÓm cña BF vµ D K ED, Chøng minh 5 ®iÓm b, k, e, m, c cïng n»m trªn mét ®êng trßn. A F 4. Chøng minh MC lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC. H Lêi gi¶i: 0 1. Theo gi¶ thiÕt ABHK lµ h×nh vu«ng => BAH = 45 B O C Tø gi¸c AEDC lµ h×nh vu«ng => CAD = 450; tam gi¸c ABC vu«ng ë A => BAC = 900 => BAH + BAC + CAD = 450 + 900 + 450 = 1800 => ba ®iÓm H, A, D th¼ng hµng. 2. Ta cã BFC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) nªn tam gi¸c BFC vu«ng t¹i F. (1). FBC = FAC ( néi tiÕp cïng ch¾n cung FC) mµ theo trªn CAD = 450 hay FAC = 450 (2). Tõ (1) vµ (2) suy ra FBC lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i F. 3. Theo trªn BFC = 900 => CFM = 900 ( v× lµ hai gãc kÒ bï); CDM = 900 (t/c h×nh vu«ng). => CFM + CDM = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn tø gi¸c CDMF néi tiÕp mét ®êng trßn suy ra CDF = CMF , mµ CDF = 450 (v× AEDC lµ h×nh vu«ng) => CMF = 450 hay CMB = 450. Ta còng cã CEB = 450 (v× AEDC lµ h×nh vu«ng); BKC = 450 (v× ABHK lµ h×nh vu«ng). Nh vËy K, E, M cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 450 nªn cïng n»m trªn cung chøa gãc 450 dùng trªn BC => 5 ®iÓm b, k, e, m, c cïng n»m trªn mét ®êng trßn. 4. CBM cã B = 450 ; M = 450 => BCM =450 hay MC  BC t¹i C => MC lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC. Bµi 24. Cho tam gi¸c nhän ABC cã B = 450 . VÏ ®êng trßn ®êng kÝnh AC cã t©m O, ®êng trßn nµy c¾t BA vµ BC t¹i D vµ E. 1. Chøng minh AE = EB. A 2. Gäi H lµ giao ®iÓm cña CD vµ AE, Chøng minh r»ng ®êng trung trùc cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH. D 1 F 3. Chøng minh OD lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam 2 O gi¸c BDE. / _H Lêi gi¶i: K _ 1 1 / I 1. AEC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => AEB = 900 ( v× lµ hai gãc kÒ bï); Theo gi¶ thiÕt ABE = 450 B E C => AEB lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i E => EA = EB. 2. Gäi K lµ trung ®iÓm cña HE (1) ; I lµ trung ®iÓm cña HB => IK lµ ®êng trung b×nh cña tam gi¸c HBE => IK // BE mµ AEC = 900 nªn BE  HE t¹i E => IK  HE t¹i K (2). Tõ (1) vµ (2) => IK lµ trung trùc cña HE . VËy trung trùc cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH. 3. theo trªn I thuéc trung trùc cña HE => IE = IH mµ I lµ trung ®iÓm cña BH => IE = IB. Nguyễn Tấn Cường 57 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10  ADC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => BDH = 900 (kÒ bï ADC) => tam gi¸c BDH vu«ng t¹i D cã DI lµ trung tuyÕn (do I lµ trung ®iÓm cña BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB = ID => I lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE b¸n kÝnh ID. Ta cã ODC c©n t¹i O (v× OD vµ OC lµ b¸n kÝnh ) => D1 = C1. (3) IBD c©n t¹i I (v× ID vµ IB lµ b¸n kÝnh ) => D2 = B1 . (4) Theo trªn ta cã CD vµ AE lµ hai ®êng cao cña tam gi¸c ABC => H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC => BH còng lµ ®êng cao cña tam gi¸c ABC => BH  AC t¹i F => AEB cã AFB = 900 . 0 Theo trªn ADC cã ADC = 90 => B1 = C1 ( cïng phô BAC) (5). 0 0 Tõ (3), (4), (5) =>D1 = D2 mµ D2 +IDH =BDC = 90 => D1 +IDH = 90 = IDO => OD  ID t¹i D => OD lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE. Bµi 25. Cho ®êng trßn (O), BC lµ d©y bÊt k× (BC ABC c©n t¹i A. 2. Theo gi¶ thiÕt MI  BC => MIB = 900; MK  AB => MKB = 900. 0 H => MIB + MKB = 180 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c BIMK néi tiÕp K * ( Chøng minh tø gi¸c CIMH néi tiÕp t¬ng tù tø gi¸c BIMK ) M 1 3. Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => KMI + KBI = 1800; tø gi¸c 1 0 P Q CHMI néi tiÕp => HMI + HCI = 180 . mµ KBI = HCI ( v× tam gi¸c 1 1 2 2 1 ABC c©n t¹i A) => KMI = HMI (1). B C I Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => B1 = I1 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung KM); tø gi¸c CHMI néi tiÕp => H1 = C1 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung IM). O ¼ Mµ B1 = C1 ( = 1/2 s® BM ) => I1 = H1 (2). MI MK Tõ (1) vµ (2) => MKI MIH => => MI2 = MH.MK MH MI 0 4. Theo trªn ta cã I1 = C1; còng chøng minh t¬ng tù ta cã I2 = B2 mµ C1 + B2 + BMC = 180 0 0 => I1 + I2 + BMC = 180 hay PIQ + PMQ = 180 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c PMQI néi tiÕp => Q1 = I1 mµ I1 = C1 => Q1 = C1 => PQ // BC ( v× cã hai gãc ®ång vÞ b»ng nhau) . Theo gi¶ thiÕt MI BC nªn suy ra IM  PQ. Bµi 26. Cho ®êng trßn (O), ®êng kÝnh AB = 2R. VÏ d©y cung CD  AB ë H. Gäi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung CB, I lµ giao ®iÓm cña CB vµ OM. K lµ giao ®iÓm cña AM vµ CB. Chøng minh : KC AC J . . AM lµ tia ph©n gi¸c cña CMD. . Tø gi¸c OHCI néi tiÕp 1 2 3 C / KB AB M K 4. Chøng minh ®êng vu«ng gãc kÎ tõ M ®Õn AC còng lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng _ trßn t¹i M. I » » ¼ A B Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña BC => MB MC H O => CAM = BAM (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => AK lµ tia KC AC ph©n gi¸c cña gãc CAB => ( t/c tia ph©n gi¸c cña tam gi¸c ) KB AB D Nguyễn Tấn Cường 58 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 2. (HD) Theo gi¶ thiÕt CD  AB => A lµ trung ®iÓm cña C»D => CMA = DMA => MA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CMD. 3. (HD) Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña B»C => OM  BC t¹i I => OIC = 900 ; CD  AB t¹i H => OHC = 900 => OIC + OHC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c OHCI néi tiÕp 4. KÎ MJ  AC ta cã MJ // BC ( v× cïng vu«ng gãc víi AC). Theo trªn OM  BC => OM  MJ t¹i J suy ra MJ lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn t¹i M. Bµi 27 Cho ®êng trßn (O) vµ mét ®iÓm A ë ngoµi ®êng trßn . C¸c tiÕp tuyÕn víi ®êng trßn (O) kÎ tõ A tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i B vµ C. Gäi M lµ ®iÓm tuú ý trªn ®êng trßn ( M kh¸c B, C), tõ M kÎ MH  BC, MK  CA, MI  AB. Chøng minh : Tø gi¸c ABOC néi tiÕp. 2. BAO =  BCO. 3. MIH  MHK. 4. MI.MK = MH2. Lêi gi¶i: B I I B H M M H O O A A K C C K (HS tù gi¶i) Tø gi¸c ABOC néi tiÕp => BAO =  BCO (néi tiÕp cïng ch¾n cung BO). Theo gi¶ thiÕt MH  BC => MHC = 900; MK  CA => MKC = 900 => MHC + MKC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c MHCK néi tiÕp => HCM = HKM (néi tiÕp cïng ch¾n cung HM). Chøng minh t¬ng tù ta cã tø gi¸c MHBI néi tiÕp => MHI = MBI (néi tiÕp cïng ch¾n cung IM). Mµ HCM = MBI ( = 1/2 s® B¼M ) => HKM = MHI (1). Chøng minh t¬ng tù ta còng cã KHM = HIM (2). Tõ (1) vµ (2) => HIM  KHM. MI MH Theo trªn HIM  KHM => => MI.MK = MH2 MH MK Bµi 28 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O). Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC; E lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua BC; F lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua trung ®iÓm I cña BC. 1. Chøng minh tø gi¸c BHCF lµ h×nh b×nh hµnh. A 2. E, F n»m trªn ®êng trßn (O). 3. Chøng minh tø gi¸c BCFE lµ h×nh thang c©n. 4. Gäi G lµ giao ®iÓm cña AI vµ OH. Chøng minh G lµ träng t©m cña = B' tam gi¸c ABC. O Lêi gi¶i: C' H G 1. Theo gi¶ thiÕt F lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua trung ®iÓm I cña = BC => I lµ trung ®iÓm BC vµ HE => BHCF lµ h×nh b×nh hµnh v× cã hai / B / / C ®êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®êng . A' I / 2. (HD) Tø gi¸c AB’HC’ néi tiÕp => BAC + B’HC’ = 1800 mµ BHC = B’HC’ (®èi ®Ønh) => BAC + BHC = 1800. Theo trªn BHCF E F lµ h×nh b×nh hµnh => BHC = BFC => BFC + BAC = 1800 Nguyễn Tấn Cường 59 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 => Tø gi¸c ABFC néi tiÕp => F thuéc (O). * H vµ E ®èi xøng nhau qua BC => BHC = BEC (c.c.c) => BHC = BEC =>  BEC + BAC = 1800 => ABEC néi tiÕp => E thuéc (O) . 3. Ta cã H vµ E ®èi xøng nhau qua BC => BC  HE (1) vµ IH = IE mµ I lµ trung ®iÓm cña cña HF => EI = 1/2 HE => tam gi¸c HEF vu«ng t¹i E hay FE  HE (2) Tõ (1) vµ (2) => EF // BC => BEFC lµ h×nh thang. (3) Theo trªn E (O) => CBE = CAE ( néi tiÕp cïng ch¾n cung CE) (4). Theo trªn F (O) vµ FEA =900 => AF lµ ®êng kÝnh cña (O) => ACF = 900 => BCF = CAE ( v× cïng phô ACB) (5). Tõ (4) vµ (5) => BCF = CBE (6). Tõ (3) vµ (6) => tø gi¸c BEFC lµ h×nh thang c©n. 4. Theo trªn AF lµ ®êng kÝnh cña (O) => O lµ trung ®iÓm cña AF; BHCF lµ h×nh b×nh hµnh => I lµ trung ®iÓm cña HF => OI lµ ®êng trung b×nh cña tam gi¸c AHF => OI = 1/ 2 AH. Theo gi¶ thiÕt I lµ trung ®iÓm cña BC => OI  BC ( Quan hÖ ®êng kÝnh vµ d©y cung) => OIG = HAG GI OI 1 (v× so le trong); l¹i cã OGI =  HGA (®èi ®Ønh) => OGI  HGA => mµ OI = AH GA HA 2 GI 1 => mµ AI lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c ABC (do I lµ trung ®iÓm cña BC) => G lµ träng t©m cña GA 2 tam gi¸c ABC. Bµi 29 BC lµ mét d©y cung cña ®êng trßn (O; R) (BC 2R). §iÓm A di ®éng trªn cung lín BC sao cho O lu«n n»m trong tam gi¸c ABC. C¸c ®êng cao AD, BE, CF cña tam gi¸c ABC ®ång quy t¹i H. 1. Chøng minh tam gi¸c AEF ®ång d¹ng víi tam gi¸c ABC. A 2. Gäi A’ lµ trung ®iÓm cña BC, Chøng minh AH = 2OA’. 3. Gäi A1 lµ trung ®iÓm cña EF, Chøng minh R.AA1 = AA’. OA’. = E 4. Chøng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy ra vÞ trÝ cña A ®Ó tæng EF + FD + DE ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. A1 O Lêi gi¶i: (HD) F H = 1. Tø gi¸c BFEC néi tiÕp => AEF = ACB (cïng bï BFE) / AEF = ABC (cïng bï CEF) => AEF  ABC. / / B D A' C 2. VÏ ®êng kÝnh AK => KB // CH ( cïng vu«ng gãc AB); KC // BH / (cïng vu«ng gãc AC) => BHKC lµ h×nh b×nh hµnh => A’ lµ trung ®iÓm K cña HK => OK lµ ®êng trung b×nh cña AHK => AH = 2OA’ 3. ¸p dông tÝnh chÊt : nÕu hai tam gi¸c ®ång d¹ng th× tØ sè gi÷a hia trung tuyÕn, tØ sè gi÷a hai b¸n kÝnh c¸c ®êng trßn ngo¹i tiÕp b»ng tØ sè ®ång d¹ng. ta cã : R AA' AEF  ABC => (1) trong ®ã R lµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp ABC; R’ lµ b¸n kÝnh R ' AA1 ®êng trßn ngo¹i tiÕp AEF; AA’ lµ trung tuyÕn cña ABC; AA1 lµ trung tuyÕn cña AEF. Tø gi¸c AEHF néi tiÕp ®êng trßn ®êng kÝnh AH nªn ®©y còng lµ ®êng trßn ngo¹i tiÕp AEF AH 2A'O Tõ (1) => R.AA1 = AA’. R’ = AA’ = AA’ . 2 2 VËy R . AA1 = AA’ . A’O (2) 4. Gäi B’, C’lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AC, AB, ta cã OB’AC ; OC’AB (b¸n kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng qua t©m) => OA’, OB’, OC’ lÇn lît lµ c¸c ®êng cao cña c¸c tam gi¸c OBC, OCA, OAB. 1 SABC = SOBC+ SOCA + SOAB = ( OA’ . BC’ + OB’ . AC + OC’ . AB ) 2 Nguyễn Tấn Cường 60 THCS Nhơn Thọ
ÔN TUYỂN SINH 10 2SABC = OA’ . BC + OB’ . AC’ + OC’ . AB (3) AA AA Theo (2) => OA’ = R . 1 mµ 1 lµ tØ sè gi÷a 2 trung tuyÕn cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng AEF vµ ABC AA' AA' AA EF FD ED nªn 1 = . T¬ng tù ta cã : OB’ = R . ; OC’ = R . Thay vµo (3) ta ®îc AA' BC AC AB EF FD ED 2SABC = R (.BC .AC .AB )  2SABC = R(EF + FD + DE) BC AC AB * R(EF + FD + DE) = 2SABC mµ R kh«ng ®æi nªn (EF + FD + DE) ®¹t gÝ trÞ lín nhÊt khi SABC. 1 Ta cã SABC = AD.BC do BC kh«ng ®æi nªn SABC lín nhÊt khi AD lín nhÊt, mµ AD lín nhÊt khi A lµ 2 ®iÓm chÝnh giìa cña cung lín BC. Bµi 30 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O; R), tia ph©n gi¸c cña gãc BAC c¾t (O) t¹i M. VÏ ®êng cao AH vµ b¸n kÝnh OA. 1. Chøng minh AM lµ ph©n gi¸c cña gãc OAH. A 2. Gi¶ sö B > C. Chøng minh OAH = B - C. D 3. Cho BAC = 600 vµ OAH = 200. TÝnh: a)B vµ C cña tam gi¸c ABC. b) DiÖn tÝch h×nh viªn ph©n giíi h¹n bëi d©y BC vµ cung nhá BC theo R Lêi gi¶i: (HD) O 1. AM lµ ph©n gi¸c cña BAC => BAM = CAM => B¼M C¼M => M B lµ trung ®iÓm cña cung BC => OM  BC; Theo gi¶ thiÕt AH  BC => H C OM // AH => HAM = OMA ( so le). Mµ OMA = OAM ( v× tam gi¸c OAM c©n t¹i O do cã OM = OA = R) => HAM = OAM => AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc OAH. M 2. VÏ d©y BD  OA => »AB »AD => ABD = ACB. Ta cã OAH =  DBC ( gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän) => OAH = ABC - ABD => OAH = ABC - ACB hay OAH = B - C. 3. a) Theo gi¶ thiÕt BAC = 600 => B + C = 1200 ; theo trªn B C = OAH => B - C = 200 . B C 1200 B 700 => 0 0 B C 20 C 50 .R2.1202 1 R .R2 R2. 3 R2.(4 3 3) b) Svp = SqBOC - SV BOC = R. 3. = 3600 2 2 3 4 12 C¸C BµI TO¸N N¢NG CAO C©u V(0,5®): HN 1 1 1 Gi¶i ph¬ng tr×nh: x2 x2 x (2x3 x2 2x 1) 4 4 2 Bµi 5: (1,25®) hue Mét c¸i phÔu cã h×nh trªn d¹ng h×nh nãn ®Ønh S, b¸n kÝnh ®¸y R = 15cm, chiÒu cao h = 30cm. Mét h×nh trô ®Æc b»ng kim lo¹i cã b¸n kÝnh ®¸y r = 10cm ®Æt võa Nguyễn Tấn Cường 61 THCS Nhơn Thọ
ÔN TẬP TUYỂN SINH 10 khÝt trong h×nh nãn cã ®Çy níc (xem h×nh bªn). Ngêi ta nhÊc nhÑ h×nh trô ra khái phÔu. H·y tÝnh thÓ tÝch vµ chiÒu cao cña khèi níc cßn l¹i trong phÔu. Bài 5: Hà Tĩnh Các số a,b,c  1;4 thoả mãn điều kiện a 2b 3c 4 chứng minh bất đẳng thức: a 2 2b 2 3c 2 36 Đẳng thức xảy ra khi nào? Câu 5: (1,0 điểm) BÌNH ĐỊNH Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn điều kiện a+b+c=3. Chứng minh rằng: Baøi 5: (1,0 ñieåm) BÌNH ÑÒNH Ñeà chính thöùc k k Vôùi moãi soá k nguyeân döông, ñaët Sk = (2 + 1) + (2 - 1) Chöùng minh raèng: Sm+n + Sm- n = Sm .Sn vôùi moïi m, n laø soá nguyeân döông vaø m > n. Bµi 5 (1,5 ®iÓm) nam ®Þnh x y 2xy 0 1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 2 2 2 x y x y (xy 1) 1 2) Chøng minh r»ng víi mäi x ta lu«n cã: (2x 1) x2 x 1 (2x 1) x2 x 1 Bài 4 :(1điểm) HẢI PHÒNG Cho 361 số tự nhiên a1,a 2 ,a3 , ,a361 thoả mãn điều kiện 1 1 1 1 37 a1 a 2 a3 a361 Chứng minh rằng trong 361 số tự nhiên đó, tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau. Bài 5 (0,5 điểm) THÁI BÌNH 1 1 1 Giải phương trình: x2 - + x2 + x + = (2x3 + x2 + 2x + 1) 4 4 2 Bài 5. (0,5 điểm) THÁI BÌNH 1 1 1 1 Giải phương trình: 3 . x 2x 3 4x 3 5x 6 Bài 5 (1,0 điểm) THANH HÓA 3m2 Cho số thực m, n, p thỏa mãn : n2 np p2 1 . 2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : B = m + n + p. Bài 4. ( 1,5 điểm ) ĐÀ NẲNG Người ta rót đầy nước vào một chiếc ly hình nón thì được 8 cm 3. Sau đó người ta rót nước từ ly ra để chiều cao mực nước chỉ còn lại một nửa. Hãy tính thể tích lượng nước còn lại trong ly. Câu 5 : PHÚ YÊN ( 1.0 điểm ) Cho D là điểm bất kỳ trên cạnh BC của tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O Ta vẽ hai đường tròn tâm O 1 , O2 tiếp xúc AB , AC lần lượt tại B , C và đi Nguyễn Tấn Cường 62 THCS Nhơn Thọ
ÔN TẬP TUYỂN SINH 10 qua D . Gọi E là giao điểm thứ hai của hai đường tròn này . Chứng minh rằng điểm E nằm trên đường tròn (O) C©u V : (1 ®iÓm) H¶i d Ư¬ng Cho x, y tháa m·n: x 2 y3 y 2 x3 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: B x2 2xy 2y2 2y 10 . Câu 5:(1,0 điểm) H¶i D¬ng chÝnh thøc 6 4x Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 1 Bµi 5: Hµ Giang (1,0 ®iÓm) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: P = sin2 150 sin2 250 sin2 650 sin2 750 Bài 5: (1 điểm) BÌNH THUẬN Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón có chiều cao h = 12 cm và bán kính đường tròn đáy r = 9 cm. Câu 5: (1đ) Long An 1 1 1 Cho b,c là hai số thoả mãn hệ thức: b c 2 Chứng minh rằng ít nhất 1 trong hai phương trình sau phải có nghiệm: x2+bx+c=0 (1) ; x2+cx+b=0 (2) C©u 7: (0,5 ®iÓm) B¾c Ninh Cho h×nh thoi ABCD. Gäi R, r lÇn lît lµ b¸n kÝnh ®êng trßn 1 1 4 ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABD, ABC, a lµ ®é dµi c¹nh cña h×nh thoi. Chøng minh r»ng: R2 r 2 a2 C©u VI:(0,5 ®iÓm) B¾c giang 16 Cho c¸c sè d¬ng x, y, z tháa m·n xyz - 0 x y z T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = (x+y)(x+z) C©u VI:(0,5 ®iÓm) B¾c giang T×m sè nguyªn x; y tho¶ m·n ®¼ng thøc: x2+ xy +y2 - x2y2 = 0 Bài 5: (1,0 điểm) ĐĂK LĂK 2 2 Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình: x 2(m 1)x 2m 9m 7 0 (m là tham số). 7(x x ) Chứng minh rằng : 1 2 x x 18 2 1 2 Bài 5: (1,0 điểm) ÐẠI HỌC TÂY NGUYÊN 1 1 Cho x, y >0 và x y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x2 y2 xy Bµi 5: (1, 0 ®iÓm) hƯng yªn b2 1 Cho hai sè a,b kh¸c 0 tho¶ m·n 2a2 + = 4 4 a2 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S = ab + 2009. Nguyễn Tấn Cường 63 THCS Nhơn Thọ