›
›
›

Một số vấn đề về bất đẳng thức - Nguyễn Tất Thu

pdf 51 trang dichphong 4490
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Một số vấn đề về bất đẳng thức - Nguyễn Tất Thu", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfmot_so_van_de_ve_bat_dang_thuc_nguyen_tat_thu.pdf

Nội dung text: Một số vấn đề về bất đẳng thức - Nguyễn Tất Thu

  1. Mục lục Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 3 1.1 Khái niệm và các tính chất của bất đẳng thức . . . . . 3 1.1.1 Số thực dương, số thực âm . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Khái niệm bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức . . . . . 4 1.2 Một số vấn đề cấn lưu ý khi giải bài toán về bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Dự đoán dấu “=” xảy ra . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Kĩ thuật chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Hướng dẫn, đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN 13 2.1 Bất đẳng thức AM-GM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.1 Bất đẳng thức AM-GM . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.2 Các hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng đa thức . 32 2.2.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức 33 2.2.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3 Bất đẳng thức Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1
  2. 2 Mục lục 2.3.1 Bất đẳng thức Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.2 Các trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.3 Bất đẳng thức Schur suy rộng . . . . . . . . . . . 46 2.3.4 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.4 Hướng dẫn, đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.5 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Nguyễn Tất Thu
  3. Chương 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 1.1 Khái niệm và các tính chất của bất đẳng thức 1.1 Số thực dương, số thực âm • Nếu x là số thực dương, ta ký hiệu x 0 > • Nếu x là số thực âm, ta ký hiệu x 0 0 • Nếu x là số thực âm hoặc x 0, ta nói x là số thực không dương, = ký hiệu x 6 0. 1.1 Khái niệm bất đẳng thức Định nghĩa 1.1. Số thực a được gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a b nếu a b là một số dương, tức là a b 0. Khi đó ta cũng ký > − − > hiệu b a. ⇔ − > Nếu a b hoặc a b, ta viết a b. Ta có: a b a b 0. > = > > ⇔ − >
  4. 4 Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Định nghĩa 1.2. Giả sử A, B là hai biểu thức bằng số. Khi đó các mệnh đề có dạng: " A lớn hơn B ", ký hiệu : A B > " A nhỏ hơn B ", ký hiệu :A B B " A nhỏ hơn hay bằng B " ký hiệu A 6 B được gọi là một bất đẳng thức. Quy ước : • Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng. • Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng. 1.1 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức  a b Tính chất 1.1. (Tính chất bắc cầu) nếu > thì a c b c > > Tính chất 1.2. a b a c b c > ⇔ + > + Hệ quả 1: a b a c b c. > ⇔ − > − Hệ quả 2: a c b a b c. + > ⇔ > −  a b Tính chất 1.3. > a c b d c d ⇒ + > + >  ac bc nếu c 0 Tính chất 1.4. a b > > > ⇔ ac bc nếu c 0 ⇔ − a c > . > ⇔ a b  nếu c 0 c < c < Nguyễn Tất Thu
  5. 1.2. Một số vấn đề cấn lưu ý khi giải bài toán về bất đẳng thức 5 ( a b 0 Tính chất 1.5. > > ac bd c d 0 ⇒ > > > 1 1 Tính chất 1.6. a b 0 0 > > ⇔ > ∈ ⇒ > n n Tính chất 1.8. a b 0, n N∗ pa pb > > ∈ ⇒ > Hệ quả 5: • Nếu a và b là hai số dương thì : a b a2 b2 > ⇔ > • Nếu a và b là hai số không âm thì : a b a2 b2. > ⇔ > Tính chất 1.9. Với mọi a, b R ta có: ∈ • a b a b | + | 6 | | + | | • a b a b | − | 6 | | + | | • a b a b a.b 0 | + | = | | + | | ⇔ > • a b a b a.b 0. | − | = | | + | | ⇔ 6 1.2 Một số vấn đề cấn lưu ý khi giải bài toán về bất đẳng thức 1.2 Dự đoán dấu “=” xảy ra Trong chứng minh bất đẳng thức, việc dự đoán dấu “=” xảy ra khi nào có ý nghĩa rất quan trọng. Trong một số trường hợp, việc dự đoán dấu “=” xảy ra giúp định hướng tìm lời giải. Thông thường, với các bất đẳng thức đối xứng ba biến thì đẳng thức xảy ra khi ba biến bằng nhau, với các bất đẳng thức hoán vị thì đẳng thức có khi hai biến bằng nhau, với các bất đẳng thức có biến thuộc đoạn £α;β¤ thì đẳng thức xả ra khi có một biến bằng α hoặc β, ··· Nguyễn Tất Thu
  6. 6 Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Ví dụ 1.1 Cho các số thực x, y, z 0 thỏa x y z 3. Chứng minh rằng > + + 6 s s s 3 3 3 x2 y2 z2 6. + x2 + + y2 + + z2 > Lời giải. Ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi x y z 1. 3 = = = Khi x 1 thì x2 1 và 3 nên ta áp dụng bất đẳng thức AM-GM = = x2 = cho 4 số ta được 3 1 1 1 4 x2 x2 . + x2 = + x2 + x2 + x2 > x Tương tự 3 4 3 4 y2 và z2 . + y2 > y + z2 > z Do đó s s s 3 3 3 µ 1 1 1 ¶ 18 x2 y2 z2 > 2 > . + x2 + + y2 + + z2 px + py + pz px py pz + + p Mặt khác px py pz 3(x y z) 3 nên ta có + + 6 + + 6 s s s 3 3 3 18 x2 y2 z2 6 (đpcm). + x2 + + y2 + + z2 > 3 =  Ví dụ 1.2 Cho các số thực không âm x, y, z đôi một khác nhau. Chứng minh rằng µ 1 1 1 ¶ (xy yz zx) > 4. + + (x y)2 + (y z)2 + (z x)2 − − − Nguyễn Tất Thu
  7. 1.2. Một số vấn đề cấn lưu ý khi giải bài toán về bất đẳng thức 7 Lời giải. Vì x, y, z > 0 nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi có một số bằng 0. Ta giả sử z min{x, y, z}, ta có = 1 1 1 1 xy yz zx > xy; > và > . + + (y z)2 y2 (z x)2 x2 − − Suy ra · 1 1 1 ¸ 1 x y 1 VT xy t > 2 2 2 x y (x y) + x + y = 2 + y + x = t 2 + − y + x − − x y Với t 2. = y + x > Ta chứng minh 1 t 4 1 t2 2t 4t 8 t2 6t 9 0 (t 3)2 0. t 2 + > ⇔ + − > − ⇔ − + > ⇔ − > − Bất đẳng thức cuối luôn đúng. Vậy bài toán được chứng minh. x y 3 p5 Đẳng thức xảy ra khi z 0 3 x ± y, y 0. = y + x = ⇔ = 2 >  Ví dụ 1.3 Cho a, b, c 0 thỏa a 4b 9c 6.Chứng minh rằng > + + = 1 a3 b3 c3 . + + > 6 Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số thực dương ta có a3 x3 x3 3x2a hay a3 2x3 3x2a. + + > + > Tương tự: b3 2y3 3y2b, c3 2z3 3z2 c với x, y, z là các số thực + > + > dương. Cộng ba bất đẳng thức trên theo vế ta có được: a3 b3 c3 2¡x3 y3 z3¢ 3¡x2a y2b z2 c¢. + + + + + > + + Ta chọn x, y, z sao cho y2 z2 x2 k2 x k, y 2k, z 3k. = 4 = 9 = ⇒ = = = Nguyễn Tất Thu
  8. 8 Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Mà 1 1 1 1 a 4b 9c 6 k 8k 27k 6 k x , y , z . + + = ⇒ + + = ⇒ = 6 ⇒ = 6 = 3 = 2 1 1 1 1 Suy ra a3 b3 c3 . Đẳng thức xảy ra khi a , b , c . + + > 6 = 6 = 3 = 2  1.2 Kĩ thuật chuẩn hóa Bất đẳng thức thuần nhất: Bất đẳng thức có dạng • f (a1,a2, .,an) 0 (1) với ai D . ··· > ∈ Được gọi là thuần nhất nếu f (ka1, ka2, ., kan) f (a1,a2, .,an) với mọi k D. ··· = ··· ∈ Nếu (1) là bất đẳng thức thuần nhất thì ta có thể giả sử g(a1,a2, .,an) • ··· = 0 với g(a1,a2, .,an) là một biểu thức thuần nhất. ··· Ví dụ 1.4 Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng a(b c) b(c a) c(a b) 6 + + + 6 . (b c)2 a2 + (c a)2 b2 + (a b)2 c2 5 + + + + + + Lời giải. Không mất tính tổng quát, ta giả sử a b c 3. Khi đó, + + = bất đẳng thức cần chứng minh trở thành a(3 a) b(3 b) c(3 c) 6 − − − 6 . (3 a)2 a2 + (3 b)2 b2 + (3 c)2 c2 5 − + − + − + Hay là 1 1 1 3 (1). 2a2 6a 9 + 2b2 6b 9 + 2c2 6c 9 6 5 − + − + − + Ta tìm đánh giá 1 1 m(a 1) (2). 2a2 6a 9 6 − + 5 − + Nguyễn Tất Thu
  9. 1.2. Một số vấn đề cấn lưu ý khi giải bài toán về bất đẳng thức 9 Ta tìm m sao cho (2) đúng với mọi a (0;3) và đẳng thức xảy ra khi ∈ a 1. Ta biến đổi (2) như sau = 1 1 2a2 6a 4 m(a 1) 0 − + 5m(a 1) 0 5 − 2a2 6a 9 + − > ⇔ 2a2 6a 9 + − > − + − + · 2(a 2) ¸ (a 1) − 5m 0 (3). ⇔ − 2a2 6a 9 + > − + 2(a 2) Ta chọn m sao cho phương trình − 5m 0 có nghiệm a 1, 2a2 6a 9+ = = hay là − + 2 2 5m 0 m . −5 + = ⇔ = 25 Khi đó (3) tương đương với µ a 2 1¶ (a 1) − 0 (a 1)¡2a2 a 1¢ 0 (a 1)2 (2a 1) 0. − 2a2 6a 9 + 5 > ⇔ − − − > ⇔ − + > − + Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng. Vậy bài toán được chứng minh.  Ví dụ 1.5 Cho các số thực a, b, c. Chứng minh rằng q 6(a b c)(a2 b2 c2) 27abc 10 ¡a2 b2 c2¢3. + + + + 6 + + + Lời giải. Không mất tính tổng quát, ta giả sử a2 b2 c2 9 và + + = a b c . Khi đó , bất đẳng thức cần chứng minh trở thành | | > | | > | | 2(a b c) abc 10 2(a b c) abc 10. + + 6 + ⇔ + + − 6 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có q 2(a b c) abc a(2 bc) 2(b c) £a2 (b c)2¤.£(2 bc)2 4¤ + + − = − + + 6 + + − + q (9 2bc)¡b2 c2 4bc 8¢. = + − + Nguyễn Tất Thu
  10. 10 Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Ta chứng minh (9 2bc)¡b2 c2 4bc 8¢ 100 2(bc)3 (bc)2 20bc 28 0 + − + 6 ⇔ + − − 6 (2bc 7)¡(bc)2 4(bc) 4¢ 0 (2bc 7)(bc 2)2 0 (4). ⇔ − + + 6 ⇔ − + 6 Vì 9 a2 b2 c2 3a2 a2 3 b2 c2 6. = + + 6 ⇒ > ⇒ + 6 Suy ra 2bc 7 b2 c2 7 1 0 nên (4) đúng. Vậy bài toán được − 6 + − 6 − + ⇒ + + > + + Do đó 1 1 z . . x3 y3 xyz 6 xyz x y z + + + + Tương tự: 1 1 x 1 1 y . và . . y3 z3 xyz 6 xyz x y z z3 x3 xyz 6 xyz x y z + + + + + + + + Cộng ba bất đẳng thức trên ta có đpcm.  Nguyễn Tất Thu
  11. 1.2. Một số vấn đề cấn lưu ý khi giải bài toán về bất đẳng thức 11 Ví dụ 1.7 Cho x, y, z 0 và x y z 1. Chứng minh rằng : > + + = x2 y2 z2 3¡x2 y y2 z z2x¢. + + > + + Lời giải. Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh như sau ¡x2 y2 z2¢(x y z) 3¡x2 y y2 z z2x¢ + + + + > + + Hay x3 y3 z3 x2 z y2x z2 y 2¡x2 y y2 z z2x¢ (5). + + + + + > + + Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có x3 xy2 2x2 y; y3 yz2 2y2 z và z3 zx2 2z2x. + > + > + > Cộng ba bất đẳng thức trên ta có bất đẳng thức (5). Vậy bài toán được chứng minh.  1.2 Bài tập Bài tập 1.1. Cho a, b, c 0.Chứng minh: > 2 p abc(a b c) (a2 b2 c2) 4 3(a2 b2 c2)abc. + + + + + > + + Bài tập 1.2. Cho a, b, c 0. Chứng minh rằng: > (a b c)2 1 µ a3 b3 c3 a2 b2 c2 ¶ + + + + + + 4. a2 b2 c2 + 2 abc − ab bc ca > + + + + Bài tập 1.3. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng 7(a b c)(ab bc ca) 9abc 2(a b c)3. + + + + 6 + + + Bài tập 1.4. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 1. + + = Chứng minh rằng a2 b2 c2 3(a2 b2 c2). b + c + a > + + Nguyễn Tất Thu
  12. 12 Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài tập 1.5. Cho các số thực dương thỏa mãn p3 a2 p3 b2 p3 c2 3. + + = Chứng minh rằng p3 p3 p3 a2 b2 c2 a4 b4 c4. + + > + + 1.3 Hướng dẫn, đáp số Nguyễn Tất Thu
  13. Chương 2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN 2.1 Bất đẳng thức AM-GM Bất đẳng thức AM GM là bất đẳng thức cổ điển được sử dụng − nhiều trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Ta biết trung a1 a2 an bình cộng của nsố thực a1,a2, ,an là số + + ··· + và trung ··· n n n bình nhân của n số đó là pa1a2 an (với điều kiện là pa1a2 an ··· ··· tồn tại). Bất đẳng thức AM GM cho chúng ta đánh giá giữa trung − bình cộng của các số thực không âm và trung bình nhân của chúng. Cụ thể như sau: 2.1 Bất đẳng thức AM-GM Định lí 2.1. (BĐT AM-GM) Cho n số thực không âm a1, a2, , an. ··· ta có a a a 1 2 n n + + ··· + pa1 a2 an n > · ··· đẳng thức xảy ra khi a1 a2 an. = = ··· = Chứng minh. Có nhiều cách đề chứng minh bất đẳng thức AM − GM, dưới đây ta sẽ chứng minh bất đẳng thức AM GM bằng phương − pháp quy nạp. Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức AM GM cho trường hợp −
  14. 14 Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN n 2. Tức là, cần chứng minh = a1 a2 + pa .a 2 > 1 2 Bất đẳng thức này tương đương với ¡ ¢2 a1 a2 2pa1a2 pa1 pa2 0 + > ⇔ − > Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng. Đẳng thức xảy ra khi a1 a2. = Tiếp theo ta chứng minh cho trường hợp n 4. Tức là cần chứng = minh a1 a2 a3 a4 + + + p4 a .a .a .a 4 > 1 2 3 4 Áp dụng trường hợp n 2 ta có = a1 a2 + pa .a 2 > 1 2 và a3 a4 + pa .a 2 > 3 4 Do đó a1 a2 a3 a4 a a a a + + a a a a 1 2 3 4 2 + 2 p 1 2 p 3 4 4 + + + + pa1a2a3a4 4 = 2 > 2 > Nên trường hợp n 4 được chứng minh. = Tiếp đến ta chứng minh trường hợp n 3, tức là chứng minh = a1 a2 a3 + + p3 a .a .a 3 > 1 2 3 a1 a2 a3 Đặt a4 + + . Áp dụng cho trường hợp n 4 ta có = 3 = a1 a2 a3 a4 + + + p4 a .a .a .a 4 > 1 2 3 4 Hay a1 a2 a3 a1 a2 a3 + + r + + + 3 4 a1 a2 a3 a .a .a . + + 4 > 1 2 3 3 Nguyễn Tất Thu
  15. 2.1. Bất đẳng thức AM-GM 15 Suy ra a1 a2 a3 + + p3 a .a .a 3 > 1 2 3 (đpcm). Để chứng minh cho trường hợp tổng quát ta chứng minh theo hai bước sau: Bước 1: Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n 2m = +) Với m 1, ta có n 2nên bất đẳng thức đúng với m 1 = = m 1 = +) Giả sử bất đẳng thức đúng với n 2 − , ta chứng minh bất đẳng = thức đúng với n 2m. = Tức là a a a m 1 a 1 2 2 − n n + + ··· + + ··· + pa1a2 an (1) n > ··· Đặt a1 a2 a m 1 a m 1 a m 1 a2m x 2 − , y 2 − 1 2 − 2 + +m ···1 + + + m +1 + ··· + = 2 − = 2 − Theo giả thiết quy nạp ta có 2m 1 2m 1 x > −pa1a2 a2m 1 , y > −pa2m 1 1 an ··· − − + ··· Áp dụng cho trường hợp n 2 ta có: = x y + pxy 2 > Hay a a a m 1 a m 1 a m 1 2 2 − 2 − 1 n 2 + + ··· + + + + ··· + pa1a2 an 2m > ··· Hay (1) được chứng minh. Bước 2: Ta chứng minh nếu bất đẳng thức đúng với n > 2 thì cũng đúng với n 1 − Gải sử a a a 1 2 n n + + ··· + pa1a2 an n > ··· Ta chứng minh a a a 1 2 n 1 n 1 + + ··· + − > −pa1.a2 an 1 n 1 ··· − − Nguyễn Tất Thu
  16. 16 Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN a1 a2 an 1 Thật vậy: Đặt an + + ··· + − . ÁP dụng bất đẳng thức Cô si = n 1 cho n số ta có − a a a 1 2 n n + + ··· + pa1a2 an n > ··· Hay a1 a2 an 1 a1 a2 + + ··· + − r + + ···+ = n 1 n a1 a2 an 1 − > a1a2 an 1. + + ··· + − n ··· − = n 1 − Suy ra a a a 1 2 n 1 n 1 + + ··· + − > −pa1.a2 an 1 n 1 ··· − − (đpcm). Từ hai bước trên ta có bất đẳng thức AM GM được chứng − minh.  2.1 Các hệ quả Cho các số thực dương a1,a2, ,an. Ta có ··· 1 1 1 n2 > a1 + a2 + ··· + an a1 a2 . an + + ··· + Đẳng thức xảy ra khi a1 a2 an. = = ··· = 2.1 Các ví dụ Ví dụ 2.1 Cho a, b, c 0 thỏa a2 b2 c2 3. Chứng minh rằng > + + = a5 b5 c5 3. + + > Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có a5 a5 1 1 1 3a2 hay 2a5 3 3a2. + + + + > + > Tương tự Nguyễn Tất Thu
  17. 2.1. Bất đẳng thức AM-GM 17 2b5 3 3b2 và 2c5 3 3c2. + > + > Cộng ba bất đẳng thức trên ta có đpcm.  Nhận xét 1. Ta có bài toán tổng quát như sau Cho a, b, c 0 thỏa > mãn a b c 3 (hoặc abc 1) và m, n N, m n. Khi đó + + = = ∈ > am bm cm an bn cn (1). + + > + + Bất đẳng thức (1) còn đúng khi m, n là các số hữu tỉ dương. Và ta có thể tổng quát 3 biến thành k biến. Ví dụ 2.2 Cho a, b, c 0 thỏa ab bc ca 3. Chứng minh rằng > + + = a3 b3 c3 3. + + > Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có a3 b3 1 3ab + + > b3 c3 1 3bc + + > c3 a3 1 3ca. Cộng ba bất đẳng thức trên ta có đpcm. + + >  Ví dụ 2.3 Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng a4 b4 c4 a b c + + . b2 (c a) + c2 (a b) + a2 (b c) > 2 + + + Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có a4 b b c a + 2a b2 (c a) + 2 + 2 + 4 > + hay a4 c a b + 2a. b2 (c a) + + 4 > + Tương tự, ta cũng có Nguyễn Tất Thu
  18. 18 Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN b4 a b c4 b c c + 2b và a + 2c. c2 (a b) + + 4 > a2 (b c) + + 4 > + + Cộng ba bất đẳng thức trên theo vế ta có đpcm.  Ví dụ 2.4 Cho a, b, c 0. Chứng minh rằng > s s s µ ¶2 µ ¶2 µ ¶3 3 2a 3 2b 2c 3. b c + c a + a b > + + + Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có s 2 b c b c 3 (b c) a b c a + + 3 a + , + + = + 2 + 2 > 4 suy ra s µ ¶2 3 2a 3a . b c > a b c + + + Chứng minh tương tự, ta cũng có s s µ ¶3 µ ¶2 3 2b 3b 3 2c 3c và . c a > a b c a b > a b c + + + + + + Cộng ba bất đẳng thức trên theo vế ta có đpcm.  Ví dụ 2.5 (BĐT AM-GM suy rộng) Cho ai > 0 (i 1, n) và các số hữu tỉ n = P dương αi thỏa mãn αi 1. Chứng minh rằng: i 1 = = n X α1 α2 αn αiai > a1 .a2 an . i 1 ··· = Nguyễn Tất Thu
  19. 2.1. Bất đẳng thức AM-GM 19 n P Lời giải. Vì αi là các số hữu tỉ dương và αi 1 nên tồn tại các i 1 = = ki số nguyên dương N, k1, k2, , kn sao cho αi . Áp dụng bất đẳng ··· = N thức AM-GM cho N số, ta có a1 a1 a1 an an an + + ··· + +··· + + + ··· + k1 kn n | {z } | {z } k số k số X 1 n N N α1 αn αi ai > a1 an a1 an . i 1 · = N ··· = ··· = Bất đẳng thức được chứng minh.  Ví dụ 2.6 Cho các số thực dương a1,a2, ,an. Chứng minh rằng ··· ¡ n ¢n (1 a1)(1 a2) (1 an) 1 pa1.a2 an . + + ··· + > + ··· Lời giải. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với r 1 a1a2 an n ··· 1 (1). pn 6 (1 a1)(1 a2) (1 an) + (1 a1)(1 a2) (1 an) + + ··· + + + ··· + Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 1 1 1 X 1 1 X ai VT(1) 6 1. n i 1 1 ai + n i 1 1 ai = = + = + Bài toán được chứng minh.  Ví dụ 2.7 Cho a, b, c 0. Chứng minh rằng > a b c 3 (Bất đẳng thức Nesbit). b c + c a + a b > 2 + + + Lời giải. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ³ a ´ µ b ¶ ³ c ´ 9 1 1 1 b c + + c a + + a b + > 2 + + + Nguyễn Tất Thu
  20. 20 Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN Hay µ 1 1 1 ¶ 9 (a b c) (1). + + a b + b c + c a > 2 + + + Ta có 1 1 1 9 9 a b + b c + c a > a b b c c a = 2(a b c) + + + + + + + + + + Nên (1) đúng.  Ví dụ 2.8 Cho các số thực dương a, b, c thỏa a b c 1. Chứng minh + + = rằng 1 1 1 1 30. a2 b2 c2 + ab + bc + ca > + + Lời giải. Ta có: (a b c)2 1 ab bc ca + + + + 6 3 = 3 1 1 1 9 ab + bc + ca > ab bc ca 1 +1 + 1 9 > 9. a2 b2 c2 + ab bc ca + ab bc ca (a b c)2 = Do đó+ + + + + + + + 1 9 VT > a2 b2 c2 + ab bc ca + + + + 1 1 1 7 7 9 30. = a2 b2 c2 + ab bc ca + ab bc ca + ab bc ca > + 1 = + + + + + + + + 3 Ta có điều phải chứng minh.  Ví dụ 2.9 Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn : xy yz zx 3.Chứng + + = minh rằng: 1 4 3 . xyz + (x y)(y z)(z x) > 2 + + + Nguyễn Tất Thu
  21. 2.1. Bất đẳng thức AM-GM 21 Lời giải. Ta có: p3 x(y z) y(z x) z(x y) xyz(x y)(y z)(z x) + + + + + 2. + + + 6 3 = Suy ra 4 xyz (x y)(y z)(z x) > 2 + + + Do đó 1 xyz 1 xyz 1 1 3 VT 1 . > xyz + 2 > 2xyz + 2 + 2xyz > + 2 = 2 Bài toán được chứng minh.  Ví dụ 2.10 Cho các số thực dương a, b, c thỏa a b c 3. Chứng minh + + = rằng ab bc ca 3 6 . pc2 3 + pa2 3 + pb2 3 2 + + + Lời giải. Ta có 3(ab bc ca) (a b c)2 9 ab bc ca 3 + + 6 + + = ⇒ + + 6 Suy ra 1 1 1 1 µ 1 1 ¶ 6 6 . pc2 3 pc2 ab bc ca = p(a c)(b c) 2 a c + b c + + + + + + + + Do đó: ab 1 µ ab ab ¶ 6 pc2 3 2 a c + b c + + Tương tự: + bc 1 µ bc bc ¶ ca 1 ³ ca ca ´ 6 và 6 pa2 3 2 a b + a b pb2 3 2 b a + b c + + + + + + Cộng ba bất đẳng thức trên theo vế ta có: ab bc ca 1 3 6 (a b c) . pc2 3 + pa2 3 + pb2 3 2 + + = 2 + + +  Nguyễn Tất Thu
  22. 22 Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN Ví dụ 2.11 (IMO 2001) Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng a2 b2 c2 > 1. pa2 8bc + pb2 8ca + pc2 8ab + + + Lời giải. Gọi P là vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta giả sử a b c 1. + + = Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có : a a ¡ 2 ¢ 2a ¡ 2 ¢ a a 8bc > 3a a a 8bc > 3a. pa2 8bc +pa2 8bc + + ⇔ pa2 8bc + + + + + Tương tự : 2b ¡ 2 ¢ 2c ¡ 2 ¢ b b 8ca > 3b ; c c 8ab > 3c pb2 8ca + + pc2 8ab + + + + Cộng ba bất đẳng thức trên lại với nhau ta được : 2P a3 b3 c3 24abc 3 + + + + > Mặt khác ta lại có : 1 (a b c)3 a3 b3 c3 3(a b)(b c)(c a) a3 b3 c3 24abc. = + + = + + + + + + > + + + Suy ra : 2P 3 ¡a3 b3 c3 24abc¢ 3 1 2 P 1 đpcm. > − + + + > − = ⇒ >  Nguyễn Tất Thu
  23. 2.1. Bất đẳng thức AM-GM 23 Ví dụ 2.12 (IMO 2005) Cho các số thực dương x, y, z thỏa xyz > 1. Chứng minh rằng x5 x2 y5 y2 z5 z2 − − − 0. x5 y2 z2 + y5 z2 x2 + z5 x2 y2 > + + + + + + Lời giải. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với x5 x2 y5 y2 z5 z2 1 − 1 − 1 − 3 − x5 y2 z2 + − y5 z2 x2 + − z5 x2 y2 6 + + + + + + µ 1 1 1 ¶ ¡x2 y2 z2¢ 3 (1). ⇔ + + x5 y2 z2 + y5 z2 x2 + z5 x2 y2 6 + + + + + + Ta có 2 2 x4 2x4 ¡y2 z2¢ 2 ¡x2 y2 z2¢ x5 y2 z2 y2 z2 + + . + + . + + > yz + + > y2 z2 > 3 y2 z2 + + Do đó 1 3 y2 z2 6 + x5 y2 z2 2 ¡x2 y2 z2¢2 + + + + Chứng minh tương tự 1 3 z2 x2 1 3 x2 y2 6 + và 6 + . y5 z2 x2 2 ¡x2 y2 z2¢2 z5 x2 y2 2 x2 y2 z2 + + + + + + + + Suy ra 1 1 1 3 x5 y2 z2 + y5 z2 x2 + z5 x2 y2 6 x2 y2 z2 + + + + + + + + Hay (1) đúng.  Nguyễn Tất Thu
  24. 24 Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN Ví dụ 2.13 (IMO Shortlist 2009) Cho các số thực dương a, b, c thỏa ab + bc ca 3abc. Chứng minh rằng + 6 s s s a2 b2 b2 c2 c2 a2 ³ ´ + + + 3 p2 pa b pb c pc a . a b + b c + c a + 6 + + + + + + + + Lời giải. Ta có s s 2 s s p 2(a b) µ a2 b2 2ab ¶ a2 b2 2ab 2(a b) + 2 + + . + = a b = a b + a b > a b + a b + + + + + Suy ra s s s s s s 2ab 2bc 2ca a2 b2 b2 c2 c2 a2 VP + + + . > a b + b c + c a + a b + b c + c a + + + + + + Mặt khác áp dụng bất đẳng thức µ 1 1 1 ¶ (x y z)2 27 x2 + y2 + z2 + + > ta suy ra v u 1 p u x y z > 3 3u + + t 1 1 1 x2 + y2 + z2 Do đó s s s v 2ab 2bc 2ca u 1 3p3u > u 2 2 a b + b c + c a uµr a b ¶ µr b c ¶ µr c a¶2 + + + t + + + 2ab + 2bc + 2ca s 3abc 3 3. = ab bc ca = + + Từ đó, ta có đpcm.  Nguyễn Tất Thu
  25. 2.1. Bất đẳng thức AM-GM 25 Ví dụ 2.14 (IMO 2012) Cho các số thực dương a2,a3, .,an thỏa mãn ··· a2a3 .an 1. Chứng minh rằng ··· = 2 3 n n (1 a2) (1 a3) .(1 an) n . + + ··· + > Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có µ ¶k k 1 1 1 k ak (1 a )k a . k k > k 1 + = k 1 + k 1 + ··· + k 1 + (k 1) − − − − − Suy ra 2 3 4 n 2 3 n 2 3 4 n n (1 a2) .(1 a3) (1 an) . . a1a2 an n . + + ··· + > 11 22 33 ··· (n 1)n ··· = − Ta thấy không có đẳng thức xảy ra. Vậy bài toán được chứng minh.  Ví dụ 2.15 (Moldova TST 2014) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng = ab bc ca 9 a3 b3 c3 . + + + a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 > 2 + + + Lời giải. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2ab 2bc 2ca 2¡a3 b3 c3¢ 9 (1). + + + a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 > + + + Ta có x3 y3 x2 y y2x với mọi x, y 0 nên + > + > c¡a2 b2¢ b¡c2 a2¢ a¡b2 c2¢ a3 b3 c3 + + + + + > 2 + 2 + 2 Suy ra à ! à ! à ! c¡a2 b2¢ 2ab b¡c2 a2¢ 2bc a¡b2 c2¢ 2ca VT (1) + + + 3abc 9. > 2 + a2 b2 + 2 + b2 c2 + 2 + c2 a2 + > + + + Bài toán được chứng minh.  Nguyễn Tất Thu
  26. 26 Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN Ví dụ 2.16 Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng a3 b3 c3 a b c + + . a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 > 2 + + + Lời giải. Ta có a3 a¡a2 b2¢ ab2 ab2 b + − a a . a2 b2 = a2 b2 = − a2 b2 > − 2 + + + Tương tự b3 c c3 a b và c . b2 c2 > − 2 c2 a2 > − 2 + + Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta có đpcm.  Ví dụ 2.17 Cho các số thực a, b, c thỏa abc 0 và a b c 0. Chứng minh + + Lời giải. Gọi P là vế trái của bất đẳng thức. Đặt m (ab bc ca), n abc = − + + = − Do a b c 0 2(ab bc ca) ¡a2 b2 c2¢ 0 m, n 0 + + = ⇒ + + = − + + Khi đó: m(1 m) 12n 8 P + + = n + m Áp dụng bất đẳng thức Cô sita có: m3 8n2 8n 12mn và m2 4n2 4mn + + > + > Nguyễn Tất Thu
  27. 2.1. Bất đẳng thức AM-GM 27 Suy ra m3 m2 12n2 8n 16mn + + + > Do đó: m(1 m) 12n 8 P + + 16 = n + m > Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m 2, n 1, tức là a, b, c là ba nghiệm = = của phương trình 1 p5 x3 2x 1 0 (x 1)(x2 x 1) 0 x 1, x − ± . − + = ⇔ − + − = ⇔ = = 2  2.1 Bài tập Bài tập 2.1. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng ³ ´3 1. (1 a)(1 b)(1 c) 1 p3 abc . Hãy tổng quát hóa lên n biến + + + > + và chứng minh. ³ a´µ b ¶³ c ´ µ a b c ¶ 1 1 1 2 1 2. > +3 + . + b + c + a + pabc Lời giải. 1. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với s s 1.1.1 abc 3 3 1. (1 a)(1 b)(1 c) + (1 a)(1 b)(1 c) 6 + + + + + + Đặt : s s 1.1.1 abc T 3 3 = (1 a)(1 b)(1 c) + (1 a)(1 b)(1 c) + + + + + + 1 · 1 1 1 ¸ 1 · a b c ¸ T 6 3 1 a + 1 b + 1 c + 3 1 a + 1 b + 1 c + + + + + + 1 · a 1 b 1 c 1¸ 1 T + + + .3 1 6 3 1 a + 1 b + 1 c = 3 = + + + Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c 0. = = > Nguyễn Tất Thu
  28. 28 Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN 2.  Bài tập 2.2. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a b c 1. Chứng + + = minh rằng (1 a)(1 b)(1 c) 64abc. + + + > Bài tập 2.3. Cho 2n số thực dương a1,a2, .,an, b1, b2, , bn. Chứng ··· ··· minh rằng pn n pn (a1 b1)(a2 b2) (an bn) pa1a2 an b1b2 bn. + + ··· + > ··· + ··· Bài tập 2.4. Cho 3n số thực dương a1,a2, ,an; b1, b2, , bn; c1, c2, , cn. ··· ··· ··· Chứng minh rằng à n n n !n n Y Y Y Y ¡ n n n¢ ai bi ci 6 ai bi ci i 1 + i 1 + i 1 i 1 + + = = = = Bài tập 2.5. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng (a b c)3 a3 b3 c3 24abc. + + > + + + Bài tập 2.6. Cho n số thực dương a1,a2, ,an và số nguyên dương ··· k. Chứng minh rằng k k k k a a an ³ a1 a2 an ´ 1 + 2 + ··· + + + ··· + . n > n Bài tập 2.7. Cho a, b, c 0. Chứng minh rằng > 1 1 1 1 1 1 . a 3b + b 3c + c 3a > a 2b c + b 2c a + c 2a b + + + + + + + + + Bài tập 2.8. Cho a, b, c 0. Chứng minh rằng > 1 1 1 27 > . b(a b) + c(b c) + a(c a) 2(a b c)2 + + + + + Bài tập 2.9. Cho a, b, c 0 thỏa mãn điều kiện a3b3 b3 c3 c3a3 3. > + + = Chứng minh rằng: a7 b7 c7 3. + + > Nguyễn Tất Thu
  29. 2.1. Bất đẳng thức AM-GM 29 Bài tập 2.10. Cho a, b, c 0. Chứng minh rằng > µ a 2b ¶4 µ b 2c ¶4 µ c 2a¶4 a4 b4 c4 + + + . + + > 3 + 3 + 3 Bài tập 2.11. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng a b c 6 1. a p(a b)(a c) + b p(b c)(b a) + c p(c a)(c b) + + + + + + + + + Bài tập 2.12. (Baltic Way 2014) Cho các số thực dương a, b, c thỏa 1 1 1 3. Chứng minh rằng a + b + c = 1 1 1 3 6 . pa3 b + pb3 c + pc3 a p2 + + + sµ ¶3 µ ¶ P 1 P 1 1 P 4 1 1 1 P 3 1 3 HD: 6 p 6 . pa3 b 2pa3b = p2 a · b 4p2 a + b = p2 + Bài tập 2.13. (USA 2011) Với a, b, c là các số thực dương thỏa a2 + b2 c2 (a b c)2 4, chứng minh rằng + + + + 6 ab 1 bc 1 ca 1 + + + > 3. (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 + + + 2ab a2 b2 c2 ab bc ca (a b)2 (c a)(c b) HD: Ta có ab 1 + + + + + + + + + + . + > 2 = 2 Bài tập 2.14. Cho các số thực dương a, b, c thỏa abc 1. Chứng = minh rằng s s s 3 3 3 3 3 3 3 a b 3 b c 3 c a + + + 6 3(a b c). 2 + 2 + 2 + 6 + + HD: Bài toán này có thể chứng minh bằng cách sử dụng đánh giá sau: s 3 3 2 2 3 a b a b + + 2 6 a b + Nguyễn Tất Thu
  30. 30 Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN a2 b2 2ab Chú ý rằng: + a b a b = + − a b Như vậy ta phải+ chứng minh:+ · ab bc ca ¸ 2 a b c 6 a b + b c + c a + + + > + + + Áp dụng bất đẳng thức AM-GM với abc 1,ta có ngay: = 2ab a b 2bc b c 2ca c a + + + 6 a b + 2 + b c + 2 + c a + 2 > + + + Vậy ta có ìiều phải chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi a b c 1. = = = Bài tập 2.15. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc 1. Chứng = minh bất đẳng thức: 1 1 1 1 6 . pa2 2b2 15 + pb2 2c2 15 + pc2 2a2 15 p2 + + + + + + Bài tập 2.16. Cho các số thực dương x, y. Chứng minh rằng à ! ¡ ¢ 1 1 px py 6 2. + px 3y + py 3x + + Bài tập 2.17. (JBMO 2014) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng = µ 1 ¶2 µ 1¶2 µ 1 ¶2 a b c 3(a b c 1). + b + + c + + a > + + + Lời giải. Ta có µ 1 ¶2 µ 1 ¶µ 1¶ a 1 X a X a b Xab X X 3. + b > + b + c = + c + ab + Áp dụng P 1 Pa và Pab P a 2Pa. ta có đpcm. ab = + c > Cách 2: Ta có s s s 2 2 1 b 3 1 b 3 a 3 a abc a2 3 a2 3 3 · 3a. + b2 + c > · b2 · c = bc = bc = Nguyễn Tất Thu
  31. 2.1. Bất đẳng thức AM-GM 31 Tương tự 1 c b2 3b, + c2 + a > và 1 a c2 3c. + a2 + b > Kết hợp với s a b c a b c 3 3 3. b + c + a > b · c · a = ta có đpcm.  Bài tập 2.18. Cho các số thực dương a, b thỏa mãn ab > 1. Chứng minh rằng µ 2 ¶µ 2 ¶ a 2b b 2a 16. + + a 1 + + b 1 > + + 2 Lời giải. Ta có b 2a 5 3 a nên + + b 1 > 2 + 2 + µ 2 ¶µ 2 ¶ µ5 3 ¶µ5 3 ¶ a 2b b 2a a b + + a 1 + + b 1 > 2 + 2 2 + 2 + + và µ5 3 ¶µ5 3 ¶ 25 15 9 a b (a b) ab 16 2 + 2 2 + 2 = 4 + 4 + + 4 > nên ta có đpcm.  Bài tập 2.19. Cho các số thực dương a, b, c thỏa: p p p 7 abc a2 b2 b2 c2 c2 a2 − . + + + + + = p2 Chứng minh rằng: a2 b2 c2 3 . b c + c a + a b > 2 + + + Bài tập 2.20. (IMO Shortlist 2009) Cho các số thực dương a, b, c 1 1 1 thỏa a b c . Chứng minh rằng + + = a + b + c 1 1 1 3 6 . (2a b c)2 + (2b c a)2 + (2c a b)2 16 + + + + + + Nguyễn Tất Thu
  32. 32 Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN Bài tập 2.21. Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức s s s µ5 a ¶µ5 b ¶ µ5 b ¶µ5 c ¶ µ5 c ¶µ5 a ¶ P . = 8 + b c 8 + c a + 8 + c a 8 + a b + 8 + a b 8 + b c + + + + + + Bài tập 2.22. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: p3 p3 p3 a3 b3 b3 c3 c3 a3 abc 3. + + + + + + = Chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a3 b3 c3 P = b2 c2 + c2 a2 + a2 b2 + + + m bằng , trong đó m là nghiệm của phương trình t3 54t 162 0. 2p3 2 + − = Bài tập 2.23. (VN TST 2010) Cho các số thực dương a, b, c thỏa 1 1 1 mãn 16(a b c) . Chứng minh rằng + + > a + b + c 1 1 1 8 . ¡ ¢3 + ³ p ´3 + ³ p ´3 6 9 a b p2(a c) b c 2(b a) c a 2(c b) + + + + + + + + + Bài tập 2.24. (USA TST 2010) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng = 1 1 1 1 . a5(b 2c)2 + b2(c 2a)2 + c5(a 2b)2 > 3 + + + 2.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 2.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng đa thức Định lí 2.2. Cho 2n số thực a1,a2, ,an, b1, b2, , bn. Khi đó, ta có ··· ··· ¡ 2 2 2 ¢¡ 2 2 2 ¢ 2 a a a b b b (a1b1 a2b2 anbn) . 1 + 2 + ··· + n 1 + 2 + ··· + n > + + ··· + Đẳng thức xảy ra khi ai kbi với mọi i 1,2, , n. = = ··· Nguyễn Tất Thu
  33. 2.2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 33 Chứng minh. Nếu ai 0 i 1, n thì bất đẳng thức hiển nhiên = ∀ = đúng. n P 2 Nếu ai 0, ta xét tam thức i 1 > = Ã n ! Ã n ! n X 2 2 X X 2 f (x) ai x 2 ai.bi x bi = i 1 − i 1 + i 1 = = = Ta có n X 2 f (x) (ai x bi) > x R = i 1 − ∀ ∈ = Do đó Ã n !2 Ã n !Ã n ! X X 2 X 2 ∆0 ai bi ai bi 6 0 = i 1 − i 1 i 1 = = = Hay bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi ai x bi 0 ai k.bi. − = ⇔ =  2.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức Định lí 2.3. Cho các n số thực a1,a2, an và n số thực dương b1, b2, , bn. ··· ··· Khi đó, ta có 2 2 2 2 a1 a2 an (a1 a2 an) > + + ··· + . b1 + b2 + ··· + bn b1 b2 bn + + ··· + a a a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 n . b1 = b2 = ··· = bn Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng đa thức ta có Ã n !2 Ã n !2 Ã n !Ã n 2 ! X X p ai X X ai ai bi.p 6 bi i 1 = i 1 bi i 1 i 1 bi = = = = Hay 2 2 2 2 a1 a2 an (a1 a2 an) > + + ··· + (đpcm). b1 + b2 + ··· + bn b1 b2 bn + + ··· +  Nguyễn Tất Thu
  34. 34 Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN 2.2 Các ví dụ Ví dụ 2.18 (Bất đẳng thức Mincopski) Cho các 2n số thực a1,a2, ,an, b1, b2, , bn. Chứng minh rằng ··· ··· q q q 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a b b b (a1 b1) (a2 b2) (an bn) . 1 + 2 + ··· + n+ 1 + 2 + ··· + n > + + + + ··· + + Lời giải. Bình phương hai vế và rút gọn, ta có q ¡ 2 2 2 ¢¡ 2 2 2 ¢ a a a b b b (a1b1 a2b2 anbn). 1 + 2 + ··· + n 1 + 2 + ··· + n > + + ··· + Đây chính là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng đa thức. Đẳng thức xảy ra khi ai kbi. =  Ví dụ 2.19 Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng ¡a2 1¢¡b2 1¢¡c2 1¢ (a b)(b c)(c a). + + + > + + + Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có ¡a2 1¢¡b2 1¢ ¡a2 1¢¡1 b2¢ (a b)2. + + = + + > + Tương tự, ta cũng có ¡b2 1¢¡c2 1¢ (b c)2, ¡c2 1¢¡a2 1¢ (a c)2. + + > + + + > + Nhân ba bất đẳng thức trên theo vế ta được ¡a2 1¢¡b2 1¢¡c2 1¢ (a b)(b c)(c a). + + + > + + + Đẳng thức xảy ra khi a b c 1. = = =  Nguyễn Tất Thu
  35. 2.2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 35 Ví dụ 2.20 Cho a, b, c 0 thỏa mãn a b c 1. Chứng minh rằng > + + = s s s 1 1 1 a2 b2 c2 p82 + b2 + + c2 + + a2 > Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có µ 1 ¶µ1 ¶ µ a 3 ¶2 a2 9 + b2 9 + > 3 + b hay s 1 3 µ a 3 ¶ a2 > . + b2 p82 3 + b Tương tự, ta cũng có s s 1 3 µ b 3¶ 1 3 µ c 3 ¶ b2 > và c2 > . + c2 p82 3 + c + a2 p82 3 + a Công ba bất đẳng thức theo vế ta có s s s 1 1 1 3 · a b c µ 1 1 1¶¸ a2 b2 c2 > + + 3 . + b2 + + c2 + + a2 p82 3 + a + b + c 1 1 1 9 Lại có 9 nên ta suy ra được a + b + c > a b c = + + s s s 1 1 1 3 µ1 ¶ a2 b2 c2 > 27 p82. + b2 + + c2 + + a2 p82 3 + = 1 Đẳng thức xảy ra khi a b c . = = = 3  Ví dụ 2.21 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 3. Chứng minh + + = Nguyễn Tất Thu
  36. 36 Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN rằng µ 1 1 1 ¶ 2¡a2 b2 c2¢ 3 9 . + + + > a2 2 + b2 2 + c2 2 + + + Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có ¡a2 b2 1¢¡1 1 c2¢ (a b c)2 9 + + + + > + + = hay là 9 a2 b2 1 . + + > c2 2 Tương tự + 9 9 b2 c2 1 và c2 a2 1 . + + > a2 2 + + > b2 2 + + Cộng các bất đẳng thức trên theo vế, ta được µ 1 1 1 ¶ 2¡a2 b2 c2¢ 3 9 . + + + > a2 2 + b2 2 + c2 2 + + + Đẳng thức xảy ra khi a b c 1. = = =  Ví dụ 2.22 1 1 1 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c . + + = a + b + c Chứng minh rằng p p p a2 1 b2 1 c2 1 p2(a b c). + + + + + 6 + + Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có s s s p p p 1 1 1 a2 1 b2 1 c2 1 pa. a pb. b pc. c + + + + + = + a + + b + + c s µ 1 1 1¶ (a b c) a b c p2(a b c). 6 + + + a + + b + + c = + + Đẳng thức xảy ra khi a b c 1. = = =  Nguyễn Tất Thu
  37. 2.2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 37 Ví dụ 2.23 Cho a, b, c 0 và a b c 1. Chứng minh rằng > + + = p p p a a2 8bc b b2 8ca c c2 8ab 1. + + + + + 6 Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có p p p VT pa. a3 8abc pb. b3 8abc pc. c3 8abc = + + + + + q (a b c)¡a3 b3 c3 24abc¢. 6 + + + + + Mặt khác (a b c)3 a3 b3 c3 3(a b)(b c)(c a) a3 b3 c3 24abc + + = + + + + + + > + + + Suy ra q VT (a b c)(a b c)3 (a b c)2 1. 6 + + + + = + + = 1 Bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a b c . = = = 3  Ví dụ 2.24 Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng s s s 2a 2b 2c 3. a b + b c + c a 6 + + + Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có Ã s !2 r a b r c VT2 pa c pb a pc b = + (a b)(a c) + + (b c)(b a) + + (c a)(c b) + + + + + + µ a b c ¶ 2(a b c) 6 + + (a b)(a c) + (b a)(b c) + (c a)(c b) + + + + + + 4(a b c)[ab bc ca] + + + + . = (a b)(b c)(c a) + + + Nguyễn Tất Thu
  38. 38 Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN Do đó, ta chỉ cần chứng minh 4(a b c)(ab bc ca) 9 (a b c)(ab bc ca) 9 + + + + + + + + . (a b)(b c)(c a) 6 2 ⇔ (a b)(b c)(c a) 6 8 + + + + + + Đây là một kết quả quen thuộc.  Ví dụ 2.25 Cho các số thực a, b, c 0 thỏa mãn a b c 3. Chứng minh > + + = rằng a2 b2 c2 1. a 2b2 + b 2c2 + c 2a2 > + + + Lời giải. Gọi P là vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có a4 b4 c4 P = a3 2a2b2 + b3 2b2 c2 + c3 2c2a2 + + + 2 ¡a2 b2 c2¢ + + . > a3 b3 c3 2¡a2b2 b2 c2 c2a2¢ + + + + + Với a b c 3 ta có ¡ 4+ +4 = 4¢¡ 2 2 2¢ ¡ 3 3 3¢2 a b c a b c > a b c + + + + + +2 ¡a3 b3 c3¢(a b c) ¡a2 b2 c2¢ + + + + > + + 3¡a2 b2 c2¢ (a b c)2. + + > + + Nhân ba bất đẳng thức trên theo vế ta được 3¡a4 b4 c3¢ (a b c)¡a3 b3 c3¢ + + > + + + + Hay a4 b4 c4 a3 b3 c3. Do đó + + > + + 2 ¡a2 b2 c2¢ a4 b4 c4 2¡a2b2 b2 c2 c2a2¢ + + = + + + + + + a3 b3 c3 2¡a2b2 b2 c2 c2a2¢. > + + + + + Vậy P 1. Đẳng thức xảy ra khi a b c 1. > = = =  Nguyễn Tất Thu
  39. 2.2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 39 Ví dụ 2.26 Cho a, b, c 0 thỏa a b c 2. Chứng minh rằng: > + + = a b c 6 1. p4a 3bc + p4b 3ca + p4c 3ab + + + Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: µ a b c ¶2 µ a b c ¶ 6 (a b c) p4a 3bc + p4b 3ca + p4c 3ab + + 4a 3bc + 4b 3ca + 4c 3ab + + + + + + µ a b c ¶ 2 . = 4a 3bc + 4b 3ca + 4c 3ab + + + Ta chứng minh: a b c 1 4a 3bc + 4b 3ca + 4c 3ab 6 2 + + + bc ca ab 1 ( ) ⇔ 4a 3bc + 4b 3ca + 4c 3ab > 3 ∗ + + + Ta có (ab bc ca)2 VT( ) + + ∗ > bc(4a bc) ca(4b ca) ab(4c ab) + + + + + Do bc(4a bc) ca(4b ca) ab(4c ab) 3(ab bc ca)2. + + + + + = + + 1 Nên ta có: VT( ) (đpcm). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b ∗ > 3 = = 2 c . = 3  Ví dụ 2.27 Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: ³ a ´2 µ b ¶2 ³ c ´2 3 . a b + b c + c a > 4 + + + Nguyễn Tất Thu
  40. 40 Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN b c a Lời giải. Vì . . 1 nên tồn tại các số thực dương x, y, z sao cho a b c = b yz c zx a xy , , . a = x2 b = y2 c = z2 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x4 y4 z4 3 > . ¡x2 yz¢2 + ¡y2 zx¢2 + ¡z2 xy¢2 4 + + + Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có 2 x4 y4 z4 ¡x2 y2 z2¢ > + + . ¡x2 yz¢2 + ¡y2 zx¢2 + ¡z2 xy¢2 ¡x2 yz¢2 ¡y2 zx¢2 ¡z2 xy¢2 + + + + + + + + Ta chứng minh 2 ¡x2 y2 z2¢ 3 + + > ¡x2 yz¢2 ¡y2 zx¢2 ¡z2 xy¢2 4 + + + + + Biến đổi và rút gọn ta thu được bất đẳng thức x4 y4 z4 5¡x2 y2 y2 z2 z2x2¢ 6xyz(x y z) ( ). + + + + + > + + ∗ Ta có x4 y4 z4 x2 y2 y2 z2 z2x2 xyz(x y z). + + > + + > + + Nên suy ra ( ) đúng. Vậy bài toán được chứng minh. ∗  Ví dụ 2.28 Cho các số thực x, y, z 0. Chứng minh rằng > x y y z z x p + p + p + 6 3. x2 y2 zx zy + y2 z2 xy xz + z2 x2 yz xy + + + + + + + + + Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có · (x y)2 (y z)2 (z x)2 ¸ VT2 3 + + + . 6 x2 y2 zx yz + y2 z2 xy xz + z2 x2 zy yx + + + + + + + + + Nguyễn Tất Thu
  41. 2.2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 41 Mặt khác (x y)2 (x y)2 x2 y2 x y + + x2 y2 zx yz = x(x z) y(y z) 6 x(x z) + y(y z) = x z + y z + + + + + + + + + + Tương tự (y z)2 y z (z x)2 z x + và + y2 z2 xy xz 6 y x + z x z2 x2 zy yx 6 z y + x y + + + + + + + + + + Suy ra VT2 9 VT 3, từ đây ta có đpcm. 6 ⇔ 6  Ví dụ 2.29 (VQB Cẩn Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 6 + + = và a2 b2 c2 14. Chứng minh rằng + + = 4a b 31 2 + . 6 c 6 2 Lời giải. Ta có 4a b + 2 4a b 2c 0 3a 6b 9c 7(a b c) 42 (1). c > ⇔ − − + 6 ⇔ + + 6 + + = Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có q 3a 6b 9c ¡32 62 92¢¡a2 b2 c2¢ 42. + + 6 + + + + = Suy ra (1) đúng. Đẳng thức xảy ra khi a 1, b 2, c 3. = = = Tương tự 4a b 31 + 8a 2b 31c 0 57a 51b 18c 49(a b c) 294 c 6 2 ⇔ + − 6 ⇔ + + 6 + + = (2). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có q 57a 51b 18c ¡572 512 182¢¡a2 b2 c2¢ 294 + + 6 + + + + = 19 17 Hay (2) được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a , b , c = 7 = 7 = 6 . 7  Nguyễn Tất Thu
  42. 42 Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN 2.2 Bài tập Bài tập 2.25. Cho các số thực dương a, b, c thỏa a2 b2 c2 3. + + = Chứng minh rằng: a3 b3 c3 1. b 2c + c 2a + a 2b > + + + Bài tập 2.26. Cho các số thực dương a, b, c có tích bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1. a3 b3 1 + b3 c3 1 + c3 a3 1 6 + + + + + + Bài tập 2.27. Cho các số thực dương x, y, z thỏa x y z 2. Tìm giá + + 6 trị nhỏ nhất: s s s 1 1 1 P 4x2 4y2 4z2 . = + x2 + + y2 + + z2 ( x2 xy y2 16 Bài tập 2.28. Cho x, y thỏa + + = . Chứng minh rằng: y2 yz z2 3 xy yz zx 8. + + = + + 6 Bài tập 2.29. Cho a, b 0. Chứng minh rằng: > ³ ´³ ´ 4pa 3pb 3pa 4pb 25(a b). + + 6 + Bài tập 2.30. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa: a2 b2 c2 3. + + > Chứng minh rằng: a3 b3 c3 > 1. pb2 c2 7 + pc2 a2 7 + pa2 b2 7 + + + + + + Bài tập 2.31. Cho các số thực dương a, b, c có tổng bằng 3. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 . 4a2 b2 c2 + a2 4b2 c2 + a2 b2 4c2 6 2 + + + + + + Nguyễn Tất Thu
  43. 2.2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 43 Bài tập 2.32. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: a2 b2 c2 1 . (2a b)(2a c) + (2b a)(2b c) + (2c a)(2c b) 6 3 + + + + + + Bài tập 2.33. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 3. + + = Chứng minh rằng: a2 b2 c2 1. a 2b2 + b 2c2 + c 2a2 > + + + Bài tập 2.34. Cho các số thực x, y, z 0. Chứng minh rằng: > x y y z z x p + p + p + 6 3. x2 y2 zx zy + y2 z2 xy xz + z2 x2 yz xy + + + + + + + + + Bài tập 2.35. Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn x y z 3. + + = Chứng minh rằng: 4x 5 4y 5 4z 5 162 + + + . x3 xy2 3xyz + y3 yz2 3xyz + z3 zx2 3xyz > x2 y2 z2 27 + + + + + + + + + Bài tập 2.36. Cho a, b, c 0 thỏa mãn a b c 1. Chứng minh rằng > + + = a2 b2 c2 1 > . (b 2c)2 (a b) + (c 2a)2(b c) + (a 2b)2(c a) 2 + + + + + + Bài tập 2.37. Cho a, b, c 0 thỏa mãn a2 b2 c2 3. Chứng minh > + + 6 rằng: a b c p2 > (a b c). pb c + pc a + pa b 2 + + + + + Bài tập 2.38. Cho a, b, c 0 thỏa abc 1. Chứng minh rằng > = b c c a a b + + + > pa pb pc 3. pa + pb + pc + + + Bài tập 2.39. Cho a, b, c (1;2). Chứng minh rằng ∈ bpa cpb apc > 1. 4bpc cpa + 4cpa apb + 4apb bpc − − − Nguyễn Tất Thu
  44. 44 Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN Bài tập 2.40. Cho a, b, c 0 thỏa mãn a b c 1. Chứng minh rằng > + + = a2 b b2 c c2 a + + + 2. b c + c a + a b > + + + Bài tập 2.41. Cho a, b, c 0. Chứng minh rằng > a b a b c b c a c 3 + . + . + . . b c 2a b c + c a 2b c a + a b 2c a b > 4 + + + + + + + + + Bài tập 2.42. Cho a, b, c 0. Chứng minh rằng > a3 b3 c3 3(ab bc ca) + + . b2 bc c2 + c2 ca a2 + c2 ca a2 > a b c − + − + − + + + Bài tập 2.43. Cho a, b, c 0. Chứng minh rằng > ab bc ca a b c + + . a b 2c + b c 2a + c a 2b 6 4 + + + + + + Bài tập 2.44. Cho a, b, c 0. Chứng minh rằng > a b c 6 1. a p(a b)(a c) + b p(b c)(b a) + c p(c a)(c b) + + + + + + + + + Bài tập 2.45. Cho x, y, z 1. Chứng minh rằng > − 1 x2 1 y2 1 z2 + + + 2. 1 y z2 + 1 z x2 + 1 x y2 6 + + + + + + Bài tập 2.46. Cho a, b, c 0. Chứng minh rằng > ¡a2 2¢¡b2 2¢¡c2 2¢ 9(ab bc ca). + + + > + + Bài tập 2.47. Cho a, b, c 0. Chứng minh rằng > a3 b3 c3 1 . ¡2a2 b2¢¡2a2 c2¢+¡2b2 c2¢¡2b2 a2¢+¡2c2 a2¢¡2c2 b2¢ 6 a b c + + + + + + + + Bài tập 2.48. Cho a, b, c 0 thỏa mãn a2 b2 c2 3. Chứng minh > + + = rằng 1 1 1 3. 2 a + 2 b + 2 c > − − − Nguyễn Tất Thu
  45. 2.3. Bất đẳng thức Schur 45 Bài tập 2.49. Cho a, b, c 0. Chứng minh rằng > a b c 1 . 4a 4b c + 4b 4c a + 4c 4a b 6 3 + + + + + + Bài tập 2.50. Cho x, y, z 0 thỏa mãn xyz 1. Chứng minh rằng > = 1 1 1 1. 1 x x2 + 1 y y2 + 1 z z2 > + + + + + + Bài tập 2.51. Cho x, y, z 0 thỏa mãn xyz 8. Chứng minh rằng > = x2 y2 z2 1. x2 2x 4 + y2 2y 4 + z2 2z 4 > + + + + + + Bài tập 2.52. Cho các số thực x, y, z 1 và xyz 1. Chứng minh rằng 6= = ³ x ´2 µ y ¶2 ³ z ´2 1. x 1 + y 1 + z 1 > − − − 2.3 Bất đẳng thức Schur 2.3 Bất đẳng thức Schur Định lí 2.4. Cho các số thực không âm x, y, z và số thực dương r. Khi đó, ta có bất đẳng thức sau xr(x y)(x z) yr(y x)(y z) zr(z x)(z y) 0. − − + − − + − − > Đẳng thức xảy ra khi a b c hoặc c 0,a b và các hoán vị. = = = = Chứng minh. Vì bất đẳng thức cần chứng minh là đối xứng ba biến nên ta giả sử x y z, khi đó zr(z x)(z y) 0 và > > − − > xr(x y)(x z) yr(y x)(y z) (x y)¡xr(y z) yr(y z)¢ (x y)(y z)(xr yr) 0. − − + − − > − − − − = − − − > Từ hai bất đẳng thức trên ta suy ra đpcm.  Nguyễn Tất Thu
  46. 46 Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN 2.3 Các trường hợp đặc biệt • Xét r 1 ta có các dạng sau = 1. x3 y3 z3 3xyz xy(x y) yz(y z) zx(z x) + + + > + + + + + 2. 4(a3 b3 c3) 15abc (a b c)3 + + + > + + 3. xyz (x y z)(y z x)(z x y) > + − + − + − 9xyz 4. x2 y2 z2 2(xy yz zx) + + + x y z > + + + + 5. (x y z)3 9xyz 4(x y z)(xy yz zx) + + + > + + + + • r 2 ta có các dạng sau = 1. x4 y4 z4 xyz(x y z) xy(x2 y2) yz(y2 z2) zx(z2 x2) + + + + + > + + + + + 2. 6xyz(x y z) £2(xy yz zx) (x2 y2 z2)¤(x2 y2 z2 + + > + + − + + + + + xy yz zx). + + 2.3 Bất đẳng thức Schur suy rộng Định lí 2.5. Cho các số thực dương a, b, c, x, y, z sao cho các bộ (a, b, c) và (x, y, z) là các bộ đơn điệu. Khi đó, ta có bất đẳng thức a(x y)(x z) b(y z)(y x) c(z x)(z y) 0. − − + − − + − − > Việc chứng minh bất đẳng thức này tương tự như chứng minh bất đẳng thức Schur ở trên. 2.3 Các ví dụ Ví dụ 2.30 Cho các số thực không âm a, b, c. Chứng minh rằng s s s (a b)3 (b c)3 (c a)3 + + + 2p2. ab(4a 4b c) + bc(4b 4c a) + ca(4c 4a b) > + + + + + + Nguyễn Tất Thu
  47. 2.3. Bất đẳng thức Schur 47 Lời giải. Gọi P là vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta giả sử a b c 3. Áp dụng bất đẳng thức + + = AM-GM ta có s s (a b)3 (a b)3 ab(4a 4b c) 1 + + + + (a b) 8ab(4a 4b c) + 8ab(4a 4b c) + 27 > 2 + + + + + Suy ra s (a b)3 ab(4a 4b c) 1 + + + (a b). 8ab(4a 4b c) + 54 > 4 + + + Tương tự s (b c)3 bc(4b 4c a) 1 + + + (b c) 8bc(4b 4c a) + 54 > 4 + + + và s (c a)3 ca(4c 4a b) 1 + + + (c a). 8ca(4c 4a b) + 54 > 4 + + + Cộng ba bất đẳng thức trên ta có 1 P A > B. 2p2 + Với 1 A [ab(4a 4b c) bc(4b 4c a) ca(4c 4a b)] = 54 + + + + + + + + 1 [4ab(a b) 4bc(b c) 4ca(c a) 3abc] = 54 + + + + + + 1 1 1 [4(a b c)(ab bc ca) 9abc] (a b c)3 . = 54 + + + + − 6 54 + + = 2 và 1 3 B .2(a b c) . = 4 + + = 2 Suy ra 1 3 1 P > 1 P > 2p2. 2p2 2 − 2 = ⇒ Bài toán được chứng minh.  Nguyễn Tất Thu
  48. 48 Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN Ví dụ 2.31 (APMO 2004) Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng (a2 2)(b2 2)(c2 2) 9(ab bc ca). + + + > + + Lời giải. Ta có VT a2b2 c2 2(a2b2 b2 c2 c2a2) 4(a2 b2 c2) 8. = + + + + + + + Mặt khác a2b2 b2 c2 c2a2 3 a2b2 1 b2 c2 1 c2a2 1 2(ab bc ca) + + + = + + + + + > + + và p3 3abc a2b2 c2 2 a2b2 c2 1 1 3 a2b2 c2 > 3 + = + + = pabc 9abc 2(ab bc ca) (a2 b2 c2). > a b c > + + − + + + + Suy ra VT 2(ab bc ca) (a2 b2 c2) 2.2(ab bc ca) 4(a2 b2 c2) > + + − + + + + + + + + 6(ab bc ca) 3(a2 b2 c2) 6(ab bc ca) 3(ab bc ca) 9(ab bc ca). = + + + + + > + + + + + > + + Bài toán được chứng minh.  Ví dụ 2.32 (VMO 2014) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng 3(a2 b2 c2) P (a b c)2, + + > > + + với P (a b c)¡pab pbc pca¢ (a b)2 (b c)2 (c a)2. = + + + + + − + − + − Nguyễn Tất Thu
  49. 2.3. Bất đẳng thức Schur 49 Lời giải. Ta có 3(a2 b2 c2) P a b c pab pbc pca. + + > ⇔ + + > + + Bất đẳng thức này là kết quả quen thuộc. Đặt x pa, y pb, z pc. Khi đó, bất đẳng thức = = = 2 X 4 X X 2 2 X 2 2 P (a b c) x xyz x xy(x y ) 4 x y (1) > + + ⇔ + + + > Sử dụng bất đẳng thức Schur (với trường hợp r 2) ta có = X x4 xyzX x X xy(x2 y2) + > + do đó VT(1) 2X xy(x2 y2) 2.X xy.2xy 4X x2 y2. > + > = Hay (1) được chứng minh.  Ví dụ 2.33 Cho a, b, c 0. Chứng minh rằng > a2 bc b2 ca c2 ab 1 1 1 + + + . a2(b c) + b2(c a) + c2(a b) > a + b + c + + + Lời giải. Ta có a2 bc 1 a2 bc a(b c) (a b)(a c) + + − + − − . a2(b c) − a = a2(b c) = a2(b c) + + + Do đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với x(a b)(a c) y(b c)(b a) z(c a)(c b) 0 (1). − − + − − + − − > 1 1 1 Với x , y , z . = a2(b c) = b2(c a) = c2(a b) + + 1 +1 ab(b a) c(b2 a2) Giả sử a b c, ta có − + − 0 > > a2(b c) − b2(c a) = a2b2(b c)(c a) > hay x y. + + + + < Do đó, bộ (x, y, z) là bộ đơn điệu giảm. Do đó, theo bất đẳng thức Schur suy rộng, ta có (1) đúng.  Nguyễn Tất Thu
  50. 50 Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN 2.3 Bài tập Bài tập 2.53. (Hello IMO 2007- Trần Nam Dũng) Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0,ta có: 2(a2 b2 c2) abc 8 5(a b c). + + + + > + + HD: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM,ta có: 12(a2 b2 c2) 6abc 48 30(a b c) + + + + − + + 12(a2 b2 c2) 3(2abc 1) 45 5.2.3(a b c) = 2+ 2+ 2 + 3 + + − + +2 > 12(a b c ) 9pa2b2 c2 45 5.((a b c) 9) + + +9abc + − + + + 7(a2 b2 c2) 10(ab bc ca) = + + + p3 abc − + + 27 7(a2 b2 c2) 10(ab bc ca) > + + + a b c − + + Mặt khác sử dụng bất+ đẳng+ thức Schur, 9 4(ab bc ca) (a b c)2 2(ab bc ca) (a2 b2 c2) a b c > + + − + + = + + − + + + + Do đó 27 7(a2 b2 c2) 10(ab bc ca) + + + a b c − + + 7(a2 b2 c2) +6(ab+ bc ca) 3(a2 b2 c2) 10(ab bc ca) > + + + + + − + + − + + 4(a2 b2 c2 ab bc ca) 0. = + + − − − > Bất đẳng thức được chứng minh. Bài tập 2.54. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc 1. Chứng = minh rằng 1 1 1 3 2(a b c). a2 + b2 + c2 + > + + HD: 1 1 1 Đặt x , y , z . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành = a = b = c x2 y2 z2 3 2(xy yz zx) + + + > + + (x y z)(x2 y2 z2 3) 2(x y z)(xy yz zx) ⇔ + + + + + > + + + + Hay x3 y3 z3 3(x y z) x2(y z) y2(z x) z2(x y) 6 (1). + + + + + > + + + + + + Nguyễn Tất Thu
  51. 2.4. Hướng dẫn, đáp số 51 Ta có x3 y3 z3 3(x y z) x3 y3 z3 9 x3 y3 z3 3xyz 6 VP(1). + + + + + > + + + = + + + + > Vậy bài toán được chứng minh. Bài tập 2.55. Cho a, b, c 0. Chứng minh rằng > a2 bc b2 ca c2 ab + + + a b c. b c + c a + a b > + + + + + Bài tập 2.56. Cho a, b, c 0. Chứng minh rằng > p p p a3 b3 c3 3abc ab 2(a2 b2) bc 2(b2 c2) ca 2(c2 a2). + + + > + + + + + Bài tập 2.57. (Iran 1996) Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng µ 1 1 1 ¶ 9 (xy yz zx) . + + (x y)2 + (y z)2 + (z x)2 > 4 + + + 2.4 Hướng dẫn, đáp số 2.5 Tài liệu tham khảo 1. Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh, Sử dụng bất đẳng thức AM-GM để chứng minh bất đẳng thức, NXB ĐHSP. 2. Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh, Sử dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz để chứng minh bất đẳng thức, NXB ĐHSP. 3. Tuyển tập các đề thi HSGQG THPT từ năm 1990-2006, NXBGD 4. Các chuyên đề trên mạng và các lời giải và bình luận đề thi VMO, VN TST của Thầy Trần Nam Dũng chủ biên. Nguyễn Tất Thu