Tam giác đồng dạng - Định lí Ta-lét - Lê Hải Trung

Nội dung text: Tam giác đồng dạng - Định lí Ta-lét - Lê Hải Trung

1. Trung tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG- ĐỊNH LÍ TA-LÉT A. Lý thuyết I. Các trường hợp đồng dạng của tam giác 1. Định nghĩa: Tam giác A' B ' C ' gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu AB BC AC µA µA': Bµ Bµ':Cµ Cµ' và A' B ' B 'C ' A'C ' 2. Định lý: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác thì nó tạo với hai đường thẳng chứa hai cạnh kia một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho. 3. Các trường hợp đồng dạng của tam giác. Trường hợp 1: (c-c-c) Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng. Trường hợp 2: (c-g-c) Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng. Trường hợp 3: (g-g) Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thi hai tam giác đó đồng dạng. 4. Trường hợp đồng dạng của tam giác vuông. Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng. 5. Tỉ số hai đường cao, hai diện tích của hai tam giác đồng dạng - Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng. - Tỉ số hai diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng. II- Định lý Ta- lét trong tam giác 1. Tỉ số của hai đoạn thẳng Định nghĩa: Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo 2. Đoạn thẳng tỉ lệ Định nghĩa: Hai đoạn thẳng AB và CD được gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ và C’D’ nếu có tỉ lệ thức : AB A' B ' AB CD hay CD C ' D ' A' B ' C ' D ' 3. Định lý Talet trong tam giác Nếu một đường thẳng song song với một cạnh cảu tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ . Hệ quả: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác thì nó tạo với hai đường thẳng chứa hai cạnh kia một tam giác mới có ba cạnh tỉ lệ với ba cạnh tương ứng của tam giác đã cho. Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại. Định lý đảo : Nếu 1 đường thẳng định ra trên hai cạnh của một tam giác những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác Chú ý các tính chất tỉ lệ thức Tam giác đồng dạng –Định lý Talet Page 1
2. Trung tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung Tính chất ( công thức cơ bản) với ta có Tính chất 1: Tính chất 2: Tính chất 3 : Tính chất 4 B. Bài tập Bài 1. Cho hình bình hành ABCD E (AC>BD). Vẽ CE AB và FC  AD. Chứng minh rằng : AB.AE + 2 AD.AF = AC B C H F A D HD: AB.AE = AC.AH BC.AF = AC.CH Bài 2. Cho hình vuông ABCD có độ N C dài cạnh là a. Gọi M,N lần lượt là B Trung điểm của AB và BC . Các I đường thẳng DN và CM cắt nhau tại I . Chứng minh rằng : a. tam giác CIN vuông M Q P b. Tính diện tích tam giác CIN theo a. c. Tam giác AID cân. A D HD:b.Tỉ số diện tích 2 đồng dạng bằng tỉ số bình phương 2 cạnh tương ứng. c.Q là trung điểm CD PQ  DN Tam giác đồng dạng –Định lý Talet Page 2
3. mABC = 108,23 mACD = 108,23 Trung tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung Bài 3. Cho hình thang ABCD (BC//AD) với ABC = ACD . B C Tính độ dài đường chéo AC, biết rằng 2 đáy BC và AD theo thứ tự có độ dài 12m, 27m. A D HD: ABC ∽ DCA Bài 4. Cho tam giác ABC , M là F Trung điểm của cạnh BC. Từ 1 điểm E trên cạnh BC ta kẻ A Ex//AM. Ex cắt tia CA ở F và tia BA ở G.Chứng minh rằng :FE + EG = 2 G AM C M E B HD: = ; = Bài 5. Cho Cho hình bình hành A B M ABCD ,trên Đường chéo AC lấy I. Tia DI cắt đường thẳng AB tại M,cắt I N đường thẳng BC tại N. a. Chứng minh rằng : D C AM DM CB AB DN CN HD: b.Chứng minh rằng a. = = ; ID2= IM.IN = ; b. = ; = Bài 6. Cho tam giác ABC , đường C phân giác trong của C cắt cạnh AB tại D. Chứng minh rằng CD2 < CA.CB M A B D HD: CD2 = CA.CM. Bài 7. Cho tam giác ABC , BD và A CE là 2 đường cao của tam giác ABC . DF và EG là 2 đường cao của tam giác ADE. Chứng minh rằng F G a. Hai tam giác ADE và ABC đồng E dạng. b. FG//BC D B C HD: a. = b. AFG ∽ ABC Tam giác đồng dạng –Định lý Talet Page 3
4. Trung tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung Bài 8. Cho hình bình hành ABCD E với đường chéo AC > BD. Gọi E và F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C đến các đường thẳng AB và AD; gọi G là chân dường vuông góc kẻ từ B C B đến AC. a. Chứng minh rằng 2 tam giác CBG và ACF đồng dạng b. Chứng minh rằng : AB.AE + AD G .AF = AC2 A D F HD: Xem bài 28 Bài 9. Cho tam giác ABC (AB < A AC). Hai Đường cao BD và CE cắt nhau tại H. a. So sánh BAH và CAH b. So sánh 2 đoạn thẳng BD và CE. D c. Chứng minh rằng 2 tam giác ADE và tam giác ABC đồng dạng E H B C F HD: c. Xem bài 34 Bài 10. Cho hình thang ABCD có A B đáy lớn là CD. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường chéo BD tại M và cắt CD tại I. Qua B kẻ đường P thẳng song song với AD cắt cạnh CD M ở K. Qua K kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC ở P. Chứng minh rằng MP//DC. D K I C HD: DI = CK; = ; = Tam giác đồng dạng –Định lý Talet Page 4
5. Trung tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung Bài 11. Trong tam giác ABC Kẻ trung tuyến AM. K là 1 điểm trên AM sao AK 1 cho: , BK cắt AC tại N. AM 3 a. Tính diện tích tam giác AKN, biết diện tích tam giác ABC là S. b. Một đường thẳng qua K cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại I và J. AB AC Chứng minh rằng 6 . AI AJ HD: a. P là trung điểm AC; = ; = b. Kẻ BD //CE//IJ;AE + ED = 2AM = ; = . Bài 12. Lấy 1 điểm O trong tam giác A ABC. Các tia AO,BO,CO cắt BC,AC,AB lần lượt tại P,Q,R. Chứng minh rằng OA OB OC Q : 2 R AP BQ CR O B P K H C HD: Đặt S0BC = S1; SOAC = S2; SOAB = S3; SABC = S = ; = ; = Bài 13. Cho đoạn thẳng AB , gọi O là D trung điểm của AB. Vẽ về 1 phía AB các tia Ax và By vuông góc với AB. Lấy C trên Ax, D trên By sao cho góc M COD = 900 . a. Chứng minh rằng tam giác ACO C N đồng dạng với tam giác BDO. b. Chứng minh rằng CD = AC + BD. B c. Kẻ OM vuông góc CD tại M, gọi A O N là giao điểm của AD với BC. Chứng minh rằng MN//AC. E HD: b. Kẻ CO cắt DB tại E. DCE cân. c. = Tam giác đồng dạng –Định lý Talet Page 5
6. Trung tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung Bài 14. Cho tam giác ABC với AB = A 5 cm,AC = 6 cm BC = 7 . Gọi G là D M trọng tâm tam giác ABC , O là giao điểm của 2 tia phân giác trong của O G C tam giác ABC . Chứng minh rằng GO//AC B ND = 2,99 NC HD: = = MC = -2,01 Bài 15. Cho hình vuôngMB ABCD trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = A B F , trên tia đối của tia CD lấy N sao cho CN = . I là giao điểm của M I tia AM và BN. Chứng minh rằng 5 điểm A,B,I,C,D cùng cách đều 1 điểm E D C N HD: NE = AB; BF = BM = AB AIC vuông tại I Bài 16. Cho tam giác ABC ,trung B tuyến CM, Qua điểm Q trên AB vẽ đường thẳng d song song với CM, Q Đường thẳng d cắt BC tại R và cắt R AC tại P. Chứng minh nếu QA.QB = M QP.QR thì tam giác ABC vuông tại C BA A P = 1,68 C BM BC HD: QA.QB = QP.QR = = = = 1,68 BN Bài 17. Trên các cạnh AB.BC.CA A CA H của ABC côc định= 1,68 lấy M,N,P sao cho: = = CP = k (k>0). K M P a.Tính S MNP theo S ABC và theo k b.Tính k sao cho S MNP đạt giá trị nhỏ nhất? C B N HD: = (c/m) a. S MNP = [ 1 - ] b. (k + 1)2 4k (Co-si) Tam giác đồng dạng –Định lý Talet Page 6
7. Trung tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung mCAB = 20,26 Bài 18. Cho tam giác ABCAX5 = 2(AB=AC),13 cm A có góc ở đỉnh bằng 20 0; Ycạnh5X5 = 0, 7 5 c m đáy là a ; cạnh bên là b . Chứng minh rằng a3 + b3 = 3ab2 H D B C HD:AH2 = ; ABC ∽ BCD ; AD = b - Mà AD2 = AH2 + DH2 = b2 - ab + a2 Bài 19. Cho 4 điểm A,E,F,B theothứ D C tự ấy trên 1 đường thẳng . Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông ABCD ; FGHE. a. Gọi O là giao điểm của AG và BH. Chứng minh rằng các tam H G giác OHEAB = 3 và,44 cOBCm đồng dạng . b. Chứng minh rằng các đường O thẳng CE và FD cùng đi qua O. A E F B HD:a. = ; b. HOD = GO F C6B = 6,88 cm Bài 20. Cho tam giác ABC có AB = C 4,BC = 6,CA = 8. Các đường phân giác trong AD và BEm cắtCA nhauB = 30 tại,08 I. a. Tính độ dài các đoạn thẳng BD và CD. b. Gọi G là trọng tâm của tam giác M ABC . Chứng minh rằng IG//BC E G suy ra độ dài IG D I A B HD:b. = IG = 0 Bài 21. Cho ABC có Â = 30 . A Dựng bên ngoài BCD đều. Chứng minh AD2 = AB2 + AC2.(Bài 18-giải theo cách khác) E B C D HD:Dựng đều ACE; AD = BE Tam giác đồng dạng –Định lý Talet Page 7
8. BC = 3,02 BM Trung tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung Bài 22. Cho hình vuông ABCD , trên A B K 1 BC lấy M sao cho : BM BC . 3 M I Trên tia đối của tia CD lấy điểm N 1 sao cho CN BC . Cạnh AM cắt 2 H BN tại I và CI cắt AB tại K . Gọi H là hình chiếu của M trên AC. Chứng D C N E minh rằng K,M,H thẳng hàng. HD: Xem bài 42. M là trực tâm ACK Bài 23. Cho hình thang ABCD có C K M 2 đáy là AB = 2a; CD = a. Hãy xác D định vị trí điểm M trên đường thẳng CD sao cho Đường thẳng AM chia N hình thang thành 2 phần có diện tích bằng nhau. A B H HD: HK = h; HN = x, SADC < SADCN M nằm ngoài DC. = Vị trí của M trên tia DC. Bài 24. Cho tam giác ABC (BC<AB). B Từ C vẽ dường vuông góc với phân giác BE tại F và cắt AB tại K; vẽ trung tuyến BD cắt CK tại G . Chứng minh rằng DF đi qua trung điểm của K GE I G F O A D E C HD: GE // BC ; DI // AB ; = = Bài 25. Cho hình thoi ABCD có B C góc A = 600 . Gọi M là 1 điểm thuộc cạnh AD. Đường thẳng CM cắt đường thẳng AB tại N. a. Chứng minh AB2 = DM.BN. b. BM cắt DN tại P . Tính BPD A M D P N HD: AB = BC = CD = = BD = a. a. = ; b. NBD ∽ DBM Tam giác đồng dạng –Định lý Talet Page 8
9. Trung tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung Bài 26. Cho ABC,điểm M nằm trên A cạnh BC,Chứng minh : MA.BC MA Bài 27. Cho tam giác ABC cân tại A ( E A BA + BC E A K C F HD: Chọn F đối xứng với B qua C. BK + BE = EF + BE > BF. Tam giác đồng dạng –Định lý Talet Page 9
10. Trung tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung Bài 30. Cho tam giác ABC đều. Gọi A M là 1 điểm bất kỳ nằm trong tam giác . Chứng minh rằng tống các khoảng cách từ M đến 3 cạnh của tam R giác có giá trị không đổi khi M thay Q đổi vị trí trong tam giác M B P H C HD: AB = BC = CA = a ; AH = h SABC = SBMC + SBMA + SCMA Bài 31. Cho tam giác ABC , qua 1 A điểm O tùy ý trong tam giác , ta kẻ các đường AO,BO,CO cắt BC,Câu N nào,AB lần lượt tại M,N, và P. Chứng P OM ON OP O minh rằng : 1 AM BN CP B M O' A' C HD: = . = . = . Cho ABC có 2 đường cao Bài 31. A BD và CE. Chứng minh AED = ACB . E D B C Bài 32. Cho ABC có 2 đường phân A giác AD.Chứng minh : AD 2 = AB.AC - DB.DC B D C E HD:Dựng E: ABE = ADC . AEB ∽ ACD ∽ BED Bài 33. Cho tam giác ABC( A < I 900 ). Bên ngoài tam giác dựng các hình vuông ABDE, ACFG. Dựng E hình bình hành AEIG. Chứng minh G rằng . a. ABC = GIA CI = BF. D A b. Ba đường thẳng AI,BF,CD đồng F quy K B H C HD: a. ABC = GIA (c-g-c) ; BCF = IAC (c-g-c) ; Tam giác đồng dạng –Định lý Talet Page 10
11. Trung tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung b. K là giao điểm BF và CI BF  CI, tương tự CD  BI, IH ; CD và BF là 3 đường cao BIC. Bài 34. Cho tam giác ABC , gọi D là A Trung điểm AB. Trên cạnhAC lấy điểm E sao cho AE = 2EC. Gọi O là H giao điểm của CD và BE. Chứng D K minh rằng O E a. Diện tích tam giác BOC = Diện tích tam giác AOC. b. BO = 3EO. B C HD: a. SAOD = SBOD ; SACD = SBCD SAOC = SBOC. c. SOEC = SOAC SOEC = SOBC BO = 3EO. Bài 35. Cho tam giác ABC . Một A đường thẳng song song với BC cắt AC tại E và cắt đường thẳng song song với AB kẻ từMA = C 1 ,ở81 F.cm Gọi S là E giao điểm của AC và BF. Chứng F minh rằng SC2= SE.SA S B C HD: Sử dụng định lí Ta-let cho các đường thẳng song song. Bài 36. Cho hình bình hành ABCD . A M B Trên cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M và K sao cho AM = CK. Trên AD lấy điểm P tùy ý. Đoạn thẳng MK E P lần lượt cắt PB và PC tại E và F . F Chứng minh rằng SFEP = SBME + SCKF D K C Q H HD: SPBC = SBMKC = SABCD. Bài 37. Cho đoạn thẳng AC = m. Lấy điểm B bất kì thuộc đoạn AC. Tia Bx AC. Trên tia Bx lần lượt lấy các D điểm D và E sao cho BD = BA và BE = BC. F a. Chứng minh rằng CD = AE và CD  AE. E N I b. Gọi M, N lần lượt là Trung điểm M của AE, CD. Gọi I là Trung điểm của MN. Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm I đến AC M' I' N' không đổi khi B di chuyển trên A B C Tam giác đồng dạng –Định lý Talet Page 11
12. Trung tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung đoạn AC. HD: a. ABE = DBC c. Tìm vị trí của điểm B trên đoạn b.II’ = . AC sao cho tổng diện tích 2 tam c. SABE + SBCD = AB.BC Vị trí của B trên AC. giác ABE và BCD có giá trị lớn nhất . Tìm giá trị lớn nhất này theo m Bài 38. Cho hình vuông ABCD.Trên A M B cạnh AB lấy M.Vẽ BH vuông góc với CM.Nối DH. H Vẽ HN DH. Chứng minh : a. DHC ∽ NHB N b. AM.NB = NC.MB D C HD: a.DHC = NHB ;HCD = NBH b. MB = NB AM = CN Bài 39. Cho hình bình hành ABCD . Q A H B P Gọi M,N là Trung điểm của BC,AD, Gọi K là điểm nằm giữa C và D. Gọi G P,Q theo thứ tự là các điểm đổi xứng N I M của K qua tâm M và N. a. Chứng minh rằng Q,P,A,B thẳng hàng. D K C b. Gọi G là giao điểm của PN và HD: a. BP//DC ; QA//DC QM. Chứng minh rằng GK luôn b. G là trọng tâm KPQ Hlà trung điểm PQ đi qua điểm I cố định khi K thay I là trung điểm MN I cố định đổi trên đoạn CD Bài 40. Cho tam giác ABC vuông tại D B A. Về phía ngoài của tam giác ta vẽ các hình vuông ABDE và ACGH. K a. Chứng minh rằng BCHE là hình A C thang cân. E b. Kẻ đường cao AK của tam giác I O ABC. Chứng minh rằng các Q đường thẳng AK, DE, GH đồng H G quy P HD: b. P là giao điểm DE vàGH ; O là giao điểm HE và AK; EQ  AK; HI  AK. EQ = AK = HI O là trung điểm EH B Bài 41. .Cho tứ giác ABCD. Đường C thẳng qua A song song với BC, Q cắt BD tại P và đường thẳng qua B song song với AD cắt AC tại Q.Chứng minh PQ//CD A P D HD: AC cắt BD tại O. Tam giác đồng dạng –Định lý Talet Page 12
13. Trung tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung = ; = .Nhân theo vế 2 tỉ lệ thức trên ta được đpcm. Bài 42. Cho tam giác ABC . Trên B cạnh BC,CN lần lượt lấy các điểm M,N,P. lần lượt đặt diện tích các P tam giác ANP,MBP,MNC,ABC, là S1,S2,S3,S. S1 AN.AP a. Chứng minh: M S AC.AB A K 1 3 H N b. Chứng minh: S1.S2.S3 S C 64 HD:a. = ; = . AC = 5,05 cm b.Đặt = a; = b; = c. mAOB = 29,96 m AC = a(1-a)b(1-b)c(1-c) = 0,83 AC = 5,05 cm m BD BD = 6,07 cm Và: . Bài 43. Cho tứ giác ABCD có AC = B 10 cm, BD = 12 Chứng minh. Hai H đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, biết AOB = 300.Tính diện tích tứ giác ABCD O C A K D HD: AH = OA ; CK = OC. Bài 44. Cho tam giác ABC vuông tại B A có đường phân giác BD cắt đường cao AH tại I. a. Chứng minh tam giác ADI cân. b. Chứng minh AD.BD = BI.DC. c. Từ D kẻ DK  BC tại K. tứ giác H ADKI là hình gì? I K A D C Tam giác đồng dạng –Định lý Talet Page 13