Luyện tập sâu và có chủ đích - 5 chủ đề thi tuyển sinh và 50 đề thi thử vào Lớp 10 môn Toán - Lê Văn Hưng

Nội dung text: Luyện tập sâu và có chủ đích - 5 chủ đề thi tuyển sinh và 50 đề thi thử vào Lớp 10 môn Toán - Lê Văn Hưng

1. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội a + 2 b + 2 c + 2 a + b + c ≥ + + b + 2 c + 2 a + 2 . "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 119
2. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Dạng 1: Sử dụng biến đổi đại số. Phương pháp: • Thêm bớt hạng tử. • Nâng lên lũy thừa cả hai vế. • Phép nhân liên hợp. Từ đó các phép biến đổi đại số đó ta đi giải phương trình đơn giản hơn mà ta đã biết cách giải. Ví dụ: Giải phương trình s 1 2 r 2 1 1 a) x2 + x − − x2 − x + = (3x3 − x2 + 6x − 2) (1). 3 9 3 9 3 s 1 r 1 1 b) x2 − + x2 + x + = (2x3 + x2 + 2x + 1). 4 4 2 Hướng dẫn 1 a) Điều kiện: VP ≥ 0 ⇔ x ≥ . 3 v u s 2 u 1 2  1 1 (1) ⇔ tx2 + x − − x − = (3x − 1)(x2 + 2) 3 9 3 3 r 2 1 1 ⇔ x2 − x − = (3x − 1)(x2 + 2) 3 9 3 s  12 1 ⇔ x − = (3x − 1)(x2 + 2) 3 3 1 1 ⇔ x − = (3x − 1)(x2 + 2) 3 3 1 ⇔ x = . 3 1 Vậy S = . 3 Ví dụ: Giải phương trình √ √ a) 3x + 1 − 6 − x + 3x2 − 14x − 8 = 0 (*). √ b) 3 5x + 2 = x2 + 2. p √ p √ √ c) x + 2x − 5 − 2 + x − 3 2x − 5 + 2 = 2 2. Hướng dẫn 1 a) Điều kiện: − ≤ x ≤ 6. √ 3 √ (∗) ⇔ 3x + 1 − 4
   + 1 − 6 − x
   3x2 − 14x − 5 = 0  3 1  ⇔ (x − 5) √ + √ + (3x + 1) = 0 3x + 1 + 4 6 − x + 1 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 120
3. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội 1  3 1  Với − ≤ x ≤ 6 thì √ + √ + (3x + 1) > 0 3 3x + 1 + 4 6 − x + 1 Vậy S = {5}. Ví dụ: Giải phương trình √ √ a) 3 x2 − 1 + x = x3 − 2. √ b) x2 − 2x + 17 − 5|x − 1| = 4 ( ). Hướng dẫn b) (∗∗) ⇔ p(x − 1)2 + 16 − 5|x − 1| = 4 √ Sử dụng bất đẳng thức a2 + b2 ≤ |a| + |b| nên p(x − 1)2 + 16 − 5|x − 1| ≤ |x − 1| + 4 = 4 − |x − 1| Do đó 4 ≤ 4 − 4|x − 1| ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1 Vậy S = {1}. Dạng 2: Đặt ẩn phụ. Phương pháp: Đặt một ẩn, hai hoặc ba biểu thức phực tạp bằng ẩn mới (gọi là ẩn phụ) và giải phương trình thu được sau đó tìm nghiệm. Loại 1: Sử dụng một ẩn phụ Ví dụ: Giải phương trình √ √ √ a) x4 + x2 + 1 + 3(x2 + 1) = 3 3x. √ √ b) 2x2 + 1 − x + 2x 1 − x2 = 1. Hướng dẫn a) Với x = 0 không là nghiệm của phương trình trên. Với x 6= 0 ta chia hai vế của phương trình cho x ta được r 1 √  1  √ 1 x2 + + 1 + 3 x + = 3 3. Đặt t = x + ≥ 2 (cô si). x2 x x  √ √  t ≤ 3 Phương trình trở thành: t2 − 1 = 3(3 − t) ⇔ ⇔ t = 2 (thỏa mãn). t2 − 9t + 14 = 0 1 Với t = 2 ⇔ x + = 2 ⇔ x = 1. x Vậy S = {1}. Loại 2: Sử dụng hai ẩn phụ Ví dụ: Giải phương trình √ √ a) 4x2 + 5x + 1 − 2 x2 − x + 1 = 9x − 3. √ √ b) x2 + 3 + 10 − x2 = 5. Hướng dẫn "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 121
4. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội √  4x2 + 5x + 1 = a a) Đặt √ . Điều kiện: a > 0, b > 0.  2 x2 − x + 1 = b Phương trình trên trở thành: a − b = a2 − b2 ⇔ (a − b)(a + b − 1) = 0   a = b 4x2 + 5x + 1 = 4x2 − 4x + 1 ⇔  ⇔  √ √ a + b = 1 4x2 + 5x + 1 + 2 x2 − x + 1 = 1  1 x = ⇔  √ 3 √ 4x2 + 5x + 1 = 1 − 2 x2 − x + 1 vô nghiệm 1 Vậy S = . 3 Loại 3: Sử dụng cả ẩn phụ và ẩn chính để đưa về hệ phương trình đối xứng Ví dụ: Giải phương trình √ a) x3 + 1 = 2 2x + 1. √ b) x3 − 3 3 3x + 2 = 2. Hướng dẫn √ √ a) Phương trình ⇔ x3 + 2x = 2x − 1 + 2 3 2x − 1. Đặt t = 3 2x − 1. Ta được x3 + 2x = t3 + 2t ⇔ (x − t)(x2 + xt + t2) + 2(x − t) = 0 ⇔ (x − t)(x2 + xt + t2 + 2) = 0  t 2 3t2 Vì x2 + xt + t2 + 2 = x + + + 2 > 0. 2 4  x = 1  √  x = 1  −1 + 5 Nên x = t ⇔ (x − 1)(x2 + x − 1) = 0 ⇔  ⇔  x = . x2 + x − 1 = 0  2 √  −1 − 5 x = 2 ( √ √ ) −1 + 5 −1 − 5 Vậy S = 1; ; . 2 2 Loại 4: Sử dụng cả ẩn phụ và ẩn chính để đưa về phương trình bậc hai một ẩn Ví dụ: Giải phương trình √ a) 2x2 + 3x + 7 = (x + 5) 2x2 + 1 √ b) x2 + 3x + 5 = (x + 3) x2 + 5 √ √ c) x + 1 + 1
   x + 1 + 2x − 5
   = x. Hướng dẫn √ √ a) Phương trình 2x2 + 1 − (x + 5) 2x2 + 1 + 3x + 6 = 0. Đặt t = 2 x2 + 1 (t > 1). Phương trình trở thành: t2 − (x + 5)t + 3x + 6 = 0. ∆ = [−(x + 5)]2 − 4(3x + 6) = (x − 1)2 ≥ 0 ∀x. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 122
5. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội  t = 3 Do đó  . t = x + 2 Với t = 3 ⇔ x = ±2. p√ Với t = x + 2 ⇔ x = 2 ± 7. √ Vậy S = ±2; 2 ± 7 . Dạng 3: Đánh giá.   f(x) ≥ m f(x) = m Phương pháp: Phương trình f(x) = g(x) nếu luôn có ⇔ . g(x) ≤ m g(x) = m Ví dụ: Giải phương trình. √ √ 2 2 2 a) 3√x + 6x + 7 + 5x + 10x + 14 = 4 − 2x − x . 2 2 √ √ b) √ + x = x + 9. √x + 1 √ c) 13 x2 − x4 + 9 x2 + x4 = 16. Hướng dẫn a) Phương trình ⇔ p3(x + 1)2 + 4 + p5(x + 1)2 + 9 = 5 − (x + 1)2  VT ≥ 5 Ta có: ⇔ VT = VP = 5. VP ≤ 5 Dấu ” = ” xả ra ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = −1. ( √ ) 21 + 41 Vậy S = . 2 b) Điều kiện: x ≥ 0. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ax + by)2 ≤ (a2 + b2)(x2 + y2). a b Dấu ” = ” xảy ra khi = . x y √ !2 " √ # 2 2 √ √ 1  x 2 √ + x ≤ (2 2)2 + x + 1 + √ = x + 9. x + 1 x + 1 x + 1 √ 2 2 1 1 Dấu ” = ” xảy ra ⇔ √ = √ ⇔ x = . x + 1 x + 1 7 1 Vậy S = . 7 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 123
6. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội C. LUYỆN TẬP SÂU VÀ CÓ CHỦ ĐÍCH Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2018 - 2019) √ √ √ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 − x + 1 + x + 2 x Hướng dẫn Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 1. √ √ √ Với a, b ≥ 0 ta có: ( a + b)2 = a + 2 ab + b ≥ a + b √ √ √ ⇒ a + b ≥ a + b. Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi a = 0 hoặc b = 0. √ √ √ √ √ √ Áp dụng vào bài toán ta có: 1 − x + x ≥ 1 − x + x = 1, 1 + x + x ≥ 1 + 0 = 1 ⇒ P ≥ 1 + 1 = 2. Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi x = 0. Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 2 khi x = 0. Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2017 - 2018) Cho các số a, b, c thỏa mãn a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ 1 và ab + bc + ca = 9. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P = a2 + b2 + c2 Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có √ a2 + b2 ≥ 2 a2b2 = 2ab √ b2 + c2 ≥ 2 b2c2 = 2bc √ c2 + a2 ≥ 2 c2a2 = 2ca ⇒ 2(a2 + b2 + c2) ≥ 2(ab + bc + ca) ⇒ P ≥ 9  a2 = b2    b2 = c2 √ Vậy MinP = 9 ⇔ ⇔ a = b = c = 3. 2 2  c = a  ab + bc + ca = 9 Ta có a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ 1 nên   (a − 1)(b − 1) ≥ 0 ab − a − b + 1 ≥ 0   (b − 1)(c − 1) ≥ 0 ⇔ bc − b − c + 1 ≥ 0 ⇒ ab + bc + ca − 2(a + b + c) + 3 ≥ 0   (c − 1)(a − 1) ≥ 0 ca − c − a + 1 ≥ 0 ab + bc + ca + 3 ⇔ a + b + c ≤ ⇔ (a + b + c)2 ≤ 36 vì a + b + c ≥ 3 2 ⇔ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) ≤ 36 ⇔ a2 + b2 + c2 ≤ 36 − 2(ab + bc + ca) ⇔ P ≤ 18 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 124
7. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội  (a − 1)(b − 1) ≥ 0    a = b = 1, c = 4 (b − 1)(c − 1) ≥ 0  Vậy MaxP = 18 ⇔ ⇔ a = 4, b = c = 1 (c − 1)(a − 1) ≥ 0   a = c = 1, b = 4  a2 + b2 + c2 = 18 √ Vậy MinP = 9 ⇔ a = b = c = 3.  a = b = 1, c = 4  MaxP = 18 ⇔ a = 4, b = c = 1  a = c = 1, b = 4 Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2016 - 2017) √ √ Với các số thực x, y thỏa mãn x − x + 6 = y + 6 − y. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + y. Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2015 - 2016) ab Với các số thực a, b thỏa mãn a2 + b2 = 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = . a + b + 2 Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2014 - 2015) Với a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức √ √ √ Q = 2a + bc + 2b + ac + 2c + ab. Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2013 - 2014) 1 1 1 Với a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c + ab + bc + ca = 6abc. Chứng minh + + ≥ 3. a2 b2 c2 Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2012 - 2013) Với x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x ≥ 2y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 + y2 M = . xy Ví dụ: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  1 1 P = + p1 + x2y2. x y Hướng dẫn   r s  1 1 p 2 p 1 1 15 Ta có P = + 1 + x2y2 ≥ √ 1 + x2y2 = 2 + xy = 2 xy + + x y xy xy 16xy 16xy r1 15 ≥ 2 + (áp dụng Cô si) 2 4.(4xy) r1 15 ≥ 2 + vì (4xy ≤ (x + y)2) 2 4(x + y)2 r1 15 ≥ + vì (x + y ≤ 1) √ 2 4 = 17 √ 1 Vậy MinP = 17 ⇔ x = y = . 2 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 125
8. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Ví dụ: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x + 2y + 3z ≥ 20 3 9 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + y + z + + + . x 2y z Hướng dẫn 3 9 4 3 3 1 9 1 4 1 1 3  Ta có A = x + y + z + + + = x + + y + + z + + x + y + z x 2y z 4 x 2 2y 4 z 4 2 4 Áp dụng Cô si ta có: 3 3 +) x + ≥ 3 4 x 1 9 +) y + ≥ 3 2 2y 1 4 +) z + ≥ 2 4 z 1 1 3 Và x + y + z = (x + 2y + 3z) ≥ 5 4 2 4 Suy ra A ≥ 13 Vậy MinP = 13 ⇔ x = 2, y = 3, z = 4. Ví dụ: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = abc a b c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = + + . a2 + ab b2 + ac c2 + ab Hướng dẫn a b c Ta có A = + + a2 + ab b2 + ac c2 + ab 1 1 1 = + + bc ac ab a + b + c + a b c 1 1 1 ≤ √ + √ + √ 2 bc 2 ac 2 ba 1 ≤ 1 1 1 1 1 1 4 + + + + + b c a c b a 1 = 1 1 1 2 + + a b c a b c 2 2 2 Mà + + = 1 nên 2 ≥ + + bc ac ab a b c 1 P ≤ dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3. 2 1 Vậy MinP = ⇔ a = b = c = 3. 2 √ Ví dụ: Cho các số dương a, b thỏa mãn a + b ≤ 2 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 1 1 thức A = + . a b Hướng dẫn (a + b) 4 4 Ta có: (a + b)2 − 4ab = (a − b)2 ≥ 0 ⇒ (a + b)2 ≥ 4ab ⇔ ≥ ⇔ A ≥ ab (a + b) (a + b) "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 126
9. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội  √ 4 4 (a − b)2 = 0 √ Mà a + b ≤ 2 2 ⇒ ≥ √ . Dấu ” = ” xảy ra ⇔ √ ⇔ a = b = 2. (a + b) 2 2 a + b = 2 2 √ Vậy MinP = 2. √ √ Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 − x x + x + y − y + 1. Hướng dẫn Điều kiện: y ≥ 0. √ √ √ √ ( y − 1)2 3y y 3  y − 12 3 √ 12 2 2 Ta có: A = x2 − x( y − 1) + + − + = x − + y − + ≥ . 4 4 2 4 2 4 3 3 3  1 x = −  3 Dấu ” = ” xảy ra ⇔ 1 .  y =  9 2 Vậy MinP = . 3 Ví dụ: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh: ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca). Hướng dẫn Ta có (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ≥ 0 ⇔ 2 (a2 + b2 + c2) ≥ 2 (ab + bc + ca) ⇔ a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca (1) Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên ta có: a2 < a.(b + c) ⇒ a2 < ab + ac. Tương tự: b2 < ab + bc; c2 < ac + bc. Suy ra: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) (2) Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. √ Ví dụ: Giải phương trình: 10 x3 + 1 = 3(x2 + 2). Hướng dẫn √ √ Điều kiện: x ≥ −1 (1). Đặt a = x + 1 và b = x2 − x + 1, (a ≥ 0; b ≥ 0) (2) ⇒ a2 + b2 = x2 + 2. Khi đó phương trình đã cho trở thành: 10.ab = 3.(a2 + b2) ⇔ (a − 3b)(3a − b) = 0 √ √ • Nếu a = 3b thì từ (2) ⇒ x + 1 = 3 x2 − x + 1 phương trình này vô nghiệm.  √ √ √ x1 = 5 + 33 • Nếu b = 3a thì từ (2) ⇒ 3 x + 1 = x2 − x + 1 ⇔ x2 − 10x − 8 = 0 ⇔ √ thỏa mãn x2 = 5 − 33 (1).  √ x1 = 5 + 33 Vậy phương trình có hai nghiệm là: √ . x2 = 5 − 33  x3 + 1 = 2y Ví dụ: Giải hệ phương trình: . y3 + 1 = 2x "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 127
10. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Hướng dẫn Lấy phương trình trên trừ dưới. Ví dụ: Cho các số a, b, c ∈ [0; 1]. Chứng minh rằng: a + b2 + c3 − ab − bc − ca ≤ 1. Hướng dẫn Vì b, c ∈ [0; 1] ⇒ a2 ≤ b c3 ≤ c. Do đó a + b2 + c3 − ab − bc − ca ≤ a + b + c − ab − bc − ca (1) Mặt khác a + b2 + c3 − ab − bc − ca = (a − 1)(b − 1)(c − 1) − abc + 1 (2) Vì a, b, c ∈ [0; 1] nên a + b2 + c3 − ab − bc − ca = (a − 1)(b − 1)(c − 1) − abc + 1 ≤ 0; −abc ≤ 0 Do đó từ (2) ⇒ a + b2 + c3 − ab − bc − ca ≤ 1 (3) Từ (1) và (3) ⇒ a + b2 + c3 − ab − bc − ca ≤ 1 a + b 1 Ví dụ: Chứng minh rằng: ≥ với a, b là các số dương. pa(3a + b) + pb(3b + a) 2 √   Ví dụ: Cho hai số x, y thỏa mãn đẳng thức: x + x2 + 2011
    y + py2 + 2011 = 2011. Tính: x + y. Ví dụ: Cho x > 0, y > 0 và x + y ≥ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 6 8 3x + 2y + + . x y   x + a + b + c = 7 Ví dụ: Các số thực x, a, b, c thay đổi thỏa mãn hệ . Tìm giá trị x2 + a2 + b2 + c2 = 13 lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x. √ Ví dụ: Tìm x, y thoả mãn 5x − 2 x(2 + y) + y2 + 1 = 0. a b c Ví dụ: Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng: 1 < + + < 2. a + b b + c c + a Ví dụ: Cho x, y là hai số thực thoả mãn: (x + y)2 + 7(x + y) + y2 + 10 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + y + 1. x4 + 2x2 + 2 Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = . x2 + 1 Ví dụ: Tìm m để phương trình ẩn x sau đây có ba nghiệm phân biệt: x3 − 2mx2 + (m2 + 1)x − m = 0. Ví dụ: Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = abc. Tìm giá trị lớn a b c nhất của biểu thức P = + + . a2 + bc b2 + ca c2 + ab Ví dụ: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c ≥ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất a3 + b3 b3 + c3 c3 + a3 của biểu thức M = + + . a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 Hướng dẫn a3 + b3 a3 b3 a(a2 + b2) − ab2 b(a2 + b2) − ba2 ab2 ba2 Ta có = + = + = a + b − − . a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 Áp dụng cô si. b a a + b b3 + c3 b + c c3 + a3 c + a 2(a + b + c) ≥ a + b − − = . Tương tự ≥ ; ≥ ⇒ M ≥ = 6. 2 2 2 b2 + c2 2 c2 + a2 2 2 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 128
11. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Dấu ” = ” xảy ra khi a = b = c = 2. Ví dụ: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = a + b + c + ab + bc + ca. Hướng dẫn  2 2 a + b ≥ 2ab  Cách 1: Ta có b2 + c2 ≥ 2bc ⇒ a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca = 3.  c2 + a2 ≥ 2ca √ √ √ √ Mặt khác a + b + c ≤ 12 + 12 + 12. a2 + b2 + c2 = 3 3 = 3.   a = b = c  Vậy A ≤ 3 + 3 = 6. Dấu ” = ” xảy ra ⇔ a2 + b2 + c2 = 3 ⇔ a = b = c = 1.  1 1 1  = =  a b c Vậy giá trị lớn nhất của A = 6 ⇔ a = b = c = 1. Cách 2: a2 + b2 + c2 = 3 ⇔ (a + b + c)2 − 2(ab + bc + ca) = 3. t2 − 3 Đặt t = a + b + c, |t| ≤ 3 ⇒ ab + bc + ca = . 2 t2 − 3 1 1 1 ⇒ A = t + = (t + 1)2 − 2, |t| ≤ 3 ⇔ |t| + 1 ≤ 4 ⇔ (t + 1)2 ≤ 8 ⇔ (t + 1)2 − 2 ≤ 6. 2 2 2 2 Vậy giá trị lớn nhất của A = 6 ⇔ a = b = c = 1. Ví dụ: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị lớn nhất √ √ √ và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3a + 1 + 3b + 1 + 3c + 1. Hướng dẫn √ 1 1 4 + 3a + 1 3a + 5 • Áp dụng bất đẳng thức cô - si 3a + 1 = p4(3a + 1) ≤ . = . 2 2 2 4 √ 3b + 5 √ 3c + 5 Tương tự: 3b + 1 ≥ , 3c + 1 ≥ . 4 4 3(a + b + c) + 15 Do đó A = = 6. 4 Vậy Amin = 6 ⇔ a = b = c = 1. • Không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b ≥ c. Do a + b + c = 3 nên a ≥ 1. √ √ Ta có 3b + 1 + 3c + 1
    = 3a + 3b + 2 + 2p(3b + 1)(3c + 1) ≥ 3(3 − a) + 4 = 13 − 3a do đó b, c ≥ 0. √ √ Khi đó A ≥ 3a + 1 + 13 − 3a ⇒ A2 ≥ 14 + 2p(3a + 1)(13 − 3a). Ta chứng minh được (3a + 1)(13 − 3a) ≥ 40 với 1 ≤ a ≤ 3. √ √ ⇒ A2 ≥ 14 + 4 10 ⇒ A ≥ 2 + 10. Dấu ” = ” xảy ra ⇔ a = 3, b = c = 0. √ Vậy Amax = 2 + 10 ⇔ a = 3, b = c = 0. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 129
12. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội BỘ 10 ĐỀ DO Ths: LÊ VĂN HƯNG BIÊN SOẠN - 2018 ĐỀ 1: Ths: LÊ VĂN HƯNG - 2018 Bài I (2, 0 điểm). √ √ √  x − 1 x + 1 2x + 4 x − 5  2  Cho biểu thức A = √ + √ − : 1 − √ x + 1 x − 1 x − 1 x − 1 1) Tìm điều kiện xác định của A và rút gọn A. √ 2) Tìm giá trị của x biết A = 1 − x. 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Trong một phòng họp có một số ghế dài. Nếu xếp mỗi ghế 5 người thì 9 người không có chỗ. Nếu xếp ghế 6 người thì thừa 1 ghế. Hỏi trong phòng học có bao nhiêu ghế và có bao nhiêu người dự họp. Bài III (2, 0 điểm).  √ |x + 2020| + 2 x + y + 2019 = 3 1) Giải hệ phương trình √ . 5|x + 2020| − x + y + 2019 = 4 1 2 2) Cho parabol (P ): y = 2 x và đường thẳng (d): y = mx + 2. a) Chứng minh (P ) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của tham số m. b) Giả sử (P ) và (d) cắt nhau tại hai điểm A(x1; y1) và B(x2; y2). Tìm m thỏa mãn biểu thức 2 2 x1 + x2 + y1 + y2 = 4. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O; R) đường kính AB vuông góc với dây cung CD tại H (HB < R). Gọi M là điểm bất kì nằm trên cung nhỏ AC, tia AM cắt đường thẳng CD tại N, MB cắt CD tại E. 1) Chứng minh rằng các tứ giác AMEH và MNBH là các tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh: MN.NA = NC.ND = NE.NH. 3) Nối BN cắt (O) tại K (K 6= B). Đường thẳng KH cắt (O) tại điểm thứ hai là F . Chứng minh ba điểm A, E, K thẳng hàng và ∆AMF cân. 4) Gọi Q là trung điểm của MA, I là hình chiếu của Q trên MC. Chứng minh rằng khi M di động trên cung nhỏ AC thì I luôn thuộc một đường tròn cố định. 5 Bài VI (0, 5 điểm). Cho a, b là các số thực và a + b + ab = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 P = a2 + b2. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 130
13. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ 2: Ths: LÊ VĂN HƯNG - 2018 Bài I (2, 0 điểm). √ √ √ x x x + 4 −x − 2 x − 7 Cho biểu thức A = √ − √ + và B = √ với x ≥ 0, x 6= 4. x + 2 x − 2 x − 4 x + 2 1) Tính giá trị của B tại |x − 10| = |2x − 14|. 2) Rút gọn biểu thức A. A 3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = . B Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Hai học sinh lớp 9A và 9B có tổng cộng 94 học sinh, biết rằng 25% số học sinh 9A và 20% số học sinh lớp 9B đạt loại giỏi. Tổng số học sinh giỏi của hai lớp là 21. Tính số học sinh của mỗi lớp. Bài III (2, 0 điểm).  1 2  + = 3 x − y x + y 1) Giải hệ phương trình 1 2 .  − = 4 x − y x + y 2) Cho parabol (P ): y = −x2 và đường thẳng (d): y = (m − 1)x − 2. a) Tìm giá trị của tham số m để d và (P ) tiếp xúc nhau. b) Tìm các giá trị của m để (P ) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung. Bài IV (3, 5 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp (O) đường kính AB (AC 0, b > 0, c > 0 và ab + bc + ca = 3. Tìm giá trị giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b c P = + + . 1 + 2b3 1 + 2c3 1 + 2a3 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 131
14. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ 3: Ths: LÊ VĂN HƯNG - 2018 Bài I (2, 0 điểm). √ √ √ x − 5 x 25 − x x + 3 x − 5 Cho biểu thức A = −1 và B = √ − √ + √ với x ≥ 0, x 6= 9, x 6= 25. x − 25 x + 2 x − 15 x + 5 x − 3 p √ 1) Tính giá trị của A tại x = 6 + 4 2. 2) Rút gọn biểu thức P = A : B. 3) Tìm giá trị của x để biểu thức P có giá trị là một số nguyên. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Hai học sinh lớp 9A và 9B có tổng cộng 94 học sinh, biết rằng 25% số học sinh 9A và 20% số học sinh lớp 9B đạt loại giỏi. Tổng số học sinh giỏi của hai lớp là 21. Tính số học sinh của mỗi lớp. Bài III (2, 0 điểm).  √ √  −x − 2y = 3 1) Giải hệ phương trình √ √ .  2x + 2y = − 6 2) Cho parabol (P ): y = x2 và đường thẳng (d): y = (2m − 6)x − m + 13. a) Tìm giá trị của tham số m để d và (P ) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt. b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của d và (P ). Tìm giá trị lớn 2 2 nhất của biểu thức P = x1x2 − x1 − x2 + 2. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không có điểm chung sao cho khoảng cách từ O đến d không quá 2R. Qua điểm M trên d, vẽ các tiếp tuyến MA, MB tới (O) với A, B là các tiếp điểm. Gọi H là hình chiếu vuông góc của (O) trên d. Vẽ dây AB cắt OH ở K và cắt OM tại I. Tia OM cắt (O) tại E. 1) Chứng minh rằng 4 điểm M, A, O, B thuộc một đường tròn. 2) Chứng minh: OK.OH = OI.OM. 3) Tìm vị trí điểm M trên d để OAEB là hình thoi. 4) Khi M di chuyển trên d, chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định. Bài VI (0, 5 điểm). Cho các số thực a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a b c 3 P = + + ≤ . 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c 4 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 132
15. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 4: Ths: Lê Văn Hưng - 2018 Bài I (2, 0 điểm). 3 1 1 1) Cho biểu thức A = + √ với x ≥ 0, x 6= 1. Tìm các giá trị của x để A = . x − 1 x + 1 2 1 2) Đặt B = A : √ . Tìm x để B < 0. x + 1 x + 12 3) Cho biết C = √ . Tìm giá trị nhỏ nhất của C. ( x − 1)2 Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một đội xe vận tải phải vận chuyển 28 tấn hàng đến một địa điểm quy định. Vì trong đội có 2 xe phải điều đi làm việc khác nên mỗi xe phải chở thêm 0, 7 tấn hàng nữa. Tính số xe của đội lúc đầu. Bài III (2, 0 điểm).   x + 2y = 5 1) Cho hệ phương trình . Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mx + y = 4 mãn x = |y|. 2) Cho phương trình x2 − 2mx + m2 − 1 = 0. a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 đối nhau. x1 x2 b) Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình. Tìm các giá trị của m để + = 2. x2 x1 Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O) và một dây BC cố định. Lấy điểm A ở chính giữa cung BC nhỏ và điểm M trên cung BC lớn sao cho MC ≥ MB. Đường MA cắt tiếp tuyến qua C của (O) và BC lần lượt tại Q, I. Đường MB cắt CA tại P . 1) Chứng minh tứ giác P QCM nội tiếp và PQ song song với BC. 1 1 1 2) Tiếp tuyến tại A cắt tiếp tuyến tại C ở N. Chứng minh: + = . CI CQ CN 3) Chứng minh: MB.MC = IB.IC + IM 2. 4) Khi điểm M di động và thỏa mãn giả thiết đề bài, hãy tìm vị trí của M để bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MBI có độ dài lớn nhất. Bài V (0, 5 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 P = + + . a3 b3 c3 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 133
16. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 5: Ths: Lê Văn Hưng - 2018 Bài I (2.0 điểm). √ √ √ 3x + 2 2 x x  2 x − 1  Cho biểu thức A = − √ + √ : √ − 1 với x ≥ 0, x 6= 4. x − 4 x + 2 2 − x x − 2 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tính giá trị của biểu thức khi |x − 18| = x. 3) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A đạt giá trị nguyên. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Hai bến sông A và B cách nhau 40 km. Cùng một lúc chiếc ca nô xuôi dòng từ A đến B và một chiếc bè cũng trôi từ A đến B với vận tốc 3 km/h. Sau khi đến B, ca nô qua ngay về A ngay và gặp chiếc bè ở một địa điểm cách B là 32 km. Tính vận tốc của ca nô. Bài III (2,0 điểm).  (x − 3)(2y + 5) = (2x + 7)(y − 1) 1) Giải hệ phương trình . (4x + 1)(3y − 6) = (6x − 1)(2y + 3) 2) Cho phương trình parabol (P ) y = x2 và đường thẳng d: y = mx − m + 1. a) Chứng minh phương trình có 2 nghiệm với mọi giá trị của m. b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất biểu 2x1x2 + 3 thức T = 2 2 . x1 + x2 + 2(x1x2 + 1) Bài IV (3.5 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Điểm C di động trên nửa đường tròn (C khác A và B). Qua C vẽ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Gọi E, F là hình chiếu của A, B xuống d và H là chân vuông góc hạ từ C xuống AB. a) Chứng minh tứ giác ABCO nội tiếp và AC là phân giác của góc EAH\. b) Chứng minh AC//HF . c) Chứng minh (AE + BF ) không đổi khi C di động trên nửa đường tròn tâm O. d) Tìm vị trí của C trên nửa đường tròn tâm O để tích AE.BF đạt giá trị lớn nhất. Bài V (0.5 điểm). Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn a3 + b3 + 6ab ≤ 8. Chứng minh rằng: 2 3 P = a = 2b + + ≥ 8. a b "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 134
17. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 6: Ths: Lê Văn Hưng - 2018 Bài I (2.0 điểm). √ √  4 x 8x   x − 1 2  Cho biểu thức A = √ + : √ − √ với x > 0, x 6= 4, x 6= 9. x + 2 4 − x x √− 2 x x 1) Tính giá trị của biểu thức A tại x = 5 − 2 6. 2) Hãy so sánh A với 1. 3) Tìm giá trị của x để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Người ta cần chở một số lượng hàng. Nếu xếp vào mỗi xe 15 tấn thì còn thừa lại 5 tấn, nếu xếp vào mỗi xe 17 tấn thì còn có thể chở thêm 9 tấn nữa. Hỏi có bao nhiêu xe tham gia chở hàng. Bài III (2.0 điểm).  √ 1 2 x − √ = 1  y 1) Giải hệ phương trình √ 2 . 2 x + √ = 5  y 2) Cho phương trình parabol (P ) y = x2 và đường thẳng d đi qua điểm M(0; −1) có hệ số góc là k. a) Viết phương trình đường thẳng d và chứng minh với mọi giá trị của k thì d luôn cắt (P ) tại hai điểm phân biệt A, B. b) Gọi hoành độ A, B lần lượt là x1, x2. Chứng minh rằng |x1 − x2| ≥ 2. Bài IV (3.5 điểm). Cho ∆ABC có ba góc không tù nội tiếp đường tròn (O; R). Kẻ đường cao AK cắt đường tròn tại F , đường cao BI cắt đường tròn tại E. a) Chứng minh các điểm A, I, K, B cùng thuộc một đường tròn và CE = CF . b) Chứng minh BC là trung trực của HF . 1 c) Gọi J là trung điểm của BC. Chứng minh OJ = AH. 2 d) Kẻ đường cao CD. Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp ∆AEF . Bài V (0.5 điểm). Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn ab = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 3 6 P = + + . a b 2a + 3b "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 135
18. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 7: Ths: Lê Văn Hưng - 2018 Bài I (2.0 điểm). √ √ √ 15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3 Cho biểu thức A = √ + √ − √ với x ≥ 0, x 6= 1. x + 2 x − 3 1 − x 3 + x 1) Rút gọn A. 1 2) Tìm x để A = . 2 3) Tìm x để A nhận giá trị nguyên. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Trong một buổi liên hoan văn nghệ, một lớp có 26 khách mời đến giao lưu. Vì lớp đã có 40 học sinh nên phải kê thêm một dãy ghế nữa và mỗi dãy xếp thêm hai chỗ ngồi. Biết mỗi dãy đều có số người ngồi như nhau và ngồi không quá năm người. Hỏi lớp học lúc đầu có bao nhiêu dãy ghế? Bài III (2,0 điểm).  x + y = 2 1) Giải hệ phương trình . x2 − 2y = 4 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(1; 2) và đường thẳng d: y = −3x + 1. a) Viết phương trình đường thẳng d0 đi qua M và song song với d. b) Cho parabol (P ): y = mx2 (m 6= 0). Tìm các giá trị của tham số m để d và (P ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B cùng nằm phía đối với trục tung. Bài IV (3.5 điểm). Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB lấy điểm C nằm giữa O và B. Lấy điểm D trên đường tròn tâm O sao cho AD = BC. kẻ CH vuông góc với AD (H thuộc AD) tia phân giác của DAB cắt đường tròn tâm O tại E (E khác A) và cắt CH tại F . DF cắt (O) tại điểm N khác D. 1) CH song song với BD. 2) Tứ giác AF CN nội tiếp. 3) Ba điểm N, C, E thẳng hàng. 4) Kẻ CK song song với AD (K thuộc DN). Chứng minh tứ giác ADCK là hình bình hành kẻ CK song song với AD (K thuộc DN). Chứng minh tứ giác ADCK là hình bình hành. Bài V (0.5 điểm). √ √ Cho a và b là hai số thực thỏa mãn a + 1 − b3 = b + 1 − a3. Chứng minh rằng: P = a2 − ab + b2 + 2a + 2018. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 136
19. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 8: Ths: Lê Văn Hưng - 2018 Bài I (2.0 điểm). √ √ √  x + 2 x − 2 x + 1 Cho hai biểu thức A = x + 2018 và B = √ − . √ với x > 0, x 6= 1. x + 2 x + 1 x − 1 x 1) Rút gọn B. 2) Tìm x để B > 0. 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = A + B. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Hai trường A và trường B có 420 học sinh thi đỗ vào lớp 10, đạt tỉ lệ 84%. Riêng trường A có tỉ lệ đỗ là 80%, riêng trường B có tỉ lệ đỗ là 90%. Tính số học sinh dự thi của mỗi trường. Bài III (2.0 điểm).  4 1  − = 1 x + y x − y 1) Giải hệ phương trình 6 3 .  + = 6 x + y x − y 1 2) Cho phương trình parabol (P ) y = − x2 và đường thẳng d: y = mx − 2m − 1. 4 a) Tìm giá trị của tham số m sao cho d tiếp xúc với (P ). b) Chứng tỏ d luôn luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P ). Bài IV (3.5 điểm). Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Đường cao BE kéo dài cắt đường tròn (O) tại điểm K Kẻ KD vuông góc với BC tại D. 1) Chứng minh 4 điểm K, E, D, C cùng thuộc một đường tròn. 2) Chứng minh KB là phân giác của góc AKD. 3) DE kéo dài cắt AB tại I. Chứng minh KI⊥AB. 4) Đường thẳng qua E vuông góc với OA cắt AB tại H. Chứng minh CH//KI. Bài V(0.5 điểm). Cho a ≥ 2017 và b ≥ 2018. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: √ √ a − 2017 b − 2018 P = + . a + 1 b + 2 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 137
20. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 9: Ths: Lê Văn Hưng - 2018 Bài I (2.0 điểm). √ √ √ √ x x + 1 2 x 2 + 5 x Cho hai biểu thức A = √ và B = √ + √ + với x ≥ 0, x 6= 4 x − 2 √ x − 2 x + 2 4 − x 1) Tính giá trị của A tại x = 4 − 2 3. 2) Rút gon B. 3) Tìm giá trị của x để biểu thức P = A : B có giá trị nguyên. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Trong tháng đầu, hai tổ sản xuất được 400 sản phẩm. Tháng sau do cải tiến kỹ thuật nên tổ I 20 sản xuất vượt mức 10%, tổ II sản xuất vượt mức %, do đó tổng sản phẩm tháng sau của hai tổ 3 tăng thêm 35 sản phẩm so với tháng trước. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm. Bài III (2.0 điểm).  √ √ 3 x − 2 + 2 y + 1 = 13 1) Giải hệ phương trình √ √ . 2 x − 2 − y + 1 = 4 1 2) Cho phương trình parabol (P ) y = x2 và đường thẳng d: y = −mx + 2. 2 a) Chứng minh d và (P ) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. b) Tìm m để AB nhỏ nhất. Tính diện tích ∆AOB với mọi m vừa tìm được. Bài IV (3.5 điểm). Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R. Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B. Trên cung AB lấy điểm M tùy ý (M khac A và B), tia AM cắt d tại N. Gọi C là trung điểm của AM, tia CO cắt d tại D. 1) Chứng minh rằng tứ giác OBNC nội tiếp. 2) Chứng minh rằng NO⊥AD. 3) Chứng minh rằng CA.CN = CO.CD. 4) Xác định vị trí điểm M để (2AM + AN) đạt giá trị nhỏ nhất. Bài V (0.5 điểm). Cho x > 0, y > 0, c > 0 và xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 P = + + . x2 + 2y2 + 3 y2 + 2z2 + 3 z2 + 2x2 + 3 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 138
21. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 10: Ths: Lê Văn Hưng - 2018 Bài I (2.0 điểm). √ √  x − 2 x + 2  (1 − x)2 Cho biểu thức A = − √ . với x ≥ 0, x 6= 1. x − 1 x + 2 x + 1 2 √ 1) Chứng minh rằng A = −x + x. 2) Tìm giá trị của x để A > 0. 3) Tìm giá trị lớn nhất của A. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 1 giờ 20 phút đầy bể. Nếu để vòi I chảy một mình trong 10 phút rồi khóa lại, tiếp tục mở vòi II chảy trong 12 phút thì cả hai vòi chảy 2 được bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể. 15 Bài III (2.0 điểm).  3 1  − = 4 x − 1 y + 2 1) Giải hệ phương trình 2 1 .  − = 1 x − 1 y + 2 2) Cho phương trình parabol (P ) y = x2 và đường thẳng d: y = 2mx − 2m + 3. a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, thì đường thẳng d luôn cắt (P ) tại hai điểm phân biệt. b) Gọi y1, y2 là tung độ các giao điểm của d và (P ). Tìm các giá trị của tham số m để y1 +y2 0, b > 0 và x + y ≥ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3x2 + 4 2 + y2 P = + . 4x y2 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 139
22. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội LUYỆN BỘ ĐỀ GỒM 30 ĐỀ CỦA THẦY "LÊ ĐỨC THUẬN" CHỦ BIÊN ĐỀ SỐ 1 Bài I (2, 0 điểm). √ √ √ √ 2 x x + 1 3 − 11 x x − 3 Cho biểu thức A = √ + √ + và B = √ với x ≥ 0; x 6= 9. x + 3 x − 3 9 − x x + 1 2 2 1) Tính giá trị của B khi x = √ − √ . 2 − 1 2 + 1 2) Rút gọn biểu thức A. 3) Tìm số nguyên x để P = A.B là số nguyên. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một đội công nhân theo kế hoạch phải trồng 75 héc ta rừng trong một số tuần lễ. Do mỗi tuần trồng vượt mức 5 héc ta so với kế hoạch nên đã trồng được 80 héc ta và hoàn thành sớm hơn 1 tuần. Hỏi theo kế hoạch mỗi tuần đội công nhân đó trồng bao nhiêu héc ta rừng? Bài III (2, 0 điểm).  8 1  + = 5 x − 3 2|y| − 3 1) Giải hệ phương trình 4 1  + = 3 x − 3 2|y| − 3 2). Cho parapol x2 − 2(m + 1)x + 2m + 1 = 0. a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc m. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh √ huyền bằng 5. Bài IV (3, 5 điểm). Cho điểm C nằm trên nửa đường tròn (O; R), đường kính AB sao cho cung AC lớn hơn cung BC (C 6= B). Đường thẳng vuông góc với đường kính AB tại O cắt dây AC tại D. 1) Chứng minh tứ giác BCDO nội tiếp một đường tròn. 2) Chứng minh AD.AC = AO.AB. 3) Tiếp tuyến tại C của đường tròn cắt đường thẳng đi qua D và song song với AB tại điểm E. Tứ giác OEDA là hình gì?. 4) Gọi H là hình chiếu của C trên AB. Hãy tìm vị trí điểm C để HD⊥AC. Bài V (0, 5 điểm). Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x2 + y2 = 1. Tìm giá trị nhỏ 1 1 nhất của biểu thức P = x + + y + . x y "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 140
23. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 2 Bài I (2, 0 điểm). √ √ √ 2 x − 9 x + 3 2 x + 1 Cho biểu thức A = √ − √ − √ với x ≥ 0; x 6= 4; x 6= 9. x − 5 x + 6 x − 2 3 − x 1) Rút gọn A. 2) Tìm x để A 0 và x1 = 2x2. Bài IV (3, 5 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC[ = 600, M là điểm tùy ý trên cạnh AC. Vẽ đường tròn tâm O đường kính MC cắt BC tại E. Đường thẳng BM cắt (O) tại N, AN cắt (O) tại D. Lấy I đối xứng với M qua A. Lấy K đối xứng với M qua E. 1) Chứng minh tứ giác BANC nội tiếp. 2) Chứng minh CA là tia phân giác của góc BCD. 3) Tìm vị trí của M trên AC để MBKC là hình thoi. 4) Tìm vị trí điểm M để đường tròn ngoại tiếp tam giác BIK có bán kính nhỏ nhất. Bài V (0, 5 điểm). Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b ≤ c. Tìm giá trị nhỏ nhất  1 1 1  của biểu thức P = (a2 + b2 + c2) + + . a2 b2 c2 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 141
24. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 3 Bài I (2, 0 điểm). √ 1 x − x + 3 x + 2 Cho biểu thức A = √ − √ và B = √ với x ≥ 0; x 6= 1. x − 1 x x − 1 x + x + 1 √ ! √ ! 5 + 5 5 − 5 1) Tính giá trị của B khi x = 1 − √ √ − 1 . 1 + 5 1 − 5 2) Rút gọn A. A 3) Cho biết P = . Tìm x để P ≤ 1. 1 − B Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Cho một số có hai chữ số. Biết rằng tổng của chữ số hàng chục và hai lần chữ số hàng đươn vị là 12. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì sẽ được một số mới lớn hơn số ban đầu 27 đơn vị. Tìm số ban đầu. Bài III (2, 0 điểm). √ 1) Giải phương trình 2x − 5 + 3 2x − 1 = 0 2). Cho đường thẳng d: y = mx + m + 1 và parabol (P ): y = x2. Tìm các giá trị của m để d cắt (P ) tại hai điểm có hoành độ là x1, x2 thỏa mãn điều kiện. a) |x1 − x2| = 4; b) |x1| + |x2| = 4. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O; R) và một đường thẳng d không đi qua O, cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Từ một điểm C ở ngoài đường tròn (C ∈ d và CB < CA), kẻ hai tiếp tuyến CM và CN với đường tròn (M thuộc cung nhỏ AB). Gọi H là trung điểm của AB, OH cắt CN tại K. 1) Chứng minh KN.KC = KH.KO. 2) Chứng minh năm điểm M, H, O, N, C cùng thuộc một đường tròn. 3) Đoạn thẳng CO cắt (O) tại I. Chứng minh điểm I cách đều các đường thẳng CM, CN, MN. 4) Một đường thẳng đi qua O và song song với MN cắt CM và CN lần lượt tại E và F . Xác định vị trí điểm C trên d sao cho diện tích tam giác CEF nhỏ nhất. Bài V (0, 5 điểm). Cho ba số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện a + 2b ≤ 8. Tìm giá trị nhỏ nhất 4 9 của biểu thức P = 2a + 3b + + . a b "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 142
25. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 4 Bài I (2, 0 điểm). √ √ √  x − 1 x + 1  x x Cho biểu thức A = − √ : với x > 0; x 6= 4. x − 4 x + 4 x + 4 (4 − x)2 1) Rút gọn A. √ 2) Tính giá trị của A tại x = 4 + 2 3. 1 3) Tìm x để A ≥ . 4 Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 90 m. Nếu giảm chiều rộng đi 4 m và giảm chiều dài đi 20% thì chu vi mảnh đất giảm đi 18 m. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu. Bài III (2, 0 điểm).  √ √ 3 3x − 2 − 2 1 − y = 4 1) Giải hệ phương trình √ √ .  2 3x − 2 + 1 − y = 5 2). Cho phương trình x2 − 2x − 2m = 0. 2 2 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn (1 + x1) (1 + x2) = 5. 1 1 b) Khi phương trình có hai nghiệm x1, x2 viết phương trình bậc hai nhận và làm x1 + 1 x2 + 1 nghiệm. Bài IV (3, 5 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O, đường cao AI và BN cắt nhau tại H, CH cắt AB tại M. 1) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp. 2) Chứng minh điểm H cách đều các đường thẳng NM, NI. 0 2 3) Chứng minh MN = BC.cosBAC[ . Cho biết BAC[ = 45 , S∆ABC = 100 cm . tính diện tích tam giác ANM. 4) Gọi E là trung điểm BC, AE cắt OH tại G. Cho B, C cố định và A di chuyển trên cung lớn BC, hỏi G di chuyển trên đường nào? Bài V (0, 5 điểm). Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện 2a + b ≤ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất 3 2 của biểu thức P = 16a2 + 2b2 + + . a b "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 143
26. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 5 Bài I (2, 0 điểm). √ √ √ 2 x x + 9 x x + 5 x Cho biểu thức A = √ − và B = với x ≥ 0; x 6= 9; x 6= 25. x − 3 x − 9 x − 25 1) Rút gọn các biểu thức A và B. A 2) Với x 6= 0, đặt P = . Hãy so sánh P với 1. B 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của P . Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Theo kế hoạch hai tổ sản xuất phải làm được 900 chi tiết máy trong một thời gian quy định. Do cải tiến kĩ thuật nên tổ một vượt mức 15%, tổ hai vượt mức 10% so với kế hoạch. Vì vậy hai tổ sản xuất được 1010 chi tiết máy. Hỏi theo kế hoạch mỗi tổ sản xuất phải làm bao nhiêu chi tiết máy? Bài III (2, 0 điểm).   x − my = 2 1) Cho hệ phương trình . Chứng minh hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) mx + 2y = 1 với mọi tham số m. Tìm m để nghiệm (x; y) thỏa mãn 3x + 2y ≥ 0. 2) Cho đường thẳng d: y = mx − m + 1 và parabol (P ): y = x2. a) Chứng minh d và (P ) luôn có điểm chung với mọi m. Với giá trị nào của m thì d và (P ) tiếp xúc nhau? Khi đó tìm tọa độ tiếp điểm. b) Gọi x1, x2 là hoành độ các giao điểm của d và (P ). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 2x1x2 + 3 của biểu thức A = 2 2 . x1 + x2 + 2x1x2 + 2 Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O; R) đường kình AB cố định. Điểm I nằm giữa A và O. Dây CD vuông góc với AB tại I. Gọi M là điểm tùy ý thuộc cung lớn CD (M không trùng với C, D và B). Dây AM cắt CD tại K. 1) Chứng minh tứ giác IKMB nội tiếp. 2) Chứng minh AD2 = AK.AM. 3) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm E ngoại tiếp tam giác CKM. 4) Xác định vị trí của điểm M sao cho độ dài DE là nhỏ nhất. Bài V (0, 5 điểm). Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện 2xy − 4 = x + y. Tìm giá trị nhỏ nhất 1 1 của biểu thức P = xy + + . x2 y2 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 144
27. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 6 Bài I (2, 0 điểm). √  1 1  a − 2 Cho biểu thức A = √ + √ . √ với a > 0; a 6= 4. a + 2 a − 2 a 1) Rút gọn các biểu thức A. 1 2) Tìm a để A > . 3 9 3) Tìm tất cả các giá trị thực của a để B = A. 2 Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Tính chu vi của một hình chữ nhật, biết rằng nếu tăng mỗi chiều của hình chữ nhật thêm 4 m thì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 80 m2. Nếu giảm chiều rộng 2 m và tăng chiều dài 5 m thì diện tích hình chữ nhật bằng diện tích ban đầu. Bài III (2, 0 điểm). √ 1) Giải phương trình 4x − 3 5x − 1 + 1 = 0. 1 2) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d): y = 2x − m + 1 và parabol (P ): y = x2. 2 a) (d) đi qua điểm A(−1; 3). Vẽ (d) và (P ) ứng với giá trị vừa tìm được của m. b) (d) cắt (P ) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1) và (x2; y2) sao cho x1x2 (y1 + y2) + 48 = 0. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O; R) và một điểm A sao cho OA = R. Qua A kẻ hai tiếp tuyến AP và AQ của (O) (P , Q là các tiếp điểm). Lấy M thuộc (O) sao cho PQ song song với AQ. Gọi N là giao điểm thứ hai của đường thẳng AM và (O). Tia PN cắt đường thẳng AQ tại K. 1) Chứng minh tứ giác AP OQ nội tiếp. 2) Chứng minh KA2 = KN.KP . 3) Kẻ đường kính QS của (O). Chứng minh tia NS là tia phân giác của góc PNM. 4) Gọi G là giao điểm của hai đường thẳng AO và PK. Tính độ dài đoạn thẳng AG theo R. Bài V (0, 5 điểm). Cho hai số dương a, b thỏa mãn điều kiện ab + 4 ≤ 2b. Tìm giá trị lớn nhất của ab biểu thức P = . a2 + 2b2 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 145
28. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 7 Bài I (2, 0 điểm). √ 2 x 1 Cho biểu thức A = √ và B = + √ với x ≥ 0; x 6= 4. x − 2 x − 4 x − 2 1 1 1) Tìm x biết rằng A = √ + √ . 3 + 2 3 − 2 A 2) Rút gọn các biểu thức B. Tính P = . √ √ B√ √ 3)Tìm x thỏa mãn P ( x + 1) − x + 2 x − 1 = 2x − 2 2x + 4. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hạng chục lớn hơn hàng đơn vị là 2, nếu viết xen chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì số đó tăng thêm 630 đơn vị. Bài III (2, 0 điểm). 1) Cho phương trình x4 − 2mx2 + (m2 − 1) = 0. a) Giải phương trình khi m = 3. b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt. 1 2) Cho đường thẳng (d): y = x − m + 1 và parabol (P ): y = x2. Tìm m để (d) cắt (P ) tại hai điểm 2 phân biệt A(x1; y1), B(x2; y2) sao cho y1 + y2 = 4 (x1 + x2) và một trong hai giao điểm có hoành độ lớn hơn 1. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn tâm O, điểm M cố định ngoài (O), kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là tiếp điểm). Trên cung nhỏ AB lấy điểm N và từ N kẻ tiếp tuyến với (O) cắt MA, MB lần lượt tại E và F . 1) Chứng minh tứ giác AONE nội tiếp. 2) Chứng minh chu vi tam giác MEF và độ lớn góc EOF không phụ thuộc vị trí điểm N. EF 3) Gọi I, K lần lượt là giao điểm của OE và OF với AB. Cho AOB[ = 1200, tính tỉ số . IK 4) Đường thẳng qua O vuông góc với OM cắt MA, MB lần lượt tại C và D. Tìm vị trí điểm N để (EC + FD) có độ dài nhỏ nhất. Bài V (0, 5 điểm). Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ a b c nhất của biểu thức P = + + . 1 + 9b2 1 + 9c2 1 + 9a2 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 146
29. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 8 Bài I (2, 0 điểm). √ √ √ 1 − x 15 − x 2  x + 1 Cho biểu thức A = √ và B = + √ : √ với x ≥ 0; x 6= 25. 1 + x √x − 25 x + 5 x − 5 1) Tính giá trị của A khi x = 6 − 2 5. 2) Rút gọn các biểu thức B. 3) Tìm x để phương trình A − B = x có nghiệm. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Trên quãng đường AB, hai ô tô khởi hành cùng một thời điểm từ hai bến A và B đi ngược chiều nhau. Hai xe gặp nhau sau 3 giờ. Biết rằng sau khi gặp nhau, mỗi xe tiếp tục đi hết quãng đường còn lại. Xe khởi hành từ A đến B muộn hơn xe khởi hành từ B đến A là 2 giờ 30 phút. Hỏi mỗi xe đi quãng đường AB hết mấy giờ? Bài III (2, 0 điểm).   x(y + 3) + 2y = xy + 33 1) Giải hệ phương trình . (x + 1)(y − 2) = xy − 10 2) Cho phương trình x2 − mx − 4 = 0. a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 (x1 + x2) + 7 A = 2 2 . x1 + x2 Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O; R) và một điểm A cố định thỏa mãn OA = 2R. Một đường kính BC quay quanh O sao cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng OA ở P (khác A). Đường thẳng AB, AC cắt (O) ở điểm thứ hai là D và E. Nối DE cắt OA ở K. Chứng minh. 1) Các tam giác OP B, AOC đồng dạng và bốn điểm P , E, C, K cùng nằm trên một đường tròn. 2) AK.AP = AE.AC. 3) Đường thẳng DE đi qua một điểm cố định. 4) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE đi qua điểm cố định F từ đó suy ra vị trí của CB để diện tích tứ giác ABP C lớn nhất. Bài V (0, 5 điểm). Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện a2 + b2 ≤ 16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = apb (a + 8b) + bp(b + 8a). "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 147
30. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 9 Bài I (2, 0 điểm). √ √ √  2 x x + 1 9 x + 6  1 Cho biểu thức A = 1 − √ + : √ − 3 với x ≥ 0; x 6= . 3 x + 1 9x − 1 3 x + 1 9 1) Rút gọn các biểu thức A. 6 2) Tìm x để A = . 5 3) Với m > 1, chứng tỏ có hai giá trị của x sao cho A = m. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu chảy một mình để đầy bể thì vòi I cần nhiều thời gian hơn vòi II là 5 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy bao lâu thì đầy bể. Bài III (2, 0 điểm). 2 2 1) Cho phương trình x − 2mx + (m − m) = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho 3x + 2x = 6. 1 2  2x + my = 1 2) Cho hệ phương trình . mx + 2y = 1 a) Tìm số nguyên m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y là các số nguyên. b) Chứng minh rằng khi hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y), điểm M(x; y) luôn luôn nằm trên một đường thẳng cố định. Bài IV (3, 5 điểm). Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O (C nằm giữa M và D), OM cắt AB và O lần lượt tại H và I. 1) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp và đường tròn này đi qua trung điểm E của CD. 2) Chứng minh OH.OM + MC.MD = R2. 3) Chứng minh CI là phân giác góc MCH. 4) Cho các điểm M, C, D cố định, (O) thay đổi nhưng luôn qua C, D. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OHE luôn qua một điểm cố định. Bài V (0, 5 điểm). Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1. √ √ √ Chứng minh a2 + 1 + b2 + 1 + c2 + 1 ≤ 2 (a + b + c). "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 148
31. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 10 Bài I (2, 0 điểm). √ x − 1 1 p √ p √  1) Cho biểu thức A = √ với x ≥ 0. Tính giá trị của A khi x = 6 + 4 2 + 6 − 4 2 . √x + 1 2 x + 3 5 4 2) Cho biểu thức B = √ − √ + với x ≥ 0, x 6= 1. Rút gọn B. x + 1 1 − x x − 1 3) Tìm các số hữu tỉ x để P = A.B có giá trị nguyên. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Trong hội trường có một số ghế băng, mỗi ghế băng quy định số người ngồi như nhau. Nếu bớt 2 ghế băng và mỗi ghế băng ngồi thêm 1 người thì thêm được 8 chỗ. Nếu thêm 3 ghế băng và mỗi ghế ngồi rút đi 1 người thì giảm 8 chỗ. Tính số ghế băng trong hội trường. Bài III (2, 0 điểm). 1) Cho phương trình x2 − 2mx + 2(m − 2) = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.  (m − 1)x + y = 2 2) Cho hệ phương trình .  mx + y = m + 1 a) Chứng minh với mọi giá trị của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn 2x + y ≤ 3. b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn x + y = −4. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O) đường kính AB, Ax, By là hai tiếp tuyến của (O) tại các tiếp điểm A, B. Lấy điểm M bất kì trên nửa đường tròn (M thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa các tia Ax, By), tiếp tuyến M của (O) cắt Ax, By lần lượt tại C và D. 1) Chứng minh tứ giác AOMC nội tiếp. √ 2) Với BD = R 3 hãy tính AM. 3) Nối OC cắt AM tại E, OD cắt BM tại F , kẻ MN⊥AB (N ∈ AB). Chứng minh đường tròn ngoai tiếp tam giác NEF luôn đi qua một điểm cố định. 4) Tìm vị trí điểm M trên nửa đường tròn để bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEF D có độ dài nhỏ nhất. a + b 1 Bài V (0, 5 điểm). Cho a, b là các số dương. Chứng minh ≥ . pa(3a + b) + pb(3b + a) 2 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 149
32. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 11 Bài I (2, 0 điểm). 3 1 1 1) Cho biểu thức A = + √ với x ≥ 0, x 6= 1. Tìm các giá trị của x để A = . x − 1 x + 1 2 1 2) Đặt B = A : √ . Tìm x để B < 0. x + 1 x + 12 3) Cho biết C = √ . Tìm giá trị nhỏ nhất của C. ( x − 1) .B Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Hai anh Hưng và Hiếu góp vốn cùng kinh doanh. Anh Hưng góp 13 triệu đồng, anh Hiếu góp 15 triệu đồng. Sau một thời gian kinh doanh lãi được 7 triệu đồng (lãi chia theo tỷ lệ góp vốn). Tính số tiền lãi mà mỗi anh được hưởng. Bài III (2, 0 điểm).   x + 2y = 5 1) Cho hệ phương trình . Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mx + y = 4 mãn x = |y|. 2) Cho phương trình x2 − 2mx + m2 − 1 = 0. a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho x1 = 3x2. 1 1 b) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là và . x1 x2 Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O) và một dây BC cố định. Lấy điểm A ở chính giữa cung BC nhỏ và điểm M trên cung BC lớn sao cho MC ≥ MB. Đường MA cắt tiếp tuyến qua C của (O) và BC lần lượt tại Q, I. Đường MB cắt CA tại P . 1) Chứng minh tứ giác P QCM nội tiếp và PQ song song với BC. 1 1 1 2) Tiếp tuyến tại A cắt tiếp tuyến tại C ở N. Chứng minh: + = . CI CQ CN 3) Chứng minh: MB.MC = IB.IC + IM 2. 4) Khi điểm M di động và thỏa mãn giả thiết đề bài, hãy tìm vị trí của M để bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MBI có độ dài lớn nhất. Bài V (0, 5 điểm). Cho các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu a b c thức P = √ + √ + √ . a + bc b + ca c + ab "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 150
33. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 12 Bài I (2, 0 điểm). √ x + 2 x 1 1) Cho biểu thức A = √ + √ + √ với x ≥ 0, x 6= 1. Rút gọn A. x√ x − 1 x + x + 1 1 − x x − 1 A 2) Cho biểu thức B = . Hãy tìm P = . 2 B 1 √ 3) Tìm giá trị của m để > m + x nghiệm đúng ∀x > 1. P Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 12 giờ đầy bể. Người ta mở cả hai vòi trong 4 giờ rồi khóa vòi II lại và để vòi I chảy tiếp 14 giờ nữa thì mới đầy bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì bao lâu mới đầy bể. Bài III (2, 0 điểm).  8 4  √ + = 9  x2 + 1 py2 + 7 1) Giải hệ phương trình 1 1 3 . √ − =  x2 + 1 py2 + 7 4 2) Cho đường thẳng (d): y = (m − 3)x + m − 2. a) Tìm m để khoảng cách từ điểm I(−1; 0) đến (d) là lớn nhất. 2 2 b) Tìm m để d cắt (P ): y = x tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn x1 = 4x2. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O) có dây AB cố định và , C là điểm di động trên cung lớn AB. Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ AC và AB. Gọi I là giao điểm của BM và CN. Dây MN cắt AC và AB lần lượt tại H và K. 1) Chứng minh tứ giác BNKI nội tiếp. 2) Chứng minh NM.NH = NC.NI. 3) Giả sử AI cắt (O) tại E, NE cắt CB tại F . Chứng minh ba điểm H, I, F thẳng hàng. 4) Xác định vị trí điểm C để chu vi tứ giác AIBN lớn nhất. Bài V (0, 5 điểm). Cho các số thực x, y không âm và thỏa mãn điều kiện x2 + y2 ≤ 2. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = px(29x + 3y) + py(29y + 3x). "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 151
34. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 13 Bài I (2, 0 điểm). √ x + 2 x 1 1 Cho biểu thức A = √ và B = + √ + √ với x > 0; x 6= 4. x x − 4 x − 2 x + 2 A 1) Rút gọn B và tính P = . B 2) Tìm x để B = |B|. √ √ 3) Tìm x thỏa mãn: xP ≤ 10 x − 29 − x − 25. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một ca nô xuôi dòng 45 km rồi ngược dòng 18 km. Biết vận tốc xuôi dòng lớn hơn vạn tốc ngược dòng là 6 km/giờ. Thời gian đi xuôi nhiều hơn thời gian đi ngược là 1 giờ. Tính vận tốc xuôi dòng và ngược dòng của ca nô biết rằng vận tốc ca nô đi ngược dòng lớn hơn 10 km/giờ. Bài III (2, 0 điểm). 1) Cho phương trình x2 − 2(m2 − m + 2)x + m2 = 0. 1 2) Cho đường thẳng d: y = −mx + với m 6= 0 và parabol (P ): y = x2. 2m2 a) Chứng minh d luôn cắt (P ) tại hai điểm phân biệt với mọi m 6= 0. b) Gọi A(x1; y1), B(x2; y2) là các giao điểm của d và (P ). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 M = y1 + y2. Bài IV (3, 5 điểm). Trên đường tròn (O; R) có đường kính AB, lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B (hai điểm M, E khác hai điểm A, B), AM cắt BE tại C, AE cắt MB tại D. 1) Chứng minh tứ giác MCED nội tiếp. 2) Chứng minh rằng khi M và E di động thì BE.BC + AM.AC không đổi. 3) Chứng minh các tiếp tuyến tại M và E của (O) cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng CD. 4) Cho biết BAM\ = 450 và BAE[ = 300. Tính diện tích tam giác ABC. 1 1 1 Bài V (0, 5 điểm). Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện + ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của a b 2 √ √ 1 biểu thức P = a + b − . a + b "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 152
35. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 14 Bài I (2, 0 điểm). √ x x + 2 x + 1 Cho biểu thức A = √ và B = √ với x ≥ 0. x − x + 1 √ x x + 1 2 − 1 1) Tính giá trị của A tại x = √ . 2 + 1 1 − A 2) Cho biết P = . Tìm x để (x − 1)P = −9. B 1 3) Tìm x để P > . 2 Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một ô tô và một xe máy đi từ A đến B cách nhau 120 km. Ô tô khởi hành sau xe máy 30 phút và đi với vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy là 24 km/giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết xe ô tô đến sớm hơn xe máy là 20 phút. Bài III (2, 0 điểm).   2|x + 1| − 5y = 3 1) Giải hệ phương trình 3 . |x + 1| + 2y = − 5 x2 2) Cho đường thẳng d: y = (m − 1)x − m + 2 và parabol (P ): y = . 2 a) Tìm điểm cố định mà d luôn đi qua với mọi m. 2 2 b) Tìm m để d cắt (P ) tại hai điểm có hoành độ x1, x2 sao cho A = x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O) và dây AB. Vẽ đường kính CD vuông góc với AB tại K (D thuộc cung nhỏ AB). Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC sao cho cung nhỏ MC nhở hơn cung MB. Dây DM cắt AB tại F . Tia CM cắt đường thẳng AB tại E. 1) Chứng minh tứ giác CKFM là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh KE.KF = KC.KD. 3) Tiếp tuyến tại M của (O) cắt AE tại I. Chứng minh IE = IF . FB KF 4) Chứng minh = . EB KA 3 Bài V (0, 5 điểm). Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c ≤ . Tìm giá trị nhỏ 2 1 1 1 nhất của biểu thức P = + + . a b c "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 153
36. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 15 Bài I (2, 0 điểm). √ √ 1 x x Với x > 0, cho biểu thức A = √ + √ và B = √ . x √x + 1 x + x 4 − 7 1) Tính giá trị của A tại x = . 2 1 2) Tìm x để B = . 3 3) Tính giá trị biểu thức P = A : B. Tìm x thỏa mãn: √  √  √ √ P x + 2 5 − 1 x = 3x − 2 x − 4 + 3 . Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Trong đợt tổng kết quý I hai tổ sản xuất đã làm được 630 sản phẩm đạt 63% theo kế hoạch. Riêng tổ I sản xuất đạt tỉ lệ 57% theo kế hoạch, tổ II sản xuất đạt tỉ lệ 67% theo kế hoạch. Hỏi theo kế hoạch quý I mỗi tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm. Bài III (2, 0 điểm). 1) Cho phương trình x4 − 2mx2 + (m2 − 1) = 0. Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt. 2) Cho đường thẳng d: y = 4x − 2 và parabol (P ): y = 2x2. a) Chứng minh d tiếp xúc với (P ) tại A(1; 2). b) Viết phương trình đường thẳng d0 có hệ số góc m đi qua A(1; 2). Chứng minh d0 luôn cắt (P ) tại hai điểm phân biệt với mọi m 6= 4 và tìm m để một trong hai giao điểm đó có hoành độ lớn hơn 3. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O; R) và đường kính AB. Dây MN vuông góc với AB tại H (H nằm giữa O và B). Trên tia đối NM lấy điểm C sao cho đoạn thẳng AC cắt (O) tại điểm K (K 6= A), hai dây MN và BK cắt nhau tại E. 1) Chứng minh tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp. 2) Kéo dài AE cắt (O) tại I. Chứng minh KAE\ = KBC\. 3) Chứng minh AE.AI + BE.BK = 4R2. 4) Giả sử KE = KC, Chứng minh OK//MN và KM 2 + KN 2 = 4R2. Bài V (0, 5 điểm). Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất 1 2 của biểu thức P = 4xy + + . x2 + y2 xy "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 154
37. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 16 Bài I (2, 0 điểm). √ √  1 2 x   x + x 1  Cho biểu thức A = √ − √ √ : √ √ + với x ≥ 0, x − 1 x x − x + x − 1 x x + x + x + 1 x + 1 x 6= 1. 1) Rút gọn A. 1 2) Tìm x để A 0, y > 0. 1 1 2) Cho hai đường thẳng d : y = x + m + và d : y = −2x − 6m + 5. 1 3 3 2 a) Chứng minh d1 và d2 luôn cắt nhau tại một điểm và điểm đó luôn chạy trên một đường thẳng cố định. 2 b) Tìm m để giao điểm M của d1 và d2 nằm trên parabol (P ): y = 9x . Bài IV (3, 5 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và I là điểm đối xứng với A qua O. Trên cạnh AB lấy điểm M và trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho BM = CN. 1) Chứng minh IM = IN và BI = CI. 2) Gọi E là giao điểm của MN và AI. Chứng minh EA.EI = EM.EN. 3) Gọi K là giao điểm của MN với BC. Chứng minh MK = NK. 4) Chứng tỏ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ANM nằm trên một đoạn thẳng cố định khi M chạy trên cạnh AB. Bài V (0, 5 điểm). Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất 1 1 của biểu thức P = a2 + b2 + + . a2 b2 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 155
38. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 17 Bài I (2, 0 điểm). √ √ x + 3 x 1 x + 2 Cho hai biểu thức A = + √ và B = √ với x ≥ 0, x 6= 25. x − 25 x +√ 5 x − 5 23(5 − 2) 1) Tính giá trị của B tại x = √ . 5 + 2 A 4 2) Rút gọn A và tìm x để = . B 7 A 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = . B Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Lớp 9A được phân công trồng 480 cây xanh. Lớp dự định chia đều cho số học sinh, nhưng khi lao động có 8 bạn vắng nên mỗi bạn có mặt phải trồng thêm 3 cây mới xong. Hỏi lớp 9A có bao nhiêu bạn học sinh. Bài III (2, 0 điểm). 1) Cho phương trình x3 + mx − (m + 1) = 0. Chứng minh phương trình luôn có nghiệm không phụ thuộc vào m. Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt, trong đó có đúng một nghiệm âm. 2 2) Cho đường thẳng d1: y = x + m và parabol (P ): y = x . a) Tìm các giá trị của m để d cắt (P ) tại hai điểm phân biệt. √ b) Khi d cắt (P ) tại hai điểm phân biệt A và B, tìm m để AB = 3 2. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O) có dây AB cố định và M là điểm di động trên cung lớn AB. Từ M vẽ MH vuông góc với AB. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên MA, MB. Qua M vẽ đường thẳng vuông góc với EF , đường này cắt AB tại D. 1) Chứng minh đường thẳng MD đi qua một điểm cố định. MA2 AH AD 2) Chứng minh = . . MB2 BD BH 3) Gọi I là điểm đối xứng của H qua AM và K là điểm đối xứng của H qua BM. Đường thẳng IK cắt HM, BM lần lượt tại B0, A0. Chứng minh 5 điểm M, B0, H, B, K cùng thuộc một đường tròn. 4) Chứng minh BB0, AA0 và MH đồng quy tại một điểm. Bài V (0, 5 điểm). Cho x > 0, y > 0 và thỏa mãn điều kiện x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của  1 2  12 biểu thức P = x + + y + . x y "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 156
39. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 18 Bài I (2, 0 điểm). √ 2 x 2 6 Cho hai biểu thức A = − √ và B = √ với x ≥ 0, x 6= 9. x − 9 x + 3 x − 3 x 1) Rút gọn A. √ 2 x + 1 B 2) Tìm x để A = với P = . 2 A 3) So sánh A và A2. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian quy định. Nếu tăng vận tốc thêm 10 km/giờ thì đến B sớm hơn quy định 2 giờ. Nếu giảm vận tốc 10 km/giờ thì đến B chậm hơn quy định 3 giờ. Tính quãng đường AB. Bài III (2, 0 điểm). √ 1) Cho phương trình 2x − 4 x + m = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.   mx − 2y = 2m 2) Cho hệ phương trình . −2x + y = m + 1 a) Giải và biện luận hệ phương trình đã cho. b) Khi hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y), tìm các giá trị nguyên của m để biểu thức x − y có giá trị là số nguyên. m + 2 Bài IV (3, 5 điểm). Cho góc xAyd = α (00 0, y > 0, z và thỏa mãn điều kiện x + y + x = − (xy + yz + zx). Tìm 4 giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + y2 + z2. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 157
40. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 19 Bài I (2, 0 điểm). √ √ √ 2 x x 3x + 3 x + 1 Cho biểu thức A = √ − √ − và B = √ với x ≥ 0, x 6= 9. x + 3 x − 3 √ x − 9 x − 3 1) Tính giá trị của Q tại x = 4 − 2 3. A 2) Rút gọn A và tính P = . B 4x + 7 3) Cho biểu thức Q = xP + √ . Tìm giá trị nhỏ nhất của Q x + 3 Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng độ dài mỗi cạnh của nó lên 1 cm thì diện tích của hình chữ nhật sẽ tăng thêm 13 cm2. Nếu giảm chiều dài đi 2 cm, chiều rộng đi 1 cm thì diện tích của hình chữ nhật sẽ giảm 15 cm2. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đã cho. Bài III (2, 0 điểm).   x + my = m + 1 1) Cho hệ phương trình . Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) mx + y = 3m − 1 sao cho tích của x và y có giá trị nhỏ nhất. 2) Cho đường thẳng d: y = (m − 1)x + m1 + 1 và parabol (P ): y = x2. a) Chứng minh d luôn cắt (P ) tại ha điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung. b) Gọi x1, x2 là hoành độ các giao điểm của d và (P ). Tìm các giá trị của tham số m biết rằng √ |x1| + |x2| = 2 2. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB, CD vuông góc nhau. Trên đoạn OB lấy điểm M (khác điểm O). Tiam CM cắt (O) tại điểm thứ hai N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến qua N của (O) tại điểm P . 1) Chứng minh tứ giác OMNP nội tiếp. 2) Chứng minh tứ giác CMPO là hình bình hành. 3) Chứng minh tích CM.CN không phụ thuộc vào trí điểm M. 4) Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp tam giác CND đi chuyển trên cung tròn cố định khi M di chuyển trên đoạn OB. √ √ √ Bài V (0, 5 điểm). Giải phương trình x(3 − 3x − 1) = 3x2 + 2x − 1 − x x + 1 + 1. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 158
41. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 20 Bài I (2, 0 điểm). √  x 1   1 2  Cho biểu thức A = √ − √ : √ + với x > 0, x 6= 1. x − 1 x − x x + 1 x − 1 1) Rút gọn A. 2) Tìm x để a < 2. 3) Chứng minh với mọi giá m 6= 0, luôn có một giá trị của x thỏa mãn A = m. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. 4 Cho một tam giác có chiều cao bằng cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3 m và cạnh đáy giảm 3 đi 2 m thì diện tích tam giác đó tăng thêm 9 m2. Tính độ dài cạnh đáy và chiều cao của tam giác đã cho. Bài III (2, 0 điểm). 1) Trong hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d: y = (x2 + 1)x + 2. Gọi A, B lần lượt là gaio điểm của d với Ox và Oy. 1 a) Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng . 2 b) Tìm m để khoảng cách từ O đến d là lớn nhất. 2 2 2) Cho phương trình x − 2mx + m − m + 3 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 sao 2 2 cho M = x1 + x2 có giá trị nhỏ nhất. Bài IV (3, 5 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp (O) đường kính AB (AB < AC). Trên dây CB lấy điểm H (khác C và B). AH cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D. Kẻ HQ vuông góc với AB (Q thuộc AB). Đường thẳng CQ cắt (O) tại F . 1) Chứng minh tứ giác ACHQ nội tiếp. 2) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của F trên AC, CB. Chứng minh MN, AB, DF đồng quy. 3) Giả sử (O) và AB cố định, C di động trên (O), điểm Q cố định và H luôn là giao điểm của đường vuông góc với AB tại Q với CB. Gọi E là giao điểm của đường AC và QH. Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE thuộc một đường cố định. 4) Tiếp tuyến tại C cắt đường thẳng HQ ở I, đường OI cắt CD ở K. Chứng minh OK.OI = R2 và CD luôn đi qua một điểm cố định. r 1 Bài V (0, 5 điểm). Giải phương trình 4x2 − 2x + = 4x3 − x2 + 8x − 2. 4 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 159
42. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 21 Bài I (2, 0 điểm). √ 1 1 x x + 3 Cho biểu thức A = √ + √ − và B = √ với x ≥ 0, x 6= 4. x − 2 x + 2 4 − x 2 − x 1) Rút gọn A. B 2) Cho biết A = 3. Tính giá trị của biểu thức P = . √ √ √ 2A√ 3) Tìm x để A ( x − 2) + 5 x = x + 4 + x + 16 + 9 − x. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Có một khu vườn hình chữ nhật, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh thêm 4 m thì diện tích khu vườn tăng 216 m2, còn nếu chiều rộng tăng thêm 2 m, chiều dài giảm đi 5 m thì diện tích sẽ giảm đi 50 m2. Tính độ dài các cạnh của khu vườn đó. Bài III (2, 0 điểm). 1 1 1) Cho đường thẳng d: y = −mx − m2 + m + 1 và parabol (P ): y = x2. 2 2 a) Tìm m để d cắt (P ) tại hai điểm có hoành độ x1, x2 sao cho |x1 − x2| = 5. b) Tìm m để d cắt (P ) tại hai điểm phân biệt nằm ở bên trái trục tung. 2) Cho phương trình x2 − (2m + 1)x + (m + 1) = 0. Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m. Tìm m để phương trình có một nghiệm không nhỏ hơn 2. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O; R) có dây BC cố định, điểm A di chuyển trên cung lớn BC. Gọi AD, BE, CF là các đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC, I là trung điểm của BC. 1) Chứng minh bốn điểm A, F , H, E cùng nằm trên một đường tròn và 4 điểm B, C, E, F cũng nằm trên một đường tròn. 2) Khi cung nhỏ BC có số đo bằng 900, tính độ dài dây cung BC và diện tích tam giác OBC. 3) Đường thẳng qua E và vuông góc với EI cắt BC tại P . Chứng minh PE2 = P B.P C. 4) Tìm vị trí của điểm A để tam giác AEH có diện tích nhỏ nhất. s r 1 1 1 Bài V (0, 5 điểm). Giải phương trình x2 + x2 + x + − = (2x3 + x2 + 2x + 1). 4 4 2 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 160
43. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 22 Bài I (2, 0 điểm). √ √ 3 + x x + 3 1  x Cho hai biểu thức A = √ và B = + √ : √ với x > 0, x 6= 9. x x − 9 x + 3 x − 3 36 36 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = √ − √ . 3 − 1 3 + 1 2) Rút gọn B. 3 3) Tìm x để A.B > . 2 Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Hai người thợ cung làm một công việc trong 15 giờ thì xong việc. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 3 giờ rồi người thứ hai làm một mình trong 5 giờ thì được 25% công việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc? Bài III (2, 0 điểm).   x + my = 1 1) Cho hệ phương trình . mx − y = −m a) Chứng minh hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m. b) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) sao cho x < 1 và y < 1. 2) Cho đường thẳng d: y = −mx + m + 1 và parabol (P ): y = x2. Tìm các giá tị của m để d cắt (P ) 2 2 tại hai điểm phân biệt có hoành đọ x1, x2 sao cho x1 + xx < 2. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi C là điểm chỉnh giữa cung AB. Điểm M thuộc cung AC. Hạ MH⊥AB tại H, AC cắt MH tại K, MB cắt AC tại E. Hạ EI⊥AB tại I. 1) Chứng minh BHKC và AMEI là các tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh AK.AC = AM 2 và AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tếp ∆MKC. 3) Cho R = 3cm. Tính giá trị của tổng AE.AC + BE.BM. 4) Chứng minh khi M chuyển động trên cung AC thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆IMC luôn thuộc một đường thẳng cố định. √ √ Bài V (0, 5 điểm). Giải phương trình x2 + 2x + 1 + x − 3 = 5x. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 161
44. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 23 Bài I (2, 0 điểm). √ √ √ 2 x 15 − x 1  x Cho hai biểu thức A = √ và B = + √ : √ với x ≥ 0, x 6= 25. 3 + x x − 25 x + 3 x − 3 p3 √ p3 √ 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 5 − 2. 5 + 2. 2) Rút gọn B. 3) Đặt P = A + B. Tìm x để P đạt giá trị nguyên. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một đội xe theo kế hoạch phải chuyển xong 200 tấn than trong một thời gian quy định, mỗi ngày chuyển được một khối lượng than như nhau. Nhờ được bổ sung thêm xe, thực tế mỗi ngày đội chuyển thêm được 5 tấn so với quy định mà còn chuyển vượt mức 25 tấn. Tính khối lượng than mà đội xe phải chuyển trong một ngày theo kế hoạch. Bài III (2, 0 điểm).  √ √ 2 x + 1 − 3 y − 2 = 5 1) Giải hệ phương trình √ √ . 4 x + 1 + y − 2 = 17 2) Cho phương trình x2 + (m + 2)x − m − 4 = 0 (với m là tham số). a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m. b) Tìm tất cả các giá trị của m để x1 < 0 ≤ x2. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O) với dây AB cố định khác đường kính, C là điểm thuộc cung lớn AB sao cho tam giác ABC nhọn. M và N lần lượt là điểm chính giữa cung nhỏ AB và cung nhỏ AC. Gọi I là giao điểm của BN và CM. Dây MN cắt AB và AC lần lượt tại H và K. 1) Chứng minh BMHI là các tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh MK.MN = MI.MC. 3) Chứng minh tam giác AKI cân tại K và tứ giác AHIK là hình thoi. 4) Chứng minh khi điểm C di động trên cung lớn AB và thỏa mãn điều kiện của đề bài, tổng hai bán kính của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác NAH và tam giác NBH có giá trị không đổi. √ 2 √ Bài V (0, 5 điểm). Giải phương trình x + 2 − 1
    = 3x − 8 x + 2 + 11. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 162
45. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 24 Bài I (2, 0 điểm). √ √ √ 1 − x 15 − x 2  x + 1 Cho hai biểu thức A = √ và B = + √ : √ với x ≥ 0, x 6= 25. 1 + x x − 25√ x + 5 x − 5 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 − 12. 2) Rút gọn B. 3) Đặt P = B − A. Tìm x để P nhận giá trị nguyên. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một công nhân phải làm xong 120 sản phẩm trong thời gian quy định. Sau khi làm được hai giờ với năng suất dự kiến, người đó đã cải tiến các thao tác kĩ thuật nên mỗi giờ làm thêm được 3 sản phẩm. Vì vậy, người đó đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn quy định 1 giờ 36 phút. Tính số sản phẩm người đó dự kiến làm trong mỗi giờ. Bài III (2, 0 điểm). 1) Cho phương trình x2 − 2x + m − 3 = 0 với m là tham số. a) Giải phương trình khi m = 3. b) Tìm giá trị của m đẻ phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện 2 x1 − 2x2 + x1x2 = −12. x2 2) Cho parabol (P ): y = và đường thẳng d đi qua điểm I (0; 2) có hệ số góc m. 2 a) Chứng minh d luôn cắt (P ) tại hai điểm phân biệt A, B. b) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên Ox. Chứng minh tam giác IHK vuông tại I. Bài IV (3, 5 điểm). Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi M là trung điểm của OA và lấy điểm N bất kì thuộc (O) (N không trùng với A và B). Đường thẳng đi qua N và vuông góc với MN cắt tiếp tuyến tại A và B của (O) lần lượt tại C và D. 1) Chứng minh CAMN là các tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh AC.BD có giá trị không phụ thuộc vào trí của điểm N. 3) Gọi giao điểm của AD và BC là K. Qua K kẻ đường thẳng song song với AC, đường thẳng này cắt AB và CD lần lượt tại E, F . Chứng minh KE = KF . 4) Xác định vị trí điểm N trên (O) sao cho diện tích tam giác CMD đạt giá trị nhỏ nhất. √ 2x2 + 4 Bài V (0, 5 điểm). Giải phương trình x3 + 1 = . 5 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 163
46. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 25 Bài I (2, 0 điểm). √ √ x − 1 x + 3 5 4 Cho hai biểu thức A = √ và B = √ − √ + với x ≥ 0, x 6= 1. x + 1 x + 1 1 − x x − 1 p √ p √ 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 6 − 4 2 + 6 + 4 2. 2) Rút gọn B. 3) Đặt P = A.B. Tìm x hữu tỉ để P có giá trị nguyên. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Nhà máy luyện thép hiện đã có sẵn hai loại thép chứa 10% cacbon và loại thép chứa 20% cacbon. Giả sử quá trình luyện thép các nguyên liệu được dùng không bị hao hụt, hãy tính khối lượng thép mỗi loại cần dùng để tạo ra 1.000 tấn thép chứa 16% cacbon từ hai loại thép trên. Bài III (2, 0 điểm).  mx + y = m + 1 1) Giải hệ phương trình . Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  x + my = 2m (x; y). Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc tham số m. 2) Cho phương trình x2 − mx − 4 = 0 (với m là tham số). a) Chứng minh với mọi giá trị của m, phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2. 2 2 b) Chứng minh (x1 + x2) + 16 (x1 + x2) + 56 ≥ 0 với mọi m. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O; R) với dây BC CB). Gọi E là giao điểm AM với (O), gọi K là giao điểm của OA với (O0) ngoại tiếp tam giác ABM. Gọi K là giao điểm của OA với CE. 1) Chứng minh BKHC là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh các tam giác AEK và AHM đồng dạng. 3) Chứng minh AO\0M có độ lớn không phụ thuộc vào vị trí điểm A. 4) Xác định vị trí A để AO + 4HO có giá trị nhỏ nhất. √ √ Bài V (0, 5 điểm). Giải phương trình x2 − x − 2 + x2 − 7x + 14 = 2. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 164
47. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 26 Bài I (2, 0 điểm). √ √ √ 7 x − 2 x + 3 x − 3 36 Cho hai biểu thức A = √ và B = √ − √ − với x ≥ 0, x 6= 9. 2 x + 1 x − 3 x + 3 x − 9 1) Rút gọn B. 2) Tìm x để A = B. 3) Tìm x để A nhận giá trị là số nguyên dương. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một mảnh vườn hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13 m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7 m. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó. Bài III (2, 0 điểm). 2 2 1) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là √ và √ . 3 + 2 3 − 2 2) Trên ệ trục tọa độ Oxy, cho parabol (P ): y = x2 và đường thẳng d: y = 2x + (m2 + 1) với m là tham số. √ a) Khi m = 3, chứng tỏ d cắt (P ) tại hai điểm phân biệt A, B. Từ đó tính diện tích tam giác OAB (với O là gốc tọa độ). b) Với giá trị nào của m thì d cắt (P ) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho khoảng cách từ M đến trục Oy gấp 2 lần khoảng cách từ N đến trục Oy. Bài IV (3, 5 điểm). Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Đường cao AD, BE cắt nhau tại H, kéo dài BE cắt đường tròn (O; R) tại F . 1) Chứng minh CDHE là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh tam giác AHF cân. 3) Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh ME là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE. √ 4) Cho BC cố định và BC = R 3. Xác định vị trí của A trên (O) để DH.DA lớn nhất. Bài V (0, 5 điểm). Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện √ √ x + 2 − y3 = y + 2 − x3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 + 2xy − 2y2 + 2y + 10. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 165
48. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 27 Bài I (2, 0 điểm). √ √ √ √ x x − 1 x + 2 10 − 5 x Cho hai biểu thức A = √ và B = √ + √ − √ với x ≥ 0, x 6= 4, x 6= 9. 1 + x x − 2 √3 − x x − 5 x + 6 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 3 − 2 2. 2) Rút gọn B. 3) Tìm giá trị nhỏ của biểu thức P = A : B. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Hai địa điểm A và B cách nhau 84 km. Một ô tô khi khởi hành từ A và đi thẳng đến B với vận tốc không đổi. Trên quãng đường từ B về A, vận tốc của ô tô tăng thêm 20 km/giờ. Tính vận tốc lúc đi của ô tô, biết tổng thời gian cả đi và về của ô tô đó là 3 giờ 30 phút. Bài III (2, 0 điểm). 3 1) Cho phương trình x − mx − 2(m − 4) = 0. Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 sao cho: 2 2 2 x1 + x2 + x3 + x1x2x3 = 25 . 2) Cho parabol (P ): y = x2 và đường thẳng d: y = mx + 2. a) Với m = −1 vẽ d và (P ) trên cùng một hệ trục tọa độ. Tìm tọa độ các giao điểm của (P ) và d. b) Tìm các giá trị của m để d cắt (P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho x1 − 2x2 = 5. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn. Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng d. Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn. Gọi H là hình chiếu của O lên đường thẳng d. 1) Chứng minh năm điểm M, A, O, B, H cùng thuộc một đường tròn. 2) Gọi K và I lần lượt là giao điểm của OH và OM với AB. Chứng minh OK.OH = OI.OM 3) Gọi E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB. Giả sử R = 64cm và AMB\ = 600, tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác MBA và diện tích viên giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ AB. 4) Tìm vị trí điểm M trên đường thẳng d để diện tích tam giác OIK đạt giá trị lớn nhất. Bài V (0, 5 điểm). Cho biết a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá lớn nhất của biểu thức A = a2 + b2 + c2. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 166
49. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 28 Bài I (2, 0 điểm). √ √ x x + 1 2x + 6 x + 7 1 Cho hai biểu thức A = √ và B = √ − √ với x ≥ 0. x + 2 x + 1 x x + 1 x + 1 1 p √ p √  1) Rút gọn A và tìm A khi x = 19 + 8 8 + 19 − 8 3 . 2 2) Rút gọn M = A.B. Tìm x để M > 2. 3) Tìm các số hữu tỉ x để M là số nguyên. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải làm một số sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nếu mỗi ngày họ làm được 5 sản phẩm so với dự định thì sẽ hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 4 ngày. Nếu mỗi ngày họ làm ít đi 5 sản phẩm so với dự định thì sẽ hoàn thành kế hoạch chậm hơn thời hạn 5 ngày. Tính thời gian và số sản phẩm phải làm theo kế hoạch. Bài III (2, 0 điểm).  2x + my = 1 1) Giải hệ phương trình . mx + 2y = 1 a) Chứng minh khi hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thì điểm M(x; y) luôn chạy trên một đường thẳng cố định. √ 2 b) Tìm m để điểm M thuộc đường tròn tâm O là gốc tọa độ và bán kính bằng . 2 2) Cho phương trình bậc hai x2 − 2mx + 2m − 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cung dương. Bài IV (3, 5 điểm). Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi D là trung điểm của BC. Lấy điểm M bất kỳ trên đoạn thẳng AD. KẺ MN vuông góc với AB tại N, MP vuông góc với AC tại P . Kẻ NH vuông góc với DP tại H. 1) Chứng minh các điểm A, N, M, H, P cùng nằm trên một đường tròn. 2) Chứng minh DM.DA = DH.DP . 3) Chứng minh ba điểm B, M, H thẳng hàng. 4) Tìm vị trí của điểm M để độ dài đoạn thẳng HN đạt giá trị√ lớn nhất. 2x + 3 2x − 1 + 1 Bài V (0, 5 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = √ . x + 2 2x − 1 + 1 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 167
50. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 29 Bài I (2, 0 điểm). √  2 1  x − 2 Cho hai biểu thức A = √ − √ : √ với x > 0, x 6= 4. x + 3 x x + 3 x 1) Rút gọn A. 2) Tìm x để A√= 3. x + 3 3) Đặt B = A.√ . Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên. x + 2 Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một người đi xe đạp từ điểm A đến địa điểm B cách nhau 30 km. Khi đi từ B về A, người đó chọn con đường khác dễ đi hơn nhưng dài hơn con đường cũ 6 km. Vì vận tốc lúc về lớn hơn vận tốc lúc đi là 3 km/giờ nên thời gian về vẫn ít hơn thời gian đi 20 phút. Tính vận tốc lúc đi. Bài III (2, 0 điểm). 1) Cho ba đường thẳng: 2 2 d1: y = x + 1, d2: y = 2x − 1, d3: y = (m + 1)x − m + m − 1. Tìm m để ba đường thẳng đồng quy. 2) Cho phương trình x2 − 2(m + 3)x + m2 + 3 = 0 (với m là tham số). a) Giải phương trình khi m = 3. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Khi đó, xét dấu của hai nghiệm. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O) có dây cung AB cố định. Gọi K là điểm chính giữa cung nhỏ AB kẻ đường kính IK cắt AB tại N. Lấy điểm M bất kì trên cung lớn AB, MK cắt AB tịa D. Hai đường thẳng IM và AB cắt nhau tại C. 1) Chứng minh MNKC là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh IM.IC = IN.KI. 3) Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng ID và CK, chứng minh E thuộc (O) và NC là phân giác của góc MNE. 4) Xác định vị trí của điểm M trên cung lớn AB để tích DM.DK đạt giá trị lớn. Bài V (0, 5 điểm). Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = abc và a2 = bc. Chứng √ minh a = 0 hoặc |a| ≥ 3. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 168
51. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 30 Bài I (2, 0 điểm). √ √ √ x − 1  2 x − 15 x + 1 Cho các biểu thức A = √ và B = √ + : √ với x ≥ 0, x 6= 25. x + 1 x − 5√ 25 − x x − 5 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 3 − 2 2. 2) Rút gọn B. 3) Đặt P = A + B. Tìm x để P đạt giá trị nguyên. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Hai địa điểm A và B cách nhau 120 km. Một ô tô khởi hành từ A và đi đến B với vận tốc không đổi. Trên quãng đường từ B về A, vận tốc của ô tô tăng thêm 20 km/giờ nên thời gian về rút ngắn hơn so với thời gian đi 18 phút. Hỏi vận tốc của ô tô lúc đi từ A đến B là bao nhiêu. Bài III (2, 0 điểm). √ 1) Giải phương trình 3x − 4 − 3x − 2 = 0. 1 2) Cho parabpl (P ): y = x2 và đường thẳng d: y = mx + 2. 2 1 a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P ) khi m = . 2 √ b) Chứng minh d luôn cắt (P ) tại hai điểm phân biệt với mọi m và |x1 − x2| ≥ 4 2 với x1, x2 là hoành độ các giao điểm. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O) và điểm M ở ngoài (O). Vẽ tiếp tuyến MA tới (O) (A là tiếp điểm). Gọi E là trung điểm đoạn AM và các điểm I, H theo thứ tự là hình chiếu của E và A xuống OM. Qua M vẽ cát tuyến MBC tới (O) (MA < MC và tia MC ở giữa hai tia MO, MA). 1) Chứng minh các tam giác MBH và MOC đồng giác. Từ đó suy ra tứ giác BCOH nội tiếp được. 2) Chứng minh AHB\ = AHC\. 3) Vẽ tiếp tuyến IK tới (O). Chứng minh tam giác MKH vuông. 4) Cho biết BC = BM và D trung điểm đoạn MC. Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ODH. 3 Bài V (0, 5 điểm). Cho các số x, y, z không âm và x + y + z ≤ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu 2 thức. √ M = px2 + 4xy + y2 + py2 + 4yz + z2 + z2 + 4zx + x2. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 169
52. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội MỘT SỐ ĐỀ ĐỀ THI THỬ NĂM 2018 ĐỀ 1: (TRƯỜNG THCS THỰC NGHIỆM - HÀ NỘI NĂM 2018) Bài I (2, 0 điểm). √ √ √ x x − 1 x x + 1 4 x − 1 Cho biểu thức P = √ + √ − √ và Q = √ với x > 0; x 6= 1. x − x x + x x x + 1 a) Tính giá trị của Q khi x = 25. b) Rút gọn biểu thức A = P.Q. √ c) Tìm các giá trị của x để A x 0. Bài IV (3, 5 điểm). Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tòn tâm O bán kính R. Đường cao AD, BE cắt nhau tại H. Kéo dài BE cắt đường tròn (O) tại F . a) Chứng minh tứ giác CHDE là tứ giác nội tiếp. b) Kéo dài AD cắt (O) tại N. Chứng minh ∆AHF cân và C là điểm chính giữa cung NF . c) Gọi M là trung điểm AB. Chứng minh ME là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆CDE. √ d) Cho điểm B, C cố định và BC = R 3. Hãy xác định vị trí điểm A trên (O; R) để DH.DA lớn nhất. Bài V (0, 5 điểm). Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 3. Tìm giá trị x y z lớn nhất của biểu thức P = √ + + √ . x2 + 3 py2 + 3 z2 + 3 Hướng dẫn Bài V (2, 0 điểm). Ta có s x x2 r x x 1  x x  √ = = ≤ + (áp dụng cô si ở mẫu). x2 + 3 (x + y)(x + z) (x + y) (x + z) 2 x + y x + z y 1  y y  Tương tự: ≤ + . py2 + 3 2 y + z z + y "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 170
53. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội z 1  z z  √ ≤ + . z2 + 3 2 y + z z + x 1  x x y y z z  1 3 ⇒ P ≤ + + + + + = .3 = 2 x + y x + z y + z z + y y + z z + x 2 2 Dấu ” = ” xảy ra ⇔ x = y = z = 1. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 171
54. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ 2: SƯU TẦM VÀ BIÊN SOẠN 2018 Bài I (2, 0 điểm). √ √ √ 3 x x 8 2 x + 3 Cho biểu thức P = √ + √ + và Q = 2 − √ với x ≥ 0; x 6= 4. x + 2 2 − x x − 4 x + 2 1) Tính giá trị của Q khi x = 100. 2) Rút gọn biểu thức A = P.Q. √ 3) Tìm các giá trị nhỏ nhất của A. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một nhóm gồm 15 học sinh (cả nam và nữ) tham gia buổi lao động trồng cây. Các bạn nam trồng được 30 cây, các bạn nữ trồng được 36 cây. Mỗi bạn nam trồng được số cây như nhau và mỗi bạn nữ trồng được số cây như nhau. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của nhóm, biết rằng mỗi bạn nam trồng được nhiều hơn mỗi bạn nữ 1 cây. Bài III (2, 0 điểm).  x 1 x2 + + = 3  y y2 1) Giải hệ phương trình x 1  x + + = 3  y y 1 1 2). Cho parapol (P ): y = mx − m2 + m + 1 và đường thẳng (d): y = x2. 2 2 a) Với m = 1, xác định tọa độ các giao điểm A, B của (d) và (P ). b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho |x1 − x2| = 2. Bài IV (3, 5 điểm). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn ( A, B là các tiếp điểm). Lấy điểm C trên cung nhỏ AC ( C không trùng với A và B ). Từ điểm C kẻ CD vuông góc với AB, CE vuông góc với MA, CF vuông góc với MB (D ∈ AB, E ∈ MA, F ∈ MB). Gọi I là giao điểm của AC và DE, K là giao điểm của BC và DF . Chứng minh rằng: 1) Tứ giác ADCE nội tiếp một đường tròn. 2) Hai tam giác CDE và CFD đồng dạng. 3) Tia đối của CD là tia phân giác của góc ECF[ . 4) Đường thẳng IK song song với đường thẳng AB. Bài V (0, 5 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị 1 1 1 1 nhỏ nhất của biểu thức P = + + + . a2 + b2 + c2 ab bc ca Hướng dẫn Bài II (2, 0 điểm). Gọi số học sinh nam là x (x ∈ N ∗; x < 15) ⇒ Số học sinh nữ là 15 − x. 30 36 Mỗi bạn nam trồng được (cây), mỗi bạn nữ trồng được (cây). x 15 − x "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 172
55. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội 30 36 Vì mỗi bạn nam trồng được nhiều hơn mỗi bạn nữ 1 cây nên ta có phương trình: − = 1. x 15 − x Giải phương trình được: x1 = 75 (loại); x2 = 6 (nhận). Vậy nhóm có 6 học sinh nam và 9 học sinh nữ. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 173
56. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ 3: TRƯỜNG THPT THĂNG LONG 2018 Bài I (2, 0 điểm). √ √ √ 2x − 3 x − 2 x3 − x + 2x − 2 Cho biểu thức A = √ và B = √ với x ≥ 0; x 6= 4. x − 2 √ x + 2 1) Tính giá trị của A khi x = 4 − 2 3. 2) Tính giá trị của x để B = A + 1. 3) Tìm các giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = B − A. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một khoảng thời gian xác định. Nếu chạy với vận tốc 35 km/giờ thì đến B chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/giờ thì đến B sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định lúc đi ban đầu. Bài III (2, 0 điểm).  x + 3 2y  + = 8  3 y − 2 1) Giải hệ phương trình x + 3 3y 2 + = 13  3 y − 2 1 5 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d ): y = −mx + m + 1 và (d ): y = x − 1 − 1 2 m m với m là tham số khác 0. a) Chứng minh rằng (d1) và (d2) luôn vuông góc với nhau với mọi giá trị của tham số m 6= 0. b) Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d1) luôn đi qua. Chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng luôn thuộc một đường cố định. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O) bán kính R. Điểm A thuộc đường tròn, BC là một đường kính (A 6= B, A 6= C). Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Gọi E, M lần lượt là trung điểm của AB, AH và P là giao điểm của OE với tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R). 1) Chứng minh rằng: AB2 = BH.BC. 2) Chứng minh: PB là tiếp tuyến của đường tròn (O). 3) Chứng minh ba điểm P , M, Q thẳng hàng. 4) Gọi Q là giao điểm của đường thẳng PA với tiếp tuyến tại C của đường tròn (O). Khi A thay đổi trên đường tròn (O). Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng OP + OQ. Bài V (0, 5 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x ≤ 1, y ≤ 1, z ≤ 1 và 3 x + y + z = . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P = x2 + y2 + z2. 2 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 174
57. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ 4: TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HÀ NỘI - Amsterdam 25/03/2018 Bài I (2, 0 điểm). √ √ x − 2 8x x − 1 8x x + 1 2x + 1 1 1 Cho biểu thức A = √ và B = √ − √ : với x > 0; x 6= ; x 6= . 2 + x 2x − x√ 2 x + x 2x − 1 2 4 √ 5 2 − 1 1) Chứng minh khi x = 3 + 2 2 thì A = . 7 2) Rút gọn biểu thức B. A x − 2 3) Tìm các giá trị của x để biểu thức = √ . B 4 x Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một phòng họp có 180 ghế và được chia thành các dãy có số ghế ở mỗi dãy đều bằng nhau. Nếu kê thêm cho mỗi dãy 5 ghế và bớt đi 3 dãy thì số ghế trong phòng không thay đổi. Hỏi ban đầu số ghế trong phòng họp được chia thành bao nhiêu dãy. Bài III (2, 0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P ): y = x2 và đường thẳng (d): y = (m − 2)x + 3 với m là tham số. 1) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (d) luôn cắt (P ) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung. 2) Gọi x1, x2 là hoành độ các giao điểm A, B của (d) và (P ) với x1 < 0 < x2. 2 2 Xét các điểm A(x1); x1), B(x2; x2), C(x1; 0), D(x2; 0). Tìm tất cả các giá trị của m để hai tam giác AOC và BOD có diện tích bằng nhau. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O) đường kính AB = R. Trên đoạn OA lấy điểm I (I 6= A và O). Từ I Vẽ tia Ix vuông góc với AB cắt (O; R) tại C. Lấy điểm E tùy ý trên cung nhỏ BC (E 6= B và C). Nối AE cắt CI tại F . Gọi D là giao điểm của tia BC với tiếp tuyến tại A của (O; R). 1) Chứng minh rằng: BEF I là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh: AE.AF = CB.CD. 3) Tia BE cắt tia CI tại K. Giả sử I và F lần lượt là trung điểm của AO và BC. Chứng minh ∆AIF ∼ ∆KIB từ đó tính độ dài đoạn IK theo R. 4) Khi I là trung điểm của OA và E chạy trên cung nhỏ BC. Tìm vị trí điểm E để biểu thức EB + EC đạt giá trị lớn nhất. Bài V (0, 5 điểm). Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ 1. Chứng minh: 1 1 1 4ab 4bc 4ca + + + + + ≥ 9. 2a − 1 2b − 1 2c − 1 1 + ab 1 + bc 1 + ca "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 175
58. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ 5: THPT Nguyễn Tất Thành - 2018 Bài I (2, 0 điểm). √ √ √ √  x   x + 3 x + 2 x + 2  Cho biểu thức A = 1 − √ : √ + √ + √ x + 1 x − 2 3 − x x − 5 x + 6 1) Tìm điều kiện xác định của A và rút gọn A. √ 18 2) Tìm giá trị của x biết A = x − . 5 Bài II (1, 0 điểm). Cho phương trình (m − 1)x2 − 2mx + m − 2 = 0 ẩn x. Tìm m để phương trình √ có một nghiệm x = − 2. Tìm nghiệm còn lại. Bài III (1, 0 điểm). Cho hàm số y = 2x2 có đồ thị (P ) và đường thẳng d có phương trình y = mx−1. Tìm m để (d) và (P ): 1) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt. 2) Tiếp xúc nhau. 3) Không có điểm chung nào. Bài IV (1,5 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Trong một phòng họp ghế được xếp theo hàng và số ghế mỗi hàng là bằng nhau. Nếu kê bớt đi hai hàng và mỗi hàng bớt đi hai ghế thì tổng số ghế trong phòng họp đó giảm đi 80 ghế so với ban đầu. Nếu xếp thêm một hàng và mỗi hàng xếp thêm hai ghế thì tổng số ghế trong phòng họp đó tăng thêm 68 ghế so với ban đầu. Tính số hàng ghế và số ghế trong phòng họp đó lúc ban đầu. Bài V (3, 5 điểm). CHo đường tròn (O; R). Qua điểm A cố định nằm ngoài đường tròn kẻ đường thẳng d vuông góc với OA. Từ điểm B bất kì trên đường thẳng d (B không trùng với A), kẻ các tiếp tuyến BA và BC với (O; R) (D, C là các tiếp điểm). Dây CD cắt OB tại N, cắt OA tại P . 1) Chứng minh rằng các tứ giác OCBD và BNP A là các tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh: OA.OP = OB.ON = R2. 3) Cho CBO\ = 300 và R = 6cm. Tính diện tích tứ giác BCOD và diện tích hình được giới hạn bởi cung nhỏ DC và dây DC. 4) Gọi E là giao điểm của đường thẳng AO với đường tròn (O) ((O) nằm giữa A và E). Khi B di chuyển trên đường thẳng d chứng minh trọng taam G của tam giác ACE thuộc một đường tròn cố định. Bài VI (1, 0 điểm). 1) Cho a, b, c là các số thực dương và a + b + c = 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức √ √ √ S = a2 + 4ab + b2 + b2 + 4bc + c2 + c2 + 4ca + a2. √ 2) Giải phương trình: 5 x3 + 8 = 2(x2 − x + 6). "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 176
59. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ 6: THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội - 2018 (Vòng 1 đợt 1) Bài I (3, 0 điểm). 1) Giải phương trình. √ √ x2 + 1 + x2 + x + 2 = 2x + 3x + 1. 2) Giải hệ phương trình.   x2 + 4y2 = 5 . 5x + 10y + 4x2y + 8y2x = 27 Bài II (3, 0 điểm). 1) Tìm tất cả các ước số nguyên dương phân biệt của số n = (420)4. 2) Với a, b, c > 0 và min(ab, bc, ca ≥ 1). Chứng minh rằng: ! ! ! a + b2 b + c2 c + a2 (1 + a2)(1 + b2)(1 + c2) ≤ 1 + 1 + 1 + . 2 2 2 Bài III (3, 0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O với BA > BC. Phân giác ngoài góc ABC cắt đường thẳng qua A song song với BC tại P . 1) Chứng minh AP = AB. 2) Tiếp tuyến qua A của (O) cắt PB tại Q. BP cắt (O) tại M khác B. Chứng minh rằng: MA2 = MQ.MP . 3) Gọi R đối xứng với Q qua AC. Chứng minh góc AP[ R = CPB\. Bài IV (1, 0 điểm). Giả sử số nguyên dương n có tính chất: có tồn tại một cách sắp xếp a1, a2, , a2n của 2n số 1, 1, 2, 2, , n, n sao cho với mỗi k = 1, 2, , n luôn tồn tại đúng k số xếp giữa hai số k. Chứng minh rằng n2 + n chia hết cho 4. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 177
60. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ 7: THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội - 2018 (Vòng 2 đợt 1) Bài I (3, 0 điểm). 1) Giải hệ phương trình.   xy(x + y) = 2 . y3 + y + 6 = 7x3 + x 2) Với a, b, c là các số thực bất kỳ, chứng minh bất biểu thức. a c b a c b Q = . + . + . . a − b c − b b − c a − c c − a b − a nhận giá trị nguyên. Bài II (3, 0 điểm). 4 4 4 1) Xét các số nguyên tố n1 4 không tồn tại một cách sắp xếp a1, a2, an của các số 1, 2, n sao cho các số a1, a1a2, a1a2a3, a1a2 an có số dư đôi một phân biệt khi chia cho n. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 178
61. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ 8: THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội - 03 - 03 - 2018 Bài I (3, 0 điểm). 1) Giải phương trình. √ √ x2 + 8x + 6 + x2 − 1 = 2x + 2. 2) Giải hệ phương trình.  x2 − y2 + 3 = 4x + 2y .  x2 + xy + y2 = 3 Bài II (3, 0 điểm). 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x2 − 2xy − x + y + 3 = 0 2) Với các só thực dương a, thỏa mãn a + b = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b A = √ + √ . 4 − a2 4 − b2 Bài III (3, 0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC với E, F làn lượt là hình chiếu vuông góc của BC lên cạnh CA, AB. Gọi M, N và Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BE, CF , CA và AB. Đường thẳng MN cắ CA, AB lần lượt tại K, L. KC LF 1) Chứng minh rằng = . KE LB 2) Chứng minh rằng tâm ngoại tiếp tam giác AKL nằm trên đường thẳng PQ. Bài IV (1, 0 điểm). Cho 9 nguyên dương, mỗi số chỉ có các ước nguyên tố 2, 3, 5. Chứng minh rằng trong 9 số này luôn tồn tại hai số mà tích của chúng bằng bình phương của một số nguyên. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 179
62. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ 9: THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội - 07 - 04 - 2018 (Toán chung đợt 3) Bài I (3, 0 điểm). 1) Giải phương trình. √ √ √ x + 2(x + 2x + 1) = x + 2 + x 2x + 1. 2) Giải hệ phương trình.   x3 + 2xy = 3 3 . x + 3x = 4y3 Bài II (3, 0 điểm). 1) Tìm tất cả các số nguyên tố sao cho 2p2 + 1 là số nguyên tố. 2) Cho các số a, b thỏa mãn a2 − b2 = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 2a − b. Bài III (3, 0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC có BAC[ . Gọi O và H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. 1) Chứng minh BCHO là tứ giác nội tiếp. √ 2) Chứng minh BH − HC = 3HO. Bài IV (1, 0 điểm). Xếp 2018 quả bóng được đánh số từ 1 đến 2018 lên một đường tròn. Với hai quả bóng bất kì được xếp kề nhau, ta tính hiệu của hai số ghi trên hai quả bóng (lấy số lớn trừ số bé). Gọi S là tổng tất các hiệu đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của S. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 180
63. Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ 10: THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội - 08 - 04 - 2018 (Toán chuyên đợt 3) Bài I (3, 0 điểm). 1) Giải phương trình. √ √ √ x + 1 + 2 4 − x − 4 + 3x − x2 = 3x − 7. 2) Giải hệ phương trình.  x3 − 9y3 = 18 . xy(x − y) = 6 Bài II (3, 0 điểm). 1) Tìm tất cả các số nguyên dương m (m > 1) sao cho tồn tại số nguyên n để n2 +2 và (n+1)2 +2 đều chia hết cho m. 2) Cho các số a, b, c thỏa mãn 0 ≤ a, b, c ≤ 1. Chứng minh rằng √ √ √ a + b + c > a + b + c Bài III (3, 0 điểm). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AB với AD > BC. Gọi (ω) là đường tròn đi qua C và tiếp xúc với AB tại O. Gọi E là giao điểm của đường thẳng OD và (ω) (E khác O) và I là giao điểm của đường phân giác COD\ và đường thẳng BD. 1) Chứng minh BCIF là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp ∆OCE. Bài IV (1, 0 điểm). Xét tập S = {1, 2, 3, , 9, 10, 11}. Chứng minh rằng với mọi cách chia tập S thành hai tập con thì luôn tồn tại ba phần tử a, b, c thuộc cùng một tập con sao cho a + b = c. "KIẾN THỨC CỦA CHÚNG TA CHÍNH LÀ CÁI MIỆNG GIẾNG MIỆNG GIẾNG CÀNG TO THÌ ĐÀO GIẾNG ĐƯỢC CÀNG SÂU". —– CHÚC CÁC EM ÔN THI TỐT —– TÀI LIỆU SẼ LUÔN ĐƯỢC CẬP NHẬT VÀ CHỈNH SỬA ĐỂ PHÙ HỢP VỚI CÁC NĂM —– TO BE CONTINUED —– "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 181