Ðề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT - Môn Toán học

Nội dung text: Ðề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT - Môn Toán học

1. UBND T NH B C NINH ð THI TUY N SINH VÀO L P 10 THPT S GIÁO D C VÀ ðÀO T O Năm h c 2012 – 2013 Mơn thi: Tốn (Dành cho t t c thí sinh) ð CHÍNH TH C Th i gian làm bài: 120 phút (Khơng k th i gian giao đ ) Ngày thi: 30 tháng 6 năm 2012. Bài 1 (2,0 đim) 1/ Tìm giá tr ca x đ các bi u th c cĩ ngh ĩa: 4 3x− 2 ; . 2x− 1 2/ Rút g n bi u th c: (2+ 3)2 − 3 A = . 2+ 3 Bài 2 (2,0 đim) Cho ph ươ ng trình: mx2 − (4m − 2)x + 3m −= 2 0 (1) (m là tham s ). 1/ Gi i ph ươ ng trình (1) khi m= 2 . 2/ Ch ng minh r ng ph ươ ng trình (1) luơn cĩ nghi m v i m i giá tr c a m. 3/ Tìm giá tr c a m đ ph ươ ng trình (1) cĩ các nghi m là nghi m nguyên. Bài 3 (2,0 đim) Gi i bài tốn sau b ng cách l p ph ươ ng trình ho c h phươ ng trình: Mt m nh v ưn hình ch nh t cĩ chu vi 34m. N u t ăng thêm chi u dài 3m và chi u rng 2m thì di n tích t ăng thêm 45m 2. Hãy tính chi u dài, chi u r ng c a m nh v ưn. Bài 4 (3,0 đim) Cho đưng trịn tâm O. T A là m t đim n m ngồi (O) k các tip tuy n AM và AN vi (O) (M; N là các ti p đim). 1/ Ch ng minh r ng t giác AMON n i ti p đưng trịn đưng kính AO. 2/ ðưng th ng qua A c t đưng trịn (O) t i B và C (B n m gi a A và C). G i I là trung đim c a BC. Chng minh I c ũng thu c đưng trịn đưng kính AO. 3/ Gi K là giao đim c a MN và BC. Chng minh r ng AK.AI = AB.AC. Bài 5 (1,0 đim) Cho các s x, y th a mãn x≥ 0;y ≥ 0 và x+ y = 1 . Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a A= x2 + y 2 . Ht (ð thi g m cĩ 01 trang) H và tên thí sinh: S báo danh: . .
2. UBND T NH B C NINH HƯNG D N CH M S GIÁO D C VÀ ðÀO T O ð THI TUY N SINH VÀO L P 10 THPT Năm h c 2012 – 2013 Mơn thi: Tốn (Dành cho t t c thí sinh) Bài ðáp án ðim 4 1/ Tìm giá tr c a x đ các bi u th c cĩ ngh ĩa: 3x− 2 ; . 1,0 2x− 1 +/ 3x − 2 cĩ ngh ĩa ⇔ 3x− 2 ≥ 0 0,25 2 ⇔ x ≥ . 0,25 3 4 2x− 1 ≥ 0 +/ cĩ ngh ĩa ⇔  0,25 2x −1 2x− 1 ≠ 0 1 ⇔x > . 0,25 1 2 (2,0 đim) (2+ 3)2 − 3 2/ Th c hi n phép tính: A = . 1,0 2+ 3 (2+ 3) 2 − 3 (2+ 3)2 2 − 3 = 0,25 23+ 23 + =2 + 3.2 − 3 0,25 =(2 + 32)( − 3 ) 0,25 =4 − 3 = 1 . 0,25 2 Cho ph ươ ng trình : mx2 − (4m − 2)x + 3m −= 2 0 (1). (2,0 0,5 1/ Gi i ph ươ ng trình (1) khi m= 2 . đim) Vi m= 2 ta đưc PT x2 − 3x + 2 = 0 0,25 = = PT cĩ hai nghi m x1 1;x 2 2 . 0,25 2/ Ch ng minh r ng ph ươ ng trình (1) luơn cĩ nghi m v i m i giá tr c a m. 0,75 Vi m = 0 PT (1) là 2x – 2 = 0 PT cĩ nghi m x = 1. 0,25 Vi m≠ 0 , ∆='4m 2 − 4m +− 1 3m 2 + 2m 0,25 = m 2 – 2m + 1 = (m – 1) 2 ≥ 0 vi m i m≠ 0 . 0,25 ⇒ PT luơn cĩ nghi m v i m i m. 3/ Tìm giá tr c a m đ ph ươ ng trình (1) cĩ các nghi m là nghi m nguyên. 0,75 Vi m= 0 , (1) cĩ nghi m x= 1 (tha mãn). 0,25 Vi m≠ 0 , vì a++= b c m − 4m ++ 2 3m −= 2 0 nên (1) cĩ hai nghi m. 3m− 2 2 x= 1,x = =− 3 . 0,25 1 2 m m
3. ð PT cĩ các nghi m là nghi m nguyên thì 2 xZ∈⇔− 3 ∈⇔ Z m ∈±±{} 1;2 . (ti sao l i l p lu n th này? ) 0,25 2 m Vy các giá tr c n tìm c a m là: 0;± 1; ± 2 . 3/ Gi i bài tốn sau b ng cách l p ph ươ ng trình ho c h ph ươ ng trình: Mt m nh v ưn hình ch nh t cĩ chu vi 34m. N u t ăng thêm chi u 2,0 dài 3m và chi u r ng 2m thì di n tích t ăng thêm 45m 2. Hãy tính chi u dài, chi u r ng c a m nh v ưn. Gi chi u dài, chi u r ng c a m nh v ưn hình ch nh t l n l ưt là x(m); y(m). 0,25 ðiu ki n: x> y > 0 ( *) . Chu vi c a m nh v ưn là: 2(x+ y ) = 34 (m). 0,25 Di n tích tr ưc khi t ăng: xy (m 2). 0,25 3 Di n tích sau khi t ăng: (x+ 3)( y + 2) (m 2). 0,25 (2,0) đim)  (2 x + y) = 34 Theo bài ta cĩ h :  0,25 (x + 3)(y + )2 − xy = 45 2x + 2y = 34 ⇔  0,25 2x + 3y = 39 x+ y = 17 x= 12 ⇔  ⇔  0,25 y= 5 y= 5 x=12; y = 5 (th a mãn (*)). V y chi u dài là 12m, chi u rng là 5m. 0,25 4 Cho đưng trịn tâm O. T A là m t đim n m ngồi (O) k các ti p tuy n (3,0 AM và AN v i (O) (M; N là các ti p đim). 1,0 đim) 1/ Ch ng minh r ng t giác AMON n i ti p đưng trịn đưng kính AO. 0,25 V hình đúng, đ làm câu a. Cĩ
   AMO=
   ANO = 90 0 (tính ch t ti p tuy n). 0,25 ⇒
   AMO+
   ANO = 180 0 0,25 ⇒AMON là t giác n i ti p đưng trịn đưng kính AO . 0,25 2/ ðưng th ng qua A c t đưng trịn (O) t i B và C (B n m gi a A và C). 1,0
4. Gi I là trung đim c a BC ch ng minh I c ũng thu c đưng trịn đưng kính AO. Gi đưng th ng đĩ là d. TH1 : ðưng th ng d khơng đi qua O. 0,25 Do I là trung đim c a BC ⇒ IO⊥ BC (t/c đưng kính dây cung) hay
   AIO = 90 0 . 0,25 Suy ra, I thu c đưng trịn đưng kính OA . 0,25 TH2 : ðưng th ng d đi qua O. Khi đĩ, O chính là trung đim c a BC và O thu c 0,25 đưng trịn đưng kính OA. 3/ G i K là giao đim c a MN và BC, ch ng minh r ng AK.AI = AB.AC. 1,0 TH1 : ðưng th ng d khơng đi qua O. AM AC 0,25 Cĩ ∆AMB đng d ng v i ∆ACM⇒ = ⇒ AM2 = ABAC. (1). AB AM AH AI ∆AHK đng d ng v i ∆AIO⇒ = ⇒ AKAI.= AHAO . (2). 0,25 AK AO đư ⇒ = 2 MH là ng cao trong tam giác OMA vuơng t i M AH. AO AM (3). 0,25 T (1), (2) và (3) suy ra AB.AC=AK.AI . TH2 : ðưng th ng d đi qua O. 0,25 Khi đĩ, K≡ HO, ≡ I theo (1), (3) thì AH. AO= ABAC . ⇒ đpcm. Cho các s x, y th a mãn x≥ 0;y ≥ 0 và x+ y = 1 . 1,0 Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a A= x2 + y 2 . Ta cĩ xy1+ = ⇒ y1x= − . Do đĩ, 0≤ x ≤ 1 . 0,25 =+−2( )2 = 2 −+ 5 A x 1x 2x 2x1 . 0,25 (1,0 1  2 1 1 1 đ A= 2 x −  +≥ . D u b ng x y ra khi x= y = . 0,25 i m) 2  2 2 2 Do 0≤ x ≤ 1 nên xx( − 1) ≤ 0 . Suy ra, A= 2xx( −+≤ 1) 1 1 . x= 1⇒ y= 0 0,25 Du b ng x y ra khi  . x= 0⇒ y1= Các chú ý khi ch m: 1. Bài làm c a h c sinh ph i chi ti t, l p lu n ch t ch , tính tốn chính xác m i đưc đim t i đa. 2. V i các cách gi i đúng nh ưng khác đáp án, t ch m trao đ i và thng nh t đim chi ti t ( đ n 0,25 đim) nh ưng khơng đưc v ưt quá s đim dành cho bài ho c ph n đĩ. Trong tr ưng h p sai sĩt nh cĩ th cho đim nh ưng ph i tr đim ch sai đĩ. 3. V i Bài 4 khơng cho đim bài làm n u h c sinh khơng v hình. 4. M i v n đ phát sinh trong quá trình ch m ph i đưc trao đ i trong t ch m và ch cho đim theo s th ng nh t c a c t . 5. ðim tồn bài là t ng s đim các ph n đã ch m, khơng làm trịn đim. 2 Nguy n V ăn Xá: theo tơi, ý 3 bài 2, đáp s ph i là m = 0 ho c m= , v i k là s k nguyên khác 0 b t kì, n u ng ưi ta yêu c u tìm m nguyên thì m i cĩ đáp s nh ư trong đáp án.