Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thông - Môn thi: Toán

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thông - Môn thi: Toán

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ĐĂK LĂK NĂM HỌC 2021-2022 Môn thi: TOÁN-CHUYÊN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề. Câu 1 (2,0 điểm) Cho phương trình 4 − ( + 2) 2 + 3 − 3 = 0 với là tham số. Tìm tất cả các giá trị của để phương trình đã 4 4 4 4 cho có bốn nghiệm phân biệt 1, 2, 3, 4 sao cho 1 + 2 + 3 + 4 − 2 1 2 3 4 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 2 (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: 2022√2022 − 2021 + √2023 − 2022 = 2023. 3 − 6 − 3 = 8 2) Giải hệ phương trình: { . √2 + + 3 + √5 − + 3 = − 2 − + 5 Câu 3 (2,0 điểm) 1) Tìm tất cả các số tự nhiên 푛 và để 푛4 + 42 +1 là số nguyên tố. 2) Tìm tất cả các số nguyên dương , thỏa mãn 4 − 2 + 2 2 − 2 + 2 2 − 2 − 36 = 0. Câu 4 (1,0 điểm) Cho ba số thực dương , , thỏa mãn + + ≤ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( 2 + 1)2 ( 2 + 1)2 ( 2 + 1)2 푃 = + + 2( 2 + 1) 2( 2 + 1) 2( 2 + 1) Câu 5 (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn ( ; 푅) đường kính AB. Lấy điểm C tùy ý trên nửa đường tròn đó (C khác A và B). Gọi M,N lần lượt là điểm chính giữa cung AC và cung BC. Hai đường thẳng AC và BN cắt nhau tại D. Hai dây cung AN và BC cắt nhau tại H. 1) Chứng minh tứ giác CDNH nội tiếp. 2) Gọi I là trung điểm DH. Chứng minh IN là tiếp tuyến của nửa đường tròn ( ; 푅). 3) Chứng minh rằng khi C di động trên nửa đường tròn ( ; 푅) thì đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định 4) Trên nửa đường tròn ( ; 푅) không chứa C lấy một điểm P tùy ý (P khác A và B). Gọi Q,R,S lần lượt là hình chiếu vuông góc của P trên AB,BC,CA. Tìm vị trí của P để tổng + + đạt giá trị nhỏ nhất. 푃푄 푃푅 푃푆 Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Nguyễn Nam - 11CT - THPT chuyên Nguyễn Du
2. ĐÁP ÁN THAM KHẢO Câu 1 (2,0 điểm) Đặt 푡 = 2 ≥ 0 thì phương trình 4 − ( + 2) 2 + 3 − 3 = 0 có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình 2 푡 − ( + 2)푡 + 3 − 3 = 0 (·) có hai nghiệm 푡1, 푡2 > 0 ∆> 0 ( + 2)2 − 4(3 − 3) > 0 Điều này tương đương với {푆 > 0 ⇔ I { + 2 > 0 ⇔ > 1 푣à ≠ 4 (*) 푃 > 0 3 − 3 > 0 Với điều kiện của như trên, phương trình (·) có hai nghiệm 푡1, 푡2 > 0. Giả sử rằng 1 = √푡1, 2 = −√푡1, 3 = √푡2, 4 = −√푡2. Khi đó 4 4 4 4 2 2 2 푆 = 1 + 2 + 3 + 4 − 2 1 2 3 4 = 2푡1 + 2푡2 − 2푡1푡2 = 2(푡1 + 푡2) − 6푡1푡2 푡 + 푡 = + 2 5 2 27 27 Theo hệ thức Viet thì { 1 2 nên 푆 = 2( + 2)2 − 6(3 − 3) = 2 ( − ) + ≥ 푡1푡2 = 3 − 3 2 2 2 5 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi = (thỏa mãn điều kiện (*)) 2 27 5 Vậy, giá trị của để biểu thức 푆 = 4 + 4 + 4 + 4 − 2 đạt giá trị nhỏ nhất là khi = 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 Câu 2 (2,0 điểm) 2022 1) ĐKXĐ: ≥ . Phương trình đã cho tương đương với 2023 2022(√2022 − 2021 − 1) + (√2023 − 2022 − 1) = 0 2022.2022 1 ⟺ ( − 1). ( + ) = 0 ⟺ = 1 √2022 − 2021 + 1 √2023 − 2022 + 1 Vậy: = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho 2) ĐKXĐ: 2 + + 3 ≥ 0; 5 − + 3 ≥ 0 3 − 6 − 3 = 8 (1) Giả sử ( ; ) là một nghiệm của hệ phương trình { √2 + + 3 + √5 − + 3 = − 2 − + 5 (2) 1 1 1 푡(1) ⇔ 3 + (− )3 + (−2)3 − 3. . (− ). (−2) = 0 ⟺ ( − − 2) ( ( + )2 + ( + 2)2 + ( − 2)2) = 0 2 2 2 ⟺ = + 2 ℎ표ặ = − = −2 (퐾ℎô푛𝑔 푡ℎỏ đ đ) Với = + 2, thế vào pt(2) ta được 3 4 √3 + 7 − 2 + √4 + 13 − 3 = − 2 − 5 − 4 ⟺ ( + 1) ( + + + 4) = 0 √3 + 7 + 2 √4 + 13 + 3 Vì + 4 > 0 (đ để ă푛 á đị푛ℎ) nên = −1 ⇒ = 1 Vậy: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; ) = (1; −1) Câu 3 (2,0 điểm) 1) Giả sử 푛, là hai số tự nhiên sao cho 푛4 + 42 +1 = với p là số nguyên tố hay = 푛4 + 2.22 +1. 푛2 + (22 +1)2 − (푛. 2 +1)2 ⇔ = (푛2 + 22 +1)2 − (푛. 2 +1)2 ⇔ = (푛2 + 22 +1 − 푛. 2 +1)(푛2 + 22 +1 + 푛. 2 +1) Để là số nguyên tố thì ta phải có 푛2 + 22 +1 − 푛. 2 +1 = 1 nên 1 ≥ (√2 − 1). 푛. 2 +1 hay 푛. 2 +1 ≤ 2 Từ , 푛 là các số tự nhiên nên ta được n=1;k=0 lúc này 푛4 + 42 +1 = 5 là số nguyên tố Vậy: ( ; 푛) = (0; 1) là tất cả bộ số cần tìm 2) Phương trình đã cho tương đương với ( 2 + − 1)2 + ( − )2 = 37 = 62 + 12 = 12 + 62 Xét hai trường hợp Nguyễn Nam - 11CT - THPT chuyên Nguyễn Du
3. 2 + − 1 = 6 *) TH1: { và do , nguyên dương nên ta thu được = 2, = 3. − = 1 ℎ표ặ − = −1 2 + − 1 = 1 *) TH2: { và hệ vô nghiệm (x,y) nguyen dương − = 6 ℎ표ặ − = −6 Vậy: Các bộ số nguyen dương ( ; ) thỏa mãn là ( ; ) = (2; 3). Câu 4 (1,0 điểm) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương ta có: 3 ( 2 + 1)2 ( 2 + 1)2 ( 2 + 1)2 3 ( 2 + 1)( 2 + 1)( 2 + 1) 푃 ≥ 3√ . . = 3√ 2( 2 + 1) 2( 2 + 1) 2( 2 + 1) Để ý rằng 3 ( 2 + 1)( 2 + 1)( 2 + 1) = 2 2 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 + 2 + 2 + 2 + 1 ≥ 푡2 + 33√푡2 + 3 3√푡4 + 1 = (3√푡2 + 1) (Trong đó = 푡 > 0) do đó: 3√푡2 + 1 9 1 3.5 9 3.5 2 13 푃 ≥ 3. = 3 ( 3√푡 + ) − 3√푡 ≥ 3.2. √ − . = 3√푡 4 3√푡 4 4 4 3 2 3 2 (Bởi vì 2 ≥ + + ≥ 3√ = 33√푡 푛ê푛 3√푡 ≤ ) 3 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi = = = 3 13 Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là . 2 Câu 5 (3,0 điểm) D 1) Tứ giác CDNH có ∡ = ∡ = 90표 (𝑔푛푡 ℎắ푛 푛ử đườ푛𝑔 푡 ò푛) nên nội tiếp 2) Để ý rằng I là trung điểm DH nên I cũng chính là I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CHND nên C ∡ = ∡ = 90표 − ∡ = N K ∡ ( 표 푙à 푡 ự 푡â ∆ ) nên IN là tiếp M tuyến của (O) H 3) Hạ 퐾 ⊥ tại K. Khi đó: 퐾 = R . cos( 퐾) = 푅. cos ( ) = 푅. cos(45표) cố 2 định nên MN tiếp xúc với đường tròn ( ; 퐾) cố A Q O định B 2 2 2 4) Ta có: + + = + + 푃푄 푃푅 푃푆 푃푄. 푃푅. 푃푆. 2 2 2 S = + + 푃 . 푃 푃 . 푃 . sin( 푃 ) 푃 . 푃 . sin( 푃 ) 2 2 2 = + + 푃 . 푃 푃 . 푃 . sin( ) 푃 . 푃 . sin( ) 2 . . P = + + 푃 . 푃 푃 . 푃 푃 . 푃 Mặt khác, theo định lí Ptolemy thì 푃 . = 푃 . + 푃 . nên 2 . ( . 푃 + . 푃 ) 2 2 2. 2 + + = + = + ≥ 2. = 4 푃푄 푃푅 푃푆 푃 . 푃 푃 . 푃 . 푃 푃 . 푃 푃 . 푃 푃 2 + 푃 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi P là điểm chính giữa cung AB không chứa C. Nguyễn Nam - 11CT - THPT chuyên Nguyễn Du