Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán (Đợt 2) - Năm học 2011-2012 - Sở giáo dục và đào tạo Hải Dương (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán (Đợt 2) - Năm học 2011-2012 - Sở giáo dục và đào tạo Hải Dương (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 30 tháng 06 năm 2011 (Đợt 2) Đề thi gồm: 01 trang Câu 1 (2,5 điểm). 1) Cho hàm số y f (x) x2 2x 5 . a. Tính f (x) khi: x 0; x 3 . b. Tìm x biết: f (x) 5; f (x) 2 . 2) Giải bất phương trình: 3(x 4) x 6 Câu 2 (2,5 điểm). 1) Cho hàm số bậc nhất y m – 2 x m 3 (d) a. Tìm m để hàm số đồng biến. b. Tìm m để đồ thị hàm số (d) song song với đồ thị hàm số y 2x 3 . x y 3m 2 2) Cho hệ phương trình 2x y 5 x2 y 5 Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm x; y sao cho 4 . y 1 Câu 3 (1,0 điểm). Hai người thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm trong 6 ngày thì xong công việc. Hai người làm cùng nhau trong 3 ngày thì người thứ nhất được chuyển đi làm công việc khác, người thứ hai làm một mình trong 4,5 ngày (bốn ngày rưỡi) nữa thì hoàn thành công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu. Câu 4 (3,0 điểm). Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AO lấy điểm M (M khác A và O). Tia CM cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai là N. Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O; R) tại N. Tiếp tuyến này cắt đường thẳng vuông góc với AB tại M ở P. 1) Chứng minh: OMNP là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh: CN // OP. 1 3) Khi AM AO . Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN theo R. 3 Câu 5 (1,0 điểm). Cho ba số x, y, z thoả mãn 0 x, y, z 1 và x y z 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu (x 1)2 (y 1)2 (z 1)2 thức: A = z x y Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN HẢI DƯƠNG KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 Ngày thi: 28 tháng 06 năm 2011 Đáp án gồm: 03 trang I, HƯỚNG DẪN CHUNG. - Thí sinh làm bài theo cách riêng nhưng đáp ứng được yêu cầu cơ bản vẫn cho đủ điểm. - Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải được thống nhất trong Hội đồng chấm. - Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm. II, ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM. Câu Ý Nội dung Điểm Với x = 0 tính được f(0) = -5 0,5 1.a Với x = 3 tính được f(3) = 10 0,5 Khi f(x) = -5 tìm được x = 0; x = - 2 0,5 1 1.b Khi f(x) = -2 tìm được x = 1; x = -3 0,5 Biến đổi được về 3x – 12 > x – 6 0,25 2 Giải được nghiệm x > 3 0,25 Để hàm số đồng biến thì m – 2 > 0 0,25 1.a Tìm được m > 2 và kết luận 0,25 m 2 2 Để đồ thị hàm số (d) song song với đồ thị hàm số y = 2x – 3 thì 0,5 m 3 3 1.b m 4 0,25 m 6 2 m = 4 0,25 Giải hệ được x = m + 1; y = 2m - 3 0,25 Đặt điều kiện: y + 1 0 2m – 3 + 1 0 m 1 0,25 x2 y 5 Có: 4 x2 y 5 4(y 1) x2 y 5 4y 4 0 x2 5y 9 0 2 y 1 0,25 Thay x = m + 1; y = 2m – 3 ta được: (m + 1)2 – 5(2m - 3) – 9 = 0 m2 – 8m + 7 = 0. Giải phương trình được m = 1; m = 7 So sánh với điều kiện suy ra m = 1 (loại); m = 7 (thoả mãn) 0,25 Gọi thời gian người 1, người 2 làm một mình xong công việc lần lượt là x, y ngày 0,25 (x, y > 0) 1 1 Trong một ngày người 1 và người 2 lần lượt làm được và công việc. x y 0,25 1 1 1 suy ra phương trình: 3 x y 6 3 7,5 Người 1 làm trong 3 ngày và người 2 làm trong 7,5 ngày lần lượt được và x y 0,25 3 7,5 công việc suy ra phương trình: 1 x y Giải hệ được x = 18, y = 9. So sánh với điều kiện và kết luận 0,25
3. Hình vẽ đúng: C A M O B 0,25 1 N P D Có O· MP 900 (MP  AB) 0,25 Có O· NP 900 (tính chất tiếp tuyến) 0,25 Do đó O· MP O· NP 900 suy ra OMNP là tứ giác nội tiếp 0,25 Do OMNP là tứ giác nội tiếp nên O· NC O· PM (cùng chắn O¼M ) 0,25 Ta có: MP // CD (cùng vuông góc với AB) nên O· PM P· OD ( so le trong) 0,25 2 4 Mà tam giác OCN cân tại O (OC = ON) nên O· NC O· CN 0,25 Suy ra: O· CN P· OD => CN // OP 0,25 · · 0 Do OMP ONP 90 nên đường tròn ngoại tiếp tứ giác OMNP có đường kính là 0,25 OP. Nên đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN có đường kính là OP Ta có: CN // OP và MP // CD nên tứ giác OCMP là hình bình hành và suy ra OP = 0,25 CM 1 1 2 Ta có AM = AO = R OM = R. Áp dụng định lý Pytago trong tam giác 3 3 3 3 0,25 R 13 vuông OMC nên tính được MC = 3 R 13 Suy ra OP = từ đó ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN bằng 3 0,25 R 13 6 Do x, y, z 1 đặt a = 1 – x 0, b = 1- y 0, c = 1- z 0 và a + b + c = 1 suy ra z = 1 – x + 1- y = a + b, y = 1 – x + 1- z = a + c, x = 1- z + 1- y = c + b a 2 b2 c2 0,25 Khi đó A = a b b c c a 2 5 Với m, n 0 thì m n 0 m n 2 mn (*) Dấu “=” khi m = n Áp dụng (*) ta có: a 2 a b a 2 a b a 2 a b a 2 a b 2 . a a 0,25 a b 4 a b 4 a b 4 a b 4 b2 b c c2 c a Tương tự ta có: b ; c b c 4 c a 4 a 2 b2 c2 a b c 1 Suy ra: = 0,25 a b b c c a 2 2 1 2 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = suy ra x = y = z = 3 3 0,25 1 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng khi x = y = z = 2 3
4. Thêm 1 cách giải câu 5 (x 1)2 (y 1)2 (z 1)2 (1 x)2 (1 y)2 (1 z)2 A z x y z x y Có 0 < x,y,z ≤1 nên 1- x ≥0; 1- y ≥0; 1- z ≥0. áp dụng BĐT Cô si ta có: (1 x)2 z (1 x)2 z 2 1 x z 4 z 4 (1 y)2 x (1 y)2 x 2 1 y x 4 x 4 (1 z)2 y (1 z)2 y 2 1 z y 4 y 4 x y z 1 A 3 (x y z) A 4 2 1 2 GTNN : A khi x y z 2 3 Lại thêm 1 cách giải nữa cho câu 5 a 1 x 0;b 1 y 0;c 1 z 0 0 x, y, z 1; x y z 2 a;b;c 0;a b c 1 a2 b2 c2 A 1 c 1 a 1 b áp dụng bất đẳng thức Bunhiacoxki cho ba cặp số a b c 1 c; 1 a; 1 b ; ; ; 1 c 1 a 1 b Ta có : 2 2 2 2 a b c 1 a b c 1 c 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b a2 b2 c2 1 2 1 c 1 a 1 b 1 A 2 1 1 2 MinA a b c x y z Vậy Min 2 3 3