Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Thái Bình môn Toán - Năm học 2015-2016 - Sở giáo dục và đào tạo Thái Bình (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Thái Bình môn Toán - Năm học 2015-2016 - Sở giáo dục và đào tạo Thái Bình (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH THÁI BÌNH NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang Bài 1(1.5 điểm) . Cho phương trình : 2x2 mx 1 0 (với m là tham số) 22 a)Tìm m sao cho phương trình trên có hai nghiệm xx12, thỏa mãn xx12 40 . b)Chứng minh rằng với mọi m phương trình trên có nghiệm x thỏa mãn x 1 Bài 2 (2.0điểm) 17 1 a) Giải phương trình sau : 18x2 2 x 9 x 0. 33 b) Tìm các số nguyên x,y với xy 0, 0 thỏa mãn : x22 3 y 4 xy 4 x 10 y 12 0. x y 1 1 4( x y )2 3( x y ) Bài 3(1.0 điểm ) Giải hệ phương trình sau : 2 4x 2 xy 1 Bài 4 (1.0 điểm) Cho x, y thỏa mãn x22 y 4 x 2 0. Chứng minh rằng 10 4 6 xy22 10 4 6 Bài 5 (2.5điểm) . Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O).Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại M ( M A). Đường thẳng qua C vuông góc với AB cắt đường tròn (O ) tại N ( N C). Gọi K là giao điểm MN với BC. a) Chứng minh tam giác KCN cân. b) Chứng minh OK vuông góc với BM. c) Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M và N cắt nhau tại P. Chứng minh ba điểm P, B, O thẳng hàng. Bài 6 (1.0 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB 3a , AC 4a và góc  BAC 600 .Qua A kẻ AH vuông góc với BC tại H .Tính độ dài đoạn AH theo a . Bài 7(1.0 điểm) Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng : b2 c 2 a 2 99 . a b c2( ab bc ca ) 2 HẾT Họ và tên thí sinh: .Số báo danh: (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2015-2016 THÁI BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM Hướng dẫn gồm 05 trang MÔN TOÁN CHUYÊN Bài 1(1.5 điểm) . Cho phương trình : 2x2 mx 1 0 (với m là tham số) 22 a)Tìm m sao cho phương trình trên có hai nghiệm xx12, thỏa mãn xx12 40 . b)Chứng minh rằng với mọi m phương trình trên có nghiệm x thỏa mãn x 1 Ý NỘI DUNG ĐIỂM a) +) m2 8 0.125 (1.0đ) +) 0với mọi m nên pt đã cho có hai nghiệm phân biệt 0.125 m xx 12 2 22 +) Theo viet ta có và gt cho xx 4. 1 12 xx. 0.25 12 2 m xx 122 0.125 1 xx12. (1) 2 xx 2. 12 Nên ta có m xx 122 0.125 1 xx12. (2) 2 xx12 2. +) (1) vô nghiệm. 0.125 +) (2) ta có m 1 và m -1 0.125 b +) m2 8 0.125 (0.5điểm) +) với mọi m nên pt đã cho có hai nghiệm phân biệt xx, 0.125 12 1 0.125 +) theo viet ta có xx12. suy ra 2 1 x1 1 0.125 +) xx12.1 với mọi m 2 x2 1 17 1 Bài 2 (2.0điểm) a) Giải phương trình sau : 18x2 2 x 9 x 0. 33 b) Tìm các số nguyên x,y với xy 0, 0 thỏa mãn : x22 3 y 4 xy 4 x 10 y 12 0. Ý NỘI DUNG ĐIỂM a) 1 0.125 +) đk x (1) 3
3. (1.0đ) 0.125 2 8 1 1 +) (18x 2 x ) 9( x ) 0 3 3 3 11 x 1 0.25 (18xx 8)( ) 939 0 3 11 x 33 0.125 4 1 1 (xx ) 18( ) 9 0 (2) 93 11 x 33 +) Chứng minh biểu thức trong (2) dương 0.125 4 0.125 x 9 4 0.125 +) so sánh đk pt có nghiệm x 9 b) +) (x+3y+1)(x+y+3) 15 (1) 0.25 (1.0 đ) +) do x, y là số nguyên không âm nên từ (1) ta có xy 3 1 5 0.125 xy 33 xy 3 1 3 0.125 xy 35 xy 3 1 15 0.125 xy 31 xy 3 1 1 0.125 xy 3 15 +) (x;y) (2;0) 0.25 x y 1 1 4( x y )2 3( x y ) Bài 3(1.0 điểm ) Giải hệ phương trình sau : 2 4x 2 xy 1 Ý NỘI DUNG ĐIỂM +) đk (xy ) 0 (*) 2 1.0 +) Từ pt x y 1 1 4( x y ) 3( x y ) 0.25 (điểm) 4(x y )2 1 ( 3( x y ) x y 1) 0
4. 2(xy ) 1 (2(x y ) 1)(2( x y ) 1) 0 0.125 3(x y ) x y 1 1 2(x y ) 1 2( x y ) 1 0 0.125 3(x y ) x y 1 Do (*) nên ta có 2(x-y)-1 0 2y 2x-1 thế vào pt (2) ta có 6xx2 1 0 0.125 1 xy 0 0.125 2 15 0.125 xy 36 1 1 5 0.125 +) KL hệ có hai nghiệm là ;0 & ; 2 3 6 Bài 4 (1.0 điểm) Cho x, y thỏa mãn x22 y 4 x 2 0. Chứng minh rằng 10 4 6 xy22 10 4 6 Ý NỘI DUNG ĐIỂM +) ta có x22 y 42 x (1) 0.125 x22 4 x 2 y 0 0.125 (xx 6 2)( 6 2) 0 0.125 2 6 x 2 6 0.125 10 4 6 4x 2 10 4 6 (2) 0.25 0.25 (1) & (2) 10 4 6 xy22 10 4 6 Bài 5 (2.5điểm) . Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O).Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại M ( M A). Đường thẳng qua C vuông góc với AB cắt đường tròn (O ) tại N ( N C). Gọi K là giao điểm MN với BC. d) Chứng minh tam giác KCN cân. e) Chứng minh OK vuông góc với BM. f) Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M và N cắt nhau tại P. Chứng minh ba điểm P, B, O thẳng hàng. A N O B K C P M Ý NỘI DUNG Điểm
5. a) +) Ta có MNC  MBC (1) (cùng cung MC) (0.75đ) 0.25 +) MBC  BCN ( do cùng phụ với góc ABC ) (2) 0.25 +) từ (1) & (2) ta có MNC  BCN suy ra tam giác KNC cân tại K 0.25 b) +) ta có ON OC (3) 0.25 0.75đ +)từ a) suy ra KN KC (4) 0.25 +) từ (3)& (4) ta có OK vuông góc NC 0.125 +) do NC//BM ( cùng vuông góc với AB) 0.125 c) +) ta có BNM  BAM (cung MB) (5) 0.125 1.0đ +) BMN  BCN ( Cung NB) (6) 0.125 +) BAM  NCB ( do cùng phụ với góc ABC ) (7) 0.25 +) từ (5), (6) &(7) suy ra BNM  BMN nên BM BN 0.25 +)mà gt ta có ON OM & PM PN nên ba điểm P ,B,O nằm trên đường trung 0.125 trực đoạn MN vậy P,B,O thẳng hàng. 0.125 Bài 6 (1.0 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB 3a , AC 4a và góc  BAC 600 .Qua A kẻ AH vuông góc với BC tại H .Tính độ dài đoạn AH theo a . Ý NỘI DUNG Điểm A K B H C +) Hạ CK vuông góc AB tại K 0.125 (giải thích tam giác ABC không tù tại B hay C) 0.125 +) ta có CK 2 3 a 0.125 2 +) nên ta có SaABC 33 0.125 +) Tính BK a 0.125 suy ra BC BK22 CK a 13 0.125 2S 6a 39 0.25 +) AH ABC BC 13 Bài 7(1.0 điểm) Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng : b2 c 2 a 2 99 . a b c2( ab bc ca ) 2 Ý NỘI DUNG ĐIỂM
6. 1 1 1 +) đặt x , y , z suy ra x.y.z 1 và x,, y z dương. a b c 0.125 +) Bất đẳng thức tương đương với x y z 99 P (*) y2 z 2 x 2 2( x y z ) 2 +) ta có 1x 2 1 y 2 1 z 2 ;; x y2 y y z 2 z z x 2 x 0.125 x y z 1 1 1 xy yz zx 0.125 y2 z 2 x 2 x y z +) ta có x+y+z xyz(x+y+z) (xy)(zx)+(yz)(yx)+(zx)(zy) ()()()xy2 yz 2 zx 2 0.125 ()xy yz zx 2 x y z 0.125 3 27 P () xy yz zx 2(xy yz zx )2 0.125 27 9 do() xy yz zx cô si cho 3 số ‘ ’ xảy ra khi ‘ ’ 2(xy yz zx )2 2 0.125 9 P 2 0.125 xảy ra khi a b c 1. Lưu ý chung 1) Trên đây là các bước bắt buộc và khung điểm tương ứng . Học sinh phải biến đổi hợp lý và lập luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa. 2) Bài 5, 6 phải có hình vẽ đúng hợp lý với lời giải mới cho điểm ( không cho điểm hình vẽ). 3) Những cách giải đúng vẫn cho điểm tối đa. 4) Chấm điểm từng phần , điểm bài là tổng các điểm thành phần (không làm tròn).