Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Phan Bội Châu môn Toán - Năm học 2009-2010 - Sở giáo dục và đào tạo Nghệ An (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Phan Bội Châu môn Toán - Năm học 2009-2010 - Sở giáo dục và đào tạo Nghệ An (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Năm học 2009 - 2010 Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề Bài 1: (3.5 điểm) a) Giải phương trình 3 x 2 3 7 x 3 b) Giải hệ phương trình 8 2 3x y3 6 x3 2 y Bài 2: (1.0 điểm) Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên x2 ax a 2 0 . Bài 3: (2.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác trong BE (E thuộc AC). Đường tròn đường kính AB cắt BE, BC lần lượt tại M, N (khác B). Đường thẳng AM cắt BC tại K. Chứng minh: AE.AN = AM.AK. Bài 4: (1.5 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài bằng độ dài cạnh BC. Đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC thứ tự tại M, N (M khác B, N khác C). Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng AO lần lượt tại I và K. Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp được một đường tròn và tứ giác BICK là hình bình hành. Bài 5: (2.0 điểm) a) Bên trong đường tròn tâm O bán kính 1 cho tam giác ABC có diện tích lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC. b) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a b c 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ab bc ca P a 2 b2 c2 a 2b b2c c2a Hết Họ và tên thí sinh SBD * Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
2. * Giám thị không giải thích gì thêm. SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Năm học 2009 - 2010 Hướng dẫn chấm thi Bản hướng dẫn chấm gồm 03 trang Nội dung đáp án Điểm Bài 1 3,5 đ a 2,0đ 3 x 2 3 7 x 3 x 2 7 x 33 x 2.3 7 x 3 x 2 3 7 x 27 0.50đ 9 9.3 (x 2)(7 x) 27 0.25đ 3 (x 2)(7 x) 2 0.25đ (x 2)(7 x) 8 0.25đ x2 5x 6 0 0.25đ x 1 ( thỏa mãn ) 0.50đ x 6 b 1,50đ 2 Đặt z 0.25đ y 2 3x z3 Hệ đã cho trở thành 3 0.25đ 2 3z x 3 x z z3 x3 0,25đ x z x2 xz z2 3 0 0,25đ x z (vì x2 xz z2 3 0, x,z ). 0,25đ 3 x 1 Từ đó ta có phương trình: x 3x 2 0 x 2 0,25đ Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: (x,y) ( 1; 2), 2,1 Bài 2: 1,0 đ Điều kiện để phương trình có nghiệm: 0 a 2 4a 8 0 (*). 0,25đ Gọi x1, x2 là 2 nghiệm nguyên của phương trình đã cho ( giả sử x1 ≥ x2). x1 x2 a 0,25đ Theo định lý Viet: x1.x2 x1 x2 2 x1.x2 a 2 (x1 1)(x2 1) 3 x1 1 3 x1 1 1 hoặc (do x1 - 1 ≥ x2 -1) x 1 1 x 1 3 2 2 0,25đ
3. x1 4 x1 0 hoặc x2 2 x2 2 Suy ra a = 6 hoặc a = -2 (thỏa mãn (*) ) Thử lại ta thấy a = 6, a = -2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 0,25đ Bài 3: 2,0 đ Vì BE là phân giác A· B C nên A· BM M· BC A¼M M¼ N 0,25đ M· AE M· AN (1) 0,50đ A Vì M, N thuộc đường tròn đường 0,25đ kính AB nên A· MB A· NB 900 E A· NK A· ME 900 , kết hợp 0,50đ M với (1) ta có tam giác AME đồng dạng với tam giác ANK AN AK C 0,25đ B N K AM AE AN.AE = AM.AK (đpcm) 0,25đ Bài 4: 1,5 đ Vì tứ giác AMIN nội tiếp nên A· NM A· IM A · · Vì tứ giác BMNC nội tiếp nên ANM ABC 0,25đ A· IM A· BC.Suy ra tứ giác BOIM nội tiếp Từ chứng minh trên suy ra tam giác AMI E N đồng dạng với tam giác AOB M AM AI 0,25đ AI.AO AM.AB (1) I AO AB B C Gọi E, F là giao điểm của đường thẳng AO O với (O) (E nằm giữa A, O). Chứng minh tương tự (1) ta được: K AM.AB = AE.AF 0,25đ F = (AO - R)(AO + R) (với BC = 2R) = AO2 - R2 = 3R2 3R 2 3R 2 3R R AI.AO = 3R2 AI OI (2) AO 2R 2 2 0,25đ Tam giác AOB và tam giác COK đồng dạng nên: OA.OK = OB.OC = R2 0,25đ R 2 R 2 R OK (3) OA 2R 2 Từ (2), (3) suy ra OI = OK Suy ra O là trung điểm IK, mà O là trung điểm của BC Vì vậy BICK là hình bình hành 0,25đ Bài 5: 2,0 đ a, 1,0 đ
4. Giả sử O nằm ngoài miền tam giác ABC. A Không mất tính tổng quát, giả sử A và O 0,25đ nằm về 2 phía của đường thẳng BC Suy ra đoạn AO cắt đường thẳng BC tại K. K 0,25đ B C Kẻ AH vuông góc với BC tại H. H Suy ra AH AK 0 ab bc ca Suy ra P=a 2 b2 c2 a 2 b2 c2 2 2 2 0,25đ 9 (a b c ) P a 2 b2 c2 2(a 2 b2 c2 ) Đặt t = a2 + b2 + c2, ta chứng minh được t 3. 9 t t 9 t 1 3 1 Suy ra P t 3 4 P 4 2t 2 2t 2 2 2 2 0,25đ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 Nếu thí sinh giải cách khác đúng của mỗi câu thì vẫn cho tối đa điểm của câu đó