Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 tỉnh Hà Tĩnh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 tỉnh Hà Tĩnh (Có đáp án)

1. Truy cập: để dowload các tài liệu liên quan ĐỀ THI HSG TỈNH HÀ TĨNH LỚP 9 3 1 1 Bài 1: Cho phương trình x 3 m 1 x m 3 0 (*) x x a) Giải phương trình khi m = 3 b) Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm dương phân biệt 2 1 1 1 1 1 1 Bài 2: a) Cho a, b, c Z thỏa mãn điều kiện 2 2 2 a b c a b c Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 chia hết cho 3 b) Giải phương trình x 3 + ax2 + bx + 1 = 0, biết rằng a, b, c là số hữu tỉ và 1 + 2 là nghiệm của phương trình Bài 3: Cho x, y N* thỏa mãn x + y = 2011. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức P = x x2 y y y2 x Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, một dây cung MN = R di chuyển trên nửa đường tròn. Qua M kẻ đường thẳng song song ON cắt đường thẳng AB tại E. Qua N kẻ đường thẳng song song OM cắt đường thẳng AB tại F. a) CMR: MNE  NFM b) Gọi K là giao điểm của EN và FM. Hãy xác định vị trí của dây MN để chu vi tam giác MKN lớn nhất Bài 5: Cho a, b, c > 0 và abc = 1. a3 b3 c3 3 Chứng minh rằng 1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 4 HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1Lời giải tóm tắt: ĐKXĐ: x 0 1 Đặt x t phương trình (*) trở thành t 1 t2 t 3 m 0 x a) m = 3 (Tự giải) b) Với t = 1 x2 – x – 1 = 0 phương trình này luôn có 1 nghiệm dương (vì ac < 0) Để phương trình (*) có đúng 2 nghiệm dương phân biệt thì phương trình t2 + t + 4 – m = 0 11 phải có nghiệm kép khác 1. Hay m = 4 Bài 2 :Lời giải tóm tắt: a) ĐK: a, b, c 0. Từ gt suy ra a + b + c = 0. Mà a3 + b3 + c3 – (a + b + c) = a(a – 1)(a + 1) + b(b – 1 )(b + 1) + c(c – 1)(c + 1) chia hết cho 3 và a + b + c = 0 chia hết cho 3 nên a3 + b3 + c3 chia hết cho 3 b) Vì 1 + 2 là nghiệm của phương trình nên ta có 2 2a b 5 3a b 8 0 vì a, b là số hữu tỉ nên 2a b 5 0 a 3 . Thay vào a,b vào pt rồi giải tiếp 3a b 8 0 b 1
2. Truy cập: để dowload các tài liệu liên quan Bài 3:Lời giải tóm tắt: 2 Cách 1: Vì x, y N* nên 1 x y 2009 1 x y 20092 1 2 Mà (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy = 20112 – 4xy. Do đó –xy = x y 4044121 4 1 2 Vậy P = 20113 - 6031xy = 20113 + 6031 x y 4044121 4 1 1 Ta có 20113 + 6031.12 4044121 P 20113 + 6031. 20092 4044121 4 4 Hay 2035205401 P 8120605021. Vậy GTNN của P là 2035205401. Dấu “=” xảy ra khi x = 1006 và y = 1005 hoặc x = 1005 và y = 1006. GTLN của P là 8120605021. Dấu “=” xảy ra khi x = 2010 và y = 1 hoặc x = 1 và y = 2010 Cách 2: P = 20113 - 6031xy theo bài ra ta có 1 x, y 2010 Ta chứng minh 2010 xy 1005. 1006. Thật vậy xy – 2010 = x(2011 – x) – 2010 = 2011x – x2 – 2010 = 2010x – x2 + x – 2010 = (2010 – x)(x – 1) 0 (vì 1 x, y 2010) Ta có xy 2010. Do đó P 8120605021 Mặt khác 1005.1006 – xy = 1005. 1006 – x(2011 – x) = = (1005 – x)(1006 – x) 0 Ta có 1005.1006 – xy 0 Do đó 2035205401 P Bài 4:Lời giải tóm tắt: a) Dễ dàng chứng minh được E· MN F·NM 1200 ME MO ME MN Mặt khác EMO  ONF (vì MON đều) NO NF MN NF b) MNE  NFM M· NE N· FM F·MO mà M· KN 1800 M· NE N· MF 1800 F·MO N· MF 1800 600 1200 không đổi K thuộc cung tròn chứa góc 1200 dựng trên đoạn thẳng MN = R không đổi. Từ đó suy ra K là điểm giữa cung MKN hay MK = NK. Kéo dài EM và FN cắt nhau tại I và ta chứng minh được MN ở vị trí sao cho AM = MN = NB = R Bài 5:Lời giải tóm tắt: Áp dụng BĐT CauChy ta có a3 1 b 1 c a3 1 b 1 c 3a 3 3 . . 1 b 1 c 8 8 1 b 1 c 8 8 4 a3 b3 c3 a b c 3 tương tự rồi cộng lại được 1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 3 4 Mà a b c 3 3 abc 3 ruy ra đpcm Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1