Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2012-2013 - Sở giáo dục và đào tạo Bắc Ninh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2012-2013 - Sở giáo dục và đào tạo Bắc Ninh (Có đáp án)

1. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2012 UBND TỈNH BẮC NINH ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2012 – 2013 Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 30 tháng 6 năm 2012. Bài 1 (2,5 điểm) 1/ Rút gọn biểu thức sau: A=− 4 1025 − −+ 4 1025 − . 2/ Giải phương trình: x2+ x 2 − 2x − 19 = 2x+39 . Bài 2 (2,0 điểm) 1/ Cho ba số a, b, c thỏa mãn: 4a− 5b + 9c = 0 . Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 luôn có nghiệm. xy+ y2 + x = 7y  2/ Giải hệ phương trình: x  ()x+ y = 12  y Bài 3 (1,5 điểm) 1/ Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: a+ b + c = 1 . Chứng minh rằng: (1a1b1c+)( +)( +≥−) 81a1b1c( )( −)( − ) . 2/ Phân chia chín số: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 thành ba nhóm tùy ý, mỗi nhóm ba số. Gọi T1 là tích ba số của nhóm thứ nhất, T2 là tích ba số của nhóm thứ hai, T3 là tích ba số của nhóm thứ ba. Hỏi tổng T1+ T 2 + T 3 có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? Bài 4 (2,5 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R và dây cung BC cố định khác đường kính. Gọi A là một điểm chuyển động trên cung lớn BC của đường tròn (O) sao cho tam giác ABC nhọn; AD,BE,CF là các đường cao của tam giác ABC. Các đường thẳng BE, CF tương ứng cắt (O) tại các điểm thứ hai là Q, R. 1/ Chứng minh rằng QR song song với EF. EF. R 2/ Chứng minh rằng diện tích tứ giác AEOF bằng . 2 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 0902 – 11 – 00 33 Trang | 1
2. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2012 3/ Xác định vị trí của điểm A để chu vi tam giác DEF lớn nhất. Bài 5 (1,5 điểm) 1/ Tìm hai số nguyên a,b để a4+ 4b 4 là số nguyên tố. 2/ Hãy chia một tam giác bất kì thành 7 tam giác cân trong đó có 3 tam giác bằng nhau. Hết (Đề thi gồm có 01 trang) Họ và tên thí sinh: Số báo danh: . . Nguồn: Hocmai.vn Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 0902 – 11 – 00 33 Trang | 2
3. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2012 UBND TỈNH BẮC NINH HƯỚNG DẪN CHẤM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2012 – 2013 Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào chuyên toán, tin) Bài Đáp án Điểm 1/ Rút gọn biểu thức sau: A=− 4 1025 − −+ 4 1025 − . 1,5 Nhận xét rằng A < 0. 0,25 A2 =−− 4 1025 ++− 4 1025 − 2( 4 −− 1025)( 4 +− 1025 ) 0,25 =8 − 26 + 25 0,25 2 =82 − 51 + 0,25 () 2 1 =−625 =5 − 1 . 0,25 ( ) (2,5 điểm) Vậy A= 1 − 5 0,25 Giải phương trình: x2+ x 2 − 2x − 19 = 2x+39 (*) 1,0 Đặt t=x2 − 2x − 19 ≥ 0 . 0,25 2 t= 4 ( nhËn) (*) trở thành: t+ t − 20 = 0 ⇔  0,25 t= − 5 (lo¹i ) t=⇒ 4 x2 − 2x − 19 = 16 ⇔x2 − 2x − 35 = 0 . 0,25 x= 7 ⇔  . 0,25 x= − 5 1/ Cho 4a− 5b + 9c = 0 , chứng minh phương trình ax 2 +bx + c = 0 luôn có nghiệm. 1,0 2 Xét trường hợp a = 0. Nếu b = 0 thì từ 4a− 5b + 9c = 0 , ta suy ra c = 0, do đó phương 0,25 (2,0 trình (1) nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ . điểm) c Còn nếu b ≠ 0 , phương trình (1) trở thành bx+ c = 0 , có nghiệm x = − . 0,25 b Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 0902 – 11 – 00 33 Trang | 1
4. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2012 4a+ 9c Trường hợp a≠ 0 , (1) là phương trình bậc hai. Từ 4a− 5b + 9c = 0 , ta có b = . 5 Suy ra, (4a+ 9c)2 16a 2− 28a c +−+ 81c 2 (2a 7c) 222+ 12a 32c =b2 − 4ac= − 4a c = = > 0 . 0,25 25 2 5 25 Do đó, (1) có hai nghiệm phân biệt. 0,25 Vậy trong mọi trường hợp, (1) luôn có nghiệm. xy+ y2 + x = 7y  2/ Giải hệ phương trình: x 1,0  ()x+ y = 12  y ĐK: y≠ 0  x x+ y + = 7 0,25  y x u+ v = 7 Hệ tương đương với  , đặt u= x + y,v = ta có hệ:  x y uv= 12  ()x+ y = 12   y u= 3  u = 4 ⇔ ∨  0,25 v= 4  v3 = x  = 3 x= 3 Với u= 4, v = 3 ta có hệ y ⇔  0,25  y= 1 x+ y = 4  12 x x = = 4  5 Với u= 3, v = 4 ta có hệ y ⇔  0,25 3 x+ y = 3  y =   5 1/ Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: a+ b + c = 1 . Chứng minh rằng: 1,0 (1a1b1c+)( +)( +≥−) 81a1b1c( )( −)( − ) . Từ a + b + c = 1 ta có 1 + a = (1 – b) + (1 – c) ≥ 2 (1− b)(1 − c) 3 0,25 (Vì a, b, c <1 nên 1 – b ; 1 – c ; 1 – a là các số dương). (1,5 điểm) Tương tự ta có 1 + b ≥ 2 (1− c)(1 − a) và 1 + c ≥ 2 (1− a)(1 − b). 0,25 Nhân các vế của ba BĐT ta có: 0,25 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 0902 – 11 – 00 33 Trang | 2
5. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2012 (1a1b1c+)( +)( +≥−) 81a1b1c( )( −)( − ) ⇒ đpcm. 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a= b = c = . 0,25 3 2/ Phân chia chín số: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 thành ba nhóm tùy ý, mỗi nhóm ba số. Gọi T1 là tích ba số của nhóm thứ nhất, T2 là tích ba số của nhóm thứ hai, T3 là tích ba 0,5 số của nhóm thứ ba. Hỏi tổng T1+ T 2 + T 3 có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? 3 Ta có: T1+ T 2 + T 3 ≥ 3 T 123 .T .T 0,25 3 T.T1 2 .T 3 = 1.2.3.4.5.6.7.8.9 = 72.72.70 > 71 Do đó, T1+ T 2 + T 3 > 213 mà T1 ,T 2 ,T 3 nguyên nên T1+ T 2 + T 3 ≥ 214 . Ngoài ra, 214=++= 72 72 70 1.8.9 + 3.4.6 + 2.5.7 . 0,25 Nên giá trị nhỏ nhất của T1+ T 2 + T 3 là 214. Cho đường tròn tâm O bán kính R và dây cung BC cố định khác đường kính. Gọi A là một điểm chuyển động trên cung lớn BC của đường tròn (O) sao cho tam giác ABC nhọn; AD,BE,CF là các đường cao của tam giác ABC. Các đường thẳng BE, 1,0 CF tương ứng cắt (O) tại các điểm thứ hai là Q, R. 1/ Chứng minh rằng QR song song với EF. A Q E 0 R Vì BEC= BFC = 90 nên tứ giác BCEF nội 0,25 F O tiếp đường tròn đường kính BC. 4 B C (2,5 D điểm) Suy ra, BEF = BCF . 0,25 1  Mà BCF= BQR = s đ B R  nên BEF= BQR . 0,25 2  Suy ra, QR / /EF . 0,25 EF. R 2/ Chứng minh rằng diện tích tứ giác AEOF bằng . 0,5 2 1 1 Vì tứ giác BCEF nội tiếp nên EBF = ECF mà EBF = s đ AQ,ECF = sđ AR nên 0,25 2 2 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 0902 – 11 – 00 33 Trang | 3
6. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2012 AQ= AR . Do đó, OA⊥ QR mà QR / /EF nên OA⊥ EF . 0,25 EF.OA EF.R Vì OA⊥ EF nên S= = . AEOF 2 2 3/ Xác định vị trí của điểm A để chu vi tam giác DEF lớn nhất. 1,0 Tương tự câu 2, 2SBFOD= FD.R, 2S CDOE = DE.R . 0,25 Mà tam giác ABC nhọn nên O nằm trong tam giác ABC. Suy ra, 2SABC= 2S AEOF + 2S BFOD + 2S CDOE = R( DE ++ EF FD ) . 0,25 Vì R không đổi nên đẳng thức trên suy ra chu vi tam giác DEF lớn nhất khi và chỉ khi 0,25 diện tích tam giác ABC lớn nhất. 1 Mà S= BC.AD với BC không đổi nên S lớn nhất khi AD lớn nhất. Khi đó, A là ABC 2 ABC 0,25 điểm chính giữa của cung lớn BC. 1/ Tìm hai số nguyên a, b để a4+ 4b 4 là số nguyên tố. 1,0 442 22 2 a+=−+ 4b( a 2ab 2b)( a ++ 2ab 2b ) . 0,25 Vì a2−+ 2ab 2b 22 ≥ 0;a ++ 2ab 2b 2 ≥ 0 . 0,25 Nên a4+ 4b 4 nguyên tố ⇔ Một thừa số là 1 còn thừa số kia là số nguyên tố . 2 ()a− b = 1  (1) 2 2 b= 0 TH1: a2− 2ab2b + 2 = 1 ⇔() ab − + b 2 = 1 ⇔  2 ()a− b = 0 5  (2) b2 = 1  0,25 (1,5 điểm) *Với (1)⇒=⇒ b 0 a2 =⇒ 1 M = 1 (loại). a= b = 1 *Với ()2 ⇔  (thỏa mãn). a= b = − 1 2 ()a+ b = 1  (3) 2 2 b= 0 TH2: a2+ 2ab2b + 2 = 1 ⇔() ab + + b 2 = 1 ⇔  2 0,25 ()a+ b = 0  (4) 2 b= 1 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 0902 – 11 – 00 33 Trang | 4
7. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2012 *Với (3)⇒=⇒ b 0 a2 =⇒ 1 M = 1 (loại). a1=  a = − 1 *Với ()4 ⇔ ∨  (thỏa mãn). b= − 1  b1 = Vậy các cặp số (a;b ) cần tìm là: (1;1) ,( 1;− 1) ,( − 1;1) ,( −− 1; 1 ) . 2/ Hãy chia một tam giác bất kì thành 7 tam giác cân trong đó có 3 tam giác bằng 0,5 nhau. C F E O A G D B Trường hợp 1: Tam giác ABC không cân. Giả sử AB là cạnh lớn nhất của tam giác ABC. Vẽ cung tròn tâm A, bán kính AC cắt AB tại D. 0,25 Vẽ cung tròn tâm B, bán kính BD cắt BC tại E. Vẽ cung tròn tâm C, bán kính CE cắt AC tại F. Vẽ cung tròn tâm A, bán kính AF cắt AB tại G. Dễ dàng chứng minh 5 điểm C,D,E,F,G thuộc đường tròn tâm O với O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Nối 5 điểm đó với O, nối A, B với O, nối F với G, D với E ta được 7 tam giác cân: AGF,OGF,ODG,BDE,ODE,OCE,OCF . Trong đó, có ba tam giác bằng nhau là: OCE,OCF,OGD . Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 0902 – 11 – 00 33 Trang | 5
8. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2012 A D I F G H 0,25 B C E Trường hợp 2: Tam giác ABC cân. Giả sử tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E, F, G, H, I lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng: AB, BC, CA, DE, EF, FD. Khi đó, ta có 7 tam giác cân ADF, BDE, CEF, DGI, EGH, FHI, GHI trong đó ba tam giác bằng nhau là: ADF, BDE, CEF. Nguồn: Hocmai.vn Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 0902 – 11 – 00 33 Trang | 6