Đề thi tuyển sinh vào khối lớp 10 THPT - Môn: Toán (chuyên)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào khối lớp 10 THPT - Môn: Toán (chuyên)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN PHÚ YÊN NĂM HỌC 2021 - 2022 Đề chính thức Môn: TOÁN ( CHUYÊN) (30/5/2021) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Tên: TRƢƠNG QUANG AN Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 0353276871. 1 a a 1 Câu 1. (3,0 điểm)Cho aa 0; 2 tính P 22 a4 a 2 1 a 2 Câu 2. (6,0 điểm) 1. Giải phƣơng trình: (x 2 x 1)(1 x2 x 2) 3 x y 21 xy 2. Giải hệ phƣơng trình: 3 22x22 y xy 16 Câu 3 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đƣờng tròn (O), có BC < CA < AB. Đƣờng phân giác trong của góc A cắt BC tại D và cắt (O) tại điểm thứ hai là E. Trên cung AB (không chứa C) lấy điểm F bất kì (F khác A, khác B). Gọi G là giao điểm của EF với BC. Trên hai cạnh AB, AC lần lƣợt lấy các điểm H, K sao cho AH = GC, AK = GB. Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của HK với các đƣờng thẳng AE và EF. Chứng minh rằng: a) AKH và FBC là các tam giác đồng dạng. b)FAKN là hình thang c)MNGD là tứ giác nội tiếp 1 1 1 1 Câu 4. (2,0 điểm)Chứng minh rằng nếu a,b,c thỏa a+b+c=2021 và abc 2021 Câu 5. (3,0 điểm) Cho đƣờng tròn tâm O.Từ A ngoài đƣờng tròn kẻ hai tiếp tuyến AB,AC với A,B tiếp điểm và cát tuyến ADE(D nằm giữa A,E).Gọi I là giao điểm OA và BC.Từ I kẻ đƣờng thẳng song song BE cắt AB tại J,cắt BD tại M. a.Chứng minh MI.CE=BM.CD b.Chứng minh MI=MJ. Câu 6. (2,0 điểm) Cho tự nhiên abc có 3 chữ số.Chứng minh 199 100a 10 b c 100 19 abc Lời giải Câu 1. (3,0 điểm)Cho tính Lời giải
2. CÁCH 1:Từ giả thiết ta có 1 − a > 0 hay a < 1. Do đó 0 < a < 1.Từ a 1 a a22 2 2 2 a a 1. Từ đó ta biến đổi biểu thức P nhƣ sau 22 42 a 1 (a 1) a a 1 a P a42 a 1 a a4 a 11 a 2 a 4 a a 2 a4 a1 a 2 a 4 2 2 2 a 2 a 2 ( 2 a 2 ) 2 a 2 2 (do 0 < a < 1 nên a2 12).Kết luận. Vậy P = 2 1 a CÁCH 2: Ta có a2 2 2 a 2 1 a 8 a 4 a 2 2 a 1.Lúc đó 22 a 1 P 2 a4 a 2 1 a 2 Câu 2. (6,0 điểm) 1. Giải phƣơng trình: (x 2 x 1)(1 x2 x 2) 3 x y 21 xy 2. Giải hệ phƣơng trình: 3 22x22 y xy 16 Lời giải 1.Cách 1:. Giải phƣơng trình: x 1; a x 2 0; b x 1 0;( x 2 x 1)(1 x2 x 2) 3 x 2 Cách 2:Điều kiện: x 1. Đặt a x 2 0; b x 1 0; a b . Để ý rằng x2 + x − 2 = (x + 2)(x − 1), nên khi đó ta có hệ phƣơng trình (a b )(1 ab ) 3 (a b )(1 ab ) a22 b sau 22 22 bx 12 . Thử lại, nghiệm x = 2 ab 3 ab 3 thỏa mãn phƣơng trình ban đầu. Kết luận. Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là S = {2}. 2. Cách 1:Giải hệ phƣơng trình: 11 x y 2 xy 1 a b 1 xy ; 42 a x y; b 2 xy ; 2233 22x y xy ab 11 16 16 xy ; 24
3. Cách 2: Đặt S = x + y, P = xy với S2 4P thì hệ phương trình ban đầu trở 1 S 4 3 3 SP 21 P S 8 4 thành 3 . Khi đó, theo định lý Viete đảo, x và y là 2SP 3 1 16 S P 4 8 1 P 8 1 x 2 1 y 31 4 nghiệm của phương trình XX2 0 .Thử lại, cả hai cặp nghiệm 48 1 x 5 1 y 2 này đều thỏa mãn.Kết luận. Vậy hệ phương trình có hai cặp nghiệm (x; y) là 11 11 ; và ; 42 24 Câu 3 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đƣờng tròn (O), có BC < CA < AB. Đƣờng phân giác trong của góc A cắt BC tại D và cắt (O) tại điểm thứ hai là E. Trên cung AB (không chứa C) lấy điểm F bất kì (F khác A, khác B). Gọi G là giao điểm của EF với BC. Trên hai cạnh AB, AC lần lƣợt lấy các điểm H, K sao cho AH = GC, AK = GB. Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của HK với các đƣờng thẳng AE và EF. Chứng minh rằng: a) AKH và FBC là các tam giác đồng dạng. b)FAKN là hình thang c)MNGD là tứ giác nội tiếp Lời giải a) Chứng minh rằng AKH và F BC là các tam giác đồng dạng. Ta có ∠HAK = ∠CF B (cùng chắn cung CEB). Bên cạnh đó, để ý rằng F G là phân HA CG FC giác trong của ∠CF B nên ta cũng có . Kết hợp hai điều trên ta có AK BG FB điều phải chứng minh.
4. b) Chứng minh rằng FAKN là hình thang. Từ câu a), ta có∠AKN = ∠AKH = ∠CBF = ∠CEF = ∠CEN.Do đó tứ giác KCEN là tứ giác nội tiếp. Suy ra∠CKN = 1800− ∠CEF = ∠CAF. Nhƣ vậy KN //AF, dẫn đến FAKN là hình thang. c) Chứng minh rằng MNGD là tứ giác nội tiếp.Từ câu b), ta có ∠DMN = ∠DAF = 1 sđcungEBF= 1 sđ cung CE + 1 sđ cungBF= ∠FGB.Do đó 2 2 2 MNGD là tứ giác nội tiếp.Bài toán đƣợc giải quyết hoàn toàn. 1 1 1 1 Câu 4. (2,0 điểm)Chứng minh rằng nếu a,b,c thỏa a+b+c=2021 và abc 2021 Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 1 Cách 1:Ta có (a b )( b c )( a c ) 0 .Từ đó có a b c2021 a b c a b c kết quả Cách 2:Hiển nhiên a, b, c 6 khác 0.Vì a + b + c = 2021 nên ab 0 11 1 1 1 1 .Suy ra (a b )( b c )( a c ) 0 b c 0 . Nếu a + 2021 abc a b c a b c ca 0 b = 0, khi đó vì a + b + c = 2021 nên c = 2021. Lập luận tƣơng tự cho hai trƣờng hợp còn lại ta thu đƣợc điều phải chứng minh.Bài toán đƣợc chứng minh hoàn toàn. Câu 5. (3,0 điểm) Cho đƣờng tròn tâm O.Từ A ngoài đƣờng tròn kẻ hai tiếp tuyến AB,AC với A,B tiếp điểm và cát tuyến ADE(D nằm giữa A,E).Gọi I là giao điểm OA và BC.Từ I kẻ đƣờng thẳng song song BE cắt AB tại J,cắt BD tại M. a.Chứng minh MI.CE=BM.CD b.Chứng minh MI=MJ. Lời giải a) Chứng minh rằng MI · CE = BM · CD.Ta có∠MIB = ∠IBE = ∠CBE = ∠CDE và ∠MBI = ∠DBC = ∠DEC. Do đó MBI đồng dạng CED.Suy ra MI · CE = BM · CD. a) Chứng minh rằng MI = MJ.Gọi K là trung điểm của DE thì năm điểm A, B, O, K và C cùng nằm trên một đƣờng tròn. • Ta chứng minh IEB đồng dạng CED đồng dạng MBI. Thật vậy, ta chứng minh đƣợc DKC đồng dạng BEC. DK CD Vì:∠DKC = ∠ABC = ∠BEC; ∠CDK = ∠CBE.Suy ra BE CB 1 BI BE ⇔ DE · BC = DC · BE ⇔ BI · DE = DC · BE ⇔ 2 CD DE Mặt khác, ta cũng có ∠IBE = ∠CDE.Nên IEC đồng dạng BED.
5. Do đó IEB đồng dạng CED đồng dạng MBI. Ta cũng chứng minh đƣợc MI BI JI JI BC EBC đồng dạng BIJ (g − g).Do đó 2 IB BE BC IM IB ⇒ IJ = 2IM ⇒ IM = JM.Bài toán đƣợc giải quyết hoàn toàn. Câu 6. (2,0 điểm) Cho tự nhiên abc có 3 chữ số.Chứng minh 199 100a 10 b c 100 19 abc Lời giải Ta sẽ chứng minh bài toán này bằng cách biến đổi tƣơng đƣơng. 199 100a 10 b c • Ta chứng minh (1). Bất đẳng thức (1) tƣơng đƣơng với 19 abc 199(a + b + c) 19(100a + 10b + c)⇔ 189a b + 20c. (2). Thế nhƣng bất đẳng thức (2) đúng vì a 1, b 9, c 9 nên 189a 189 = 9 + 20 · 9 b + 20c.Do đó . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 1, b = c = 9. 100a 10 b c • Ta chứng minh 100 . (3). Bất đẳng thức (3) tƣơng đƣơng với abc 100(a + b + c) 100a + 10b + c⇔ 10b + 11c 0. (4). Thế nhƣng bất đẳng thức (4) đúng vì b 0, c 0 nên 10b + 11c 0.Do đó .Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a nguyên dƣơng bất kỳ, 1 a 9 và b = c = 0.Bài toán đƣợc chứng minh hoàn toàn.