Đề thi thử tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2018-2019 - Phòng GD & ĐT Tây Hồ (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2018-2019 - Phòng GD & ĐT Tây Hồ (Có đáp án)

1. Quận Tây Hồ, năm học 2018 – 2019 Đề thi thử vào lớp 10 Ngày 19.05.2018 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH LỚP 10 QUẬN TÂY HỒ, NĂM HỌC 2018-2019 Ngày thi: 19.05.2018 Phần 1: Đề bài Bài 1: (2,0 điểm) √ + 2 + 3√ 1 Cho hai biểu thức = và = + (với ≥ 0, ≠ 25) √ − 5 − 25 √ + 5 25 a) Tính giá trị của khi = . 16 b) Rút gọn biểu thức: = . c) Tìm các giá trị của để (√ + 2) ≥ 3 + 1. Bài 2: (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc. Thời gian để đội làm một mình xong công việc đó ít hơn thời gian đội làm một mình xong công việc đó là 4 giờ. Tổng thời gian này gấp 4,5 lần thời gian hai đội cùng làm chung để xong công việc đó. Hỏi mỗi đội làm một mình sau bao lâu thì hoàn thành công việc. Bài 3: (2,0 điểm) 1 3 − = −1 √ 2 + 1 √ − 1 1) Giải hệ phương trình: 2 4 + = 3 { √ 2 + 1 √ − 1 2) Cho đường thẳng ( ): = − 2 và parabol (푃): = − 2 a) Chứng minh rằng ( ) luôn cắt (푃) tại hai điểm nằm ở hai phía trục tung với mọi giá trị của m. b) Gọi ( 1, 1) và ( 2; 2) là tọa độ các giao điểm của ( ) và (푃). Tìm giá trị của sao cho: 1 + 2 = −8 1 2 Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn ( , 푅), dây cố định. Điểm là điểm chính giữa của cung nhỏ , điểm di chuyển trên cung lớn . Nối cắt tại , hạ vuông góc với tại . a) Chứng minh , , , thuộc một đường tròn. b) Gọi cắt tại . Chứng minh . = . . c) Chứng minh đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác . d) Gọi đường thẳng cắt tại . Tìm vị trí điểm trên cung lớn để diện tích tam giác lớn nhất. Bài 5: (0,5 điểm) 1 1 1 Cho , , là các số dương thỏa mãn điều kiện + + = 2. + +1 + +1 + +1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 푃 = ( + )( + )( + ) Sưu tầm và Biên soạn: Lê Minh Đức – 0903358556 Địa chỉ: 2504D – Chung cư Mandarin Garden 2, đường Tân Mai, quận Hoàng Mai, Hà Nội
2. Quận Tây Hồ, năm học 2018 – 2019 Đề thi thử vào lớp 10 Ngày 19.05.2018 Phần 2: Hướng dẫn giải Bài 1: (2,0 điểm) √ + 2 + 3√ 1 Cho hai biểu thức = và = + (với ≥ 0, ≠ 25) √ − 5 − 25 √ + 5 25 a) Tính giá trị của khi = . 16 b) Rút gọn biểu thức: = . c) Tìm các giá trị của để (√ + 2) ≥ 3 + 1. Hướng dẫn giải 25 a) Khi = thì 16 √25 5 16 + 2 + 2 13 −15 −13 = = 4 = : = 5 4 4 15 √25 − 5 16 − 5 4 b) Với ≥ 0; ≠ 25 thì + 3√ 1 √ + 2 + 3√ 1 √ + 2 = = ( + ) : = [ + ] : − 25 √ + 5 √ − 5 (√ + 5)(√ − 5) √ + 5 √ − 5 + 3√ + √ − 5 √ + 2 + 4√ − 5 √ − 5 ⇔ = : = . (√ + 5)(√ − 5) √ − 5 (√ + 5)(√ − 5) √ + 2 (√ − 1)(√ + 5) √ − 5 √ − 1 ⇔ = . = (√ + 5)(√ − 5) √ + 2 √ + 2 −1 Vậy với ≥ 0; ≠ 25 thì = √ . √ +2 c) √ −1 Với ≥ 0; ≠ 25 thì (√ + 2) ≥ 3 + 1 ⇔ . (√ + 2) ≥ 3 + 1 ⇔ √ − 1 ≥ 3 + 1 √ +2 ⇔ 3 + 2 ≤ √ ⇔ (3 + 2)2 ≤ ⇔ 9 2 + 11 + 4 ≤ 0 (1) Cách 1: 11 ≥ 0 11 ≥ 0 ∀ thỏa mãn điều kiện xác định ≥ 0 ⇒ { ⇒ { , mà 4 > 0 2 ≥ 0 9 2 ≥ 0 ⇒ 9 2 + 11 + 4 > 0 (2) Từ (1) và (2) ⇒ ∈ ∅ Cách 2: Có 11 4 11 121 23 11 2 23 9 2 + 11 + 4 = 9 ( 2 + + ) = 9 ( 2 + 2. . + + ) = 9 ( + ) + 9 9 18 324 324 18 36 11 2 Vì ( + ) ≥ 0 ∀ thỏa mãn điều kiện xác định 18 11 2 ⇒ 9 ( + ) ≥ 0 ∀ thỏa mãn điều kiện xác định 18 Sưu tầm và Biên soạn: Lê Minh Đức – 0903358556 Địa chỉ: 2504D – Chung cư Mandarin Garden 2, đường Tân Mai, quận Hoàng Mai, Hà Nội
3. Quận Tây Hồ, năm học 2018 – 2019 Đề thi thử vào lớp 10 Ngày 19.05.2018 11 2 23 23 ⇒ 9 ( + ) + ≥ > 0 (3) 18 36 36 Từ (1) và (3) ⇒ ∈ ∅. Vậy không có giá trị nào của đề (√ + 2) ≥ 3 + 1. Bài 2: (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc. Thời gian để đội làm một mình xong công việc đó ít hơn thời gian đội làm một mình xong công việc đó là 4 giờ. Tổng thời gian này gấp 4,5 lần thời gian hai đội cùng làm chung để xong công việc đó. Hỏi mỗi đội làm một mình sau bao lâu thì hoàn thành công việc. Hướng dẫn giải Gọi thời gian đội thứ làm một mình xong công việc là (ℎ) Suy ra thời gian đội thứ làm một mình xong công việc là: + 4(ℎ) 1 1 2 +4 Trong một giờ hai đội làm chung được + = (công việc) +4 ( +4) ( +4) Thời gian để hai đội làm chung xong công việc là: (h) 2 +4 Do tổng thời gian hai đội làm một mình xong công việc gấp 4,5 lần thời gian hai đội cùng làm chung để xong công việc nên có phương trình: ( + 4) + ( + 4) = 4,5. 2 + 4 9 ( + 4) ⇔ 2 + 4 = ⋅ ⇔ 2(2 + 4)2 = 9 ( + 4) 2 2 + 4 ⇔ 8 2 + 32 + 32 = 9 2 + 36 ⇔ 2 + 4 − 32 = 0 ⇔ 2 + 8 − 4 − 32 = 0 ⇔ 2 + 8 − 4 − 32 = 0 = −8 ⇔ 2 + 4 − 32 = 0 ⇔ [ 1 2 = 4 So với điều kiện, 2 = 4 thỏa mãn. Vậy đội thứ làm một mình sau 4 giờ sẽ hoàn thành công việc, đội thứ làm một mình sau 4 + 4 = 8 giờ sẽ hoàn thành công việc. Bài 3: (2,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình: 1 3 − = −1 √ 2 + 1 √ − 1 2 4 + = 3 { √ 2 + 1 √ − 1 2) Cho đường thẳng ( ): = − 2 và parabol (푃): = − 2 a) Chứng minh rằng ( ) luôn cắt (푃) tại hai điểm nằm ở hai phía trục tung với mọi giá trị của m. b) Gọi ( 1, 1) và ( 2; 2) là tọa độ các giao điểm của ( ) và (푃). Tìm giá trị của sao cho: 1 + 2 = −8 1 2 Hướng dẫn giải Sưu tầm và Biên soạn: Lê Minh Đức – 0903358556 Địa chỉ: 2504D – Chung cư Mandarin Garden 2, đường Tân Mai, quận Hoàng Mai, Hà Nội
4. Quận Tây Hồ, năm học 2018 – 2019 Đề thi thử vào lớp 10 Ngày 19.05.2018 1) 1 3 − = −1 √ 2 + 1 √ − 1 2 4 + = 3 { √ 2 + 1 √ − 1 Điều kiện: > 1 Đặt; ta có 1 = √ 2 + 1 ( , > 0) 1 = { √ − 1 Khi đó, hệ phương trình đã cho trở thành: 1 1 = = − 3 = −1 2 − 6 = −2 −10 = −5 { ⇔ { ⇔ { ⇔ { 2 ⇔ { 2 2 + 4 = 3 2 + 4 = 3 − 3 = −1 1 1 − 3 = −1 = 2 2 So với điều kiện, thỏa mãn. Khi đó ta có 1 1 = √ 2 + 1 2 √ 2 + 1 = 2 2 + 1 = 4 ⇔ { ⇔ { ⇔ { = ±√3 1 1 √ − 1 = 2 − 1 = 4 = 5 = { √ − 1 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( , ) ∈ {(√3; 5); (−√3; 5)}. 2.) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (푃) ta có − 2 = − 2 ⇔ 2 + − 2 = 0 (∗) ( = 1; = ; = −2) . = −2 < 0 ⇒phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu với mọi m. ⇒phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi m. Vậy ( ) luôn cắt (푃) tại hai điểm nằm ở hai phía trục tung với mọi giá trị của m. b) 2 + − 2 = 0 Áp dụng định lý Vi-et ta có: − 푆 = + = = − 1 2 { 푃 = . = = −2 1 2 ( ) luôn cắt (푃) tại hai điểm ( 1; 1), ( 2; 2) nằm ở hai phía trục tung với mọi giá trị của m. 2 2 2 Ta có ( 1; 1); ( 2; 2) ∈ (푃): = − nên 1 = − 1 ; 2 = − 2 2 2 2 2 1 + 2 = −8 1. 2 ⇔ − 1 + (− 2 ) = −8(− 1 ). (− 2 ) Sưu tầm và Biên soạn: Lê Minh Đức – 0903358556 Địa chỉ: 2504D – Chung cư Mandarin Garden 2, đường Tân Mai, quận Hoàng Mai, Hà Nội
5. Quận Tây Hồ, năm học 2018 – 2019 Đề thi thử vào lớp 10 Ngày 19.05.2018 2 2 2 2 2 2 2 ⇔ 1 + 2 = 8 1 . 2 ⇔ ( 1 + 2) − 2 1 2 = 8 1 . 2 ⇔ 푆2 − 2푃 = 8푃2 ⇔ (− )2 − 2. (−2) = 8. (−2)2 ⇔ 2 + 4 = 32 ⇔ 2 = 28 ⇔ = ±2√7 Vậy = ±2√7 thì 1 + 2 = −8 1. 2. Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn ( , 푅), dây cố định. Điểm là điểm chính giữa của cung nhỏ , điểm di chuyển trên cung lớn . Nối cắt tại , hạ vuông góc với tại . a) Chứng minh , , , thuộc một đường tròn. b) Gọi cắt tại . Chứng minh . = . . c) Chứng minh đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác . d) Gọi đường thẳng cắt tại . Tìm vị trí điểm trên cung lớn để diện tích tam giác lớn nhất. Hướng dẫn giải A x B D C I H O M K E a) Vì là điểm nằm chính giữa cung nhỏ nên ⏜ = ⏜ ⇒ ̂ = ̂ (tính chất 2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau trong đường tròn ( )) Sưu tầm và Biên soạn: Lê Minh Đức – 0903358556 Địa chỉ: 2504D – Chung cư Mandarin Garden 2, đường Tân Mai, quận Hoàng Mai, Hà Nội
6. Quận Tây Hồ, năm học 2018 – 2019 Đề thi thử vào lớp 10 Ngày 19.05.2018 Do đó là đường phân giác 훥 (định nghĩa) Ta có 훥 cân tại (do = = ) nên đồng thời là đường cao của 훥 . ⇒ ⊥ (tính chất đường cao trong tam giác). Xét tứ giác có: ̂ = 90° (do ⊥ ) ̂ = 90° (do ⊥ ) Mà ̂ , ̂ cùng nhìn cạnh (I và H là hai đỉnh kề nhau). Nên tứ giác nội tiếp được (dấu hiệu nhận biết). Vậy , , , cùng thuộc một đường tròn. b) Xét 훥 và 훥 có: ̂ = ̂ = 90∘ ̂ = ̂ - hai góc đối đỉnh. ⇒ 훥 ∼ 훥 (g.g) ⇒ = ⇒ . = . Suy ra điều phải chứng minh. c) Cách 1: Điểm là điểm chinh giữa cung ⇒ ̂ = ̂ Ta có: 1 ̂ = ̂ (góc nột tiếp chắn cung ) 2 1 ⇒ ̂ = ̂ (1) ̂ = ̂ (góc nội tiếp chắn cung ) 2 ̂ = ̂ (chứng minh trên) } Kẻ tia tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác 퐾 sao cho và nằm ở cùng 1 nửa mặt phẳng bờ là tia . ⇒ ̂ = ̂ hay ̂ = ̂ (2) Từ (1) và (2) ⇒ ̂ = ̂ ⇒ ≡ . ⇒ là tia tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác . Cách 2: Gọi 퐾 là tâm đường tròn ngoại tiếp 훥 . là điểm chính giữa ⏜ (giả thiết) ⇒ ̂ = ̂ (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau). Mà ̂ = ̂ (2 góc nội tiếp cùng chắn ⏜ ) Do đó ̂ = ̂ (1). 1 Mặt khác trong (퐾) có: ̂ = 퐾 ̂ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung ) (2). 2 훥퐾 cân tại 퐾 (퐾 = 퐾 ) nên 퐾 ̂ = 퐾 ̂ (3). Từ (1), (2), (3) có: 퐾 ̂ + 퐾 ̂ + 퐾 ̂ = 180° (tổng ba góc trong 훥퐾 ) Sưu tầm và Biên soạn: Lê Minh Đức – 0903358556 Địa chỉ: 2504D – Chung cư Mandarin Garden 2, đường Tân Mai, quận Hoàng Mai, Hà Nội
7. Quận Tây Hồ, năm học 2018 – 2019 Đề thi thử vào lớp 10 Ngày 19.05.2018 ⇔ 2 ̂ + 2퐾 ̂ = 180° ⇔ ̂ + 퐾 ̂ = 90° ⇔ 퐾̂ = 90° ⇒ 퐾 ⊥ . Mà ∈ (퐾) ⇒ là tiếp tuyến của (퐾) tại B. Vậy tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp 훥 . d) Tứ giác nội tiếp ⇒ ̂ = ̂ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung ) hay ̂ = ̂. Mà ̂ = ̂ (góc nội tiếp cùng chắn cung của ( )) Suy ra ̂ = ̂ , mà 2 góc này ở vị trí đồng vị ⇒ ∥ hay ∥ . Mà là trung điểm của (giả thiết) ⇒ là đường trung bình trong 훥 (định lí) ⇒ là trung điểm của ⇒ là trung tuyến của tam giác (định nghĩa). Mà ⊥ (giả thiết) ⇒ là đường cao của tam giác . ⇒ 훥 cân tại . ⇒ 푆 = 2푆 1 2 + 2 2 ⇒ 푆 = 2. . . = . ≤ = 2 2 2 , cố định trên ( ) ⇒ không đổi. Dấu bằng xảy ra ⇔ = = ⇔ 훥 vuông cân ở . √2 ⇔ ̂ = 45° ⇔ ̂ = 45° 2 Vậy diện tích 훥 lớn nhất là khi điểm nằm trên ( ) sao cho ̂ = 45° (hay sđ ⏜ = 2 90°) Bài 5: (0,5 điểm) 1 1 1 Cho , , là các số dương thỏa mãn điều kiện + + = 2. + +1 + +1 + +1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 푃 = ( + )( + )( + ) Hướng dẫn giải Ta có: 1 1 1 1 1 = 2 − ( + ) = 1 − + 1 − + + 1 + + 1 + + 1 + + 1 + + 1 1 + + ⇔ = + + + 1 + + 1 + + 1 Với các số dương , , áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: + + + + + ≥ 2√ . > 0 + + 1 + + 1 + + 1 + + 1 1 + + ⇒ ≥ 2√ . > 0 (1) + + 1 + + 1 + + 1 Tương tự: Sưu tầm và Biên soạn: Lê Minh Đức – 0903358556 Địa chỉ: 2504D – Chung cư Mandarin Garden 2, đường Tân Mai, quận Hoàng Mai, Hà Nội
8. Quận Tây Hồ, năm học 2018 – 2019 Đề thi thử vào lớp 10 Ngày 19.05.2018 1 + + ≥ 2√ . > 0 (2) + + 1 + + 1 + + 1 1 + + ≥ 2√ . > 0 (3) + + 1 + + 1 + + 1 Từ (1); (2) và (3) ta suy ra 1 ≥ 8 ( + + 1)( + + 1)( + + 1) ( + )( + )( + ) 1 ⇔ ⇒ 푃 ≤ ( + + 1)( + + 1)( + + 1) 8 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: + + = + + 1 + + 1 + + = 1 + + 1 + + 1 ⇔ = = = + + 4 = + + 1 + + 1 1 1 1 + + = 2 { + + 1 + + 1 + + 1 1 = = = . 4 1 1 Vậy 푃 đạt giá trị lớn nhất là khi = = = . 8 4 Sưu tầm và Biên soạn: Lê Minh Đức – 0903358556 Địa chỉ: 2504D – Chung cư Mandarin Garden 2, đường Tân Mai, quận Hoàng Mai, Hà Nội
9. Quận Tây Hồ, năm học 2018 – 2019 Đề thi thử vào lớp 10 Ngày 19.05.2018 Sưu tầm và Biên soạn: Lê Minh Đức – 0903358556 Địa chỉ: 2504D – Chung cư Mandarin Garden 2, đường Tân Mai, quận Hoàng Mai, Hà Nội