Đề thi học sinh giỏi - Môn thi: Toán 9

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi - Môn thi: Toán 9

1. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI THANH HOÁ NĂM HỌC 2012 - 2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi : TOÁN (Đề gồm có 1 trang) Thời gian làm bài :150 phút Câu 1: (2.0 điểm ) x 2 x 3 x 2 x Cho biểu thức : A : 2 x 5 x 6 2 x x 3 x 1 1/ Rút gọn biểu thức A. 1 5 2/ Tìm các giá trị của x để A 2 Câu 2 (2,0 điểm ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax2 a 0 và đường thẳng (d): y = bx + 1 1/ Tìm các giá trị của a và b để (P) và (d) cùng đi qua điểm M(1; 2) 2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh rằng (P) và (d) còn có một điểm chung N khác M. Tính diện tích tam giác MON (với O là gốc toạ độ) Câu 3 (2.0 điểm) 1/ Cho phương trình: x2 (2m 1)x m2 m 6 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt x 1 y 1 2 2/ Giải hệ phương trình: 1 1 1 x y Câu 4 (3.0 điểm) : Cho A là điểm cố định nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ tiếp tuyến AP và AQ tới đường tròn (P và Q là các tiếp điểm). Đường thẳng đi qua O và vuông góc với OP cắt đường thẳng OQ tại M. 1/ Chứng minh rằng: MO = MA 2/ Lấy điểm N trên cung lớn PQ của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến với (O) tại N cắt các tia AP, AQ lần lượt tại B và C. Chứng minh rằng: a) AB AC BC không phụ thuộc vào vị trí của điểm N. b) Nếu tứ giác BCQP nội tiếp được trong một đường tròn thì PQ//BC Câu 5 (1.0 điểm) 1 2 Cho x, y là các số thực dương thoả mãn : 2 . Chứng minh rằng : x y 5x2 y 4xy y2 3 Hết Họ tên thí sinh Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2:
2. Bài giải Câu 1: (2.0 điểm ) x 2 x 3 x 2 x Cho biểu thức : A : 2 x 5 x 6 2 x x 3 x 1 1/ Rút gọn biểu thức A. x 2 x 3 x 2 x A : 2 (ĐK: x 0, x 4, x 9 ) x 5 x 6 2 x x 3 x 1 x 1 A = = x 4 1 5 2/ Tìm các giá trị của x để A 2 1 5 x 4 5 2x 8 5 x 5 A 2 x 1 2 1 1 2x 5 x 3 0 3 x 0 x 2 2 1 0 x 4 1 Kết hợp với ĐK 0 x 4 Câu 2 (2,0 điểm ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax2 a 0 và đường thẳng (d): y = bx + 1 1/ Tìm các giá trị của a và b để (P) và (d) cùng đi qua điểm M(1; 2) M (P) a = 2 y = 2x2 M (d) b = 1 y = x + 1 2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh rằng (P) và (d) còn có một điểm chung N khác M. Tính diện tích tam giác MON (với O là gốc toạ độ) Xét pt hoành độ gđ: 2x2 = x + 1 2x2 - x - 1 = 0 x 1 y 2 1 1 1 1 M 1;2 ; N ; x y 2 2 2 2 S MON Sthang S1 S2 0,75 (dvv) Câu 3 (2.0 điểm) 1/ Cho phương trình: x2 (2m 1)x m2 m 6 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt? phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
3. m 3 25 0 0 2 m 2 a.c 0 m m 6 0 m 2 1 b 2m 1 0 m 0 2 a x 1 y 1 2 (1) 2/ Giải hệ phương trình: 1 1 (ĐK: x 1; y 1) 1 (2) x y (2) x + y = xy (3) Hai vế của (1) đều dương ta bình phương hai vế ta có: x y 2 2 x 1 y 1 4 x y 2 2 xy x y 1 4 x+y=4 Thay (3) vào ta có: x + y = 4 kết hợp với (3) có hệ: xy=4 Áp dụng hệ thức Vi Ét ta có x; y là hai nghiệm của pt: X2 - 4x + 4 = 0 x = 2; y = 2 Câu 4 (3.0 điểm) : Cho A là điểm cố định nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ tiếp tuyến AP và AQ tới đường tròn (P và Q là các tiếp điểm). Đường thẳng đi qua O và vuông góc với OP cắt đường thẳng OQ tại M. B P 1 N A 1 2 1 O M 1 Q 1 C 1/ Chứng minh rằng: MO = MA A1 = O1 và A1 = A2 A2 = O1 MAO cân MO = MA 2/ Lấy điểm N trên cung lớn PQ của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến với (O) tại N cắt các tia AP, AQ lần lượt tại B và C. Chứng minh rằng: a) AB AC BC không phụ thuộc vào vị trí của điểm N. Theo t/c hai tia tiếp tuyến ta có AB + AC - BC = = 2.AP (không đổi) b) Nếu tứ giác BCQP nội tiếp được trong một đường tròn thì PQ//BC Nếu tứ giác BCQP nội tiếp được P1 = C1
4. mà P1 = Q1 C1 = Q1 PQ//BC Câu 5 (1.0 điểm) 1 2 Cho x, y là các số thực dương thoả mãn : 2 . Chứng minh rằng : x y 5x2 y 4xy y2 3 * Ta có: 5x2 y 4xy y2 3 4x2 4xy y2 x2 y 3 0 2x y 2 x2 y 3 0 1 2 2 1 2 2x 1 2x 2 2 y * x y y x y x 2x 1 2x 2 Vì : y > 0 ; x > 0 2x - 1 > 0 x > 1/2 Thay y vào x y 3 0 2x 1 2x 2x3 x2 2x 6x 3 x2 y 3 0 x2 3 0 0 Ta có: 2x 1 2x 1 (1) 3 2 3 2 Vì 2x - 1 > 0 (1) 2x x 2x 6x 3 0 2x x 4x 3 0 3 2 Mà 2x x 4x 3 2x3 2x2 x2 x 3x 3 x 1 2x2 x 3 x 1 2 2x 3 0 x 0 2 2 Vậy 2x y x y 3 0 x 0; y 0