Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Phòng giáo dục và đào tạo thành phố Buôn Ma Thuột (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Phòng giáo dục và đào tạo thành phố Buôn Ma Thuột (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS TP BUÔN MA THUỘT CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2017-2018 MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không tính giao đề) Ngày thi: 06/03/2018 Bài 1: (4,0 điểm) xx26x19 2x x3 a) Cho biểu thức K . Tìm điều kiện để K có nghĩa x 2 x 3 x 1 x 3 và rút gọn K. 2018x 2019 1 x2 2020 b) Cho B . Tìm giá trị nhỏ nhất của B. 1 x2 Bài 2: (4,5 điểm) a) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì: A 5n (5 n 1) 6 n (3 n 2 n ) 91 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x 8y 3(x2 xy y 2 ) 1 c) Giải phương trình: x2 3x 2 1 x x Bài 3: (3,5 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm giá trị của tham số m để hai đường thằng (d): y x 2 và (d’): y 3 mx cắt nhau tại một điểm có tọa độ dương. 1 4 9 3 b) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a b c . Tìm a, b, c. a b c 12 Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = AC = a. Gọi D là trung điểm của BC, E là một điểm di động trên đoạn thẳng AD. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của E lên các cạnh AB và AC. Kẻ HI vuông góc với DK (với I DK ). Đường thẳng DK cắt đường thăng vuông góc với AB tại B ở F. a) Chứng minh rằng năm điểm A, H, E, I, K cùng thuộc một đường tròn. b) Tính số đo góc HIB. c) Chứng minh rằng ba điểm B, E, I thẳng hàng. d) Tìm vị trí của E trên AD để diện tích tam giác ABI lón nhất. Tính giá trị lớn nhất đó theo a. Bài 5: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O,R) vẽ tứ giác ABCD có 4 đỉnh thuộc đường tròn (O). a) Chứng minh AB.DC + AD.BC = BD.AC b) Gọi D là điểm chính giữa của cung lớn BC có chứa đỉnh A. Trên BC chọn I sao cho BI = 2IC, DI cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai là E. AE.BC Chứng minh AB 2AE CE Hết GGVV::: NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HảHảiii –– TTHHCCSS NNgguuyyễễnn CChhííí TThhaannhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk (((SSưưuu tttầầmm vàvà ggiiiớớiii ttthhiiiệệuu))) tttrrraanngg 11
2. BÀI GIẢI SƠ LƯỢC Bài 1: (4,0 điểm) x 0 x 2 x 3 0 x 0 a) K có nghĩa x 1 0 x 1 x 3 0 xx26x19 2x x3 x x 26 x 19 2 x x 3 x 3 x 1 K x 2 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 x x 26 x 19 2x 6 x x 4 x 3 x x x 16 x 16 x 1 x 16 x 16 x1x3 x1x3 x1x3 x 3 2018x 2019 1 x2 2020 b) Cho B . Tìm giá trị nhỏ nhất của B. 1 x2 a 1 x a 1 x2 a 1 a 1 x a 1 (ĐK: 1 x 1) Đặt a 2019 , ta có B a M a 1 x2 1 x 2 a1x 22 2a1x 2 a1 2 4a1x 2 a1x 2 2 2a1x 2 a1 2 M2 1 x2 1 x 2 2 a 1 x a 1 2 4a 4a do1 x2 0, a 1 x a 1 0 1 x2 M 2 a B 2 a a 2 2019 2019 a 1 2018 1009 Đẳng thức xảy ra a 1 x a 1 0 x (TMĐK) a 1 2020 1010 Bài 2: (4,5 điểm) a) A 5n (5 n 1) 6 n (3 n 2 n ) 25n 5 n 18 n 12 n 25 n 18 n 12 n 5 n  7 lại có A 25n 5 n 18 n 12 n 25 n 12 n 18 n 5 n  13 ; mặt khác 7;13 1 A713  91 b) x 8y 3(x2 xy y 2 ) 3x 2 3y 1 x 3y 2 8y 0 * Ta có 3y 1 2 12 3y2 8y 27y 2 90y 1. 15 2 57 15 2 57 Do đó * có nghiệm 0 27y90y102 y y0;1;2;3  9 9 +) y0 3x 2 x0x3x10x0 (vì x Z ) +) y1 3x 2 2x50 x13x50 x1 (vì x Z ) 5 73 +) y 2 3x 2 5x 4 0 x (loại, vì x Z ) 6 4 7 +) y 3 3x 2 8x 3 0 x (loại, vì x Z ) 3 Vậy các cặp số nguyên x; y cần tìm là 0;0 ; 1;1 0 x 1 c) ĐKXĐ: x 2 GGVV::: NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HảHảiii –– TTHHCCSS NNgguuyyễễnn CChhííí TThhaannhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk (((SSưưuu tttầầmm vàvà ggiiiớớiii ttthhiiiệệuu))) tttrrraanngg 22
3. 1 1 1 2 x3x21x2 x3x2x 2 1 x2 3x 2 x 2 1 2 x 2x x x x x 2 1 1 1 1 x 2 x 1 0 x 2 x 1 0 x x x x 1 5 2 x 0 1 2 x 1 0 x x 1 0 x 1 5 x 0 2 3 5 x (TMĐK) 2 Bài 3: (3,5 điểm) a) (d) cắt (d’) 1 m m 1 Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (d’) là: 5 x 2 3 mx m 1 x 5 x (do m 1) m 1 5 3 2m Khi đó y 2 m 1 m 1 5 0 m 1 m 1 0 3 Tọa độ giao điểm của (d) và (d’) dương 1 m (TMĐK) 3 2m 3 2m 0 2 0 m 1 2 a2 b 2 a b b) Với a, b, x, y là các số dương ta chứng minh minh 1 x y x y 2 1 a2 y b 2 x x y xy a b a 2 xy a 2 y 2 b 2 x 2 b 2 xy a 2 xy b 2 xy 2 abxy 0 2 a2 y 2 b 2 x 2 2 abxy 0 ay bx 0 Luon dung voi moi a , b , x , y a b Dấu “=” xảy ra khi ay bx 0 x y 2 a2 b 2 c 2 a b c Dựa vào (1) ta chứng minh 2 với a, b, c, x, y, z các số dương. x y z x y z 2 2 a2 b 2 c 2 a b c 2 a b c a b c Thật vậy . Dấu “=” xảy ra khi x y z x y z x y z x y z 2 1 4 9 1 2 3 36 36 Áp dụng (2), ta có: 3 (vì 0 a b c 12 ) a b c a b c a b c 12 1 2 3 a 2 Dấu ”=” xảy ra a b c b 4 a b c 12 c 6 Bài 4: (4,5 điểm) a) Chứng minh rằng năm điểm A, H, E, I, K cùng thuộc một đường tròn. Dễ dàng chứng minh tứ giác AHEK là hình vuông A, H, E, K thuộc đường tròn đường kính HK Lại có HIK 900 I thuộc đường tròn đường kính HK GGVV::: NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HảHảiii –– TTHHCCSS NNgguuyyễễnn CChhííí TThhaannhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk (((SSưưuu tttầầmm vàvà ggiiiớớiii ttthhiiiệệuu))) tttrrraanngg 33
4. Vậy A, H, E, K, I thuộc đường tròn đường kính HK A b) Tính số đo góc HIB. BDF CDK g.c.g BF CK , lại có H K BH AB AH AC AK CK BF BH mà HBF 900 BF  AB nên BHF vuông cân I E tại B HFB 45 0 Tứ giác BHIF có HIF HBF 900 gt tứ B D C giác BHIF nội tiếp HIB HFB 45 0 c) Chứng minh rằng ba điểm B, E, I thẳng hàng. Ta có HAE 45 0 (do tứ giác AHEK là hình F vuông) Vì A, H, E, K, I thuộc đường tròn đường kính HK (câu a) HIE HAE 45 0 , mặt khác HIB 45 0 (cmt) B, E, I thẳng hàng d) Tìm vị trí của E trên AD để diện tích tam giác ABI lón nhất. Tính giá trị lớn nhất đó theo a. 2 2 1 1 AI BI 12 1 2 ABI vuông tại I (gt), nên SABI AI  BI  AB a 2 2 2 4 4 C Đẳng thức xảy ra AI BI I  D E  D 1 max S a2 E  D Vậy ABI D K 4 O Bài 5: (4,0 điểm) a) Chứng minh AB.DC + AD.BC = BD.AC Trên đoạn thẳng AC lấy điểm K sao cho ABK CBD Ta có: ABK CBD ABD DBK KBC DBK ABD KBC A B Xét ABD và KBC: ABD KBC (cmt), ADB KCB (góc nội tiếp cùng chắn cung AB ) AD KC Vậy ABD KBC (g.g) AD  BC KC. BD a BD BC Xét ABK và DBC: ABK DBC (gt), BAK BDC (góc nội tiếp cùng chắn cung BC ) AB DB Vậy ABK DBC (g.g) AB  DC AK. BD b AK DC Từ a) và b)   ABDC ADBC AKBD.    KC BD BD AK KC BD AC AE.BC b) Chứng minh AB 2AE CE Cần xem lại đề !!!!!! (Kiểm nghiệm trên sketpad dưới đây) GGVV::: NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HảHảiii –– TTHHCCSS NNgguuyyễễnn CChhííí TThhaannhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk (((SSưưuu tttầầmm vàvà ggiiiớớiii ttthhiiiệệuu))) tttrrraanngg 44
5. Trường hợp này đúng m CI = 1,81 cm m BI = 3,62 cm C m BI-2m CI = 0,00 cm I E m BA = 6,34 cm O D m AE = 7,82 cm m CB = 5,43 cm A B m CE = 1,93 cm m AC = 7,82 cm m BAD = 136,46 m CGD = 136,46 m AEm CB m BA+2m AE - = 0,00 cm m CE Trường hợp này sai C m CI = 3,07 cm E m BI = 6,14 cm I m BI-2m CI = 0,00 cm m BA = 8,56 cm O m AE = 10,61 cm D m CB = 9,20 cm m CE = 3,48 cm A B m AC = 9,75 cm m BAD = 120,08 m CGD = 120,08 m AEm CB m BA+2m AE - = 1,70 cm m CE GGVV::: NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HảHảiii –– TTHHCCSS NNgguuyyễễnn CChhííí TThhaannhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk (((SSưưuu tttầầmm vàvà ggiiiớớiii ttthhiiiệệuu))) tttrrraanngg 55
6. Bàn luận: Đẳng thức cần chứng minh ABCE  2AE  CE AE  BC * Áp dụng kết quả câu a) tứ giác ABEC nội tiếp đường tròn (O) nên ta có: AB CE BE  AC AE.BC , do đó để chứng minh * ta cần chứng minh CE AC 2AE CE BE  AC BE 2AE CE IC 1 Lại có CD BAD CED BED EI là phân giác của BCE IB 2IC BE IB 2 AC 1 Nên để chứng minh ta chứng minh AC AE !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 2AE 2 Cần thêm điều kiện gì thì mới có AC = AE đây ! (Mời các bạn suy nghĩ nhé, tui đau đầu rồi) GGVV::: NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HảHảiii –– TTHHCCSS NNgguuyyễễnn CChhííí TThhaannhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk (((SSưưuu tttầầmm vàvà ggiiiớớiii ttthhiiiệệuu))) tttrrraanngg 66