Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Ngãi (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Ngãi (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH QUẢNG NGÃI LỚP 9 NĂM HỌC 2017 - 2018 Ngày thi: 30/3/2018 ĐỀ CHÍNH TH ỨC Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 01208127776.Nguồn gốc : sưu tầm đề và tự tay gõ đáp án Bài 1: (4,0 điểm) a) Chứng minh rằng: 113 +123 +133 + + 19453 6. b) Tìm số tự nhiên a, biết a + 7 và a – 82 là các số chính phương. c) Tính số học sinh của một trường THCS. Biết số học sinh của trường đó từ khoảng 700 đến 750 học sinh và khi xếp hàng 20 thì thừa 9, khi xếp hàng 15 thì thiếu 6. Bài 2: (4,0 điểm) x x 3 x 3 2( x 3) 1/ Cho biểu thức C = với xx 0, 9 . x 2 x 3 3 x x 1 a) Rút gọn biểu thức C. b) Tìm x để biểu thức C đạt giá trị nhỏ nhất. 2/ Chứng minh rằng với mọi n N* thì 1 2 3 n D 1. 1 12 1 4 1 2 2 2 4 1 3 2 3 4 1 nn 2 4 Bài 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình 2x2 +x+3=3x x+3 . 11 xy b) Giải hệ phương trình xy 3 xy 21 Bài 4: (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O,R). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tai H. Kẻ AD cắt cung BC tại M. a) Chứng minh tam giác BMH cân. b) Chứng minh: AE.CD.BF = AF.BD.CE = DE.EF.FD c) Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác HAB theo R. AD BE CF d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để biểu thức đạt giá trị nhỏ HD HE HF nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó. Bài 5: (3,0 điểm) a) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. Chứng minh rằng : 33BC2 3 BD 2 CE 2 . b) Cho tam giác ABC cân tại C, cạnh AB = 3 , đường cao CH = 2 . Gọi M là trung điểm HB, N là trung điểm của BC; AN và CM cắt nhau tại K. Chứng minh: KH là phân giác của tam giác AKM.
2. HẾT Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
3. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH QUẢNG NGÃI LỚP 9 NĂM HỌC 2017 - 2018 Ngày thi: 30/3/2018 ĐỀ CHÍNH TH ỨC Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN - LỚP 9 Bài 1: (4,0 điểm) a) Chứng minh rằng: 113 +123 +133 + + 19453 6. b) Tìm số tự nhiên a, biết a + 7 và a – 82 là các số chính phương. c) Tính số học sinh của một trường THCS. Biết số học sinh từ khoảng 700 đến 750 học sinh và khi xếp hàng 20 thì thừa 9, khi xếp hàng 15 thì thiếu 6. Tóm tắt cách giải Điểm a) Ta có n3 – n = n(n2 – 1) = n(n -1)(n+1) = (n-1)n(n+1) Vì n Z nên (n-1)n(n+1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên A' 3! 0,5 điểm Hay n3 – n 6 Nên (113 11) (12 3 12) (13 3 13) (1945 3 1945) 6 (113 12 3 13 3 1945 3 ) (11 12 13 1945) 6 0,5 điểm Mà 1935(1945 11) 1935.1956 11 12 13 1945 1935.978 1935.163.6 6 22 Do đó suy ra 113 +123 +133 + + 19453 6. 0,5 điểm b) Vì a + 7 và a – 82 là các số chính phương 0,25 điểm 2 2 Đặt a + 7 = m , a – 82 = n với m, n N. 0,25 điểm 0,25đ 2 2 m – n = 89 (m – n)(m + n) = 89 0,5 điểm 0,25đ m n 1 m 45 Vì 89 là số nguyên tố và m – n < m + n nên 0,25 điểm 0,75đ m n 89 n 44 2 Khi đó a + 7 = 45 a = 2018. Vậy a = 2018 0,25 điểm 0,25đ c) Gọi x là số học sinh trường THCS ( xN * ). Do đó 700 < x < 750 x 9 20 x 9 20.3 20 x 51 20 và x 51 BC (20,15) 0,25 điểm x 6 15 x 6 15.3 15 x 51 15 Mà BCNN(20;15) = 60 x 51 B (60) 60 k ( kN ) 0,25 điểm 751 801 Vì 700 x 750 751 x 51 801 751 60 k 81 k 60 60 0,25 điểm 31 21 12 k 13 . 60 60 Suy ra k = 13. Do đó x 51 60 k 60.13 780 x 729. Vậy số học sinh trường THCS đó là 729 (học sinh) 0,25 điểm
4. Bài 2: (4,0 điểm) x x 3 x 3 2( x 3) 1/ Cho biểu thức C = với xx 0, 9 . x 2 x 3 3 x x 1 a) Rút gọn biểu thức C. b) Tìm x để biểu thức C đạt giá trị nhỏ nhất. 2/ Chứng minh rằng với mọi n N* thì 1 2 3 n D 1 1 12 1 4 1 2 2 2 4 1 3 2 3 4 1 nn 2 4 Tóm tắt cách giải Điểm 1a) 2 x x 3 x 3 2( x 3)x x 3 ( x 3) x 1 2( x 3) x 8 C 1,5 điểm x 233 x x x 1 (1)(3) x x x 1 xx 8 1 9 9 0,75 điểm 1b) Ta có C = x 1 2 2 9 2 4 x 1 x 1 x 1 9 0,5 điểm Dấu “=” xảy ra xx 14 x 1 Vậy: x = 4 thì MinC = 4 0,25 điểm * k 1 1 1 0,5 điểm 2/ Với mọi k N , ta có : 4 2 2 2 k k 1 2 k k 1 k k 1 (với ( kn 1, ) 1 1 1 1 1 1 1 1 0,25 điểm Do đó D 1 22 2 3 3 7 7 13n n 1 n n 1 1 11 2 0,25 điểm nn 1 Bài 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình 2x2 +x+3=3x x+3 . 11 xy b) Giải hệ phương trình xy 3 xy 21 Tóm tắt cách giải Điểm a) ĐK: x -3 0,25 điểm Ta có 2x2 x 3 3 x x+3 2x2 -x x+3-2x x+3+x+3=0 x(2x- x+3)- x+3(2x- x+3)=0 (2x- x+3)(x- x+3)=0 0,25điểm 2x - x+3 = 0 (1) hoặc xx 30 (2) 0,25 điểm
5. Giải (1) 2x - x+3 =0 2x = x+3 ĐK: x 0 4x2 - x -3=0 x = 1 (TM), x = -3/4 ( loại) 0,5 điểm Giải (2) x x 3 0 x x 3 ĐK: 1 13 1 13 xx2 30 x (TM), x (loại) 2 2 0,5 điểm 1 13 Vậy S 1;  2 0,25 điểm b) ĐKXĐ: xy 0, 0 0,25 điểm 11 xy (1) xy 3 xy 2 1(2) xy 1 Từ (1) (xy )(1 ) 0 1 xy y x 15 0,5 điểm +Với x = y : Từ (2) x3 2 x 1 0 x 1hoặc x 2 1 + Với y : Từ (2) suy ra x4 + x + 2 = 0 x 4 2 2 0,5 điểm x - 2x + 1 + 2x + x + 1 = 0 (x2 – 1)2 + x2 + x2 +x + 1= 0 Ta có (x2 – 1)2 + x2 + x2 + x + 1> 0 vì x2 + x + 1> 0 0,25 điểm Nên x4 + x + 2 > 0 Do đó x4 + x + 2 = 0 vô nghiệm 1 5 1 5 0,25 điểm Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm là (1;1); ; ; 22 1 5 1 5 ; 0,25 điểm 22 Bài 4: (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O,R). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tai H. Kẻ AD cắt cung BC tại M. a) Chứng minh tam giác BMH cân. b) Chứng minh: AE.CD.BF = AF.BD.CE = DE.EF.FD c) Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác HAB theo R. AD BE CF d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để biểu thức đạt giá trị nhỏ HD HE HF nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
6. Tóm tắt cách giải Điểm A E P 0,5 điểm F H O B C D M Ta có tứ giác ABMC nội tiếp MBC MAC (cùng chắn cung MC) (1) 0,25 điểm Ta có tứ giác ABDE nội tiếp (vì D, E cùng nhìn cạnh AB dưới 1 góc 900) 0,5 điểm EAD DBE (cùng chắn cung DE) (2) 0,25 điểm Từ (1) và (2) suy ra MBC EBC . hay BC là phân giác MBH mà BC  AD (gt) 0,5 điểm Do đó BMH cân tại B. b) Ta có tứ giác BCEF nội tiếp nên AEF ABC AE AF EF AEF ABC (3) AB AC BC 0,25 điểm CD CE DE Tương tự : CED CBA (4) AC BC AB 0,25 điểm BF BD DF BDF BAC (5) BC AB AC 0,25 điểm AE CD BF AF CE BD EF DE DF Từ (3), (4), (5) suy ra AB AC BC AC BC AB BC AB AC 0,25 điểm AE.CD.BF = AF.BD.CE = DE.EF.FD (đpcm)
7. c) Ta có HBC = MBC (c.g.c) Mà M, B, C nằm trên (O;R). Do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp 0,25 điểm HBC có cùng bán kính đường tròn ngoại tiếp MBC là R. Kéo dài CF cắt đường tròn (O;R) tại P 0,25 điểm Chứng minh tương tự ta cũng có HAB = PAB (c.g.c), nên HAB cũng có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R. 0,25 điểm Do đó diện tích hình tròn ngoại tiếp HAB là: R2 (đvdt) 0,25 điểm HD HE HF SSSS 0,25 điểm d)Ta có HBC HAC HAB ABC 1 AD BE CF SABC S ABC S ABC S ABC 1 1 1 Với x, y, z > 0 thì ta có bất đẳng thức (x y z ) 9 . 0,25 điểm x y z Đẳng thức xảy ra khi x = y = z. HD HE HF AD BE CF Áp dụng BĐT trên ta có 9 AD BE CF HD HE HF AD BE CF 0,25 điểm 9 HD HE HF HD HE HF Dấu “=” xảy ra ABC đều. AD BE CF AD BE CF 0,25 điểm Do đó đạt giá trị nhỏ nhất là 9. HD HE HF Bài 5: (3,0 điểm) a) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. Chứng minh rằng : 33BC2 3 BD 2 CE 2 . b) Cho tam giác ABC cân tại C, cạnh AB = 3 , đường cao CH = 2 . Gọi M là trung điểm HB, N là trung điểm của BC; AN và CM cắt nhau tại K. Chứng minh: KH là phân giác của tam giác AKM. Tóm tắt cách giải Điểm A E 0,25 điểm D C B H a) Chứng minh rằng : . Ta có BD = BH.cosB = AB.cosB.cosB = AB.cos2B = BC.cosB. cos2B 0,25 điểm BD = BC.cos3B
8. BD2 = BC2.cos6B 0,25 điểm 3 23 2 2 BD BC.cos B (*). 332 2 2 0,25 điểm Chứng minh tương tự ta cũng có CE BC.cos C (*,*). Từ (*) và (*,*) suy ra 0,25 điểm 3 BD2 3 CE 2 3 BC 2(cos 2 B cos 2 C ) 3 BC 2 (cos 2 B sin 2 B) 3 BC 2 . 0,25 điểm Vậy : 33BC2 3 BD 2 CE 2 (đpcm). C 0,25 điểm N O I K D B A H M b) Gọi O là giao điểm của CH và AN, suy ra O là trọng tâm tam giác ABC 1 1 6 Ta có: SSS AOH3 ACH 6 ABC 12 0,25điểm 35 AO = AH22 HO 6 2S 6 Vẽ HI  AN HI AOH (1) 0,25điểm AO 35 2235 16 0,25điểm Ta có: CM CH HM ; SCHM CH HM 4 28 2S 6 Vẽ HD CM HD CHM (2) 0,25điểm CM 35 Từ (1) và (2) suy ra: HI = HD KH là phân giác của AKM 0,25điểm Ghi chú : + Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải, học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. Tổ chấm thảo luận thống nhất biểu điểm chi tiết cho các tình huống làm bài của học sinh. + Điểm từng câu và toàn bài không làm tròn số.