Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD & ĐT Hoài Nhơn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD & ĐT Hoài Nhơn (Có đáp án)

1. Đề ôn thi HSG 9 Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951 UBND HUYỆN HOÀI NHƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO Năm học 2018 – 2019 Môn: TOÁN 9 Đề chính thức Ngày thi: 01/12/2018 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1. (4.0 điểm) 2 3 6 8 4 a) Thu gọn biểu thức: A . 2 3 4 2 2018 b) Cho x . Tính giá trị của biểu thức B 1 2 x x2 x 3 x 4 . 1 1 2 1 1 2 1 1 c) Cho x 33 2 2 3 3 2 2 và y 317 12 2 3 17 12 2 . Tính giá trị của biểu thức: C x3 y 3 3 x y 2018 . Bài 2. (4.0 điểm) a) Tìm các số nguyên dương có hai chữ số, biết số đó là bội của tích hai chữ số của chính số đó. 1 1 1 1 b) Chứng minh rằng số tự nhiên A 1.2.3 2017.2018. 1 chia hết cho 2 3 2017 2018 2019 . Bài 3. (5.0 điểm) 3.1. Cho a,, b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a2 b 2 c 2 a b 2 b c 2 c a 2 a) Tính a b c , biết rằng ab bc ca 9 . b) Chứng minh rằng: Nếu c a, c b thì c a b . 3.2. Cho ba số dương x,, y z thỏa mãn x2019 y 2019 z 2019 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: E x2 y 2 z 2 . Bài 4. (4.0 điểm) Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Hai điểm MN, lần lượt di động trên AM AN hai đoạn thẳng AB, AC sao cho 1. Đặt AM x và AN y . Chứng minh rằng: MB NC a) MN2 x 2 y 2 xy . b) MN a x y . c) MN luôn tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Bài 5. (3.0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn O , gọi M là trung điểm của cạnh BC , H là trực tâm của tam giác ABC và K là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh KM BC . Tính diện tích của tam giác ABC , biết OM HK và AM 30 cm. 4  HẾT  Trường THCS Đào Duy Từ Năm học 2018 – 2019 GV: Lê Hồng Quốc " Đi rồi sẽ đến " Trang 1
2. Đề ôn thi HSG 9 Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951 ĐÁP ÁN THAM KHẢO Bài 1. (4.0 điểm) 2 3 6 8 4 a) Thu gọn biểu thức: A . 2 3 4 Lời giải. 2 3 6 8 4 2 3 4 2 2 3 4 Ta có: A 1 2 . 2 3 4 2 3 4 2 2018 b) Cho x . Tính giá trị của biểu thức B 1 2 x x2 x 3 x 4 . 1 1 2 1 1 2 1 1 Lời giải. 2 2 Ta có: x 2. Thay x 2 vào biểu 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2018 2 3 4 2018 2018 thức, ta được: B 1222 2 2 1222224 1 1. c) Cho x 33 2 2 3 3 2 2 và y 317 12 2 3 17 12 2 . Tính giá trị của biểu thức: C x3 y 3 3 x y 2018 . Lời giải. 3 ● Ta có x3 33 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3. x 3 2 2 6 3 x 3 và y3 317 122 3 17 222 17 122 3. y 17 122 34 3 y ● Cộng vế theo vế, ta được: x3 y 3 40 3 x 3 y x 3 y 3 3 x y 2018 2058 .  Vậy C 2058 khi x 33 2 2 3 3 2 2 và y 317 12 2 3 17 12 2 . Bài 2. (4.0 điểm) a) Tìm các số nguyên dương có hai chữ số, biết số đó là bội của tích hai chữ số của chính số đó. Lời giải. Gọi số cần tìm là ab , theo đề, ta có 10a b k . a . b . (Trong đó: 1 a , b 9 và a,, b k ). 10 10 10 10 1 Suy ra b . Vì 1 b 9 1 9 k 10. k. a 1 1 1 k k 9 a a a a 10 1 k 10 9 a 1 5 5  Từ  k ;2; ;5;10  . 1 a 3 2  10 : k a a 1 a 3 1 5 a. 3 k 5 3 8 ● Nếu k  k (không thỏa) hoặc k 2 (thỏa)  ab 36 . a 3 b 6 3 b 6 b 6 Trường THCS Đào Duy Từ Năm học 2018 – 2019 GV: Lê Hồng Quốc " Đi rồi sẽ đến " Trang 2
3. Đề ôn thi HSG 9 Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951 a 1 1 a. k 2 1 ● Nếu k 2  k 3 (thỏa)  ab 15 . a b 5 b 5 a 1 a 2 1 5 a. 2 k 5 2 7 ● Nếu k  k (không thỏa) hoặc k 3 (thỏa)  ab 24 . a 2 b 4 2 b 4 b 4 a 1 1 a. k 5 1 ● Nếu k 5  k 6 (thỏa)  ab 12 . a b 2 b 2 a 1 1 a. k 10 1 ● Nếu k 10  k 11 (thỏa)  ab 11. a b 1 b 1 Vậy ab 11;12;15;24;36. 1 1 1 1 b) Chứng minh rằng số tự nhiên A 1.2.3 2017.2018. 1 chia hết cho 2 3 2017 2018 2019 . Lời giải. 1 1 1 Ta có B 1.2.3 n . 1 là số tự nhiên. Thật vậy 2 3 n ● Với n 1 thì B 1  đúng. ● Với n 2 thì B 3  đúng. 1 1 1 ● Giả sử đúng khi n k , nghĩa là B 1.2.3 k . 1 . 2 3 k 1 1 1 ● Cần chứng minh đúng khi n k 1, nghĩa là B 1.2.3 k 1 . 1 . 2 3k 1 1 1 1 1 1 1 Ta có 1.2.3 k 1 . 1 1.2.3 1 . k 1 1.2.3 k . 2 3k 1 2 3 k 1 1 1 1.2.3 1 2 3 k Có k 1  B . 1.2.3 k 1 1 1 Vậy 1.2.3 n . 1 là số tự nhiên. 2 3 n 1 1 1 1 1 Suy ra, với n 2 k thì 1.2.3 2k . 1 và 1.2 k . 1 là các số tự nhiên 2 3 2k 2 k 1 1 1  . k 1 k 2 2 k cũng là các số tự nhiên. k 1 k 2 2 k 1 1 ● Áp dụng các chứng minh ta có: 1.2 1009. 1 và 2 1009 1 1 1 .1010.1011 2018 cũng là các số tự nhiên. 1010 1011 2018 Trường THCS Đào Duy Từ Năm học 2018 – 2019 GV: Lê Hồng Quốc " Đi rồi sẽ đến " Trang 3
4. Đề ôn thi HSG 9 Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951 1011 3 Ta có  1010.1011 1342 2018 2019 1342 673 1 1  1.2 1009. 1 .1010.1011 1342 2018 2019 . 2 1009 3 3 Và  1.2.3 673 1009 2019 673 673 1 1 1  1.2 1009. .1010.1011 2018 2019 . 1010 1011 2018 1 1 1 1  Vậy số tự nhiên A 1.2.3 2017.2018. 1 chia hết cho 2019 . 2 3 2017 2018 Bài 3. (5.0 điểm) 3.1. Cho a,, b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a2 b 2 c 2 a b 2 b c 2 c a 2 a) Tính a b c , biết rằng ab bc ca 9 . Lời giải. Từ a2 b 2 c 2 a b 2 b c 2 c a 2  a 2 b 2 c 2 2 ab bc ca 4 ab bc ca . Mà ab bc ca 9 nên a b c 2 36  a, b , c 0 a b c 6 . b) Chứng minh rằng: Nếu c a, c b thì c a b . Lời giải. Ta có abc2 2 2 ab 2 bc 2 ca 2 cab 2 4 ab . Không mất tính tổng quát, giả sử: c a b . Khi đó, ta có: c a b 2 b 1 2 2 c a b 4 ab 4 b . c a b 2 b 2 ● 1 c a b 0  c a b . ● 1 c a b 2 b c a b 0 , mà c a 0 suy ra vô lí.  Vậy: nếu c a, c b thì c a b . 3.2. Cho ba số dương x,, y z thỏa mãn x2019 y 2019 z 2019 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: E x2 y 2 z 2 . Lời giải. Cách 1. ● Áp dụng bất đẳng thức COSI ta có các đánh giá sau: 2019 2019 2 x x 1 1 1 1 2019 x . Dấu "" xảy ra khi x 1. 2017so 1 2019 2019 2 y y 1 1 1 1 2019 y . Dấu "" xảy ra khi y 1. 2017so 1 2019 2019 2 z z 1 1 1 1 2019 z . Dấu "" xảy ra khi z 1. 2017so 1 2019 2019 2019 ● Khi đó: 6 x2019 y 2019 z 2019 6051 2019 x 2 y 2 z 2  x y z 3 x 2 y 2 z 2 3 . Dấu "" xảy ra khi x y z 1.  Vậy E đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi x y z 1. Cách 2. ● Áp dụng bất đẳng thức COSI ta có các đánh giá sau: Trường THCS Đào Duy Từ Năm học 2018 – 2019 GV: Lê Hồng Quốc " Đi rồi sẽ đến " Trang 4
5. Đề ôn thi HSG 9 Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951 2019 3 2019 3 2019 3 x 1 1 1 1 673 x ; y 1 1 1 1 673 y và z 1 1 1 1 673 z 672so 1 672so 1 672so 1 2019 2019 2019 x 1 1 1 1 2019 x ; y 1 1 1 1 2019 y và z 1 1 1 1 2019 z 2018so 1 2018so 1 2018so 1 2019 2019 2019 ● Khi đó: x2019 y 2019 z 2019 2016 673 x 3 y 3 z 3  x y z 3 x 3 y 3 z 3 3 . Dấu "" xảy ra khi x y z 1. 2019 2019 2019 x2019 y 2019 z 2019 6054 2019 x y z  x y z 3 x y z 3 . Dấu "" xảy ra khi x y z 1. COSI ● Suy ra 6 xxyyzz3 3 3 2 xyz 2 2 2  xyz 2 2 2 3 . x3 x Dấu "" xảy ra khi y3 y  x y z 1. 3 z z  Vậy E đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi x y z 1. Cách 3. (Sử dụng BĐT HOLDER) ● Áp dụng bất đẳng thức HOLDER, ta có 2019 x2019 y 2019 z 2019 x 2019 y 2019 z 2019 3 2017 x 2 y 2 z 2 2019 2019 2019 2019  x y z 3 32019 x 2 y 2 z 2  3 x 2 y 2 z 2 . Dấu bằng xảy ra khi x y z 1.  Vậy E đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi x y z 1. Bài 4. (4.0 điểm) Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Hai điểm MN, lần lượt di động trên AM AN hai đoạn thẳng AB, AC sao cho 1. Đặt AM x và AN y . Chứng minh rằng: MB NC a) MN2 x 2 y 2 xy . b) MN a x y . c) MN luôn tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Lời giải. AM AN AN a 1 1 x AM AN MB NC NC x a x 2 ● Vì 1   x y a . MB NC AN AM AM y a y a 1 1 y NC MB MB 2 Không mất tính tổng quát ta giả sử AM AN . Kẻ MH AC như hình vẽ bên. AM Khi đó, ta có AH AM.cos60  . 2 a) Áp dụng định lí PYTAGO, ta có:  MN2 MH 2 HN 2 AM 2 AH 2 AN AH 2 AM2 AN 2 2 ANAH . AM 2 AN 2 AMAN . x2 y 2 xy x y 2 3 xy .  Vậy MN2 x 2 y 2 xy x y 2 3 xy 1 b) Theo đề, ta có: AM AN AB AC  1 1 1 1 MB NC MB NC Trường THCS Đào Duy Từ Năm học 2018 – 2019 GV: Lê Hồng Quốc " Đi rồi sẽ đến " Trang 5
6. Đề ôn thi HSG 9 Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951 a a 3a2 a x y a 2 3 a 2 3 a x y 3 xy  a2 2 a x y 3 xy 2 a x a y Thay 2 vào 1 ta được: MN2 xy 22 axya 2 xy 2 2 axya 2 axy 2  Vậy MN a x y a x y (vì x y a ). c) Gọi KE, lần lượt là trung điểm của AB, AC . D là tâm đường tròn nội tiếp ABC . a3 a a Kẻ DI MN I MN . Khi đó ta dễ dàng tính được: DK DE ;; MK x NE y . 6 2 2 a a Ta có KM NE x y MN và 2 ax ay 3 xy a a x y . 2 2 KD MK KE NE AH AN ● S 2 S S S S DK . AK DMN AKD MKD NED AMN 2 2 2 DK. MN AH . AN a2 3 a 3 x 3 y DK AK a x y 2 4 12 12 4 3 3a 3 DK . MN a2 a a x y 3 xy  ax ay 3 xy . a x y . 12 12 12 2 DI MN DK MN  Do đó  DI DK . Suy ra DI là bán kính đường tròn nội tiếp, mà 2 2 MN DI  MN là tiếp tuyến của đường tròn. Bài 5. (3.0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn O , gọi M là trung điểm của cạnh BC , H là trực tâm của tam giác ABC và K là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh KM BC . Tính diện tích của tam giác ABC , biết OM HK và AM 30 cm. 4 Lời giải. ● Gọi D là trung điểm của AC . Ta chứng minh được AHB MOD (3 cặp cạnh song song) AH AB 2  HG 2 OG . OM MD ● Gọi G là giao điểm của AM và OH . Ta chứng minh được AGH MGO g g AG HG AH 2  AH 2 OM . GM GO OM ● Dễ dàng chứng minh được tứ giác IMKH là hình chữ nhật (hình bình hành có 1 góc vuông). HO KM  HO 4 OM , suy ra 3OG 4 OM . ● Áp dụng định lý PYTAGO trong tam giác vuông OGM , ta có: 16 AM 2 OM2 OG 2 GM 2 OM 2 OM 2 5 OM  AM OM 6 cm . 9 9 Khi đó OH 24cm; AH 12cm; AK 18cm . Ta có OC OA OH2 AH 2 12 5 , từ đó tính được BC 2 MC 2 OC2 OM 2 12 19 . AK. BC 18.12 19 2  Vậy S ABC 108 19 cm . 2 2 Mọi sự góp ý, xin nhắn tin đến Trường THCS Đào Duy Từ Năm học 2018 – 2019 GV: Lê Hồng Quốc " Đi rồi sẽ đến " Trang 6