Đề thi giao lưu học sinh giỏi - Môn: Toán 8 - Huyện Bá Thước

Nội dung text: Đề thi giao lưu học sinh giỏi - Môn: Toán 8 - Huyện Bá Thước

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI HUYỆN BÁ THƯỚC NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn: Toán 8 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề bài: Bài 1: (4,5 điểm)Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 7x 6 b) ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 c) x4 2014x2 2013x 2014 1 2 5 x 1 2x Bài 2: (4,5 điểm) Cho biểu thức: A 2 : 2 1 x x 1 1 x x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên. c) Tìm x để A A . Bài 3: (4,0 điểm) a) Tìm dư trong phép chia đa thức (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2029 cho đa thức x2 + 8x + 12. b) Tìm các số nguyên x, y, z sao cho: x2 + 5y2 + 10z2 < 4xy + 6yz + 2z Bài 4: (5,0 điểm) Cho ABC, các góc B và C nhọn. Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: a) AB. AF = AC. AE; b) AEF ~ ABC; c) BH. BE + CH. CF = BC2. Bài 5: ( 2,0 điểm) 1 1 1 Cho a, b, c là ba số dương và abc = 1; a + b+ c a b c Chứng minh: (a – 1)(b – 1)(c – 1) 0 Từ đó suy ra có duy nhất một trong ba số a, b, c lớn hơn 1 HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI GIAO LƯU HUYỆN BÁ THƯỚC HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn: Toán 8 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài Nội dung Điểm a x2 7x 6 =(x2+x)+(6x+6)=x(x+1)+6(x+1) 0.5 1.0đ =(x+1)(x+6) 0.5 A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2 - 2bc)( b2 + c2 - a2 + 2bc) 0.5 b 2 2 2 2 0.5 = (b c) a (b c) a Bài 1 1.5đ 0.5 4.5đ = (b + c - a)(b + c + a)(b - c -a)(b - c + a) x4 2014x2 2013x 2014 =x4+x2+2013x2+2013x+2013+1 0,5 c = x4+x2+1+2013(x2+x+1)= x4+2x2+1-x2+2013(x2+x+1) 0,5 1.5đ =(x2+x+1)(x2-x+1)+ 2013(x2+x+1)= (x2+x+1)( x2-x+2014) 0,5 1 0.25 + ĐKXĐ: x 1; x 2 1 x 2(1 x) (5 x) x2 1 0.75 a A 2 . 1 x 1 2x 2 x2 1 2,0đ . 0.75 1 x2 1 2x 2 0.25 Bài 2 1 2x 4,5đ b A nguyên, mà x nguyên nên 21 2x 0.5 Từ đó tìm được x = 1 và x = 0 0.5 1,5đ Bỏ đi giá trị x = 1( do điều kiện). Vậy x = 0 0.5 Ta có: c A A A 0 0.25 2 1 0 1 2x 0 x 0.5 1 2x 2 1 1.0đ Kết hợp với điều kiện: 1 x 0.25 2 Ta có: a (x +1)(x +3)(x +5)(x +7) +2025 = (x2+ 8x+7)(x2+ 8x+15)+2029 0.5 = (x2+ 8x +12 -5)( x2+ 8x +12+3)+2029 0.5 = (x2+ 8x +12)2 - 2(x2+ 8x +12)+ 2014 0.5 2.0đ => (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +2029 chia cho đa thức x2+ 8x +12 Bài 3 dư là 2014. 0.5 4.0đ a) Ta có : x2 + 5y2 + 10z2 x2 + 5y2 +10z2 4xy + 6yz + 2z – 1 (vì x, y, z nguyên) 0.5 (x - 2y)2 + (y - 3z)2 + (z - 1)2 0 0.5 z = 1; y = 3; x = 6 Vậy có duy nhất bộ ba số nguyên cần tìm là (x ;y ; z) = (6; 3 ;1) 0.5 2.0đ 0.5
3. a ABE ~ ACF (g. g) 1.0 AB AE AB . AF = AC . AE (đpcm) Bài 4 2.0đ AC AF 1.0 5.0 đ AB AE AE AF ; b AC AF AB AC 0.5 AE AF Xét AEF và ABC có: µA chung và AB AC 0.5 1.5đ Suy ra: AEF và ABC (c. g. c) (đpcm) 0.5 Vẽ HD  BC 0,25 BH BD BHD ~ BCE (g. g) BH . BE = BC . BD (1) c BC BE 0.5 CH CD CHD ~ CBF (g. g) CH . CF = BC . CD (2) BC CF 0.25 1.5đ Cộng từng vế (1) và (2) ta được: BH . BE + CH . CF = BC (BD + CD) = BC2 (đpcm) 0,5 1 1 1 ab ac bc Từ a + b+ c a + b+ c a b c abc 0,5 a a + b+ c ab + ac + bc (do abc = 1) (1) 1,0đ Mà ta có VT = (a – 1)(b – 1)(c – 1) = a + b+ c - ab - ac - bc + abc -1 = a + b+ c - ab - ac – bc 0 do (1) Vậy (a – 1)(b – 1)(c – 1) 0 (đpcm); Bài 5 0,5 2.0đ Từ (a – 1)(b – 1)(c – 1) 0 suy ra: Ba số (a – 1), (b – 1), (c – 1) cùng dương hoặc có hai số âm và một số dương. 0,5 Nếu: (a – 1) 0; (b – 1) 0; (c – 1) 0 abc 1 vô lí; b 0,25 1,0đ Suy ra trong ba số (a – 1), (b – 1), (c – 1) có hai số âm và một số dương, giả sử a – 1 0 a 1 (đpcm) 0,25 Chú ý : 1. Học sinh giải cách khác đúng thì cho điểm tối đa. 2. Bài hình không vẽ hình, hoặc hình sai cơ bản thì không chấm điểm.