›
›
›

60 Bài tập Hình học Lớp 9 - Nguyễn Văn Thảo

doc 32 trang dichphong 7390
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "60 Bài tập Hình học Lớp 9 - Nguyễn Văn Thảo", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doc60_bai_tap_hinh_hoc_lop_9_nguyen_van_thao.doc

Nội dung text: 60 Bài tập Hình học Lớp 9 - Nguyễn Văn Thảo

  1. Tr­êng THCS Yªn Thä 60 bµi to¸n «n tËp h×nh häc 9 Bµi 1. Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®­êng trßn (O). C¸c ®­êng cao AD, BE, CF c¾t nhau t¹i H vµ c¾t ®­êng trßn (O) lÇn l­ît t¹i M,N,P. A N Chøng minh r»ng: 1 1. Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp . E 2. Bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. P F 1 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 2 O 4. H vµ M ®èi xøng nhau qua BC. H 5. X¸c ®Þnh t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF. - 1 ( Lêi gi¶i: B D 2 ( C 1. XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: - 0  CEH = 90 ( V× BE lµ ®­êng cao) M  CDH = 900 ( V× AD lµ ®­êng cao) =>  CEH +  CDH = 1800 Mµ  CEH vµ  CDH lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp 2. Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®­êng cao => BE  AC => BEC = 900. CF lµ ®­êng cao => CF  AB => BFC = 900. Nh­ vËy E vµ F cïng nh×n BC d­íi mét gãc 900 => E vµ F cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh BC. VËy bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. 3. XÐt hai tam gi¸c AEH vµ ADC ta cã:  AEH =  ADC = 900 ; ¢ lµ gãc chung AE AH => AEH  ADC => => AE.AC = AH.AD. AD AC * XÐt hai tam gi¸c BEC vµ ADC ta cã:  BEC =  ADC = 900 ; C lµ gãc chung BE BC => BEC  ADC => => AD.BC = BE.AC. AD AC 4. Ta cã C1 = A1 ( v× cïng phô víi gãc ABC) C2 = A1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BM) => C1 =  C2 => CB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc HCM; l¹i cã CB  HM => CHM c©n t¹i C => CB còng lµ ®­¬ng trung trùc cña HM vËy H vµ M ®èi xøng nhau qua BC. 5. Theo chøng minh trªn bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®­êng trßn => C1 = E1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BF) Còng theo chøng minh trªn CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp C 1 = E2 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HD) E 1 = E2 => EB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc FED. Chøng minh t­¬ng tù ta còng cã FC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DFE mµ BE vµ CF c¾t nhau t¹i H do ®ã H lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF. Bµi 2. Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), c¸c ®­êng cao A AD, BE, c¾t nhau t¹i H. Gäi O lµ t©m ®­êng trßn 1 ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE. 1. Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp . 2. Bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. O 1 1 3. Chøng minh ED = BC. 2 E 2 H 3 4. Chøng minh DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O). 5. TÝnh ®é dµi DE biÕt DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. Lêi gi¶i: B 1 D C 1. XÐt tø gi¸c CEHD ta cã:  CEH = 900 ( V× BE lµ ®­êng cao) Hä tªn gi¸o viªn: 1 NguyÔn V¨n Th¶o
  2. Tr­êng THCS Yªn Thä 60 bµi to¸n «n tËp h×nh häc 9  CDH = 900 ( V× AD lµ ®­êng cao) =>  CEH +  CDH = 1800 Mµ  CEH vµ  CDH lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp 2. Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®­êng cao => BE  AC => BEA = 900. AD lµ ®­êng cao => AD  BC => BDA = 900. Nh­ vËy E vµ D cïng nh×n AB d­íi mét gãc 900 => E vµ D cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. VËy bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. 3. Theo gi¶ thiÕt tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã AD lµ ®­êng cao nªn còng lµ ®­êng trung tuyÕn => D lµ trung ®iÓm cña BC. Theo trªn ta cã BEC = 900 . 1 VËy tam gi¸c BEC vu«ng t¹i E cã ED lµ trung tuyÕn => DE = BC. 2 4.V× O lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE nªn O lµ trung ®iÓm cña AH => OA = OE => tam gi¸c AOE c©n t¹i O => E1 = A1 (1). 1 Theo trªn DE = BC => tam gi¸c DBE c©n t¹i D => E3 = B1 (2) 2 Mµ B1 = A1 ( v× cïng phô víi gãc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3 0 0 Mµ E1 + E2 = BEA = 90 => E2 + E3 = 90 = OED => DE  OE t¹i E. VËy DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O) t¹i E. 5. Theo gi¶ thiÕt AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. ¸p dông ®Þnh lÝ Pitago cho tam gi¸c OED vu«ng t¹i E ta cã ED2 = OD2 – OE2  ED2 = 52 – 32  ED = 4cm Bµi 3 Cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB = 2R. Tõ A vµ B kÎ hai tiÕp tuyÕn Ax, By. Qua ®iÓm M thuéc nöa ®­êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn thø ba c¾t c¸c tiÕp tuyÕn Ax , By lÇn l­ît ë C vµ D. C¸c ®­êng th¼ng AD vµ BC c¾t nhau t¹i N. 1.Chøng minh AC + BD = CD. Lêi gi¶i: 2.Chøng minh COD = 900. y AB2 x D / 3.Chøng minh AC. BD = . I 4 M 4.Chøng minh OC // BM / C 5.Chøng minh AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh CD. N 5.Chøng minh MN  AB. 6.X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó chu vi tø gi¸c ACDB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. A O B 1.Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM. Mµ CM + DM = CD => AC + BD = CD 2.Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: OC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AOM; OD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BOM, mµ AOM vµ BOM lµ hai gãc kÒ bï => COD = 900. 3.Theo trªn COD = 90 0 nªn tam gi¸c COD vu«ng t¹i O cã OM  CD ( OM lµ tiÕp tuyÕn ). ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®­êng cao trong tam gi¸c vu«ng ta cã OM2 = CM. DM, AB2 Mµ OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 => AC. BD = . 4 4. Theo trªn COD = 900 nªn OC  OD .(1) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: DB = DM; l¹i cã OM = OB =R => OD lµ trung trùc cña BM => BM  OD .(2). Tõ (1) Vµ (2) => OC // BM ( V× cïng vu«ng gãc víi OD). 5.Gäi I lµ trung ®iÓm cña CD ta cã I lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c COD ®­êng kÝnh CD cã IO lµ b¸n kÝnh. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã AC  AB; BD  AB => AC // BD => tø gi¸c ACDB lµ h×nh thang. L¹i cã I lµ trung ®iÓm cña CD; O lµ trung ®iÓm cña AB => IO lµ ®­êng trung b×nh cña h×nh thang ACDB IO // AC , mµ AC  AB => IO  AB t¹i O => AB lµ tiÕp tuyÕn t¹i O cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh CD Hä tªn gi¸o viªn: 2 NguyÔn V¨n Th¶o
  3. Tr­êng THCS Yªn Thä 60 bµi to¸n «n tËp h×nh häc 9 CN AC CN CM 6. Theo trªn AC // BD => , mµ CA = CM; DB = DM nªn suy ra BN BD BN DM => MN // BD mµ BD  AB => MN  AB. 7. ( HD): Ta cã chu vi tø gi¸c ACDB = AB + AC + CD + BD mµ AC + BD = CD nªn suy ra chu vi tø gi¸c ACDB = AB + 2CD mµ AB kh«ng ®æi nªn chu vi tø gi¸c ACDB nhá nhÊt khi CD nhá nhÊt , mµ CD nhá nhÊt khi CD lµ kho¶ng c¸ch gi÷ Ax vµ By tøc lµ CD vu«ng gãc víi Ax vµ By. Khi ®ã CD // AB => M ph¶i lµ trung ®iÓm cña cung AB. Bµi 4 Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), I lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®­êng trßn bµng tiÕp gãc A , O lµ trung ®iÓm cña IK. A 1. Chøng minh B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. 2. Chøng minh AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O). 3. TÝnh b¸n kÝnh ®­êng trßn (O) BiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm. Lêi gi¶i: (HD) 1. V× I lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®­êng trßn bµng tiÕp I 1 gãc A nªn BI vµ BK lµ hai tia ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï ®Ønh B 1 0 B 2 C Do ®ã BI  BK hayIBK = 90 . H T­¬ng tù ta còng cã ICK = 900 nh­ vËy B vµ C cïng n»m trªn o ®­êng trßn ®­êng kÝnh IK do ®ã B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. 2. Ta cã C1 = C2 (1) ( v× CI lµ ph©n gi¸c cña gãc ACH. K 0 0 C2 + I1 = 90 (2) ( v× IHC = 90 ). I1 =  ICO (3) ( v× tam gi¸c OIC c©n t¹i O) 0 Tõ (1), (2) , (3) => C1 + ICO = 90 hay AC  OC. VËy AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O). 3. Tõ gi¶ thiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm. AH2 = AC2 – HC2 => AH = 202 122 = 16 ( cm) CH 2 122 CH2 = AH.OH => OH = = 9 (cm) AH 16 OC = OH 2 HC 2 92 122 225 = 15 (cm) Bµi 5 Cho ®­êng trßn (O; R), tõ mét ®iÓm A trªn (O) kÎ tiÕp tuyÕn d víi (O). Trªn ®­êng th¼ng d lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp ®iÓm). KÎ AC  MB, BD  MA, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB. 1. Chøng minh bèn ®iÓm A, M, B, O cïng thuéc mét ®­êng trßn d A 2. Chøng minh n¨m ®iÓm K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®­êng P trßn . K D 3. Chøng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. N H 4. Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi. O M I 5. Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng. 6. Khi M di chuyÓn trªn ®­êng th¼ng d th× H di chuyÓn trªn C ®­êng nµo? Lêi gi¶i: B 1. (HS tù lµm). 2. V× K lµ trung ®iÓm NP nªn OK  NP ( quan hÖ ®­êng kÝnh Vµ d©y cung) => OKM = 900. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã OAM = 900; OBM = 900. nh­ vËy K, A, B cïng nh×n OM d­íi mét gãc 900 nªn cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh OM. VËy n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. 3. Ta cã MA = MB ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau); OA = OB = R Hä tªn gi¸o viªn: 3 NguyÔn V¨n Th¶o
  4. Tr­êng THCS Yªn Thä 60 bµi to¸n «n tËp h×nh häc 9 => OM lµ trung trùc cña AB => OM  AB t¹i I . Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã OAM = 900 nªn tam gi¸c OAM vu«ng t¹i A cã AI lµ ®­êng cao. ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®­êng cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; vµ OI. IM = IA2. 4. Ta cã OB  MB (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; AC  MB (gt) => OB // AC hay OB // AH. OA  MA (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; BD  MA (gt) => OA // BD hay OA // BH. => Tø gi¸c OAHB lµ h×nh b×nh hµnh; l¹i cã OA = OB (=R) => OAHB lµ h×nh thoi. 5. Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => OH  AB; còng theo trªn OM  AB => O, H, M th¼ng hµng( V× qua O chØ cã mét ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB). 6. (HD) Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => AH = AO = R. VËy khi M di ®éng trªn d th× H còng di ®éng nh­ng lu«n c¸ch A cè ®Þnh mét kho¶ng b»ng R. Do ®ã quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®­êng th¼ng d lµ nöa ®­êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH = R Bµi 6 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®­êng cao AH. VÏ ®­êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH. Gäi HD lµ ®­êng kÝnh cña ®­êng trßn (A; AH). TiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t¹i D c¾t CA ë E. 1.Chøng minh tam gi¸c BEC c©n. E D 2.Gäi I lµ h×nh chiÕu cña A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH. 3.Chøng minh r»ng BE lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (A; AH). 4.Chøng minh BE = BH + DE. A Lêi gi¶i: (HD) I 1. AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) vµ AE = AC (2). 1 V× AB CE (gt), do ®ã AB võa lµ ®­êng cao võa lµ ®­êng trung tuyÕn cña 2 B H C BEC => BEC lµ tam gi¸c c©n. => B1 = B2 2. Hai tam gi¸c vu«ng ABI vµ ABH cã c¹nh huyÒn AB chung, B1 = B2 => AHB = AIB => AI = AH. 3. AI = AH vµ BE  AI t¹i I => BE lµ tiÕp tuyÕn cña (A; AH) t¹i I. 4. DE = IE vµ BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED Bµi 7 Cho ®­êng trßn (O; R) ®­êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Ax vµ lÊy trªn tiÕp tuyÕn ®ã mét ®iÓm P sao cho AP > R, tõ P kÎ tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (O) t¹i M. Tõ (1) vµ (2) =>  ABM =  1. Chøng minh r»ng tø gi¸c APMO néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn. AOP (3) 2. Chøng minh BM // OP. X N J 3. §­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N. Chøng minh P tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh. 1 4. BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN vµ OM kÐo dµi c¾t nhau I t¹i J. Chøng minh I, J, K th¼ng hµng. M Lêi gi¶i: K 1. (HS tù lµm). 2.Ta cã  ABM néi tiÕp ch¾n cung AM;  AOM lµ gãc ë t©m 2 1 1 AOM A ( ( B ch¾n cung AM =>  ABM = (1) OP lµ tia ph©n gi¸c  O 2 AOM AOM ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ) =>  AOP = (2) 2 Mµ  ABM vµ  AOP lµ hai gãc ®ång vÞ nªn suy ra BM // OP. (4) 3.XÐt hai tam gi¸c AOP vµ OBN ta cã : PAO=900 (v× PA lµ tiÕp tuyÕn ); NOB = 900 (gt NOAB). => PAO = NOB = 900; OA = OB = R; AOP = OBN (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5) Tõ (4) vµ (5) => OBNP lµ h×nh b×nh hµnh ( v× cã hai c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau). 4. Tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh => PN // OB hay PJ // AB, mµ ON  AB => ON  PJ Ta còng cã PM  OJ ( PM lµ tiÕp tuyÕn ), mµ ON vµ PM c¾t nhau t¹i I nªn I lµ trùc t©m tam gi¸c POJ. (6) Hä tªn gi¸o viªn: 4 NguyÔn V¨n Th¶o
  5. Tr­êng THCS Yªn Thä 60 bµi to¸n «n tËp h×nh häc 9 DÔ thÊy tø gi¸c AONP lµ h×nh ch÷ nhËt v× cã PAO = AON = ONP = 900 => K lµ trung ®iÓm cña PO ( t/c ®­êng chÐo h×nh ch÷ nhËt). (6) AONP lµ h×nh ch÷ nhËt => APO =  NOP ( so le) (7) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau Ta cã PO lµ tia ph©n gi¸c APM => APO = MPO (8). Tõ (7) vµ (8) => IPO c©n t¹i I cã IK lµ trung tuyÕn ®«ng thêi lµ ®­êng cao => IK  PO. (9) Tõ (6) vµ (9) => I, J, K th¼ng hµng. Bµi 8 Cho nöa ®­êng trßn t©m O ®­êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®­êng trßn ( M kh¸c A,B). Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB chøa nöa ®­êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn Ax. Tia BM c¾t Ax t¹i I; tia ph©n gi¸c cña gãc IAM c¾t nöa ®­êng trßn t¹i E; c¾t tia BM t¹i F tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K. 1) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp. X 2) Chøng minh r»ng: AI2 = IM . IB. I 3) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n. 4) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi. F 5) X¸c ®Þnh vÞ trÝ M ®Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn. Lêi gi¶i: M 1. Ta cã : AMB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) H E 0 => KMF = 90 (v× lµ hai gãc kÒ bï). K 0 AEB = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) 1 2 2 0 1 => KEF = 90 (v× lµ hai gãc kÒ bï). A O B => KMF + KEF = 1800 . Mµ KMF vµ KEF lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c EFMK do ®ã EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2. Ta cã IAB = 900 ( v× AI lµ tiÕp tuyÕn ) => AIB vu«ng t¹i A cã AM  IB ( theo trªn). ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®­êng cao => AI2 = IM . IB. 3. Theo gi¶ thiÕt AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM => IAE = MAE => AE = ME (lÝ do ) => ABE =MBE ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => BE lµ tia ph©n gi¸c gãc ABF. (1) Theo trªn ta cã AEB = 900 => BE  AF hay BE lµ ®­êng cao cña tam gi¸c ABF (2). Tõ (1) vµ (2) => BAF lµ tam gi¸c c©n. t¹i B . 4. BAF lµ tam gi¸c c©n. t¹i B cã BE lµ ®­êng cao nªn ®ång thêi lµ ®­¬ng trung tuyÕn => E lµ trung ®iÓm cña AF. (3) Tõ BE  AF => AF  HK (4), theo trªn AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM hay AE lµ tia ph©n gi¸c HAK (5) Tõ (4) vµ (5) => HAK lµ tam gi¸c c©n. t¹i A cã AE lµ ®­êng cao nªn ®ång thêi lµ ®­¬ng trung tuyÕn => E lµ trung ®iÓm cña HK. (6). Tõ (3) , (4) vµ (6) => AKFH lµ h×nh thoi ( v× cã hai ®­êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®­êng). 5. (HD). Theo trªn AKFH lµ h×nh thoi => HA // FK hay IA // FK => tø gi¸c AKFI lµ h×nh thang. §Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn th× AKFI ph¶i lµ h×nh thang c©n. AKFI lµ h×nh thang c©n khi M lµ trung ®iÓm cña cung AB. ThËt vËy: M lµ trung ®iÓm cña cung AB => ABM = MAI = 450 (t/c gãc néi tiÕp ). (7) Tam gi¸c ABI vu«ng t¹i A cã ABI = 450 => AIB = 450 .(8) Tõ (7) vµ (8) => IAK = AIF = 450 => AKFI lµ h×nh thang c©n (h×nh thang cã hai gãc ®¸y b»ng nhau). VËy khi M lµ trung ®iÓm cña cung AB th× tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn. Bµi 9 Cho nöa ®­êng trßn (O; R) ®­êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Bx vµ lÊy hai ®iÓm C vµ D thuéc nöa ®­êng trßn. C¸c tia AC vµ AD c¾t Bx lÇn l­ît ë E, F (F ë gi÷a B vµ E). 1. Chøng minh AC. AE kh«ng ®æi. 2. Chøng minh  ABD =  DFB. Hä tªn gi¸o viªn: 5 NguyÔn V¨n Th¶o
  6. Tr­êng THCS Yªn Thä 60 bµi to¸n «n tËp h×nh häc 9 3. Chøng minh r»ng CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp. Lêi gi¶i: 1.C thuéc nöa ®­êng trßn nªn ACB = 90 0 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => BC  AE. ABE = 900 ( Bx lµ tiÕp tuyÕn ) => tam gi¸c ABE vu«ng t¹i B cã BC lµ ®­êng cao => AC. AE = AB2 (hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®­êng cao ), mµ AB lµ ®­êng kÝnh nªn AB = 2R kh«ng ®æi do ®ã AC. AE kh«ng ®æi. 2. ADB cã ADB = 90 0 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ). => ABD + BAD = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 1800)(1) ABF cã ABF = 900 ( BF lµ tiÕp tuyÕn ). => AFB + BAF = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 1800) (2) Tõ (1) vµ (2) => ABD = DFB ( cïng phô víi BAD) X E C D F A O B 3.Tø gi¸c ACDB néi tiÕp (O) => ABD + ACD = 180 0 . ECD + ACD = 1800 ( V× lµ hai gãc kÒ bï) => ECD = ABD ( cïng bï víi ACD). Theo trªn ABD = DFB => ECD = DFB. Mµ EFD + DFB = 180 0 ( V× lµ hai gãc kÒ bï) nªn suy ra ECD + EFD = 1800, mÆt kh¸c ECD vµ EFD lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CDFE do ®ã tø gi¸c CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp. Bµi 10 Cho ®­êng trßn t©m O ®­êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®­êng trßn sao cho AM SPA = 900 ; AMB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa 3 A H O ®­êng trßn ) => AMS = 900 . Nh­ vËy P vµ M cïng nh×n AS d­íi mét gãc b»ng 900 nªn cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh AS. M' VËy bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. 1 2. V× M’®èi xøng M qua AB mµ M n»m trªn ®­êng trßn nªn M’ còng S' n»m trªn ®­êng trßn => hai cung AM vµ AM’ cã sè ®o b»ng nhau => AMM’ = AM’M ( Hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) (1) Còng v× M’®èi xøng M qua AB nªn MM’  AB t¹i H => MM’// SS’ ( cïng vu«ng gãc víi AB) => AMM’ = AS’S; AM’M = ASS’ (v× so le trong) (2). => Tõ (1) vµ (2) => AS’S = ASS’. Theo trªn bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®/ trßn => ASP=AMP (néi tiÕp cïng ch¾n AP ) => AS’P = AMP => tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P. 3. Tam gi¸c SPB vu«ng t¹i P; tam gi¸c SMS’ vu«ng t¹i M => B1 = S’1 (cïng phô víi S). (3) Hä tªn gi¸o viªn: 6 NguyÔn V¨n Th¶o
  7. Tr­êng THCS Yªn Thä 60 bµi to¸n «n tËp h×nh häc 9 Tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P => S’1 = M1 (4) Tam gi¸c OBM c©n t¹i O ( v× cã OM = OB =R) => B1 = M3 (5). 0 Tõ (3), (4) vµ (5) => M1 = M3 => M1 + M2 = M3 + M2 mµ M3 + M2 = AMB = 90 nªn 0 suy ra M1 + M2 = PMO = 90 => PM  OM t¹i M => PM lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t¹i M Bµi 11. Cho tam gi¸c ABC (AB = AC). C¹nh AB, BC, CA tiÕp xóc víi ®­êng trßn (O) t¹i c¸c ®iÓm D, E, F . BF c¾t (O) t¹i I , DI c¾t BC t¹i M. Chøng minh : 1. Tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän. BD BM 2. DF // BC. 3. Tø gi¸c BDFC néi tiÕp. 4. CB CF Lêi gi¶i: A 1. (HD) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã AD = AF => tam gi¸c ADF c©n t¹i A => ADF = AFD s® cung DF DEF => DF // BC. AB AC I 3. DF // BC => BDFC lµ h×nh thang l¹i cã  B = C (v× tam gi¸c ABC c©n) B M E C => BDFC lµ h×nh thang c©n do ®ã BDFC néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn . 4. XÐt hai tam gi¸c BDM vµ CBF Ta cã  DBM = BCF ( hai gãc ®¸y cña tam gi¸c c©n). BDM = BFD (néi tiÕp cïng ch¾n cung DI);  CBF = BFD (v× so le) => BDM = CBF . BD BM => BDM  CBF => CB CF Bµi 12 Cho ®­êng trßn (O) b¸n kÝnh R cã hai ®­êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau. Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy ®iÓm M (M kh¸c O). CM c¾t (O) t¹i N. §­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M c¾t tiÕp tuyÕn t¹i N cña ®­êng trßn ë P. Chøng minh : C 1. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp. 2. Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh. 3. CM. CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M. 4. Khi M di chuyÓn trªn ®o¹n th¼ng AB th× P ch¹y trªn ®o¹n th¼ng M O cè ®Þnh nµo. A B Lêi gi¶i: 0 0 1. Ta cã OMP = 90 ( v× PM  AB ); ONP = 90 (v× NP lµ tiÕp tuyÕn N ). 0 Nh­ vËy M vµ N cïng nh×n OP d­íi mét gãc b»ng 90 => M vµ N cïng A' P D B' n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh OP => Tø gi¸c OMNP néi tiÕp. 2. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp => OPM =  ONM (néi tiÕp ch¾n cung OM) Tam gi¸c ONC c©n t¹i O v× cã ON = OC = R => ONC = OCN => OPM = OCM. XÐt hai tam gi¸c OMC vµ MOP ta cã MOC = OMP = 900; OPM = OCM => CMO = POM l¹i cã MO lµ c¹nh chung => OMC = MOP => OC = MP. (1) Theo gi¶ thiÕt Ta cã CD  AB; PM  AB => CO//PM (2). Tõ (1) vµ (2) => Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh. 3. XÐt hai tam gi¸c OMC vµ NDC ta cã MOC = 900 ( gt CD  AB); DNC = 90 0 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => MOC =DNC = 900 l¹i cã C lµ gãc chung => OMC  NDC Hä tªn gi¸o viªn: 7 NguyÔn V¨n Th¶o
  8. Tr­êng THCS Yªn Thä 60 bµi to¸n «n tËp h×nh häc 9 CM CO => => CM. CN = CO.CD mµ CO = R; CD = 2R nªn CO.CD = 2R2 kh«ng ®æi => CM.CN =2R2 CD CN kh«ng ®æi hay tÝch CM. CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M. 4. ( HD) DÔ thÊy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P ch¹y trªn ®­êng th¼ng cè ®Þnh vu«ng gãc víi CD t¹i D. V× M chØ ch¹y trªn ®o¹n th¼ng AB nªn P chØ ch¹y trªn do¹n th¼ng A’ B’ song song vµ b»ng AB. Bµi 13 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A (AB > AC), ®­êng cao AH. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê BC chøa ®iÓn A , VÏ nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, Nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F. 1. Chøng minh AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt. 2. BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 3. AE. AB = AF. AC. 4. Chøng minh EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®­êng trßn . Lêi gi¶i: A 0 1. Ta cã : BEH = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®­êng trßn ) E 0 => AEH = 90 (v× lµ hai gãc kÒ bï). (1) 1 I 2 1( F CFH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®­êng trßn ) 0 1 => AFH = 90 (v× lµ hai gãc kÒ bï).(2) )1 2 EAF = 900 ( V× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A) (3) B O1 H O2 C Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt ( v× cã ba gãc vu«ng). 2. Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt nªn néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn =>F1=H1 (néi tiÕp ch¾n cung AE) . Theo gi¶ thiÕt AH BC nªn AH lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®­êng trßn (O1) vµ (O2) => B1 = H1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HE) => B1= F1 => EBC+EFC = AFE + EFC mµ AFE + EFC = 1800 (v× lµ hai gãc kÒ bï) => EBC+EFC = 1800 mÆt kh¸c EBC vµ EFC lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c BEFC do ®ã BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 3. XÐt hai tam gi¸c AEF vµ ACB ta cã A = 900 lµ gãc chung; AFE = ABC ( theo Chøng minh trªn) AE AF => AEF  ACB => => AE. AB = AF. AC. AC AB * HD c¸ch 2: Tam gi¸c AHB vu«ng t¹i H cã HE  AB => AH2 = AE.AB (*) Tam gi¸c AHC vu«ng t¹i H cã HF  AC => AH2 = AF.AC ( ) Tõ (*) vµ ( ) => AE. AB = AF. AC 4. Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt => IE = EH => IEH c©n t¹i I => E1 = H1 . O1EH c©n t¹i O1 (v× cã O1E vµO1H cïng lµ b¸n kÝnh) => E2 = H2. 0 0 => E1 + E2 = H1 + H2 mµ H1 + H2 = AHB = 90 => E1 + E2 = O1EF = 90 => O1E EF . Chøng minh t­¬ng tù ta còng cã O2F  EF. VËy EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®­êng trßn . Bµi 14 Cho ®iÓm C thuéc ®o¹n th¼ng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. VÏ vÒ mét phÝa cña AB c¸c nöa ®­êng trßn cã ®­êng kÝnh theo thø tù lµ AB, AC, CB vµ cã t©m theo thø tù lµ O, I, K. §­êng vu«ng gãc víi AB t¹i C c¾t nöa ®­êng trßn (O) t¹i E. Gäi M. N theo thø tù lµ giao ®iÓm cña EA, EB víi c¸c nöa ®­êng trßn (I), (K). 1. Ta cã: BNC= 900( néi tiÕp ch¾n nöa 1.Chøng minh EC = MN. ®­êng trßn t©m K) 2.Ch/minh MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa ®/trßn (I), (K). 3.TÝnh MN. 4.TÝnh diÖn tÝch h×nh ®­îc giíi h¹n bëi ba nöa ®­êng trßn Lêi gi¶i: Hä tªn gi¸o viªn: 8 NguyÔn V¨n Th¶o
  9. Tr­êng THCS Yªn Thä 60 bµi to¸n «n tËp h×nh häc 9 E N 3 1 H 2 1 M 1 2 1 A I C O K B => ENC = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). (1) AMC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®­êng trßn t©m I) => EMC = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).(2) AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn t©m O) hay MEN = 900 (3) Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt => EC = MN (tÝnh chÊt ®­êng chÐo h×nh ch÷ nhËt ) 2. Theo gi¶ thiÕt EC AB t¹i C nªn EC lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®­êng trßn (I) vµ (K) => B1 = C1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung CN). Tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt nªn => C1= N3 => B1 = N3.(4) L¹i cã KB = KN (cïng lµ b¸n kÝnh) => tam gi¸c KBN c©n t¹i K => B1 = N1 (5) 0 0 Tõ (4) vµ (5) => N1 = N3 mµ N1 + N2 = CNB = 90 => N3 + N2 = MNK = 90 hay MN  KN t¹i N => MN lµ tiÕp tuyÕn cña (K) t¹i N. Chøng minh t­¬ng tù ta còng cã MN lµ tiÕp tuyÕn cña (I) t¹i M, VËy MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa ®­êng trßn (I), (K). 3. Ta cã AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nöc ®­êng trßn t©m O) => AEB vu«ng t¹i A cã EC  AB (gt) => EC2 = AC. BC  EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo trªn EC = MN => MN = 20 cm. 4. Theo gi¶ thiÕt AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm 2 2 2 2 2 2 Ta cã S(o) = .OA = 25 = 625 ; S(I) = . IA = .5 = 25 ; S(k) = .KB = . 20 = 400 . 1 Ta cã diÖn tÝch phÇn h×nh ®­îc giíi h¹n bëi ba nöa ®­êng trßn lµ S = ( S(o) - S(I) - S(k)) 2 1 1 S = ( 625 - 25 - 400 ) = .200 = 100 314 (cm2) 2 2 Bµi 15 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm M, dùng ®­êng trßn (O) cã ®­êng kÝnh MC. ®­êng th¼ng BM c¾t ®­êng trßn (O) t¹i D. ®­êng th¼ng AD c¾t ®­êng trßn (O) t¹i S. 1. Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. Chøng minh CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. 3. Gäi E lµ giao ®iÓm cña BC víi ®­êng trßn (O). Chøng minh r»ng c¸c ®­êng th¼ng BA, EM, CD ®ång quy. 4. Chøng minh DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE. 5. Chøng minh ®iÓm M lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE. Lêi gi¶i: C C 2 1 1 2 3 O O D 3 E 2 S 1 1 E 2 S M D 2 M 1 2 1 2 1 2 2 3 1 3 1 F A F A B B H×nh a H×nh b Hä tªn gi¸o viªn: 9 NguyÔn V¨n Th¶o
  10. Tr­êng THCS Yªn Thä 60 bµi to¸n «n tËp h×nh häc 9 1. Ta cã CAB = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); MDC = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => CDB = 900 nh­ vËy D vµ A cïng nh×n BC d­íi mét gãc b»ng 900 nªn A vµ D cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh BC => ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2. ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => D1= C3( néi tiÕp cïng ch¾n cung AB). ¼ ¼ D1= C3 => SM EM => C2 = C3 (hai gãc néi tiÕp ®­êng trßn (O) ch¾n hai cung b»ng nhau) => CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. 3. XÐt CMB Ta cã BACM; CD  BM; ME  BC nh­ vËy BA, EM, CD lµ ba ®­êng cao cña tam gi¸c CMB nªn BA, EM, CD ®ång quy. ¼ ¼ 4. Theo trªn Ta cã SM EM => D1= D2 => DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE.(1) 5. Ta cã MEC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn (O)) => MEB = 900. Tø gi¸c AMEB cã MAB = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn tø gi¸c AMEB néi tiÕp mét ®­êng trßn => A2 = B2 . Tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => A1= B2( néi tiÕp cïng ch¾n cung CD) => A1= A2 => AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DAE (2) Tõ (1) vµ (2) Ta cã M lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE TH2 (H×nh b) C©u 2 : ABC = CME (cïng phô ACB); ABC = CDS (cïng bï ADC) => CME = CDS => C»E C»S S¼M E¼M => SCM = ECM => CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. Bµi 16 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A.vµ mét ®iÓm D n»m gi÷a A vµ B. §­êng trßn ®­êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E. C¸c ®­êng thẳng CD, AE lÇn l­ît c¾t ®­êng trßn t¹i F, G. Chøng minh : B 1. Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EBD. 2. Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp . 3. AC // FG. 4. C¸c ®­êng th¼ng AC, DE, FB ®ång quy. O E Lêi gi¶i: 1 0 1. XÐt hai tam gi¸c ABC vµ EDB Ta cã BAC = 90 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i F 1 G A); DEB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) D 0 1 => DEB = BAC = 90 ; l¹i cã ABC lµ gãc chung => DEB  CAB . S A C 2. Theo trªn DEB = 900 => DEC = 900 (v× hai gãc kÒ bï); BAC = 900 ( v× ABC vu«ng t¹i A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp . * BAC = 90 0 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); DFB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) hay BFC = 900 nh­ vËy F vµ A cïng nh×n BC d­íi mét gãc b»ng 90 0 nªn A vµ F cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh BC => AFBC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 3. Theo trªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp => E1 = C1 l¹i cã E1 = F1 => F1 = C1 mµ ®©y lµ hai gãc so le trong nªn suy ra AC // FG. 4. (HD) DÔ thÊy CA, DE, BF lµ ba ®­êng cao cña tam gi¸c DBC nªn CA, DE, BF ®ång quy t¹i S. Bµi 17. Cho tam gi¸c ®Òu ABC cã ®­êng cao lµ AH. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh«ng trïng B. C, H ) ; tõ M kÎ MP, MQ vu«ng gãc víi c¸c c¹nh AB. AC. 1.Chøng minh APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ h·y x¸c ®Þnh t©m O cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c ®ã. 2. Chøng minh r»ng MP + MQ = AH. 3.Chøng minh OH  PQ. Hä tªn gi¸o viªn: 10 NguyÔn V¨n Th¶o
  11. Tr­êng THCS Yªn Thä 60 bµi to¸n «n tËp h×nh häc 9 Lêi gi¶i: 1. Ta cã MP  AB (gt) => APM = 900; MQ  AC (gt) A => AQM = 900 nh­ vËy P vµ Q cïng nh×n BC d­íi mét gãc b»ng 900 nªn P vµ Q cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh AM => APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp. * V× AM lµ ®­êng kÝnh cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ t©m O cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ lµ trung ®iÓm cña O AM. P 1 1 2 2. Tam gi¸c ABC cã AH lµ ®­êng cao => SABC = BC.AH. 2 Q 1 Tam gi¸c ABM cã MP lµ ®­êng cao => SABM = AB.MP 2 B H M C 1 Tam gi¸c ACM cã MQ lµ ®­êng cao => SACM = AC.MQ 2 1 1 1 Ta cã SABM + SACM = SABC => AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH 2 2 2 Mµ AB = BC = CA (v× tam gi¸c ABC ®Òu) => MP + MQ = AH. 3. Tam gi¸c ABC cã AH lµ ®­êng cao nªn còng lµ ®­êng ph©n gi¸c => HAP = HAQ => H»P H¼Q ( tÝnh chÊt gãc néi tiÕp ) => HOP = HOQ (t/c gãc ë t©m) => OH lµ tia ph©n gi¸c gãc POQ. Mµ tam gi¸c POQ c©n t¹i O ( v× OP vµ OQ cïng lµ b¸n kÝnh) nªn suy ra OH còng lµ ®­êng cao => OH  PQ Bµi 18 Cho ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AB. Trªn ®o¹n th¼ng OB lÊy ®iÓm H bÊt k× ( H kh«ng trïng O, B) ; trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi OB t¹i H, lÊy mét ®iÓm M ë ngoµi ®­êng trßn ; MA vµ MB thø tù c¾t ®­êng trßn (O) t¹i C vµ D. Gäi I lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC. 1. Chøng minh MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. Chøng minh c¸c ®­êng th¼ng AD, BC, MH ®ång quy t¹i I. 3. Gäi K lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c MCID, Chøng minh KCOH lµ tø gi¸c néi tiÕp . Lêi gi¶i: M 1. Ta cã : ACB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®­êng trßn ) 1 _ => MCI = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). 1 K 0 C ADB = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®­êng trßn ) 2 4 3 _ => MDI = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). D 0 => MCI + MDI = 180 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c MCID nªn I MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp. 1 A B 2. Theo trªn Ta cã BC  MA; AD  MB nªn BC vµ AD lµ hai O H ®­êng cao cña tam gi¸c MAB mµ BC vµ AD c¾t nhau t¹i I nªn I lµ trùc t©m cña tam gi¸c MAB. Theo gi¶ thiÕt th× MH  AB nªn MH còng lµ ®­êng cao cña tam gi¸c MAB => AD, BC, MH ®ång quy t¹i I. 3. OAC c©n t¹i O ( v× OA vµ OC lµ b¸n kÝnh) => A1 = C4 KCM c©n t¹i K ( v× KC vµ KM lµ b¸n kÝnh) => M1 = C1 . 0 0 0 Mµ A1 + M1 = 90 ( do tam gi¸c AHM vu«ng t¹i H) => C1 + C4 = 90 => C3 + C2 = 90 ( v× gãc ACM lµ gãc bÑt) hay OCK = 900 . XÐt tø gi¸c KCOH Ta cã OHK = 900; OCK = 900 => OHK + OCK = 1800 mµ OHK vµ OCK lµ hai gãc ®èi nªn KCOH lµ tø gi¸c néi tiÕp. Bµi 19. Cho ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AC. Trªn b¸n kÝnh OC lÊy ®iÓm B tuú ý (B kh¸c O, C ). Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AB. Qua M kÎ d©y cung DE vu«ng gãc víi AB. Nèi CD, KÎ BI vu«ng gãc víi CD. Hä tªn gi¸o viªn: 11 NguyÔn V¨n Th¶o
  12. Tr­êng THCS Yªn Thä 60 bµi to¸n «n tËp h×nh häc 9 1. Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp . D 2. Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi. 3. Chøng minh BI // AD. 4. Chøng minh I, B, E th¼ng hµng. I 1 5. Chøng minh MI lµ tiÕp tuyÕn cña (O’). 3 2 Lêi gi¶i: A 1 1 / M / O 2 B C 1. BIC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => BID = 900 O' (v× lµ hai gãc kÒ bï); DE  AB t¹i M => BMD = 900 => BID + BMD = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c MBID nªn MBID lµ tø gi¸c néi tiÕp. 1 2. Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña AB; DE  AB t¹i M nªn M E còng lµ trung ®iÓm cña DE (quan hÖ ®­êng kÝnh vµ d©y cung) => Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi v× cã hai ®­êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®­êng . 3. ADC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => AD  DC; theo trªn BI  DC => BI // AD. (1) 4. Theo gi¶ thiÕt ADBE lµ h×nh thoi => EB // AD (2). Tõ (1) vµ (2) => I, B, E th¼ng hµng (v× qua B chØ cã mét ®­êng th¼ng song song víi AD mµ th«i.) 5. I, B, E th¼ng hµng nªn tam gi¸c IDE vu«ng t¹i I => IM lµ trung tuyÕn ( v× M lµ trung ®iÓm cña DE) =>MI = ME => MIE c©n t¹i M => I1 = E1 ; O’IC c©n t¹i O’ ( v× O’C vµ O’I cïng lµ b¸n kÝnh ) => I3 = C1 mµ C1 = E1 ( Cïng phô víi gãc EDC ) => I1 = I3 => I1 + I2 = I3 + I2 . Mµ 0 0 I3 + I2 = BIC = 90 => I1 + I2 = 90 = MIO’ hay MI  O’I t¹i I => MI lµ tiÕp tuyÕn cña (O’). Bµi 20. Cho ®­êng trßn (O; R) vµ (O’; R’) cã R > R’ tiÕp xóc ngoµi nhau t¹i C. Gäi AC vµ BC lµ hai ®­êng kÝnh ®i qua ®iÓm C cña (O) vµ (O’). DE lµ d©y cung cña (O) vu«ng gãc víi AB t¹i trung ®iÓm M cña AB. Gäi giao ®iÓm thø hai cña DC víi (O’) lµ F, BD c¾t (O’) t¹i G. Chøng minh r»ng: 1. Tø gi¸c MDGC néi tiÕp . => CGD = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï) 2. Bèn ®iÓm M, D, B, F cïng n»m trªn mét ®­êng trßn D 3. Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi. 1 G 4. B, E, F th¼ng hµng 5. DF, EG, AB ®ång quy. M C A B 6. MF = 1/2 DE. O O' 1 2 7. MF lµ tiÕp tuyÕn cña (O’). 1 3 Lêi gi¶i: 1 F 0 1. BGC = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) E Theo gi¶ thiÕt DE  AB t¹i M => CMD = 900 => CGD + CMD = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c MCGD nªn MCGD lµ tø gi¸c néi tiÕp 2. BFC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => BFD = 900; BMD = 900 (v× DE  AB t¹i M) nh­ vËy F vµ M cïng nh×n BD d­íi mét gãc b»ng 900 nªn F vµ M cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh BD => M, D, B, F cïng n»m trªn mét ®­êng trßn . 3. Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña AB; DE  AB t¹i M nªn M còng lµ trung ®iÓm cña DE (quan hÖ ®­êng kÝnh vµ d©y cung) => Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi v× cã hai ®­êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®­êng . 4. ADC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => AD  DF ; theo trªn tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi => BE // AD mµ AD  DF nªn suy ra BE  DF . Theo trªn BFC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => BF  DF mµ qua B chØ cã mét ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi DF do ®o B, E, F th¼ng hµng. 5. Theo trªn DF  BE; BM  DE mµ DF vµ BM c¾t nhau t¹i C nªn C lµ trùc t©m cña tam gi¸c BDE => EC còng lµ ®­êng cao => ECBD; theo trªn CGBD => E,C,G th¼ng hµng. VËy DF, EG, AB ®ång quy Hä tªn gi¸o viªn: 12 NguyÔn V¨n Th¶o
  13. Tr­êng THCS Yªn Thä 60 bµi to¸n «n tËp h×nh häc 9 6. Theo trªn DF  BE => DEF vu«ng t¹i F cã FM lµ trung tuyÕn (v× M lµ trung ®iÓm cña DE) suy ra MF = 1/2 DE ( v× trong tam gi¸c vu«ng trung tuyÕn thuéc c¹nh huyÒn b»ng nöa c¹nh huyÒn). 7. (HD) theo trªn MF = 1/2 DE => MD = MF => MDF c©n t¹i M => D1 = F1 O’BF c©n t¹i O’ ( v× O’B vµ O’F cïng lµ b¸n kÝnh ) => F3 = B1 mµ B1 = D1 (Cïng phô víi DEB ) 0 0 => F1 = F3 => F1 + F2 = F3 + F2 . Mµ F3 + F2 = BFC = 90 => F1 + F2 = 90 = MFO’ hay MF  O’F t¹i F => MF lµ tiÕp tuyÕn cña (O’). Bµi 21. Cho ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AB. Gäi I lµ trung ®iÓm cña OA . VÏ ®­êng tron t©m I ®i qua A, trªn (I) lÊy P bÊt k×, AP c¾t (O) t¹i Q. 1. Chøng minh r»ng c¸c ®­êng trßn (I) vµ (O) tiÕp xóc nhau t¹i A. Q 2. Chøng minh IP // OQ. 1 3. Chøng minh r»ng AP = PQ. P 4. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña P ®Ó tam gi¸c AQB cã diÖn tÝch lín nhÊt. 1 1 Lêi gi¶i: A B I O 1. Ta cã OI = OA – IA mµ OA vµ IA lÇn l­ît lµ c¸c b¸n kÝnh cña ®/ trßn (O) H vµ ®­êng trßn (I) . VËy ®/ trßn (O) vµ ®­êng trßn (I) tiÕp xóc nhau t¹i A . 2. OAQ c©n t¹i O ( v× OA vµ OQ cïng lµ b¸n kÝnh ) => A1 = Q1 IAP c©n t¹i I ( v× IA vµ IP cïng lµ b¸n kÝnh ) => A1 = P1 => P1 = Q1 mµ ®©y lµ hai gãc ®ång vÞ nªn suy ra IP // OQ. 3. APO = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => OP  AQ => OP lµ ®­êng cao cña OAQ mµ OAQ c©n t¹i O nªn OP lµ ®­êng trung tuyÕn => AP = PQ. 1 4. (HD) KÎ QH  AB ta cã SAQB = AB.QH. mµ AB lµ ®­êng kÝnh kh«ng ®æi nªn SAQB lín nhÊt khi QH 2 lín nhÊt. QH lín nhÊt khi Q trïng víi trung ®iÓm cña cung AB. §Ó Q trïng víi trung ®iÓm cña cung AB th× P ph¶i lµ trung ®iÓm cña cung AO. ThËt vËy P lµ trung ®iÓm cña cung AO => PI  AO mµ theo trªn PI // QO => QO  AB t¹i O => Q lµ trung ®iÓm cña cung AB vµ khi ®ã H trung víi O; OQ lín nhÊt nªn QH lín nhÊt. Bµi 22. Cho h×nh vu«ng ABCD, ®iÓm E thuéc c¹nh BC. Qua B kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi DE, ®­êng th¼ng nµy c¾t c¸c ®­êng th¼ng DE vµ DC theo thø tù ë H vµ K. 1. Chøng minh BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. TÝnh gãc CHK. A B 3. Chøng minh KC. KD = KH.KB 1 4. Khi E di chuyÓn trªn c¹nh BC th× H di chuyÓn trªn ®­êng nµo? Lêi gi¶i: H O E 1. Theo gi¶ thiÕt ABCD lµ h×nh vu«ng nªn BCD = 900; BH  DE 1 2 t¹i H nªn BHD = 900 => nh­ vËy H vµ C cïng nh×n BD d­íi mét 0 gãc b»ng 90 nªn H vµ C cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh BD ) 1 => BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp. D C K 2. BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => BDC + BHC = 1800. (1) BHK lµ gãc bÑt nªn KHC + BHC = 1800 (2). Tõ (1) vµ (2) => CHK = BDC mµ BDC = 450 (v× ABCD lµ h×nh vu«ng) => CHK = 450 . 3. XÐt KHC vµ KDB ta cã CHK = BDC = 450 ; K lµ gãc chung KC KH => KHC  KDB => => KC. KD = KH.KB. KB KD 4. (HD) Ta lu«n cã BHD = 900 vµ BD cè ®Þnh nªn khi E chuyÓn ®éng trªn c¹nh BC cè ®Þnh th× H chuyÓn ®éng trªn cung BC (E  B th× H  B; E  C th× H  C). Hä tªn gi¸o viªn: 13 NguyÔn V¨n Th¶o
  14. Tr­êng THCS Yªn Thä 60 bµi to¸n «n tËp h×nh häc 9 Bµi 23. Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Dùng ë miÒn ngoµi tam gi¸c ABC c¸c h×nh vu«ng ABHK, ACDE. 1. Chøng minh ba ®iÓm H, A, D th¼ng hµng. E 2. §­êng th¼ng HD c¾t ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c M ABC t¹i F, chøng minh FBC lµ tam gi¸c vu«ng c©n. D 3. Cho biÕt ABC > 450 ; gäi M lµ giao ®iÓm cña BF vµ K ED, Chøng minh 5 ®iÓm b, k, e, m, c cïng n»m trªn A F mét ®­êng trßn. 4. Chøng minh MC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp H tam gi¸c ABC. Lêi gi¶i: B O C 1. Theo gi¶ thiÕt ABHK lµ h×nh vu«ng => BAH = 450 Tø gi¸c AEDC lµ h×nh vu«ng => CAD = 450; tam gi¸c ABC vu«ng ë A => BAC = 900 => BAH + BAC + CAD = 450 + 900 + 450 = 1800 => ba ®iÓm H, A, D th¼ng hµng. 2. Ta cã BFC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) nªn tam gi¸c BFC vu«ng t¹i F. (1). FBC = FAC ( néi tiÕp cïng ch¾n cung FC) mµ theo trªn CAD = 450 hay FAC = 450 (2). Tõ (1) vµ (2) suy ra FBC lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i F. 3. Theo trªn BFC = 900 => CFM = 900 ( v× lµ hai gãc kÒ bï); CDM = 900 (t/c h×nh vu«ng). => CFM + CDM = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn tø gi¸c CDMF néi tiÕp mét ®­êng trßn suy ra CDF = CMF , mµ CDF = 450 (v× AEDC lµ h×nh vu«ng) => CMF = 450 hay CMB = 450. Ta còng cã CEB = 450 (v× AEDC lµ h×nh vu«ng); BKC = 450 (v× ABHK lµ h×nh vu«ng). Nh­ vËy K, E, M cïng nh×n BC d­íi mét gãc b»ng 450 nªn cïng n»m trªn cung chøa gãc 450 dùng trªn BC => 5 ®iÓm b, k, e, m, c cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. 4. CBM cã B = 450 ; M = 450 => BCM =450 hay MC  BC t¹i C => MC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC. Bµi 24. Cho tam gi¸c nhän ABC cã B = 450 . VÏ ®­êng trßn ®­êng kÝnh AC cã t©m O, ®­êng trßn nµy c¾t BA vµ BC t¹i D vµ E. 1. Chøng minh AE = EB. A 2. Gäi H lµ giao ®iÓm cña CD vµ AE, Chøng minh r»ng ®­êng trung trùc D cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH. 1 F 2 3.Chøng minh OD lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ BDE. O / _H Lêi gi¶i: K _ 1 1. AEC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) 1 / I => AEB = 900 ( v× lµ hai gãc kÒ bï); Theo gi¶ thiÕt ABE = 450 B E C => AEB lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i E => EA = EB. 2. Gäi K lµ trung ®iÓm cña HE (1) ; I lµ trung ®iÓm cña HB => IK lµ ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c HBE => IK // BE mµ AEC = 900 nªn BE  HE t¹i E => IK  HE t¹i K (2). Tõ (1) vµ (2) => IK lµ trung trùc cña HE . VËy trung trùc cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH. 3. theo trªn I thuéc trung trùc cña HE => IE = IH mµ I lµ trung ®iÓm cña BH => IE = IB.  ADC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => BDH = 900 (kÒ bï ADC) => tam gi¸c BDH vu«ng t¹i D cã DI lµ trung tuyÕn (do I lµ trung ®iÓm cña BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB = ID => I lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE b¸n kÝnh ID. Ta cã ODC c©n t¹i O (v× OD vµ OC lµ b¸n kÝnh ) => D1 = C1. (3) IBD c©n t¹i I (v× ID vµ IB lµ b¸n kÝnh ) => D2 = B1 . (4) Theo trªn ta cã CD vµ AE lµ hai ®­êng cao cña tam gi¸c ABC => H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC => BH còng lµ ®­êng cao cña tam gi¸c ABC => BH  AC t¹i F => AEB cã AFB = 900 . Hä tªn gi¸o viªn: 14 NguyÔn V¨n Th¶o
  15. Tr­êng THCS Yªn Thä 60 bµi to¸n «n tËp h×nh häc 9 0 Theo trªn ADC cã ADC = 90 => B1 = C1 ( cïng phô BAC) (5). 0 0 Tõ (3), (4), (5) =>D1 = D2 mµ D2 +IDH =BDC = 90 => D1 +IDH = 90 = IDO => OD  ID t¹i D => OD lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE. Bµi 25. Cho ®­êng trßn (O), BC lµ d©y bÊt k× (BC ABC c©n t¹i A. H K 2. Theo gi¶ thiÕt MI  BC => MIB = 900; MK  AB => MKB = 900. M 1 => MIB + MKB = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c BIMK néi tiÕp 1 P Q * ( Chøng minh tø gi¸c CIMH néi tiÕp t­¬ng tù tø gi¸c BIMK ) 1 1 2 B 2 1 C 3. Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => KMI + KBI = 1800; tø gi¸c CHMI néi I tiÕp => HMI + HCI = 1800. mµ KBI = HCI ( v× tam gi¸c ABC c©n t¹i A) O => KMI = HMI (1). Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => B1 = I1 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung KM); tø gi¸c CHMI néi tiÕp => H1 = C1 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung IM). Mµ B1 = C1 ¼ ( = 1/2 s® BM ) => I1 = H1 (2). MI MK Tõ (1) vµ (2) => MKI MIH => => MI2 = MH.MK MH MI 0 4. Theo trªn ta cã I1 = C1; còng chøng minh t­¬ng tù ta cã I2 = B2 mµ C1 + B2 + BMC = 180 0 0 => I1 + I2 + BMC = 180 hay PIQ + PMQ = 180 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c PMQI néi tiÕp => Q1 = I1 mµ I1 = C1 => Q1 = C1 => PQ // BC ( v× cã hai gãc ®ång vÞ b»ng nhau) . Theo gi¶ thiÕt MI BC nªn suy ra IM  PQ. Bµi 26. Cho ®­êng trßn (O), ®­êng kÝnh AB = 2R. VÏ d©y cung CD  AB ë H. Gäi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung CB, I lµ giao ®iÓm cña CB vµ OM. K lµ giao ®iÓm cña AM vµ CB. Chøng minh : 1. KA.KC = KB.KM J 3. Tø gi¸c OHCI néi tiÕp C / M 4. Kẻ ME vuông góc với K I _ Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña B»C => M»B M¼ C A B => CAM = BAM (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => AK lµ tia H O KC AC ph©n gi¸c cña gãc CAB => ( t/c tia ph©n gi¸c cña tam gi¸c ) KB AB D 2. (HD) Theo gi¶ thiÕt CD  AB => A lµ trung ®iÓm cña C»D => CMA = DMA => MA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CMD. 3. (HD) Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña B»C => OM  BC t¹i I => OIC = 900 ; CD  AB t¹i H => OHC = 900 => OIC + OHC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c OHCI néi tiÕp 4. KÎ MJ  AC ta cã MJ // BC ( v× cïng vu«ng gãc víi AC). Theo trªn OM  BC => OM  MJ t¹i J suy ra MJ lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t¹i M. Hä tªn gi¸o viªn: 15 NguyÔn V¨n Th¶o
  16. Tr­êng THCS Yªn Thä 60 bµi to¸n «n tËp h×nh häc 9 Bµi 27 Cho ®­êng trßn (O) vµ mét ®iÓm A ë ngoµi ®­êng trßn . C¸c tiÕp tuyÕn víi ®­êng trßn (O) kÎ tõ A tiÕp xóc víi ®­êng trßn (O) t¹i B vµ C. Gäi M lµ ®iÓm tuú ý trªn ®­êng trßn ( M kh¸c B, C), tõ M kÎ MH  BC, MK  CA, MI  AB. Chøng minh : 1. Tø gi¸c ABOC néi tiÕp. 2. BAO =  BCO. 3. MIH  MHK. 4. MI.MK = MH2. Lêi gi¶i: B I I B H M M H O O A A K C C K 1.(HS tù gi¶i) 2. Tø gi¸c ABOC néi tiÕp => BAO =  BCO (néi tiÕp cïng ch¾n cung BO). 3. Theo gi¶ thiÕt MH  BC => MHC = 900; MK  CA => MKC = 900 => MHC + MKC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c MHCK néi tiÕp => HCM = HKM (néi tiÕp cïng ch¾n cung HM). Chøng minh t­¬ng tù ta cã tø gi¸c MHBI néi tiÕp => MHI = MBI (néi tiÕp cïng ch¾n cung IM). Mµ HCM = MBI ( = 1/2 s® B¼M ) => HKM = MHI (1). Chøng minh t­¬ng tù ta còng cã KHM = HIM (2). Tõ (1) vµ (2) => HIM  KHM. MI MH 4. Theo trªn HIM  KHM => => MI.MK = MH2 MH MK Bµi 28 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O). Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC; E lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua BC; F lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua trung ®iÓm I cña BC. 1. Chøng minh tø gi¸c BHCF lµ h×nh b×nh hµnh. A 2. E, F n»m trªn ®­êng trßn (O). 3. Chøng minh tø gi¸c BCFE lµ h×nh thang c©n. = B' 4. Gäi G lµ giao ®iÓm cña AI vµ OH. Chøng minh G lµ träng t©m cña tam O gi¸c ABC. C' H G Lêi gi¶i: = / . Theo gi¶ thiÕt F lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua trung ®iÓm I cña BC => I lµ / / 1 B C trung ®iÓm BC vµ HE => BHCF lµ h×nh b×nh hµnh v× cã hai ®­êng chÐo c¾t A' I / nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®­êng . E F 2. (HD) Tø gi¸c AB’HC’ néi tiÕp => BAC + B’HC’ = 1800 mµ BHC = B’HC’ (®èi ®Ønh) => BAC + BHC = 1800. Theo trªn BHCF lµ h×nh b×nh hµnh => BHC = BFC => BFC + BAC = 1800 => Tø gi¸c ABFC néi tiÕp => F thuéc (O). * H vµ E ®èi xøng nhau qua BC => BHC = BEC (c.c.c) => BHC = BEC =>  BEC + BAC = 1800 => ABEC néi tiÕp => E thuéc (O) . 3. Ta cã H vµ E ®èi xøng nhau qua BC => BC  HE (1) vµ IH = IE mµ I lµ trung ®iÓm cña cña HF => EI = 1/2 HE => tam gi¸c HEF vu«ng t¹i E hay FE  HE (2) Tõ (1) vµ (2) => EF // BC => BEFC lµ h×nh thang. (3) Theo trªn E (O) => CBE = CAE ( néi tiÕp cïng ch¾n cung CE) (4). Hä tªn gi¸o viªn: 16 NguyÔn V¨n Th¶o
  17. Tr­êng THCS Yªn Thä 60 bµi to¸n «n tËp h×nh häc 9 Theo trªn F (O) vµ FEA =900 => AF lµ ®­êng kÝnh cña (O) => ACF = 900 => BCF = CAE ( v× cïng phô ACB) (5). Tõ (4) vµ (5) => BCF = CBE (6). Tõ (3) vµ (6) => tø gi¸c BEFC lµ h×nh thang c©n. 4. Theo trªn AF lµ ®­êng kÝnh cña (O) => O lµ trung ®iÓm cña AF; BHCF lµ h×nh b×nh hµnh => I lµ trung ®iÓm cña HF => OI lµ ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c AHF => OI = 1/ 2 AH. Theo gi¶ thiÕt I lµ trung ®iÓm cña BC => OI  BC ( Quan hÖ ®­êng kÝnh vµ d©y cung) => OIG = HAG GI OI 1 (v× so le trong); l¹i cã OGI =  HGA (®èi ®Ønh) => OGI  HGA => mµ OI = AH GA HA 2 GI 1 => mµ AI lµ trung tuyÕn cña ∆ ABC (do I lµ trung ®iÓm cña BC) => G lµ träng t©m cña ∆ ABC. GA 2 Bµi 29 BC lµ mét d©y cung cña ®­êng trßn (O; R) (BC 2R). §iÓm A di ®éng trªn cung lín BC sao cho O lu«n n»m trong tam gi¸c ABC. C¸c ®­êng cao AD, BE, CF cña tam gi¸c ABC ®ång quy t¹i H. 1. Chøng minh tam gi¸c AEF ®ång d¹ng víi tam gi¸c ABC. A 2. Gäi A’ lµ trung ®iÓm cña BC, Chøng minh AH = 2OA’. 3. Gäi A1 lµ trung ®iÓm cña EF, Chøng minh R.AA1 = AA’. OA’. = E 4. Chøng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy ra vÞ trÝ cña A ®Ó A1 O tæng EF + FD + DE ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. F H Lêi gi¶i: (HD) = / 1. Tø gi¸c BFEC néi tiÕp => AEF = ACB (cïng bï BFE) / / B D A' C AEF = ABC (cïng bï CEF) => AEF  ABC. / 2. VÏ ®­êng kÝnh AK => KB // CH ( cïng vu«ng gãc AB); KC // BH (cïng K vu«ng gãc AC) => BHKC lµ h×nh b×nh hµnh => A’ lµ trung ®iÓm cña HK => OK lµ ®­êng trung b×nh cña AHK => AH = 2OA’ 3. ¸p dông tÝnh chÊt : nÕu hai tam gi¸c ®ång d¹ng th× tØ sè gi÷a hia trung tuyÕn, tØ sè gi÷a hai b¸n kÝnh c¸c ®­êng trßn ngo¹i tiÕp b»ng tØ sè ®ång d¹ng. ta cã : R AA' AEF  ABC => (1) trong ®ã R lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp ABC; R’ lµ b¸n kÝnh R ' AA1 ®­êng trßn ngo¹i tiÕp AEF; AA’ lµ trung tuyÕn cña ABC; AA1 lµ trung tuyÕn cña AEF. Tø gi¸c AEHF néi tiÕp ®­êng trßn ®­êng kÝnh AH nªn ®©y còng lµ ®­êng trßn ngo¹i tiÕp AEF AH 2A'O Tõ (1) => R.AA1 = AA’. R’ = AA’ = AA’ . 2 2 VËy R . AA1 = AA’ . A’O (2) 4. Gäi B’, C’lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AC, AB, ta cã OB’AC ; OC’AB (b¸n kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng qua t©m) => OA’, OB’, OC’ lÇn l­ît lµ c¸c ®­êng cao cña c¸c tam gi¸c OBC, OCA, OAB. 1 SABC = SOBC+ SOCA + SOAB = ( OA’ . BC’ + OB’ . AC + OC’ . AB ) 2 2SABC = OA’ . BC + OB’ . AC’ + OC’ . AB (3) AA AA Theo (2) => OA’ = R . 1 mµ 1 lµ tØ sè gi÷a 2 trung tuyÕn cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng AEF vµ ABC AA' AA' AA EF FD ED nªn 1 = . T­¬ng tù ta cã : OB’ = R . ; OC’ = R . Thay vµo (3) ta ®­îc AA' BC AC AB EF FD ED 2SABC = R (.BC .AC .AB )  2SABC = R(EF + FD + DE) BC AC AB * R(EF + FD + DE) = 2SABC mµ R kh«ng ®æi nªn (EF + FD + DE) ®¹t gÝ trÞ lín nhÊt khi SABC. Hä tªn gi¸o viªn: 17 NguyÔn V¨n Th¶o
  18. Tr­êng THCS Yªn Thä 60 bµi to¸n «n tËp h×nh häc 9 1 Ta cã SABC = AD.BC do BC kh«ng ®æi nªn SABC lín nhÊt khi AD lín nhÊt, mµ AD lín nhÊt khi A lµ 2 ®iÓm chÝnh giìa cña cung lín BC. Bµi 30 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O; R), tia ph©n gi¸c cña gãc BAC c¾t (O) t¹i M. VÏ ®­êng cao AH vµ b¸n kÝnh OA. 1. Chøng minh AM lµ ph©n gi¸c cña gãc OAH. A 2. Gi¶ sö B > C. Chøng minh OAH = B - C. D 3. Cho BAC = 600 vµ OAH = 200. TÝnh: a)B vµ C cña tam gi¸c ABC. b) DiÖn tÝch h×nh viªn ph©n giíi h¹n bëi d©y BC vµ cung nhá BC theo R Lêi gi¶i: (HD) O 1. AM lµ ph©n gi¸c cña BAC => BAM = CAM => B¼M C¼M => M B lµ trung ®iÓm cña cung BC => OM  BC; Theo gi¶ thiÕt AH  BC => H C OM // AH => HAM = OMA ( so le). Mµ OMA = OAM ( v× tam gi¸c OAM c©n t¹i O do cã OM = OA = R) => HAM = OAM => AM M lµ tia ph©n gi¸c cña gãc OAH. 2. VÏ d©y BD  OA => »AB »AD => ABD = ACB. Ta cã OAH =  DBC ( gãc cã c¹nh t­¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän) => OAH = ABC - ABD => OAH = ABC - ACB hay OAH = B - C. 3. a) Theo gi¶ thiÕt BAC = 600 => B + C = 1200 ; theo trªn B C = OAH => B - C = 200 . B C 1200 B 700 => 0 0 B C 20 C 50 .R2.1202 1 R .R2 R2. 3 R2.(4 3 3) b) Svp = SqBOC - SV BOC = R. 3. = 3600 2 2 3 4 12 Bµi 31 Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp (O; R), biÕt BAC = 600. 1.TÝnh sè ®o gãc BOC vµ ®é dµi BC theo R. A 2.VÏ ®­êng kÝnh CD cña (O; R); gäi H lµ giao ®iÓm cña ba ®­êng cao cña tam gi¸c ABC Chøng minh BD // AH vµ AD // BH. D 3.TÝnh AH theo R. Lêi gi¶i: H O 1. Theo gi¶ thiÕt BAC = 600 => s®B»C =1200 ( t/c gãc néi tiÕp ) 0 => BOC = 120 ( t/c gãc ë t©m) . B M C * Theo trªn s®B»C =1200 => BC lµ c¹nh cña mét tam gi¸c ®Òu néi tiÕp (O; R) => BC = R3 . 2. CD lµ ®­êng kÝnh => DBC = 900 hay DB  BC; theo gi¶ thiÕt AH lµ ®­êng cao => AH  BC => BD // AH. Chøng minh t­¬ng tù ta còng ®­îc AD // BH. 3. Theo trªn DBC = 900 => DBC vu«ng t¹i B cã BC = R3 ; CD = 2R. => BD2 = CD2 – BC2 => BD2 = (2R)2 – (R3 )2 = 4R2 – 3R2 = R2 => BD = R. Theo trªn BD // AH; AD // BH => BDAH lµ h×nh b×nh hµnh => AH = BD => AH = R. Bµi 32 Cho ®­êng trßn (O), ®­êng kÝnh AB = 2R. Mét c¸t tuyÕn MN quay quanh trung ®iÓm H cña OB. 1. Chøng minh khi MN di ®éng , trung ®iÓm I cña MN lu«n n»m trªn mét ®­êng trßn cè ®Þnh. Hä tªn gi¸o viªn: 18 NguyÔn V¨n Th¶o
  19. Tr­êng THCS Yªn Thä 60 bµi to¸n «n tËp h×nh häc 9 2. Tõ A kÎ Ax  MN, tia BI c¾t Ax t¹i C. Chøng minh tø gi¸c CMBN lµ N h×nh b×nh hµnh. D 3. Chøng minh C lµ trùc t©m cña tam gi¸c AMN. K 4. Khi MN quay quanh H th× C di ®éng trªn ®­êng nµo. C I H 5.Cho AM. AN = 3R2 , AN = R3 . TÝnh diÖn tÝch phÇn h×nh trßn (O) n»m A B O ngoµi tam gi¸c AMN. Lêi gi¶i: (HD) M 1. I lµ trung ®iÓm cña MN => OI  MN t¹i I ( quan hÖ ®­êng kÝnh vµ d©y cung) = > OIH = 900 . OH cè ®Þmh nªn khi MN di ®éng th× I còng di ®éng nh­ng lu«n nh×n OH cè ®Þnh d­íi mét gãc 900 do ®ã I di ®éng trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh OH. VËy khi MN di ®éng , trung ®iÓm I cña MN lu«n n»m trªn mét ®­êng trßn cè ®Þnh. 2. Theo gi¶ thiÕt Ax  MN; theo trªn OI  MN t¹i I => OI // Ax hay OI // AC mµ O lµ trung ®iÓm cña AB => I lµ trung ®iÓm cña BC, l¹i cã I lµ trung ®iÓm cña MN (gt) => CMBN lµ h×nh b×nh hµnh ( V× cã hai ®­êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®­êng ). 3. CMBN lµ h×nh b×nh hµnh => MC // BN mµ BN  AN ( v× ANB = 90 0 do lµ gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => MC  AN; theo trªn AC  MN => C lµ trùc t©m cña tam gi¸c AMN. 4. Ta cã H lµ trung ®iÓm cña OB; I lµ trung ®iÓm cña BC => IH lµ ®­êng tung b×nh cña OBC => IH // OC Theo gi¶ thiÕt Ax  MN hay IH  Ax => OC  Ax t¹i C => OCA = 90 0 => C thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh OA cè ®Þnh. VËy khi MN quay quanh H th× C di ®éng trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh OA cè ®Þnh. 5. Ta cã AM. AN = 3R2 , AN = R3 . => AM =AN = R3 => AMN c©n t¹i A. (1) XÐt ABN vu«ng t¹i N ta cã AB = 2R; AN = R3 => BN = R => ABN = 600 . ABN = AMN (néi tiÕp cïng ch¾n cung AN) => AMN = 600 (2). 3R2 3 Tõ (1) vµ (2) => AMN lµ tam gi¸c ®Òu => S AMN = . 4 2 2 2 3R 3 R (4 3 3 => S = S(O) - S AMN = R - = 4 4 Bµi 33 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O; R), tia ph©n gi¸c cña gãc BAC c¾t BC t¹i I, c¾t ®­êng trßn t¹i M. ( 1. Chøng minh OM  BC. 1 P 2. Chøng minh MC2 = MI.MA. N 3. KÎ ®­êng kÝnh MN, c¸c tia ph©n gi¸c cña gãc B vµ C A c¾t ®­êng th¼ng AN t¹i P vµ Q. Chøng minh bèn 2 ®iÓm P, C , B, Q cïng thuéc mét ®­êng trßn . Q 1 Lêi gi¶i: 1 1. AM lµ ph©n gi¸c cña BAC => BAM = CAM O K => B¼M C¼M => M lµ trung ®iÓm cña cung BC => OM  BC 1 2 2 1 ( 2. XÐt MCI vµ MAC cã MCI =MAC (hai gãc néi tiÕp B I C ch¾n hai cung b»ng nhau); M lµ gãc chung MC MI M => MCI  MAC => => MC2 = MI.MA. MA MC Hä tªn gi¸o viªn: 19 NguyÔn V¨n Th¶o
  20. Tr­êng THCS Yªn Thä 60 bµi to¸n «n tËp h×nh häc 9 0 0 3. (HD) MAN = 90 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => P1 = 90 – K1 mµ K1 lµ gãc ngoµi cña tam A B 0 gi¸c AKB nªn K1 = A1 + B1 = (t/c ph©n gi¸c cña mét gãc ) => P1 = 90 – 2 2 A B ( ).(1) 2 2 C 1 0 0 A B CQ lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ACB => C1 = = (180 - A - B) = 90 – ( ). (2). 2 2 2 2 Tõ (1) vµ (2) => P1 = C1 hay QPB = QCB mµ P vµ C n»m cïng vÒ mét nöa mÆt ph¼ng bê BQ nªn A B cïng n»m trªn cung chøa gãc 900 – ( ) dùng trªn BQ. 2 2 VËy bèn ®iÓm P, C, B, Q cïng thuéc mét ®­êng trßn . Bµi 34 Cho tam gi¸c ABC c©n ( AB = AC), BC = 6 Cm, chiÒu cao AH = 4 Cm, néi tiÕp ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AA’. 1. TÝnh b¸n kÝnh cña ®­êng trßn (O). A 2. KÎ ®­êng kÝnh CC’, tø gi¸c CAC’A’ lµ h×nh g×? T¹i sao? 1 2 3. KÎ AK  CC’ tø gi¸c AKHC lµ h×nh g×? T¹i sao? 4. TÝnh diÖn tÝch phÇn h×nh trßn (O) n»m ngoµi tam gi¸c ABC. C' Lêi gi¶i: K 1 O 1. (HD) V× ABC c©n t¹i A nªn ®­êng kÝnh AA’ cña ®­êng trßn ngo¹i 1 2 B 1 C tiÕp vµ ®­êng cao AH xuÊt ph¸t tõ ®Ønh A trïng nhau, tøc lµ AA’®i qua H. H BC 6 => ACA’ vu«ng t¹i C cã ®­êng cao CH = = 3cm; AH = 2 2 CH 2 32 9 A' 4cm => CH2 = AH.A’H => A’H = 2,5 => AA’ AH 4 4 => AA’ = AH + HA’ = 4 + 2,5 = 6,5 9cm) => R = AA’ : 2 = 6,5 : 2 = 3,25 (cm) . 2. V× AA’ vµ CC’ lµ hai ®­êng kÝnh nªn c¾t nhau t¹i trung ®iÓm O cña mçi ®­êng => ACA’C’ lµ h×nh b×nh hµnh. L¹i cã ACA’ = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) nªn suy ra tø gi¸c ACA’C’ lµ h×nh ch÷ nhËt. 3. Theo gi¶ thiÕt AH  BC; AK  CC’ => K vµ H cïng nh×n AC d­íi mét gãc b»ng 900 nªn cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh AC hay tø gi¸c ACHK néi tiÕp (1) => C2 = H1 (néi tiÕp cung ch¾n cung AK) ; AOC c©n t¹i O ( v× OA=OC=R) => C2 = A2 => A2 = H1 => HK // AC ( v× cã hai gãc so le trong b»ng nhau) => tø gi¸c ACHK lµ h×nh thang (2).Tõ (1) vµ (2) suy ra tø gi¸c ACHK lµ h×nh thang c©n. Bµi 35 Cho ®­êng trßn (O), ®­êng kÝnh AB cè ®Þnh, ®iÓm I n»m gi÷a A vµ O sao cho AI = 2/3 AO. KÎ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I, gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN sao cho C kh«ng trïng víi M, N vµ B. Nèi AC c¾t MN t¹i E. 1. Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp . M 2. Chøng minh tam gi¸c AME ®ång d¹ng víi tam gi¸c ACM. 2 O 3. Chøng minh AM = AE.AC. 1 C 4. Chøng minh AE. AC - AI.IB = AI2 . E 5. H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña C sao cho kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn t©m ®­êng trßn A B ngo¹i tiÕp tam gi¸c CME lµ nhá nhÊt. I O Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt MN AB t¹i I => EIB = 900;  ACB néi tiÕp ch¾n nöa 0 0 ®­êng trßn nªn ACB = 90 hay ECB = 90 N => EIB + ECB = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c IECB nªn tø gi¸c IECB lµ tø gi¸c néi tiÕp . Hä tªn gi¸o viªn: 20 NguyÔn V¨n Th¶o
  21. Tr­êng THCS Yªn Thä 60 bµi to¸n «n tËp h×nh häc 9 2. Theo gi¶ thiÕt MN AB => A lµ trung ®iÓm cña cung MN => AMN = ACM ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) hay AME = ACM. L¹i thÊy CAM lµ gãc chung cña hai tam gi¸c AME vµ AMC do ®ã tam gi¸c AME ®ång d¹ng víi tam gi¸c ACM. AM AE 3. Theo trªn AME  ACM => => AM2 = AE.AC AC AM 4. AMB = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ); MN AB t¹i I => AMB vu«ng t¹i M cã MI lµ ®­êng cao => MI2 = AI.BI ( hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®­êng cao trong tam gi¸c vu«ng) . ¸p dông ®Þnh lÝ Pitago trong tam gi¸c AIM vu«ng t¹i I ta cã AI2 = AM2 – MI2 => AI2 = AE.AC - AI.BI . 5. Theo trªn AMN = ACM => AM lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp ECM; Nèi MB ta cã AMB 0 = 90 , do ®ã t©m O1 cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp ECM ph¶i n»m trªn BM. Ta thÊy NO1 nhá nhÊt khi NO1 lµ kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn BM => NO1 BM. Gäi O1 lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc kÎ tõ N ®Õn BM ta ®­îc O1 lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp ECM cã b¸n kÝnh lµ O1M. Do ®ã ®Ó kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c CME lµ nhá nhÊt th× C ph¶i lµ giao ®iÓm cña ®­êng trßn t©m O1 b¸n kÝnh O1M víi ®­êng trßn (O) trong ®ã O1 lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña N trªn BM. Bµi 36 Cho tam gi¸c nhän ABC , KÎ c¸c ®­êng cao AD, BE, CF. Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c. Gäi M, N, P, Q lÇn l­ît lµ c¸c h×nh chiÕu vu«ng gãc cña D lªn AB, BE, CF, AC. Chøng minh : 1. C¸c tø gi¸c DMFP, DNEQ lµ h×nh ch÷ nhËt. 2. C¸c tø gi¸c BMND; DNHP; DPQC néi tiÕp . A 3. Hai tam gi¸c HNP vµ HCB ®ång d¹ng. 4. Bèn ®iÓm M, N, P, Q th¼ng hµng. E F Lêi gi¶i: 1. & 2. (HS tù lµm) H P Q 3. Theo chøng minh trªn DNHP néi tiÕp => N2 = D4 (néi tiÕp cïng ch¾n 1 1 0 N 2 cung HP); HDC cã HDC = 90 (do AH lµ ®­êng cao) HDP cã HPD M 1 0 = 90 (do DP  HC) => C1= D4 (cïng phô víi DHC)=>C1=N2 (1) 3 4 1 1 1 chøng minh t­¬ng tù ta cã B1=P1 (2) B D C Tõ (1) vµ (2) => HNP  HCB 4. Theo chøng minh trªn DNMB néi tiÕp => N1 = D1 (néi tiÕp cïng ch¾n cung BM).(3) DM // CF ( cïng vu«ng gãc víi AB) => C1= D1 ( hai gãc ®ång vÞ).(4) Theo chøng minh trªn C1 = N2 (5) Tõ (3), (4), (5) => N1 = N2 mµ B, N, H th¼ng hµng => M, N, P th¼ng hµng. (6) Chøng minh t­¬ng tù ta cung cã N, P, Q th¼ng hµng . (7) Tõ (6), (7) => Bèn ®iÓm M, N, P, Q th¼ng hµng Bµi 37 Cho hai ®­êng trßn (O) vµ (O’) tiÕp xóc ngoµi t¹i A. KÎ tiÕp tuyÕn chung ngoµi BC, B (O), C (O’) . TiÕp tuyÕn chung trong t¹i A c¾t tiÕp tuyÕn chung ngoµi BC ë I. 1. Chøng minh c¸c tø gi¸c OBIA, AICO’ néi tiÕp . B I 2. Chøng minh  BAC = 900 . C 3. TÝnh sè ®o gãc OIO’. 4. TÝnh ®é dµi BC biÕt OA = 9cm, O’A = 4cm. 9 4 Lêi gi¶i: O A O' 1. ( HS tù lµm) 2. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã IB = IA , IA = IC 1 ABC cã AI = BC => ABC vu«ng t¹i A hay BAC =900 2 Hä tªn gi¸o viªn: 21 NguyÔn V¨n Th¶o
  22. Tr­êng THCS Yªn Thä 60 bµi to¸n «n tËp h×nh häc 9 3. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã IO lµ tia ph©n gi¸c BIA; I0’lµ tia ph©n gi¸c CIA . mµ hai gãc BIA vµ CIA lµ hai gãc kÒ bï => I0  I0’=> 0I0’= 900 4. Theo trªn ta cã 0I0’ vu«ng t¹i I cã IA lµ ®­êng cao (do AI lµ tiÕp tuyÕn chung nªn AI OO’) => IA2 = A0.A0’ = 9. 4 = 36 => IA = 6 => BC = 2. IA = 2. 6 = 12(cm) Bµi 38 Cho hai ®­êng trßn (O) ; (O’) tiÕp xóc ngoµi t¹i A, BC lµ tiÕp tuyÕn chung ngoµi, B (O), C (O’). TiÕp tuyÕn chung trong t¹i A c¾ tiÕp tuyÕn chung ngoµi BC ë M. Gäi E lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB, F lµ giao ®iÓm cña O’M vµ AC. Chøng minh : 1. Chøng minh c¸c tø gi¸c OBMA, AMCO’ néi tiÕp . B M 2. Tø gi¸c AEMF lµ h×nh ch÷ nhËt. 1 C 2 3 4 3. ME.MO = MF.MO’. E F 4. OO’ lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh BC. 5. BC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh OO’. O A O' Lêi gi¶i: 1. ( HS tù lµm) 2. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã MA = MB => MAB c©n t¹i M. L¹i cã ME lµ tia ph©n gi¸c => ME  AB (1). Chøng minh t­¬ng tù ta còng cã MF  AC (2). Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta còng cã MO vµ MO’ lµ tia ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï BMA vµ CMA => MO  MO’ (3). Tõ (1), (2) vµ (3) suy ra tø gi¸c MEAF lµ h×nh ch÷ nhËt 3. Theo gi¶ thiÕt AM lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai ®­êng trßn => MA  OO’=> MAO vu«ng t¹i A cã AE  MO ( theo trªn ME  AB) MA2 = ME. MO (4) T­¬ng tù ta cã tam gi¸c vu«ng MAO’ cã AFMO’ MA2 = MF.MO’ (5) Tõ (4) vµ (5) ME.MO = MF. MO’ 4. §­êng trßn ®­êng kÝnh BC cã t©m lµ M v× theo trªn MB = MC = MA, ®­êng trßn nµy ®i qua Avµ co MA lµ b¸n kÝnh . Theo trªn OO’  MA t¹i A OO’ lµ tiÕp tuyÕn t¹i A cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh BC. 5. (HD) Gäi I lµ trung ®iÓm cña OO’ ta cã IM lµ ®­êng trung b×nh cña h×nh thang BCO’O => IMBC t¹i M (*) .Ta cung chøng minh ®­îc OMO’ vu«ng nªn M thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh OO’ => IM lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn ®­êng kÝnh OO’ ( ) Tõ (*) vµ ( ) => BC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh OO’ Bµi 39 Cho ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh BC, dÊy AD vu«ng gãc víi BC t¹i H. Gäi E, F theo thø tù lµ ch©n c¸c ®­êng vu«ng gãc kÎ tõ H ®Õn AB, AC. Gäi ( I ), (K) theo thø tù lµ c¸c ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c HBE, HCF. 1. H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña c¸c ®­êng trßn (I) vµ (O); (K) vµ (O); (I) vµ (K). 2. Tø gi¸c AEHF lµ h×nh g×? V× sao?. => AFH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).(2) 3. Chøng minh AE. AB = AF. AC. A 4. Chøng minh EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai ®­êng trßn (I) vµ (K). 5. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña H ®Ó EF cã ®é dµi lín nhÊt. F G Lêi gi¶i: E 1 2 1.(HD) OI = OB – IB => (I) tiÕp xóc (O) 1 B 2 C OK = OC – KC => (K) tiÕp xóc (O) I H O K IK = IH + KH => (I) tiÕp xóc (K) 2. Ta cã : BEH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => AEH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). (1) CFH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) D Hä tªn gi¸o viªn: 22 NguyÔn V¨n Th¶o
  23. Tr­êng THCS Yªn Thä 60 bµi to¸n «n tËp h×nh häc 9 BAC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn hay EAF = 900 (3) Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt ( v× cã ba gãc vu«ng). 3. Theo gi¶ thiÕt ADBC t¹i H nªn AHB vu«ng t¹i H cã HE  AB ( BEH = 900 ) => AH2 = AE.AB (*) Tam gi¸c AHC vu«ng t¹i H cã HF  AC (theo trªn CFH = 900 ) => AH2 = AF.AC ( ) Tõ (*) vµ ( ) => AE. AB = AF. AC ( = AH2) 4. Theo chøng minh trªn tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt, gäi G lµ giao ®iÓm cña hai ®­êng chÐo AH vµ EF ta cã GF = GH (tÝnh chÊt ®­êng chÐo h×nh ch÷ nhËt) => GFH c©n t¹i G => F1 = H1 . KFH c©n t¹i K (v× cã KF vµ KH cïng lµ b¸n kÝnh) => F2 = H2. 0 0 => F1 + F2 = H1 + H2 mµ H1 + H2 = AHC = 90 => F1 + F2 = KFE = 90 => KF EF . Chøng minh t­¬ng tù ta còng cã IE  EF. VËy EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai ®­êng trßn (I) vµ (K). e) Theo chøng minh trªn tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt => EF = AH OA (OA lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn (O) cã ®é dµi kh«ng ®æi) nªn EF = OA AH = OA H trïng víi O. VËy khi H trïng víi O tóc lµ d©y AD vu«ng gãc víi BC t¹i O th× EF cã ®é dµi lín nhÊt. Bµi 40 Cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB = 2R. Tõ A vµ B kÎ hai tiÕp tuyÕn Ax, By. Trªn Ax lÊy ®iÓm M råi kÎ tiÕp tuyÕn MP c¾t By t¹i N. y 1.Chøng minh tam gi¸c MON ®ång d¹ng víi tam gi¸c APB. x N 2 2.Chøng minh AM. BN = R . / S R P 3.TÝnh tØ sè MON khi AM = . / S APB 2 M 4.TÝnh thÓ tÝch cña h×nh do nöa h×nh trßn APB quay quanh c¹nh AB sinh ra. Lêi gi¶i: A O B 1. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: OM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AOP ; ON lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BOP, mµ AOP vµ BOP lµ hai gãc kÒ bï => MON = 900. hay tam gi¸c MON vu«ng t¹i O. APB = 900((néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn) hay tam gi¸c APB vu«ng t¹i P. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã NB  OB => OBN = 900; NP  OP => OPN = 900 =>OBN+OPN =1800 mµ OBN vµ OPN lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c OBNP néi tiÕp =>OBP = PNO XÐt hai tam gi¸c vu«ng APB vµ MON cã APB =  MON = 900; OBP = PNO => APB  MON 2. Theo trªn MON vu«ng t¹i O cã OP  MN ( OP lµ tiÕp tuyÕn ). ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®­êng cao trong tam gi¸c vu«ng ta cã OP2 = PM. PM Mµ OP = R; AM = PM; BN = NP (tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ) => AM. BN = R2 R R R 3. Theo trªn OP2 = PM. PM hay PM. PM = R2 mµ PM = AM = => PM = => PN = R2: = 2R 2 2 2 R 5R MN 5R 5 => MN = MP + NP = + 2R = Theo trªn APB  MON => = : 2R = = k (k lµ tØ sè 2 2 AB 2 4 ®ång d¹ng).V× tØ sè diÖn tich gi÷a hai tam gi¸c ®ång d¹ng b»ng b×nh ph­¬ng tØ sè ®ång d¹ng nªn ta cã: 2 S MON S MON 5 25 = k2 => = S APB S APB 4 16 Bµi 41 Cho tam gi¸c ®Òu ABC , O lµ trung ®iÓn cña BC. Trªn c¸c c¹nh AB, AC lÇn l­ît lÊy c¸c ®iÓm D, E sao cho  DOE = 600 . 1)Chøng minh tÝch BD. CE kh«ng ®æi. Hä tªn gi¸o viªn: 23 NguyÔn V¨n Th¶o
  24. Tr­êng THCS Yªn Thä 60 bµi to¸n «n tËp h×nh häc 9 2)Chøng minh hai tam gi¸c BOD; OED ®ång d¹ng. Tõ ®ã suy ra tia DO lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE 3)VÏ ®­êng trßn t©m O tiÕp xóc víi AB. Chøng minh r»ng ®­êng trßn nµy lu«n tiÕp xóc víi DE. Lêi gi¶i: 1. Tam gi¸c ABC ®Òu => ABC =  ACB = 600 (1);  DOE = 600 (gt) =>DOB + EOC = 1200 (2). DBO cã DOB = 600 => BDO + BOD = 1200 (3) . Tõ (2) vµ (3) => BDO =  COE (4) BD BO Tõ (2) vµ (4) => BOD  CEO => => BD.CE = BO.CO mµ OB = OC = R kh«ng ®æi => CO CE BD.CE = R2 kh«ng ®æi. A K E D H B C O BD OD BD OD BD BO 2. Theo trªn BOD  CEO => mµ CO = BO => (5) CO OE BO OE OD OE L¹i cã DBO = DOE = 600 (6). Tõ (5) vµ (6) => DBO  DOE => BDO = ODE => DO lµ tia ph©n gi¸c  BDE. 3. Theo trªn DO lµ tia ph©n gi¸c  BDE => O c¸ch ®Òu DB vµ DE => O lµ t©m ®­êng trßn tiÕp xóc víi DB vµ DE. VËy ®­êng trßn t©m O tiÕp xóc víi AB lu«n tiÕp xóc víi DE Bµi 42 Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. cã c¹nh ®¸y nhá h¬n c¹nh bªn, néi tiÕp ®­êng trßn (O). TiÕp tuyÕn t¹i B vµ C lÇn l­ît c¾t AC, AB ë D vµ E. Chøng minh : 1. BD2 = AD.CD. A 2. Tø gi¸c BCDE néi tiÕp . 3. BC song song víi DE. O Lêi gi¶i: 1. XÐt hai tam gi¸c BCD vµ ABD ta cã CBD = BAD ( V× lµ gãc néi tiÕp vµ gãc gi÷a tiÕp tuyÕn víi mét d©y cïng ch¾n mét cung), l¹i B C BD CD cã D chung => BCD  ABD => => BD2 = AD.CD. AD BD 2. Theo gi¶ thiÕt tam gi¸c ABC c©n t¹i A => ABC = ACB E => EBC = DCB mµ CBD = BCD (gãc gi÷a tiÕp tuyÕn víi D mét d©y cïng ch¾n mét cung) => EBD = DCE => B vµ C nh×n DE d­íi cïng mét gãc do ®ã B vµ C cïng n»m trªn cung trßn dùng trªn DE => Tø gi¸c BCDE néi tiÕp Hä tªn gi¸o viªn: 24 NguyÔn V¨n Th¶o
  25. Tr­êng THCS Yªn Thä 60 bµi to¸n «n tËp h×nh häc 9 3. Tø gi¸c BCDE néi tiÕp => BCE = BDE ( néi tiÕp cïng ch¾n cung BE) mµ BCE = CBD (theo trªn ) => CBD = BDE mµ ®©y lµ hai gãc so le trong nªn suy ra BC // DE. Bµi 43 Cho ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AB, ®iÓm M thuéc ®­êng trßn . VÏ ®iÓm N ®èi xøng víi A qua M, BN c¾t (O) t¹i C. Gäi E lµ giao ®iÓm cña AC vµ BM. 1. Chøng minh tø gi¸c MNCE néi tiÕp . N 2. Chøng minh NE  AB. 3. Gäi F lµ ®iÓm ®èi xøng víi E qua M. Chøng minh FA lµ tiÕp tuyÕn cña (O). F _ / M 4. Chøng minh FN lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (B; BA). / C Lêi gi¶i: 1. (HS tù lµm) _ 2. (HD) DÔ thÊy E lµ trùc t©m cña tam gi¸c NAB => NE  AB. E B 3.Theo gi¶ thiÕt A vµ N ®èi xøng nhau qua M nªn M lµ trung ®iÓm cña AN; F vµ E A O H xøng nhau qua M nªn M lµ trung ®iÓm cña EF => AENF lµ h×nh b×nh hµnh => FA // NE mµ NE  AB => FA  AB t¹i A => FA lµ tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i A. 4. Theo trªn tø gi¸c AENF lµ h×nh b×nh hµnh => FN // AE hay FN // AC mµ AC  BN => FN  BN t¹i N BAN cã BM lµ ®­êng cao ®ång thêi lµ ®­êng trung tuyÕn ( do M lµ trung ®iÓm cña AN) nªn BAN c©n t¹i B => BA = BN => BN lµ b¸n kÝnh cña ®­êng trßn (B; BA) => FN lµ tiÕp tuyÕn t¹i N cña (B; BA). Bµi 44 AB vµ AC lµ hai tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t©m O b¸n kÝnh R ( B, C lµ tiÕp ®iÓm ). VÏ CH vu«ng gãc AB t¹i H, c¾t (O) t¹i E vµ c¾t OA t¹i D. 1. Chøng minh CO = CD. B 2. Chøng minh tø gi¸c OBCD lµ h×nh thoi. H 3. Gäi M lµ trung ®iÓm cña CE, Bm c¾t OH t¹i I. Chøng minh I lµ I E trung ®iÓm cña OH. O 4. TiÕp tuyÕn t¹i E víi (O) c¾t AC t¹i K. Chøng minh ba ®iÓm O, M, A D K th¼ng hµng. M K Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt AB vµ AC lµ hai tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t©m O => C OA lµ tia ph©n gi¸c cña BOC => BOA = COA (1) OB  AB ( AB lµ tiÕp tuyÕn ); CH  AB (gt) => OB // CH => BOA = CDO (2) Tõ (1) vµ (2) => COD c©n t¹i C => CO = CD.(3) 2. theo trªn ta cã CO = CD mµ CO = BO (= R) => CD = BO (4) l¹i cã OB // CH hay OB // CD (5) Tõ (4) vµ (5) => BOCD lµ h×nh b×nh hµnh (6) . Tõ (6) vµ (3) => BOCD lµ h×nh thoi. 3. M lµ trung ®iÓm cña CE => OM  CE ( quan hÖ ®­êng kÝnh vµ d©y cung) => OMH = 900. theo trªn ta còng cã OBH =900; BHM =900 => tø gi¸c OBHM lµ h×nh ch÷ nhËt => I lµ trung ®iÓm cña OH. 4. M lµ trung ®iÓm cña CE; KE vµ KC lµ hai tiÕp tuyÕn => O, M, K th¼ng hµng. Bµi 45 Cho tam gi¸c c©n ABC ( AB = AC) néi tiÕp ®­êng trßn (O). Gäi D lµ trung ®iÓm cña AC; tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O) t¹i A c¾t tia BD t¹i E. Tia CE c¾t (O) t¹i F. 1.Chøng minh BC // AE. A E 2.Chøng minh ABCE lµ h×nh b×nh hµnh. 1 2 _ 3.Gäi I lµ trung ®iÓm cña CF vµ G lµ giao ®iÓm cña BC vµ OI. 2 K O 1 D F So s¸nh BAC vµ BGO. _ I _ Lêi gi¶i: 1. (HS tù lµm) _ 1 B 2).XÐt hai tam gi¸c ADE vµ CDB ta cã EAD = BCD (v× so le trong ) H C G AD = CD (gt); ADE = CDB (®èi ®Ønh) => ADE = CDB => AE = CB (1) Theo trªn AE // CB (2) .Tõ (1) vµ (2) => AECB lµ h×nh b×nh hµnh. Hä tªn gi¸o viªn: 25 NguyÔn V¨n Th¶o
  26. Tr­êng THCS Yªn Thä 60 bµi to¸n «n tËp h×nh häc 9 . 3) I lµ trung ®iÓm cña CF => OI  CF (quan hÖ ®­êng kÝnh vµ d©y cung). Theo trªn AECB lµ h×nh b×nh hµnh => AB // EC => OI  AB t¹i K, => BKG vu«ng t¹i K. Ta cung cã BHA vu«ng t¹i H 1 => BGK = BAH ( cung phô víi ABH) mµ BAH = BAC (do ABC c©n nªn AH lµ ph©n gi¸c) 2 => BAC = 2BGO. Bài 46: Cho đường tròn (O) và một điểm P ở ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến PA, PB (A; B là tiếp điểm). Từ A vẽ tia song song với PB cắt (O) tại C (C A). Đoạn PC cắt đường tròn tại điểm thứ hai D. Tia AD cắt PB tại E. a. Chứng minh ∆EAB ~ ∆EBD. b. Chứng minh AE là trung tuyến của ∆PAB. B HD: a) ∆EAB ~ ∆EBD (g.g) vì: B· EA chung E · · EAB = EBD (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến ) O EB ED P EB2 = EA.ED (1) D EA EB C · · · · * EPD = PCA (s.l.t) ; EAP = PCA (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến ) A E· PD = E· AP ; P· EA chung ∆EPD ~ ∆EAP (g.g) EP ED EP2 = EA.ED (2)Từ 1 & 2 EB2 = EP2 EB = EP AE là trung tuyến ∆ PAB. EA EP Bài 47: Cho ∆ABC vuông ở A. Lấy trên cạnh AC một điểm D. Dựng CE vuông góc BD. a. Chứng minh ∆ABD ~ ∆ECD. b. Chứng minh tứ giác ABCE là tứ giác nội tiếp. c. Chứng minh FD vuông góc BC, trong đó F là giao điểm của BA và CE. d. Cho A· BC = 600; BC = 2a; AD = a. Tính AC; đường cao AH của ∆ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEF. C HD: a) ∆ABD ~ ∆ECD (g.g) b) tứ giác ABCE là tứ giác nội tiếp (Quĩ tích cung chứa góc 900) E c) Chứng minh D là trực tâm ∆ CBF. K D 3 2a d) AC = BC.sinA· BC = 2a.sin600 = 2a . = a 3 2 a H 1 600 AB = BC.cosA· BC = 2a.cos600 = 2a. = a 2 F A B 3 AH = AB.sinA· BC = a.sin600 = a ; ∆ FKB vuông tại K , có A· BC = 60 0 B· FK = 300 2 AD = FD.sinB· FK AD = FD.sin300 a = FD.0,5 FD = a : 0,5 = 2a. Bài 48: Cho ∆ABC vuông ( A· BC = 900; BC > BA) nội tiếp trong đường tròn đưòng kính AC. Kẻ dây cung BD vuông góc AC. H là giao điểm AC và BD. Trên HC lấy điểm E sao cho E đối xứng với A qua H. Đường tròn đường kính EC cắt BC tại I (I C). CI CE B a. Chứng minh CB CA b. Chứng minh D; E; I thẳng hàng. I c. Chứng minh HI là một tiếp tuyến của đường tròn đường kính EC. HD; a) AB // EI (cùng  BC) A H C O E O’ Hä tªn gi¸o viªn: 26 NguyÔn V¨n Th¶o
  27. Tr­êng THCS Yªn Thä 60 bµi to¸n «n tËp h×nh häc 9 CI CE (đ/lí Ta-lét) CB CA b) chứng minh ABED là hình thoi DE // AB mà EI //AB D, E, I cùng nằm trên đường thẳng đi qua E // AB D, E, I thẳng hàng. D · · c) EIO' = IEO' ( vì ∆ EO’I cân ; O’I = O’E = R(O’)) I·EO' = H· ED (đ/đ) ; ∆BID vuông ; IH là trung tuyến ∆HID cân H· IE = H· DI Mà H· DI + H· ED = 900 đpcm. Bài 49: Cho đường tròn (O; R) và một đường thẳng (d) cố định không cắt (O; R). Hạ OH  (d) (H d). M là một điểm thay đổi trên (d) (M H). Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MP và MQ (P, Q là tiếp điểm) với (O; R). Dây cung PQ cắt OH ở I; cắt OM ở K. a. Chứng minh 5 điểm O, Q, H, M, P cùng nằm trên 1 đường tròn. b. Chứng minh IH.IO = IQ.IP P c. Giả sử P· MQ = 600. Tính tỉ số diện tích 2 tam giác: ∆MPQvà ∆OPQ. HD: a) 5 điểm O, Q, H, M, P cùng nằm trên 1 đường tròn K O (Dựa vào quĩ tích cung chứa góc 900) M IO IQ b) ∆ OIP ~ ∆ QIH (g.g) IH.IO = IQ.IP I IP IH PQ PQ 3 Q c) ∆v MKQ có : MK = KQ.tgM· QK = KQ.tg600 = 3 . 2 2 H 3 PQ 3 PQ 3 ∆v OKQ có: OK = KQ.tgO· QK = KQ.tg300 = KQ. . 3 2 3 6 S PQ 3 PQ 3 MPQ = : = 3 SOPQ 2 6 Bài 50: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB=2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E (E A). Từ E, A, B kẻ các tiếp tuyến với nửa đường tròn. Tiếp tuyến kẻ từ E cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A và B theo thứ tự tại C và D. a. Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E tới nửa đường tròn. Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp được trong một đường tròn. DM CM b. Chứng minh ∆EAC ~ ∆EBD, từ đó suy ra . DE CE D c. Gọi N là giao điểm của AD và BC. Chứng minh MN // BD. 1 d. Chứng minh: EA2 = EC.EM – EA.AO. M e. Đặt A· OC = α. Tính theo R và α các đoạn AC và BD. C Chứng tỏ rằng tích AC.BD chỉ phụ thuộc giá trị của R, N không phụ thuộc vào α. 2 3 0 1 4 HD:a) ACMO nội tiếp (Dựa vào quĩ tích cung chứa góc 90 ) B b) AC // BD (cùng  EB) ∆EAC ~ ∆EBD E A O CE AC CE CM DM CM (1)mà AC = CM ; BD = MD (T/c hai tiếp tuyến cắt nhau) (2) DE BD DE DM DE CE NC AC NC CM c) AC // BD (cmt) ∆NAC ~ ∆NBD (3) .Từ 1; 2; 3 MN // BD NB BD NB DM Hä tªn gi¸o viªn: 27 NguyÔn V¨n Th¶o
  28. Tr­êng THCS Yªn Thä 60 bµi to¸n «n tËp h×nh häc 9 ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ 0 ¶ ¶ 0 ¶ ¶ 0 d) O1 = O2 ; O3 = O4 mà O1 + O2 + O3 + O4 = 180 O2 + O3 = 90 ; O4 + D1 = 90 ( ) OB R R ¶D = ¶O = ¶O = α . Vậy: DB = = ; Lại có: AC = OA.tgα = R.tgα AC.DB = R.tgα. 1 2 1 tg tg tg AC.DB = R2 (Đpcm) Bài 51: Cho ∆ABC có 3 góc nhọn. Gọi H là giao điểm của 3 đường cao AA1; BB1; CC1. a. Chứng minh tứ giác HA1BC1 nội tiếp được trong đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn ấy. · b. Chứng minh A1A là phân giác của B1A1C1 . c. Gọi J là trung điểm của AC. Chứng minh IJ là trung trực của A1C1. MH 1 d. Trên đoạn HC lấy 1 điểm M sao cho . A MC 3 So sánh diện tích của 2 tam giác: ∆HAC và ∆HJM. B1 HD: a) HA BC nội tiếp (quĩ tích cung chứa góc 900) C 1 1 1 J Tâm I là trung điểm BH. H b) C/m: ·HA C = ·HBC ; ·HA B = ·HCB ; 1 1 1 1 1 1 M ·HBC = ·HCB ·HA C = ·HA B đpcm. K 1 1 1 1 1 1 I 12 c) IA1 = IC1= R(I) ; JA = JA1= AC/2 ỊJ là trung trực của A1C1. B A1 C 1 1 d) S HJM = HM.JK ; SHAC = HC.AC1 2 2 HC.AC1 MH 1 HC HM+MC MC AC1 SHAC : S HJM = mà 1 1 3 4 ; 2 (JK// AC1 HM.JK MC 3 HM HM HM JK SHAC : S HJM = 8 Bài 52: Cho điểm C cố định trên một đường thẳng xy. Dựng nửa đường thẳng Cz vuông góc với xy và lấy trên đó 2 điểm cố định A, B (A ở giữa C và B). M là một điểm di động trên xy. Đường vuông góc với AM tại A và với BM tại B cắt nhau tại P. a. Chứng minh tứ giác MABP nội tiếp được và tâm O của đường tròn này nằm trên một đường thẳng cố định đi qua điểm giữa L của AB. b. Kẻ PI  Cz. Chứng minh I là một điểm cố định. c. BM và AP cắt nhau ở H; BP và AM cắt nhau ở K. Chứng minh rằng KH  PM. d. Cho N là trung điểm của KH. Chứng minh các điểm N; L; O thẳng hàng. HD: a) MABP nội tiếp đ/tròn đ/k MP.(quĩ tích cung chứa góc 900 ) z OA = OB = R(O) O thuộc đường trung trực AB đi qua L I P là trung điểm AB b) IP // CM ( Cz) MPIC là hình thang. IL = LC không đổi B vì A,B,C cố định. I cố định. H c) PA  KM ; PK  MB H là trực tâm ∆ PKM N O KH  PM K L d) AHBK nội tiếp đ/tròn đ/k KH (quĩ tích cung chứa góc ) N là tâm đ/tròn ngoại tiếp NE = NA = R(N) A N thuộc đường trung trực AB O,L,N thẳng hàng. x C M y Bài 53: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và K là điểm chính giữa của cung AB. Trên cung AB lấy một điểm M (khác K; B). Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM. Kẻ dây BP song song với KM. Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AP, BM. a. So sánh hai tam giác: ∆AKN và ∆BKM. b. Chứng minh: ∆KMN vuông cân. Hä tªn gi¸o viªn: 28 NguyÔn V¨n Th¶o
  29. Tr­êng THCS Yªn Thä 60 bµi to¸n «n tËp h×nh häc 9 c. Tứ giác ANKP là hình gì? Vì sao? HD: c) ∆ KMN vuông KN KM mà KM // BP KN  BP P K A· PB = 900 (góc nội tiếp ) AP  BP U KN // AP ( BP) M · · 0 KM // BP KMN PAT 45 T = P¼KM // N Mà P· AM P· KU 450 2 A O B P· KN 450 ; K· NM 450 PK // AN . Vậy ANPK là hình bình hành. Bài 54: Cho đường tròn tâm O, bán kính R, có hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. M là một điểm tuỳ ý thuộc cung nhỏ AC. Nối MB, cắt CD ở N. a. Chứng minh: tia MD là phân giác của góc AMB. b. Chứng minh:∆BOM ~ ∆BNA. Chứng minh: BM.BN không đổi. c. Chứng minh: tứ giác ONMA nội tiếp. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ONMA, I di động như thế nào? C HD: a) A· MD D· MB 450 (chắn cung ¼ đ/tròn) MD là tia phân giác A· MB M F b) ∆ OMB cân vì OM = OB = R(O) N ∆ NAB cân có NO vừa là đ/cao vừa là đường trung tuyến. I ∆ OMB ~ ∆ NAB A B BM BO E O BM.BN = BO.BA = 2R2 không đổi. BA BN c) ONMA nội tiếp đ/tròn đ/k AN. Gọi I là tâm đ/tròn ngoại tiếp I cách đều A và O cố định I thuộc đường trung trực OA Gọi E và F là trung điểm của AO; AC D Vì M chạy trên cung nhỏ AC nên tập hợp I là đoạn EF Bài 55: Cho ∆ABC cân (AB = AC) nội tiếp một đường tròn (O). Gọi D là trung điểm của AC; tia BD cắt tiếp tuyến tại A với đường tròn (O) tại điểm E; EC cắt (O) tại F. a. Chứng minh: BC song song với tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A. b. Tứ giác ABCE là hình gì? Tại sao? c. Gọi I là trung điểm của CF và G là giao điểm của các tia BC; OI. So sánh B· GO với B· AC . d. Cho biết DF // BC. Tính cosA· BC . A E HD:a) Gọi H là trung điểm BC AH BC (∆ ABC cân tại A) lập luận chỉ ra AH AE BC // AE. (1) b) ∆ ADE = ∆ CDB (g.c.g) AE = BC (2) N M D Từ 1 và 2 ABCE là hình bình hành. F O _ c) Theo c.m.t AB // CF GO AB. I 1 _ B· GO = 900 – A· BC = B· AH = B· AC 2 d) Tia FD cắt AB taijM, cắt (O) tại N.; DF // BC và AH là trục B H C G đối xứng cuarBC và đ/tròn (O) nên F, D thứ tự đối xứng với N, M qua AH. 1 1 FD = MN = MD = BC = ND = BH ; ∆ NDA ~ ∆ CDF (g.g) DF.DN = DA.DC 2 2 Hä tªn gi¸o viªn: 29 NguyÔn V¨n Th¶o
  30. Tr­êng THCS Yªn Thä 60 bµi to¸n «n tËp h×nh häc 9 1 2 BH 2 2BH2 = AC2 BH = AC cos A· BC = = . 4 4 AB 4 Bài 56: Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Các đường thẳng AO; AO’ cắt đường tròn (O) lần lượt tại các điểm C; D và cắt (O’) lần lượt tại E; F. E a. Chứng minh: C; B; F thẳng hàng. b. Chứng minh: Tứ giác CDEF nội tiếp được. D c. Chứng minh: A là tâm đường tròn nội tiếp ∆BDE. A d. Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của (O) và (O’). HD: a) C· BA = 900 = F· BA (góc nội tiếp chắn nửa đ/tròn) O O’ C· BA + F· BA = 1800 C, B, F thẳng hàng. b) C· DF = 900 = C· EF CDEF nội tiếp (quĩ tích ) F C B c) CDEF nội tiếp A· DE = E· CB (cùng chắn cung EF) Xét (O) có: A· DB = E· CB (cùng chắn cung AB) A· DE = A· DB DA là tia phân giác B· DE . Tương tự EA là tia phân giác D· EB Vậy A là tâm đường tròn nội tiếp ∆BDE d) ODEO’ nội tiếp. Thực vậy : D· OA = 2D· CA ; E· O'A = 2E· FA mà D· CA = E· FA (góc nội tiếp chắn cung DE) D· OA = E· O'A ; mặt khác: D· AO = E· AO' (đ/đ) O· DO' = O· 'EO ODEO’ nội tiếp. Nếu DE tiếp xúc với (O) và (O’) thì ODEO’ là hình chữ nhật AO = AO’ = AB. Đảo lại : AO = AO’ = AB cũng kết luận được DE là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) Kết luận : Điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) là : AO = AO’ = AB. Bài 57: Cho đường tròn (O; R) có 2 đường kính cố định AB  CD. a) Chứng minh: ACBD là hình vuông. b). Lấy điểm E di chuyển trên cung nhỏ BC (E B; E C). Trên tia đối của tia EA lấy đoạn EM = EB. Chứng tỏ: ED là tia phân giác của A· EB và ED // MB. c). Suy ra CE là đường trung trực của BM và M di chuyển trên đường tròn mà ta phải xác định tâm và bán kính theo R. HD: a) AB  CD. ; OA = OB = OC = OD = R(O) C ACBD là hình vuông. M 1 1 E // b) A· ED = A· OD = 450 ; D· EB = D· OB = 450 2 2 = · · · AED = DEB ED là tia phân giác của AEB . A B A· ED = 450 ; E· MB = 450 (∆ EMB vuông cân tại E) O A· ED = E· MB (2 góc đồng vị) ED // MB. c) ∆ EMB vuông cân tại E và CE  DE ; ED // BM CE  BM CE là đường trung trực BM. D Hä tªn gi¸o viªn: 30 NguyÔn V¨n Th¶o
  31. Tr­êng THCS Yªn Thä 60 bµi to¸n «n tËp h×nh häc 9 d) Vì CE là đường trung trực BM nên CM = CB = R 2 Vậy M chạy trên đường tròn (C ; R’ = R2 ) Bài 58: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB, C là trung điểm của cung AB; N là trung điểm của BC. Đường thẳng AN cắt nửa đường tròn (O) tại M. Hạ CI AM (I AM). a. Chứng minh: Tứ giác CIOA nội tiếp được trong 1 đường tròn. C b. Chứng minh: Tứ giác BMCI là hình bình hành. M · · = c. Chứng minh: MOI CAI . 1 d. Chứng minh: MA = 3.MB. N 2 HD: a) C· OA 900 ( ) ; C· IA 900 ( ) I = Tứ giác CIOA nội tiếp (quĩ tích cung chứa góc 900) b) MB // CI ( BM). (1) A O B ¶ ¶ · · ∆ CIN = ∆ BMN (g.c.g) N1 N2 (đ/đ) ; NC = NB ; NCI NBM (slt) CI = BM (2). Từ 1 và 2 BMCI là hình bình hành. 1 c) ∆ CIM vuông cân (C· IA 900 ;C· MI C· OA 450 ) MI = CI ; ∆ IOM = ∆ IOC vì OI chung ; 2 · · · · · · IC = IM (c.m.t) ; OC = OM = R(O) MOI IOC mà: IOC CAI MOI CAI R 2 AC d) ∆ ACN vuông có : AC = R2 ; NC = (với R = AO) 2 2 R 2 5 R 10 NC2 R 10 MI Từ đó : AN = AC2 +CN2 2R 2 + R ; NI = MN = 2 2 2 NA 10 2 R 2 R 2 2R R 10 R 10 R 10 3R 10 MB = NC2 MN2 AM = AN + MN = + = 2 10 10 5 2 10 5 AM = 3 BM. Bài 59: Cho ∆ABC có Aµ =600 nội tiếp trong đường tròn (O), đường cao AH cắt đường tròn ở D, đường cao BK cắt AH ở E. a. Chứng minh: B· KH B· CD . b. Tính B· EC . c. Biết cạnh BC cố định, điểm A chuyển động trên cung lớn BC. Hỏi tâm I của đườngtròn nội tiếp ∆ABC chuyển động trên đường nào? Nêu cách dựng đường đó (chỉ nêu cách dựng) và cách xác định rõ nó (giới hạn đường đó). d. Chứng minh: ∆IOE cân ở I. A HD: a) ABHK nội tiếp B· KH B· AH ; B· CD B· AH ( cùng chắn cung BD) B· CD B· KH b) CE cắt AB ở F. ; K AFEK nội tiếp F· EK 1800 ¶A 1800 600 1200 B· EC = 1200 ¶B ¶C 1200 F I c) B· IC 1800 1800 1200 E 2 2 Hä tªn gi¸o viªn: 31 NguyÔn V¨n Th¶o
  32. Tr­êng THCS Yªn Thä 60 bµi to¸n «n tËp h×nh häc 9 0 Vậy I chuyển động trên cung chứa góc 120 dựng trên đoạn BC, cung C này nằm trong đường tròn tâm (O). B H D»S IºO d) Trong đ/tròn (O) có D· AS = sđ ; trong đ/tròn (S) có I·SO = sđ D 2 2 S D»S IºO vì D· AS = I·SO (so le trong) nên: = mà D»S = IºE IºO = IºE đpcm. 2 2 Bài 60: Cho hình vuông ABCD, phía trong hình vuông dựng cung một phần tư đường tròn tâm B, bán kính AB và nửa đường tròn đường kính AB. Lấy 1 điểm P bất kỳ trên cung AC, vẽ PK AD và PH  AB. Nối PA, cắt nửa đường tròn đường kính AB tại I và PB cắt nửa đường tròn này tại M. Chứng minh rằng: a. I là trung điểm của AP. D C b. Các đường PH, BI và AM đồng quy. c. PM = AH. d. Tứ giác APMH là hình thang cân. · 0 K P HD: a) ∆ ABP cân tại B. (AB = PB = R(B)) màAIB 90 (góc nội tiếp ) BI AP BI là đường cao cũng là đường trung tuyến M I là trung điểm của AP b) HS tự c/m. I c) ∆ ABP cân tại B AM = PH ; AP chung ∆vAHP = ∆v PMA AH = PM ; AHPK là hình chữ nhật AH = KP PM = PK = AH d) PMAH nằm trên đ/tròn đ/k AP mà PM = AH (c.m.t) P»M = A»H PA // MH A H B Vậy APMH là hình thang cân. Hä tªn gi¸o viªn: 32 NguyÔn V¨n Th¶o