Đề thi chọn học sinh giỏi Toán - Trường THCS Lương Thế Vinh

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi Toán - Trường THCS Lương Thế Vinh

1. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2019-2020 TRƯỜNG THCS LƯƠNG THẾ VINH Bài 1. (4,0 điểm) x 9 x 2 x 1 1 x 0 Cho biểu thức A : x 2 x 3 x x 2 x 1 x 1 x 1 125 125 Tính giá trị biểu thức khi x 4 3 3 9 3 3 9 27 27 Bài 2 (4,0 điểm) a) Giải phương trình 2 5x2 10x 4x 4x2 6x 3 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x y 3xy 9 Bài 3. (4,0 điểm) x2 xy y2 a) Cho x, y 0 .Tìm GTNN của P xy x y b) Tìm 2019 số tự nhiên liên tiếp mà trong đó không có số nguyên tố nào ? Bài 4. (6,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD.Gọi H và Klần lượt là hình chiếu của A,B trên CD a) Khi OAC là tam giác đều, hãy giải tam giác ABC b) Chứng minh HC KD c) Chứng minh SAHKB SABC SABD Bài 5. (2,0 điểm) Viết 150 số tự nhiên 1,2,3, ,150 lên bảng. Mỗi lần ta xóa đi hai số nào đó và thay bằng tổng hoặc hiệu của chúng. Sau một số lần như vậy thì trên bản chỉ còn lại một số. Hỏi có khi nào số đó là 100 không ? 1
2. ĐÁP ÁN Bài 1. Ta có: x 9 x 2 x 1 1 A : x 2 x 3 x x 2 x 1 x 1 x 3 x 3 x x 2 2 x : x 1 x 3 x 1 x 2 x 1 x 1 x 3 x x 1 x 1 3 x 1 x 1 3 x 1 . . x 1 x 1 2 x x 1 2 x 2 x Mà: 125 125 125 125 x x 4 3 3 9 3 3 9 3 3 9 3 3 9 27 27 27 27 4 x3 5 6 x x3 80x 384 0 x 4 x2 4x 96 0 64 4 x 4 0 x 4 2 2 x 4(tm) x 4x 96 0 x 2 92 0(ktm) 3 4 1 9 Thay x 4(tmdk) vào A, ta được: A . 2 4 2 Bài 2. a) ĐK: 0 x 1 a 5x2 10x 0 Đặt 4a2 5b2 60x . Khi đó phương trình trở thành: 2 b 4x 4x 0 20a 10b 4a2 5b2 30 4a2 20a 25 5b2 10b 5 0 5 2 2 a 2a 5 5 b 1 0 2 b 1 5 a Với 2 , ta có: b 1 2
3. 5 2 2 25 2 9 5x 10x 5x 10x x 2x 1 2 4 4 2 2 2 1 4x 4x 4x 4x 1 2x 1 0 1 . Vậy x 2 9 2 x 1 1 4 x tm 2 2x 1 0 b) Ta có: x y 3xy 9 3x 3y 9xy 27 3y 1 3x 1 3x 26 1 3x 3y 1 26 2 3y 1 1 y ¢ 3y 1 26 y 9 *)Th1: 3 (ktm) *)Th2: (tm) 1 3x 26 1 3x 1 x 0 1 3x 26 25 y 3y 1 1 y 0 3y 1 26 3 *)Th3: (tm) *)Th4: (ktm) 1 3x 26 x 9 1 3x 1 2 x 3 3y 1 2 y 1 3y 1 13 1 *)Th5: (tm) *)TH 6: x (ktm) 1 3x 13 x 4 1 3x 2 3 3y 1 13 y 4 3y 1 2 1 *)Th7 : (tm) *)Th8: y (ktm) 1 3x 2 x 1 1 3x 13 3 Vậy x; y 0;9 ; 9;0 ; 4;1 ; 1; 4  Bài 3. a) Ta có: 2 x2 xy y2 x y 3xy x y 3 xy P xy x y xy x y xy x y Áp dụng bất đẳng thức Co si cho hai số dương x, y ta được x y x y 2 xy xy .Dấu " "xảy ra khi x y . Khi đó 2 x y 2 xy 3 1 P 3. 2 2 . Dấu " "xảy ra khi x y xy x y 2 2 1 Vậy Min P x y 2 b) Xét số tự nhiên A 2.3.4.5 2019.2020 . Khi đó Achia hết cho các số 2;3;4;5; ;2019;2020 Xét dãy 2019 số tự nhiên liên tiếp : A 2, A 3, A 4, , A 2019, A 2020 3
4. Do A2 A 22 A 2 2 nên A 2 là hợp số Do A3 A 33 mà A 3 3 A 3 là hợp số Tương tự A 4; A 5; ; A 2019; A 2020 là hợp số Vậy dãy 2019 số tự nhiên liên tiếp A 2, A 3, A 4, , A 2019, A 2020 , trong đó không có số nguyên tố nào . Bài 4. D K E I C F H A N M O P B a) Khi AOC đều thì 1 AC OA OC R AB BC AB2 AC 2 4R2 R2 R 3 2 AC R 1 sin B B 300 C 600 AB 2R 2 b) Kẻ OI  CD I là trung điểm của CD và OI / /AH / /BK . Lại có O là trung điểm của AB I là trung điểm của HK IH IK;CI ID CH DK c) Kẻ EF đi qua I và song song với AB E AH,F BK EHI FKI(ch gn) SAHKB SAEFB IM.AB 1 Lại có: S S AB CN DP AB.IM ACB ADB 2 SAKHB SACB SADB Bài 5. 1 150 .150 Gọi tổng của 150 số ban đầu là S 1 2 3 150 11325 S a b 2 1 Giả sử xóa đi hai số bất kỳ a,b và thay bằng a bhoặc a b thì ta có tổng mới là : 4
5. S1 a b hoặc S1 a b . Ta có: S1 a b S a b 2S 2a 2b và S1 a b S a b S a b 2S 2a đều chắn nên tổng lúc đầu và tổng lúc sau luôn cùng tính chẵn lẻ mà tổng ban đầu là số lẻ nên tổng lúc sau không thể bằng 100. BỘ ĐỀ ĐÁP ÁN HSG MÔN TOÁN CẤP HUYỆN, TỈNH FILE WORD Zalo 0946095198 160 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 6=110k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG 6 CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 250 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7=180k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG 7 CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 210 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8=150k; 60 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG 8 CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 30 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8 HÀ NỘI=50k 265 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 HUYỆN=200k; 230 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 CẤP TỈNH=180k 50 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 HÀ NỘI=80k; 55 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 (2020-2021)=80k; 90 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 CÁC HUYỆN CỦA TỈNH VĨNH PHÚC=100k 5