Bài ôn tập Toán lớp 9 (tt)

Nội dung text: Bài ôn tập Toán lớp 9 (tt)

1. Bài 1. Cho cỏc số thực khụng õm a,b,c thỏa món a + b + c = 1 3 3 3 3 1 1 1 CMR: + + ³ + + + . a + 2 b + 2 c + 2 2 a + 1 b + 1 c + 1 Bài 2: Cho a,b,c là cỏc số thực dương thỏa món a+b+c=3 CMr: abc(a2 + b2 + c2) Ê 3 . Gợi ý: Bài 1: từ giả thiết suy ra 0 ≤ a, b, c ≤ 1 suy ra a(a-1) ≤ 0 => a2 – a ≤ 0 => 6(a+1) ≥ 3 1 1 (a+1)(a+2) + 2(a+2) => ³ + . Dấu bằng xẩy ra khi a = 0 hoặc a = 1. a + 2 2 a + 1 3 1 1 3 1 1 Tương tự ³ + ; ³ + b + 2 2 b + 1 c + 2 2 c + 1 Cộng ba bất đẳng thức này lại ta cú 3 3 3 3 1 1 1 + + ³ + + + a + 2 b + 2 c + 2 2 a + 1 b + 1 c + 1 Dấu bằng xẩy ra khi trong 3 số a, b, c cú hai số bằng 0, số cũn lại bằng 1. Bài 2: Từ a+ b + c = 3 ta cú : abc(a2 + b2 + c2) Ê 3 ổ 2 ử Û a + b + c abcỗ a + b + c - 2 ab + bc + ca ữÊ 9 ( ) ốỗ( ) ( )ữứ Û (ab.ac + ab.bc + bc.ca)(9- 2(ab + bc + ca))Ê 9* Sử dụng BĐT (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + zx) ta được (ab + bc + ca)2 ≥ 3(ab.ac + bc.ab + bc.ca) Như vậy để chứng minh BĐT * ta chứng minh BĐT mạnh hơn: 2 (ab + ab + ca) 9- 2(ab + bc + ca) Ê 9 3 ( )
2. BĐT này đỳng vỡ nú tương đương với 2 (ab + ab + ca - 3) (2ab + 2bc + 2ca + 3) ³ 0 Vậy: abc(a2 + b2 + c2) Ê 3 . Dấu bằng xẩy ra khi a = b = c = 1.