Đề thi chọn học sinh giỏi - Môn thi: Toán học

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi - Môn thi: Toán học

1. PHềNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014-2015 ĐỀ CHÍNH THỨC MễN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phỳt (Đề thi gồm 05 cõu, 01 trang) Ngày thi 16 thỏng 01 năm 2015 Cõu 1 (2 điểm): a) Phõn tớch đa thức thành nhõn tử : f( x ) x4 4 x 3 b) Chứng minh đẳng thức: 3 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 1 1 2 2 Cõu 2 (2 điểm): a) Giải phương trỡnh: x2 1 10 x x 2 9 2 x 2 14 x 12 22 x 2 x y 3 y 5 b) Giải hệ phương trỡnh 22 x 2 x y 3 y 2 Cõu 3 (2 điểm): a) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) cú phương trỡnh m 4 x m 3 y 1 (m là tham số). Tỡm m để khoảng cỏch từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất. 22 b) Tỡm cỏc số tự nhiờn cú 2 chữ số xy sao cho: 2.xy x 2 y 4 Cõu 4 ( 3 điểm): 1. Cho hai đường trũn đồng tõm (O; R) và (O; r) với R > r. Lấy A và E là hai điểm thuộc đường trũn (O; r), trong đú A di động, E cố định ( với A ≠ E). Qua E vẽ một đường thẳng vuụng gúc với AE cắt đường trũn (O; R) ở B và C. Gọi giao điểm của AE với (O ; R) là I và K, M là trung điểm của đoạn thẳng AB . a) Chứng minh BC2 + IK2 khụng phụ thuộc vị trớ điểm A . b) Chứng minh rằng khi điểm A di động trờn đường trũn (O; r) và A≠ E thỡ đường thẳng CM luụn đi qua một điểm cố định. 2. Cho đường trũn tõm O đường kớnh AB bỏn kớnh R. Tiếp tuyến tại điểm M bất kỳ trờn đường trũn (O) cắt cỏc tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại C và D. Tỡm vị trớ của điểm M để chu vi tam giỏc COD là nhỏ nhất . Cõu 5 (1 điểm): Cho ba số dương abc,, thoả món: a2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 1. a2 b 2 c 2 1 Chứng minh rằng: b c c a a b 22 Hết SBD: Họ và tờn thớ sinh:
2. Giỏm thị 1: Giỏm thị 2: PHềNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 – 2015 MễN THI: Toỏn (Hướng dẫn chấm gồm 5 cõu, 05 trang) Ngày thi 16 thỏng 01 năm 2015 Điểm Tổng Cõu í Nội dung TP điểm fxxx() 4 43(22)242 xxx 4 3 2 xxxxx 3 2 363 2 0,25 x2 x 2 2 x 1 2 x x 2 2 x 1 3 x 2 2 x 1 0,25 a 1đ x22 2 x 1 x 2 x 3 0,25 x 1 2 x2 2 x 3 0,25 1 2 3 2 3 22 Ta có VT = 0,5 ( 3 1)22 ( 3 1) b 11 1đ 44 2 3 2 3 1 0,5 3 3 3 3 x2 1 10 x x 2 9 2 x 2 14 x 12 (x 1)( x 1) ( x 1)(9 x ) ( x 1)(2 x 12) (xx 1)( 1) 0 0,25 ĐKXĐ: (x 1)(9 x ) 0 x 1;6 x 9 (xx 1)(2 12) 0 Khi đú (x 1)( x 1) ( x 1)(9 x ) ( x 1)(2 x 12) x 1( x 1 9 x 2 x 12) 0 0,25 2 a x 1 0 (1) 1đ x 1 9 x 2 x 12 0 (2) Giải (1) được x = 1 (thoả món ĐKXĐ) Giải (2): x 19 x 2120 x x 19 x 212 x x 19 x 2 x 1229 x .2 x 12 0,25 2 x 7 2 9 x .212 x x 15 x 560 x 8 x =7; x = 8 thoả món ĐKXĐ. 0,25
3. Vậy x 1;7;8  Đặt a= x2 2 x ; b = y2 3 y thỡ hệ đó cho trở thành a b 5 23 2 ab a2 b3 a 5 b 5 Giải hệ trờn 23 a 0,25 2 2 5 b b 5 b 2 - Với a = 2 ta cú x2 2 x = 2 2 b x2 1đ x2 1 0,25 x 22 1 x 2 4 4x x x 2 2 Với b = 3 ta cú y2 3 y = 3 y3 y3 y= 1 22 0,25 y 3 9 6y y y1 1 Vậy hệ cú nghiệm ( ; 1) 2 5 17 13 - Với a = b = , giải ra cú x = , y = 2 20 20  1 17 13 Kết luận: hệ cú nghiệm là x;y  ;1 , ; 0,25  2 20 20 Với mọi m, đường thẳng (d) khụng đi qua gốc toạ độ O(0; 0). m = 4, ta cú đường thẳng y = 1, do đú khoảng cỏch từ O đến (d) là 1 (1). 0.25 m = 3, ta cú đường thẳng x = -1, do đú khoảng cỏch từ O đến (d) đ là 1 (2). 1 m 4, m 3 thỡ (d) cắt trục Oy, Ox lần lượt tại: A 0; 3 a m3 0.25 1đ 1 đ và B ; 0 . m4 Hạ OH vuụng gúc với AB, trong tam giỏc vuụng AOB, ta cú: 11 OA , OB m 3 m 4
4. 2 0,25 1 1 1 222 7 1 1 2 2 2 m3 m4 2m 14m252m đ OH OA OB 2 2 2 0,25đ Suy ra OH2 2 OH 2 (3). Từ (1), (2), (3) ta cú GTLN của OH là 2 , đạt được khi và chỉ khi m = 7 . 2 7 Kết luận: m = . 2 2.xy x222 y4 210x y x22 4x4y 8y16 x2 16x y 2 6y 20 0 x 2 16x 64 y 2 6y 9 53 0,25đ 0,25 22 đ x 8 y 3 53 2 2 Vỡ x,y N x 8 và y3 là cỏc số chớnh phương. Mà 53 thỡ chỉ cú thể viết về dạng tổng cú 2 số chớnh phương như sau: 0,25đ 53 = 4 + 49 x 82 4 x 10;6 3 b  1đ Cú 2 trường hợp xảy ra: I mà x, 2 y 4; 10 y 3 49  x,y 6;4 y là chữ số  2 x 8 49 x 15;1  II 2 (loại do x, y là chữ số) y 3 4 y 1; 5  0,25đ ( Hoặc học sinh loại trường hợp (II) do y + 3 > 2 do yN ) Vậy xy 64 4 1
5. B K M E N S G D A O I C a) BC cắt (O; r) tại D khỏc E. Do gúc AED = 900 nờn AD là Đường kớnh của (O;r) Gọi N là trung điểm BC thỡ ON  BC (đl) suy ra 0,25đ NB = NC và NE = ND (đl) Gọi S là giao điểm của AE với OM 0,25đ do OM là đường trung bỡnh của tam giỏc ADB suy ra OM // BC Suy ra OM vuụng gúc với AE tại S và S là trung điểm của IK 0,25đ BC2 + IK2 = 4(CN2 +ÍS2) = 4(R2 – ON2 + R2 – ểS2) 0,25đ = 4( 2R2 – ON2 – O S2) = 8R2 – 4OE2 = 8R2 – 4r2 - khụng phụ thuộc vị trớ điểm A. b) Gọi AN cắt OE tại G suy ra G là trọng tõm của ADE suy ra AG = 2/3AN 0,25đ Hai tam giỏc ABC và ADE cú chung trung tuyến AN nờn G cũng là trọng 0,25đ tõm của ABC Do OE cố định , suy ra G cố định 0,25đ Xột ABC cú G là trọng tõm nờn trung tuyến CM đi qua điểm cố định G 0,25đ Áp dụng t/c hai tiếp tuyến cắt nhau MCO MAO; MDO MBO D 0.25 COD S AMB g . g .đ M 4 2 1đ Chu vi COD OM 0.25 Do đú : (MH  AB) C Chu vi AMB MH đ OM Do MH OM nờn 1 MH A B 0.25 H O
6. Chu vi COD chu vi AMB đ Dấu = xảy ra MH = OM H  O OM vuụng gúc với AB 0.25 đ Ta cú 2(a2 b 2 ) ( a b ) 2 . 0.25 đ a2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 Suy ra b c c a a b 2 b2 c 2 2 c 2 a 2 2 c 2 a 2 2 2 2 2 2 2 Đặt x b c,,, y c a z a b y2 z 2 x 2 z 2 x 2 y 2 x 2 y 2 z 2 suy ra VT 2 2x 2 2 y 2 2 z 2 2 2 5 1 (y z ) ( z x ) ( x y ) 0.25 đ 1đ x y z 22 2x 2 y 2 z 1 (y z )2 ( z x ) 2 ( x y ) 2 0.25 đ 2x 3 x 2 y 3 y 2 z 3 z 22 2x 2 y 2 z 1 2(y z )3 x 2( z x )3 y 2( x y 3 z 22 11 Suy ra VT () x y z 0.25 đ 2 2 2 2 * Chỳ ý: Học sinh cú thể làm cỏch khỏc, nếu đỳng vẫn cho điểm tối đa. Hết