Đề thi chọn học sinh giỏi thành phố môn Toán Lớp 9 - Năm học 2010-2011 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi thành phố môn Toán Lớp 9 - Năm học 2010-2011 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ-LỚP 9 HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC Môn Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Đề gồm 01 trang) Bài I (2 điểm) Rút gọn biểu thức: 4x3 16x2 21x 9 A x 1 Bài II (5 điểm) 1) Giải phương trình: 2(x2+2x+3)=5 x3 + 3x2 + 3x + 2 2) Cho các số thực x, y thay đổi và thỏa mãn 4x 2-(8y+11)x+(8y2+14)=0 Tìm y khi x lần lượt đạt được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Bài III (5 điểm) 1) Tìm 7 số nguyên dương sao cho tích các bình phương của chúng bằng 2 lần tổng các bình phương của chúng. 2) Cho các số thực không âm x. y thay đổi và thỏa mãn x+y=1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: B=(4x2+3y)(4y2+3x)+25xy Bài IV (6 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC. 1) Vẽ về phía ngoài tam giác ABC nửa đường tròn (I) đường kính AB và nửa đường tròn (K) đường kính AC. Đường thẳng qua A cắt hai nửa đường trong (I), (K) lần lượt tại các điểm M, N (M khác A, B và N khác A, C). Tính các góc của tam giác ABC khi diện tích tam giác CAN bằng 3 lần diện tích tam giác AMB. 2) Cho AB<AC và điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD=AB. Gọi điểm E là hình chiếu của điểm D trên đường thẳng BC và điểm F là hình chiếu của điểm A trên đường thẳng DE. AF AF So sánh và với cosA·EB AB AC Bài IV (2 điểm) Hai người chơi trò chơi như sau: Trong hộp có 311 viên bi, lần lượt từng người lấy k viên bi, với k {1; 2; 3}. Người thắng là người lấy được viên bi cuối cùng trong hộp bi đó. 1) Hỏi người thứ nhất hay người thứ hai thắng và chiến thuật chơi thế nào để thắng? 2) Cũng hỏi như câu trên, khi đề bài thay 311 viên bi bằng n viên bi, với n là số nguyên dương? Hết (Giám thị không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG THÀNH PHỐ HÀ NỘI MÔN TOÁN LỚP 9 NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ CHÍNH THỨC BÀI CÂU HƯỚNG DẪN GIẢI ĐIỂM 1 Rút gọn A * Phân tích 4x3-16x2+21x-9 = (2x-3)2(x-1) 0,5 * Đ/k x>1 0,5 * A=2x-3 0,5 2 3 điểm 2x 3 x 2 * A 0,5 3 3 2x 1<x< 2 II 1 Giải phương trình * Phân tích x3+3x2+3x+2=(x+2)(x2+x+1) 0,5 * Đ/k x≥ -2 0,25 * Đặt x+2=a, x2+x+1=b đưa về 2(a+b) = 5 ab 0,25 2,5 * Giải được a=4b, b=4a 0,5 điểm * a=4b x+2=4(x2+x+1) p/t vô nghiệm 0,25 2 3 37 3 37 5 * b=4a x - 3x - 7=0 x1 , x2 0,5 điểm 2 2 * So sánh với đ/k và kết luận 0,25 2 Cho các số thực * Đưa về phương trình: 8y2-8yx+4x2-11x+14=0 0,5 2,5 * ’y= - 16x2+88x-112 ≥ 0 2x2 - 11x+14 ≤0 0,75 điểm * Giải được 2 ≤ 3 ≤ 3,5 0,5 * Với x=2 y = 1; x=3,5 y =1,75 * Kết luận: (2;1), (3,5;1,75) 0,5 III 1 Tìm 7 số * Goi 7 số n/d phải tìm là x1, x2, , x7; 2 2 2 2 2 2 0,25 x1 .x2 x7 2(x1 x2 x7 ) 2 2 2 2 2 * Giả sử x1≥ x2≥ ≥ x7≥1 có ≤x 2.7.x x =14 x x 1 2 7 1 1 0,5 ≤ 214 2 x2 x7 2 * x2 x7 ≤ 14<4=2 x2= = x7=1 0,5 2 2 =2 2 ) 5 2,5 x1 .x2 2(x1 x2 5) 2 2 điểm điểm * Đặt x =a, x =b với a, b là các số nguyên dương chính phương 1 2 0,5 ab=2a+2b+10 (a-2)(b-2)=14.1=7.2 a 2 14 * Trường hợp 1: b 3 không phải lá số chính phương 0,25 b 2 2 a 2 7 a 9 x1 3 * Trường hợp 2: và kết luận 0,5 b 2 2 b 4 x2 2
3. 2 Cho các số * B=16x2y2 +12x3+12y3+34xy 0,25 1 191 * B=16x2y2 +12(x+y)3-2xy= = 16(xy- )2+ 0,5 16 16 191 191 1 * B ≥ , B nhỏ nhất = xy= . Giải được: 16 16 16 0,5 2 3 2 3 2 3 2 3 x , y= hoặc x , y= 4 4 4 4 2,5 1 1 1 3 điểm * Lại có 0 ≤ 4xy ≤ (x+y)2 =1 0 ≤ xy ≤ - ≤ xy - ≤ 4 16 16 16 0,5 1 3 nên 0 ≤ xy - ≤ 16 16 1 191 3 191 25 * B=16(xy - )2 + ≤ 16. ( )2 + = . Vậy B lớn nhất 16 16 16 16 52 0,5 25 1 1 = (x+y) =1 và xy = x=y= 52 4 2 * Kết luận IV 1 Tính các góc * Chứng minh được B·AC 900 0,5 * Chứng minh được AMB và CAN đồng dạng 0,75 1 S AMB AB 2 3 * Suy ra = ( ) 0,5 3 S AC điểm CNA AB 1 * = =tg300= tg A·CB A·CB = 300 0,75 AC 3 * Vậy A·BC = 600 và kết luận. 0,5 2 So sánh * Kẻ AH  BC có AFEH là hình chữ nhật 0,5 6 * ABD vuông cân A·DB = 450 0,5 điểm * Tứ giác ADEB nội tiếp A·EB = A·DB = 450 0,25 * Do đó AHE vuông cân AH=HE=AF 0,5 1 1 1 1 2 1 2 * ABC vuông:   0,5 3 AF2 AH2 AB2 AC2 AC2 AF2 AB2 điểm 2 1 AF AF * Từ = cos45 cosA·EB 0 = cos A·EB 0,25 AC2 AF2 AC AB 1 2 AF 2 * Từ   = cos450= cos A·EB 0,25 AF2 AB2 AB 2 AF AF * Kết luận cosA·EB 0,25 AC AB
4. V 1 Ai thắng * Người thứ nhất lấy 3 viên bi còn 308 viên bi là bội số của 4 0,5 1,5 * Người thứ hai lấy 1, 2 hoặc 3 viên bi 0,25 điểm * Nười thứ nhất lấy 3, 2 hoặc 1 viên số còn lại là bội của 4 0,5 2 * Cứ tiếp tục như vậy thì người lấy cuối cùng phải là người thứ nhất 0,25 điểm 2 Với n viên bi * Nếu n không phải là bội số của 4, với cách làm như trên thì người 0,5 0,25 thứ nhất thắng điểm * Nếu n là bội của 4 thì người thứ hai thắng 0,25 N A A M F I K C B O D C B M E