Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2012-2013 - Sở giáo dục và đào tạo Bình Dương (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2012-2013 - Sở giáo dục và đào tạo Bình Dương (Có đáp án)

1. SÔÛ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO KYØ THI CHOÏN HOÏC SINH GIOÛI THCS CAÁP TÆNH BÌNH DÖÔNG Naêm hoïc: 2012-2013 ÑEÀ CHÍNH THÖÙC Moân Toaùn lôùp 9 Thôøi gian laøm baøi: 150 phuùt (Khoâng keå thôøi gian cheùp ñeà ) Caâu 1: ( 4 ñieåm) 1. Chöùng minh raèng n6 - n4 – n2 + 1 chia heát cho 128 vôùi n laø soá töï nhieân leû. 2. Trong pheùp chia a cho b (a,b laø caùc soá töï nhieân), neáu taêng soá chia b cho moät ñôn vò thì thöông soá khoâng thay ñoåi trong tröôøng hôïp naøo ? Caâu 2: ( 4 ñieåm) x22 y xy 1 Giaûi heä phöông trình : 2 33x y y Caâu 3: ( 4 ñieåm) Cho phöông trình x2 + px + p = 0 (1) Tìm p, q ñeå phöông trình (1) coù 2 nghieäm, maët khaùc khi theâm 1 vaøo caùc nghieäm cuûa (1) thì chuùng trôû thaønh nghieäm cuûa phöông trình x2 - p2x + pq = 0 Caâu 4: ( 4 ñieåm) Cho tam giaùc ABC, coù AB CM . 3. Chöùng minh raèng ñieåm D naèm giöõa 2 ñieåm H vaø M . Caâu 5: ( 4 ñieåm) Cho goùc nhoïn xMy vaø ñieåm A coá ñònh ( khaùc M) thuoäc tia Mx. Veõ ñöôøng troøn (O), taâm O sao cho tieáp xuùc vôùi Mx taïi A vaø caét My taïi B, C theo thöùc töï M, B, C. 1. Goïi D laø trung ñieåm cung BC khoâng chöùa A cuûa (O), E laø giao ñeåm cuûa AD vaø BC. Chöùng minh raèng E laø ñieåm coá ñònh khi ñöôøng troøn (O) thay ñoåi . 2. Goïi H laø chaân ñöôøng cao AH cuûa tam giaùc AOM. Chöùng minh raèng töù giaùc BHOC noäi tieáp ñöôøng troøn. HẾT
2. ĐÁP ÁN ĐỀ THI Caâu 1: ( 4 ñieåm) 1. Chöùng minh raèng n6 - n4 – n2 + 1 chia heát cho 128 vôùi n laø soá töï nhieân leû. Ta coù: n6 - n4 – n2 + 1 = n4 (n2 - 1)- (n2 – 1) = (n2 – 1)(n4 – 1) = (n2 – 1)2(n2 + 1) Vì n leû , ñaëït n = 2k + 1 vôùi k laø soá töï nhieân. Khi ñoù: (n2 – 1) = 4k2 + 4k = 4k(k + 1) chia heát cho 4 Maët khaùc: k(k + 1) chia heát cho 2 (n2 – 1)2 chia heát cho (4.2)2 = 64 (1) Ta coù: (n2 + 1) = 4k2 + 4k + 2 = 2(2k2 + 2k + 1) thì chia heát cho 2 (2) Töø (1) vaø (2) n6 - n4 – n2 + 1 chia heát cho 64.2 = 128 2. Trong pheùp chia a cho b (a,b laø caùc soá töï nhieân), neáu taêng soá chia b cho moät ñôn vò thì thöông soá khoâng thay ñoåi trong tröôøng hôïp naøo ? Goïi q, r laø thöông vaø soá dö cuûa pheùp chia a cho b. Ta coù: a = p.q + r, 0 , 0 ≤ r ≤ b Ta có thể viết: a= (b+1)q – q + r Nếu q là thương của a chia cho b + 1 thì phải có điều kiện 0 ≤ r-q < b+1 q ≤ r < q+b+1 là hiển nhiên Vậy chỉ cần điều kiện q ≤ r Caâu 2: ( 4 ñieåm) x22 y xy 1 Giaûi heä phöông trình : (*) 2 33x y y y22 x xy 1 2 y 33 x y x2 xy 1 3 x y 3 x2 2 x 1 xy x y 1 0 2 x 1 y x 1 x 1 0 x 1 x y 2 0 x 1 xy 20 x 1 x 1 + Với x=1: (*) trở thành: 2 33x y y yy 0; 1 xy 20 xy 2 yx 11 ới x + y – 2 = 0 : (*) trở thành: + V 2 2 33x y y 3 2 y y y 3 yx 35 Vậy hệ PT đã cho có 3 nghiệm: (1;0); (1;1); (5;-3) Caâu 3: ( 4 ñieåm) Cho phöông trình x2 + px + q = 0 (1)
3. Tìm p, q ñeå phöông trình (1) coù 2 nghieäm, maët khaùc khi theâm 1 vaøo caùc nghieäm cuûa (1) thì chuùng trôû thaønh nghieäm cuûa phöông trình x2 - p2x + pq = 0 Gọi x1; x2 là 2 nghiệm của PT (1) (1) có 2 nghiệm khi và chi khi p2 – 4p ≥ 0 Ta có: x1+ x2 = -p , x1. x2 = q Khi thêm 1 vào các nghiệm x1; x2 , ta được: x1+ 1 + x2 + 1 = x1+ x2 + 2 = -p + 2 (x1+1)( x2 +1) = x1.x2 + x1+ x2 + 1= q – p + 1 2 Vậy: x1+ 1 và x2 + 1 là 2 nghiệm của PT: x + (p-2)x + q – p + 1 = 0 2 pp 2 2 pp 2 pp 12 Theo đầu bài ta có: hoac q p 1 pq qp 1 1 0 q tuy y q =-1 p 1 2 1 +TH 1: và p – 4p ≥ 0 ta suy ra q ≤ qy tuy 4 p 2 2 +TH 2: thoả mãn p – 4p ≥ 0 q = -1 p 1 Vậy p, q cần tìm là 1 hoặc: q 4 Caâu 4: ( 4 ñieåm) 1) Ta có: ABD = AED (c-g-c) A BE 1 , DD12 và DB = DE (1) 0 Vì ABCEE 12 180 EAC2 EC2 1 E 2) Vì (câu 1) 2 CD > DE 2 1 Mà DB = DE (1) B C Nên: CD > DB H D M Lại có MB = MC (M là trung điểm BC) CD > CM 3) Ta có: ADC ADE ( vì E AC) Và Nên: ADC ADB ADC là góc tù CH > CD ( đường cao nằm ngoài tam giác) Mà CD > CM (câu 3) Nên D nằm giữa H và M Caâu 5: ( 4 ñieåm)
4. 1 1) Ta có MAE sd AD (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) 2 1 2) MEA sd AB CD (góc có đỉnh ở trong đường tròn) (a) 2 11 MEA sd AB BD sd AD ( D là trung điểm cung BC) (b) 22 Từ (a) và (b) MEA MAE MAE cân tại M MA = ME không đổi E là điểm cố định . 2) A Xét MAB và MCA có: M : chung MAB MCA (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây, góc nội tiếp cùng chắn 1 cung) H O MAB  MCA (g-g) y M B E C MA MB MA2 = MB.MC MC MA 2 Mà MA = MH.MO ( AMO vuông tại A, D đường cao AH) Nên: MB.MC = MH.MO MH MC MB MO MBH  MOC MHB MCO Tứ giác BHOM nội tiếp(góc ngoài bằng góc trong đối diện) Hết