Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Bình Định (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Bình Định (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH BèNH ĐỊNH LỚP 9 THCS - KHOÁ NGÀY 18 – 3 – 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Mụn thi: TOÁN Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian phỏt đề) Ngày thi: 18/3/2019 Bài 1 (5,0 điểm). 1.Tớnh giỏ trị biểu thức A = x3 y3 3 x y , biết rằng x 3 3 2 2 3 3 2 2 ; y 3 17 12 2 3 17 12 2 1 1 1 2. Cho hai số thức m, n khỏc 0 thỏa món m n 2 Chứng minh rằng phương trỡnh x2 mx n x2 nx m 0 luụn cú nghiệm Bài 2. (5,0 điểm) 2 x xy y 1 1. Giải hệ phương trỡnh x 3 y 4x 5 2. Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: 2xy2 x y 1 x2 2y2 xy Bài 3 (3,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng cho 8073 điểm mà diện tớch của mọi tam giỏc với cỏc đỉnh là cỏc điểm đó cho khụng lớn hơn 1. Chứng minh rằng trong số cỏc điểm đó cho cú thể tỡm được 2019 điểm nằm trong hoặc nằm trờn cạnh của một tam giỏc cú diện tớch khụng lớn hơn 1. 2. Cho a, b, c là cỏc số thực khụng õm thỏa món a + b + c = 3 Chứng minh rằng a b3 1 b c3 1 c a3 1 5 Bài 4 (7,0 điểm). 1. Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Lấy điểm M bất kỳ trờn đoạn AD (M khụng trựng với A). Gọi N, P theo thứ tự là hỡnh chiếu vuụng gúc của M trờn cỏc cạnh AB, AC và H là hỡnh chiếu vuụng gúc của N lờn đường thẳng PD. a) Chứng minh rằng AH vuụng gúc với BH b) Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực của AB tại I. Chứng minh ba điểm H, N, I thẳng hàng. 2. Cho tam giỏc nhọn ABC nội tiếp đường trũn (O), đường cao AH. Gọi M là giao điểm của HB MB AB AO và BC. Chứng minh rằng 2 . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? HC MC AC GV: Vừ Mộng Trỡnh – THCS Cỏt Minh, Phự Cỏt – Bỡnh Định
2. LỜI GIẢI THAM KHẢO – ĐỘC GIẢ GểP í Bài 1. 1. Đặt x 3 3 2 2 3 3 2 2 = a + b khi đú 3 x3 a b a3 b3 3ab a b 3 2 2 3 2 2 33 3 2 2 3 2 2 .x x3 6 3x x3 3x 6 (1) Đặt y 3 17 12 2 3 17 12 2 = c + d khi đú 3 y3 c d c3 d3 3cd c d 17 12 2 17 12 2 33 17 12 2 17 12 2 .y y3 34 3y y3 3y 34 (2) Từ (1) và (2) suy ra A = x3 y3 3 x y = x3 y3 3x 3y 6 34 40 1 1 1 2 m n mn 2. Ta cú 2 m n mn m n 2 2mn 2mn x2 mx n 0 (1) Ta cú x2 mx n x2 nx m 0 2 x nx m 0 (2) 2 Phương trỡnh (1) là PT bậc hai cú 1 m 4n 2 Phương trỡnh (2) là PT bậc hai cú 2 n 4m 2 2 2 2 2 2 2 Do đú 1 2 m 4n n 4m m n 4 m n = m n 2mn m n 0 Suy ra trong 1 và 2 cú ớt nhất một số lớn hơn hoặc bằng 0 Vậy phương trỡnh đó cho luụn cú nghiệm Bài 2. 2 x xy y 1 (1) 1. . Điều kiện x 0 x 3 y 4x 5 (2) PT (1) x2 xy y 1 0 (3) PT (3) là phương trỡnh bậc hai ẩn x cú y2 4y 4 y 2 2 0 c Do đú PT (3) cú hai nghiệm x 1 (loại vỡ x 0), x = 1 y (điều kiện y 1 vỡ x 0) a y = -x + 1 . Thay y = -x + 1 vào PT (2) ta cú x 3 x 1 4x 5 x 1 3 x 1 4x 4 0 3 2 x 1 x 1 2 3 x 1 4 x 1 0 3 x 1 1 4 3 x 1 0 x 1 x 1 3 x 1 0 3 2 x = 1 (TMĐK) suy ra y = 0 (TMĐK) x 1 2 1 4 3 x 1 0 x 1 Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm (x ; y) là (1 ; 0) 2. 2xy2 x y 1 x2 2y2 xy x2 x 2 y2 y 1 2y2 y 1 0 (1) Đặt 2y2 y 1 = a, khi đú PT (1) trở thành x2 ax a 2 0 (2) Phương trỡnh (2) cú a 2 4a 8 a 2 2 4 Phương trỡnh (1) cú nghiệm nguyờn Phương trỡnh (2) cú nghiệm nguyờn là số chớnh phương Đặt a 2 2 4 = k2 (k N) k2 a 2 2 4 k a 2 k a 2 4
3. Vỡ (k + a – 2) + (k – a + 2) = 2k là số chẵn và cú tớch cũng là số chẵn nờn (k + a – 2) và (k – a + 2) là số chẵn. k a 2 2 k a 2 2 k 2 k 2 Do đú hoặc hoặc k a 2 2 k a 2 2 a 2 a 2 a k2 2 2 x 2 Vậy phương trỡnh (2) cú 2 nghiệm là 2 2 a k2 2 2 x 0 2 2 Ta cú 2y2 y 1 = a = 2 2y2 y 1 = 0 2y2 2y y 1 0 = 0 y 1 y 1 2y 1 0 1 . Ta chọn y = 1 (vỡ y Z) y 2 Vậy nghiệm nguyờn (x ; y) của hệ phương trỡnh là (2 ; 1) và (0 ; 1) Bài 3: 1. Gọi AiA j là hai điểm xa nhau nhất trong cỏc điểm thuộc tập hợp 8073 điểm đó cho . Giả sử Ak là điểm cỏch xa đoạn thẳng AiA j nhất . Khi đú Tam giỏc AiA j Ak là tam giỏc lớn nhất và cú diện tớch hụng lớn hơn 1 Vẽ cỏc đường thẳng đi qua cỏc điểm Ai , A j , Ak lần lượt song song với cỏc cạnh của AiA j Ak Ta được 4 tam giỏc nhỏ bằng nhau và một tam giỏc lớn chứa cả 4 tam giỏc nhỏ Tam giỏc lớn cú diện tớch khụng quỏ 4 đơn vị. Do đú, tam giỏc lớn chứa tất cả 8073 điểm đó cho Ta cú 8073 chia cho 4 được 2018 và dư là 1 nờn theo nguyờn lý Dirichlet suy ra cú ớt nhất 1 trong 4 tam giỏc cú 1 tam giỏc chứa 2019 trong 8073 điểm đó cho. 2. Đặt P = a b3 1 b c3 1 c a3 1 suy ra 2P = 2a b3 1 2b c3 1 2c a3 1 = 2a b 1 b2 b 1 2b c 1 c2 c 1 2c a 1 a 2 a 1 a b2 2 b c2 2 c a 2 2 = ab2 bc2 ca 2 6 Q 6 Khụng mất tớnh tổng quỏt, ta giả sử b c a ta cú b a c c b 0 abc b2c ab2 bc2 ab2 bc2 ca 2 abc b2c ca 2 2 a b a b Do đú Q abc b2c ca 2 2abc b2c ca 2 c a b 4c . 2 2 3 2 4 a b a b 4 a b c 4.33 c 4 27 2 2 27 27 Do đú 2P 10 P 5. Dấu “=” xảy ra a + b + c = 3, b c a , 2c = a + b, abc = 2abc b = 0, c = 1, a = 2 I A Bài 4. N a) Ta cú AD  BC tại D (vỡ ABC vuụng cõn tại A) P ã ã 0 ANM APM 90 nờn AMNP là tứ giỏc nội tiếp (1) 1 0 H Nã AP Nã HP 90 nờn NAPH là tứ giỏc nội tiếp (2) M 1 Từ (1) và (2) suy ra N, A, P, H, M cựng thuộc một đường trũn B D C Ã MH Ã PH 1800 và Ã NM Ã PM 900 nờn AMNP là tứ giỏc nội tiếp (1)
4. Ta cú Ã PC Mã DC 900 nờn MPCD là tứ giỏc nội tiếp à à à ã Suy ra P1 C1 mà C1 MBD (vỡ AD là trung trực của BC) ã à MBD P1 ã ã ã 0 ã ã à Ta cú AMB ADB MBD 90 MBD mà MBD P1 ã 0 à ã à ã ã ã ã ã 0 Suy ra AMB 90 P1 APM P1 APH AMB AMH APH AMH 180 Do đú B, M, H thẳng hàng AH  BH b) Ta cú IãBA Bã AD 450 (vỡ BI // AD) Tam giỏc ADB vuụng tại D cú DI là trung trực nờn DI là phõn giỏc gúc ADB Ã DI Bã DI 450 . Do đú IãBA IãDA 450 A, I, B, D cựng thuộc một đường trũn (3) Ta cú Ã HB Ã DB 900 nờn A, H, D, B cựng thuộc một đường trũn (4) Từ (3) và (4) suy ra A, H, D, B, I cựng thuộc một đường trũn IãHD IãBD 1800 IãHD 900 (vỡ IãBD 900 ) lại cú Nã HD 900 Do đú H, N, I thẳng hàng. 2.  Cỏch 1: A Kẻ AD là đường kớnh của đường trũn (O) Xột 2 tam giỏc vuụng HBA và CDA à ả ằ cú B1 D1 (vỡ nội tiếp cựng chắn AC ) O 1 HB AB B C nờn HBA ∽ CDA (g.g) = HB.AD = AB.CD H M CD AD 1 HC AC Tương tự HCA ∽ BDA (g.g) = HC.AD = AC.BD D BD AD HB AB DC Do đú = . (1) HC AC DB NB AB Ta cú AMB ∽ CMD (g.g) = MB.CD = MD.AB MD CD MC AC Tương tự = MC.BD = AC.MD MD BD MB AB DB Do đú = . (2) MC AC DC HB MB AB DC DB AB DC DB AB Ta cú + + .2. . 2. HC MC AC DB DC AC DB DC AC Dấu ô = ằ xảy ra DB = DC AB = AC ABC cõn tại A.  Cỏch 2: Gọi I là giao điểm của AH với đường trũn (O). Kẻ đường kớnh AD. Ta cú Ã BD Ã CD Ã ID 900 . Do đú BC // DI BºI CằD A ả ả A1 A2 1 2 Ta cú DIBC là hỡnh thang cõn nờn CD = BI, CI = BD ả ả ã ã 0 Xột AHB và ACD cú A1 A2 , AHB ACD 90 O B C HB AB H M AHB ∽ ACD (g.g) (1) CD AD ã ã ã ã 0 Xột ABD và AHC cú BAD HAC , ABD AHC 90 I D BD AD ABD ∽ AHC (g.g) (2) HC AC
5. HB BD AB AD AB HB AB CD Từ (1), (2) suy ra . . . (3) CD HC AD AC AC HC AC BD ả ả ã ã 1 ằ Xột ABI và AMC cú A1 A2 , AIB ACB sđAC 2 BI AB ABI ∽ AMC (g.g) (4) MC AM ã ã ã ã 1 ằ Xột ABM và AIC cú BAM IAC , ABC AIC sđAC 2 MB AM ABM ∽ AIC (g.g) (5) CI AC BI MB AB AM AB MB AB CI Từ (4), (5) suy ra . . . (6) MC CI AM AC AC MC AC BI HB MB AB2 CD CI AB2 CD CI AB2 Từ (3) và (6) suy ra . . . = . . (vỡ CD = BI, CI = BD) HC MC AC2 BD BI AC2 BI BD AC2 HB MB HB MB AB2 AB Ta cú 2 . 2 2. HC MC HC MC AC2 AC HB MB HB MB HB MB Dấu “=” xảy ra H  M HC MC HB HC MB MC BC BC ABC cõn tại A. GV: Vừ Mộng Trỡnh – THCS Cỏt Minh, Phự Cỏt – Bỡnh Định