Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Sở giáo dục và đào tạo Hậu Giang (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Sở giáo dục và đào tạo Hậu Giang (Có đáp án)

1. SỞ GD&ĐT HẬU GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH ĐỀ CHÍNH THỨC LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 – 2013 MễN: TOÁN Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 28/02/2012 (Đề thi cú 01 trang, gồm 06 bài) Bài 1: ( 2.0 điểm ) Rỳt gọn biểu thức Bài 2: ( 3.5 điểm ) a) Chứng minh tổng C = 1 + 2 + 22 + + 22014 chia hết cho 31. b) Cho hai số x, y thoả món điều kiện . Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức Bài 3: ( 3.0 điểm ) Xỏc định m để hệ sau cú nghiệm duy nhất (x, y) với x, y là số nguyờn Bài 4: ( 3.5 điểm ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hàm số y = - x2 cú đồ thị (P), đường thẳng (d) qua hai điểm A và B trờn (P) cú hoành độ lần lượt là -4 và 2. a) Viết phương trỡnh đường thẳng (d). b) Tỡm điểm M trờn cung AB của (P) cú hoành độ x thuộc đoạn [-4; 2] sao cho tam giỏc MAB cú diện tớch lớn nhất. c) Tỡm điểm N trờn trục Ox để tổng AN + BN nhỏ nhất. Bài 5: ( 3.5 điểm ) Cho tam giỏc MNP cõn tại M ( ). Gọi D là giao điểm cỏc đường phõn giỏc trong của tam giỏc MNP. Biết DM = cm, DN = 3 cm. Tớnh độ dài đoạn MN. Bài 6: ( 4.5 điểm ) AB và AC là hai tiếp tuyến của đường trũn tõm O bỏn kớnh R (B, C là tiếp điểm). Vẽ CH vuụng gúc AB tại H, cắt (O) tại E và cắt OA tại D. a) Chứng minh CO = CD. b) Chứng minh tứ giỏc OBDC là hỡnh thoi. c) Gọi M là trung điểm của CE, BM cắt OH tại I. Chứng minh I là trung điểm của OH. d) Tiếp tuyến tại E với (O) cắt AC tại K. Chứng minh ba điểm O, M, K thẳng hàng. HẾT Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu và mỏy tớnh cầm tay. Giỏm thị khụng giải thớch gỡ thờm
2. Bài 1: ( 2.0 điểm ) Rỳt gọn biểu thức KQ:=-1 Bài 2: ( 3.5 điểm ) a) Chứng minh tổng C = 1 + 2 + 22 + + 22014 chia hết cho 31. C=( 1 + 2 + 22 + 23+24)+( 25+26+27+28+29)+ +(22010+22011+22012+22013+22014 ) =31+25.31+ . =31(1+25+210 +22010) chia hết cho 31 b) Cho hai số x, y thoả món điều kiện . Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức Gợi ý: Từ x2 + y2 – xy = 1 2x2 + 2y2 – 2xy = 2 A + (x – y)2 = 2 Max A = 2 khi x = y Mặt khỏc: 2x2 + 2y2 = 2 + 2xy 2x2 + 2y2+x2+y2= 2 + 2xy+x2+y2 3A = 2 + (x + y)2 >=2 => A >=2/3 min A = 2/3 khi x = - y Bài 3: ( 3.0 điểm ) Xỏc định m để hệ sau cú nghiệm duy nhất (x, y) với x, y là số m 1 2 x x 1 nguyờn m 1 m 1 y 2 Bài 4: ( 3.5 điểm ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hàm số y = - x2 cú đồ thị (P), đường thẳng (d) qua hai điểm A và B trờn (P) cú hoành độ lần lượt là -4 và 2. a) Viết phương trỡnh đường thẳng (d). b) Tỡm điểm M trờn cung AB của (P) cú hoành độ x thuộc đoạn [-4; 2] sao cho tam giỏc MAB cú diện tớch lớn nhất. c) Tỡm điểm N trờn trục Ox để tổng AN + BN nhỏ nhất. a.y=2x-8 b.Xột điểm M bất kỳ thuộc P sao cho M(m;-m 2). Gọi C, D, N’ lần lượt là hỡnh chiếu của A, B, M trờn trục hoành Ta cú NC=6
3. CD=4 m =4+m ‘ N’D=2 m =2-m DM=m2 N’B=4 AC=16 (4 16)6 (m 2 16)(4 m) (m 2 4)(2 m) SAMB=SCABN-SCAMD-SDMBN= 2 2 2 =-3m2-6m+24=-3(m2+2m+1)+27 đpcm. d. KM là đường trung tuyến trong tam giỏc cõn EKC nờn đpcm