Đề khảo sát chất lượng HSG lần 1 - Môn: Toán 9

Nội dung text: Đề khảo sát chất lượng HSG lần 1 - Môn: Toán 9

1. PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG_LẦN 1 TRƯỜNG THCS THANH LÃNG NĂM HỌC 2017-2018 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 9 Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1: 1 1 a) Tính giá trị của đa thức f (x) (x4 3x 1)2016 tại x 9 9 9 5 5 4 4 2 2 2.2016 b) So sánh 2017 1 2016 1 và 20172 1 20162 1 sin2 x cos2 x c) Tính giá trị biểu thức: sin x.cos x với 00< x < 900 1 cot x 1 tan x d) Biết 5 là số vô tỉ, hãy tìm các số nguyên a, b thỏa mãn: 2 3 9 20 5 a b 5 a b 5 Câu 2: Giải phương trình sau: 3 2 x 1 x 3 x 3 x 1 2 3 Câu 3: a) Cho đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d là các hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu P(x) chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x thì các hệ số a, b, c, d đều chia hết cho 5. b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 – xy + y2 – 4 = 0 c) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n4 + 4n là hợp số. Câu 4: a4 b4 a) Chứng minh rằng ab3 a3b a2b2 2 1 1 1 b) Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện + + =2 a + b + 1 b + c + 1 c + a + 1 Tìm giá trị lớn nhất của tích (a + b)(b + c)(c + a). Câu 5: Cho ABC nhọn, có ba đường cao AD, BI, CK cắt nhau tại H. Gọi chân các đường vuông góc hạ từ D xuống AB, AC lần lượt là E và F. a) Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC 1 b) Giả sử HD = AD. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3 3 c) Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D đến BI và CK. Chứng minh rằng: 4 điểm E, M, N, F thẳng hàng. Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay khi làm bài. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN HDC KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG_LẦN 1 1
2. TRƯỜNG THCS THANH LÃNG NĂM HỌC 2017-2018 MÔN: TOÁN 9 Câu Ý Đáp án Điểm Câu 1 a) 2 2 2 2 x 9 5 2 5 2 1đ 2 2 2 5 4 2 5 4 0.75 9 =9 2 9 8 1 5 2 5 2 5 22 f (x) f (1) 1 0.25 b) ( 20172 1 20162 1)( 20172 1 20162 1) Ta có 20152 1 20142 1 20172 1 20162 1 (20152 1) (20142 1) 20172 20162 (2017 2016)(2017 2016) 0.5 20172 1 20162 1 20172 1 20162 1 20172 1 20162 1 2017 2016 2.2016 1đ 20172 1 20162 1 20172 1 20162 1 2.2016 0.5 Vậy> 20172 1 20162 1 20172 1 20162 1 c) sin2 x cos2 x 0.25 sin x.cos x cos x sin x 1 1 sinx cos x sin3 x cos3 x 0.25 1đ sin x.cos x 1 cosx 1+sinx 2 2 sin3 x cos3 x sinx cosx sin x sinx.cosx cos x 0.25 sin x.cosx sin x.cosx sinx cosx sinx cosx sin x.cos x 1 sin x.cos x 1 0.25 d) ĐK: a b 5 (*) 2 3 9 20 5 a b 5 a b 5 2(a b 5) 3(a b 5) (9 20 5)(a b 5)(a b 5) 9a 2 45b2 a 5( 20a 2 100b2 5b) (*) A Ta thấy (*) có dạng A B 5 trong đó A, B Q , nếu B 0 thi 5 I vô lí vậy B B = 0 => A= 0. 2 2 2 2 2 2 9a 45b a 0 9a 45b a 0 9a 45b a 0 Do đó (*) 2 2 2 2 9 9 20a 100b 5b 0 9a 45b b 0 a b 4 4 9 a b a 9 a 0 4 hoac (không t/m ĐK (*)). Vậy a = 9; b = 4 2 b 4 b 0 b 4b 0 Câu 2 a) ĐK x 1; x 3 ( ) 2
3. 3 2 x 1 x 3 (2) x 3 x 1 2 3 x 3 x 3 (x 3)(x 1) 6 0.5đ + Trường hợp : x + 3 = 0 x 3 (TMĐK ( ) 0.25 + Trường hợp : x + 3 0 x 3 Ta có (x-3)(x-1) = 6 x2 4x 3 0 x2 4x 4 7 (x 2)2 7 x 2 7 (TMĐK (*)) x 2 7 Vậy tập nghiệm của phương trình (2) là: S ={-3; 2 7 ; 2 7 } 0.25 Câu 3 Ta có: P(0) = d 5 a) P(1) = a + b + c + d  5 => a + b + c  5 (1) P(-1) = -a + b – c + d  5 => -a + b – c  5 (2) 0.25 0.5đ Từ (1) và (2) suy ra 2b  5 => b  5 vì (2,5) = 1, suy ra a + c  5 P(2) = 8a + 4b + 2c + d  5 => 8a + 2c  5 => a  5 => c 5 0.25 b) Ta có 4x2 – 4xy + 4y2 = 16 ( 2x – y )2 + 3y2 = 16 ( 2x – y )2 = 16 – 3y2 Vì ( 2x – y )2 0 nên 16 – 3y2 0 y2 5 y2 { 0; 1; 4 } - Nếu y2 = 0 thì x2 = 4 x = 2 0.25 - Nếu y2 = 1 thì ( 2x – y )2 = 13 không là số chính phương nên loại y2 = 1 0.5đ - Nếu y2 = 4 y = 2 + Khi y = 2 thì x = 0 hoặc x = 2 + Khi y = - 2 thì x = 0 hoặc x = - 2 Vậy: phương trình có 6 nghiệm nguyên là: 0.25 (x, y) = ( - 2; 0 ); ( 2; 0 ); ( 0; 2 ); ( 2; 2 ); ( 0; - 2 ); ( - 2; -2 ) c) - Nếu n là số chẵn thì n4 + 4n là số chẵn lớn hơn 2 nên là hợp số - Nếu n là số lẻ, đặt n = 2k + 1 với k là số tự nhiên lớn hơn 0 ta có n4 + 42k + 1 = (n2)2 + (2.4k )2 0.25 = (n2)2 + 2.n2.2.4k + (2.4k )2 – 2.n2.2.4k 0.5đ = ( n2 + 2.4k )2–(2n.2k)2 =(n2 + 2.4k – 2n.2k).(n2 + 2.4k + 2n.2k) Vì n2 + 2.4k + 2n.2k > n2 + 2.4k – 2n.2k = n2 + 4k – 2n.2k + 4k 0.25 = (n – 2k)2 + 4k> 4 Suy ra n4 + 42k + 1 là hợp số Vậy n4 + 4n là hợp số với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 Câu 4 a4 b4 Giả sử ta có ab3 a3b a2b2 a) 2 a4 b4 2ab3 2a3b 2a2b2 4 4 3 3 2 2 0.5đ a b 2ab 2a b 2a b 0 a4 2a3b a2b2 b4 2ab3 a2b2 0 0.25 2 2 a2 ab b2 ab 0 luôn đúng với mọi a, b a4 b4 Vậy ab3 a3b a2b2 với mọi a, b 2 3
4. b) Đặt a + b = x; b + c = y; c + a = z với x, y, z là các số thực dương 1 1 1 Ta có + + =2 x + 1 y + 1 z + 1 1 1 1 1 1 y z 2 1 1 x + 1 y + 1 z + 1 y + 1 z + 1 y + 1 z + 1 1 y z 2  x + 1 y + 1 z + 1 0.25 y z 0.5đ (Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương và ) y + 1 z + 1 1 x z 1 y x Chứng minh tươngtự ta có 2  và 2  y + 1 x + 1 z + 1 z + 1 y + 1 x + 1 1 1 1 y z x z x y Suyra   2   2   2  x + 1 y + 1 z + 1 y + 1 z + 1 x + 1 z + 1 x + 1 y + 1 1 1 1 xyz 1   8 xyz . x + 1 y + 1 z + 1 x 1 y 1 z 1 8 Dấu “ = ” xảy ra khi x y z 1 x y z x + 1 y + 1 y + 1 2 1 a b c 0.25 4 1 Vậy: Giá trị lớn nhất của tích ( a + b )( b + c )( c + a) là 8 Câu 5 A I K F H N M E C B D a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: AE.AB = AD2 ; 0.5 AF.AC = AD2 1đ Suy ra: AE.AB = AF.AC 0.5 b) AD AD AD2 Biểu thị được: tanB = ; tanC = ; tanB.tanC = BD CD BD.CD 1đ Biểu thị được: 0.5 CD BD BD.CD tanB = tan D· HC ; tanC = tan D· HB ; tanB.tanC = HD HD HD2 4
5. AD2 AD 0.5 Suyra: (tanB.tanC)2 = => tanB.tanC = = 3 HD2 HD c) Chứng minh được: AE.AB/AK.AB = AF.AC/AI.AC => EF // IK 0.5 BM BD BE 1đ Chứng minh được: ME / /IK M EF MI DC EK Tương tự chứng minh được N EF và suy ra 4 điểm E, M, N, F thẳng hàng 0.5 Tổng 10 Lưu ý: Học sinh làm cách khác dúng vẫn cho điểm tối đa. BỘ ĐỀ ĐÁP ÁN HSG MÔN TOÁN CẤP HUYỆN, TỈNH FILE WORD Zalo 0946095198 160 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 6=110k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG 6 CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 250 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7=180k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG 7 CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 210 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8=150k; 60 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG 8 CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 30 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8 HÀ NỘI=50k 265 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 HUYỆN=200k; 230 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 CẤP TỈNH=180k 50 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 HÀ NỘI=80k; 55 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 (2020-2021)=80k; 90 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 CÁC HUYỆN CỦA TỈNH VĨNH PHÚC=100k 5