Đề cương ôn thi vào Lớp 10 THPT môn Toán - Bài 6: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Nội dung text: Đề cương ôn thi vào Lớp 10 THPT môn Toán - Bài 6: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

1. §6. TÍNH CHẤT HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU. Bài 1. Cho đường tròn ( ; 5 ) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Qua M kẻ hai tiếp tuyến , tới đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Từ điểm C trên cung nhỏ AB kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt , lần lượt ở P và Q. Biết ⊥ . a) Tứ giác là hình gì ? Vì sao ? b) Tính chu vi ∆ 푃푄 ; c) Tính góc 푃 푄. Bài 2. Cho ∆ cân ở A. Vẽ đường tròn tâm D đường kính BC cắt AC và AB lần lượt ở E và F. Gọi H là giao điểm của BE và CF. Chứng minh rằng : a) Bốn điểm A,E,H,F cùng thuộc một đường tròn. b) DE là tiếp tuyến của đường tròn nói trong câu a). Bài 3. Cho đường tròn ( ; 5 ), đường kính AB, tiếp tuyến Bx. Gọi C là một điểm trên đường tròn sao cho = 30°, tia AC cắt Bx ở E. a) Chứng minh rằng : 2 = . ; b) Tính độ dài đoạn BE. Bài 4. Cho nửa đường tròn ( ), đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến xy của nửa đường tròn. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A và điểm B trên xy. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C xuống AB. Chứng minh : a) C là trung điểm của MN; b) 2 = . . Bài 5. Cho đường tròn ( ) và đường thẳng (d) không giao nhau. Dựng tiếp tuyến của đường tròn ( ) sao cho tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d). Bài 6. Cho đường tròn ( ) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn ( ); A, B là các tiếp điểm sao cho = 90°. Qua điểm C trên cung nhỏ AB kẻ tiếp tuyến với đường tròn ( ) cắt MA và MB lần lượt ở P và Q. Chứng minh rằng : 1 1 . 3( + ) < 푃푄 < 2( + ) Bài 7. Cho nửa đường tròn ( ), đường kính AB, hai tiếp tuyến , . Trên , lấy theo thứ tự hai điểm C và D. Biết + = . Chứng minh rằng : a) = 90°; b) Đường thẳng AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆ , còn đường thẳng CD là tiếp tuyến của đường tròn (O). Bài 8. Cho khác góc bẹt. Chứng minh rằng: Có thể tìm được vô số các điểm B và C trên hai cạnh Ax, Ay sao cho chu vi ∆ luôn luôn bằng 2푙 (với 푙 là một độ dài cho trước). Bài 9. Cho đường tròn ( ; 6 ) và dây = 10 . Gọi M là một điểm trên đường thẳng AB và M nằm bên ngoài đường tròn (O). Tìm khoảng cách từ M đến đến trung điểm của AB khi góc xen giữa hai tiếp tuyến kẻ từ M bằng : a) 60°. b) 90°. Bài 10. Cho nửa đường tròn ( ), đường kính AB, tiếp tuyến . Qua điểm C trên nửa đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt ở M. Kẻ ⊥ cắt BM ở I. Chứng minh: I là trung điểm của CH; Bài 11. Cho ∆ có = 10 , = 12 và = 14 . Tính khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và trọng tâm của tam giác. Bài 12. Cho ∆ có < , trung tuyến CD. Đường tròn nội tiếp các tam giác ∆ và ∆ tiếp xúc với CD lần lượt ở E và F. Chứng minh rằng: 2 퐹 = ― . Bài 13. Cho ∆ vuông ở A. Đường tròn (O) nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt ở D và E. a) Tứ giác là hình gì ? Vì sao ?
2. b) Tính bán kính đường tròn (O), biết = 5 ; = 12 . Bài 14. Cho ∆ có = , = và = . Gọi là bán kính đường tròn nội tiếp, S là diện ( + + ) tích của tam giác. Chứng minh: . 푆 = 2 Bài 15. Đường tròn nội tiếp ∆ tiếp xúc với cạnh BC tại D. Chứng minh rằng: điều kiện cần và đủ để ∆ vuông ở A là : . = 2 . . Bài 16. Cho ∆ vuông ở A. Gọi , 푅 theo thứ tự là bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác. Chứng minh: + = 2( + 푅). Bài 17. Cho ∆ vuông ở A có = , = và = . Gọi là bán kính đường tròn nội 2 tiếp của tam giác. Chứng minh: ≤ ― 1. 2 Bài 18. Cho ∆ vuông ở A có = 7,5 , = 10,5 và = 9 . Gọi ( 1) là đường tròn bàng tiếp góc A tiếp xúc với cạnh BC, tiếp xúc với phần kéo dài của các cạnh , lần lượt ở , ,퐹. Tính độ dài các đoạn thẳng : , 퐹, , 퐹. Bài 19. Cho tam giác đều . Gọi , lần lượt là hai điểm trên hai cạnh , ; Gọi D là trung điểm của BC. Biết chu vi ∆ bằng nửa chu vi ∆ . Tính số đo góc ? Bài 20. Một tam giác vuông nội tiếp một đường tròn đường kính 37 và ngoại tiếp một đường tròn bán kính 5 . Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác đó. Bài 21. Cho đường tròn ( ; 5 ) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Qua M kẻ hai tiếp tuyến , tới đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Biết = 60°. a) Chứng minh : ∆ là tam giác đều; b) Tính chu vi ∆ ; c) Tia AO cắt đường tròn ở C. Tứ giác là hình gì ? Vì sao ? Bài 22. Cho ( ) nội tiếp ∆ . Các tiếp điểm trên các cạnh , , lần lượt là , ,푆. a) Chứng minh : + ― = 2 ; b) Cho = 4 , = 7 , = 5 . Tính độ dài các đoạn thẳng , , 푆. Bài 23. Cho đường tròn ( ;푅), đường kính AB, dây cung AC. Các tiếp tuyến với đường tròn tại B và C cắt nhau ở D. a) Chứng minh: DO//AC; b) Biết = 30°, 푅 = 2 . Tính độ dài các đoạn , . Bài 24. Cho nửa đường tròn ( ;푅), đường kính AB, hai tiếp tuyến , trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB. Trên tia Ax lấy điểm C, qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt By ở D. a) Tứ giác ABDC là hình gì ? Vì sao ? b) Chứng minh rằng : đường tròn ngoại tiếp ∆ tiếp xúc với đường thẳng AB tại O; c) Chứng minh rằng : . = 푅2. Bài 25. Cho ∆ vuông ở A. Đường tròn (O) nội tiếp tam giác tiếp xúc với cạnh AB, AC lần lượt ở D và E. a) Tứ giác ADOE là hình gì ? Vì sao ? b) Tính bán kính đường tròn (O) biết = 5 , = 12 . Bài 26. Một tam giác cân có cạnh đáy 16cm, cạnh bên 10cm. Tính độ dài các bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác và khoảng cách giữa các tâm của hai đường tròn đó. Bài 27. Cho đường tròn ( ), đường kính AB. Gọi M là một điểm tùy ý trên đường tròn, xy là tiếp tuyến của đường tròn tại A. Qua M kẻ 푃 ⊥ , và 푄 ⊥ . a) Tứ giác APMQ là hình gì ? Vì sao ? b) Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh: ⊥ ; c) Khi điểm M di chuyển trên đường tròn (O) thì điểm I chuyển động trên đường nào ? Vì sao ?
3. Bài 28. Cho góc nhọn . Dựng đường tròn tâm I, bán kính 1,5 tiếp xúc với hai cạnh , .