Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp - Nguyễn Tiến

Nội dung text: Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp - Nguyễn Tiến

1. Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 1
2. Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 MỤC LỤC 1. Khái niệm tứ giác nội tiếp 4 2. Định lý. 4 3. Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp. 4 Phương pháp 1: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800. 4 Phương pháp 2: Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác. 4 Phương pháp 3: .Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc 4 Phương pháp 4: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. (tương tự phương pháp 1) 4 Phương pháp 5: Định lý Ptoleme hay đẳng thức Ptoleme 4 4. Ví dụ minh hoạ 4 5. Phân loại bài tập. 6 A. “Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800 (hai góc đối diện bù nhau ). 6 Nhận biết: 6 Thông hiểu 6 Vận dụng thấp. 6 Vận dụng cao. 7 B. Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm. 7 Nhận biết: 7 Thông hiểu: 8 Vận dụng thấp: 8 Vận dụng cao: 9 C. Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại hai góc bằng nhau”. 9 Nhận biết: 9 Thông hiểu: 9 Vận dụng thấp: 10 Vận dụng cao: 10 Tài liệu được sưu tầm, tổng hợp các nguôn! CẢM ƠN "ANH" ĐÃ TẶNG EM TÀI LIỆU QUÝ! Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 2
3. Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 HƯỚNG DẪN GIẢI 12 A. “Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800 12 Nhận biết: 12 Thông hiểu 12 Vận dụng thấp. 13 Vận dụng cao. 15 B. Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm. 16 Nhận biết: 16 Thông hiểu: 17 Vận dụng thấp: 18 Vận dụng cao: 20 C. CM hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại hai góc bằng nhau”. 20 Nhận biết: 20 Thông hiểu: 21 Vận dụng thấp: 22 Vận dụng cao: 24 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 3
4. Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 1. Khái niệm tứ giác nội tiếp B * Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh A nằm trên đường tròn đó. O C D * Trong hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) và (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD. Hình 1 Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn AC 1800 hoặc BD 1800 2. Định lý. * Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng180o. * Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180o thì tứ giác đó nội tiếp được một đường tròn. 3. Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp. Phương pháp 1: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800. Phương pháp 2: Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác. Phương pháp 3: .Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc Phương pháp 4: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. (tương tự phương pháp 1) Phương pháp 5: Định lý Ptoleme hay đẳng thức Ptoleme Thuận: Nếu một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn thì tích của hai đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối diện Đảo: Nếu một tứ giác thỏa mãn điều kiện tổng các tích của các cặp cạnh đối diện bằng tích của hai đường chéo thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn. 4. Ví dụ minh hoạ Bài 1: A Cho tam giác ABC, 2 đường cao BB’, CC’. Chứng minh tứ giác B C BCB’C’ nội tiếp. ' ' Giải: O Cách 1: Phương pháp 2: B C Gọi O là trung điểm của BC. Xét BB’C có : BB'C 900 (GT) OB’ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 4
5. Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 (1) OB’ = OB = OC = r Xét BC’C có : BC'C 900 (GT) (2) Tương tự trên OC’ = OB = OC = r Từ (1) và (2) B, C’, B’, C (O; r) Tứ giác BC’B’C nội tiếp đường tròn. Cách 2: Phương pháp 3: A 0 B' Ta có: BB’  AC (GT) BB'C 90 . C' CC’  AB (GT) . B’, C’ cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông O B C B’, C’ nằm trên đường tròn đường kính BC Hay tứ giác BC'' B C nội tiếp đường tròn đường kính BC. Cách 3: (Phương pháp 4 và phương pháp 1) Ta có: BB’  AC (GT) BB'A 900 . CC’  AB (GT) CC'A 900 . Xét AB B và AC C có AB B AC C 900 và BAC chung. AB' AB AB'' AC Vậy AB B AC C (g-g) AC' AC AB AC AB'' AC Xét AB C và ABC ta có và chung. Vậy AB C ABC (c-g-c) AB AC AB 'C' ABC . Tứ giác có góc ngoài tại đỉnh B ' bằng góc trong tại đỉnh B . Vậy tứ giác nội tiếp. (Phương pháp 2) Để sử dụng theo phương pháp 1 có thể chỉ ra tứ giác có C' BC C ' B ' C 1800 nên tứ giác là tứ giác nội tiếp Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 5
6. Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 5. Phân loại bài tập. A. “Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800 (hai góc đối diện bù nhau ). Nhận biết: Câu 1: Hình chữ nhật; Hình thang cân; Hình bình hành. Hình nào nội tiếp được trong đường tròn? Chứng minh. Câu 2: Cho tứ giác ABCD sao cho: AD cắt BC tại M và MA MD MB MC . Chứng minh tứ giác nội tiếp được. Câu 3: Cho đường tròn OR; ,đường kính AB . Dây BC R . Từ B kẻ tiếp tuyến Bx với đường tròn. Tia AC cắt tại M . Gọi E là trung điểm của AC . Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp đường tròn. Thông hiểu Câu 4: Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I ( nằm giữa A và O ). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC ( khác B và C ), AE cắt CD tại F . Chứng minh: BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn. Câu 5: Cho nữa đường tròn tâm đường kính ,điểm M bất kì trên nửa đường tròn ( khác A , B ). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax . Tia BM cắt tại I ; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E ; cắt tia tại F tia BE cắt tại H ,cắt AM tại K .Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp. Câu 6: Cho nữa đường tròn tâm đường kính , kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đường tròn. Các tia AC và AD cắt lần lượt ở E , F ( ở giữa B và ) 1. Chứng minh: ABD DFB . 2. Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp. Vận dụng thấp. Câu 7: Cho đường tròn OR; ; AB và CD là hai đường kính khác nhau của đường tròn. Tiếp tuyến tại B của đường tròn cắt các đường thẳng AC , AD thứ tự tại E và F . a) Chứng minh tứ giác ACBD là hình chữ nhật. b) Chứng minh ACD CBE c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn. Câu 8: Cho nửa đường tròn đường kính BC 2 R . Từ điểm A trên nửa đường tròn vẽ AH BC . Nửa đường tròn đường kính BH , CH lần lượt có tâm O1 ; O2 cắt và CA thứ tự tại D và E . a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật, từ đó tính DE biết R 25 và BH 10 b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn. Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 6
7. Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 Câu 9: Cho nữa đường tròn OR, đường kính AB . Các tia AC , AD cắt Bx lần lượt ở E và F ( nằm giữa B và ). Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp Vận dụng cao. Câu 10: Cho ABC cân tại A , I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc , O là trung điểm của IK . Chứng minh bốn điểm BICK, , , cùng thuộc một đường tròn tâm Câu 11: Cho tam giác vuông ở AB AC , đường cao AH . Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm , vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E , nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F . Chứng minh: 1) Tứ giác AFHE là hình chữ nhật. 2) Tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp đường tròn. Câu 12: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . C là một điểm nằm giữa và A . Đường thẳng vuông góc với tại cắt nửa đường tròn trên tại I . K là một điểm bất kỳ nằm trên đoạn thẳng CI ( khác và ), tia AK cắt nửa đường tròn O tại M , tia BM cắt tia tại D Chứng minh: 1) ACMD là tứ giác nội tiếp đường tròn. 2) ABD ~ MBC 3) AKDE là tứ giác nội tiếp. B. Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm. Nhận biết: Câu 13: Cho hình thang ABCD (AB/ / CD , AB CD) có CD 600 ,CD 2 AD . Chứng minh bốn điểm ABCD,,, cùng thuộc một đường tròn. Câu 14: Cho hình thoi ABCD . Gọi O là giao điểm hai đường chéo. MNR, , và S lần lượt là hình chiếu của O trên AB, BC , CD và DA . Chứng minh bốn điểm MNR, , và S cùng thuộc một đường tròn. Câu 15: Cho tam giác ABC có các đường cao BH vàCK . Chứng minh BKHC , , , cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm đường tròn đó. Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 7
8. Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 Thông hiểu: Câu 16: Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I ( nằm giữa A và O ). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC ( khác B và C ), AE cắt CD tại F . Chứng minh: BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn. Câu 17: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn OR; ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B , C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M , vẽ MI AB , MK AC , MI  AB, MK AC I AB, K AC a) Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Vẽ MP BC P BC . Chứng minh: CPMK là tứ giác nội tiếp. Câu 18: Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E . Lấy I thuộc cạnh AB , M thuộc cạnh BC sao cho: IEM 900 ( I và M không trùng với các đỉnh của hình vuông) a) Chứng minh rằng BIEM là tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Tính số đo của góc IME c) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC ; K là giao điểm của BN và tia EM . Chứng min BKCE là tứ giác nội tiếp. Vận dụng thấp: Câu 19: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB 2 R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB . Từ điểm M trên kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn ( C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E ; MB cắt nửa đường tròn O tại D ( khác B ). Chứng minh: AMCO và AMDE là các tứ giác nội tiếp đường tròn. Câu 20: Cho hai đường tròn và (O ) cắt nhau tại A và B . Vẽ , AD thứ tự là đường kính của hai đường tròn và . a) Chứng minh ba điểm CBD, , thẳng hàng. b) Đường thẳng cắt đường tròn tại E ; đường thẳng cắt đường tròn tại F ( EF, khác ). Chứng minh bốn điểm CDEF, , , cùng nằm trên một đường tròn. Câu 21: Cho 2 đường tròn và cắt nhau tại hai điểm A và B phân biệt. Đường thẳng OA cắt , lần lượt tại điểm thứ hai C và D . Đường thẳng OA cắt , lần lượt tại điểm thứ hai E E, F . 1. Chứng minh 3 đường thẳng AB , CE và DF đồng quy tại một điểm I. 2. Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp được trong một đường tròn. Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 8
9. Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 Vận dụng cao: Câu 22: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA , điểm N thuộc nửa đường tròn O . Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By . Đường thẳng qua V và vuông góc với NM cắt Ax, By thứ tự tại C và D . a) Chứng minh ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh ANB đồng dạng với CMD từ đó suy ra IMKN là tứ giác nội tiếp. C. Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại hai góc bằng nhau”. Nhận biết: Câu 23: Cho tam giác ABC,lấy điểm D thay đổinằm trên cạnh BC (D không trùng với B và C ).Trên tia AD lấy điểm P sao cho D nằm giữa A và P đồng thời DADP DB DC Đường tròn T đi qua hai điểm AD, lần lượt cắt cạnh AB, AC tại F và E . Chứng minh rằng: Tứ giác ABPC nội tiếp Câu 24: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn OR; ta vẽ hai tiếp tuyến AB , AC với đường tròn ( B , C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M , vẽ MI AB , MK AC ( I AB, K AC ). Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn. Câu 25: Cho đường tròn O có đường kính AB . Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA , điểm N thuộc nửa đường tròn . Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By . Đường thẳng qua và vuông góc với MN cắt và thứ tự tại C và D . Chứng minh ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn. Thông hiểu: Câu 26: Từ một điểm nằm ngoài đường tròn ta vẽ hai tiếp tuyến , với đường tròn ( , là tiếp điểm). Trên cung nhỏ lấy một điểm , vẽ , ( ) a) Chứng minh: là tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Vẽ MP BC P BC . Chứng minh: MPK MBC . Câu 27: Cho đường tròn OR; có đường kính . Vẽ dây cung CD vuông góc với AB ( không đi qua tâm O ). Trên tia đối của tia BA lấy điểm S ; SC cắt tại điểm thứ hai là M . Gọi H là giao điểm của MA và BC ; K là giao điểm của MD và AB . Chứng minh BMHK là tứ giác nội tiếp. Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 9
10. Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 Câu 28: Cho đường tròn O có đường kính AB . Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA , điểm N thuộc nửa đường tròn . Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By . Đường thẳng qua và vuông góc với MN cắt và thứ tự tại C và D . a) Chứng minh ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh ANB CMD . c) Gọi I là giao điểm của AN và CM , K là giao điểm của BN và DM . Chứng minh IMKN là tứ giác nội tiếp. Vận dụng thấp: Câu 29: Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E . Lấy I thuộc cạnh AB , M thuộc cạnh BC sao cho: IEM 900 ( I và M không trùng với các đỉnh của hình vuông ). a) Chứng minh rằng BIEM là tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Tính số đo của góc IME c) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC ; K là giao điểm của BN và tia EM . Chứng min BKCE là tứ giác nội tiếp. Câu 30: Cho đường tròn O với dây BC cố định và một điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao cho AC AB và AC BC . Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ . Các tiếp tuyến của tại và C cắt nhau tại E . Gọi P , Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB với CD ; AD với CE . 1) Chứng minh rằng: DE// BC 2) Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp đường tròn. Câu 31: Cho tam giác ABC có CB 900 , đường cao AH và trung tuyến AM . a) Chứng minh rằng nếu BAC 900 thì BAH MAC . b) Nếu BAH MAC thì tam giác có vuông không, tại sao? Vận dụng cao: Câu 32: Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C ở trên nửa đường tròn đường kính AD , tâm O . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E . Gọi H là hình chiếu vuông góc của xuống và I là trung điểm của DE . Chứng minh rằng: 1) Các tứ giác ABEH , DCEH nội tiếp được đường tròn. 2) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH . 3) Năm điểm BCIOH, , , , cùng thuộc một đường tròn. Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 10
11. Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 Câu 33: Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E . Lấy I thuộc cạnh AB , M thuộc cạnh BC sao cho: IEM 900 ( và không trùng với các đỉnh của hình vuông). a) Chứng minh rằng BIEM là tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Tính số đo của góc IME c) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC ; K là giao điểm của BN và tia EM . Chứng minh BKCE là tứ giác nội tiếp, từ đó suy ra : CK  BN . Câu 34: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp O , đường cao BD , CE cắt nhau tại H D AC; E AB . Kẽ đường kính BK , Kẽ CP BK P BK a) Chứng minh rằng BECD là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh rằng EDPC là tứ giác nội tiếp, từ đó suy ra ED CP ( trích HK2-Sở Bắc Ninh 2016-2017) Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 11
12. Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 HƯỚNG DẪN GIẢI A. “Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800 (hai góc đối diện bù nhau ). Nhận biết: Câu 1: M Ta có hình chữ nhật và hình thang cân đều có tổng hai góc đối diện bù nhau nên chúng nội tiếp trong một đường tròn. B Câu 2: A Xét hai tam giác MAB , MCD MA MC Có AMB CMD và MA MD MB MC hay C MB MD MAB MCD hay MCD MAB DAB BCD 180o D hay tứ giác ABCD nội tiếp được Câu 3: Ta có E là trung điểm của AC  OE AC Mà Bx  AB ABx 90o nên tứ giác OBME nội tiếp. Thông hiểu C E Câu 4: F 0 0 A B Tứ giác BEFI có: BIF 90 (gt) BEF BEA 90 (góc nội I O tiếp chắn nửa đường tròn) Suy ra tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BF . D Câu 5: . Ta có: AMB 90o ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) KMF 90o (vì là hai góc kề bù). AEB 90o ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) KEF 90o (vì là hai góc kề bù). KEF KMF 180o do đó EFMK là tứ giác nội tiếp. Câu 6: Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 12
13. Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 o 1) ADB có ADB 90 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) X E ABD BAD 90o (vì tổng ba góc của một tam giác bằng 180o )(1) ABF có ABF 90o ( BF là tiếp tuyến ). C D F AFB BAF 90o (vì tổng ba góc của một tam giác bằng 180o ) (2) Từ (1) và (2) ABD DFB A O B 2) Tứ giác ACDB nội tiếp O ABD ACD 180o . ECD ACD 180o  ( Vì là hai góc kề bù) ECD DBA Theo trên ABD DFB , ECD DBA ECD DFB . Mà EFD DFB 180o ( Vì là hai góc kề bù) nên ECD AEFD 180o , do đó tứ giác CEFD là tứ giác nội tiếp. Vận dụng thấp. Câu 7: A a) Tứ giác ACBD có hai đường chéo AB và CD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, D O suy ra là hình chữ nhật. C b) Tứ giác là hình chữ nhật suy ra E B F CAD BCE 900 (1). 1 1 Lại có CBE sđ BC (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung); ACD sđ AD (góc nội 2 2 tiếp), mà BC AD (do BC AD ) CBE ACD (2). Từ (1) và (2) suy ra ACD CBE . c) Vì là hình chữ nhật nên CB song song với AF , suy ra: CBE DFE (3). Từ (2) và (3) suy ra ACD DFE do đó tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn. Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 13
14. Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 Câu 8: a) Ta có BAC 90o (vì góc nội tiếpchắn nửa đường tròn) o Tương tự có BDH CEH 90 A o Xét tứ giác ADHE có A ADH AEH 90 E hay là hình chữ nhật. D Từ đó DE AH mà AH2 = BH. CH (Hệ thức B C lượng trong tam giác vuông) O1 H O O2 hay AH22 10.40 20 BH 10; CH 2.25 10 40 DE 20 b) Ta có:BAH = C (góc có cạnh tương ứng vuông góc) mà DAH ADE (1) (Vì là hình chữ nhật) => C ADE do C BDE 180o nên tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn. Câu 9: X E C D F A O B thật vậy. ABD BFD (1) (cùng phụ với DBF ) Mặt khác ABCD,,, cùng nằm trên một đường tròn nên ECD ABD (2) Từ (1) và (2) ECD BFD ECD EFD 180o hay CEFD là tứ giác nội tiếp Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 14
15. Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 Vận dụng cao. Câu 10: A Theo giả thiết ta có: B1 = B 2 , B 3 = B 4 Mà 0 0 B1 + B 2 + B 3 + B 4 = 180 B23 B 90 I 1 0 H 1 Tương tự C + C = 90 B 2 2 C 23 3 4 3 4 Xét tứ giác BICK có B + C = 1800 bốn O điểm BICK, , , thuộc đường tròn tâm O đường kính IK . Câu 11: K Từ giả thiết suy ra CFH = 9000 , HEB = 90 . (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Trong tứ giác AFHE có: A=F=E= 90o AFHE là hình chữ nhật 2) Vì là hình chữ nhật nội tiếp AFE = AHE (góc nội tiếp chắn AE ) (1) Ta lại có AHE = ABH (góc có cạnh tương ứng  ) (2) Từ (1) và (2) AFE = ABH mà CFE + AFE = 1800 CFE + ABH = 1800 . D Vậy tứ giác BEFC nội tiếp. M Câu 12: I 0 1) Ta có: AMB 90 (góc nội tiếp chắn nửa K đường tròn) AMD 900 . Tứ giác ACMD B có AMD ACD 900 , suy ra nội E A C O tiếp đường tròn đường kính AD . 2) ABD và MBC có: B chung và BAD BMC (do là tứ giác nội tiếp). Suy ra: ABD ~ MBC (g – g) 3) Lấy E đối xứng với B qua C thì cố định và EDC BDC, lại có: BDC CAK (cùng phụ với ), suy ra: EDC CAK . Do đó AKDE là tứ giác nội tiếp. Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 15
16. Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 B. Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm. Nhận biết: Câu 13: A B D C I IC AB Gọi I là trung điểm CD , ta có ICBA là hình hành BC AI (1) IC// AB Tương tự AD BI (2) ABCD là hình thang có CD 600 nên ABCD là hình thang cân(3); mà Từ (1), (2), (3) ta có hai tam giác ICB; IAD đều hay IA IB IC ID hay bốn điểm ABCD,,, cùng thuộc một đường tròn. Câu 14: A M B S O N D R C Do ABCD là hình thoi nên O là trung điểm của AC,BD ; AC,BD là phân giác góc ABCD,,, nên MAO SAO NCO PDO OM ON OP OS hay bốn điểm MNR, , và S cùng thuộc một đường tròn. Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 16
17. Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 Câu 15: A H K C B I Gọi I là trung điểm CB , do CHB; CKB vuông tại HK, nên IC IB IK IH hay BKHC , , , cùng nằm trên một đường tròn tâm I . Thông hiểu: C E Câu 16: F 0 Tứ giác BEFI có: BIF 90 (gt) A B I O BEF BEA 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy ra tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính D BF A Câu 17: K I M H C 0 B a) Ta có: AIM AKM 90 (gt), suy ra tứ giác AIMK nội P tiếp đường tròn đường kính AM. O b) Tứ giác CPMK có MPC MKC 900 (gt). Do đó CPMK là tứ giác nội tiếp Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 17
18. Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 Câu 18: 0 N a)Tứ giác BIEM : IBM IEM 90 (gt);hay tứ giác K nội tiếp đường tròn đường kính IM . b) Tứ giác nội tiếp suy ra: IME IBE 450 M B (do ABCD là hình vuông). C c) EBI và ECM có BE CE , BEI CEM( do I IEM BEC 900 ) E EBI = ECM (g-c-g) MC IB MB IA Vì CN/ / BA nên theo định lí Thalet, ta có: MA MB IA = . Suy ra IM song song với BN A D MN MC IB (định lí Thalet đảo) BKE IME 450 (2). Lại có BCE 450 (do ABCD là hình vuông). Suy ra BKE BCE BKCE là tứ giác nội tiếp. Vận dụng thấp: Câu 19: x N C M D I E A H O B Vì MA, MC là tiếp tuyến nên: MAO MCO 900 AMCO là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MO. ADB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ADM 900 (1) Lại có: OA OC R ; MA MC (tính chất tiếp tuyến). Suy ra OM là đường trung trực của AC AEM 90 0 (2). Từ (1) và (2) suy ra AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MA. Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 18
19. Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 Câu 20: F E N d A I M / O O D C K B a) ABC và ABD lần lượt là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn O và (O ) ABC ABD 900 Suy ra CBD, , thẳng hàng. b) Xét tứ giác CDEF có: CFD CFA 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) CED AED 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O/) CFD CED 900 suy ra là tứ giác nội tiếp. Câu 21: I E D A O O' C B F Q H P Ta có: ABC 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ABF 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên B , C , F thẳng hàng. AB , CE và DF là 3 đường cao của tam giác ACF nên chúng đồng quy. 2. Do IEF IBF 900 suy ra BEIF nội tiếp đường tròn. Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 19
20. Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 Vận dụng cao: Câu 22: x y D C N I K A M O B a)Ta có tứ giác ACNM có: MNC 900 (gt) MAC 900 ( tínhchất tiếp tuyến). là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MC . Tương tự tứ giác BDNM nội tiếp đường tròn đường kính. MD b) ANB và CMD có: ABN CDM (do tứ giác nội tiếp) BAN DCM (do tứ giác nội tiếp ) nên ANB CMD (g.g) c) CMD ANB 90o (do ANB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn O ) Suy ra IMK INK 900 IMKN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính IK C. Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại hai góc bằng nhau”. Nhận biết: Câu 23: A DA DC Ta có DA DP DB DC mà DB DP 1 2 ADB CDP nên hai tam giác ADB, CDP đồng dạng. Suy ra, DAB DCP Tứ giác ABPC nội tiếp. F 1 1 E C B 1 K D H 1 P Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 20
21. Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 Câu 24: A K I M H C B P O Ta có: AIM AKM 900 (gt), suy ra tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn đường kính AM . Câu 25: x y D C N I K A M O B Tứ giác ACNM có: MNC 90o (gt) MAC 90o ( tínhchất tiếp tuyến). là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MC . Tương tự tứ giác BDNM nội tiếp đường tròn đường kính MD . Thông hiểu: Câu 26: a) Ta có: (gt), suy ra tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính . b) Tứ giác CPMK có MPC MKC 900 (gt). Do đó là tứ giác nội tiếp MPK MCK (1). Vì KC là tiếp tuyến của O nên ta có: MCK MBC (cùng chắn MC) (2). Từ (1) và (2) suy ra MPK MBC (3) Chứng minh tương tự câu b ta có BPMI là tứ giác nội tiếp. Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 21
22. Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 Câu 27: Vì AB CD nên AC AD. Suy ra MHB MKB (vì cùng bằng 1 (sdAD sdMB) tứ giác BMHK nội 2 tiếp được đường tròn. Câu 28: x y a) Tứ giác ACNM có: MNC 90o (gt) D o MAC 90 ( tínhchất tiếp tuyến). C N là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MC . Tương tự tứ giác BDNM nội tiếp I K đường tròn đường kính MD . A M O B b) ∆ANB và ∆CMD có: ABN CDM (do tứ giác nội tiếp) BAN DCM (do tứ giác nội tiếp) ANB CMD (g.g) c) CMD ANB 90o (do ANB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)). Suy ra IMK INK 90o IMKN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính IK Vận dụng thấp: N Câu 29: K a)Tứ giác BIEM : IBM IEM 900 (gt);hay tứ giác M nội tiếp đường tròn đường kính IM . B C 0 b) Tứ giác nội tiếp suy ra: IME IBE 45 I (do ABCD là hình vuông). E c) EBI và ECM có BE CE , BEI CEM( do IEM BEC 900 ) A D EBI = ECM (g-c-g) MC IB MB IA Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 22
23. Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 MA MB IA Vì CN/ / BA nên theo định lí Thalet, ta có: = . Suy ra IM// BN (định MN MC IB lí Thalet đảo) BKE IME 450 (2). Lại có BCE 450 (do ABCD là hình vuông). Suy ra BKE BCE BKCE là tứ giác nội tiếp. Câu 30: a 1 1 1) CDE Sđ DC Sđ BD = BCD DE// BC 2 2 1 o 2) APC sđ (AC - DC) = AQC 2 b c PACQ nội tiếp đường tròn (vì APC = AQC) d e p q Câu 31: Ta có: BAH BCA (cùng phụ với ABC ) MCA MAC (Tam giác MAC cân tại M theo tính chất trung tuyến trong tam giác vuông) Suy ra BAH MAC b) Giả sử tam giác ABC không phải là tam giác vuông. Kẻ đường cao CN của tam giác B H Ta có MAC BAH (giả thiết) M BAH BCN (cùng phụ với ) N MCN MNC (Tam giác MNC cân tại N ) A C Suy ra MAC MNC . Do đó ACMN là tứ giác nội tiếp mà ANC 9000 AMC 90  H M Suy ra tam giác cân (mâu thuẫn giả thiết) Vậy khi thì tam giác là tam giác vuông Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 23
24. Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 Vận dụng cao: Câu 32: 1) Tứ giác ABEH có: B = 90o (góc nội tiếp trong C nửa đường tròn); H = 90o (giả thiết) B nên tứ giác nội tiếp được. E I o Tương tự, tứ giác DCEH có C = H = 90 , nên D A H O nội tiếp được. 2) Trong tứ giác nội tiếp , ta có: EBH = EAH (cùng chắn cung EH ) Trong O ta có: EAH = CAD = CBD (cùng chắn cung CD ). Suy ra: EBH = EBC , nên BE là tia phân giác của góc HBC. Tương tự, ta có: ECH = BDA = BCE , nên CE là tia phân giác của góc BCH . Vậy E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH . 3) Ta có I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ECD , nên BIC = 2EDC (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung EC ). Mà EDC = EHC , suy ra BIC = BHC + Trong O , BOC = 2BDC = BHC (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BC ). Hay năm điểm BCIOH, , , , cùng thuộc một đường tròn. N Câu 33: K a) Tứ giác BIEM có: IBM IEM 900 (gt); suy ra tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính IM. M B C b) Tứ giác nội tiếp suy ra: IME IBE 450 (do ABCD là hình vuông). I c) EBI và ECM có: IBE MCE 450 , BE CE E , BEI CEM( do IEM BEC 900 ) A D Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 24
25. Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 EBI ECM g c g MC IB MB IA. Vì CN// BA nên theo định lí MA MB IA Thalet, ta có: = . Suy ra MI// BN (định lí Thalet đảo) MN MC IB BKE IME 450 (2). Lại có BCE 450 (do ABCD là hình vuông). Suy ra BKE BCE BKCE là tứ giác nội tiếp. Suy ra: BKC BEC 1800 mà BEC 900 ; suy ra BKC 900 ; hay CK  BN . Câu 34: A K D P E H O C B Do EDP,, nhìn BC dưới một góc vuông nên BEDPC,,,, nằm trên một đường tròn đường kính . Nên BECD , EDPC là tứ giác nội tiếp. Phương pháp 4 ta có thể chứng minh bằng cách đưa về phương pháp 1. Phương pháp 5 ta chỉ ra tam giác đồng dạng rồi đưa về chứng minh như phương pháp 3. Tài liệu ở đây chỉ tập trung vào 3 phương pháp hay gặp trong đề tuyển sinh THPT Chúc các em học tốt! Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 25