Đề thi học sinh giỏi huyện vòng 2 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi huyện vòng 2 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. BỘ 50 ĐỀ THI TOÁN GỌI: 0853351198 PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 - VÒNG 2 HUYỆN NĂM HỌC: 2017 - 2018 MÔN: TOÁN Đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (6,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính phương. b) Cho các số thực x, y thoả mãn: x > 8y > 0. 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y x 8 y Câu 2: (7,5 điểm) 1 1 1 a) Cho ba số a, b, c thỏa mãn: > 0 và ab + bc + ca > 0. chứng ab bc ac minh cả ba số trên đều cùng âm hoặc đều cùng dương. b) Giải hệ phương trình: c) Giải phương trình: x2 4x 5 2 2x 3 Câu 3: (5,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Qua A và B theo thứ tự đó vẽ các đường thẳng d và d' song song với nhau. Tiếp tuyến tại M (M khác A và B) của đường tròn cắt d và d' theo thứ tự ở E và F. a) Chứng minh: AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính EF. b) Nếu đường thẳng d vuông góc với AB, gọi N là điểm đối xứng với điểm M qua AB, gọi I là giao điểm của AF và BE. Chứng minh ba điểm M, I, N thẳng hàng. Câu 4: (1,5 điểm) Cho tam giác đều ABC, cạnh có độ dài là 1. Đánh dấu 5 điểm bất kỳ trong tam giác ABC. Chứng minh rằng: ắt tồn tại ít nhất là 2 điểm trong số đó mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 0,5. (Giám thi coi thi không giải thích gì thêm) Số báo danh Họ và tên
2. ĐÁP ÁN MÔN TOÁN 9 - VÒNG 2 KỲ THI HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2017 - 2018 Câu Ý Nội dung Điểm +) Ta có: 10 n 99 21 2n 1 199 . 1,0 đ +) Tìm số chính phương lẻ trong khoảng này ta được 2n + 1 a bằng 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n bằng 12; 24; 40; 1,0 đ 3,0đ 60; 84. +) Tương ứng Suy ra 3n + 1 bằng: 37; 73; 121; 181; 253. Chỉ có 121 là số chính phương. Vậy n = 40 1,0 đ Câu 1 1 5,0 +) Từ x > 8y > 0 suy ra: x - 8y; 8y và là các số dương. y x 8y 1,0 đ điểm +) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có: 1 1 3 P (x 8y) 8y 33 (x 8y).8y. 3 8 6 y x 8y y x 8y 1,0 đ b x 16y 3,0đ 1 Dấu “ = ” xảy ra khi: x - 8y= 8y = 8y2 x 8y 1 y x 8y x 4 1 1 y . Vậy Min P = 6 khi x = 4, y = 1,0 đ 4 4 1 1 1 +) Từ > 0 nên: abc (a + b + c) > 0 ab bc ac 0,5 đ +) TH1: Nếu abc > 0 suy ra (a + b + c) > 0 a mà ab + bc + ca > 0 nên ba số a, b, c đều dương. 2,5 đ - Thật vậy nếu giả sử a 0 suy ra Câu 2 b + c < 0 suy ra a + b + c < 0 mâu thuẫn. 1,0 đ +) TH2: Tương tự có ba số a, b, c đều âm. 1,0 đ 6,0 +) ĐK: x 0, y 0 0,5 đ điểm +) x = 0, y = 0 không phải là nghiệm của PT. 0,5 đ + Từ hệ PT ta có: (x 2 3 - y 2 3 ) + 3 (x y ) = 0 b x 2 y 2 3(x y) 2,5 đ = 0 0,5 đ x 2 3 y 2 3 x y + Từ đó : x = y. 0,5 đ + Tìm được nghiệm của hệ : (1 ; 1) 0,5 đ
3. +) Giải phương trình x2 4x 5 2 2x 3 (1) 3 +) ĐK: x 2 0,5 đ +) (1) x 2 2 2 2x 3 1 Đặt x + 2 = a; 2x 3 b 0 c Ta có: a2 - 2b = - 1; b2 - 2a = - 1 2,5 đ a2 - 2b - b2 + 2a = 0 a b 0 (a – b) (a + b + 2) = 0 a b 2 0 1,0 đ +) a - b = 0 x = - 1 ( tm đk) +) a + b + 2 = 0 vô nghiệm Vậy nghiệm của phương trình là x = - 1 1,0 đ Câu 3 a 6,0 2,0 đ điểm d d’ 0,5 đ +) Lấy K trung điểm EF. Vẽ KG vuông góc AB tại G (1). 0,5 đ +) ABFE là hình thang, OK đường trung bình suy ra OK // AE suy ra tam giác AKO và tam giác EKO có diện tích bằng nhau. Từ đó ta có: KG = KE. 1,5 đ + Từ (1) và (2) suy ra đpcm. 0,5 đ
4. b 2,0 đ 0,5 đ +) AM = EM, BF = MF (T/c hai tiếp tuyến cắt nhau) 0,5 đ +) AE/BF = AI/IF do đó AI/IF = EM/MF suy ra MI // AE (Talet đảo). Mà AE vuông góc AB nên MI vuông góc AB (3) +) Từ giả thiết MN vuông góc AB (4) 0,5 đ +) Từ (3) và (4) có đpcm. 0,5 đ +) Các đường trung bình chia tam giác đều ABC thành 4 tam giác đều có cạnh 0,5. 0,5 đ +) Theo nguyên lý Dirichlet ắt tồn tại ít nhất 2 điểm rơi vào 0,5 đ Câu 4 cùng 1 tam giác nhỏ. 1,5 +) Khoảng cách giữa 2 điểm này nhỏ hơn 0,5 0,5 đ điểm Lưu ý: - Học sinh làm cách khác nếu đúng thì vẫn cho điểm tối đa. - Đối với câu 3, vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.