Chuyên đề Toán 9 - Chủ đề 1: Các bài toán rút gọn căn thức

Nội dung text: Chuyên đề Toán 9 - Chủ đề 1: Các bài toán rút gọn căn thức

1. 1 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 CÁC BÀI TOÁN Chủ đề 1 RÚT GỌN CĂN THỨC A. CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN CĂN THỨC  Dạng 1: Biểu thức dưới dấu căn là một số thực dương. 3  Dạng 2: Áp dụng hằng đẳng thức A2 A 3  Dạng 3: Biểu thức dưới dấu căn đưa được về hằng đẳng thức A2 A 4  Dạng 4: Rút gọn tổng hợp (sử dụng trục căn thức, hằng đẳng thức, phân tích thành nhân tử; ) 6  Dạng 5. Bài toán chứa ẩn (ẩn x) dưới dấu căn và những ý toán phụ. 10  Bài tập tự luyện: 25  CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI CĂN THỨC 2 A nÕu A 0 1. A A A nÕu A < 0 2. AB A. B (Với A 0; B 0 ) A A 3. (Với A 0; B 0 ) B B 4. A2 B A B (Với B 0 ) 5. A B A2 B (Với A 0; B 0 ) 6. A B A2 B (Với A 0; B 0 ) A 1 AB (Với A 0; B 0 ) 7. B B A A B 8. (Với B 0 ) B B ÔN THI VÀO 10 2021-2022
2. 2 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 C C A B 2 9 (Với A 0;A B ) A B A B 2 C C A B 10 (Với A 0; B 0;A B ) A B A B 3 11 3 A 3 A3 A  CÁCH TÌM ĐKXĐ CỦA MỘT BIỂU THỨC TRONG BÀI TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC - ĐKXĐ: VÍ DỤ 1. A ĐKXĐ: A 0 Ví dụ: x 2018 ĐKXĐ: x 2018 A x 4 2. ĐKXĐ: B 0 Ví dụ: ĐKXĐ: x 7 B x 7 A x 1 3. ĐKXĐ: B 0 Ví dụ: ĐKXĐ: x 3 B x 3 A x x 0 4. ĐKXĐ: A 0; B 0 Ví dụ: ĐKXĐ: x 3 B x 3 x 3 A 0 x 1 0 A B 0 x 1 x 2 0 x 2 5. ĐKXĐ: Ví dụ: ĐKXĐ: B A 0 x 2 x 1 0 x 1 B 0 x 2 0 Cho a > 0 ta có: 2 x a 6. 2 x a Ví dụ: x 1 x a x a x a Cho a > 0 ta có: 2 7. Ví dụ: x 4 2 x 2 x2 a a x a ÔN THI VÀO 10 2021-2022
3. 3 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9  Dạng 1: Biểu thức dưới dấu căn là một số thực dương. Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau: M 45 245 80 N 5 8 50 2 18 P 125 4 45 3 20 80 A 12 27 48 B 2 3 3 27 300 C (2 3 5 27 4 12) : 3 Hướng dẫn giải M 45 245 42.5 N 5 8 50 2 18 P 5 5 12 5 6 5 4 5 32.5 72 5 42.5 5.2 2 5 2 2.3 2 5 5 3 5 7 5 4 5 6 5 10 2 5 2 6 2 (10 5 6) 2 9 2 A 12 27 48 B 2 3 3 27 300 C (2 3 5 27 4 12) : 3 2 3 3 3 4 3 2 3 3 32.3 102.3 (2 3 5.3 3 4.2 3) : 3 3 2 3 3.3. 3 10 3 5 3 : 3 5 3 Nhận xét: Đây là một dạng toán dễ. Học sinh có thể bấm máy tính để giải, đa phần áp dụng kiến thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn để giải toán. A2 B A B (B 0 ) Tự luyện: A 3 50 5 18 3 8 . 2 B 2 32 5 27 4 8 3 75 C 20 45 2 5  Dạng 2: Áp dụng hằng đẳng thức A2 A Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau: 2 2 2 2 2 2 a) 3 2 2 3 2 2 b) 5 2 6 5 2 6 c) 2 3 1 3 2 2 2 2 2 2 d) 3 2 1 2 e) 5 2 5 2 f) 2 1 2 5 Giải mẫu: 2 2 a) 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 6 2 A nÕu A 0 Lưu ý: Điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: A A A nÕu A 0 Kết quả: b) 4 6 c) 1 d) 4 e) 2 5 f) 2 2 4 ÔN THI VÀO 10 2021-2022
4. 4 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9  Dạng 3: Biểu thức dưới dấu căn đưa được về hằng đẳng thức A2 A Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức A 4 2 3 7 4 3 . Hướng dẫn giải A 3 2 3 1 4 4 3 3 2 2 3 1 2 3 3 1 2 3 3 1 2 3 3 . Nhận xét: Các biểu thức 4 2 3 ; 7 4 3 đều có dạng m p n trong đó với a2 b2 m p n 2ab . Những biểu thức như vậy đều viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức. Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức B 5 2 6 5 2 6 . Hướng dẫn giải Cách 1: B 5 2 6 5 2 6 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 . Cách 2: B 5 2 6 5 2 6 Ta có: B2 5 2 6 5 2 6 2 5 2 6 5 2 6 10 2 1 8 Vì B 0 nên B 8 2 2 . Nhận xét: Các biểu thức 5 2 6 và 5 2 6 là hai biểu thức liên hợp. Gặp những biểu 2 thức như vậy, để tính B ta có thể tính B trước rồi sau đó suy ra B. ÔN THI VÀO 10 2021-2022
5. 5 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 Bài 1: Rút gọn a) A 6 2 5 b) B 4 12 c) C 19 8 3 d) D 5 2 6 Hướng dẫn giải 2 a) A 6 2 5 5 1 5 1 5 1 2 b) B 4 12 4 2 3 3 1 3 1 2 c) C 19 8 3 4 3 4 3 4 3 2 d) D 5 2 6 3 2 3 2 3 2 Bài 2: Rút gọn a) A 4 2 3 b) B 8 2 15 c) C 9 4 5 d) D 7 13 7 13 1 e) E 6 2 5 6 2 5 f) F 7 2 10 20 8 2 Hướng dẫn giải 2 a) A 4 2 3 3 1 3 1 2 b) B 8 2 15 15 1 15 1 2 c) C 9 4 5 2 5 5 2 1 d) D 7 13 7 13 14 2 13 14 2 13 2 1 2 2 13 1 13 1 2 2 e) E 6 2 5 6 2 5 5 2 5 1 5 2 5 1 ( 5 1)2 ( 5 1)2 | 5 1| | 5 1| 5 1 5 1 2 ÔN THI VÀO 10 2021-2022
6. 6 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 1 2 1 f) F 7 2 10 20 8 5 2 2 5 .2 2 2 2 5 2 2 5 2 5 2 2 5 2 3 5 Bài 3: Rút gọn (Bài tự luyện) a) 5 2 6 5 2 6 b) 7 2 10 7 2 10 c) 4 2 3 4 2 3 d) 24 8 5 9 4 5 e) 17 12 2 9 4 2 f) 6 4 2 22 12 2 g) 2 3 2 3 h) 21 12 3 3 i) 5 3 29 12 5 j) 13 30 2 9 4 2 k) 5 13 4 3 3 13 4 3 l) 1 3 13 4 3 1 3 13 4 3  Dạng 4: Rút gọn tổng hợp (sử dụng trục căn thức, hằng đẳng thức, phân tích thành nhân tử; ) Bài 1: Rút gọn: 6 2 5 5 2 6 3 4 1 A B 5 1 3 2 5 2 6 2 6 5 1 1 1 1 1 C D 7 4 3 1 2 2 3 3 4 99 100 2 3 3 3 4 3 4 1 2 2 E F 2 3 1 5 2 3 2 3 6 3 3 Hướng dẫn giải 6 2 5 5 2 6 5 1 3 2 a) A 2 5 1 3 2 5 1 3 2 3 4 1 3 5 2 4 6 2 b) B 6 5 5 2 6 2 6 5 3 4 5 2 6 2 6 5 2 6 1 1 1 1 c) C 1 2 2 3 3 4 99 100 2 1 3 2 4 3 100 99 9 ÔN THI VÀO 10 2021-2022
7. 7 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 1 1 1 d) D 7 4 3 4 4 3 3 (2 3)2 2 3 2 3 2 3 1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 4 2 3 (2 3)(2 3) 1 3 3 4 3 4 3 3 4 2 3 1 3 4 5 2 3 e) E 2 2 2 3 1 5 2 3 2 3 1 52 2 3 22 11 3 26 13 3 2 3 2 3 11 13 4 2 3 4 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 2 2 1 1 3 1 3 1 .( 2) 2 2 2 1 2 2 1 1 2 f) F 2 3 6 3 3 2 3 3 3 3 1 3 3 1 2 3 3 1 2 2 3 3 3 1 2 3 2 3 4 2 3 2 2. 3 3 1 3 3 1 2 3 3 3 1 2 3 3 3 1 3 1 2 3 3 1 3 3 1 3 3 3 1 3 3 1 3 3 3 Bài 2: Rút gọn A ( 3 4) 19 8 3 7 4 3 B ( 5 2)( 5 2) 3 2 7 5 7 5 4 4 C 3 2 2 D 2 2 7 2 11 2 5 2 5 8 15 3 1 3 1 E F 30 2 3 1 3 1 ÔN THI VÀO 10 2021-2022
8. 8 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 Hướng dẫn giải 2 a) A ( 3 4) 19 8 3 3 4 4 3 3 4 4 3 16 3 13 (2 3)2 2 3 b) B ( 5)2 22 5 4 1 ( 1) 2 3 2 3 2 7 5 7 5 c) B 3 2 2 7 2 11 2 7 5 7 5 14 2 44 7 5 7 5 Ta có 2 2 7 2 11 7 2 11 7 2 11 2 B 2 3 2 2 2 2 1 2 2 1 1 4 4 22 22 d) D 2 2 2 2 2 5 2 5 2 5 2 5 2 2 2 2 2 5 2 2 5 2 2 5 4 2 5 4 8 2 5 2 5 5 2 5 2 5 2 5 2 5 4 8 15 1 16 2 15 1 15 1 1 e) E . . 30 2 15 1 4 15 1 2 2 2 2 3 1 3 1 3 1 3 1 4 2 3 4 2 3 f) F 4 3 1 3 1 3 1 2 Bài 3: Rút gọn - Bài tập tự luyện 7 5 6 2 7 6 5 2 2 5 a) b) 2 4 7 2 4 7 6 2 6 2 6 1 1 6 2 5 1 c) d) : 3 2 5 3 2 5 1 3 5 5 2 1 1 1 5 1 2 3 3 13 48 e) f) 3 3 2 3 12 6 6 2 ÔN THI VÀO 10 2021-2022
9. 9 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 Bài 4: Rút gọn – Bài tập tự luyện 1 1 1 1 1) A 2) B 5 2 6 5 2 6 3 2 3 2 3 2 3 15 12 1 3) C 4) D 3 3 1 5 2 2 3 3 5 5 3 5 2 5 3 3 5) E 6) F 5 3 3 5 5 3 5 3 15 3 4 4 7) G 6 2 5 8) H 2 2 3 2 5 2 5 10 2 2 2 2 2 2 2 9) I 10) J 1 . 1 5 1 2 1 1 2 1 2 2 2 6 2 1 11) K 12) L 3 : 2 5 2 5 1 3 2 3 3 2 2 3 1 6 1 13) M : 14) N 3 2 6 1 7 7 3 2 2 3 2 2 1 2 2 15) O 16) P 3 2 1 2 2 3 1 2 1 2 6 2 5 2 2 17) Q . 5 2 18) R 1 3 5 7 4 3 7 4 3 1 2 1 4 15 13 19) S : 20) T 2 5 5 3 21 12 3 1 3 1 5 2 2 2 2 21) U 22) V 5 1 3 5 3 1 6 3 3 5 3 5 3 2 23) W= 24) Y 3 5 3 3 5 3 2 2 3 5 Kinh nghiệm: Đôi khi một số bài toán rút gọn căn thức sẽ thực hiện dễ dàng hơn nếu chúng ta trục căn thức hoặc rút gọn được một hạng tử trong đề toán. Nếu quy đồng mẫu số thì việc thực hiện các phép tính rất phức tạp. Vì vậy trước khi làm bài toán rút gọn, học sinh cần quan sát kỹ đề toán từ đó có định hướng giải đúng đắn để lời giải được ngắn gọn, chính xác. ÔN THI VÀO 10 2021-2022
10. 10 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9  Dạng 5. Bài toán chứa ẩn (ẩn x) dưới dấu căn và những ý toán phụ.  Rút gọn. Bước 1: Tìm điều kiện xác định. Bước 2: Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích tử thành nhân tử. Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu. Bước 4: Khi nào phân thức tối giản thì ta hoàn thành việc rút gọn. 3 x 2 2 x 3 3 3 x 5 Bài 1: Cho biểu thức P . x 1 3 x x 2 x 3 a) Rút gọn P; b) Tìm giá trị của P, biết x 4 2 3 ; c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Hướng dẫn giải ĐKXĐ: x 0; x 9 . 3 x 2 2 x 3 3 3 x 5 a) P x 1 x 3 x 1 x 3 3 x 2 x 3 2 x 3 x 1 3 3 x 5 x 1 x 3 3x 9 x 2 x 6 2x 2 x 3 x 3 9 x 15 x 1 x 3 5x 17 x 6 x 1 x 3 5x 15 x 2 x 6 x 1 x 3 5 x 2 x 3 5 x 2 . x 1 x 3 x 1 ÔN THI VÀO 10 2021-2022
11. 11 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 2 b) Ta có x 4 2 3 3 1 x 3 1 ; 5 3 1 2 5 3 3 5 3 3 2 3 Do đó: P 7 3 9 . 3 1 1 3 2 3 2 2 3 5 x 2 5 x 5 7 c) Ta có P x 1 x 1 7 P 5 x 1. 7 7 Vì 0 nên P có giá trị nhỏ nhất lớn nhất x 1 x 1 x 1 nhỏ nhất x 0 . Khi đó min P 5 7 2 . x 1 2 x 5 x 2 3 x x Bài 2: Cho biểu thức Q : x 2 x 2 4 x x 4 x 4 a) Rút gọn Q; b) Tìm x để Q 2 ; c) Tìm các giá trị của x để Q có giá trị âm. Hướng dẫn giải ĐKXĐ: x 0; x 4; x 9 . x 1 2 x 5 x 2 3 x x a) Q : x 2 x 2 4 x x 4 x 4 x 1 x 2 2 x x 2 5 x 2 x 3 x : 2 x 2 x 2 x 2 2 x 3 x 2 2x 4 x 5 x 2 x 2 . x 2 x 2 x 3 x 2 x 2 x x 2 . x 2 x 2 x 3 x 2 x x 2 x 2 x 2 . x 2 x 2 x 3 x x 3 ÔN THI VÀO 10 2021-2022
12. 12 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 x 2 b) Q 2 2 x 3 x 2 2 x 6 x 8 x 8 x 64 .(Thỏa mãn ĐKXĐ). x 2 c) Q 0 0 x 3 x 3 0 (vì x 2 0 ) x 3 x 9 . Kết hợp với điều kiện xác định ta có Q 0 khi 0 x 9 và x 4 . a 3 a 2 Bài 3: Cho biểu thức B với a 0;a 9 a 3 a 3 a 9 a) Rút gọn B. b) Tìm các số nguyên a để B nhận giá trị nguyên Hướng dẫn giải a) Với a 0;a 9 ta có: a 3 a 2 a 3 a 2 B = a 3 a 3 a 9 a 3 a 3 ( a 3)( a 3) a( a 3) 3( a 3) a 2 ( a 3)( a 3) ( a 3)( a 3) ( a 3)( a 3) a 3 a 3 a 9 a 2 11 a 3)( a 3) a 9 11 b) Để B Z Z 11(a 9) (a 9) U (11) a 9 U (11) 1;11; 1; 11 Khi đó ta có bảng giá trị a 9 -11 -1 1 11 a -2 8 10 20 Không thoả mãn Thoả mãn Thoả mãn Thoả mãn Vậy a 8;10;20 thì B Z ÔN THI VÀO 10 2021-2022
13. 13 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 x 3 x 2 9 x 3 x 9 Bài 4: Cho biểu thức P : 1 2 x 3 x x x 6 x 9 (với x 0; x 4; x 9 ) a) Rút gọn biểu thức P. 4 2 3.( 3 1) b) Tính giá trị biểu thức P khi x 6 2 5 5 Hướng dẫn giải x 9 4 x 9 x x 9 3 x 9 a) P : 2 x 3 x x 9 4 x x 3 x 3 2 x : 2 x 3 x x x 3 x 2 3 1 3 1 3 1 3 1 b) x 2 2 1 5 5 1 5 5 2 2 Nên P 2 1 2 2 x x 1 2 x 1 Bài 5: Với x > 0, cho hai biểu thức A và B x x x x a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64. b) Rút gọn biểu thức B. A 3 c) Tìm x để B 2 Hướng dẫn giải 2 64 2 8 5 a) Với x = 64 ta có A 64 8 4 ( x 1)(x x) (2 x 1) x x x 2x 1 x 2 b) B 1 x(x x) x x x x 1 x 1 A 3 2 x 2 x 3 x 1 3 c) Với x > 0 ta có: : B 2 x x 1 2 x 2 2 x 2 3 x x 2 0 x 4 (Do x>0) ÔN THI VÀO 10 2021-2022
14. 14 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 x 4 3 x 1 2 Bài 6: Cho hai biểu thức A và B với x 0; x 1 x 1 x 2 x 3 x 3 a) Tính giá trị biểu thức A khi x 9 1 b) Chứng minh B x 1 A x c) Tìm tất cả các giá trị của x để 5 B 4 Hướng dẫn giải a) Do x = 9 thoả mãn điều kiện nên thay x = 9 vào A ta có 9 4 3 4 7 A . 9 1 3 1 2 3 x 1 2 b) B x 2 x 3 x 3 3 x 1 2 ( x 3)( x 1) x 3 3 x 1 2( x 1) ( x 3)( x 1) x 3 1 ( x 3)( x 1) x 1 A x x 4 1 x c) 5 : 5 B 4 x 1 x 1 4 2 4( x 4) x 20 x 4 x 4 0 x 2 0 x 2 0 x 4 A x x = 4 thoả mãn điều kiện. Vậy x = 4 thì 5 B 4 x 2 x x 1 1 2x 2 x Bài 7: Cho biểu thức A ( Với x 0, x 1 ) x x 1 x x x x x2 x a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị là số nguyên. ÔN THI VÀO 10 2021-2022
15. 15 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 Hướng dẫn giải x 2 a) A . x x 1 b) Cách 1: Với x 0, x 1 x x 1 x 1 1. x 2 x 2 1 Vậy 0 A 1 2. x x 1 x 1 x 1 x 2 Vì A nguyên nên A = 1 1 x 1 ( Không thỏa mãn). x x 1 Vậy không có giá trị nguyên nào của x để giả trị A là một số nguyên. Cách 2: Dùng miền giá trị x 2 A Ax+(A-1) x A 2 0 x x 1 Trường hợp 1: A 0 x 2 x  1 Trường hợp 2: A 0 (A 1)2 4A(A 2) 3A2 6A 1 0 A2 2A 0 3 4 4 A2 2A 1 (A 1)2 A 1;2doA Z, A 0 3 3 Với A = 1 => x = 1 ( loại) x 2 Với A = 2 2 x 0 ( loại). x x 1 1 x 1 1 x Bài 8: Cho biểu thức P 1 : , (với x 0 và x 1 ). x x x x a) Rút gọn biểu thức P . b) Tính giá trị của biểu thức P tại x 2022 4 2018 2022 4 2018 . Hướng dẫn giải 1 x 1 a) Ta có 1 x x x 1 1 x x 1 1 x x 1 x x 1 Và x x x x 1 x x 1 x x 1 ÔN THI VÀO 10 2021-2022
16. 16 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 x 1 x 1 x 1 nên P . . x x 1 x b) Có x 2022 4 2018 2022 4 2018 2 2 2018 2 2018 2 2018 2 2018 2 2018 2 2018 2 4 thỏa mãn điều kiện x 0 và x 1 . 4 1 3 + Vậy giá trị của biểu thức P tại x 4 là: . 4 2 6 10 2 a ( a 1)2 Bài 9: Cho biểu thức B . (với a 0; a 1 ). a 1 a a a a 1 4 a a) Rút gọn biểu thức B . b) Đặt C B.(a a 1) . So sánh C và 1. Hướng dẫn giải a) Với a 0; a 1 , ta có: 6 10 2 a ( a 1)2 B . a 1 (a 1)( a 1) 4 a 4 a 4 ( a 1)2 4( a 1) ( a 1)2 1 1 . . . Vậy B . (a 1)( a 1) 4 a ( a 1)( a 1)( a 1) 4 a a a a a 1 ( a 1)2 b) Với a 0; a 1 , ta có: C 1 1 0. Vậy C 1. a a x 1 x x Bài 10: Cho biểu thức A : , với x 0 . x 4 x 4 x 2 x x 2 a. Rút gọn biểu thức A . 1 b. Tìm tất cả các giá trị của x để A . 3 x Hướng dẫn giải ÔN THI VÀO 10 2021-2022
17. 17 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 x 1 x x x 1 x x A : : a) Ta có: 2 x 4 x 4 x 2 x x 2 ( x 2) x( x 2) x 2 x 1 x x x 1 x( x 1) 1 : : 2 2 ( x 2) x 2 x 2 ( x 2) x 2 x( x 2) 1 b) Với x 0 ta có A và x 0 ; x 2 0 . x( x 2) 1 1 1 Khi đó A x 2 3 x 1 x 1 3 x x x 2 3 x Suy ra: 0 x 1 . x x x x x 3 x 1 1 Bài 11: Cho biểu thức B . (với x 0; x 1 và x ). x x 1 1 x 2x x 1 4 Tìm tất cả các giá trị của x để B 0 . Hướng dẫn giải a) Ta có A 25 3 4.2 2 9.2 5 6 2 6 2 5 . Vậy A 5 . x x x 1 x 3 x 1 b) Ta có B . x 1 x x 1 x 1 2x x 1 x x 3 x 1 x 1 . x 1 x 1 2 x 1 x 1 2 x 3 x 1 2 x 3 . . x 1 2 x 1 2 x 1 1 Vì x 0 nên 2 x 3 0 , do đó B 0 khi 2 x 1 0 x . 4 1 1 Mà x 0; x 1 và x nên ta được kết quả 0 x . 4 4 1 1 x 2 Bài 12: Cho biểu thức V với x 0, x 0 . x 2 x 2 x ÔN THI VÀO 10 2021-2022
18. 18 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 a) Rút gọn biểu thức V . 1 b) Tìm giá trị của x để V . 3 Hướng dẫn giải 1 1 x 2 x 2 x 2 x 2 2 a) V x 2 x 2 x x 2 x 2 x x 2 1 2 1 b) V x 2 6 x 64 ( thỏa mãn) 3 x 2 3 x 2 3 20 2 x Bài 13: Cho hai biểu thức A và B với x 0, x 25 . x 5 x 5 x 25 1) Tính giá trị biểu thức A khi x 9 . 1 2) Chứng minh rằng B . x 5 3) Tìm tất cả các giá trị của x để A B. x 4 . Hướng dẫn giải 1) Tính giá trị biểu thức A khi x 9 . 9 2 3 2 5 Khi x 9 ta có A 9 5 3 5 2 1 2) Chứng minh rằng B . x 5 3 20 2 x 3 20 2 x Với x 0, x 25 thì B x 5 x 15 x 5 x 5 x 5 3 x 5 20 2 x 3 x 15 20 2 x x 5 1 (đpcm) x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 3) Tìm tất cả các giá trị của để A B. x 4 . Với x 0, x 25 Ta có: A B. x 4 x 2 1 . x 4 x 2 x 4 (*) x 5 x 5 ÔN THI VÀO 10 2021-2022
19. 19 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 Nếu x 4, x 25 thì (*) trở thành : x 2 x 4 x x 6 0 x 3 x 2 0 Do x 2 0 nên x 3 x 9 (thỏa mãn) Nếu 0 x 4 thì (*) trở thành : x 2 4 x x x 2 0 x 1 x 2 0 Do x 2 0 nên x 1 x 1 (thỏa mãn) Vậy có hai giá trị x 1 và x 9 thỏa mãn yêu cầu bài toán. x - x + x x + 6 x + 1 Bài 14: Cho biểu thức : P = + - , với x ³ 0,x ¹ 1 . x + 2 x + x - 2 x - 1 a) Rút gọn biểu thức P . x 27 .P b) Cho biểu thức Q , với x ³ 0,x ¹ 1,x ¹ 4 . Chứng minh Q 6. x 3 x 2 Hướng dẫn giải a) Ta có x x x x 6 x 1 P x 2 x x 2 x 1 x x 1 x x x 6 x 1 x 2 x 1 x 2 x x x x x 6 x 3 x 2 x 1 x 2 x x x 4 x 4 x 1 x 4 x 2 . x 1 x 2 x 1 x 2 b) Với x 0, x 1, x 4 , ta có ÔN THI VÀO 10 2021-2022
20. 20 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 x 27 .P x 27 x 9 36 Q x 3 x 2 x 3 x 3 36 36 x 3 6 x 3 6 12 6 . (co-si) x 3 x 3 36 2 Dấu “=” xẩy ra khi x 3 x 3 36 x 9 . x 3 1 a 1 a 1 1 Bài 15: Cho biểu thức P 1 với 0 < a < 1. 2 2 1 a 1 a 1 a 1 a a a Chứng minh rằng P = –1 Hướng dẫn giải Với 0 < a < 1 ta có: 2 1 a 2 1 a 1 a 1 P 2 2 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a a a 2 1 a 1 a (1 a)(1 a) 1 2 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a a a 1 a 1 a 1 a. 1 a 1 2 1 a 1 a 1 a 1 a a a 1 a 1 a 2 1 a. 1 a (1 a) (1 a) . 1 a 1 a 2a 2 1 a 1 a 1 a 1 a . 1 a 1 a 2a 1 a 1 a 1 a 1 a 2a 1 a 1 a 2a 1 2a 2a ÔN THI VÀO 10 2021-2022
21. 21 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 x 1 Bài 16: 1) Tính giá trị biểu thức : A khi x = 9. x 1 x 2 1 x 1 2) Cho biểu thức P . với x > 0; x 1 . x 2 x x 2 x 1 x 1 a) Chứng minh P . x b) Tìm giá trị của x để 2P = 2 x 5 . Hướng dẫn giải 3 1 4 1. Với x = 9 thì x 9 3 A 2 3 1 2 x 1 2) a) Chứng minh P . x - Với x > 0; x 1 ta có x 2 x x 1 P . x( x 2) x( x 2) x 1 x x 2 x 1 P . x( x 2) x 1 ( x 1)( x 2) x 1 x 1 P . = x( x 2) x 1 x x 1 - Vậy với x > 0; x 1ta có P . x x 1 b) - Với x > 0; x 1 ta có: P x 2 x 1 - Để 2P = 2 x 5 nên 2 x 5 x - Đưa về được phương trình 2x 3 x 2 0 x 2 (lo¹i) 1 - Tính được 1 x thỏa mãn điều kiện x > 0; x 1 x 4 2 ÔN THI VÀO 10 2021-2022
22. 22 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 1 Vậy với x thì 2P = 2 x 5 4 x x x 1 Bài 17: Cho hai biểu thức A =9 4 5 5 và B = (x>0, x 1) x x 1 a) Rút gọn biểu thức A và B. b) Tìm giá trị của x để 3A B 0 . Hướng dẫn giải a) Ta có: A = 9 4 5 5 ( 5 2) 2 5 5 2 5 5 2 5 2 (vì 5 2 ) x x x 1 x.( x 1) ( x 1).( x 1) B = x x 1 x x 1 x 1 x 1 2 x b) 3A + B = 0 6 2 x 0 với x 0, x 1 2 x 6 x 3 x 9 ( thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy với x = 9 thì 3A + B = 0 Bài 18: Cho biểu thức A = 2 3 5 27 4 12 : 3 (2 3) 2 3 B = 2 3 a) Rút gọn biểu thức A và B b) Tìm x biết B - 32x- 7 = A Hướng dẫn giải a) A = 2 3 5 27 4 12 : 3 = 2 3 15 3 8 3 : 3 = 5 3 : 3 = -5 ÔN THI VÀO 10 2021-2022
23. 23 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 2 2 3 2 3 (2 3) 2 3 B 2 3. 2 3 2 3 (2 3) 2 3 . 2 3 4 3 1 7 b) B - 32x- 7 = A (ĐK: x ³ ) 2 1 - 32x- 7 = - 5 2x- 7 = 2 2x - 7 = 4 x 5,5 (TMĐK) 15 2 x 2x x Bài 19: Cho x ; A . với x > 0, x 1 6 1 6 2 x 1 x x a) Tính giá trị của x và rút gọn A b) Tính giá trị biểu thức B = ( A + 1)(3 2 ) với giá trị của x tính được ở phần a. Hướng dẫn giải 15( 6 1) 2( 6 2) a) x 3( 6 1) ( 6 2) 5 2 6 6 1 6 4 x x(2 x 1) x 2 x 1 A x 1 x( x 1) x 1 x 1 x 2 x 1 ( x 1)2 = x 1 x 1 x 1 b) B ( x 1 1)( 3 2) x( 3 2) với x = 5 + 26 ta có B 5 2 6 ( 3 2) = ( 3 2)2 ( 3 2) ( 3 2)( 3 2) 3 2 1 3 1 x 3 Bài 20: Cho biểu thức A với x 0 và x 1. x 1 x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A khi x 3 2 2. ÔN THI VÀO 10 2021-2022
24. 24 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 Hướng dẫn giải 3 1 x 3 1.A với x ≥ 0 và x 1 x 1 x 1 x 1 3 1 x 3 x 1 x 1 x 1 x 1 3 x 1 x 1 x 3 x 1 x 1 3 x 3 x 1 x 3 x 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 2. x 3 2 2 2 1 thoả mãn x ≥ 0 và x ≠ 1 2 +) Thay x 2 1 vào A 1 A 2 2 1 1 1 (do 2 1 ) 2 1 1 1 2 2 2 2 2 Kết luận x 2 1 thì A 2 x 2 x 2 4x A : Bài 21: Cho biểu thức 2 x 1 x 2 x 1 x 1 a) Rút gọn A. b) Tính giá trị của A biết x 5 4. Hướng dẫn giải ÔN THI VÀO 10 2021-2022
25. 25 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 a) ĐK: x 0;x 1 2 x 2 x 2 4x x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 A : . 2 2 x 1 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 4x 2 2 x x 1 x 1 2 . với ĐKXĐ: x 0; x 1. x 1 x 1 4x 2 x b) Với điều kiện: x 0;x 1 . 3 1 2 Khi x 5 4 x 5 4 x 9 x 3 . Ta có A 6 3  Bài tập tự luyện: x 2 x 2 4x x 5 x 6 Bài 1: Cho biểu thức P : . x 2 x 2 4 x x 4 a) Rút gọn P; b) Tính giá trị của P khi x 9 4 5 9 4 5 ; c) Tìm x để P 2 . x 1 x 1 x x 2x 4 x 8 Bài 2: Cho biểu thức P . . x 4 x 4 x 4 6 x 18 a) Rút gọn P; b) Tìm các giá trị của x để P 0 ; c) Tìm các giá trị của x để P 1 . x 2 x 1 x 1 Bài 3: Cho biểu thức P . x x 1 x x 1 x 1 a) Rút gọn P; 2 b) Tìm x để P ; 3 c) Chứng minh rằng với những giá trị của x làm cho P được xác định thì P 1 . 1 x x 6 x 1 x x 2 Bài 4: Cho biểu thức P : . x 1 x x 2 x 2 x x 2 a) Rút gọn P; b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P. ÔN THI VÀO 10 2021-2022
26. 26 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 x 1 c) Tìm x để P. 2 . x2 8x 1 x x Bài 5: Cho biểu thức: P : , với x > 0. x x 1 x x a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm giá trị của P khi x = 4. 13 c) Tìm x để P = . 3 x 10 x 5 Bài 6: Cho biểu thức: A , với x 0 và x 25. x 5 x 25 x 5 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của A khi x = 9. 1 c) Tìm x để A < . 3 x x 8 Bài 7: Cho biểu thức: P 3(1 x) (x 0) . x 2 x 4 a) Rút gọn biểu thức A. 2P b) Tìm các giá trị nguyên dương của x để biểu thức Q nhận giá trị nguyên. 1 P x 4 Bài 8: a) Cho biểu thức A . Tính giá trị của A khi x = 36. x 2 x 4 x 16 b)Rút gọn: B : , với x 0 và x 16 x 4 x 4 x 2 c) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức là số nguyên. x 2 x 1 7 x 9 Bài 9: Cho biểu thức: A và B ( Với x 0, x 9 ). x x 3 x 9 a) Rút gọn biểu thức B. 1 1 b) Tính giá trị của A khi x . 2 1 2 1 A c) Cho biểu thức P . Hãy tìm các giá trị của m để x thỏa mãn P = m B HD câu d: ÔN THI VÀO 10 2021-2022
27. 27 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 A x 3 d) P Với điều kiện x 0, x 4, x 9. B x P m (m 1) x 3 (1) Nếu m = 1 thì phương trình (1) vô ghiệm. 3 Nếu m 1 thì từ (1) x . m 1 Do x 0, x 4, x 9 x 0, x 2, x 3. 3 0 m 1 m 1 3 5 Để có x thỏa mãn P = m 2 m m 1 2 3 m 2 3 m 1 5 Vậy m 1,m ,m 2 ( Thỏa mãn yêu cầu bài toán) 2 x 2 x 1 7 x 9 Bài 10: Cho biểu thức: A và B ( Với x 0, x 9 ). x x 3 x 9 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A khi x 4 2 3. A c) Tìm x để biểu thưc 1 . B A d) Tìm các giá trị m để có x thỏa mãn m. B Hết chuyên đề 1 – Dạng bài tập số 01 trong đề tuyển sinh vào 10. Chúc các em học sinh học tập tốt! CÁC BÀI TOÁN Chủ đề 1 RÚT GỌN CĂN THỨC ÔN THI VÀO 10 2021-2022