Chuyên đề Toán 9: Biến đổi đồng nhất, rút gọn biểu thức đại số và các bài toán liên quan - Lê Trung

Nội dung text: Chuyên đề Toán 9: Biến đổi đồng nhất, rút gọn biểu thức đại số và các bài toán liên quan - Lê Trung

1. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê TÀI LIỆU VỀ: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT, RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN PHẦN I. LÝ THUYẾT 1. Kiến thức 6, 7, 8 quan trọng cần nhớ AMA. a. Tính chất về phân số ( phân thức): (MB 0, 0) BMB. b. Những hằng đẳng thức đáng nhớ (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 A2 - B2 = (A - B)(A + B) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) Chú ý: ABABAB ( )( ) 2. Các kiến thức về căn bậc hai Nếu a ≥ 0, x ≥ 0, a = x  x2 = a Để A có nghĩa A 0 AA2 AB A. B ( với AB 0; 0) Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 1
2. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê AA ( với AB 0; 0) B B A2 BA B ( với B 0) A BA B 2 ( với AB 0; 0) A BA B 2 ( với AB 0; 0) AAB ( với ABB 0; 0) BB AA B ( với B 0) B B CCAB() ( với A 0; A B2 ) AB AB 2 CCAB() ( với AB 0; 0 và AB ) AB AB 3. CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN Xét biểu thức A với biến số x Dạng 1. Rút gọn biểu thức - Ngoài việc rèn kỹ năng thực hiện các phép tính trong bài toán rút gọn. Học sinh hay quên hoặc thiếu điều kiện xác định của biến x ( ĐKXĐ gồm điều kiện để các căn thức bậc hai có nghĩa, các mẫu thức khác 0 và biểu thức chia (nếu có) khác 0) Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 2
3. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê Dạng 2. Tính giá trị của biểu thức A khi x = m ( với m là số hoặc biểu thức chứa x) - Nếu m là biểu thức chứa căn ( bằng số), trước tiên phải rút gọn; nếu m là biểu thức có dạng căn trong căn thường đưa về hằng đẳng thức để rút gọn; nếu m là biểu thức ta phải đi giải phương trình tìm x. - Trước khi tính giá trị của biểu thức A, học sinh thường quên xét xem m có thỏa mãn ĐKXĐ hay không rồi mới được thay vào biểu thức dã rút gọn để tính. Dạng 3. Tìm giá trị của biến x để Ak ( với k là hằng số hoặc là biểu thức chứa x) - Thực chất đây là việc giải phương trình. - Học sinh thường quên khi tìm được giá trị của x không xét xem giá trị x dó có thảo mãn ĐKXĐ của A hay không. Dạng 4. Tìm giá trị của biến x để Ak ( hoặc Ak , Ak , Ak ,<) trong đó k là hằng số hoặc là biểu thức chứa x. - Thực chất đây là việc giải bất phương trình. - Học sinh thường mắc sai lầm khi giải bất phương trình thường dùng tích chéo hoặc sử dụng một số phép biến đổi sai. Dạng 5. So sánh biểu thức A với một số hoặc một biểu thức. - Thực chất đây là việc đi xét hiệu của biểu thức A với một số hoặc một biểu thức rồi so sánh hiệu đó với số 0. Dạng 6. Chứng minh biểu thức Ak ( hoặc Ak , Ak , Ak ) với k là một số. - Thực chất đây là việc đưa về chứng minh đẳng thức hoặc bất đẳng thức. Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 3
4. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê Dạng 7. Tìm giá trị của biến x là số nguyên, số tự nhiên để biểu thức A có giá trị nguyên - Cách làm: chia tử thức cho mẫu thức, rồi tìm giá trị của biến x để mẫu thức là ước của phần dư (một số) - Học sinh thường quên kết hợp với điều kiên xác định của biểu thức. Dạng 8. Tìm giá trị của biến x là số thực, số bất kì để biểu thức A có giá trị nguyên - Học sinh thường nhầm lẫn cách làm của dạng này với dạng tìm giá trị của biến x là số nguyên, số tự nhiên để biểu thức A có giá trị nguyên. - Cách làm: sử dụng ĐKXĐ để xét xem biểu thức A nằm trong khoảng giá trị nào, rồi tính giá trị của biểu thức A và từ đó tìm giá trị của biến x. Dạng 9. Tìm giá trị của biến x để phương trình hoặc bất phương trình có nghiệm. - Thực chất đây là việc giải phương trình hoặc giải bất phương trình. Dạng 10. Tìm giá trị của biến x để AA (hoặc AAAA ; ; ) - Nếu AA A 0 Dạng 11. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. - Học sinh cần biết cách tìm cực trị của phân thức ở một số dạng tổng quát. - Học sinh cần đưa biểu thức rút gọn A về một trong những dạng sau để tìm cực trị: + Tử thức và mẫu thức là một số hoặc là một biểu thức có dấu xác định trong tập ĐKXĐ + Biến đổi biểu thức A thành một hằng đẳng thức có chứa biến x. Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 4
5. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê + Biến đổi biểu thức A thành một tổng của hai (hoặc nhiều) số dương rồi áp dụng bất đẳng thức Cô – si hoặc một vài bất đẳng thức phụ. - Học sinh thường mắc sai lầm khi chỉ chứng minh biểu thức Ak ( hoặc Ak ) chưa chỉ ra dấu bằng nhưng đã kết luận cực trị của biểu thức A. PHẦN II. VÍ DỤ MINH HỌA x 2 1 Bài 1. Cho các biểu thức : A và B ( với x > 0; x 1) xxx 1 x 1 1. Tính giá trị của biểu thức B khi x 9 2. Đặt CA B: , rút gọn biểu thức C 3. Tìm giá trị của x để C 3 1 4. So sánh C với 4 5. Chứng minh C 2 6. Tìm x nguyên để biểu thức C có giá trị nguyên 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C 8. Tìm các giá trị của m để nghiệm x thoản mãn bất phương trình : x.3 C x m Hướng dẫn giải 11 1. Với x 9 (thỏa mãn ĐKXĐ) thay vào biểu thức B, ta được : B 91 8 1 Vậy khi x 9 thì giá trị của biểu thức B 8 2. Đặt CAB : , rút gọn biểu thức C Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 5
6. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê x 21 C () : xx 11 x x x 21 C () : xx 1 xx ( 1)1 (xx )2 21 C . xx(1) 1 (xx 2)(1) C xx(1) x 2 C x 3. ĐKXĐ: x > 0; x 1 Để C 3 x 2 3 x xx 23 0 xx xx 3 2 0 (*) Giải phương trình (*) ta suy ra được : x 1( loại) và x 4 ( thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy để C 3thì x 4 2 1 127 2x 1x 2 1 4 x x 8 4 16 4. Xét hiệu C 44xx4 4 x 2 2 1 1 127 Vì 20x với mọi x nên 20x 4 4 16 Vì x 0 nên x 0 suy ra 40x Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 6
7. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê 2 1127 2x 416 1 Suy ra 0. Do đó C 4 x 4 2 xx 22 x 2 x 11 5. Xét hiệu C 22 xxx 2 2 Vì x 10 với mọi x nên x 11 0 2 x 11 Vì x 0 nên x 0 , suy ra 0 . Do đó C 2 x 6. ĐKXĐ: x > 0; x 1 x 22 Ta có : Cx xx 2 Để giá trị của biểu thức C nguyên thì x nguyên x 2 Suy ra Zxlà ước của 2 x Từ đó x nhận các giá trị 1 ; 2 nên x nhận các giá trị x 1 (loại) và x 4 ( TMĐK) Khi đó với x 4 thì C có giá trị là 3 Vậy với x 4 thì biểu thức C có giá trị nguyên x 22 7. Ta có : Cx xx 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô – si với hai số dương x và , ta được : x 2 x 22 x Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 7
8. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê Amin 22 2 Dấu “ = ” xảy ra xx 2 ( thỏa mãn ĐKXĐ) x Vậy giá trị nhỏ nhất Axmin 2 22 8. Ta có : x.3 Cx m Suy ra : x x 10 m xxm 10 15 x xm 0 44 2 15 xm 0 24 2 15 xm 24 2 11 Vì x 0 nên x 0 , suy ra x 24 2 11 5 15 Suy ra xm mm 1 42 4 44 Vậy với m 1 thì x thoản mãn bất phương trình : x.3 C x m Bài 2. Cho các biểu thức : x 3 x 9 x x 3 x 2 48x M 1: và N x 9 x x 6 2 x x 3 x 3 (với x 0; x 4; x 9) 1. Rút gọn biểu thức M Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 8
9. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê 2. Tìm x để MM 3. Đặt QMN . , tìm các giá trị của x để biểu thức Q có giá trị nguyên. Hướng dẫn giải 1. Rút gọn biểu thức M x 3 x 9 x x 3 x 2 M 1: x 9 x x 6 2 x x 3 2 3 x 3 9 x x 3 x 3 x 2 M : x 3 x 3 x 2 x 3 3 xx 23 M . 2 x 3 x 2 3 M x 2 2. ĐKXĐ : x 0; x 4; x 9 Để MMM 0 3 0 x 2 x 20 x 2 x 4 Kết hợp với ĐKXĐ: x 0 , suy ra 04 x Vậy với 04 x thì MM 3. ĐKXĐ : x 0; x 4; x 9 3 4x 8 12 QMN x 2 x 3 x 3 Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 9
10. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê 12 Vì xx 000 x 3 1 1 12 Vì x 0 x 0 x 3 34 xx 333 Do đó: 04 Q Mà QZ , suy ra Q 1; 2; 3; 4 12 TH1: Qxx 11 x 3 12 9 81 ( thỏa mãn ĐKXĐ) x 3 12 TH2: Qxx 22 x 3 6 3 9 ( loại) x 3 12 TH3: Qx 3 x 3 x 3 4 1 1 ( thỏa mãn ĐKXĐ) x 3 12 TH4: Qx 4 x 4 x 3 3 0 0 ( thỏa mãn ĐKXĐ) x 3 Vậy để biểu thức Q có giá trị nguyên thì x 0; 1; 81 x 1 x 1 3 x 1 Bài 3. Cho biểu thức A với xx 0, 1 xx 11x 1 1) Rút gọn biểu thức A . 2) Tính giá trị của A khi x 9 . 1 3) Tìm giá trị của x để A . 2 4) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. 5) Tìm m để phương trình mA x 2 có hai nghiệm phân biệt. 6) Tính các giá trị của x để A 1. 7) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . Hướng dẫn giải Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 10
11. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê x 1 x 1 3 x 1 1) A xx 0;1 xx 11x 1 22 xxx 11 3 1 A xx 11 x 2 x 1 x 2 xx 1 3 1 A xx 11 2xx 3 1 A xx 11 2xx 1 1 A xx 11 21x A x 1 2 9 1 5 2) Thay x 9 (TMĐK) vào A ta được: A 91 4 5 Vậy với x 9 thì A 4 3) ĐKXĐ: xx 0, 1 1 2x 1 1 A 22x 1 4xx 21 33x x 1 x 1 (Không thỏa mãn) 1 Vậy không có giá trị của x để A 2 4) ĐKXĐ: Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 11
12. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê 2x 12 x 1 3 3 Ta có: A 2 x 1 x 1 x 1 3 Để A nhận giá trị nguyên thì nhận giá trị nguyên 3x 1 x 1 U x 1 3 U 3 3; 1;3;1 Ta có bảng sau: x 1 3 1 1 3 x 4 2 0 2 x   0 4 ĐK - - TM TM Vậy x 0;4thì A nhận giá trị nguyên 5) ĐKXĐ: xx 0, 1 Để m.2 A x 21x mx.2 x 1 22m x m x x x 2 m 1 x m 2 0(1) Đặt t x t 0; t 1 ta có phương trình: 1 t2 2 m 1 x m 2 0 * Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1 và tt21 0 0 P 0 S 0 abc 0 Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 12
13. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê 2 2 4mm 9 0  2mm 1 4. 2 0 m 2 m 20 21 m 2m 1 0 m 2 1 (2mm 1) 2 0 m 2 Vậy với m 2 thì pt (1) có 2 nghiệm phân biệt 6) ĐKXĐ: xx 0,1 21x Để A 11 x 1 211xx 0 x 1 x 2 0 x 1 Ta có : xx 0  ĐKXĐ x 11 x ĐKXĐ x 2 0 x 1 x 20 x 2 x 4 Kết hợp với điều kiện ta có 04; xx 1 Vậy với 04; xx 1 thì A 1 7) ĐKXĐ: 3 A 2 xx 0; 1 x 1 Ta có: xx 0 1 1 33 3 2 2 3 A 1 xx 11 Dấu “ = “ xảy ra xx 00 (TMĐK) Vậy GTNN của A là 1 khi x 0 Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 13
14. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê xx11 xx 0, 1 Bài 4. Cho biểu thức B : với x x 1 x 1 x x 1 1) Rút gọn B 2) Tính giá trị của B khi x 3 2 2 3 2 2. 3) Tìm x để Bx 4) Với x >1, hãy so sánh B với B Hướng dẫn giải xx11 1) B : x 11 x x x 11 x x x x xx 11 x B . x 11 x x x 1 x 1 B x 1 22 2) x 3 2 2 3 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Thay x = 2 (TMĐK) vào B ta được 2 21 21 B 3 2 2 . 21 1 Vậy khi x 3 2 2 3 2 2 thì B 3 2 2 3) ĐKXĐ: Bx x 1 x x 1 x 1 x x xx 2 1 0 2 x 1 2 0 xx 1 2 1 2 0 Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 14
15. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê xL 12 x 12 2 x 12 x 3 2 2 4) Xét hiệu B BB B 1 CÁCH 1 +) Ta có : xBB 10 có nghĩa x 12 +) Xét 110 B xx 11 B 1 B 1 +) Ta có : BBBB (1) 0 BB CÁCH 2 +) Ta có: x 1 x 1 x 1 0 x 1 Mà x 10 0 BB 0 0 1 x 1 2x 9 x 3 2 x 1 +) Lại có: B x 5 x 6 x 2 3 x x 1 x 1 x 1 2 B 11 x 1 x 1 x 1 2 Mà x 1 0 0 x 1 B 10 BB 1 1 0 Mà B 0 B 10 B 1 0 2 Từ (1) và (2) BB 10 BB 0 BB Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 15
16. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê 2x 9 x 3 2 x 1 Bài 5. Cho biểu thức C với x 0, x 4, x 9 x 5 x 6 x 2 3 x 1) Rút gọn biểu thức C 2) Tính giá trị của x để C đạt giá trị lớn nhất 1 3) So sánh với 1 C Hướng dẫn giải 2xxx 93 2 1 1) C xx 23 xx 23 2x 9 x 3 xx 3 2 x 1 2 C xx 23 2x 9 x 9 2 x 3 x 2 C xx 23 xx 2 C xx 23 x 1 C x 3 2) ĐKXĐ: 1 Để C min max C 1xx 3 1 4 4 Ta có: 1 C x 1 x 1 x 1 Ta có: xx 0  ĐKXĐ x 11 1 1 x 1 4 4 x 1 4 13 x 1 Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 16
17. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê 1 3 C 1 C  x ĐKXĐ 3 Dấu “ = ” xảy ra xx 00 (TMĐK) 1 Vậy GTLN của C là khi x = 0 3 134 x 3) Xét hiệu 11 C xx 11 Ta có: xx 0  ĐKXĐ x 1 1 0 4 0 x 1 1 10 C 1 1 x ĐKXĐ C Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 17
18. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê PHẦN III. BÀI TẬP VẬN DỤNG A. Đề bài x 4 xx 12 3 Bài 1 . Cho biểu thức A và B : Với xxx 0,1,4 . x 1 xxx 211 1) Tìm giá trị của x để A 4. 2) Rút gọn biểu thức B 18 3) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . AB. 21x 1 xx Bài 2. Cho hai biểu thức A và P : 1 x 0; x 1 xx 1 xx 111 x 1) Tính giá trị của biểu thức A với x 16 2) Rút gọn biểu thức P . A 3 ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M . P Bài 3. Cho hai biểu thức 4 2x x 13 x x 5 Ax x 0; 9 và Bx x 0; 9 xx 33x 9 x 3 1) Tính giá trị của biểu thức B với x 11 6 2 A 2) Rút gọn biểu thức P . B 1 3) Tìm x để P . 9 x xx54 Bài 4. Cho biểu thức A và B x 0; x 1 x 2 x 1 x 2 x x 2 1 1) Tính A khi x . 4 Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 18
19. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê 2) Rút gọn B. A 3) Biết P . Hãy Chứng tỏ PP với  x 1 . B Bài 5. Cho hai biểu thức xxx 22 6 8 413x A và B xxx 0;1;4 xx 12 x 3 x 2 x 1 1) Tính giá trị của biểu thức B với x 36 2) Rút gọn biểu thức A. 3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức PA B . 2 x 15 xx 3 3 Bài 6. Cho biểu thức A và Bx x : , 0, 25. 3 x x 25 xx 55 1) Khi x 933 5 2. 5 2, Tính giá trị của A. 2) Rút gọn biểu thức B. 3) Tìm x để PAB nhận giá trị nguyên. xx 2 1 1 Bài 7 . Cho hai biểu thức A ;( Bx 0; x 2) xx 4 x 22 x A 1) Rút gọn B và tính P B 2) Tìm x để B = |B| 3) Tìm x thỏa mãn: xP 10 x 29 x 25 25 x x2 x 3 x 9 x 2 Bài 8. Cho biểu thức: A và B .1 x 1 xx 33x 93 (với xx 0, 9 ) Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 19
20. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê 1) Tính giá trị của A khi x 19 8 3 19 8 3 2) Rút gọn B 3) Gọi MA B . . So sánh M và M 2xx 21 xx x 2 Bài 9. Cho biểu thức P với xx 0,1 . x x x x x x 1) Rút gọn biểu thức P . 2) Tìm giá trị của biểu thức P khi x 3 2 2 . 7 3) Chứng minh rằng với mọi giá trị của x đề biểu thức P có nghĩa thì biểu thức chỉ P nhận một giá trị nguyên. xx 3 2 1 1 Bài 10. Cho hai biểu thức U  với x 0 và x 4. x x 82 x x 1) Rút gọn biểu thức U. 2) Tìm giá trị của U tại x 14 6 5 . 3) Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức KU 8 có giá trị là số nguyên x xx 10 9 Bài 11 . Cho hai biểu thức A và B với x 0, x 4, x . 43x x 2 x 4 16 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 25. 2) Rút gọn biểu thức B. 3) Tìm giá trị của x để BA 2. x 2 6 1 Bài 12. : Cho biểu thức P :1 x 1 x 2 x x 2 1 x với x 0 , x 1, x 4. 1 1) Rút gọn P . 2) Tính P biết x 3 2 2 . 3) Tìm x để P . 2 Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 20
21. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê xx 3 2 1 Bài 13. Cho biểu thức AB , với xx 0, 9 . 1 3xx 9 x 3 3 x 4 1) Tính giá trị biểu thức A khi x . 9 2) Rút gọn B . B 3) Cho P , tìm x để P 3. A Bài 14 . Cho biểu thức : 11 x 32 xx x A và B ( với xx 0; 1 ) x 1 xx 11 (xx 2)( 1) 1) Rút gọn và tính giá trị biểu thức A khi x 4 2 3 2) Rút gọn biểu thức B 11x 3) Đặt M = B : A , tìm x để 1 M 8 x x 1 x x 1 4 x 1 Bài 15. Cho biểu thức: P và Q với xx 0; 1 x x x x x x 1 1) Tính giá trị của Q khi x 25 . 2) Rút gọn biểu thức APQ . . 3) Tìm các giá trị của x để Ax.8 . xx 22x 1 Bài 16. Cho biểu thức A ; B với xx 0, 1 xx 21x 1 x 1) Tính giá trị của B khi x 36 2 2) Chứng minh rằng AB. x 1 3) Tìm x để ABAB. 1 . 1 x 12 3 1 1 Bài 17. Cho hai biểu thức A và B : với xx 0, 1 x 1 x 1 xx 11 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 9 . Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 21
22. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê 2) Rút gọn biểu thức B . A 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M . B 232xx xx3 x 22 Bài 18. Cho hai biểu thức A và B với x 0 và x 4 . x 2 x 2 1) Tính giá trị của A khi x 4 2 3 . 2) Tìm giá trị của x để BA 1. 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức CBA . xxx 11 3 1 Bài 19. Cho biểu thức A với xx 0;1 xx 11x 1 1) Rút gọn biểu thức A . 2) Tìm giá trị nguyên của x để A 1. 3) Tìm m để phương trình mA x 2 có hai nghiệm phân biệt x 12 x Bài 20. Cho 2 biểu thức: A và B với x 0 và x 4 . x 2 x 4 x 2 1) Tính giá trị biểu thức B khi x 16 . 2) Rút gọn biểu thức MAB : . 3) Tìm các giá trị thực của x để M 1. Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 22
23. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê B. Đáp án x 4 xx 1 2 3 Bài 1 . Cho biểu thức A và B : Với x 0, x 1, x 4 . x 1 x 2 x 1 x 1 1) Tìm giá trị của x để A 4. 2) Rút gọn biểu thức B 18 3) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . AB. Lời giải. 1) Ta có A 4 suy ra x 4 4x 4 4 x 1 x 4 x 0 x x 4 0 x 1 xx 00 x 40 x 16 Kết hợp điều kiện xác định vậy x 0 hoặc x 16 . xx 1 2 3 2) B : x 2 x 1 x 1 x 1 . x 1 x 2 . x 2 x 1 B . xx 2 . 1 3 x 1 x 4 x 1 B . xx 2 . 1 3 31x B . xx 2 . 1 3 1 B (đkxđ: xx 0, 4). x 2 Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 23
24. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê 3) Ta có xx 4 12 AB xxx 121 1854 18 x 1 18 . AB. xx 22 54 54 Vì xx 02 227 . x 2 2 54 Nên 1818 27 9 . x 2 18 Hay 9 . AB. 18 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 9 , đạt được khi x 0 AB. 21x 1 xx Bài 2. Cho hai biểu thức A và Px x : 1 0; 1 xx 1 xx 111 x 1) Tính giá trị của biểu thức A với x 16 2) Rút gọn biểu thức P . A 3 ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M . P Lời giải. 21x 1) Thay x 16 vào A x 0; x 9 xx 1 2 16 1 9 3 A 16 16 1 21 7 Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 24
25. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê 1 xx 2) Px x :1 0; 1 xx 111 x x 1 x x x 1 P : xx 11 x 1 2xx 1 1 2 1 P : x 1 xx 11 21x Axxx 1 1 3) M P 2xx 11 x x 1 x 1 Mx 10 xx 1 Vậy max M 1dấu "" xảy ra khi và chỉ khi x 0 . Bài 3. Cho hai biểu thức 4 2x x 13 x x 5 Ax x 0; 9 và Bx x 0; 9 xx 33x 9 x 3 1) Tính giá trị của biểu thức B với x 11 6 2 A 2) Rút gọn biểu thức P . B 1 3) Tìm x để P . 9 Lời giải 2 x 5 1) Thay x 11 6 2 3 2 vào B x 0; x 9 x 3 Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 25
26. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê 3 2 5 8 2 Ta có: B 1 4 2 3 2 3 2 4 2x xx 13 2) Ax x 0; 9 xx 33x 9 4 xx 33 x 2xx 13 A x 3 xx 33 x x 3 9 4xx 12 x 213 x 3 x A xx 33 x 25 A xx 33 x 25 Ax xx 33 5 P B xx 53 x 3 15 1 x 3) P 99x 3 9x 45 x 38 x 48 x 60 x 36 x xx54 Bài 4. Cho biểu thức A và B x 0; x 1 x 2 x 1 x 2 x x 2 1 1) Tính A khi x . 4 2) Rút gọn B. A 3) Biết P . Hãy Chứng tỏ PP với  x 1 . B Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 26
27. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê Lời giải 1 x 1) Thay x vào Ax 0 4 x 2 1 4 1 Ta có: A 1 5 2 4 xx54 2) Bx x 0; 1 x 1 x 22 x x xx54 B xx 12 xx 12 x x 2 5 x 1 x 4 B x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x x 2 5 x 1 x 4 B xx 12 x 2 x 5 x 5 x 4 B xx 12 2 x 2 x 1 x 1 x 1 B x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 x Axx 2 3) P B xx 11 x 2 2 xx1 Xét P P 22 01  x xx 11 x 1 Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 27
28. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê PPPPPP22 0 (đpcm) Bài 5. Cho hai biểu thức xxx 22 6 8 413x A và B x 0; x 1; x 4 xx 12 x 3 x 2 x 1 1) Tính giá trị của biểu thức B với x 36 2) Rút gọn biểu thức A. 3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức PA B . Lời giải 4x 13 1) Thay x 36 vào B x 1 4 36 13 11 Ta có: B 36 1 5 2) x 2 x 2 6 x 8 Ax x x 0; 1; 4 x 1 x 2 x 3 x 2 2 x 2 x 2 x 1 68x A x 2 x 1 x 1 x 2 x 21 A xx 12 x 1 1 4x 13 17 4 3) Xét PAB 2 x 1 x 1 x 1 x 1 1 2 2 Đặt t P 17 t2 4 t M axP= x 1 17 17 Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 28
29. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê 2 x 1533 xx Bài 6. Cho biểu thức A và Bx x : , 0, 25. 3 x x 25 xx 55 1) Khi x 933 5 2. 5 2, Tính giá trị của A. 2) Rút gọn biểu thức B. 3) Tìm x nguyên để PAB nhận giá trị nguyên. Lời giải 1) Khi x 933 5 2 5 2 , tính giá trị của A x 95252933 3 52529 x 3 2.3 A 1 33 2) Rút gọn B 15 xx 2 3 B : x 25 xx 55 15 x 2 x 10 x 3 5 x x 3 1 :: x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 3 3) Tìm x nguyên để P = A + B nhận giá trị nguyên 2xx 1 2 12 x 3 5 5 PAB 2 3 x x 3 x 3 x 3 x 3 Để P nguyên thì x 3là Ư(5) Vì x 3 3 x 3 5 x 2 x 4( tm ) xx 2 1 1 Bài 7 . Cho hai biểu thức A ; B ( x 0; x 2) xx 4 x 22 x Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 29
30. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê A 1) Rút gọn B và tính P B 2) Tìm x để B = |B| 3) Tìm x thỏa mãn: xPxx 102925 Lời giải x 11 1) B ( x 0; x 2) x 4 xx 22 x 11 B xx 22 xx 22 x x 22 x B xx 22 xx 2 B xx 22 x B x 2 x 2 Ax x 2 x 2 x 4 * Tính P . Bxx x x x 2 x 2) Để |B|= B B 00 x 2 Mà  x ĐKXĐ thì x > 0 xx 2 0 4 Vậy x > 4 thì B = |B| 3) xP 10 x 29 x 25 Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 30
31. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê x 4 xxx.10 2925 x 2 xx 525 0 x25( tm ) 25 x xx2 xx 3 92 Bài 8. Cho biểu thức: A và B .1 x 1 xx 33x 93 (với xx 0,9 ) 1) Tính giá trị của A khi x 19 8 3 19 8 3 2) Rút gọn B 3) Gọi MAB . . So sánh M và M Lời giải 22 1) Ta có x 1983 1983 43 43 43438 2 5 87 8 2 42 5 8 8 1 Thay vào ta được A 2 2 6 81 77 x2 x 3 x 9 x 2 2) Ta có B .1 (với xx 0, 9 ) xx 33x 93 x x 3 2 x x 3 3 x 9 x 23 . xx 33 3 x 3 x 2 x 6 x 3 x 9 x 13 xx 3 1 x 1 . x 3 x 3 3 3 x 3 x 3 x 3 2 5x x 1 2 5 x 3) Ta có MAB x 1 x 3 x 3 Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 31
32. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê 24 Với 2 5xxx 00 thì M 0 và tồn tại M 55 Ta xét MMMM2 1 2 5x 2 5 x 2 5 x 1 6x 2 5 x 1 6 x . 1 . 0 2 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 4 Vậy M22 MM 0 M M M với mọi x 0; 5 2xx 21 xx x 2 Bài 9. Cho biểu thức P với xx 0,1 . x x x x x x 1) Rút gọn biểu thức P . 2) Tìm giá trị của biểu thức P khi x 3 2 2 . 7 3) Chứng minh rằng với mọi giá trị của x đề biểu thức P có nghĩa thì biểu thức chỉ P nhận một giá trị nguyên. Lời giải 1) Ta có 3 22x x 11 x x x P x x x 11 x x 22x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x x 11 x x 2x 2 x x 1 x x 1 x x x 2x 2 x x 1 x x 1 x 2xx 2 2 2 22x xx Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 32
33. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê 22 2) Khi xx 322 2121 21 21 2 Thay vào biểu thức ta được: P 2 2 12 2 4 2 21 77x 3) Đưa được P 22xx 2 2 Trước hết đánh giá Px 22 x 22 Theo bất đẳng thức Cô-si: 22xx 2 .4 xx 2 Px 22 6 x 77 P 6 77 0 P 6 7 Do đó chỉ nhận một giá trị nguyên là 1. P 7 Vậy với mọi giá trị của x đề biểu thức P có nghĩa thì biểu thức chỉ nhận một giá trị P nguyên. xx 3 2 1 1 Bài 10. Cho hai biểu thức U  với x 0 và x 4. x x 82 x x 1) Rút gọn biểu thức U. 2) Tìm giá trị của U tại x 14 6 5 . 3) Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức KU 8 có giá trị là số nguyên Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 33
34. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê Lời giải. 1) Với xx 0;4 , ta có: xx 3 2 11 U  x xxx 82 x 3 xx 22 x 4 x . x 2 x 2 x 4 x 2 x 2 x 4 xx 2 x . x 2 x 2 x 4 xx 24 22 2) xx 14 6 5 9 2 3 5 5 3 5 3 5 3 5 3 5. Khi đó, ta có: 3 5 3 5 3 5 1 U . 14652354 24 8 5 835 8 8 x 3) KU 8 xx 24 1x 2 x 4 x 1 1 x 1 1 Ta có: 2 (theo bất đẳng thức Cô-si) K 8x8 2 x 4 8 2 x 4 13 K 4 4 0 K 3 Mà K là số nguyên K 1. Với K 1, ta có: Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 34
35. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê 8 x 1 x 2 x 4 8 x x 6 x 4 0 * xx 24 Giải phương trình * : Đặt xt (t 0). Phương trình * thành: tt2 64 0 Ta có: ' 9 4 5 0 . Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: t1 35 và t2 35. 2 2 2 2 Khi đó ta có: xt11 3 5 14 6 5 và xt22 3 5 14 6 5. Vậy: x 14 6 5 hoặc x 14 6 5 thỏa mãn yêu cầu đề bài. x xx 10 9 Bài 11 . Cho hai biểu thức A và B với x 0, x 4, x . 43x x 2 x 4 16 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 25. 2) Rút gọn biểu thức B. 3) Tìm giá trị của x để BA 2. Lời giải 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 25. 25 5 Thay x 25 vào A ta được A . 4 25 3 17 2) Rút gọn biểu thức B. x x 2 x 10 B xx 22 xx2 3 10 xx 22 xx 52 xx 22 x 5 . x 2 3) Tìm giá trị của x để BA 2. Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 35
36. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê Ta có : BA 2 xx 5 2 xx 2 4 3 xxx 5 x 4 3 22 0 xx 2 4 3 4x 17 xx 15 x 2 4 0 2xx 13 15 0 x 1 15 x 1. (thỏa mãn điều kiện) xL () 2 Vậy x 1 thì BA 2. x 2 6 1 Bài 12. : Cho biểu thức P :1 với x 0 , x 1, x 1 x 2 x x 2 1 x x 4. 1) Rút gọn P . 2) Tính P biết x 3 2 2 . 1 3) Tìm x để P . 2 Lời giải x 2 6 1 1) P :1 . x 1 x 2 x x 2 1 x x x 2 2 x 1 6 11 x P : . xx 12 1 x 2 x 4 x 4 1 x x 2 x 2 P . P P . xx 12 2 x xx 2 . 2 x 2 Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 36
37. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê x 2 Vậy P . x 2 2) Ta có x 3 2 2 thỏa mãn điều kiện để P có nghĩa. 2 Mà x 3 2 2 x 21 . 2 2 12 2 21 5 4 2 Thay x 21 vào P , suy ra P P P . 2 23 7 2 12 5 4 2 Vậy x 3 2 2 thì P . 7 1 x 21 x 21 32x 3) Ta có P 0 0 . 2 x 2 2 x 2 2 22 x Do 3xx 2 0  0 , x 1, x 4 . x 0 04 x Suy ra x 20 kết hợp điều kiện suy ra . x 4 x 1 1 04 x Vậy P khi . 2 x 1 xx 3 2 1 Bài 13. Cho biểu thức AB , với xx 0, 9 . 1 33x 3 x 9 x x 4 1) Tính giá trị biểu thức A khi x . 9 2) Rút gọn B . B 3) Cho P , tìm x để P 3. A Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 37
38. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê Lời giải 2 4 2 2 1) Khi x thì x thì A 3 . 2 9 3 1 3. 9 3 2) Ta có: xx 3 2 1 3 2 1 B xx 99xxx 3 33 x 3 xx 3323 x x 9 x 9 x 9 xx 3 xx 33 x . x 3 x x31 x 3) Ta có: P : , x 3 1 3 x x 3 3xx 1 3 1 33 x P 3 30 . x 3 x 3 x 3 10 0 xx 3 0 9 x 3 Kết hợp với điều kiện ban đầu ta suy ra 09 x thì P 3. Bài 14 . Cho biểu thức : 11 x 32 x x x A và B ( với xx 0; 1 ) x 1 xx 11 (xx 2)( 1) 1) Rút gọn và tính giá trị biểu thức A khi x 4 2 3 2) Rút gọn biểu thức B 11x 3) Đặt M = B : A , tìm x để 1 M 8 Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 38
39. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê Lời giải. 1) Rút gọn và tính giá trị biểu thức A khi x 4 2 3 1 1x 1 x 1 2 x A x 1 x 1 ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) +) Thay x 423 3231(31) 2 và x 31 vào biểu thức A ta được: 2(31)232 623 A (3 11)(3 11) 3(3 2) 3 2) Rút gọn biểu thức B x 32 xx x B (xx 2)( 1) x 1 (x 1)( x 2) x ( x 1) B (x 2)( x 1) ( x 1)( x 1) xx 1 B xx 11 xx 1 B x 1 1 B x 1 3) Xét biểu thức: MB :A 1 2x 1 ( x 1)( x 1) x 1 M :. x 1 ( x 1)( x 1) x 1 2 x 2 x 11x Xét biểu thức: 1 M 8 1x 1 2 x x 1 11 xx 1188 2 x Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 39
40. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê 16x ( x 2 xx 1)14 x 1 8 x 8 1 00 8(xx 1)8( 1) x 6 xx 9 ( 3)2 00 8(xx 1) 8( 1) 16x ( x 2 xx 1)14 x 1 8 x 8 1 00 8(xx 1)8( 1) x 6 xx 9 ( 3)2 00 8(xx 1) 8( 1) (x 3)2 0 8(x 1) 2 Do xx 01 1 với mọi x 0 nên x 30 (3)x 2 Vậy 00. x 8(1)x 2 Yêu cầu bài toán x 30 x9( TM ) 11x Vậy x 9 thì 1. M 8 x x 1 x x 1 4 x 1 Bài 15. Cho biểu thức: P và Q với xx 0; 1 x x x x x x 1 1) Tính giá trị của Q khi x 25 . 2) Rút gọn biểu thức APQ . . 3) Tìm các giá trị của x để Ax.8 . Lời giải 1) Với (thỏa mãn ĐK), ta có: 25 1 5 1 4 2 Q . 25 1 5 1 6 3 2) Ta có: x x 1 x x 1 4 x 1 APQ x x x x x x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 41x . x x 11 x x xx 1 Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 40
41. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê x x 11 x 41 xx . xxx x 1 2xx 21 . xx 1 21 x x 1 . xx 1 211 xx x 1 . xx 1 2 21 x (với xx 0;1 ) x 2 21 x 3) Ta có: Ax.8 .8x (với ). x 2 x 14 xx 2 1 4 xx 2 3 0 xx 1 3 0 x 30 ( vì x 10). x 3 09 x Vì nên x 1 Vậy: để thì . xx 22x 1 Bài 16. Cho biểu thức A ; B với xx 0, 1 xx 21x 1 x 1) Tính giá trị của B khi x 36 2 2) Chứng minh rằng AB. x 1 3) Tìm x để ABAB. 1 . 1 Lời giải Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 41
42. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê 1) Tính giá trị của B khi x 36 Ta có: x 36 (TMĐKXĐ) x 6 x 1 6 1 7 B x 66 2 2) Chứng minh rằng AB. x 1 xxx 221 Ta có: AB x 21 xx x 1 x 2 x 2 x 1 AB 2 x 1 xx 11x x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 AB 22 x 1 x 1 x 1 x 1 x x x 2 x 2 x x 2 x 2 x 1 AB 2 xx 11 x 21xx AB 2 xx 11x 2 AB. xx 11 2 AB. (ĐPCM) x 1 3) Tìm x để ABAB. 1 . 1 Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 42
43. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê Ta có: A.1.1 BA B AB.1 0 2 10 x 1 1 x 0 x 1 x 10 (vì 10, x  ĐKXĐ) x 1 Kết hợp điều kiện xác định 01 x Vậy 01 x thì A.1.1 BA B x 12 3 1 1 Bài 17. Cho hai biểu thức A và B : với xx 0, 1 x 1 x 1 xx 11 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 9 . 2) Rút gọn biểu thức B . A 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M . B Lời giải Điều kiện: xx 0, 1 9 12 21 1) x 9 (tmđk) ⇒ A 91 2 3 xx 1 2 2) Bx 1 xx 1 1 x 1 A x 12 x 2 x 12 x 4 16 16 16 3) M : x 2 x 2 4 B x 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 43
44. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê 1616 Theo BĐT Cô – si: xx 22. 2 . xx 22 16 ⇒ x 28 ⇒ M 4 x 2 ⇒ GTNN của M 4 16 2 khi x 2 ⇔ x 216 ⇒ x 24 ⇔ x 4 (vì x 20) x 2 232xx xx3 x 22 Bài 18. Cho hai biểu thức A và B với x 0 và x 4 . x 2 x 2 1) Tính giá trị của A khi x 4 2 3 . 2) Tìm giá trị của x để BA 1. 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức CBA . Lời giải 1) Với xx 0; 4 , ta có: 2xx 3 2 2x 4 x x 2 2 x x 2 x 2 A x 2 x 2 x 2 xx 2 2 1 21x . x 2 3 x3 x 22 x x x 22 x x x 1 2 x 1 B x 2 x 2 x 2 xx 21 x 1. x 2 2 ) Khi x 4 2 3 3 2 3 1 3 1 , thay vào A , ta được 2 Ax 2 12 31 12311231 . Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 44
45. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê Vậy x 4 2 3 thì A 2 3 1. 2) BA 1 xx 1 21 1 xx 23 0 x xx 33 0 x xx 1 31 0 xx 13 0 x 30 (Vì xxx 0,0,4  nên x 10) x 9. Vậy x 9 thì BA 1. 2 3) C B A x1 2 x 1 x 2 x 2 x 2 x 1 3 x 1 3 2 2 Với xx 0; 4 thì x 1 0, nên x 1 3 3. 2 Dấu bằng xảy ra khi x 10 x 10 x 1 x 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức CBA là 3 khi x 1. x 12 x Bài 19 . Cho 2 biểu thức: A và B với x 0 và x 4 . x 2 x 4 x 2 1) Tính giá trị biểu thức A khi x 16 . 2) Rút gọn biểu thức MAB : . 3) Tìm các giá trị thực của x để M 1. Lời giải 16 1 2 4 1 2 7 1) Khi x 16 ta có A . 16 2 16 4 4 2 8 4 2) Điều kiện: x 0 và x 4 xx 12 Ta có MAB :: xx 22x 4 xx 1 2 2 M . xx 2 x 4 Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 45
46. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê xx 1 2 2 M . xx 2 xx 2 . 2 xx 1 . 2 2 x 2 M . xx 2 . 2 x x xx 2 M . xx 2 .2 x xx.1 1 M . . x 2 x x 1 M x 2 x 1 Vậy M . x 2 3) Với x 0 và x 4 thì xx 11 M 1 1 1 0 xx 22 xx 12 xx 12 0 0 xx 22 x 2 3 0 x 2 0 x 2 x 4 . x 2 Vậy 04 x thì M 1. Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 46