Chuyên đề Hình học Lớp 9: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Nội dung text: Chuyên đề Hình học Lớp 9: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

1. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG DẠNG 1: SỬ DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG ĐỂ TÍNH ĐỘ DÀI CẠNH: Phương pháp: Sử dụng các công thức sau: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Định lí Pi-ta-go: BC2 AB 2 AC 2 AB2 BC. BH ; AC2 BC. CH AH2 BH. CH 1 1 1 AB AC BC AH AH2 AB 2 AC 2 BÀI TẬP: Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AH = 5, CH = 6. a) Tính AB, AC, BC, BH. b) Tính diện tích tam giác ABC. 5 61 25 305 HD: a) AB , AC 61 , BH b) S . 6 6 12 Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AH = 16, BH = 25. a) Tính AB, AC, BC, CH. b) Tính diện tích tam giác ABC. HD: a, Áp dụng định lí Pytago cho tam giác vuông AHB để tính AB. Dùng công thức: AB2=BH.BC để tính BC và suy ra HC. AH.BC=AC.AB để tính AC. 1 b, 푆 = . . ∆ 2 Bài 3. Cho biết chu vi của một tam giác bằng 120cm. Độ dài các cạnh tỉ lệ với 8, 15, 17. a) Chứng minh rằng tam giác đó là một tam giác vuông. b) Tính khoảng cách từ giao điểm ba đường phân giác đến mỗi cạnh. HD: a) Dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau tính được: AB = 24cm, AC = 45cm, BC = 51cm ABC vuông tại A ( theo Pitago) b) Gọi O là giao điểm ba đường phân giác. SSSSABC OBC OCA OAB . . . . . Với 푆 = ; 푆 = ; 푆 = ; 푆 = ta được r=9cm. 2 2 2 2 Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Đặt BC = a, CA = b, AB = c, AH = h. Chứng minh rằng tam giác có các cạnh a h;; b c h là một tam giác vuông. HD: Chứng minh ()()b c2 h 2 a h 2 .
2. Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường phân giác AD. Cho biết HB = 112, HC = 63. a) Tính độ dài AH. b) Tính độ dài AD. HD: a) AH = 84cm. b)Tính AB = ; AC= ; BC= + Áp dụng tính chất phân giác: = = = suy ra AD 60 2 . + + Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 12cm. Tính chiều dài hai cạnh góc vuông biết 2 AB AC . 3 HD: Áp dụng định lý Pytago: 2 2 4 AB2 +AC2 = BC2  AC + AC2 = 144  . AC2 + AC2 = 144 Tính AC và suy ra AB. ĐS: 3 9 24 13 36 13 AB () cm , AC () cm . 13 13 1 1 1 Bài 7. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH và BK. Chứng minh: = + BK 2 BC 2 4AH 2 HD: D A K B C H Dựng đường thẳng vuông góc BC tại B cắt AC tại D. Suy ra BD=2AH ( đường trung bình) Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông BCD có BK là đường kính suy ra đpcm. Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A; AB=a . Đường trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau. Tính AC và BC. HD:
3. C N M G A a B Gọi G là trọng tâm tam giác. Trong tam giác vuông ABN có AB2 = BG.GN mà BG=2GN. Từ đó tính BG và GN. Suy ra AN => AC.  BC Bài 9. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, BC=25cm; AB=20cm. a) Tính AC, AH, BH, CH b) Từ H kẻ d // AB cắt AC tại N. Tính HN, AN, CN. HD: a) Pytago tính AC =15cm. Sử dụng AH.BC=AB.AC suy ra AH =12cm; CH=9cm, b) HN.AC=AH.HC suy ra HN=7,2cm. Pytago tam giác AHN suy ra AN=9,6cm. Suy ra NC=5,4cm Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, gọi E, F là hình chiếu của H lên AB, AC. Chứng minh AH3 = BC.BE.CF HD: CF BE BC CF BE BH +HC Ta có: . . = . . = cosC. cosB cotB + cotC = cos2B + sin2B = 1 CH BH AH CH BH AH ( Chú ý: cosB = sinC; sinB = cosC) nên CF.BE.BC = CH.HB.AH = AH3. Bài 11. Trong tam giác vuông, đường cao ứng với cạnh huyền chia tam giác thành hai phần có diện tích là 54cm2 và 96cm2. Tính độ dài cạnh huyền. HD: AH .HB AH .HC AH 4 AH .BC S . S = 54.96 = . = nên AH = 12cm. Mà S = 54 + 96 = 150 = 1 2 2 2 4 ABC 2 suy ra BC = 25cm Bài 12. Cho tam giác ABC có AB=6cm, AC=8cm. Hai đường trung tuyến BD và CE vuông góc nhau. Tính BC. HD: Gọi G là trọng tâm tam giác, đặt BD = 3a; CE=3b. Ta có: 2 11 2 2 2 2 a = CG + GD = 16 4a + b = 16 3 2 2 2 2 2  suy ra 4 mà CG + GB = BC nên BC = 4 a + EG2 + GB2 = 9 a2 + 4b2 = 9 b2 = 3 b2 = 20 suy ra BC = 20
4. Bài 13. Cho tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền là 12cm. Hiệu hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền là 7cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác vuông. HD: 2 BH = 16cm BH. CH = AH = 144  BH − CH = 7 CH = 9cm Bài 14. Cho tam giác ABC, trực tâm H. Chứng minh : AB2+HC2 = BC2+HA2 = AC2+HB2 HD: A D E H C B F Ta có: AB2+HC2 = BF2+AF2+FC2+HF2 = (BF2 +HF2)+( AF2+FC2)= HB2 +AC2 Tương tự. Bài 15. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH, BK, CI . Chứng minh: 1 1 1 a) = + BK 2 4AH 2 BC 2 b) Chứng minh 3BK2 + 2AK2 + CK2 = AB2 + AC2 + BC2 c) Xét trường hợp tam giác ABC là tam giác đều, từ đó suy ra công thức tính chiều cao của tam giác đều theo các cạnh của nó. d) Một đường thẳng qua C và song song với BK cắt AB tại M. Chứng minh AB2 = AI.AM HD: D A I K F B C H M a) Đã chứng minh ở bài trướ c:
5. b) 3BK2 + 2AK2 + CK2 = 2(BK2 + AK2) + (BK2 + CK2) = 2AB2 + BC2 = AB2 + AC2 + BC2 ( vì AB=AC) c) Nếu tam giác ABC đều thì AK=KC=AC:2; AB=BC=AC nên : AC 2 AC 2 3AC 2 AC 3 3BK2 + 2. + = 3AC2  BK2 = nên BH = 2 2 4 2 d) Tam giác ACM vuông tại C, có CI là đường cao nên AC2 = AI.AM mà AC = AB. Bài 16. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến BM, phân giác CD đồng quy tại O. Chứng minh BH=AC HD: B H D O A M C I Gọi O là giao điểm của 3 đườ ng nó i trên. Trên BM lấ y I sao cho MI=MO. Tứ giá c AOCI là hbh ( hai đườ ng ché o cắ t nhau tạ i trung điể m) Suy ra OC//AI và OA//IC BD BO BH BD BC BH BC Theo Talet: = = ; mà = suy ra = nên BH.AC=CH.BC AD OI CH AD AC CH AC mà CH.BC=AC2 nên BH=AC. Bài 17. Cho tam giác ABC vuông tại A, góc B=600, AB=1cm. Trên BC lấy E sao cho BE=1cm. 1 1 5 Vẽ ED//AB ( D thuộc AC). Chứng minh : + = AC 2 AD 2 3 HD: 3 Góc B=60 nên C=30, suy ra BC=2AB=2cm. Từ đó cá c em tí nh đượ c = 3 nên = 2 Bài 18. Cho tam giác ABC đường cao AH, AB=11cm; AC=15cm, BC=20cm. a) Chứng minh: HC2-BH2 = AC2-AB2. b) Tính HB, HC, AH. HD:
6. A 11cm 15cm B H 20cm C a) Pytago tam giác ABH : AH2=AB2-HB2(1) Tương tự: AH2=AC2-HC2 (2). Từ (1)(2) suy ra đpcm. b) Theo a suy ra (HC-HB)(HC+HB)= AC2-AB2=104 mà HB+HC=BC=20 nên HC-HB=5,2cm. + = 20 Từ suy ra HC= 12,6cm; BH=7,4cm. − = 5,2 6 46 Từ đó tính AH = 5 Bài 19. Cho hình vuông ABCD và điểm I thay đổi trên AB, DI cắt BC tại E. Đường thẳng qua D 1 1 vuông góc DE cắt BC tại F. Chứng minh: + không phụ thuộc vị trí điểm I. 2 2 HD: E A B I D C F ∆AID = ∆CFD nên DI=DF. Trong tam giác vuông DEF có DC là đường cao nên 1 1 1 1 1 1 = + hay = + 2 2 퐹2 2 2 2 1 1 1 Bài 20. Cho tam giác ABC có 3 đường cao AH, BM, CN. Chứng minh rằng nếu = + 2 2 2 thì tam giác ABC vuông tại A. HD: 2푆 4푆2 4푆2 4푆2 Gọi S là diện tích tam giác, suy ra BC = nên 2 = . Tương tự 2 = ; 2 = 2 2 2 1 1 1 1 1 Nên 2 + 2 = 4푆2 + mà = + nên 2 + 2 = 2 2 2 2 2 2
7. Bài 21. Cho hình thang vuông ABCD ( A=D=90) có B=600; CD=30cm, AC vuông BC. Tính diện tích hình thang. HD: = 300 nên AC=2AD. Pytago tam giác ACD suy ra = 10 3 . Kẻ CH vuông AB suy ra = = 10 3 . Trong tam giác vuông ABC có: HC2 = HA.HB suy ra HB = 10cm. Suy ra AB=40cm. từ đó tính diện tích : 푆 = 350 3 2 Bài 22. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC=2a , đường cao AH, kẻ HD và HE vuông AC và AB. Tìm giá trị lớn nhất của a) Đoạn DE b) Diện tích ADHE HD: a) Gọi O là trung điểm BC suy ra AO=a. Tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên DE=AH ≤ AO=a. Vậy DEmax = a khi tam giác ABC vuông cân tại A. 2 2 4 3 3 2 b) = ; = suy ra 푆 = = ≤ = . Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC . 2 vuông cân tại A. Bài 23. Cho tam giác ABC nhọn, đường cao CK, H là trực tâm tam giác, gọi M là điểm trên CK 0 sao cho góc = 90 . Gọi S, S1; S2 theo thứ tự là diện tích tam giác AMB, ABC và ABH. Chứng minh rằng 푆 = 푆1. 푆2 HD: Trong tam giác vuông AMB ta có: MK2 = AK.KB (1) Tam giác ∆AKH ∽ ∆CKB nên AK.KB= CK.KH (2). Từ (1)(2) suy ra 퐾 = 퐾. DẠNG 2: SỬ DỤNG TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC GÓC NHỌN ĐỂ TÍNH ĐỘ DÀI VÀ SỐ ĐO GÓC: Phương phá p: các em cần thuộc các công thức sau: Cho tam giác vuông có góc nhọn : đô i kê đô i kê sinα = cosα = tgα = cotα = huyê n huyê n kê đô i 0 sin 1; 0 cos 1. sin (900-a) = cosa tg(900-a)=cota cos(900-a)=sina cot(900-a)=tga Một số hệ thức lượng giác sin cos tan ; cot ; tanaa .cot 1; cos sin
8. 1 1 sin22 cos 1; 1 tan2 ; 1 cot2 a cos2 sin2 a Chú ý cách tính góc bằng máy tính: Cho Tgx =a Cosx =a Sinx=a Tính góc x ấn shift tg a = ấn shift cos a = ấn shift sin a = Bài 1. Cho tam giác ABC có AB = 21m, AC = 28m, BC = 35m. a) Chứng minh tam giác ABC vuông. b) Tính sinBC ,sin . HD: 4 3 a, Dùng Pytago b, 푠𝑖푛 = ; 푠𝑖푛 = 5 5 Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 64cm và CH = 81cm. Tính các cạnh và góc tam giác ABC. HD: AB2=BH.BC nên AB=96,3cm; AC2=HC.BC nên AC=108,4cm 108,4 CosC= = = 0,75 nên = 410; = 490. 145 3 Bài 3. Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD và CE. Biết 푆 = 푆 . Tính . 4 HD: ∆ADB ∽ ∆AEC nên = . 2 푆 3 Xét ∆AED và ∆ACB có: góc A chung; = nên ∆AED ∽ ∆ACB nên = 2 = 푆 4 3 3 Suy ra : = . Trong tam giác ABD: 표푠 = = nên A = 300. 2 2 Bài 4. Hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 30cm, đáy nhỏ CD = 10cm và góc A là 600 a) Tính cạnh BC. b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD. Tính MN. HD: a, Gọi P và Q là chân đường cao kẻ từ D và C xuống AB, Tam giác ADP = tam giác BQC(ch-gn) nên AP=QB mà PQ=DC=10cm nên AP=QB=(30-10):2=10cm. Trong tam giác BCQ có góc C =30 nên BC=2QB=20cm ( cạnh đối diện góc 30 bằng nửa cạnh huyền) b, NM=DP=AP.푡 푛 =10 3cm. hoặc dùng Pytago tính CQ suy ra MN=CQ.
9. Bài 5. Cho tứ giác lồi ABCD có AB = AC = AD = 10cm, góc B bằng 600 và góc A là 900 a) Tính đường chéo BD. b) Tính các khoảng cách BH và DK từ B và D đến AC. c)Tính HK. d) Vẽ BE  DC kéo dài. Tính BE, CE và DC. HD: a, BD2=AB2+AD2 => BD=10 2cm. b, ∆ABC đều (AB=AC mà = 600) nên BH=5 3cm, ∆ADK có 퐾 = 300 nên KD=1/2AD=5cm, c, ABH có = 300 nên AH=1/2AB=5cm, mà AK2=AD2-DK2=75 nên AK=5 3cm suy ra HK=5 3-5 cm. d, ∆ADC cân có = 300 nên = = 750 => = 1800 − 750 − 600 = 450 nên ∆BEC vuông cân tại E nên BE=EC mà BE2+EC2=BC2 => BE=EC=5 3cm. Trong ∆KDC có KD=5cm, KC=AC-AK=10-5 3 cm Dùng pytago tính DC= 10 2 − 3 cm Bài 6. Tính giá trị các biểu thức sau: a) cos20 15 cos 20 25 cos 20 35 cos 20 45 cos 20 55 cos 20 65 cos 20 75 . b) sin20 10 sin 20 20 sin 20 30 sin 20 40 sin 20 50 sin 20 70 sin 20 80 . c) sin150 sin75 0 cos15 0 cos75 0 sin30 0 d) sin350 sin67 0 cos23 0 cos55 0 e) cos2 20 0 cos 2 40 0 cos 2 50 0 cos 2 70 0 0 0 0 0 f) sin20 tan40 cot 50 cos70 HD: Dùng công thức: sin(900-a)=cosa; tg(900-a)=cota. a)( 표푠2 150 + 표푠2 750) + 표푠2 250 + 표푠2 650 + 표푠2 350 + 표푠2 550 + 표푠2 450 = ( 표푠2 150 + 푠𝑖푛2 150) + 표푠2 250 + 푠𝑖푛2 250 + 표푠2 350 + 푠𝑖푛2 350 + 표푠2 450 = 1 + 2 1 + 1 + ( )2 = 3,5 2 3 b) c) 0,5 d) 0 e) 2 f) 0. 4 Bài 7. Tính: a) A= sin210+sin220+ sin2890. b) B= Cos210+cos220+ cos2890 c) C= tg210.tg220 .tg2890. d) D= 1 + 표푠2 450 + 표푠4 450 + 표푠6 450 + ⋯ 표푠100 450 HD: 89 a) = 표푠2890 + 푠𝑖푛2890 + 표푠2880 + 푠𝑖푛2880 표푠2450 = 2
10. 89 b) Tương tự câu a. B = 2 c) 푡 푛210 = 표푡2890 và 푡 푛2890. 표푡2890 = 1 . ĐS: C =1 d) Đặt cos450 = a. Suy ra D = 1+a2+a4+ a100. 102 −1 Ta có: a2. D = a2+a4+ a102 suy ra a2. D – D = a102-1 nên = 2−1 Bài 8. Cho biết một tỉ số lượng giác của góc nhọn , tính các tỉ số lượng giác còn lại của : a) sina 0,8 b) cos 0,6 c) tana 3 d) cota 2 HD: a) cos 0,6 b) sina 0,8 c) cota = 1/3; sina= Bài 9. Cho tg =2. Tính A=(sin -3cos )/(3sin +7cos ) HD: Cách 1: 푡 푛 −3 1 Chia cả tử số và mẫu số cho cos ta được: A= = − . 3푡 푛 +7 13 푠𝑖푛 Cách 2: tg =2 nên = 2 nên 푠𝑖푛 = 2 표푠 thay vào tính A. 표푠 Cách 3: Từ tg = 2 các em dùng các công thức lượng giác tính trực tiếp ra sin ; 표푠 rồi thay vào A. Cách này hơi dài Bài 10. Rút gọn các biểu thức sau: a) (1 cos )(1 cos ) b) 1 sin22 cos c) sin sin cos2 d) sin4 cos 4 2sin 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 e) tan sina tan f) cos tan cos 6 6 2 2 2 2 2 𝑔) 푠𝑖푛 훼 + 표푠 훼 + 3푠𝑖푛 훼. 표푠 훼 h) 푡𝑔 훼 2 표푠 훼 + 푠𝑖푛 훼 − 1 HD: a) 1 − 표푠2 = 푠𝑖푛2 b) 2 2 2 3 c) 푠𝑖푛 1 − 표푠 = 푠𝑖푛 . 푠𝑖푛 = 푠𝑖푛 d) 푠𝑖푛2 + 표푠2 2 = 1 e) 푡 푛2 1 − 푠𝑖푛2 = 푡 푛2 . 표푠2 = 푠𝑖푛2 1 f) 표푠2 1 + 푡 푛2 = 표푠2 . = 1 표푠 2 g) 푠𝑖푛2 + 표푠2 푠𝑖푛4 − 푠𝑖푛2 . 표푠2 + 표푠4 + 3푠𝑖푛2 . 표푠2 = 푠𝑖푛4 − 푠𝑖푛2 . 표푠2 + 표푠4 + 3푠𝑖푛2 . 표푠2 = 푠𝑖푛2 + 표푠2 2 − 3푠𝑖푛2 . 표푠2 + 3푠𝑖푛2 . 표푠2 = 1 − 3푠𝑖푛2 . 표푠2 + 3푠𝑖푛2 . 표푠2 = 1 h) 푡𝑔2훼 2 표푠2훼 − 표푠2훼 = 푡𝑔2훼. 표푠2훼 = 푠𝑖푛2훼
11. Bài 11. Chứng minh các hệ thức sau: cos 1 sin (sin cos )22 (sin cos ) a) b) 4 1 sin cos sin .cos 1 − 푡 푛훼 표푠훼 − 푠𝑖푛훼 ) = 1 + 푡 푛훼 표푠훼 + 푠𝑖푛훼 HD: a, Biến đổi tương đương hai vế ( nhân chéo) b, Biến đổi vế trái. ( 푠𝑖푛 2훼+2 푠𝑖푛 훼 표푠 훼+ 표푠 2훼)−( 푠𝑖푛 2훼−2 푠𝑖푛 훼 표푠 훼+ 표푠 2훼) VT = = 4 푠𝑖푛 훼 표푠 훼 푠𝑖푛훼 표푠훼 −푠𝑖푛훼 1− 1−푡 푛훼 표푠훼 표푠훼 표푠훼 −푠𝑖푛훼 c) = 푠𝑖푛훼 = 표푠훼 +푠𝑖푛훼 = 1+푡 푛훼 1+ 표푠훼 +푠𝑖푛훼 표푠훼 표푠훼 Bài 12. Tính: 3 a. Biết sin = .Tính cos ; tg ; và cot 2 b. Cho tg =1/3. Tính A= (cos +3 sin )/(cos - sin ). c. Cho cos - sin =1/2. Tính cos .sin d. Cho tg = 2. Tính sin ; cos ; cot ? e.Tính: cos2200 + cos2400 + cos2500+ cos2700 f. Cho tg + cot = 3. Tính giá trị của biểu thức A = sin .cos HD: 1 a) Vì 푠𝑖푛 훼2 + 표푠 훼2 = 1 nên 표푠 훼 = ± . Từ đó tính tg훼. 2 1+3 푡 푛 훼 b) Chia cả tử và mẫu số của A cho 표푠 훼 ta được: = . 1−푡 푛 훼 1 c) Bình phương hai vế ta được: ( 표푠 훼 − 푠𝑖푛 훼)2 = ℎ 표푠2훼 − 2 푠𝑖n 훼 표푠 훼 + 푠𝑖푛2훼) = 4 1 3 à 표푠2훼 + 푠𝑖푛2훼 = 1 푛ê푛 푠𝑖푛 훼 표푠 훼 = . 4 8 1 5 d) Dùng công thức: 1 + 푡 푛2훼 = 푡í푛ℎ đượ 표푠 훼 = ± . 표푠 2훼 5 mà sin = cos . tg ; cot =1:tg . e) cos2200 + cos2700= cos2200+ sin2200 =1; cos2400 + cos2500= cos2400+ sin2400 =1 DẠNG 3: GIẢI TAM GIÁC VUÔNG, TÍNH DIỆN TÍCH. Phương pháp: Giải tam giác vuông là đi tìm các cạnh và các góc của tam giác đó. Bài 1. Giải tam giác vuông ABC, biết góc A=900 và: a) a 15 cm ; b 10 cm b) b 12 cm ; c 7 cm HD:
12. a)B=420, C=480, c=11,18cm b) B=600, C=300, a=14cm. Bài 2. Cho tam giác ABC có góc B=600, C=500, AC=35cm. Tính diện tích tam giác ABC. HD: S 509 cm2 . Vẽ đường cao AH. Tính AH, HB, HC. Bài 3. Cho tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết AC 4 cm , BD 5 cm , góc AOB =500. Tính diện tích tứ giác ABCD. HD: A B K H D C Vẽ AH  BD, CK  BD. Chú ý: AH=AO.sin500; CK=OC.sin500. + 퐾 푆 = 푆 + 푆 = = . 푠𝑖푛 50 + = . . 푠𝑖푛50 = 15,32 cm2. 2 DẠNG 4: DỰNG GÓC NHỌN KHI BIẾT MỘT TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC: Phương pháp: Nếu bài cho tỉ số sin = (hoặc cos ): - Vẽ trục Oxy, chọn 1cm=1đv. - Trên Ox lấy A sao cho OA=a (đv). Từ A vẽ đường tròn (A;b) cắt Oy tại B. Suy ra = . - Chứng minh: Ta có: sin = = = 푠𝑖푛 Suy ra = . Nếu bài cho tỉ số tg = (hoặc cot ): - Vẽ trục Oxy, chọn 1cm=1đv. - Trên Ox lấy A sao cho OA=a (đv). Trên Oy lấy B sao cho OB=b (đv). Suy ra = . - Chứng minh: Ta có: tg = = = 푡 푛 Suy ra = . 3 4 Bài 1 Dựng góc biết: a) sin = b) 푡 푛 = . 5 3 a) Dựng trục Oxy, chọn 1cm =1đv. Trên Ox lấy A sao cho OA=3cm. Từ A vẽ đường tròn (A;5) cắt Oy tại B suy ra = 3 Chứng minh: a có: sin = = = 푠𝑖푛 Suy ra = . 5
13. y 5 O x 1 3 b) Dựng trục Oxy, chọn 1cm =1đv. Trên Ox lấy A sao cho OA=4cm. Trên Oy lấy B sao cho OB=3cm suy ra = 4 Chứng minh: tg = = = 푡 푛 Suy ra = 3 DẠNG 5: SO SÁNH CÁC GÓC LƯỢNG GIÁC Phương pháp: Ta đưa về cùng tỉ số lượng giác ( cùng sin훼 hoặc cos훼 ) bằng cách sử dụng các công thức chuyển đổi sau: sin (900-a) = cosa tg(900-a)=cota cos(900-a)=sina cot(900-a)=tga Ví dụ: sin 250=cos650; tg200=cot700 Sau đó đùng tính chất: Nếu 0 < 훼 < 900: góc 훼 tăng thì sin훼, tg훼 tăng còn cos훼, cot훼 giảm. Nếu 900 < 훼 < 1800: góc 훼 tăng thì sin훼, cos훼 giảm. Chú ý: Sin휶 < 1 ( trừ sin900 =1); Cos휶 < 1 ( Trừ cos 00=1). Bài 1: Hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo chiều tăng dần: sin200; cos150; sin350; cos470. Ta có: cos150 = sin(900-150)=sin750; cos470 = sin430. Vì sin200 < sin350 <sin430 < sin 750 nên sin200 < sin350 <cos470 < cos150 . Bài 2: Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần (không sử dụng máy tính): tg250, cot730, tg700, cot220, cot500. HD: cot 730 = tg170; cot220 = tg680; cot500 = tg400. Mà tg170 < tg250 < tgtg400 < tg680 < tg700 nên cot730 < tg250 < cot500 < cot220 < tg700.
14. Bài 2: Không dùng máy tính bỏ túi, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau từ nhỏ đến lớn: cos480 ; sin250 ; cos620 ; sin750 ; sin480 HD: cos480 = sin420; cos620 = sin280; Mà sin250 cot35012’ c) tg270 cot650= tg250. Bài 7: So sánh a) tg250 và sin250 b) cot320 và cos320 c) tg450 và cos450 d) cot600 và sin300. HD: 푠𝑖푛 250 푠𝑖푛 250 a) Ta có: 푡 푛 250 = . Vì 표푠 250 푠𝑖푛 250 표푠 250 표푠 250 표푠 320 표푠 320 b) 표푡 320 = . Vì 푠𝑖푛 320 표푠 320 푠𝑖푛 320 푠𝑖푛 320 c) 표푠 450 = 푠𝑖푛 450. Bài toán làm như câu a. d) 푠𝑖푛 300 = 표푠 600 . Bài tóa làm như câu b. Bài 8: So sánh: a) tg280 và sin280 b) cot420 và cos420 c) cot730 và sin170 d) tg320 và cot580 e) sin350 và tg380 f) cos330 và tg610. HD: e) Ta có: tg380 > sin380 > sin350. f) tg610 > sin610 > sin570 = cos330. DẠNG 6: CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ Phương pháp: Đây là bà i toá n dễ nhấ t trong 6 dạng toán, vớ i bà i nà y cá c em chỉ cầ n dự ng đượ c hì nh, rồ i dù ng cá c công thứ c đơn giả i trong chương nà y để tí nh toá n là xong: Bài 1: Một con mèo ở trên cành cây cao 4m. Để bắt mèo xuống cần phải đặt thang sao cho đầu cầu thang đạt độ cao đó, khi đó góc của hình thang với mặt đất là bao nhiêu, biết chiếc thang dài 6m. HD:
15. B 6m 4m A C Khi vẽ đượ c hì nh rồ i, vấ n về chỉ là tí nh gó c C. Đế n đây bà i toá n dễ rồ i : Ta có : sinC=AB/BC từ đó cá c em tí nh đượ c gó c C. Các bài khác các em vẽ hình rồi làm tương tự: Bài 5: Đỉnh của ngọn đèn biển cao 38m so với mặt nước, người ta nhìn thấy một hòn đảo dưới góc 300 so với đường nằm ngang chân đèn. Hỏi khoảng cách từ đảo tới chân đèn là bao nhiêu? Bài 6: Để nhìn thấy đỉnh A của một vách đá dựng đứng, người ta đứng tại điểm P cách chân đá 45m và nhìn lên một góc 250 so với đường nằm ngang . Hãy tính độ cao vách đá. HD: h= 45.tg250 Bài 7: Một cột cờ cao 3,5m có bong trên mặt đất dài 4,8m. Hỏi góc giữa tia sáng mặt trời và bong cột cờ là bao nhiêu? 3,5 HD: tgC = nên C= 360. 4,8 Bài 8: Từ đỉnh một tòa nhà cao 60m, người ta nhìn thấy một chiếc ô tô đang đỗ dưới một góc 280 so với đường nằm ngang. Hỏi chiếc ô tô đang đỗ cách tòa nhà bao nhiêu mét. 60 HD: h = = 112,8m 푡 푛 25 Bài 9: Một em học sinh đứng ở mặt đất cách Ăng ten 150m. Biết em nhìn thấy đỉnh tháp một ở một góc 200 so với đường nằm ngang. Khoảng cách từ mắt tới mặt đất là 1,5m. Tính chiều cao của tháp. HD: h = 1,5 + 150.tg20 Bài 10: Một người trinh sát đứng cách tòa nhà 10m. Góc nâng từ chỗ anh ta đứng đến nóc tòa nhà là 400. a) Tính chiều cao tòa nhà. b) Nếu anh ta dịch chuyển sao cho góc nâng là 350 thì anh ta cách tòa nhà bao nhiêu? Khi đó anh ta tiến lại gần hay ra xa ngôi nhà? HD: 8,4 a) h= 40tg10 b) = 12 : đi ra xa ngôi nhà. 푡 푛 35