Các chuyên đề ôn thi vào Lớp 10 môn Toán - Chuyên đề 5: Cực trị

Nội dung text: Các chuyên đề ôn thi vào Lớp 10 môn Toán - Chuyên đề 5: Cực trị

1. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 Chuyên đề 5: CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦẢ MỘT BIỂU THỨC 1/ Cho biểu thức f( x ,y, ) a/ Ta nói M giá trị lớn nhất ( GTLN) của biểu thức f(x,y ) kí hiệu max f = M nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn: - Với mọi x,y để f(x,y ) xác định thì : f(x,y ) M ( M hằng số) (1) - Tồn tại xo,yo sao cho: f( xo,yo ) = M (2) b/ Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x,y ) kí hiệu min f = m nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn : - Với mọi x,y để f(x,y ) xác định thì : f(x,y ) m ( m hằng số) (1’) - Tồn tại xo,yo sao cho: f( xo,yo ) = m (2’) 2/ Chú ý : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1’) thì chưa có thể nói gì về cực trị của một biểu thức chẳng hạn, xét biểu thức : A = ( x- 1)2 + ( x – 3)2. Mặc dù ta có A 0 nhưng chưa thể kết luận được minA = 0 vì không tồn tại giá trị nào của x để A = 0 ta phải giải như sau: A = x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2( x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + 2 2 A = 2 x -2 = 0 x = 2 Vậy minA = 2 khi chỉ khi x = 2 II/ TÌM GTNN ,GTLN CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN 1/ Tam thức bậc hai: Ví dụ: Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c . Tìm GTNN của P nếu a 0. 1
2. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 Tìm GTLN của P nếu a  0 b b 2 Giải : P = ax2 + bx +c = a( x2 + x ) + c = a( x + )2 + c - b a 2a 4a2 b2 Đặt c - =k . Do ( x + )2 0 nên : 4a - Nếu a  0 thì a( x + )2 0 , do đó P k. MinP = k khi và chỉ khi x = - -Nếu a 0 thì a( x + )2 ` 0 do đó P ` k. MaxP = k khi và chỉ khi x = - 2/ Đa thức bậc cao hơn hai: Ta có thể đổi biến để đưa về tam thức bậc hai Ví dụ : Tìm GTNN của A = x( x-3)(x – 4)( x – 7) Giải : A = ( x2 - 7x)( x2 – 7x + 12) Đặt x2 – 7x + 6 = y thì A = ( y - 6)( y + 6) = y2 - 36 -36 2 minA = -36 y = 0 x – 7x + 6 = 0 x1 = 1, x2 = 6. 3/ Biểu thức là một phân thức : a/ Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai: 2 Ví dụ : Tìm GTNN của A = . 6x 5 9x2 2 2 2 Giải : A = . = = . 6x 5 9x2 9x2 6x 5 (3x 1)2 4 1 1 Ta thấy (3x – 1)2 0 nên (3x – 1) 2 +4 4 do đó theo tính (3x 1)2 4 4 1 1 2 1 chất a b thì với a, b cùng dấu). Do đó A - a b 4 2 2
3. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 1 1 minA = - 3x – 1 = 0 x = . 2 3 Bài tập áp dụng: 1 1. Tìm GTLN của BT : A HD giải: x2 4x 9 1 1 1 1 A . max A= x 2. x2 4x 9 x 2 2 5 5 5 1 2. Tìm GTLN của BT : A HD x 6x2 1 7 1111 Giải: A. max A=x3 x6x17882 x38 2 3 3. (51/217) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 2x2x7 2 b/ Phân thức có mẫu là bình phương của nhị thức. 3x2 8x 6 Ví dụ : Tìm GTNN của A = . x2 2x 1 Giải : Cách 1 : Viết A dưới dạng tổng hai biểu thức không âm 22 2 x 2 x 1 x 4 x 4 (x 2)2 A = = 2 + 2 xx2 21 (x 1)2 minA = 2 khi và chi khi x = 2. Cách 2: Đặt x – 1 = y thì x = y + 1 ta có : 3(1)8(1)yyyyyyy 222 6363 88 6321 2 1 1 A = = 3 - + = ( - yy 1211 2 yyyy22 21 22 1 y y 2 y 1)2 + 2 minA = 2 y = 1 x – 1 = 1 x = 2 Bài tập áp dụng: x2 1 1, (13/200) Tìm GTNN và GTLN của bt: P xx2 1 xx2 2 2006 2, (36/210) Tìm GTNN của bt : B x2 3
4. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 x2 3, ( 45/ 214) Tìm GTNN và GTLN của bt: C xx2 57 xx2 22 xx2 21 4, ( 47, 48 /215) Tìm GTNN của bt : a, D b, E xx2 23 2 4xx 92 c/ Các phân thức dạng khác: 3 4x Ví dụ : Tìm GTNN và GTLN của A = x2 1 Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức về dạng bình phương của một số : x2 4x 4 x2 1 (x 2)2 A = = - 1 -1 x2 1 x2 1 Min A= -1 khi và chỉ khi x = 2 4x2 4 4x2 4x 1 (2x 1)2 Tìm GTLN A = = 4 - 4 x2 1 x2 1 Bài tập áp dụng: x x2 1, (42, 43/ 221) Tìm GTLN của bt: a, A 2 b, B 3 x 2 x2 2 xx2 217 2, (68/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: Q Với x > 0 21 x x3 2000 3, (70/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: S Với x > 0 x III/ TÌM GTNN, GTLN CỦA BT CÓ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN Ví dụ : Tìm GTNN của A = x3 + y3 + xy biết rằng x + y = 1 sử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2 Đến đây ta có nhiều cách giải Cách 1: sử dụng điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức có chứa A x + y = 1 x2 + 2xy + y2 = 1 (1) Mà (x – y)2 0 Hay: x2 - 2xy + y2 0 (2) 4
5. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 1 Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 ) 1 x2 + y2 2 1 minA = khi và chỉ khi x = y = 2 Cách 2: Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đối với x. Thay y = x – 1 vào A A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 - )2 + minA = khi và chỉ khi x = y = Cách 3/ Sử dụng điều kiện đã cho để dưa về một biến mới Đặt x = + a thì y = - a . Biểu thị x2 + y2 ta được : x2 + y 2 = ( + a)2 + ( - a)2 = +2 a2 => MinA = a = 0 x=y = Bài tập 1: Tìm Min A = aabbab22 332014 Cách 1 Ta có: A= aabbabab22 212112011 = a21211201122 abbabab = a11112011 21 ba bb = a11112011 22 bab 22 2 2 2 bbb 1131 b 1 31 b a 1212011 a = a 1 + 2011 244 24 b 1 a 1 0  Min A = 2011 khi 2 ab 1 b 10 Cách 2: 5
6. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 2A2332014 aabbababbabbab222222 = a2121a22.244022 = a1124022 212 bab a10  Min 2A = 4022 khi bab 101 => Min A = 2011 ab 20 BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ: Bài 1 CMR : Min P = 0 Với P = aabbab22 333 Bài 2 CMR: không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn ĐT: xyzxyz222 4286150 Hướng dẫn Ta có: VT21 xxyyzzyz222 48469 1= x-12231 1 222 Bài 3: Có hay không các số x,y,z thỏa mãn mỗi đẳng thức sau: 1) xyzxyz222 4448220 2) x49212121994222 yzxyz Hướng dẫn Ta có: 1) VT444418161 xxyyzz222 = x+221411 222 yz 2) VT = x2 2x 1 4 y 2 12 y 3 9 z 2 12 z 4 1986 = x 1 2 2 y 3 2 3 z 2 2 1986 1986 Bài 4: CMR: Min A=2 Với A = mmppmp22 45102228 Hướng dẫn Ta có: A = m2 4 mp 4 p 2 p 2 2 p 1 10 m 20 p 27 = m 2 p 22 2.5 m 2 p 25 p 1 2 = m 2 p 5 22 p 1 2 2 6
7. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 Bài 5: CMR: Max B = 4 Với B524106 abaabb22 Hướng dẫn Ta có: B44692414 aabbbbab222 = 4 - 4469221 aabbbbab222 = 4 - 22213 ababb 22 = 4 - a 2 b 122 b 3 4 Bài 6: Tìm GTNN của a) A=a542522 babb ( Gợi ý A = a - 2b 22 b 1 4 ) b) B = x33202922 yxyxy ( Gợi ý B = x-y332011 222 yx ) c) C494122430 xyzxyz222 ( Gợi ý C = x+223341 222 yz ) d) D= 20x1824412201622 yxyxy ( Gợi ý D= 4x-3y 22 2xy 1 3 2 2011 ) Bài 7: Tìm các số a, b, c, d thỏa mãn : abcdabcd2222 (*) a2 b 2 c 2 d 2 ab a b c a2 b 2 c 2 d 2 a b c d 0 a2 b 2 c 2 d 2 ab ac ad 0 Ta có : 40 a 2 b 2 c 2 d 2 ab ac ad aab22 4444440 22 b aac 22 2 c aad d a a 2220 ba 222 ca da 2 Dấu “=” sảy ra khi : abcda 22200 b c d BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài 1: Tìm các số a, b, c, d, e thỏa mãn : 2abcdea22222 b c d e Bài 2: Tìm các số a, b, c, thỏa mãn : ababab22 1 Bài 3: Tìm các số a, b, thỏa mãn : 4a22 4 b 4 ab 4 a 4 b 4 0 7
8. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 Bài 4: Tìm các số x, y, z thỏa mãn : xyzxyz222 428614 Bài 5: Tìm các số m, p, thỏa mãn : m22 5 p 4 mp 10 m 22 p 25 IV Các chú ý khi giải bài toán cực trị : 1, Chú ý 1: Khi tìm bai toán cực trị ta có thể đổi biến Ví dụ : Tìm GTNN của ( x – 1)2 + ( x – 3)2 ta đặt x – 2 = y, biểu thức trở thành (y + 1)2 + (y – 1)2 =2y2 +2 2 minA= 2 y=0 x=2 2 Chú ý 2, Khi tìm cực trị của biểu thức , nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị chẳng hạn : -A lớn nhất A nhỏ nhất 1 lớn nhất B nhỏ nhất với B > 0 B x4 1 1 Ví dụ : Tìm GTLN của A (Chú ý A> 0 nên A lớn nhất khi nhỏ (1)x22 A nhất và ngược lại) 1 (1)212xxxx22422 1 Ta có : = 1 .Vậy 1 A xxx444 111 A min = 1 khi x = 0 .Do đó maxA =1 khi x = 0 3,Chú ý 3 Khi tìm GTLN, GTNN của 1 biểu thức ,người ta thường sử dụng các BĐT đã biết Bất đăng thức có tính chất sau a ) a > b , c > d với a, b, c, d > 0 thì a.c > b. d b) a > b và c > 0 thì a.c > b.c c) a > b và c b và a, b, n > 0 thì an > bn BĐT Cô si: a + b 2 ab ; a2 + b2 2ab ; (a + b)2 4ab ; 2( a2 + b2) ( a+ b)2 Bất đẳng thức Bu- nha -cốp –xki : (a2 + b2) ( c2 + d2) (ac + bd)2 8
9. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 Ví dụ Cho x2 + y2 = 52 . Tìm GTLN của A = 2x + 3y Giải :Áp dụng BĐT BCS ta có ( 2x + 3y )2 ( 22+32 ).52 ( 2x + 3y )2 13.13.4 23xy 2x + 3y 26. Vậy maxA = 26 2 3xy 0 Thay y = 3x vào x2 + y2 = 52 ta được 4x2 + 9x2 = 52.4 x2 = 16 x=4 hoặc x= 2 -4 Với x = 4 thì y =6 thoả mãn 2x +3y 0 x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y 0 Vậy Max A = 26 x =4 , y = 6 3/ Trong các bất đẳng thức cần chú ý đến các mệnh đề sau - Nếu 2 số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau - Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó bang nhau Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của tích xy, biết x,y N thoả mãn x + y = 2005 Giải : Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 - (x – y)2 xy lớn nhất x – y nhỏ nhất ; xy nhó nhất x – y lớn nhất giả sử x > y ( không thể xảy ra x = y) Do 1 y x 2004 nên 1 x-y 2003 Ta có min(x –y) = 1 khi x = 1003 ; y =1002 max(x –y) = 2003 khi x =2004 , y = 1 Do đó max(xy) = 1002.1003 khi x = 1003 , y = 1002 Min ( xy) = 2004 khi x = 2004 , y = 1 MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ 1, Sai lầm khi sử dụng nhiều bất đẳng thức khac nhau VD1: cho x, y là các số dương thỏa mãn x +y =1 . Tìm GTNN của biểu thức : 14 A = x y 9
10. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 14 1 4 4 Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm , ta có: x y x y xy (1) 1 xy Lại có: xy (2 ) 22 1 4 4 4 Từ (1) và (2) suy ra : A = 8 . Vậy Min A = 8 x y xy 1 2 Phân tích sai lầm: 14 Đẳng thức sảy ra ở (1) khi 4xy x y Đẳng thức sảy ra ở (2) khi x = y . Từ đó suy ra x = y = 0 ( Loại vì x + y = 1) Có bạn đến đây KL không có giá trị nhỏ nhất cũng là KL sai. 144 xy Giải đúng: Vì x + y = 1 nên A = x+y5 x yyx 4xy 44xyxy Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số không âm , Ta có : 2.4 yx yxyx 1 4xy x yx 2 3 Dấu “=” xẩy ra khi yx xy 12 xy 1 y 3 Lưu ý: Nếu sử dụng nhiều BĐT khác nhau trong 1 bài toán thì ta phải kiểm tra xem chúng có đồng thời sảy ra dấu bằng không. Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng. 2, Sai lầm khi không sử dụng hết điều kiện của bài toán: VD2:cho x, y là các số dương thỏa mãn x+y= 1. Tìm GTNN của BT : 2 2 11 A = x+ y x y 1 Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm x, Ta có: x 11 x+ 2 x. 2 (1) xx 10
11. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 1 11 Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm y , Ta có: y+2y.2 y yy (2) Từ (1) và (2) =>A 8 => Min A = 8 1 Phân tích sai lầm: Đẳng thức sảy ra ở (1) khi xx 2 1 x 1 Đẳng thức sảy ra ở (2) khi yy 2 1. Từ đó suy ra x = y = 1 ( Loại vì x + y = 1) y Giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương ta có : x + y 11 xyxyxy 224 2 2 22 11 2 2 2 1 Ta có : A = 4 + x+y+ . Khi đó: x + y = (x + y) – 2xy 1 - = (1) xy 2 1112 25 28 (2). Từ (1) và (2) =>A 8 + +4 = =>Min A = khi xyx2222 .y xy 2 x=y = Lưu ý: Khi giải bài toán mà không sử dụng hết điều kiện của đầu bài thì cần kiểm tra lại giả thiết. Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng. 3, Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1: 1 VD1: Tìm GTLN của bt: A = xx2 617 Lời giải sai: A đạt Max khi xx2 617 đạt Min Ta có : xxx2 617388 2 1 Do đó Min x2 6 x 17 8 x 3. Vậy Max A = x 3 8 Phân tích sai lầm: Kết quả đúng nhưng lập luận sai ở chỗ cho rằng “ A có tử không đổi nên đạt GTLN khi mẫu đạt GTNN” mà chưa đua ra nhận xét tử và mẫu là các số dương 11
12. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 Lời giải đúng: Bổ xung thêm nhận xét xxx2 617388 2 nên tử và mẫu của A là dương VD2:Tìm GTNN cuả BT: A = x2 + y2 biết x + y =4 22 2 2 xyxy 2 Ta có : A = x + y 2xy => A đạt GTNN xy2 xy 4 Khi đó MinA = 8 Phân tích sai lầm: Đáp số ko sai nhưng lập luân sai lầm ở chỗ ta mới c/m được f(x,y) g(x,y) chứ chưa c/m được f(x,y) m với m là hắng số. Chẳng hạn: Từ x2 4x – 4 => x2 đạt nhỏ nhất x2 = 4x – 4 (x – 2 )2 = 0 x =2 Đi đến min x2 = 4 x = 2 Dễ thấy kết quả đúng phải là Min x2 = 0 x =0 Lời giải đúng: Ta có x + y =4 x + y =162 (1) Ta lại có : x - y 20 x -2xy+y22 0 (2) Từ (1) và (2) => 2( x2 + y2 ) 16 => A = x2 + y2 8 Vậy Min A = 8 khi và chỉ khi x = y = 2. Lưu ý: Cần nắm vững t/c của BĐT cụ thể trong trường hợp so sánh hai phân số có tử và mẫu là số tự nhiên, số nguyên Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng. 4, Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2 VD1: Tìm GTNN của bt: A = x + x 2 2 1 1 1 1 1 1 1 Lời giải sai : x + = x +2 x x . Vậy: Min A = 2 4 4 2 4 4 4 P/tích sai lầm: sau khi c/m f(x) chưa chỉ ra trường hợp xảy ra 1 f(x)= x (vô lí ) 2 Lời giải đúng: ĐKTT là x 0 do đó : A = x + 0 => Min A = 0 x 0 12
13. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 VD2: Tìm GTLN của A = xyxz+yy+zz+x với x, y , z là các số không âm và x +y+ z =1 4xz+yx+y+z1 2 Lời giải sai: Áp dụng BĐT 4x y x y 2 ta có : 4yz+xx+y+z1 2 4zx+yx+y+z1 2 1 1 => 64xyxz+yy+zz+x1 =>xyxz+yy+zz+x . Vậy Max A = 64 64 Phân tích sai lầm: Sai lầm ở chỗ chưa chi ra khả năng xảy ra dấu “=” z+y = x y+x = z0 xyz ĐK để Max A = là : x+z = yx + z + y = 1 ( vô lí ) x + z + y = 1x, y, z 0 x, y, z 0 Lời giải đúng: Ta có : 1 = x +y+ z 3x.y.z 3 (1) 2 = x +y + z+x + y+ z 3x +yz+xy+3 z (2) 3 3 2 Từ (1) và (2) => 2 3. .3 .x x y +yz+xy+ z z hay: 2 3AA 9 x +y = z+x = y+ z 3 2 1 Max A = khi xyzxyz 1 9 3 x,,0 y z (xa)(xb) VD3: Tìm giá trị nhỏ nhất của : A với x > 0, a, b là các hằng số x dương. xa 2 ax Lời giải sai: Ta có: x a x b 2 ax.2 bx 4 x ab xb 2 bx (x a)(x b) 4x ab Do đó: A 4 ab vậy Min A = 4 ab x a b xx Phân tích sai lầm: Nếu ab thì không có: A = 4 ab 13
14. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 (xa)(xb)xax+bx+abab 2 Lời giải đúng : Ta có Ax(ab) . xxx ab 2 Theo bất đẳng thức Cauchy : x 2 a b nên A ≥ 2 ab + a + b = ab x ab min A = khi và chi khi x . x xab x0 VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ 1 1 1 VD1: Cho x > 0, y > 0 thỏa mẫn đk Tìm GTNN của bt: A = xy xy2 11 11 Do x > 0, y > 0 nên 0, 0 áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số , x y xy 1 1 1 1 1 11 ta có: . Hay => xy 4 2 x y x y 4 xy Mặt khác ta có: x > 0, y > 0 => xy 0,0 . áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: xyxy 2244 xy Vậy: Min A = 4 khi : 111 xy4 xy2 VD2 : Tìm GTNN của của biểu thức : Axx1xx1 22 2 2 1 3 3 Ta có: x x 1 x  x R 2 4 4 2 2 13 3 xx 1x x R  24 4 Áp dụng BĐT Cô- si cho 2 số xx1,xx122 ta có : x2 x1 x 2 x12 x 2 x1.x 2 x12x4 4 x12 2 14
15. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 42 xx11  Max A = 2 khi x0 22 xx1xx1 x y z VD3 Tìm giá trị nhỏ nhất của : A với x, y, z > 0. y z x Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương: xyzxyz A3 3 3 yzxyzx xyzxyz Do đó min3xyz yzxyzx xyzxyyzy xy Cách 2 : Ta có : . Ta đã có 2 (do x, y > 0) yzxyxzxx yx nên để xyz yzy chứng minh 3 ta chỉ cần chứng minh : 1 (1) yzx zxx (1) xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz) xy + z2 – yz – xz ≥ 0 y(x – z) – z(x – z) ≥ 0 (x – z)(y – z) ≥ 0 (2) (2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đó (1) đúng. Từ đó xyz tìm được giá trị nhỏ nhất của . yzx VD 4: Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1. Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x, y, z ta có: 1 = x + y + z ≥ 3. 3 xyz (1) Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x+y, y +z, z + x ta có : 2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3. 3 (xy)(yz)(zx) (2) 15
16. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 3 3 2 Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều không âm) : 2 ≥ 9. A A ≤ 9 1 max A = khi và chỉ khi x = y = z = . 3 xyyzzx VD 5: Tìm GTNN của A với x, y, z > 0 , x + y + z = 1. zxy xy yz xy yz Giải: Theo bất đẳng thức Cauchy : 2 . 2y . z x z x yzzxzxxy Tương tự : 2z;2x . Suy ra 2A ≥ 2(x + y + z) = 2. xyyz 1 min A = 1 với x = y = z = . 3 12 VD 6: Tìm GTNN của A 4xy với : x > 0, y > 0, x + y A2 4xy.211 x2xy22 y4xy x yx 2222 yx yx y 1 VD 7: : Cho x , Tìm GTLN của A =2x522 + 2x+3x - 2x 2 Giải : Ta có : A = 2x2 5xx 2 + 2 x+3 - 2x = 2x 1 2 + 2 x+3 - 2x Với ta 2x 1 0 có: x 2 0 2x 1 x+2 áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số 2x1, x+2 Ta có: 2x 1 x+2 2 3x 3 Hay : 2x 1 x+2 Dấu “ = ” xảy ra khi 2x 1 x+2 x=1 2 16
17. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 x3 4 áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số x 3, 4 Ta có: 4323 xx 2 x 7 Hay : 23x . Dấu “ = ” xảy ra khi x 3 4 x = 1 2 x 7 3x 3 Do đó: A - 2x = 5. Dấu “ = ” xảy ra khi x = 1 2 2 1 4 9 VD 8: : Cho x, y, z > 0 và x + y + z =1 Tìm GTNN của: S = x y z 149 yxzyxz4499 Ta có: S = x + y + z =1+4+9+ xyz xyyzzx yx4 yxyx44 áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương , ta có : 2.4 xy xyxy 4949zyzy 99x z x z Tương tự ta có : 2.12 ; 2 . 6 yzyz z x z x  S 1 + 4 + 9 + 4 + 12 + 6 =36 yx4 1 xy 22 y yx 4 3 49zy yx 2 49zy22 1 Dấu “=” sảy ra khi : yz zxx3 22 9xz 6 9xz xyz 1 xyz 1 1 zx z 2 xyz 1 111 Vậy Min S = 36 khi yxz ,, 362 Không phải lúc nào ta cũng dùng trực tiếp được bất đẳng thức Côsi đối với các số trong đề bài. Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thê vân dụng BĐT Cô-si rồi tìm cực trị của nó: Biện pháp 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phương biểu thức đó 3x 5 0 57 VD1 : Tìm giá trị lớn nhất của A 3xx 5 7 3 , ĐKXĐ : x 7 3x 0 33 17
18. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 Bình phương hai vế ta có : A2 = 2 + 2 3xx 5 7 3 57 Với x . áp dụng bất đẳng thức côsi cho 35x và 73 x ta có: 33 357323573xxxx hay 223573 xx  A2 4 =>A 2 Dấu “=” xảy ra khi : 3x - 5 = 7 - 3x hay x = 2 VD2: Tìm GTNN của biểu thức: A = -x28-x222 xx (*) -x280242 xx xx 240 ĐKXĐ : 12x 2 -x20 x xx 120 12x Khi đó -x28-x26022 xxx => A > 0 Từ (*) => A22222 = -x28-x22-x28.-x2 xxxx = -2x310224122 xxxxx = 221 x 42 xxxx 222 xxx .1 4 2 2 = 4222 .1xx2 41 xxxxx 42 2 41422xxx2 A = 2 4140xxxx2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyên ) Bài 1 Tìm GTNN, GTLN của hàm số : yxx 11 Bài 2: Tìm GTLN của hàm số : A523 xx Bài 3: Tìm GTLN của hàm số : A 5xx 7 17 5 x y z Bài 4: Tìm GTNN của : A = với x, y, z dương và x + y + z 12 y z x Bài 5: Tìm GTLN, GTNN của : Ax4y3 biết x + y = 15 Biện pháp 2: nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác không. 18
19. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 x - 9 VD Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 5x x - 9 1x - 9 x .3 3 x - 9 23 1 Giải: ĐKXĐ: x 9 Ta có: A = = 3 6 5x 5x5530 xx x - 9 3 Dấu “=” xảy ra khi 3 x 18 x 9 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 7 x - 5 Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 7 x - 9 x3 - 9 Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = 27x3 Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức dã cho thành tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số: 1) Tách 1 hạng tử thành tổng nhiều hạng tử bằng nhau 3x164 VD1: cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức: A = x3 3x1616164 Giải : Ta có A = 3 xxxx xxx333 1616 Áp dụng BĐT Cô-si Ta có : A = x+x+x+4. . .4.284 xxx xx33 16 Vậy Min A = 8 xx 2 x3 VD2: ( đề thi ĐHTH Hà Nội 1993) Tìm Max và Min A = x2 y( 4 - x - y ) với xy, 0 và x + y 6 4 x x +y+ 4 - x - y x x 22 Xét 04 xy Ta có : A = 4. . .y( 4 - x - y ) 4. 4 2 2 4 19
20. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 x Dấu “=” xẩy ra khi = y = 4 - x - yy = 1 ; x =2 2 Xét 46 xy Rễ thấy: 4 – x - y 2 ( 1) Dấu ‘=’ xảy ra khi x + y = 6 => A = xy(2 4 - x - y ) đạt GTNN khi x2y đạtGTLN 3 3 x+x+2y 2 x+y x.x.2y 3 3 Ta có : x2 y = =32 hay x2y 32 (2) 2 2 2 xyx 64 Từ (1) và (2) => x y2 ( 4 - x - y ) -64 Dấu ‘=’ xảy ra khi xyy 22 VD3 . Tìm GTLN của A = x2(3 – x) biết x ≤ 3. x Giải : Xét 0 ≤ x ≤ 3. Viết A dưới dạng : A = 4. . .(3 – x). Áp dụng bất đẳng 2 thức Cauchy cho 3 số không âm , , (3 – x) ta được : . .(3 – x) ≤ 3 xx 3x 22 1. 3 Do đó A ≤ 4 (1) BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyên ) 12 16 Bài 1( 71/28) Cho x > 0 , y > 0 và x + y 6 Tìm GTNN của P 5xy 3 xy xx2 2 17 Bài 2( 68/ 28) Cho x , Tìm GTNN của Q 2(x 1) xx 6 34 Bài 3( 69/ 28) Tìm GTNN của M x 3 Bài 4: Cho x ,y thỏa mãn biểu thức: x + y =1 và x > 0 , Tìm GTLN của B xy23 20
21. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 2) Tách 1 hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với 1 hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của 1 hạng tử khác có trong biểu thức đã cho. 92x VD1: Cho 0 1, Tìm GTLN của A4 x x 1 2x652 x Bài 3: Cho x > 0, Tìm GTNN của biểu thức: A = 2x 2 x Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức: B = ( với x > 1 ) x-12 x 5 Bài 5: Tìm GTNN của biểu thức: D = ( với 0 < x < 1 ) 1 - x x Biện pháp 4: Thêm 1 hạng tử vào biểu thức đã cho: VD1 : Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2 Tìm GTNN của biểu thức: xyz2 2 2 P y z z x y x x2 yz xyzx2 Ta có : + 2 .2. x yz 4 yz 42 y2 xz y2 x z y + 2 . 2. y xz 4 xz 42 21
22. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 z 2 yx z2 y x z + 2 . 2. z yx 4 yx 42 xyzyzxzyx222 => xyz yzzxyx 444 xyzxyz222 Hay: xyz yzzxyx 2 xyzxyzxyz222 => P1 xyz yzzxyx 22 xyz2 yz 4 yxz2 2 Vậy Min P = 1 xyz xz 43 zyx2 yx 4 zxy222 Lưu ý: Nếu ta lần lượt thêm ( x + y), ( z + y), ( x + z) vào , , ta vẫn y+xy+zz+x khử được (x + y), ( z + y), ( x + z) nhưng không tìm được x, y, z để dấu dấu đẳng thức xảy ra đồng thời. Khi đó không tìm được giá trị nhỏ nhất. ab VD2 : Tìm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mãn 1 (a và b là hằng xy số dương). a b ay bx Giải . Cách 1 : A = x + y = 1.(x + y) = x y a b. x y x y ay bx ay bx Theo bất đẳng thức Cauchy với 2 số dương : 2 . 2 ab . x y x y 2 Do đó Aab 2 abab . 22
23. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 aybx xy 2 ab xaab min A a b với 1 xy ybab x, y0 Cách 2 : Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki : 2 abab 2 A(xy).1(xy)x.y.ab . xyxy Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của A. xyz222 VD3 Tìm GTNN của A biết x, y, z > 0 , xyyzzx xyyzzx1 . xyzxyz222 Giải Theo VD1 BIỆN PHÁP 4: . Theo bất đẳng xyyzzx2 thức Cauchy x yy zz x xy ;yz ;zx nên x y zxyyzzx . 222 x+y+z1 xyyzzx hay 222 1 1 min A = x y z . 2 3 VẬN DỤNG BDT ABA+B ĐỂ TÌM CỰC TRỊ Bài 1: Tìm GTNN của hàm số : y x22 2 x 1 x 2 x 1 Cách 1: yxxxxxx 22 2 12 111 Nếu: x < -1 thì y xxxxx 111122 Nếu: -1 x 1 thì y x 1 x 1 x 1 x 1 2 23
24. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 Nếu: x > 1 thì yxxxxx 111122 Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi - 1 x 1 Cách 2 : áp dụng BĐT a b a b ( Dấu “=” sảy ra khi a.b 0 ) Ta có : yxxxx 11112 Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi Bài 2: Cho x, y > 0 và 2x + xy = 4 . Tìm GTLN của A = x2y Cách 1: Từ 2x + xy = 4 => xy = 4 -2x Thế vào A ta có : 22 2 A = x(4 -2x ) = 2 – xx222.22 = 2 2 2 x x 220 x 1 => Max A = 2 khi 24xxy y 2 1 Cách 2: Ta có : A = .2 .x x y . Vì x, y > 0 => 2x, xy > 0. áp dụng bất đẳng thức Cosi 2 2 2 22xxyxxy 2xxy 2 cho 2 số 2x, xy ta có: 2x .2 xyx . xyx y Thay số 224.2 ta có : 2 xy2 =A 21xxyx Vậy Max A =2 khi 242xxyy BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ: Bài 1: Tìm GTNN của HS: a, y 4 x22 4 x 1 4 x 12 x 9 b, yxxxx 22 4469 Bài 2: Tìm GTNN của HS: a, yxxxx 4202581622 b, yxxxx 2520425309 22 Bài 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của Ax 2 x 1x 2 x 1 24
25. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 25