Một trăm bài tập Hình học Lớp 9

114 trang dichphong 4270

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Một trăm bài tập Hình học Lớp 9", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

mot_tram_bai_tap_hinh_hoc_lop_9.doc

Nội dung text: Một trăm bài tập Hình học Lớp 9

100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Cho ABC ( Aµ =1v),đường cao AH. Đường tròn tâm H, bán kính HA cắt đường thẳng AB tại D và cắt AC tại E;Trung tuyến AM của ABC cắt DE tại I. 1. Chứng minh D;H;E thẳng hàng. 2. C/m BDCE nội tiếp. Xác định tâm O của đường tròn này. 3. C/m: AMDE. A 4. C/m AHOM là hình bình hành. E I Gợi ý B H M C 1 . C/m D;H;E thẳng hàng: D Do D· AE = 1v (gt). Mà D· AE là góc nội tiếp O chắn nửa đường tròn tâm H) DE là đường kính D;E;H thẳng hàng. H×nh 25 2 . C/m BDCE nội tiếp: HAD cân ở H vì HD = HA (= bán kính của đường tòn tâm H) HAD = HAD mà H· AD H· CA (cùng phụ với H· AB ) B· DE B· CE Hai điểm D;C cùng nhìn đoạn thẳng BE * Xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDCE O là giao điểm hai đường trung trực của hai đường chéo DE và BC. 3. C/m: AMDE: BC Do M là trung điểm BC AM = MC = MB= ; M· AC M· CA 2 mà A· BE A· CB (cmt) M· AC A· DE . Ta lại có: A· DE A· ED = 1v (vì Aµ = 1v) C· AM A· ED = 1v A· IE = 1v vậy AM  ED. 4 . C/m AHOM là hình bình hành: GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 30
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Do O là tâm đường tròn ngoại tiếp BECD OM là đường trung trực của BC OM  BC OM // AH. Do H là trung điểm DE(DE là đường kính của đường tròn tâm H) OH  DE mà AM  DE AM // OH AHOM là hình bình hành. Bài 26: Cho ABC có 2 góc nhọn,đường cao AH. Gọi K là điểm đối xứng của H qua AB;I là điểm đối xứng của H qua AC. E;F là giao điểm của KI với AB và AC. 1. Chứng minh AICH nội tiếp. 2. C/m AI = AK 3. C/m các điểm: A;E;H;C;I cùng nằm trên một đường tròn. 4. C/m CE;BF là các đường cao của ABC. 5. Chứng tỏ giao điểm 3 đường phân giác của HFE chính là trực tâm của ABC. Gợi ý 1 . C/m AICH nội tiếp: A I * Do I đối xứng với H qua AC F AC là trung trực của HI E AI = AH và HC = IC; AC chung M K AHC= AIC (c-c-c) A· HC A· IC · · mà AHC =1v (gt) AIC = 1v B H · · C AIC AHC = 2v AICH nội tiếp. H×nh 26 2 . C/m AI=AK: Theo chứng minh trên ta có:AI = AH. Do K đối xứng với H qua AB nên AB là đường trung trực của KH AH = AK AI = AK (=AH) 3. C/m A;E;H;C;I cùng nằm trên một đường tròn: Do E AB và AB là trung trực của KH EK = EH; EA chung; GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 31
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 AH = AK AKE = AHE A· KE E· HA mà AKI cân ở A (theo c/m trên AK = AI) A· KI A· IK E· HA A· IE hai điểm I và K cung nhìn đoạn AE dưới một g óc A;E;H;I cùng nằm trên một đường tròn ký hiệu là (C) Theo chứng minh trên thì A;I;CV;H cùng nằm trên đường tròn (C’) (C) và (C’) trùng nhau nhau vì có chung 3 điểm A;H;I không thẳng hàng) Vậy 5 điểm A;E;H;C;I cùng nằm trên một đường tròn đường k ính AC. 4 . C/m:CE;BF là đường cao của ABC. Do AEHCI cùng nằm trên một đường tròn có A· IC = 1v AC là đường kính. A· EC =1v ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Hay CE là đường cao của ABC. Chứng minh tương tự ta có BF là đường cao 5 . Chứng tỏ giao điểm 3 đường phân giác của HFE chính là trực tâm của ABC. Gọi M là giao điểm AH và EC. Ta C/m M là giao điểm 3 đường phân giác của HFE. Ta có: BF // HI ( Vì cùng vuông góc với AC) nên B· FH F· HI (So le trong)  E· FB F· HI (®ång vÞ)  B· FH E· FB mµ F· IH F· HI (V× FC lµ trung trùc cña HI)  Nên FM là phân giác của góc EFH. Chứng minh tương tự ta có EM là phân giác của FEH đpcm Bài 27: Cho ABC (AB = AC) nội tiếp trong (O). Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC. Trên tia BM lấy điểm K sao cho MK = MC và trên tia BA lấy điểm D sao cho AD=AC. GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 32
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 1.C/m: B· AC 2. B· KC 2.C/m BCKD nội tiếp. Xác định tâm của đường tròn này. 3.Gọi giao điểm của DC với (O) là I. C/m: B;O;I thẳng hàng. 4.C/m DI = BI. D Gợi ý · · 1 . Chứng tỏ: BAC BMC (cùng chắn cung BC) A B· MC M· KC M· CK (góc ngoài MKC) I K Mà MK = MC (gt) MKC cân ở M M M· KC M· CK O .B· MC 2. B· KC B C B· AC 2. B· KC . H×nh 27 2 . C/mBCKD nội tiếp: Ta có B· AC A· DC A· CD (góc ngoài ADC) mà AD = AC (gt) ADC cân ở A A· DC A· CD B· AC 2. B· DC Nhưng ta lại có: B· AC 2. B· KC (cmt) B· DC B· KC BCKD nội tiếp. * Xác định tâm: 1 Do AB = AC = AD A là trung điểm BD trung tuyến CA = BD BCD 2 vuông ở C . Do BCKD nội tiếp D· KB D· CB (cùng chắn cung BD). Mà B· CD = 1v B· KD = 1v 1 BKD vuông ở K có trung tuyến KA KA = BD AD = AB = AC = AK 2 A là tâm đường tròn GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 33
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 3. C/m B;O;I thẳng hàng: Do góc BCI = 1v, mà B;C;I (O) BI là đường kính B;O;I thẳng hàng. 4 . C/m: BI = DI: * Cách 1: Ta có B· AI =1v (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay AI  DB,có A là trung điểm AI là đường trung trực của BD IBD cân ở I ID = BI * Cách 2: A· CI A· BI (cùng chắn cung AI) ADC cân ở A· C I A· DI B· DC A· CD I·DB I·BD BID cân ở I đpcm. Bài 28: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong(O). Gọi I là điểm chính giữa cung AB (Cung AB không chứa điểm C;D). ID và IC cắt AB ở M;N. 1.C/m D;M;N;C cùng nằm trên một đường tròn. 2.C/m NA. NB=NI. NC 3.DI kéo dài cắt đường thẳng BC ở F;đường thẳng IC cắt đường thẳng AD ở E. C/m:EF//AB. 4.C/m :IA2=IM. ID. Gợi ý F E 1 . C/m D;M;N;C cùng nằm trên một đường tròn. · 1 º » Sđ IMB sđ IB AD I 2 · 1 º Sđ NCD Sđ DI B 2 A M N Mà IºB IºA I·MB N· CD .I·MB N· CD O C Ta lại có I·MN D· MN = 2v D N· CD D· MN = 2v MNCD nộitiếp. 2 . Xét 2 NBC và NAI có: H×nh 28 I·AB I·CB (cùng chắn cung BI) GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 34
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 I·NA B· NC (đối đỉnh) NAI : NCB đpcm. 3. C/m EF//AB: Do I·DA I·CB (cùng chắn hai cung hai cung bằng nhau IA = IB) hay E· DF E· CF hai điểm D và C cùng nhìnđoạn EF EDCF nội tiếp E· FD E· CD (cùng chắn cung ED), mà E· CD I·MN (cmt) E· FD F· MN EF // AB. 4 . C/m: IA2 = IM. ID. 2 AIM : DIA vì: I chung; I·AM I·DA (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) đpcm. Bài 29: Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm E. Dựng tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt cạnh CD kéo dài tại F. Kẻ trung tuyến AI của AEF, AI kéo dài cắt CD tại K. Qua E dựng đường thẳng song song với AB, cắt AI tại G. 1.C/m AECF nội tiếp. 2.C/m: AF2=KF. CF 3.C/m:EGFK là hình thoi. 4.Cmr:khi E di động trên BC thì EK=BE+DK và chu vi CKE có giá trị không đổi. 5.Gọi giao điểm của EF với AD là J. C/m:GJ  JK. Gợi ý A B 1 . C/m AECF nội tiếp: F· AE D· CE = 1v (gt) G AECF nội tiếp E 2 2 . C/m: AF =KF.CF. I J GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 35 F D K C H×nh 29
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Do AECF nội tiếp D· CA F· EA (cung chắn cung AF). Mà D· CA = 45o (Tính chất hình vuông) F· EA = 45o FAE vuông cân ở A có FI = IE AI  FE F· AK = 45o. F· KA A· CF = 45o. Và KFA chung FA FK FKA : FCA đpcm. FC FA 3. C/m: EGFK là hình thoi. - Do AK là đường trung trực của FE GFE cân ở G G· FE G· EF . Mà GE//CF (cùng vuông góc với AD) G· EF E· FK (so le) G· FI I· FK FI là đường trung trực của GK GI = IK, mà I F= IE GFKE là hình thoi. 4 . C/m EK = BE + DK: vuông ADF và ABE có AD = AB; AF = AE. ( AE F vuông cân) ADF = ABE BE = DF Mà FD + DK = FK Và FK = KE (t/v hình thoi) KE = BE + DK * C/m chu vi tam giác CKE không đổi:Gọi chu vi là C = KC + EC + KE = KC + EC + BE + DK =(KC+DK) + (BE+EC)= 2. BC không đổi. 5 . C/m IJ  JK: Do J·IK J·DK = 1v IJDK nội tiếp J·IK I·DK (cùng chắn cung IK) I·DK = 45o (T/c hình vuông) J·IK = 45o JIK vuông cân ở I JI = IK, mà IK = GI 1 JI = IK = GI = GK GJK vuông ở J hay GJ  JK. 2 Bài 30: Cho ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác. Dựng hình bình hành BHCD. Gọi I là giao điểm của HD và BC. 1. C/m:ABDC nội tiếp trong đường tròn tâm O;nêu cách dựng tâm O. 2. So sánh B· AH vàO· AC . 3. CH cắt OD tại E. C/m AB. AE=AH. AC GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 36
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 4. Gọi giao điểm của AI và OH là G. C/m G là trọng tâm của ABC. Gợi ý A 1 . C/m:ABDC nội tiếp: Gọi các đường cao của ABC là AN;BM;CQ. M * Do A· QH H· MA = 2v AQHM nội tiếp Q H G O B· AC Q· HM = 2v mà Q· HM B· HC (đối đỉnh) B N I B· HC C· DB (2 góc đối của hình bình hành) C B· AC C· DB = 2V ABDC nội tiếp. D * Cách xác định tâm O:do CD//BH H×nh 30 (t/c hình bình hành) Và BHAC CDAC hay ACD=1v,mà A;D; C nằm trên đường tròn AD là đường kính. Vậy O là trung điểm AD. 2 . So sánh B· AH và O· AC B· AN Q· CB (cùng phụ với góc ABC) mà CH // BD (do BHCD là hình bình hành) Q· CB C· BD (so le); C· BD D· AC (cùng chắn cung CD) B· AH O· AC . 3. C/m: AB. AE=AH. AC: Xét hai tam giác ABH và ACE có E· AC H· CB (cmt); A· CE H· BA (cùng phụ với B· AC ) ABH : ACE đpcm 4 . C/m G là trọng tâm của ABC. Ta phải cm G là giao điểm ba đường trung tuyến hay GJ=1 AI. 3 Do IB = IC O I  BC mà AH  BC OI // AH. Theo định lý Ta Lét trong AGH GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 37
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 OI GI OI 1 . Do I là trung điểm HD O là trung điểm AD (T/c đường AH AG AH 2 OI GI 1 1 1 trung bình) GI= AG. Hay GI= AI G là trọng tâm của AH AG 2 2 3 ABC. Bài 31: Cho (O) và sđ A»B = 90o. C là một điểm tuỳ ý trên cung lớn AB. Các đường cao AI;BK;CJ của ABC cắt nhau ở H. BK cắt (O) ở N; AH cắt (O) tại M. BM và AN gaëp nhau ở D. 1. C/m:B;K;C;J cùng nằm trên một đường tròn. 2. C/m: BI. KC=HI. KB 3. C/m:MN là đường kính của (O) 4. C/m ACBD là hình bình hành. 5. C/m:OC // DH. Gợi ý Bài này có hai hình vẽ tuỳ vào vị trí của C. Cách c/m tương tự N 1 . C/m B;K;C;J cùng nằm trên một đường tròn. - Sử dụng tổng hai góc đối. - Sử dụng hai góc cùng nhìn một đoạn thẳng dưới một góc vuông. O C K 2 . C/m: BI.KC = HI.KB. Xét hai tam giác vuông BIH và BKC có A I·BH K· BC (đối đỉnh) đpcm B J M 3. C/m MN là đường kính của (O). I D H Do sđ A»B = 90o. A· CB A· NB = 45o H×nh 31 GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 38
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 KBC : AKN là những Tam giác vuông cân K· BC = 45o I·BH K· BC = 45o IBH cùng là tam giác vuông cân. Ta lại có: 1 A· MD M· AB A· BM (góc ngoài tam giác MAB). Mà sđ M· AB = sđ M¼ B 2 1 Sđ A· BM = sđ A¼M và cung s® M¼ A s® A¼M s® A»B = 90o 2 A· MD = 45o và A· MD B· MH (đối đỉnh) B· MI = 45o BIM vuông cân M· BI = 45o M· BH M· BI I·BH = 90o hay M· BN = 1v MN là đường kính của (O). 5 . C/m OH//DH. Do MN là đường kính MAN=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) mà C· AN = 45o M· AC = 45o hay s® M¼ C =90o M· NC = 45o. Góc ở tâm M· OC chắn cung MC; s® M¼ C = 90o M· OC = 90o OC  MN. Do DB  NH; HA  DN; AH và DB cắt nhau ở M M là trực tâm của DNH MN  DH OC // DH. Bài 32: Cho hình vuông ABCD. Gọi N là một điểm bất kỳ trên CD sao cho CN < ND;Vẽ đường tròn tâm O đường kính BN. (O) cắt AC tại F;BF cắt AD tại M;BN cắt AC tại E. 1. C/m BFN vuông cân. 2. C/m:MEBA nội tiếp 3. Gọi giao điểm của ME và NF là Q. MN cắt (O) ở P. C/m B;Q;P thẳng hàng. 4. Chứng tỏ ME//PC và BP=BC. 5. C/m FPE là tam giác vuông A B Gợi ý F GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 39 M O Q E P D N C H×nh 32
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 1 . C/m: BFN vuông cân: A· NB F· CB (cùng chắn cung FB). Mà F· CB = 45o (tính chất hình vuông) A· NB = 45o Mà N· FB =1v (góc nt chắn nửa đường tròn) BFN vuông cân ở F 2 . C/m MEBA Nội tiếp: Do FBN vuông cân ở F F· ME = 45o và M· AC =45o (tính chất hình vuông) FME=MAC=45o. MABE nội tiếp. 3. C/m B;Q;P thẳng hàng: Do MABE nội tiếp M· AB N· EB = 2v;mà M· AB = 1v(t/c hình vuông) M· EB = 1v hay ME  BN. Theo cmt NF  BM Q là trực tâm của BMN BQ  MN (1) Ta lại có B· PN = 1v (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay BPMN(2). Từ (1) và (2) B;Q;P thẳng hàng. 4 . C/m MF//PC. Do M· FN M· EN = 1v MFEN nội tiếp F· NM F· EM (cùng chắn cung MF) Mà F· NP F· NM F· CD (cùng chắn cung PF của (O) F· EM F· CP ME//CP * C/m:BP=BC: Do ME // CP và ME  BN CP  BN. Đường kính MN vuông góc với dây CP BN là đường trung trực của CP hay BCP cân ở B BC = BP. 5 . C/m FPE vuông: * Do FPNB nội tiếp F· PB F· NB = 45o (cmt) * Dễ dàng cm được QENP nội tiếp Q· PE Q· NE = 45o đpcm. GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 40
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Bài 33: Trên đường tròn tâm O lần lượt lấy bốn điểm A;B;C;D sao cho AB=DB; AB và CD cắt nhau ở E. BC cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn(O) ở Q;DB cắt AC tại K. 1. Cm: CB là phân giác của góc ACE. Q 2. C/m: AQEC nội tiếp. E 3. C/m: KA. KC=KB. KD B 4. C/m: QE//AD. C Gợi ý K A 1 . C/m CB là phân giác của góc ACE: D O Do ABCD nội tiếp B· CD B· AD = 2v Mà B· CE B· CD = 2V .B· CE B· AD Do AB = AC (gt) BAD cân ở B BAD = BDA. Ta lại có B· DA B· CA (Cùng chắn cung AB) H×nh 33 B· CE B· CA đpcm. 2 . C/m AQEC nội tiếp: 1 Ta có sđ Q· AB = sđ A»B (góc giữa tiếp tuyến và một dây) 2 1 sđ A· DB = sđ A»B 2 Q· AB A· DB B· CE (cmt) Q· AE ·QCD hai điểm A và C cùng nhìn đoạn QE đpcm 3. C/m: KA. KC=KB. KD. C/m KAB : KDC. 4 . C/m:QE//AD: Do AQEC nội tiếp Q· EA Q· CA (cùng chắn cung QA) mà Q· CA B· AD (cmt) Q· EA E· AD QE // AD. Bài 34: GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 41
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Cho (O) và tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy hai điểm B và C sao cho AB=BC. Kẻ cát tuyến BEF với đường tròn. CE và CF cắt (O) lần lượt ở M và N. Dựng hình bình hành AECD. 1.C/m:D nằm trên đường thẳng BF. 2.C/m ADCF nội tiếp. 3.C/m: CF. CN=CE. CM 4.C/m:MN//AC. 5.Gọi giao điểm của AF với MN là I. Cmr:DF đi qua trung điểm của NI. Gợi ý x 1 . C/m: D nằm trên đường thẳng BF. C Do ADCE là hình bình hành DE và AC là hai đường chéo. D Do B là trung điểm của AC B cùng là trung điểm DE B hay D; B; E thẳng hàng. Mà B;E;F thẳng hàng E N D nằm trên BF. J O 2 . C/m ADCF nội tiếp: A I F Do ADCF là hình bình hành D· CA C· AE (so le) 1 sđ C· AE = sđ A»E (góc giữa tt và một dây) 2 H×nh 34 M 1 mà E· FA = sđ A»E C· AE E· FA 2 D· FA D· CA hai điểm F và C cùng nhìn đoạn AD đpcm 3. C/m: CF. CN = CE. CM. Ta c/m CEF : CNM. 4 . C/m:MN//AC. GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 42
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Do ADCF nội tiếp D· AC D· FC (cùng chắn cung CD). Mà ADCE là hình bình hành D· AC A· CE (so le), ta lại có CFD = NME (cùng chắn cung EN) ACM = CMN AC // MN. 5 . C/m:DF đi qua trung điểm NI:Gọi giao điểm của NI với FE là J JE NJ Do NI//AC (vì MN//AB) NJ//CB, theo hệ quả Talét FB BC JF JI Tương tự IJ//AB FB AB IJ NJ Mà AB = AC (gt) JI = NJ AB BC GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 43
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Bài 35: Cho (O;R) và đường kính AB;CD vuông góc với nhau. Gọi M là một điểm trên cung nhỏ CB. 1. C/m:ACBD là hình vuông. 2. AM cắt CD ;CB lần lượt ở P và I. Gọi J là giao điểm của DM và AB. C/m IB. IC=IA. IM 3. Chứng tỏ IJ//PD và IJ là phân giác của góc CJM. 4. Tính tích tích AID theo R. Gợi ý 1 . C/m: ACBD là hình vuông: Vì O là trung điểm của AB;CD nên ACBD là hình bình hành. Mà AC = BD (đường kính) và AC  DB (gt) hình bình hành ACBD là hình vuông. C M I 2 . C/m: IB.IC=IA.IM P Xét 2 IAC và IBM có C· IA M· IB (đối đỉnh) A B O J I·AC I·BM (cùng chắn cung CM) IAC : IBM đpcm. 3. * C/m IJ//PD. D Do ACBD là hình vuông C· BO = 45o. H×nh 35 Và cung AC = CB = BD = DA. A· MD D· MB = 45o I·MJ I¶BJ = 45o M và B cùng nhìn đoạn IJ MBIJ nội tiếp. I¶JB I·MB =2v mà I·MB = 1v I¶JB =1v hay IJAB. Mà PDAB (gt) IJ//PD * C/m IJ là phân giác của góc CMJ: -Vi IJAB hay AJI=1v và A· CI =1v (t/c hình vuông) ACIJ nội tiếp I·JC I·AC (cùng chắn cung CI) mà I·AC I·BM (cùng chắn cung CM) GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 44
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 -Vì MBJI nội tiếp M· BI M· JI (cùng chắn cung IM) I¶JC I·JM đpcm. 4 . Tính tích tích AID theo R: Do CB//AD (tính chất hình vuông) có I CB khoảng cách từ đến AD chính bằng CA. Ta lại có IAD và CAD chung đáy và đường cao bằng nhau. SIAD=SCAD. 1 1 Mà SACD= SABC SIAD= SABCD 2 2 1 SABCD= AB. CD (tích tích có 2 đường chéo vuông góc) 2 1 2 2 SABCD= 2R. 2R=2R SIAD=R . 2 Bài 36: Cho ABC (Aµ =1v). Kẻ AHBC. Gọi O và O’ là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AHB và AHC. Đường thẳng O O’ cắt cạnh AB;AC tại M;N. 1. C/m: OHO’ là tam giác vuông. 2. C/m:HB. HO’=HA. HO 3. C/m: HOO’ : HBA. 4. C/m:Các tứ giác BMHO;HO’NC nội tiếp. 5. C/m AMN vuông cân. Gợi ý 1 . C/m: OHO’ vuông: Do A· HB = 1v và O là tâm đường tròn nội tiếp AHB O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác A· HO O· HB = 45o. Tương tự A· HO’ O· ’HC = 45o. O· ’HO = 45o + 45o = 90o. hay O’HO vuông ở H. 2 . C/m: HB.HO’=HA.HO GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 45
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Do ABC vuông ở A và AHBC A· BH C· AH (cùng phụ với góc C) mà OB;O’A lần lượt là A Phân giác của hai góc trên O· BH O· 'AH và O· HB O· 'HA = 45o. HB OH N HBO : HAO’ đpcm. (1) O' HA O' H O M C 3. C/m HOO’ : HBA. B H HB HO HO' HO H×nh 36 Từ (1) (Tính chất tỷ lệ thức). Các cặp cạnh HO và HO’ của HA HO' HA HB HOO’ tỷ lệ với các cặp cạnh của HBA và góc xen giữa B· HA O· 'HO = 1v HOO’: HBA. 4 . C/m:BMOH nội tiếp: Do HOO’ :HBA O· 'OH A· BH mà O· 'OH M· OH = 2v M· BH M· OH = 2v đpcm. C/m NCHO’ nội tiếp: HOO’ : HBA (cmt) và hai tam giác vuôngHBA và HAC có góc nhọn ABH=HAC(cùng phụ với góc ABC) nên HBA : HAC HOO’ : HAC O· O'H A· C . HMà O· O'H N· O ='H 2v N· CH N· O ='H 2v đpcm. 5 . C/m AMN vuông cân: Do OMBH nội tiếp O· MB O· HB = 2v mà A· MO O· MB = 2v A· MO O· HB mà O· HB = 45o A· MO = 45o. Do AMN vuông ở A có A· MO = 45o. AMN vuông cân ở A. GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 46
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Bài 37: Cho nửa đường tròn O,đường kính AB=2R,gọi I là trung điểm AO. Qua I dựng đường thẳng vuông góc với AB,đường này cắt nửa đường tròn ở K. Trên IK lấy điểm C,AC cắt (O) tại M;MB cắt đường thẳng IK tại D. Gọi giao điểm của IK với tiếp tuyến tại M là N. 1. C/m:AIMD nội tiếp. 2. C?m CM. CA=CI. CD. 3. C/m ND=NC. 4. Cb cắt AD tại E. C/m E nằm trên đường tròn (O) và C là tâm đường tròn nội tiếp EIM. 5. Giả sử C là trung điểm IK. Tính CD theo R. Gợi ý 1 . C/m AIMD nội tiếp: Sử dụng hai điểm I;M cùng làm với hai đầu đoạn AD D 2 . C/m: CM.CA=CI.CD. C/m hai CMD và CAI đồng dạng. N M 3. C/m CD = NC: K 1 sđ N· AM = sđ A¼M (góc giữa tt và một dây) 2 E C 1 sđ M· AB = sđ A¼M 2 A I O B N· AM = M· AB H×nh 37 Mà M· BA A· CI (cùng phụ với góc CAI); C· AI K· CM (đối đỉnh) N· CM N· MC NMC cân ở N NC = NM. Do N· MD N· MC =1v N· CM N· DM =1v và N· CM N· MC N· DM N· MD NMD cân ở N ND=NM NC=ND (đpcm) 4 . C/m C là tâm đường tròn nội tiếp EMI. Ta phải c/m C là giao điểm 3 đường phân giác của EMI (xem câu 3 bài 35) GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 47
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 5 . Tính CD theo R: Do KI là trung trực của AO AKO cân ở K KA=KO mà KO=AO (bán kính) R 3 KI R 3 AKO là đều KI= CI = KC= = . 2 2 4 Áp dụng PyTaGo trong tam giác vuông ACI có: 3R 2 R 2 R 7 CA = CI 2 AI 2 CIA BMA (hai tam giác vuông có góc 16 4 4 : CA IA AB AI R R 7 CAI chung) MA= = 2R. : BA MA AC 2 4 4R 7 9R 7 3R 3 = MC = AM - AC= áp dụng hệ thức câu 2 CD= . 7 28 4 Bài 38: Cho ABC. Gọi P là một điểm nằm trong tam giác sao choP· BA P· AC . Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ P xuống AB;AC. 1.C/m AHPK nội tiếp. 2.C/m HB. KP=HP. KC. 3.Gọi D;E;F lần lượt là trung điểm của PB;PC;BC. Cmr:HD=EF; DF=EK 4.C/m:đường trung trực của HK đi qua F. Gợi ý 1 . C/m AHPK nội tiếp (sử dụng tổng hai góc đối) 2 . C/m: HB.KP = HP.KC C/m hai vuông HPB và KPC đồng dạng. 3. * C/m: HD = FE: A Do FE//DO và DF//EP (FE và FD là GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 48 K H P D E B F C H×nh 38
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 đường trung bình của PBC) DPEF là hình bình hành. DP = FE.Do D là trung điểm của BP DH là trung tuyến của vuông HBP HD = DP DH = FE *C/m tương tự có:DF=EK. 4 . C/m đường trung trực của HK đi qua F. Ta phải C/m EF là đường trung trực của HK. Hay cần c/m FK = FH. Do HD = DP = DB H· DP 2 A· BP (góc ngoài tam giác cân ABP) Tương tự K· EP 2 A· CP Mà A· BP A· CD (gt) H· DP K· EP (1) Do PEFD là hình bình hành (cmt) P· DF P· EF (2) Từ (1) và (2) H· DF K· EF mà HD = FE; KE = DF DHF = EFK (cgc) FK = FH đpcm. Bài 39: Cho hình bình hành ABCD (Aµ > 90o). Từ C kẻ CE;CF;CG lần lượt vuông góc với AD;DB;AB. 1. C/m DEFC nội tiếp. 2. C/m:CF2 = EF. GF. 3. Gọi O là giao điểm AC và DB. Kẻ OICD. Cmr: OI đi qua trung điểm của AG 4. Chứng tỏ EOFG nội tiếp. Gợi ý 1 . C/m: DEFC nội tiếp: (Sử dụng hai điểm E;F cùng nhìn đoạn thẳng CD). 2 . C/m: CF2=EF. GF: GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCSA Quảng Phúc 49 G B E F O D J I C H×nh 39
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Xét 2 ECF và CGF có: - Do DE FC nội tiếp F· CE F· DE ¦(cùng chắn cung FE); F· DE F· BC (so le). Do GBCF nội tiếp (tự c/m) F· BC F· GC (cùng chắn cung FC) F· GC F· CE . -Do GBCF nội tiếp G· BF G· CF (cùng chắn cung GF) mà G· BF F· DC (so le). DoDEFC nội tiếp F· DC F· CE (cùng chắn cung CF) F· CG F· EC ECF: CGF đpcm. 3. C/m OI đi qua trung điểm AG. Gọi giao điểm của đường tròn tâm O đường kính AC là J Do AG//CJ và CG  AG AGCJ là hình chữ nhật AG=CJ Vì OI  CJ nên I là trung điểm CJ (đường kính  với 1 dây ) đpcm. 4 . C/m EOFG nội tiếp: * Do C· EA A· GC = 1v AGCE nội tiếp trong (O) A· OG 2. ·GCE (góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn 1 cung; Và E· AG G· CE = 2v (2góc đối của tứ giác nội tiếp). Mà A· DG A· DC = 2v (2góc đối của hbh) E· OG 2. A· DC (1) * Do DEFC nội tiếp E· FD E· CD (cùng chắn cung DE); E· CD = 90o - E· DC (2 góc nhọn của vuông EDC) (*);Do GBCF nội tiếp G· FB = G· BC (cùng chắn cung GB); B· CG 90o G· BC ( ). Từ (*) và ( ) E· FD G· FB = 90o - E· DC 90o G· BC 180o 2.A· DC mà E· FG 180o E· FD G· FB 180o 180o 2. A· DC 2.A· DC (2) Từ (1) và 2) E· OG E· FG EOFG nội tiếp. Bài 40: GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 50
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B. Các đường thẳng AO cắt (O); (O') lần lượt ở C và E;đường thẳng AO’ cắt (O) và (O’) lần lượt ở D và F. 1.C/m:C;B;F thẳng hàng. 2.C/m CDEF nội tiếp. 3.Chứng tỏ DA. FE=DC. EA 4.C/m A là tâm đường tròn nội tiếp BDE. 5.Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O);(O’) Gợi ý 1 . C/m:C;B;F thẳng hàng: Ta có: A· BF =1v; A· BC = 1v (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). A· BC A· BF = 2v C;B;F thẳng hàng. 2 . C/mCDEF nội tiếp: E D Ta có A· EF A· DC =1v E;D A cùng nhìn đoạn CF đpcm O O' 3. C/m: DA. FE = DC. EA. I Hai vuông DAC và EAF có C B DAC=EAF (đối đỉnh) F DAC : EAF đpcm. H×nh 40 4 . C/m A là tâm đường tròn ngoại tiếp BDE. Ta phải c/m A là giao điểm 3 đường phân giác của DBE. (Xem cách c/m bài 35 câu 3) 5 . Để DE là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn cần điều kiện là: Nếu DE là tiếp tuyến chung thì ODDE và O’EDE. Vì OA = OD AOD cân ở O ODA = OAD. Tương tự O’AE cân ở O’ O· 'AE O· 'EA . Mà O· 'AE O· AD (đối đỉnh) O· DDO 'và E O· cùngEO' nhìn đoạn thẳng OO’ những góc bằng GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 51
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 nhau ODEO’ nội tiếp O· DE E· O'O = 2v. Vì DE là tia tiếp tuyến của (O) và (O’) O· DE O· 'ED = 1v E· O'O = 1v ODEO’ là hình chữ nhật DA=AO’=OA=AE (t/c hcn) hay OA=O’A. Vậy để DE là tia tiếp tuyến chung của hai đường tròn thì hai đường tròn có bán kính bằng nhau. (hai đường tròn bằng nhau) Bài 41: Cho (O;R). Một cát tuyến xy cắt (O) ở E và F. Trên xy lấy điểm A nằm ngoài đoạn EF,vẽ 2 tiếp tuyến AB và AC với (O). Gọi H là trung điểm EF. 1. Chứng tỏ 5 điểm:A;B;C;O;H cùng nằm trên một đường tròn. 2. Đường thẳng BC cắt OA ở I và cắt đường thẳng OH ở K. C/m: OI. OA=OH. OK=R2. 3. Khi A di động trên xy thì I di động trên đường nào? 4. C/m KE và KF là hai tiếp tyueán của (O) Gợi ý 1 . C/m:A;B;C;H;O cùng nằm trên một đường tròn: B Ta có A· BO A· CO (tính chất tiếp tuyến). O Vì H l;à trung điểm dây FE nên OHFE I (đường kính đi qua trung điểm 1 dây) x y E H F A hay kính AO. O· HA = 1v 5 điểm A;B;O;C;H cùng nằm trên C đường tròn đường kính AO. K H×nh 41 2 . C/m: OI. OA = OH. OK = R2 * Do ABO vuông ở B có BI là đường cao. Áp dung hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: OB2 = OI. OA ; mà OB=R. OI. OA = R2. (1) OA OH * Xét hai vuông OHA và OIK có IOH chung. AHO KIO : OK OI OI. OA = OH. OK (2). GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 52
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Từ (1) và (2) đpcm. 4 . C/m KE và KF là hai tia tiếp tuyến của đường tròn (O). OH OE -Xét hai EKO và EHO. Do OH. OK = R2 = OE2 và EOH chung OE OK EOK :HOE (cgc) O· EK O· H màE O· =H E1v O· =1vEK hay OEEK tại điểm E nằm trên (O) EK là tia tiếp tuyến của (O) đ pc/m Bài 42: Cho ABC (AB AC A Gợi ý N M F E 1 . C/m AFDE nội tiếp. ( tự c/m) D B 2 . C/m: AB. NC = AN. BC K I C Do D là giao điểm các đường phân giác H×nh 42 BD AB BN và CM của ABN (1) DN AN BD BC Do CD là phân giác của CBN (2) DN CN BC AB Từ (1) và (2) đpcm CN AN 3. c/M: fe//bc: GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 53
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Do BE là phân giác của ABI và BEAI BE là đường trung trực của AI. Tương tự CF là phân giác của ACK và CFAK CF là đường trung trực của AK E là F lần lượt là trung điểm của AI và AK FE là đường trung bình của AKI FE//KI hay EF//BC. 4 . C/m ADIC nội tiếp: Do AEDF nội tiếp D· AE D· FE (cùng chắn cung DE) Do FE//BC E· FD D· CI (so le) D· AI D¼CI ADIC nội tiếp Bài 43: Cho ABC(A=1v);AB=15;AC=20(cùng ñôn vị đo đoä dài). Dựng đường tròn tâm O đường kính AB và (O’) đường kính AC. Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại điểm thứ hai D. 1.Chứng tỏ D nằm trên BC. 2.Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ DC. AM cắt DC ở E và cắt (O) ở N. C/m DE. AC=AE. MC 3.C/m AN=NE và O;N;O’ thẳng hàng. 4.Gọi I là trung điểm MN. C/m góc OIO’=90 o. 5.Tính tích tích tam giác AMC. Gợi ý 1 . Chứng tỏ: D nằm trên đường thẳng BC: Do A· DB 1v; A· DC 1v (góc nt chắn nửa đường tròn) A· DB A· DC = 2v D;B;C thẳng hàng. -Tính DB: Theo PiTaGo trong vuông ABC có: BC=AC 2 AB 2 152 202 25 . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có: AD. BC = AB. AC AD =20. 15:25 = 12 A 2 . C/m: DE. AC=AE. MC. O O' GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng PhúcN 54 I C B D E M H×nh 43
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Xét hai tam giác ADE và AMC. Có A· DE =1v (cmt) và A· MC =1v (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Do cung M¼ C D»B (gt) D· AE M· AC (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau) DAE :MAC DA DE AE (1) Đpcm. MA MC AC 3. C/m: AN=NE: Do BA  AO’ ( ABC Vuông ở A) BA là tia tiếp tuyến của (O’) 1 sđ B¼AE = sđ A¼M 2 1 sđ A· ED = sđ (M¼ C A»D ) mà cung M¼ C D¼M M¼ C A»D A¼M 2 A· ED B· AC BAE cân ở B mà BMAE NA=NE. * C/m O;N;O’ thẳng hàng: ON là đường TB của ABE ON//BE và OO’//BE O;N;O’ thẳng hàng. 4 . Do OO’//BC và M¼ C M¼ D O’MBC O’MOO’ NO’M vuông ở O’ có O’I là trung tuyến INO’ cân ở I I·O'M I·NO' mà I·NO' O· NA (đối đỉnh); OAN cân ở O O· NA O· AN O· AI I·O'O OAO’I nội tiếp O· AO' O· IO' =2v mà O· AO' =1v O· IO' = 1v. 5 . Tính diện tích AMC. 1 AB 2 Ta có SAMC= AM. MC . Ta có BD= DC=16 9 2 BC Ta lại có DA2=CD. BD=16. 9 AD=12;BE=AB=15 DE=15-9=6 AE= AD 2 DE 2 6 5 Từ(1) tính AM;MC rồi tính S. GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 55
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Bài 44: Trên (O;R),ta lần lượt đặt theo một chiều, kể từ điểm A một cung AB=60o, rồi cung BC = 90o và cung CD = 120o. 1. C/m ABCD là hình thang cân. 2. Chứng tỏ ACDB. 3. Tính các cạnh và các đường chéo của ABCD. 4. Gọi M;N là trung điểm các cạnh DC và AB. Trên DA kéo dài về phía A lấy điểm P;PN cắt DB tại Q. C/m MN là phân giác của góc PMQ. Gợi ý 1 . C/m:ABCD là hình thang cân: Do B»C = 90o B· AC =45o (góc nt bằng nửa cung bị chắn). do A»B =60o; B»C =90o; C»D =120o A»D =90o A· CD = 45o B· AC A· CD 45o AB//CD. Vì sđ D¼AB = 150o; sđ A¼BC = 150o B· CD C· DA ABCD là thang cân. 2 . C/m: ACDB: P Gọi I là giao điểm của AC và BD. N B A 1 J K sđ=A· IDsđ (A»D ) B=»C 180 o =90o 2 Q ACDB. I 3. Do sđ A»B = 60o A· OB = 60o O AOB là tam giác đều AB = R. Do sđ B»C = 90o B· OC =90o D M C E BOC vuông cân ở O BC=AD=R2 . H×nh 44 Do sđ C»D = 120o D· OC =120o. Kẻ OKCD DOK=600 DK R 3 sin 60o = DK= CD = 2DK = R 3 OD 2 GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 56
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 2 R 2 -Tính AC:Do AIB vuông cân ở I 2. IC2 = AB2 IA = AB = 2 2 R 6 R 2 R 6 (1 3)R 2 Tương tự IC= ; AC = DB = IA + IC = 2 2 2 2 4 . PN cắt CD tại E;MQ cắt AB tại K;PM cắt AB tại J. JN PN   Do JN//ME ME PE AN JN  AN PN DE ME Do AN//DE DE PE  JN NK  (V× NB = NA) NK NQ ME ME Do NK//DE ME QE NK NB  NB NQ ME DE Do NB//ME DE QE   Mà MN  AB (tính chất hình thang cân) JMK cân t ại M MN là tia phân giác của góc PMQ Bài 45: Cho đều ABC có cạnh bằng a. Gọi D là giao điểm hai đường phân giác góc A và góc B của tam giác BC. Từ D dựng tia Dx vuông góc với DB. Trên Dx lấy điểm E sao cho ED = DB (D và E nằm hai phía của đường thẳng AB). Từ E kẻ EFBC. Gọi O là trung điểm EB. 1. C/m AEBC và EDFB nội tiếp,xác định tâm và bán kính của các đường tròn ngoại tiếp các tứ giác trên theo a. 2. Kéo dài FE về phía F,cắt (D) tại M. EC cắt (O) ở N. C/m EBMC là thang cân. Tính tích tích. 3. c/m EC là phân giác của góc DAC. 4. C/m FD là đường trung trực của MB. 5. Chứng tỏ A;D;N thẳng hàng. 6. Tính tích tích phần mặt trăng được tạio bởi cung nhỏ EB của hai đường tròn. Gợi ý GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 57
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 1 . Do ABC là tam giác đều có D là giao điểm 2 đường phân giác góc A và góc B BD=DA=DC mà DB=DE A;B;E;C cách đều D AEBC nội tiếp trong (D). Tính DB. Áp dụng coâng thức tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp ña giác đều ta AB AB a 3 có: DB= 180o 2sin 60o 3 2Sin n Do góc E· DB E· FB = 1v EDFB nội tiếp trong đường tròn tâm O đường kính EB. Theo Pi Ta Go trong tam giác vuông EDB có:EB2 = 2ED2 = 2. ( a 3 )2. 3 a 6 a 6 EB= OE = 3 6 2 . C/m EBMC là thang cân: A Góc E· DB = 90o là góc ở tâm (D) chắn cung EB E sđ E»B = 90o E· CN = 45o. · o EFC vuông cân ở F FEC = 45 N M· BC =45o (=M· EC = 45o) O E· FC C· BM = 45o BM//EC. D Ta có FBM vuông cân ở F BC = EM C EBMC là thang cân. F B Do EBMC là thang cân có hai đường chéo M 1 vuông góc SEBMC= BC. EM 2 H×nh 45 1 2 (BC = EM = a) SEBMC= a . 2 3. C/m EC là phân giác của góc DCA: Ta có A· CB = 60o; E· CB = 45o A· CE = 15o. Do BD;DC là phân giác của đều ABC D· CB A· CD = 30o và E· CA =15o E· CD = 15o E· CA E· CD EC là phân giác của góc ECA. GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 58
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 4 . C/m FD là đường trung trực của MB: Do B· ED B· EF F· ED = 45o và F· EC F· ED D· EC = 45o B· EF D· EC và D· EC D· CE = 15o. Mà B· EF B· DF (cùng chắn cung BF) và N· ED N· BD (cùng chắn cung ND) N· B BN//DFD B· DF mà BNEC (góc nội tiếp chắn nửa ñuđường tròn (O)) DF EC. Do DC//BM (vì BMCE là hình thang cân) DFBM nhưng BFM vuông cân ở F FD là đường trung trực của MB. 5 . C/m:A;N;D thẳng hàng: Ta có B· ND B· ED = 45o (cùng chắn cung DB) và E· NB = 90o (cmt); E· NA là góc ngoài ANC E· NA N· AC C· AN = 45o E· NA ·ENB B· ND = 180o A;N;D thẳng hàng. 6/Gọi tích tích mặt trăng cần tính là:S. Ta có: S =Snửa (O)-S vieân phân EDB 2 2 2 a 6 2 a a S(O)= . OE = . ( ) = S 1 (O)= 6 6 2 12 2 BD 2 .90o a 6 a 2 S = = quaït EBD o 360 4 6 12 2 1 2 a S EBD= DB = 2 6 a 2 a 2 a 2 ( 2) Svieân phân=S quạt EBD - S EDB= - = 12 6 12 2 2 2  S =a -a ( 2) =a . 12 12 6 Bài 46: Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC. Gọi a là một điểm bất kỳ trên nửa đường tròn;BA kéo dài cắt tiếp tuyến Cy ở F. Gọi D là điểm chính giữa cung AC;DB kéo dài cắt tiếp tuyến Cy tại E. 1. C/m BD là phân giác của góc ABC và OD//AB. 2. C/m ADEF nội tiếp. 3. Gọi I là giao điểm BD và AC. Chứng tỏ CI=CE và IA. IC = ID. IB. 4. C/m góc A· FD A· ED GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 59
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Gợi ý 1 . * C/m BD là phân giác của góc ABC: Do A»D D»C (gt) A· BD D· BC (hai góc nt chắn hai cung bằng nhau) BD là phân giác của A· BC .*Do A»D D»C A· OD D· OC (2 cung bằng nhau thì hai góc ở tâm bằng nhau). F Hay OD là phân giác của cân AOC ODAC. Vì B· AC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn BA  AC nên OD//BA 2 . C/m ADEF nội tiếp: Do A· DB A· CB (cùng chắn cung AB) A E Do A· CB B· FC (cùng phụ với góc ABC) I D A· DB A· FE . Mà A· DB A· DE = 2v A· FE A· DE = 2v ADEF nội tiếp. B O C 3. C/m: *CI=CE: H×nh 46 Ta có:sđ D· CA = 1 sđ A»D (góc nội tiếp chắn cung AD) 2 sđ E· CD = 1 sđ D»C (góc giữa tia tiếp tuyến và 1 dây) 2 Mà cung A»D D»C D· hayCA CDE· C làD phân giác của ICE. Nhưng CDDB (góc nội tiếp chắn nửa đường tòn) CD vừa là đường cao,vừa là phân giác của ICE ICE cân ở C IC = CE. *C/m IAD∽ IBC(có D· AC D· BC cùng chắn cung DC) 4 . Tự c/m: Bài 47: GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 60
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Cho nửa đường tròn (O); Đường kính AD. Trên nửa đường tròn lấy hai điểm B và C sao cho cung AB < AC; AC cắt BD ở E. Kẻ EFAD tại F. 1. C/m: ABEF nội tiếp. 2. Chứng tỏ: DE. DB=DF. DA. 3. C/m:E là tâm đường tròn nội tiếp CBF. 4. Gọi I là giao điểm BD với CF. C/m BI2 = BF. BC - IF. IC Gợi ý 1 . Sử dụng tổng hai góc đối. 2 . C/m: DE.DB=DF.DA Xét hai tam giác vuông BDA và FDE có góc D chung. BDA : FDE đpcm. C 3. C/m IE là tâm đường tròn ngoại tiếp FBC: B Xem câu 3 bài 35. E I M 4 . C/m: BI2=BF.BC - IF.IC A F O D H×nh 47 Gọi M là trung điểm ED. *C/m:BCMF nội tiếp: Vì FM là trung tuyến của tam giác vuông FED 1 FM EM MD = ED Các tam giác FEM; MFD cân ở M MFD = MDF 2 và E· MF M· FD M· DF 2. M· DF (góc ngoài MFD) Vì CA là phân giác của góc BCF 2. A· CF B· CF . Theo cmt thì M· DF A· CF B· MF B· CF BCMF nội tiếp. GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 61
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 *Ta có BFM∽ BIC vì F· BM C· BI (BD là phân giác của góc FBC-cmt) và B· MF B· CI BF BM (cmt) BF. BC=BM. BI (1) BI BC * IFM∽ IBC vì B· IC F· IM (đối đỉnh). Do BCMF nội tiếp CFM=CBM(cùng chắn IB IC cung CM) I C. IF=IM. IB (2) FI IM Lấy (1) trừ (2) vế theo vế BF. BC-IF. IC= BM. IB-IM. IB=IB. (BM-IM)=BI. BI=BI2. Bài 48: Cho (O) đường kính AB;P là một điểm di động trên cung AB sao cho PA<PB. Dựng hình vuông APQR vào phía trong đường tròn. Tia PR cắt (O) tại C. 1. C/m ACB vuông cân. 2. Vẽ phân giác AI của góc PAB(I nằm trên(O);AI cắt PC tại J. C/m 4 điểm J;A;Q;B cùng nằm trên một đường tròn. 3. Chứng tỏ: CI. QJ=CJ. QP. 4. CMR: Ba điểm P; Q; B thẳng hàng Gợi ý 1 . C/m: ABC vuông cân: Ta có ACB=1v(góc nt chắn nửa đường tòn) Và A· PB =1v ;Do APQR là hvuông có PC là đường chéo PC là phân giác của góc APB A»C AC=CB C»B ABC vuông cân. 2 . C/m JANQ nội tiếp: Vì A· PJ J·PQ =45o (t/c hv); PJ chung; AP = PQ PAJ= QPJ I P· AJ P· QJ màJ·AB P· AJ và P· QJ J·QB = 2v P J·AB J·QB =2v JQBA nt. Q J 3. C/m: CI. QJ=CJ. QP. A B O GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 62 R C H×nh 48
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Ta cần chứng minh CIJ : QPJ vì A· IC A¼PC (cùng chắn cung AC) và A· PC J·PQ =45o J¶IC Q· PJ Hơn nữa P· CI I·AP (cùng chắn cung PI); IAP=PQJ (cmt) P· QJ I¶CJ 4. CMR: Ba điểm P; Q; B thẳng hàng (Tự chứng minh) Bài 49: Cho nửa (O) đường kính AB=2R. Trên nửa đường tròn lấy điểm M sao cho cung AM<MB. Tiếp tuyến với nửa đường tròn tại M cắt tia tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở D và C. 1. Chứng tỏ ADMO nội tiếp. 2. Chứng tỏ AD. BC = R2. 3. Đường thẳng DC cắt đường thẳng AB tại N;MO cắt Ax ở F;MB cắt Ax ở E. Chứng minh: AMFN là hình thang cân. 4. Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn để DE = EF Gợi ý 1 . C/m ADMO nội tiếp:Sử dụng tổng hai góc đối. 2 . C/m: AD. BC=R2. C/m:DOC vuông ở O: Theo tính chất hai tia tiếp tuyến cắt nhau ta có A· DO M· DO M· OD D· OA . Tương tự M· OC C· OB . Mà : M· OD D· OA M· OC C· OB =2v A· OD C· OB D· OM M· OC =1v hay D· OC =1v. GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 63
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông DOC có OM là đường cao ta có:DM. MC=OM2. Mà DM = AD; MC = CB (t/c hai tia tiếp tuyến cắt nhau) và OM=R đpcm. x y 3. Chứng minh:AMFN là hình thang cân Do AD=MD(t/c hai tia tiếp tuyến cắt nhau) F và A· DO O· DM OD là đường trung trực của AM hay DOAM. Vì FAON;NMFO C (t/c tia tiếp tuyến) và FA cắt MN tại D E M D là trực tâm của FNO DOFN. D Vậy AM//FN. Vì OAM cân ở O O· AM O· MA . Do AM//FN · · · · FNO MAO và AMO NFO N A O B H×nh 49 F· NO N· FO vậy FNAM là thang cân. 4. Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn để DE=EF Do DE=FE nên EM là trung tuyến của vuông FDM ED=EM.  Vì D· MA D· AM và D· MA E· MD =1v;D· AM D· EM =1v E· DM D· EM hay EDM cân ở D hay DM=DE. Từ và  EDM là đều O· DM =60o A· OM =60o. Vậy M nằm ở vị trí sao cho cung AM=1 . 3 nửa đường tròn. Bài 50: Cho hình vuông ABCD,E là một điểm thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE ,đường này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K. 1. Chứng minh:BHCD nội tiếp. 2. Tính góc CHK. 3. C/m KC. KD=KH. KB. 4. Khi E di động trên BC thì H di động trên đường nào? 5. GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 64
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Gợi ý 1 . C/m BHCD nt (Sử dụng H và C cùng nhìn đoạn thẳng DB ) A B 2 . Tính góc CHK: · · H Do BDCE nt DBC DHK E (cùng chắn cung DC) mà D· BC = 45o (tính chất hình vuông) D· HC =45o mà D· HK =1v (gt) C· HK = 45o. D C K H×nh 50 3. C/m KC.KD=KH.KB. Chứng minh hai tam giác vuông KCB và KHD đồng dạng. 4 . Do B· HD =1v không đổi E di chuyển trên BC thì H di động trên đường tròn đường kính DB. Bài 51: Cho (O), từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tia tiếp tuyến AB và AC với đường tròn. Kẻ dây CD//AB. Nối AD cắt đường tròn (O) tại E. 1. C/m ABOC nội tiếp. 2. Chứng tỏ AB2=AE. AD. 3. C/m góc A· OC A· CB và BDC cân. 4. CE kéo dài cắt AB ở I. C/m IA=IB. 1 . C/m: ABOC nội tiếp:(HS tự c/m) B GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng PhúcI 65 A O E D C
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Hình 51 2 . C/m: AB2=AE. AD. Chứng minh ADB ∽ ABE , vì có Eµ chung. 1 Sđ A· BE = sđ cung B»E (góc giữa tia tiếp tuyến và 1 dây) 2 1 Sđ B· DE = sđ B»E (góc nội tiếp chắn B»E ) 2 3. C/m A· OC A· CB * Do ABOC nội tiếp A· OC A· BC (cùng chắn cung AC); vì AC = AB (t/c 2 tia tiếp tuyến cắt nhau) ABC cân ở A A· BC A· CB A· OC A· CB 1 1 * sđ A· CB = sđ B¼EC (góc giữa tia tiếp tuyến và 1 dây); sđ B· DC = sđ B¼EC (góc 2 2 nội tiếp) B· DC =A· CB mà A· BC =B· DC (do CD//AB) B· DC B· CD BDC cân ở B. 4 . Ta có I chung; I·BE E· CB (góc giữa tia tiếp tuyến và 1 dây; góc nội tiếp chắn IE IB cung BE) IBE∽ ICB IB2=IE. IC IB IC 1 Xét 2 IAE và ICA có I chung; sđ I·AE = sđ (D»B B»E ) mà BDC cân ở B 2 1 D»B B»C sđ I·AE =s® (B»C-B»E) = s® C»E= s® E· CA 2 IA IE IAE : ICA IA 2 = IE. IC Từ và IA2 = IB2 IA = IB IC IA Bài 52: Cho ABC (AB=AC); BC=6; Đường cao AH=4(cùng ñôn vị đoä dài), nội tiếp trong (O) đường kính AA’. 1. Tính bán kính của (O). 2. Kẻ đường kính CC’. Tứ giác ACA’C’ là hình gì? 3. Kẻ AKCC’. C/m AKHC là hình thang cân. 4. Quay ABC một voøng quanh trục AH. Tính tích tích xung quanh của hình được tạio ra. A Gợi ý C' GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS QuảngK Phúc 66 O H B C A' Hình 52
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 1 . Tính OA: Ta có BC=6 đường cao AH=4 AB=5; ABA’ vuông ở B BH2=AH.A’H BH 2 9 25 A’H= = AA’=AH+HA’= AH 4 4 25 AO= 8 2. ACA’C’ là hình gì? Do O là trung điểm AA’ và CC’ ACA’C’ là Hình bình hành. Vì AA’=CC’ (đường kính của đường tròn) AC’A’C là hình chữ nhật. 3. C/m: AKHC là thang cân:  ta có A· KC A· HC = 1v AKHC nội tiếp H· KC H· AC (cùng chắn cung HC) mà OAC cân ở O O· A C O· CA H· K CHK//AC H· CA AKHC là hình thang.  Ta lại có:K· AH K· CH (cùng chắn cung KH) K· AO O· AC K· CH O· CA Hình thang AKHC có hai góc ở đáy bằng nhau. Vậy AKHC là thang cân. 4 . Khi Quay ABC quanh trục AH thì hình được sinh ra là hình nón. Trong đó BH là bán kính đáy; AB là đường sinh; AH là đường cao hình nón. 1 1 Sxq= p. d= . 2 . BH. AB=15 2 2 1 1 V= B. h= BH 2. AH=12 3 3 Bài 53: Cho(O) và hai đường kính AB; CD vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm OA. Qua I vẽ dây MQOA (M cung AC ; Q AD). Đường thẳng vuông góc với MQ tại M cắt (O) tại P. 1. C/m: a/ PMIO là thang vuông. b/ P; Q; O thẳng hàng. 2. Gọi S là Giao điểm của AP với CQ. Tính Góc CSP. 3. Gọi H là giao điểm của AP với MQ. Cmr: a/ MH. MQ= MP2. b/ MP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp QHP. Gợi ý GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 67
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 1. a. C/m MPOI là thang vuông. C M P Vì OIMI; COIO (gt) CO//MI mà MPCO MPMI S MP//OI MPOI là thang vuông. H b/ C/m: P; Q; O thẳng hàng: A Do MPOI là thang vuông IMP=1v B I hay QMP=1v QP là đường kính của (O) O Q; O; P thẳng hàng. J 2 . Tính góc CSP: 1 Ta có:sđ C· SP = sđ( A»Q C»P ) 2 Q (góc có đỉnh nằm trong đường tròn) D mà cung CP = CM và CM=QD 1 CP=QD sđ C· SP = sđ()A»Q C»P 2 Hình 53 1 1 = sđ C· SP = sđ (A»Q Q»D ) = sđ A»D =45o. Vậy C· SP = 45o. 2 2 3. a/ Xét hai tam giác vuông: MPQ và MHP có : Vì AOM cân ở O; I là trung điểm AO; MIAO MAO là tam giác cân ở M AMO là tam giác đều sđ A¼M = 60o và sđ M¼ C = sđ C»P =30o sđ M» P = 60o A¼M M» P M· PH M· QP (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) MHP : MQP đpcm. b/ C/m MP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp QHP. Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp QHP. Do sđ A»Q = sđ M» P = 60 o HQP cân ở H và Q· HP =120o J nằm trên đường thẳng HO HPJ là tam giác đều mà H· PM = 30o M· PH H· PJ M· PJ = 90o hay JPMP tại P nằm trên đường tròn ngoại tiếp HPQ đpcm. Bài 54: Cho (O;R) và một cát tuyến d không đi qua tâm O. Từ một điểm M trên d và ở ngoài (O) ta kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với trênôømg tròn; BO kéo dài cắt (O) tại điểm thứ hai là C. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống d. Đường thẳng vuông góc với BC tại O cắt AM tại D. 1. C/m A; O; H; M; B cùng nằm trên 1 đường tròn. 2. C/m AC//MO và MD=OD. GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 68
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 3. Đường thẳng OM cắt (O) tại E và F. Chứng tỏ MA2=ME. MF 4. Xác định vị trí của điểm M trên d để MAB là tam giác đều. Tính tích tích phần tạio bởi hai tia tiếp tuyến với đường tròn trong tröđường hợp này. Gợi ý B · · · 1 . Chứng minh OBM OAM OHM =1v d 2 .  C/m AC//OM: Do MA và MB là hai tt cắt nhau B· OM O· MB và E O F MA = MB MO là đường trung trực · của AB MOAB. Mà BAC = 1v D C A (góc nt chắn nửa đường tròn) H CA  AB. Vậy AC//MO. C/mMD=OD. Do OD//MB (cùng CB) D· OM O· MB (so le) mà O· MBHình O· M 54D (cmt) D· OM D· MO DOM cân ở D đpcm. 3. C/m: MA2 = ME. MF: Xét hai tam giác AEM và MAF có Mµ chung. 1 sđ E· AM = sđ A»E (góc giữa tia tiếp tuyến và 1 dây) 2 1 sđ A· FM = sđ A»E (góc nội tiếp chắn cung AE) E· AM A· FM 2 MAE : MFA đpcm. 4 . Vì AMB là tam giác đều O· MA =30o OM = 2OA = 2OB = 2R Gọi tích tích cần tính là S. Ta có S = S OAMB - Squạt AOB 1 1 Ta có AB=AM=OM 2 OA2 =R 3S AMBO= BA. OM = . 2R. R3 = R2 3 2 2 2 2 2 2 R .120 R 2 R 3 3 R Squạt = = S = R 3 - = 360 3 3 3 Bài 55: Cho nửa (O) đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax và By cùng phía với nửa đường tròn. Gọi M là điểm chính giữa cung AB và N là một điểm bất kỳ trên đoạn AO. Đường thẳng vuông góc với MN tại M lần lượt cắt Ax và By ở D và C. 1. C/m: A· MN B· MC . 2. C/m: ANM = BMC. 3. DN cắt AM tại E và CN cắt MB ở F. C/m FEAx. 4. Chứng tỏ M củng là trung điểm DC. x GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 69 D y M E C F A B N O Hình 55
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Gợi ý 1 . C/m: A· MN B· MC . Ta có A· MB =1v (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và do NMDC NMC=1v Vậy A· MB A· MN N· MB N· MB B· MC =1v A· MN B· MC 2 . C/m ANM = BCM: Do s®A¼M s®M¼ B = 90o AM = MB và M· AN M· BA = 45o ( AMB vuông cân ở M) M· AN M· BC = 45o. Theo c/m trên thì C· M B ANM A· M =N BCM( gcg) 3. C/m EFAx. Do ADMN nội tiếp A· MN A· ND (cùng chắn cung AN) Do MNBC nội tiếp B· MC C· NB (cùng chắn cung CB) A· ND C· NB MàA· MN B· MC (chứng minh câu 1) Ta lại có A· ND D· NA = 1v C· NB D· NA = 1v E· NC = 1v mà E· MF = 1v EMFN nội tiếp E· MN E· FN (cùng chắn cung NE) E· FN F· NB EF//AB mà ABAx EFAx. 4 . C/m M cùng là trung điểm DC: Ta có N· CM M· BN = 45o (cùng chắn cung MN) NMC vuông cân ở M MN = NC và NDC vuông cân ở N N· DM =45o. MND vuông cân ở M MD = MN MC= DM đpcm. Bài 56: Từ một điểm M nằm ngoài (O) kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn. Trên cung nhỏ AB lấy điểm C và kẻ CDAB; CEMA; CFMB. Gọi I và K là giao điểm của AC với DE và của BC với DF. 1. C/m AECD nội tiếp. 2. C/m: CD2 = CE. CF 3. Cmr: Tia đối của tia CD là phân giác của góc FCE. GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 70
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 4. C/m: IK//AB. Gợi ý A 1 . C/m: AECD nội tiếp: F (dùng phương pháp tổng hai góc đối) K x C M 2 . C/m: CD2=CE. CF. D Xét hai tam giác CDF và CDE có: O I C· ED C· AD -Do AECD nội tiếp E (cùng chắn cung CD) -Do BFCD nội tiếp C· DF C· BF B (cùng chắn cung CF) 1 Hình 56 Mà sđ C· AD = sđ B»C (góc nội tiếp chắn cung BC) 2 1 Và sđ C· BF = sđ B»C (góc giữa tia tiếp tuyến và 1 dây) F· DC D¼EC (1) 2 Do AECD nội tiếp và BFCD nội tiếp D· CE D· AE D· CF D· BF = 2v. Mà M· BD D· AM (t/c hai tia tiếp tuyến cắt nhau) D· CF D· CE (2). Từ (1) và (2) CDF : CED đpcm. 3. Gọi tia đối của tia CD là Cx,Ta có x· CF =180o - F· CD và x· CE 180o E· CD . Mà theo cmt có: F· CD E· CD x· CF đpcm. x· CE 4 . C/m: IK//AB. Ta có C· BF F· DC ·DAC (cmt) Do ADCE nội tiếp C· DE C· AE (cùng chắn cung CE) A· BC C· AE (góc nội tiếp và góc giữa tia tiếp tuyến cùng chắn 1 ung) C· BA C· DI . Trong CBA có B· CA C· BA C· AD = 2v hay K· CI K· DI = 2v DKCI nội tiếp K· DC ·KIC (cùng chắn cung CK) K· IC B· AC KI//AB. Bài 57: Cho (O; R) đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Ax và trên Ax lấy điểm P sao cho P > R. Từ P kẻ tiếp tuyến PM với đường tròn. 1. C/m BM/ / OP. 2. Đường vuông góc với AB tại O cắt tia BM tại N. C/m OBPN là hình bình hành. GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 71
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 3. AN cắt OP tại K; PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau ở J. C/m I; J; K thẳng hàng. Gợi ý N P J Q 1 . C/m:BM//OP: I Ta có MBAM (góc nội tiếp K chắn nửa đường tròn) M và OPAM (t/c hai tia tiếp tuyến cắt nhau) A B O MB//OP. Hình 57 2 . C/m: OBNP là hình bình hành: Xét hai APO và OBN có A=O=1v; OA=OB (bán kính) và do NB//AP P· OA N· BO (đồng vị) APO = ONB PO=BN. Mà OP//NB (Cmt) OBNP là hình bình hành. 3. C/m:I; J; K thẳng hàng: Ta có: PMOJ và PN//OB(do OBNP là hbhành) mà ONAB ONOJ I là trực tâm của OPJ IJOP. - Vì PNOA là hình chữ nhật P; N; O; A; M cùng nằm trên đường tròn tâm K, mà MN//OP MNOP là thang cân N· PO M· OP , ta lại có N· OM M· PN (cùng chắn cung NM) I· PO =·IPOIOP cân ở I. Và KP = KO IKPO. Vậy K; I; J thẳng hàng. Bài 58: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB; đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt nửa đường tròn tại C. Kẻ tiếp tuyến Bt với đường tròn. AC cắt tiếp tuyến Bt tại I. 1. C/m ABI vuông cân 2. Lấy D là 1 điểm trên cung BC, gọi J là giao điểm của AD với Bt. C/m AC. AI=AD. AJ. 3. C/m JDCI nội tiếp. 4. Tiếp tuyến tại D của nửa đường tròn cắt Bt tại K. Hạ DHAB. Cmr: AK đi qua trung điểm của DH. GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 72
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Gợi ý I 1. C/m ABI vuông cân (Có nhiều cách - sau đây chỉ -Ta có A· CB =1v (góc nt chắn nửa đường tròn) ABC vuông ở C.Vì OCAB tại trung điểm O · · o AOC COB =1v cung AC=CB=90 . C · o CAB =45 (góc nt bằng nửa số đo cung bị chắn) J ABC vuông cân ở C. Mà BtAB có D · o K CAB = 45 ABI vuông cân ở B. N 2 . C/m: AC. AI=AD. AJ. A B Xét hai ACD và AIJ có Aµ chung O H 1 sđ C· DA = sđ A»C = 45o. 2 Hình 58 Mà ABI vuông cân ở B A· IB =45 o C· D AADC A· I BAIJ đpcm: 3. Do C· DA C¶IJ (cmt) và C· DA C¶DJ = 2v C· DJ ·CIJ = 2v CDJI nội tiếp. 4 . Gọi giao điểm của AK và DH là N Ta phải C/m: NH = ND -Ta có: A· DB = 1v và DK = KB (t/c hai tia tiếp tuyến cắt nhau) K· DB K· BD . Mà K· BD D· JK = 1v và K· DB K· DJ =1v K· JD J·DK KDJ cân ở K KJ=KD KB=KJ. -Do DH và JBAB (gt) DH//JB. Áp dụng hệ quả Ta - lét trong các tam giác DN AN NH AN DN NH AKJ và AKB ta có: ; mà JK=KB DN = NH JK AK KB AK JK KB Bài 59: Cho (O) và hai đường kính AB; CD vuông góc với nhau. Trên OC lấy điểm N; đường thẳng AN cắt đường tròn ở M. 1. Chứng minh: NMBO nội tiếp. 2. CD và đường thẳng MB cắt nhau ở E. Chứng minh CM và MD là phân giác của góc trong và góc ngoài góc AMB 3. C/m hệ thức: AM. DN=AC. DM 4. Nếu ON=NM. Chứng minh MOB là tam giác đều. Gợi ý 1 . C/m NMBO nội tiếp:Sử dụng tổng hai góc đối) E GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 73 C M N A B O D H ì n h 5 9
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 2 . C/m CM và MD là phân giác của góc trong và góc ngoài góc AMB -Do ABCD tại trung điểm O của AB và CD. s® A¼D s® D¼B s® C»B s® A¼C = 90 o. 1 sđ A· MD = sđ A»D = 45o. 2 1 sđ D· MB = sđ D»B = 45o A· MD D· MB = 45o. 2 Tương tự C· AM = 45o E· MC C· MA = 45o. Vậy CM và MD là phân giác trong và ngoài của A· MB . 3. C/m: AM. DN=AC. DM. Xét hai tam giác ACM và NMD có C· MA N· MD =45 o. (cmt) Và C· AM N· DM (cùng chắn cung CM) AMC : DMN đpcm. 4 . Khi ON=NM ta c/m MOB là tam giác đều. Do MN=ON NMO vuông cân ở N N· MO N· OM . Ta lại có: N· MO O· MB = 1v và N· OM M· OB = 1v O· MB M· OB . Mà O· M B ·OBM O· MB M· O B MOB O· B Mlà tam giác đều. Bài 60: Cho (O) đường kính AB, và d là tiếp tuyến của đường tròn tại C. Gọi D; E theo thứ tự là hình chiêu của A và B lên đường thẳng d. 1. C/m: CD=CE. 2. Cmr: AD+BE=AB. 3. Vẽ đường cao CH của ABC. Chứng minh AH=AD và BH=BE. 4. Chứng tỏ:CH2=AD. BE. 5. Chứng minh:DH//CB. Gợi ý 1 . C/m: CD=CE: d D Do ADd;OCd;BEd AD//OC//BE. C Mà OH = OB OC là đường trung bình của hình thang ABED CD=CE. E 2 . C/m AD + BE = AB. A B Theo tính chất đường trung bình O H của hình thang ta có:OC = BE AD 2 GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc Hình 6074
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 BE + AD = 2. OC = AB. 3. C/m BH=BE. Ta có: 1 sđ B· CE = sđ C»B (góc giữa tia tiếp tuyến và một dây) 2 1 sđ C· AB = sđ C»B (góc nội tiếp) E· CB C· AB ; ACB vuông ở C H· CB H· CA 2 H· C BHCB B· CE = ECB (hai tam giác vuông có 1 cạnh huyền và 1 góc nhọn bằng nhau) HB=BE. - C/m tương tự có AH=AD. 4 . C/m: CH2=AD. BE. ACB có C=1v và CH là đường cao CH2 = AH. HB. Mà AH = AD; BH = BE CH2 = AD. BE. 5 . C/m DH//CB. Do ADCH nội tiếp C· DH C· AH (cùng chắn cung CH) mà C· AH E· CB (cmt) C· DH E· CB DH//CB. Bài 61: Cho ABC có: A=1v. D là một điểm nằm trên cạnh AB. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. các đường thẳng CD;AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F và G. 1. C/m CAFB nội tiếp. 2. C/m AB. ED = AC. EB 3. Chứng tỏ AC//FG. 4. Chứng minh raèng AC;DE;BF đồng quy. Gợi ý K 1 . C/m CAFB nội tiếp (Sử dụng Hai điểm A; Fcùng nhìn đoạn thẳng BC) A 2 . C/m ABC và EBD đồng dạng. F 3. C/m AC//FG: Do ADEC nội tiếp D A· CD A· ED (cùng chắn cung AD). O Mà D· FG D· EG (cùng chắn cung GD) G A· CF C· FG AC//FG. B E C GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc H×nh 61 75
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 4 . C/m AC; ED; FB đồng quy: AC và FB kéo dài cắt nhau tại K. Ta phải c/m K; D; E thẳng hàng. BACK và CFKB; AB  CF=D D là trực tâm của KBC KDCB. Mà DECB(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Qua điểm D có hai đường thẳng cùng vuông góc với BC Ba điểm K;D;E thẳng hàng. đpcm. Bài 62: Cho (O;R) và một đường thẳng d cố định không cắt (O). M là điểm di động trên d. Từ M kẻ tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn. . Hạ OHd tại H và dây cung PQ cắt OH tại I;cắt OM tại K. 1. C/m: MHIK nội tiếp. 2. C/m OJ. OH=OK. OM=R2. 3. CMR khi M di động trên d thì vị trí của I luoân cố định. Gợi ý 1 . C/m: MHIK nội tiếp. P (Sử dụng tổng hai góc đối) d 2 . C/m: OJ. OH=OK. OM=R2. -Xét hai tam giác OIM và OHK có: O K µ I + O chung. M Do HIKM nội tiếp I·HK I·MK H (cùng chắn cung IK) OHK : OMI Q OH OK OH. OI=OK. OM (1) Hình 62 OM OI OPM vuông ở P có đường cao PK. áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:OP2 = OK. OM (2). Từ (1) và (2) đpcm. 2 3 . Theo cm câu 2 ta có OI=R mà R là bán kính nên không đổi. d cố định nên OH OH không đổi OI không đổi. Mà O cố định I cố định. Bài 63: GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 76
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Cho vuông ABC (Aµ = 1v) và AB < AC. Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia HB lấy HD = HB rồi từ C vẽ đường thẳng CEAD tại E. 1. C/m AHEC nội tiếp. 2. Chứng tỏ CB là phân giác của góc ACE và AHE cân. 3. C/m HE2 = HD. HC. 4. Gọi I là trung điểm AC. HI cắt AE tại J. Chứng minh: DC. HJ=2IJ. BH. 5. EC kéo dài cắt AH ở K. Cmr AB//DK và tứ giác ABKD là hình thoi. Gợi ý 1. C/m AHEC nt (sử dụng hai điểm E và H ) A I 2 . C/m CB là phân giác của ACE Do AH  DB và BH = HD J C B ABD là tam giác cân ở A H D B· AH H· AD mà B· AH H· CA (cùng phụ với góc B). E Do AHEC nt H· AD H· CE K (cùng chắn cung HE) A· C đpcmB B· CE Hình 63 - C/m HAE cân: Do H· AD A· CH (cmt) và A· EH A· CH (cùng chắn cung AH) H· AE A· EH AHE cân ở H. 3. C/m: HE2 = HD. HC. Xét 2 HED và HEC có H chung. Do AHEC nội tiếp D· EH A· CH (cùng chắn cung AH) mà A· CH H· CE (cmt) D· EH H· CE HED ~ HCE đpcm. 4 . C/m DC. HJ=2IJ. BH: Do HI là trung tuyến của tam giác vuông AHC HI = IC IHC cân ở I I·HC I·CH . Mà I·CH H· CE (cmt) I·HC H· CE HI//EC. Mà I là trung điểm của 1 AC JI là đường trung bình của AEC JI= EC. 2 Xét hai HJD và EDC có: - Do HJ//EC và ECAE HJJD HJD = DEC = 1v và H· DJ E· DC (đ/đỉnh) JH HD JDH ~ EDC EC DC JH . DC = EC. HD mà HD = HB và EC = 2.JI đpcm GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 77
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 5 . Do AEKC và CHAK AE và CH cắt nhau tại D D là trực tâm của ACK KD  AC mà AB  AC (gt) KD//AB - Do CHAK và CH là phân giác của CAK (cmt) ACK cân ở C và AH=KH;Ta lại có BH = HD (gt), mà H là giao điểm 2 đường chéo của tứ giác ABKD ABKD là hình bình hành. Nhưng DBAK ABKD là hình thoi. Bài 64: Cho tam giác ABC vuông cân ở A. Trong góc B,kẻ tia Bx cắt AC tại D,kẻ CE Bx tại E. Hai đường thẳng AB và CE cắt nhau ở F. 1. C/m FDBC,tính góc BFD 2. C/m ADEF nội tiếp. 3. Chứng tỏ EA là phân giác của góc DEF Nếu Bx quay xung quanh điểm B thì E di động trên đường nào? Gợi ý 1 . C/m: FDBC: Do B· EC =1v;B· AC =1v (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Hay BEFC; và CAFB. Ta lại có BE cắt CA tại D D là trực tâm của FBC FDBC. Tính góc BFD: Vì FDBC và BEFC nên B· FD E· CB (Góc có cạnh tương ứng vuông góc). Hình 64 Mà E· CB A· CB (cùng chắn cung AB) mà A· CB = 45o B· FD =45o 2 . C/m: ADEF nội tiếp: Sử dụng tổng hai góc đối. 3. C/m EA là phân giác của góc DEF. Ta có A· EB A· CB (cùng chắn cung AB). Mà A· CB = 45o ( ABC vuông cân ở A) A· EB = 45o. Mà D· EF = 90o F· EA A· ED = 45o EA là phân giác 4 . Nếu Bx quay xung quanh B: - Ta có B· EC = 1v; BC cố định. - Khi Bx quay xung quanh B Thì E di động trên đường tròn đường kính BC. - Giới hạn: Khi Bx  BC Thì E  C; Khi Bx  AB thì E  A. GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 78
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Vậy E chạy trên cung phần tư AC của đường tròn đường kính BC. Bài 65: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy điểm M, Trên AB lấy điểm C sao cho AC<CB. Gọi Ax; By là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với MC cắt Ax ở P; đường thẳng qua C và vuông góc với CP cắt By tại Q. Gọi D là giao điểm của CP với AM; E là giao điểm của CQ với BM. 1 . cm: ACMP nội tiếp. 2 . Chứng tỏ AB//DE 3. C/m: M; P; Q thẳng hàng. Gợi ý 1 . Chứng minh: ACMP nội tiếp (dùng tổng hai góc đối) 2 . C/m AB//DE: x y Do ACMP nội tiếp P·AM C· PM Q (cùng chắn cung PM). M Chứng minh tương tự,tứ giác MDEC nội tiếp P MCD=DEM(cùng chắn cung MD). D E 1 Ta lại có: sđ P·AM = sđ A¼M 2 A B C O (góc giữa tia tiếp tuyến và 1 dây) H×nh 65 1 sđ A· BM = sđ A¼M (góc nội tiếp) A· BM M· ED DE//AB 2 3. C/m M;P;Q thẳng hàng: Do M· PC M· CP = 1v (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông PMC) và P· CM M· CQ =1v M· PC M· CQ . Ta lại có PCQ vuông ở C M· PC P· QC = 1v M· CQ C· QP =1v hay C· MQ = 1v P· MC C· MQ = 2v P;M;Q thẳng hàng. Bài 66: GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 79
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và một điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa trên đường tròn, người ta kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt tia Ax tại I. Phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F; Tia BE cắt Ax tại H; cắt AM tại K. 1. C/m: IA2=IM. IB . 2. C/m: BAF cân. 3. C/m AKFH là hình thoi. 4. Xác định vị trí của M để AKFI nội tiếp được. Gợi ý 1 . C/m: IA2=IM. IB: (chứng minh hai tam giác IAB và IAM đồng dạng) 2 . C/m BAF cân: 1 Ta có sđ E· AB = sđ B»E (góc nội tiếp chắn cung BE) 2 1 x sđ A· FB = sđ (A»B E¼M ) (góc có đỉnh ở ngoài đường tròn) 2 Do AF là phân giác của góc IAM nên I·AM F· AM I H×nh 66 1 A»E E¼M sđ A· FB = sđ()A»B A»E 2 1 F = sđ cung BE FAB=AFB đpcm. 2 3. C/m: AKFH là hình thoi: M H E Do A»E E¼M (cmt) M· BE E· BA BE là phân giác của cân ABF K BHFA và AE = FA E là trung điểm A B O HK là đường trung trực của FA AK=KF và AH=HF. Do AM BF và BHFA K là trực tâm của FAB FKAB mà AHAB AH//FK Hình bình hành AKFH là hình thoi. 5 . Do FK//AI AKFI là hình thang. Để hình thang AKFI nội tiếp thì AKFI phải là thang cân I I·AM AMI là tam giác vuông cân AMB vuông cân ở M M là điểm chính giữa cung AB. Bài 67: GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 80
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Cho (O; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M(Khaùc A; O; B). Đường thẳng CM cắt (O) tại N. Đường vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn tại P. Chứng minh: 1. COMNP nội tiếp. 2. CMPO là hình bình hành. 3. CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của M. 4. Khi M di động trên AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định. Gợi ý 1. C/m: OMNP nội tiếp:(Sử dụng hai điểm M;N cùng làm với hai đầu đoạn OP một góc vuông. 2 . C/m:CMPO là hình bình hành: Ta có: CDAB;MPAB CO//MP (1) Do OPNM nội tiếp O· PM O· NM (cùng chắn cung OM). OCN cân ở O O· NM O· CM O· CM O· PM . C Gọi giao điểm của MP với (O) là K. K Ta có P· MN K· MC (đối đỉnh) O· CM C· MK C· MK O· PM CM//OP (2). Từ (1) và (2) A CMPO là hình bình hành. O M B 3. Xét hai tam giác OCM và NCD có: N C· ND =1v (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) NCD là tam giác vuông x y D P H×nh 67 Hai tam giác vuông COM và CND có góc C chung. OCM ~ NCD CM. CN = OC. CD (3) Từ (3) ta có CD = 2R; OC = R. Vậy (3) trở thành: CM. CN = 2R2 không đổi. Vậy tích CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của vị trí của M. 4 . Do COPM là hình bình hành MP//=OC=R Khi M di động trên AB thì P di động trên đường thẳng xy thoaû maõn xy//AB và cách AB một khoảng bằng R không đổi. Bài 68: GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 81
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Cho ABC có Aµ = 1v và AB > AC, đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ hai nửa đường tròn đường kính BH và nửa đường tròn đường kính HC. Hai nửa đường tròn này cắt AB và AC tại E và F. Giao điểm của FE và AH là O. Chứng minh: 1. AFHE là hình chữ nhật. 2. BEFC nội tiếp 3. AE.AB = AF. AC 4. FE là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn. 5. Chứng tỏ: BH. HC = 4.OE. OF. Gợi ý 1. C/m: AFHE là hình chữ nhật. B· EH H· CF (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn); E· AF =1v (gt) đpcm. 2 . C/m: BEFC nội tiếp: Do AFHE là hình chữ nhật. OAE cân ở O A· EO O· AE . Mà O· AE F· CH (cùng A phụ với góc B) A· EF A· CB mà A· EF B· EF = 2v B· EF B· CE = 2v đpcm E 3. C/m: AE. AB=AF. AC: O F Xét hai tam giác vuông AEF và ACB có A· EF A· CB (cmt) C B AEF ~ ACB đpcm I H K 4 . Gọi I và K là tâm đường tròn đường kính BH và CH. H×nh 68 Ta phải c/m FEIE và FEKF. -Ta có O là giao điểm hai đường chéo AC và DB của hình chữ nhật AFHE EO = HO; IH = IK cùng bán kính); AO chung IHO = IEO I·HO I·EO mà I·HO =1v (gt) I·EO =1v IEOE tại điểm E nằm trên đường tròn. đpcm. Chứng minh tương tự ta có FE là tia tiếp tuyến của đường tròn đường kính HC. 5 . Chứng tỏ: BH. HC = 4.OE. OF. Do ABC vuông ở A có AH là đường cao. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có: AH2 = BH. HC. Mà AH = EF và AH = 2. OE = 2. OF GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 82
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 (t/c đường chéo hình chữ nhật) BH. HC = AH2 = (2. OE)2 = 4.OE. OF Bài 69: Cho ABC có A=1v AHBC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;d là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A. Các tiếp tuyến tại B và C cắt d theo thứ tự ở D và E. 1. Tính góc DOE. 2. Chứng tỏ DE = BD + CE. 3. Chứng minh: DB. CE = R2. (R là bán kính của đường tròn tâm O) 4. C/m: BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE. Gợi ý µ µ 1 . Tính góc DOE: ta có D1 D2 (t/c tiếp tuyến cắt nhau); OD chung µ µ µ µ µ µ µ µ DOB = DOA O1 O2 . Tương tự O3 O4 . O1 O4 = O3 O2 E µ µ µ µ Ta lại có O1 O2 O3 O4 = 2v µ µ µ µ · o O1 O4 = O3 O2 =1v hay DOC = 90 . I 2 . Do DA = DB; AE = CE A (tính chất hai tia tiếp tuyến cắt nhau) D 2 và DE = DA + AE DE = DB + CE. 1 3. Do DE vuông ở O (cmt) 2 3 1 4 B và OADE (t/c tiếp tuyến). H O C Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông DOE có: H×nh 69 OA2=AD. AE. Mà AD = DB; AE = CE; OA = R(gt) R2 = AD. AE. 4 . Vì DB và EC là tiếp tuyến của (O) DBBC và DEBC BD//EC. Hay BDEC là hình thang. Gọi I là trung điểm DE I là tâm đường tròn ngoại tiếp DOE. Mà O là trung điểm BC OI là đường trung bình của hình thang BDEC OI//BD. Ta lại có BDBC OIBC tại O nằm trên đường tròn tâm I BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp DOE. Bài 70: GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 83
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Cho ABC (Aµ =1v); đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD là đường kính của đường tròn (A;AH). Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA tại E. 1. Chứng minh BEC cân. 2. Gọi I là hình chiêu của A trên BE. C/m: AI = AH. 3. C/m:BE là tiếp tuyến của đường tròn 4. C/m: BE = BH + DE. 5. Gọi đường tròn đường kính AH có Tâm là K. Và AH = 2R. Tính tích tích của hình được tạo bởi đường tròn tâm A và tâm K. Gợi ý 1 . C/m: BEC cân:. Xét hai tam giác vuông ACH và AED có:AH = AD (bán kính); C· AH D· AE (đối đỉnh). Do DE là tiếp tuyến của (A) HDDE và DHCB (gt) DE//CH D· EC E· CH ACH = AED CA = AE A là trung điểm CE có BACE E BA là đường trung trực của CE D BCE cân ở B. 2 . C/m: AI = AH. I Xét hai tam giác vuông AHB và AIB A (vuông ở H và I) có AB chung và BA là K đường trung trực của BCE cân (cmt) ABI = ABH AHB = AIB AI = AH. C B H 3. C/m: BE là tiếp tuyến của (A;AH). Do AH = AI I nằm trên Hđường×nh 7 0tròn (A;AH) mà BI  AI tại I BI là tiếp tuyến của (A;AH) 4 . C/m: BE = BH + ED. Theo cmt có DE = CH và BH = BI;IE = DE (t/c hai tia tiếp tuyến cắt nhau). Mà BE = BI + IE đpcm. 5 . Gọi S là tích tích cần tìm. Ta có: 2 2 2 2 2 S = S(A) - S(K) = AH - AK = 4 R - R = 3 R Bài 71: GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 84
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Trên cạnh CD của hình vuông ABCD,lấy một điểm M bất kỳ. Đường tròn đường kính AM cắt AB tại điểm thứ hai Q và cắt đường tròn đường kính CD tại điểm thứ hai N. Tia DN cắt cạnh BC tại P. 1. C/m:Q;N;C thẳng hàng. 2. CP. CB = CN. CQ. 3. C/m AC và MP cắt nhau tại 1 điểm nằm trên đường tròn đường kính AM Gợi ý 1 . C/m: Q;N;C thẳng hàng: Gọi Tâm của đường tròn đường kính AM là O và đường tròn đường kính DC là I. -Do AQMD nội tiếp nên A· DM A· MQ = 2v Mà A· DM = 1v A· QM = 1v và D· AQ =1v AQMD là hình chữ nhật DQ là đường kính của (O) Q· ND =1v (góc nt chắn nửa đường tròn Do D· NC = 1v (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm I) Q· ND D· NC = 2v đpcm. 2 . C/m: CP. CB = CN. CQ. C/m hai tam giác vuông CPN và CBQ đồng dạng (có góc C chung) 3. Gọi H là giao điểm của AC với MP. Ta phải chứng minh H nằm trên đường tròn tâm O,đường kính AM. -Do QBCM là hcnhật MQC = BQC. Xét hai tam giác vuông BQC và CDP có: Q· CB P· DC (cùng bằng góc MQC); DC=BC (cạnh hình vuông) BQC = CDP CDP = MQC PC = MC. Mà Cµ = 1v PMC vuông cân ở C M· PC = 45o và D· BC =45o (tính chất hình vuông) MP//DB. Do ACDB MPAC tại H AHM=1v H nằm trên đường tròn tâm O đường kính AM. Bài 72: Cho ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. D và E theo thứ tự là điểm chính giữa các cung AB;AC. Gọi giao điểm DE với AB;AC theo thứ tự là H và K. 1. C/m: AHK cân. 2. Gọi I là giao điểm của BE với CD. C/m:AIDE GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 85
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 3. C/m CEKI nội tiếp. 4. C/m:IK//AB. 5. ABC phải có thêm điều kiện gì để AI//EC. Gợi ý 1 . C/m: AKH cân: 1 sđ A· HK = sđ (D»B A»E ) 2 1 sđ A· KD = sđ (A»D E»C ) 2 (Góc có đỉnh nằm trong đường tròn) Mà A¼D D»B; A»E E»C (gt) A· HK = A· KD đpcm. 2. C/m: AIDE Do A»E E»C A· BE E· BC (góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau) BE là phân giác của góc ABC. Tương tự CD là phân giác của góc ACB. Mà BE cắt CD ở I I là giao điểm của 3 đường phân giác của AHK AI là phân giác tứ 3 mà AHK cân ở A AI  DE. 3. C/m CEKI nội tiếp: Ta có D· EB A· CD (2 góc nội tiếp chắn 2 cung b»ng nhau A»D D»B ) hay K· E đpcm.I K· C I 4 . C/m IK//AB Do KICE nội tiếp I·KC I·EC (cùng chắn cung IC). Mà I·EC B· EC B· AC (cùng chắn cung BC) B· AC I·KC IK//AB. 5 . ABC phải có thêm điều kiện gì để AI//EC: Nếu AI//EC thì ECDE (vì AIDE) D· EC =1v DC là đường kính của (O) mà DC là phân giác của A· CB (cmt) ABC cân ở C. Bài 73: Cho ABC(AB=AC) nội tiếp trong (O),kẻ dây cung AA’ và từ C kẻ đường vuông góc CD với AA’,đường này cắt BA’ tại E. 1. C/m: D· A'C D· A' E GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 86
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 2. C/m: A'DC= A'DE 3. Chứng tỏ: AC = AE. Khi AA' quay xung quanh A thì E chạy trên đường nào? 4. C/m: B· AC 2. C· EB Gợi ý 1. C/m: D· A'C D· A' E Ta có D· A’E A· A’B (đối đỉnh 1 Và sđ A· A’B = sđ A»B 2 C· A’D A· ’AC A· ’CA (góc ngoài AA’C) 1 Mà sđ A· ’AC = sđ A¼’C 2 1 sđ A· ’CA = sđ A»C 2 1 1 sđ C· A’D = sđ (A¼’C A»C )= sđ.A»C 2 2 Do dây AB = AC A»B A»C D· A’C D· A’E . 2 . C/m A’DC= A’DE. Ta có C· A’D E· A’D (cmt); A’D chung; A· ’DC A· ’DE = 1v đpcm. 3. Khi AA’ quay xunh quanh A thì E chạy trên đường nào? Do A’DC = A’DE DC = DE AD là đường trung trực của CE AE = AC =AB Khi AA’ quay xung quanh A thì E chạy trên đường tròn tâm A; bán kính AC. 4 . C/m B· AC = 2. C· EB Do A’CE cân ở A’ A· ’CE ·A’EC . Mà B· A’C A· ’EC A· ’CE 2. A· ’EC (góc ngoài A’EC). Ta lại có B· AC B· A’C (cùng chắn cung BC) B· AC 2. B· EC . Bài 74: Cho ABC nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính AB. O là trung điểm AB;M là điểm chính giữa cung AC. H là giao điểm OM với AC 1. C/m: OM//BC. 2. Từ C kẻ tia song song và cung chiều với tia BM,tia này cắt đường thẳng OM tại D. Cmr: MBCD là hình bình hành. 3. Tia AM cắt CD tại K. Đường thẳng KH cắt AB ở P. Cmr: KPAB. 4. C/m: AP. AB = AC. AH. GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 87
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 5. Gọi I là giao điểm của KB với (O). Q là giao điểm của KP với AI. C/m A;Q;I thẳng hàng. Gợi ý 1 . C/m: OM//BC. A¼M M¼ C (gt) C· OM M· OA (góc ở tâm bằng sđ cung bị chắn). Mà AOC cân ở O OM là đường trung trực của AOC OMAC. Mà BCAC (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) đpcm. 2 . C/m BMCD là hình bình hành: Vì OM//BC hay MD//BC (cmt) và CD//MB (gt) đpcm. 3. C/M: KPAB. Do MHAC (cmt) và AMMB(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn); MB//CD (gt) AKCD hay M· KC = 1v MKCH nội tiếp M· KH M· CH (cùng chắn cung MH). Mà M· CA M· AC (hai góc nội tiếp chắn hai cungM· C A· M ) H· A KMKA H· K cânA ở H M là trung điểm AK. Do AMB vuông ở M K· AP M· BA = 1v. mà M· BA M· CA (cùng chắn cung AM) M· BA M· KH hay K· AP A· KP = 1v KPAB. 4 . Hãy xét hai tam giác vuông APH và ABC đồng dạng (Góc A chung) 5 . Sử dụng Q là trực tâm của AKB. Bài 75: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính EF. Từ O vẽ tia Ot EF, noù cắt nửa đường tròn (O) tại I. Trên tia Ot lấy điểm A sao cho IA = IO. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AP và AQ với nửa đường tròn; chúng cắt đường thẳng EF tại B và C (P;Q là các tiếp điểm). 1. Cmr: ABC là tam giác đều và tứ giác BPQC nội tiếp. 2. Từ S là điểm tuỳ ý trên cung PQ. vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn;tiếp tuyến này cắt AP tại H,cắt AC tại K. Tính sđ của góc HOK 3. Gọi M; N lần lượt là giao điểm của PQ với OH; OK. Cm OMKQ nội tiếp. 4. Chứng minh raèng ba đường thẳng HN; KM; OS đồng quy tại điểm D, và D cùng nằm trên đường tròn ngoại tiếp HOK. Gợi ý GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 88
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 1 . Cm ABC là tam giác đều: Vì AB và AC là hai tia tiếp tuyến cắt nhau APO; AQO là các tam giác vuông ở P và Q. Vì IA = IO (gt) PI là trung tuyến của tam gíac vuông AOP PI = IO. Mà IO = PO (bán kính) PO = IO = PI PIO là tam giác đều P· OI = 60o. OAB = 30o. Tương tự O· AC = 30o B· AC = 60o. Mà ABC cân ở A (Vì đường caoAO cùng là phân giác) có 1 góc bằng 60o ABC là tam giác đều. 2 . Ta cóH· OP S·OH ; S·OK K· OC (tính chất hai tia tiếp tuyến cắt nhau) H· OK S·OH S·OK H· OP K· OQ . Ta lại có: P· OQ P· OH S·OH S·OK K· OQ = 180o - 60o = 120o H· OK = 60o. 3. Bài 76: Cho hình thang ABCD nội tiếp trong (O),các đường chéo AC và BD cắt nhau ở E. Các cạnh beân AD;BC kéo dài cắt nhau ở F. 1. C/m: ABCD là thang cân. 2. Chứng tỏ FD. FA = FB. FC. 3. C/m: Góc AED = AOD. 4. C/m AOCF nội tiếp. Gợi ý 1 . C/m ABCD là hình thang cân: Do ABCD là hình thang AB//CD B· AC A· CD (so le). Mà B· AC B· DC (cùng chắn cung BC) B· DC A· CD Ta lại có A· DB A· CB (cùng chắn cung AB) A· DC B· CD Vậy ABCD là hình thang cân. 2 . C/m FD.FA = FB.FC C/m Hai tam giác FDB và FCA đồng dạng vì Góc F chung và F· DB F· CA (cmt) 3. C/m: A· ED A· OD : C/m F;O;E thẳng hàng: Vì DOC cân ở O O nằm trên đường trung trực của Dc. Do ACD = BDC(cmt) EDC cân ở E E nằm tren đường trung trực của DC. Vì ABCD là thang cân FDC cân ở F F nằm trên đường trung trực của DC F;E;O thẳng hàng. GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 89
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 C/mA· ED A· OD . Ta có: Sđ AED = 1 sđ(AD + BC) = 1 . 2sđAD = sđAD vì cung AD = BC(cmt) 2 2 Mà sđAOD = sđAD(góc ở tâm chắn cung AD) AOD = AED. 4 . Cm: AOCF nội tiếp: 1 + Sđ AFC = sđ(DmC - AB) 2 Sđ AOC = SđAB + sđ BC Sđ (AFC + AOC) = 1 sđ DmC - 1 sđAB + sđAB + sđBC. 2 2 Mà sđ DmC = 360o - AD - AB - BC. Từvà  sđ AFC + sđ AOC = 180o. đpcm Bài 77: Cho (O) và đường thẳng xy không cắt đường tròn. Kẻ OAxy rồi từ A dựng đường thẳng ABC cắt (O) tại B và C. Tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt xy tại D và E. Đường thẳng BD cắt OA;CE lần lượt ở F và M;OE cắt AC ở N. 1. C/m OBAD nội tiếp. 2. Cmr: AB. EN = AF. EC 3. So sánh góc AOD và COM. 4. Chứng tỏ A là trung điểm DE. x M E C N O B A F Hình 77 Gợi ý 554 GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 90
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 D 1 . C/m OBAD nội tiếp: - Do DB là tia tiếp tuyến OBD = 1v;OAxy(gt) OAD = 1v đpcm. 2 . Xét hai tam giác: ABF và ECN có: - ABF = NBM(đối đỉnh);Vì BM và CM là hai tia tiếp tuyến cắt nhau NBM = ECB FBA = ECN. - Do OCE + OAE = 2v OCEA nội tiếp CEO = CAO(cùng chắn cung OC) ABF~ ECN đpcm. 3. So sánh;AOD với COM: Ta có: - DĐoABO nội tiếp DOA = DBA(cùng chắn cung ). DBA = CBM(đối đỉnh) CBM = MCB(t/c hai tia tiếp tuyến cắt nhau). Do BMCO nội tiếp BCM = BOM DOA = COM. 4 . Chứng tỏ A là trung điểm DE: Do OCE = OAE = 1v OAEC nội tiếp ACE = AOE(cùng chắn cung AE) DOA = AOE OA là phân giác của góc DOE. Mà OADE OA là đường trung trực của DE đpcm Bài 78: Cho (O;R) và A là một điểm ở ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB và AC với đường tròn. OB kéo dài cắt AC ở D và cắt đường tròn ở E. 1 . Chứng tỏ EC // với OA. 2 . Chứng minh raèng: 2AB. R = AO. CB. 3. Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ BC, qua M dựng một tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tuyến này cắt AB vàAC lần lượt ở I,J . Chứng tỏ chu vi tam giác AI J không đổi khi M di động trên cung nhỏ BC. 4 . Xác định vị trí của M trên cung nhỏ BC để 4 điểm J,I,B,C cùng nằm trên một đường tròn. GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 91
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Gợi ý D Hình 78 E 554 C O J A M I B 1 . C/m EC//OA: Ta có BCE = 1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tòn) hay CEBC. Mà OA là phân giác của cân ABC OABC OA//EC. 2 . xét hai tam giác vuông AOB và ECB có: - Do OCA + OBA = 2v ABOC nội tiếp OBC = OAC(cùng chắn cung OC). mà OAC = OAB (tính chất hai tia tiếp tuyến cắt nhau) EBC = BAO BAO~ CBE . Ta lại có BE = 2R đpcm. 3. Chứng minh chu vi AIJ không đổi khi M di động trên cung nhỏ BC. Gọi P là chu vi AIJ . Ta có P = JI + IA + JA = MJ + MI + IA + JA. Theo tính chất hai tia tiếp tuyến cắt nhau ta có: MI = BI;MJ = JC;AB = AC P = (IA + IB) + (JC + JA) = AB + AC = 2AB không đổi. 4 . Giả sử BCJI nội tiếp BCJ + BIJ = 2v. MaäI + JBI = 2v JIA = ACB. Theo chứng minh trên có ACB = CBA CBA = JIA hay IJ//BC. Ta lại có BCOA JIOA Mà OMJI OM OA M là điểm chính giữa cung BC. Bài 79: GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 92
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Cho(O),từ điểm P nằm ngoài đường tròn,kẻ hai tiếp tuyến PA và PB với đường tròn. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M,qua M dựng đường thẳng vuông góc với OM,đường này cắt PA,PB lần lượt ở C và D. 1 . Chứng minh A,C,M,O cùng nằm trên một đường tròn. 2 . Chứng minh: COD = AOB. 3. Chứng minh: Tam giác COD cân. 4 . Vẽ đường kính BK của đường tròn,hạ AH BK. Gọi I là giao điểm của AH với PK. Chứng minh AI = IH. Gợi ý C K A I Q H M O P Hình 79 554 D B 1 . C/m ACMO nội tiếp: Ta có OAC = 1v(tc tiếp tuyến). Và OMC = 1v(vì OMCD - gt) 2 . C/m COD = AOB. Ta có: Do OMAC nội tiếp OCM = OAM(cùng chắn cung OM). Chứng minh tương tự ta có OMDB nội tiếp ODM = MBO(cùng chắn cung OM) Hai tam giác OCD và OAB có hai cặp góc tương ứng bằng nhau Cặp góc coøn lại bằng nhau COD = AOB. 3. C/m COD cân: Theo chứng minh câu 2 ta lại có góc OAB = OBA(vì OAB cân ở O) OCD = ODC OCD cân ở O. 4 . Kéo dài KA cắt PB ở Q. GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 93
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Vì AHBK; QBBK AH//QB. Hay HI//PB và AI//PQ. Áp dụng hệ quả định lý Talét trong các tam giác KBP và KQP có:    Bài 80: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Ba đường cao AK; BE; CD cắt nhau ở H. 1 . Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp. 2 . Chứng minh : AD. AB = AE. AC. 3. Chứng tỏ AK là phân giác của góc DKE. 4 . Gọi I; J là trung điểm BC và DE. Chứng minh: OA//JI. Gợi ý A x J E D O Hình 80 H 554 B K I C 1 . C/m: BDEC nội tiếp: Ta có: BDC = BEC = 1v(do CD;BE là đường cao) Hai điểm D và E cùng nhìnđoạn BC đpcm 2 . c/m AD. AB = AE. AC. Xét hai tam giác ADE và ABC có Góc BAC chung . GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 94
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Do BDEC nội tiếp EDB + ECB = 2v. Mà ADE + EDB = 2v ADE = ACB ADE~ ACB đpcm. 3. Do HKBD nội tiếp HKD = HBD(cùng chắn cung DH). HKD = EKH Do BDEC nội tiếp HBD = DCE (cùng chắn cung DE) Dễ dàng c/m KHEC nội tiếp ECH = EKH(cùng chắn cungHE) 4 . C/m JI//AO. Từ A dựng tiếp tuyến Ax. Ta có sđ xAC = 1 sđ cung AC (góc giữa tia tiếp tuyến và một dây) 2 xAC = AED . Mà sđABC = 1 sđ cung AC (góc nội tiếp và cung bị chắn) 2 Ta lại có góc AED = ABC(cùng bù với góc DEC) Vậy Ax//DE. Mà AOAx(t/c tiếp tuyến) AODE. Ta lại có do BDEC nội tiếp trong đường tròn tâm I DE là dây cung có J là trung điểm JIDE(đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm)Vậy IJ//AO Bài 81: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn cắt nhau tại D. Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường tròn ở E và F,cắt AC tại I(Enằm trên cung nhỏ BC) 1 . Chứng minh BDCO nội tiếp. 2 . Chứng minh: DC2 = DE. DF 3. Chứng minh DOCI nội tiếp được trong đường tròn. 4 . Chứng tỏ I là trung điểm EF. Gợi ý 1 . C/m: BDCO nắi A tiắp F Vì BD và DC là hai tiắp tuyắn OBD = OCD = 1v O OBD + OCD = 2v I BDCO nắi tiắp. 2 . Cm: : DC2 = DE.DF Xét hai tam giác B C DCE và DCF có: D chung 1 SđECD = sđ cung EC GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS2 Quảng Phúc 95 (góc giắa tiắp tuyắn và mắt dây)
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 E D Hình 81 554 Sđ DFC = 1 sđ cung EC (góc nội tiếp và cung bị chắn) EDC = DFC 2 DCE~ DFC đpcm. 3. Cm: DCOI nội tiếp: Ta có sđ DIC = 1 sđ(AF + EC). 2 Vì FD//AD Cung AF = BE sđ DIC = 1 sđ(BE + EC) = 1 sđ cung BC 2 2 Sđ BOC = sđ cung BC. Mà DOC = 1 BOC sđ DOC = 1 sđBC DOC = DIC 2 2 Hai điểm O và I cùng nhìn đoạn thẳng DC những góc bằng nhau đpcm. 4 . C/m I là trung điểm EF. Do DCIO nội tiếp DIO = DCO (cùng chắn cung DO). Mà DCO = 1v(tính chất tiếp tuyến) DIO = 1v hay OIFE. Đường kính OI vuông góc với dây cung FE nên phải đi qua trung điểm của FE đpcm. Bài 82: Cho đường tròn tâm O,đường kính AB và dây CD vuông góc với AB tại F. Trên cung BC,lấy điểm M. AM cắt CD tại E. 1 . Chứng minh AM là phân giác của góc CMD. 2 . Chứng minh tứ giác EFBM nội tiếp được trong một đường tròn. 3. Chứng tỏ AC2 = AE. AM 4 . Gọi giao điểm của CB với AM là N;MD với AB là I. Chứng minh NI//CD. Gợi ý C GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 96
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 M E N Hình 82 554 A O I B F D 1 . C/m AM là phân giác của góc CMD: Ta có: Vì OACD và COD cân ở O OA là phân giác của góc COD. Hay COA = AOD cung AC = AD góc CMA = AMD(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) đpcm. 2 . cm EFBM nội tiếp: VìCDAB(gt) EFB = 1v;và EMB = 1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) EFB + EMB = 2v đpcm. 3. Cm: AC2 = AE. AM. Xét hai tam giác: ACM và ACE có A chung. Vì cung AD = AC hai góc ACD = AMC(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) ACE~ AMC đpcm 4 . Cm NI//CD: Vì cung AC = AD góc AMD = CBA(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) Hay NMI = NBI Hai điểm M và B cung làm với hai đầu đoạn thẳng NI những góc bằng nhau NIBM nội tiếp Góc NIB + NMB = 2v mà NMB = 1v(cmt) NIB = 1v hay NIAB. Mà CDAB(gt) NI//CD. Bài 83: Cho ABC có A = 1v;Kẻ AHBC. Qua H dựng đường thẳng thứ nhất cắt cạnh AB ở E và cắt đường thẳng AC tại G. Đường thẳng thứ hai vuông góc với đường thẳng thứ nhất và cắt cạnh AC ở F,cắt đường thẳng AB tại D. 1. C/m: AEHF nội tiếp. 2. Chứng tỏ: HG. HA = HD. HC 3. Chứng minh EFDG và FHC = AFE. 4. Tìm điều kiện của hai đường thẳng HE và HF để EF ngaén nhất. GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 97
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Gợi ý G A E Hình 83 554 F B H C D 1 . Cm AEHF nội tiếp: Ta có BAC = 1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) FHE = 1v BAC + FHE = 2v đpcm. 2 . Cm: HG. HA = HD. HC. Xét hai vuông HAC và HGD có: BAH = ACH (cùng phụ với góc ABC). Ta lại có GAD = GHD = 1v GAHD nội tiếp DGH = DAH ( cùng chắn cung DH DGH = HAC HCA~ HGD đpcm. 3. C/m: EFDG: Do GHDF và DACG và AD cắt GH ở E E là trực tâm của CDG EF là đường cao thứ 3 của CDG FEDG. C/m: FHC = AFE: Do AEHF nội tiếp AFE = AHE(cùng chắn cung AE). Mà AHE + AHF = 1v và AHF + FHC = 1v AFE = FHC. 4 . Tìm điều kiện của hai đường thẳng HE và HF để EF ngaén nhất: Do AEHF nội tiếp trong đường tròn có tâm là trung điểm EF . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tieâùp tứ giác AEHF IA = IH Để EF ngaén nhất thì I;H;A thẳng hàng hay AEHF là hình chữ nhật HE//AC và HF//AB. Bài 84: Cho ABC (AB = AC) nội tiếp trong (O). M là một điểm trên cung nhỏ AC, phân giác góc BMC cắt BC ở N,cắt (O) ở I. 1. Chứng minh A;O;I thẳng hàng. 2. Kẻ AK với đường thẳng MC. AI cắt BC ở J. Chứng minh AKCJ nội tiếp. 3. C/m: KM. JA = KA. JB. GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 98
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Gợi ý A 1 . C/m A;O;I thắng hàng: K Vì BMI = IMC(gt) cung IB = IC Góc BAI = IAC(hai góc nt chắn hai cung bắng O M nhau) AI là phân gíc cắa cân ABC E AIBC.Mà BOC cân ắ O có các góc ắ tâm B J N C chắn các cung bắng nhau I OI là phân giác cắa góc BOC Hình 84 554 đpcm 2 . C/m AKCJ nội tiếp: Theo cmt ta có AI là đường kính đi qua trung điểm của dây BC AIBC hay AJC = 1v mà AKC = 1v(gt) AJC + AKC = 2v đpcm. 3. Cm: KM. JA = KA. JB Xét hai tam giác vuông JAB và KAM có: Góc KMA = MAC + MCA(góc ngoài tam giác AMC) Mà sđ MAC = 1 sđ cung MC và sđMCA = 1 sđ cung AM sđKMA = 1 sđ(MC + 2 2 2 AM) = 1 sđAC = sđ góc ABC Vậy góc ABC = KMA 2 JBA~ KMA đpcm. Bài 85: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là một điểm trên nửa đường tròn. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C,kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Một đường tròn (O’) qua A và C cắt AB và tia Ax theo thứ tự tại D và E. Đường thẳng EC cắt By tại F. GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 99
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 1. Chứng minh BDCF nội tiếp. 2. Chứng tỏ: CD2 = CE. CF và FD là tiếp tuyến của đường tròn (O). 3. AC cắt DE ở I;CB cắt DF ở J. Chứng minh IJ//AB 4. Xác định vị trí của D để EF là tiếp tuyến của (O) Gợi ý Hình 85 554 F C E I J O’ A D B O 1 . Cm: BDCF nội tiếp: Ta có ECD = 1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O’) FCD = 1v và FBD = 1v(tính chất tiếp tuyến) đpcm. 2 . C/m: CD2 = CE. CF . Ta có Do CDBF nội tiếp DFC = CBD(cùng chắn cung CD). Mà CED = CAD(cùng chắn cung CD của (O’). Mà CAD + CBD = 1v (vì góc ACB = 1v - góc nội tiếp chắn nửa đường tòn) CED + CFD = 1v nên EDF = 1v hay EDF là tam giác vuông có DC là đường cao. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có CD2 = CE. CF. Vì EDF vuông ở D(cmt) FDED hay FDO’D tại điểm D nằm trên đường tròn tâm O’. đpcm. 3. C/m IJ//AB. Ta có ACB = 1v(cmt) hay ICJ = 1v và EDF = 1v (cmt) hay IDJ = 1v ICJD nội tiếp GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 100
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 CJI = CDI(cùng chắn cung CI). Mà CFD = CDI (cùng phụ với góc FED). Vì BDCF nội tiếp (cmt) CFD = CBD (cùng chắn cung CD) CJI = CBD đpcm. 4 . Xác định vị trí của D để EF là tiếp tuyến của (O). Ta có CDEF và C nằm trên đường tròn tâm O. Nên để EF là tiếp tuyến của (O) thì CD phải là bán kính DO. Bài 86: Cho (O;R và (O’;r) trong đó R>r, cắt nhau tại Avà B. Gọi I là một điểm bất kỳ trên đường thẳng AB và nằm ngoài đoạn thẳng AB. Kẻ hai tiếp tuyến IC và ID với (O) và (O’). Đường thẳng OC và O’D cắt nhau ở K. 1. Chứng minh ICKD nội tiếp. 2. Chứng tỏ: IC2 = IA. IB. 3. Chứng minh IK nằm trên đường trung trực của CD. 4. IK cắt (O) ở E và F; Qua I dựng cát tuyến IMN. a/ Chứng minh: IE. IF = IM. IN. b/ E; F; M; N nằm trên một đường tròn. Gợi ý 1 . C/m ICKD nt: Vì CI và DI là hai tt cắa hai đưắng I tònròn ICK = Hình 86 IDK = 1v 554 đpcm. 2 . C/m: IC2 = C IA.IB. E Xét hai tam giác ICE và ICBcó góc I M chung và sđ ICE = 1 A D sđ cung CE (góc 2 O giắa tt và 1 dây) O’ B N F K GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 101
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Sđ CBI = 1 sđ CE (góc nội tiếp và cung bị chắn) ICE = 2 IBC ICE~ IBC đpcm. 3. Cm IK nằm trên đường trung trực của CD. IC = ID I nắm Theo chứng minh trên ta có: IC2 = IA. IB. trênđưắng trung trắc Chứng minh tương tự ta có: ID2 = IA. IB  cắa CD - Hai tam giác vuông ICK và IDK có Cạnh huyền IK chung và cạnh góc vuông IC = ID ICK = IDK CK = DK K nằm trên đường trung trực của CD. đpcm. 4 . a/Bằng cách chứng minh tương tự như câu 2 ta có: IC2 = IE. IF và ID2 = IM. IN Mà IC = ID (cmt) IE. IF = IM. IN. b/ C/m Tứ giác AMNF nội tiếp: Theo chứng minh trên có E. Ì = IM. IN. Áp dụng IF IN tính chất tỷ lệ thức ta có: . Tức là hai cặp cạnh của tam giác IFN tương ứng IM IE tỷ lệ với hai cặp cạnh của tam giác IME. Hơn nữa góc EIM chung IEM~ INF IEM = INF. Mà IEM + MEF = 2v MEF + MNF = 2v đpcm. Bài 87: Cho ABC có 3 góc nhọn. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC. (O) cắt AB;AC lần lượt ở D và E. BE và CD cắt nhau ở H. 1. Chứng minh: ADHE nội tiếp. 2. C/m: AE. AC = AB. AD. 3. AH kéo dài cắt BC ở F. Cmr: H là tâm đường tròn nội tiếp DFE. 4. Gọi I là trung điểm AH. Cmr IE là tiếp tuyến của (O) Gợi ý A I E Hình 87 D x 554 H GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 102
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 B F O C 1 . Cm: ADHE nội tiếp: Ta có BDC = BEC = 1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ADH + AEH = 2v ADHE nội tiếp. 2 . C/m: AE. AC = AB. AD. Ta chứng minh AEB và ADC đồng dạng. 3. C/m H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF: Ta phải c/m H là giao điểm 3 đường phân giác của tam giác DEF. - Tứ giác BDHF nội tiếp HED = HBD(cùng chắn cung DH). Mà EBD = ECD (cùng chắn cung DE). Tứ gaùic HECF nội tiếp ECH = EFH(cùng chắn cung HE) EFH = HFD FH là phân giác của DEF. - Tứ gaùic BDHF nội tiếp FDH = HBF(cùng chắn cung HF). Mà EBC = CDE(cùng chắn cung EC) EDC = CDF DH là phân giác của góc FDE H là 4 . C/m IE là tiếp tuyến của (O): Ta có IA = IH IA = IE = IH = 1 AH (tính chất 2 trung tuyến của tam giác vuông) IAE cân ở I IEA = IAE. Mà IAE = EBC (cùng phụ với góc ECB) và AEI = xEC(đối đỉnh)Do OEC cân ở O OEC = OCE xEC + CEO = EBC + ECB = 1v Hay xEO = 1v Vậy OEIE tại điểm E nằm trên đường tròn (O) đpcm. Bài 88: Cho(O;R) và (O’;r) cắt nhau ở Avà B. Qua B vẽ cát tuyến chung CBDAB (C (O)) và cát tuyến EBF bất kỳ(E (O)). 1. Chứng minh AOC và AO’D thẳng hàng. 2. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng CE và DF. Cmr: AEKF nội tiếp. 3. Cm: K thuộc đường tròn ngoại tiếp ACD. 4. Chứng tỏ FA. EC = FD. EA. Gợi ý GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 103
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 1 . C/m AOC và AO’D thẳng hàng: - Vì ABCD Góc ABC = 1v AC là đường kính của (O) A;O;C thẳng hàng. Tương tự AO’D thẳng hàng. 2 . C/m AEKF nội tiếp: Ta có AEC = 1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O. Tương tự AFD = 1v hay AFK = 1v AEK + AFK = 2v đpcm 3. Cm: K thuộc đường tròn ngoại teáp ACD. Ta có EAC = EBC(cùng chắn cung EC). Góc EBC = FBD(đối đỉnh). Góc FBD = FAD(cùng chắn cung FD). Mà EAC + ECA = 90o ADF = ACE và ACE + ACK = 2v ADF + ACK = 2v K nằm trên đường tròn ngoại tiếp 4 . C/m FA. EC = FD. EA. Ta chứng minh hai tam giác vuông FAD và EAC đồng dạng vì EAC = EBC(cùng hcaén cung EC)EBC = FBD(đối đỉnh) FBD = FAD(cùng chắn cung FD) EAC = FAD đpcm. Bài 89: Cho ABC có A = 1v. Qua A dựng đường tròn tâm O bán kính R tiếp xúc với BC tại B và dựng (O’;r) tiếp xúc với BC tại C. Gọi M;N là trung điểm AB;AC,OM và ON kéo dài cắt nhau ở K. 1. Chứng minh: OAO’ thẳng hàng 2. CM: AMKN nội tiếp. 3. Cm AK là tiếp tuyến của caû hai đường tròn và K nằm trên BC. 4. Chứng tỏ 4MI2 = Rr. Gợi ý 1 . C/m AOO’ thẳng hàng: - Vì M là trung điểm dây AB OMAB nên OM là phân giác của góc AOB hay BOM = MOA. Xét hai tam giác BKO và AKO có OA = OB = R; OK chung và BOK = AOK (cmt) KBO = KAO góc OBK = OAK mà OBK = 1v OAK = 1v. Chứng minh tương tự ta có O’AK = 1v Nên OAK + O’AK = 2v đpcm. 2 . Cm: AMKN nội tiếp: Ta có Vì AMK = 1v(do OMA = 1v) và ANK = 1v AMK + ANK = 2v đpcm. Cần löu ý AMKN là hình chữ nhật. 3. C/m AK là tiếp tuyến của (O) và O’) GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 104
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 - Theo chứng minh trên thì Góc OAK = 1v hay OAAK tại điểm A nằm trên đường tròn (O) đpcm. Chứng minh tương tự ta có AK là tia tiếp tuyến của (O’) - C/m K nằm trên BC: Theo tính chất của hai tia tiếp tuyến cắt nhau ta có: BKO = OKA và AKO’ = O’KC. Nhưng do AMKN là hình chữ nhật MKN = 1v hay OKA + O’KA = 1v tức có nghóa góc BKO + O’KC = 1v vậy BKO + OKA + AKO’ + O’KC = 2v K;B;C thẳng hàng đpcm 4 . C/m: 4MI2 = Rr. Vì OKO’ vuông ở K có đường cao KA. Áp dụng hệ thue = öùc lượng trong tam giác vuông có AK2 = OA. O’A. Vì MN = AK và MI = IN hay MI = 1 AK đpcm 2 Bài 90: Cho tứ giác ABCD (AB>BC) nội tiếp trong (O) đường kính AC; Hai đường chéo AC và DB vuông góc với nhau. Đường thẳng AB và CD kéo dài cắt nhau ở E; BC và AD cắt nhau ở F. 1. Cm: BDEF nội tiếp. 2. Chứng tỏ: DA. DF = DC. DE 3. Gọi I là giao điểm DB với AC và M là giao điểm của đường thẳng AC với đường tròn ngoại tiếp AEF. Cmr: DIMF nội tiếp. 4. Gọi H là giao điểm AC với FE. Cm: AI. AM = AC. AH. Gợi ý 1 . Cm: DBEF nội tiếp: Do ABCD nội tiếp trong (O) đường kính AC ABC = ADC = 1v (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) FBE = EDF = 1v đpcm. 2 . C/m DA. DF = DC. DE: Xét hai tam giác vuông DAC và DEF có: Do BFAE và EDAF nên C là trực tâm của AEF Góc CAD = DEF(cùng phụ với góc DFE) đpcm. 3. Cm: DIMF nội tiếp: Vì ACBD(gt) DIM = 1v và I cùng là trung điểm của DB(đường kính vuông góc với dây DB) ADB cân ở A AEF cân ở A (Tự c/m yeáu toá này) Đường tròn ngoại tiếp AEF có tâm nằm trên đường AM góc AFM = 1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) DIM + DFM = 2v đpcm. GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 105
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Bài 91: Cho (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Đường thẳng OO’ cắt (O) và (O’) tại B và C (khaùc A). Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE(D (O)); DB và CE kéo dài cắt nhau ở M. 1. Cmr: ADEM nội tiếp. 2. Cm: MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn. 3. ADEM là hình gì? 4. Chứng tỏ: MD. MB = ME. MC. Gợi ý 1 . Cm: ADEM nt: Vì AEC = 1v và ADB = 1v(góc nt chắn nửa đường tònròn) ADM + AEM = 2v đpcm. 2 . C/m MA là tiếp tuyến của hai đường tròn; - Ta có sđADE = 1 sđ cungAD = sđ DBA.Và ADE = AME(vì cùng chắn cung AE 2 do tứ giác ADME nt) ABM = AMC. Tương tự ta có AMB = ACM Hai tam giác ABM và ACM có hai cặp góc tương ứng bằng nhau Cặp góc coønlại bằng nhau. Hay BAM = MAC. Ta lại có BAM + MAC = 2v BAM = MAC = 1v hay OAAM tại điểm A nằm trên đường tròn . 3. ADEM là hình gì? Vì BAM = 1v ABM + AMB = 1v. Ta coøn có MA là tia tiếp tuyến của đường tròn DAM = MBA (cùng bằng nửa cung AD). Tương tự MAE = MCA. Mà theo cmt ta có ACM = AMB Nên DAM + MAE = ABM + ACM = ABM + AMB = 1v. Vậy DAE = 1v nên ADEM là hình chữ nhật. 4 . Cm: MD. MB = ME. MC . Tam giác MAC vuông ở A có đường cao AE. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: MA2 = ME. MC. Tương tự trong tam giác vuông MAB có MA2 = MD. MB đpcm. Bài 92: Cho hình vuông ABCD. Trên BC lấy điểm M. Từ C hạ CK với đường thẳng AM. 1. Cm: ABKC nội tiếp. 2. Đường thẳng CK cắt đường thẳng AB tại N. Từ B dựng đường vuông góc với BD, đường này cắt đường thẳng DK ở E. Cmr: BD. KN = BE. KA GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 106
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 3. Cm: MN//DB. 4. Cm: BMEN là hình vuông. Gợi ý 1 . Cm: ABKC nội tiếp: Ta có ABC = 1v (t/c hình vuông); AKC = 1v(gt) đpcm. 2 . Cm: BD. KN = BE. KA. Xét hai tam giác vuông BDE và KAN có: Vì ABCD là hình vuông nên nội tiếp trong đường tròn có tâm là giao điểm hai đường chéo. Góc AKC = 1v A;K;C nằm trên đường tròn đường kính AC. Vậy 5 điểm A;B;C;D;K cùng nằm trên một đường tròn. Góc BDK = KDN (cùng chắn cung BD BE BK) BDE~ KAN đpcm. KA KN 3. Cm: MN//DB. Vì AKCN và CBAN ;AK cắt BC ở M M là trực tâm của tam giác ANC NMAC. Mà DBAC(tính chất hình vuông) MN//DB. 4 . Cm: BNEM là hình vuông: Vì MN//DB DBM = BMN(so le) mà DBM = 45o BMN = 45o BNM là tam giác vuông cân BN = BM. Do BEDB(gt)và BDM = 45o MBE = 45o MBE là tam giác vuông cân và BM là phân giác của tam giác MBN;Ta dễ dàng c/m được MN là phân giác của góc BMN BMEN là hình thoi lại có goaùc B vuông nên BMEN là hình vuông. Bài 93: Cho hình chữ nhật ABCD(AB>AD)có AC cắt DB ở O. Gọi M là 1 điểm trên OB và N là điểm đối xứng với C qua M. Kẻ NE; NF và NP lần lượt vuông góc với AB; AD; AC; PN cắt AB ở Q. 1. Cm: QPCB nội tiếp. 2. Cm: AN//DB. 3. Chứng tỏ F; E; M thẳng hàng. 4. Cm: PEN là tam giác cân. Gợi ý 1 . C/m QPCB nội tiếp: Ta có: NPC = 1v(gt) và QBC = 1v(tính chất hình chữ nhật). đpcm. GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 107
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 2 . Cm: AN//DB vì O là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật O là trung điểm AC. Vì C và N đối xứng với nhau qua M M là trung điểm NC OM là đường trung bình của ANC OM//AN hay AN//DB. 3. Cm: F;E;M thẳng hàng. Gọi I là giao điểm EF và AN. Dễ dàng chứng minh được AFNE là hình chữ nhật AIE và OAB là những tam gíc cân IAE = IEA và ABO = BAO. Vì AN//DB IAE = ABO(so le) IEA = EAC EF//AC hay IE//AC Vì I là trung điểm AN;M là trung điểm NC IM là đường trung bình của ANC MI//AC . Từ và Ta có I;E;M thẳng hàng. Mà F;I;E thẳng hàng F;F;M thẳng hàng. 4 . C/m PEN cân: Dễ dàng c/m được ANEP nội tiếp PNE = EAP(cùng chắn cung PE). Và PNE = EAN(cùng chắn cung EN). Theo chứng minh câu 3 ta có theå suy ra NAE = EAP ENP = EPN PEN cân ở E. Bài 94: Từ đỉnh A của hình vuông ABCD,ta kẻ hai tia tạio với nhau 1 góc bằng 45 o. Một tia cắt cạnh BC tại E và cắt đường chéo DB tại P. Tia kia cắt cạnh CD tại F và cắt đường chéo DB tại Q. 1. Cm: E; P; Q; F; C cùng nằm trên 1 đường tròn. 2. Cm: AB. PE = EB. PF. 3. Cm: S AEF = 2S APQ. 4. Gọi M là trung điểm AE. Cmr: MC = MD. Gợi ý 1 . Cm: E;P;Q;C;F cùng nằm trên một đường tròn: Ta có QAE = 45o. (gt) và QBC = 45o(t/c hình vuông) ABEQ nội tiếp ABE + AQE = 2v mà ABE = 1v AQE = 1v. Ta có AQE vuông ở Q có góc QAE = 45o AQE vuông cân AEQ = 45o. Ta lại có EAF = 45o(gt) và PDF = 45o APFD nội tiếp APF + ADF = 2v mà ADF = 1v APF = 1v và ECF = 1v  . Từ  E;P;Q;F;C cùng nằm trên đường tròn đường kính EF. 2 . Chứng minh: AB. PE = EB. PF. Xét hai tam giác vuông ABE có: - Vì ABEQ nội tiếp BAE = BQE(Cùng chắn cung BE) BAE = PFE GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 108
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 - Vì QPEF nội tiếp PQE = PEF(Cùng chắn cung PE) đpcm. 3. Cm: : S AEF = 2S APQ. Theo cm trên thì AQE vuông cân ở Q AE = AQ2 QE 2 = 2 AQ Vì QPEF nội tiếp PEF = AQP(cùng phụ với góc PQF);Góc QAP chung 2 2 SAEF AE AQP~ AEF = 2 = 2 đpcm. SAQP AQ 4 . Cm: MC = MD. Hoïc sinh chứng minh hai MAD = MBC vì có BC = AD; MBE = MEB = DAE;AM = BM. Bài 95: Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt nhau ở O. Kẻ AH và BK vuông góc với BD và AC. Đường thẳng AH và BK cắt nhau ở I. Gọi E và F lần lượt là trung điểm DH và BC. Từ E dụng đường thẳng song song với AD. Đường này cắt AH ở J. 1. C/m: OHIK nội tiếp. 2. Chứng tỏ KHOI. 3. Từ E kẻ đườngthẳng song song với AD. Đường này cắt AH ở J. Chứng tỏ: HJ. KC = HE. KB 4. Chứng minh tứ giác ABFE nội tiếp được trong một đường tròn. Gợi ý 1 . Cm: OHIK nt (Hs tự chứng minh) 2 . Cm HKOI. Tam giác ABI có hai đường cao DH và AK cắt nhau ở O OI là đường cao thứ ba OIAB Ta có OKIH nội tiếp OKE = OIE(cùng chắn cung OH). Vì OIAB và ADAB OI//AD OIH = HAD(so le). Mà HAD = HBA(cùng phụ với góc D). Do ABCD là hình chữ nhật nên ABH + ACE OKH = OCE HK//AB. Mà OIAB OIKH. 3. Cm: HJ. KC = HE. KB . Chứng minh hai tam giác vuông HJE và KBC đồng dạng 4 . Chứng minh ABFE nội tiếp: GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 109
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 VìAHBE;EJ//AD và ADAB EJAB BJ là đường cao thứ ba của tam giác ABE BJAE Vì E là trung điểm DH;EJ//AD EJ là đường trung bình của tam giác 1 ADH EJ// = AB;BF = 1 BC mà BC// = AD JE// = BF BJEF là hình bình 2 2 hành JB//EF. Mà BJAE EFAE hay AEF = 1v;Ta lại có ABF = 1v ABFE nội tiếp. Bài 96: Cho ABC, phân giác góc trong và góc ngoài của các góc B và C gaëp nhau theo thứ tự ở I và J. Từ J kẻ JH; JP; JK lần lượt vuông góc với các đường thẳng AB; BC; AC. 1. Chứng tỏ A; I; J thẳng hàng. 2. Chứng minh: BICJ nội tiếp. 3. BI kéo dài cắt đường thẳng CJ tại E. Cmr: AEAJ. 4. C/m: AI. AJ = AB. AC. Gợi ý 1 . Chứng minh A;I;J thẳng hàng: Vì Bài 97: Từ đỉnh A của hình vuông ABCD ta kẻ hai tia Ax và Ay sao cho: Ax cắt cạnh BC ở P,Ay cắt cạnh CD ở Q. Kẻ BKAx;BIAy và DMAx,DNAy . 1. Chứng tỏ BKIA nội tiếp 2. Chứng minh AD2 = AP. MD. 3. Chứng minh MN = KI. 4. Chứng tỏ KIAN. Gợi ý GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 110
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 Bài 98: Cho hình bình hành ABCD có góc A>90o. Phân giác góc A cắt cạnh CD và đường thẳng BC tại I và K. Hạ KH và KM lần lượt vuông góc với CD và AM. 1. Chứng minh KHDM nội tiếp. 2. Chứng minh: AB = CK + AM. Gợi ý Bài 99: Cho(O) và tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy điểm C và gọi B là trung điểm AC. Vẽ cát tuyến BEF. Đường thẳng CE và CF gaëp lại đường tròn ở điểm thứ hai tại M và N. Dựng hình bình hành AECD. 1. Chứng tỏ D nằm trên đường thẳng EF. 2. Chứng minh AFCD nội tiếp. 3. Chứng minh: CN. CF = 4BE. BF 4. Chứng minh MN//AC. Gợi ý 1 . Chứng minh D nằm trên đường thẳng EF: Do ADCE là hình bình hành nên E;B;D thẳng hàng. Mà F;E;B thẳng hàng đpcm. 2 . Cm: AFCD nội tiếp: - Do ADCE là hình bình hành BC//AE góc BCA = ACE(so le) - sđCAE = 1 sđcung AE(góc giữa tia tiếp tuyến và một dây) và sđ AFE = 1 sđ cung 2 2 AE CAE = AFE. BCN = BFA AFCD nội tiếp. 2 . Cm CN. CF = 4BE. BF. - Xét hai tam gaùic BAE và BFA có góc ABF chung và AFB = BAE(chứng minh AB BE trên) BAE~ BFA AB2 = BE. BF BF AB Tương tự hai tam giác CAN và CFA đồng dạng AC2 = CN. CF. Nhưng ta lại có AB = 1 AC. Do đó trở thành: 1 AC2 = BE. BF hay AC2 = 4BE. BF. 2 4 Từ  và  đpcm. GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 111
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 4 . cm MN//AC. Do ADCE là hbh BAC = ACE(so le). Vì ADCF nội tiếp DAC = DFC(cùng chắn cung DC). Ta lại có EMN = EFN(cùng chắn cung EN) ACM = CMN MN//AC. Bài 100: Trên (O) lấy 3 điểm A;B;C. Gọi M;N;P lần lượt theo thứ tự là điểm chính giữa cung AB;BC;AC . AM cắt MP và BP lần lượt ở K và I. MN cắt AB ở E. 1. Chứng minh BNI cân. 2. PKEN nội tiếp. 3. Chứng minh AN. BD = AB. BN 4. Chứng minh I là trực tâm của MPN và IE//BC. Gợi ý 1 . C/m BNI cân Ta có sđBIN = 1 sđ(AP + BN) 2 sđIBN = 1 sđ(CP + CN) 2 Mà Cung AP = CP; BN = CN(gt) BIN = IBN BNI cân ở N. 2 . Chứng tỏ PKEN nội tiếp: Vì cung AM = MB ANM = MPB hay KPE = KNE Hai điểm P;N cùng nhìn đoạn thẳng KE đpcm. 3. C/m AN. DB = AB. BN. Xét hai tam giác BND và ANB có góc N chung;Góc NBD = NAB(cùng chắn cung NC = NB) đpcm. 4 . Chứng minh I là trực tâm của MNP: Gọi giao điểm của MP với AB;AC lần lượt ở F và D. Ta có: sđ AFD = 1 sđ cung (AP + MB)(góc có đỉnh ở trong đường tròn. ) 2 sđ ADF = 1 sđ cung(PC + AM) (góc có đỉnh ở trong đường tròn. ) 2 Mà Cung AP = PC;MB = AM AFD = ADF AFD cân ở A có AN là phân giác của góc BAC(Vì Cung BN = NC nên BAN = NAC) ANMP hay NA là đường cao GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 112
100 bài tập hình ôn thi vào lập 10 của NMP. Bằng cách làm tương tự như trên ta chứng minh được I là trực tâm của tam gaùic MNP. C/m IE//BC. Ta có BNI cân ở N có NE là phân giác NE cùng là đường trung trực của BI EB = EI BEI cân ở E. Ta có EBI = EIB. Do EBI = ABP = PBC (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau PA = PC). Nên PBC = EIB EI//BC. GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 113