Bài tập Hình học Lớp 10 - Chương 2: Tích vô hướng của hai véc tơ và ứng dụng

Nội dung text: Bài tập Hình học Lớp 10 - Chương 2: Tích vô hướng của hai véc tơ và ứng dụng

1. Trắc nghiệm TOÁN 10 - Tích vô hướng của 2 véc tơ & Ứng dụng HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM HÌNH HỌC LỚP 10-CHƯƠNG II CHỦ ĐỀ . TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ VÀ ỨNG DỤNG Loại . GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC BẤT KỲ Câu 1. Đẳng thức nào sau đây đúng? A. tan(180o + a) = - tana . B. cos(180o + a) = - cosa . C. sin(180o + a) = sina . D. cot (180o + a) = - cot a . Lời giải Chọn B. Lý thuyết “cung hơn kém 180° ” Câu 2. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng? A. sin(180° - a) = - sin a . B. cos(180° - a) = cosa C. tan(180° - a) = tan a . D. cot (180° - a) = - cot a Lời giải Chọn D. Mối liên hệ hai cung bù nhau. Câu 3. Cho a và b là hai góc khác nhau và bù nhau, trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai? A. sin a = sin b . B. cosa = - cosb . C. tan a = - tan b . D. cot a = cot b . Lời giải Chọn D. Mối liên hệ hai cung bù nhau. Câu 4. Cho góc a tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng? A. sin a 0 . C. tan a > 0. D. cot a < 0. Lời giải Chọn D. Câu 5. Điều khẳng định nào sau đây là đúng? A. sin a = - sin(180° - a). B. cosa = - cos(180° - a). C. tan a = tan(180° - a). D. cota = cot (180° - a). Lời giải Chọn B. Mối liên hệ hai cung bù nhau. Câu 6. Hai góc nhọn a và b phụ nhau, hệ thức nào sau đây là sai? 1 A. sin a = cosb . B. tan a = cot b . C. cot b = . D. cosa = - sin b . cot a Lời giải Chọn D. cosa = cos(90° - b) = sin b . Câu 7. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng? 3 3 1 A. sin150° = - . B. cos150° = . C. tan150° = - . D. cot 150° = 3 2 2 3 Trang 1
2. Trắc nghiệm TOÁN 10 - Tích vô hướng của 2 véc tơ & Ứng dụng Lời giải Chọn C. Giá trị lượng giác của góc đặc biệt. Câu 8. Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng? A. sin 90° cos100° . C. tan 85° cos125° . Lời giải Chọn B. Câu 9. Giá trị của tan 45° + cot 135° bằng bao nhiêu? A. 2. B. 0 . C. 3 . D. 1. Lời giải Chọn B. tan 45° + cot 135° = 1- 1 = 0 Câu 10. Giá trị của cos30° + sin 60° bằng bao nhiêu? 3 3 A. . B. . C. 3 . D. 1. 3 2 Lời giải Chọn C. 3 3 cos30° + sin 60° = + = 3 . 2 2 Câu 11. Giá trị của E = sin 36° cos6° sin126° cos84° là 1 3 A. . B. . C. 1. D. - 1. 2 2 Lời giải Chọn A. 1 E = sin 36° cos6° sin(90° + 36° )cos(90° - 6° ) = sin 36° cos6° - cos36° sin 6° = sin 30° = 2 Câu 12. Giá trị của biểu thức A = sin2 51° + sin2 55° + sin2 39° + sin2 35° là A. 3 . B. 4 . C. 1. D. 2. Lời giải Chọn D. A = (sin2 51° + sin2 39° )+ (sin2 55° + sin2 35° ) = (sin2 51° + cos2 51° )+ (sin2 55° + cos2 55° ) = 2 . Câu 13. Giá trị của cos60° + sin 30° bằng bao nhiêu? 3 3 A. . B. 3 . C. . D. 1 2 3 Lời giải Chọn D. 1 1 Ta có cos60° + sin 30° = + = 1. 2 2 Câu 14. Giá trị của tan 30° + cot 30° bằng bao nhiêu? 4 1+ 3 2 A. . B. . C. . D. 2. 3 3 3 Lời giải Chọn A. Trang 2
3. Trắc nghiệm TOÁN 10 - Tích vô hướng của 2 véc tơ & Ứng dụng 3 4 3 tan 30° + cot 30° = + 3 = . 3 3 Câu 15. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai? A. sin 0° + cos0° = 1. B. sin 90° + cos90° = 1. C. sin180° + cos180° = - 1. D. sin 60° + cos60° = 1. Lời giải Chọn D. Giá trị lượng giác của góc đặc biệt. Câu 16. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. cos60° = sin 30° . B. cos60° = sin120° . C. cos30° = sin120° . D. sin 60° = - cos120° . Lời giải Chọn B. Giá trị lượng giác của góc đặc biệt. Câu 17. Đẳng thức nào sau đây sai? A. sin 45° + sin 45° = 2 .B. sin 30° + cos60° = 1. C. sin 60° + cos150° = 0. D. sin120° + cos30° = 0. Lời giải Chọn D. Giá trị lượng giác của góc đặc biệt. Câu 18. Cho hai góc nhọn a và b (a 0. D. cot a > cot b . Lời giải Chọn B. Biểu diễn lên đường tròn. Câu 19. Cho DABC vuông tại A , góc B bằng 30° . Khẳng định nào sau đây là sai? 1 3 1 1 A. cosB = . B. sinC = . C. cosC = . D. sin B = 3 2 2 2 Lời giải Chọn A. 3 cosB = cos30° = . 2 Câu 20. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau: A. cos75° > cos50° . B. sin 80° > sin 50° . C. tan 45° < tan 60° . D. cos30° = sin 60° . Lời giải Chọn A. Lý thuyết. Câu 21. Cho biết sin a + cosa = a . Giá trị của sin a.cosa bằng bao nhiêu? A. sin a.cosa = a2 . B. sin a.cosa = 2a . 1- a2 a2 - 1 C. sin a.cosa = . D. sin a.cosa = . 2 2 Lời giải Chọn D. 2 2 a - 1 a2 = (sin a + cosa) = 1+ 2sin a cosa Þ sin a cosa = . 2 2 cot a + 3tan a Câu 22. Cho biết cosa = - . Tính giá trị của biểu thức E = ? 3 2cot a + tan a Trang 3
4. Trắc nghiệm TOÁN 10 - Tích vô hướng của 2 véc tơ & Ứng dụng 19 19 25 25 A. - . B. . C. . D. - 13 13 13 13 Lời giải Chọn B. 3 2 - 2 cot a + 3tan a 1+ 3tan2 a 3(tan a + 1)- 2 2 3 - 2cos2 a 19 E = = = = cos a = = 2cot a + tan a 2 + tan2 a 2 1 1+ cos2 a 13 1+ (1+ tan a) + 1 cos2 a . Câu 23. Cho biết cot a = 5 . Tính giá trị của E = 2cos2 a + 5sin a cosa + 1? 10 100 50 101 A. . B. . C. . D. . 26 26 26 26 Lời giải Chọn D. æ 1 ö 1 101 E = sin2 a ç2cot 2 a + 5cot a + ÷= 3cot 2 a + 5cot a + 1 = ç 2 ÷ 2 ( ) . èç sin a ø÷ 1+ cot a 26 Câu 24. Đẳng thức nào sau đây là sai? 2 2 A. (cosx + sin x) + (cosx - sin x) = 2, " x . B. tan2 x - sin2 x = tan2 x sin2 x, " x ¹ 90° C. sin4 x + cos4 x = 1- 2sin2 x cos2 x, " x . D. sin6 x - cos6 x = 1- 3sin2 x cos2 x, " x Lời giải Chọn D. sin6 x - cos6 x = (sin2 x - cos2 x)(1- sin2 x cos2 x). Câu 25. Đẳng thức nào sau đây là sai? 1- cosx sin x A. = (x ¹ 0°,x ¹ 180° ). sin x 1+ cosx 1 B. tan x + cot x = (x ¹ 0°,90°,180° ) sin x cosx 1 C. tan2 x + cot 2 x = - 2(x ¹ 0°,90°,180° ) sin2 x cos2 x D. sin2 2x + cos2 2x = 2. Lời giải Chọn D. sin2 2x + cos2 2x = 1. Câu 26. Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng? a A. sin2 a + cosa 2 = 1. B. sin2 a + cos2 = 1. 2 C. sin a 2 + cosa 2 = 1. D. sin2 2a + cos2 2a = 1. Lời giải Chọn D. Công thức lượng giác cơ bản. Câu 27. Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng? a A. sin2 a + cosa 2 = 1. B. sin2 a + cos2 = 1. C. 2 sin a 2 + cosa 2 = 1. D. sin2 a + cos2 a = 1. Lời giải Chọn D. Trang 4
5. Trắc nghiệm TOÁN 10 - Tích vô hướng của 2 véc tơ & Ứng dụng Công thức lượng giác cơ bản. 2 Câu 28. Cho biết cosa = - . Tính tan a ? 3 5 5 5 5 A. . B. - . C. .D. - . 4 2 2 2 Lời giải Chọn D. Do cosa < 0 Þ tan a < 0. 1 5 5 Ta có: 1+ tan2 a = Û tan2 a = Þ tan a = - . cos2 a 4 2 Câu 29. Giá trị của biểu thức A = tan1° tan 2° tan 3° tan 88° tan 89° là A. 0 . B. 2. C. 3 . D. 1. Lời giải Chọn D. A = (tan1°.tan 89° ).(tan 2°.tan 88° ) (tan 44°.tan 46° ).tan 45° = 1. Câu 30. Tổng sin2 2° + sin2 4° + sin2 6° + + sin2 84° + sin2 86° + sin2 88° bằng A. 21. B. 23. C. 22. D. 24. Lời giải Chọn C. S = sin2 2° + sin2 4° + sin2 6° + + sin2 84° + sin2 86° + sin2 88° = (sin2 2° + sin2 88° )+ (sin2 4° + sin2 86° )+ + (sin2 44° + sin2 46° ) = (sin2 2° + cos2 2° )+ (sin2 4° + cos2 4° )+ + (sin2 44° + cos2 44° ) = 22. Câu 31. Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng? A. sin 2a + cos2a = 1. B. sin a 2 + cosa 2 = 1.C. sin2 a + cosa 2 = 1. D. sin2 a + cos2 a = 1. Lời giải Chọn D. Công thức lượng giác cơ bản. Câu 32. Biết sina + cosa = 2 . Hỏi giá trị của sin4 a + cos4 a bằng bao nhiêu ? 3 1 A. . B. . C. - 1. D. 0 . 2 2 Lời giải Chọn B. 2 1 Ta có: sina + cosa = 2 Þ 2 = (sina + cosa) Þ sina.cosa = . 2 æö2 4 4 2 2 2 2 ç1÷ 1 sin a + cos a = (sin a + cos a)- 2sin a cos a = 1- 2ç ÷ = . èç2÷ø 2 Câu 33. Biểu thức f (x) = 3(sin4 x + cos4 x)- 2(sin6 x + cos6 x) có giá trị bằng: A. 1. B. 2. C. - 3. D. 0 . Lời giải Chọn A. • sin4 x + cos4 x = 1- 2sin2 x cos2 x . • sin6 x + cos6 x = 1- 3sin2 x cos2 x . f (x) = 3(1- 2sin2 x cos2 x)- 2(1- 3sin2 x cos2 x) = 1. Trang 5
6. Trắc nghiệm TOÁN 10 - Tích vô hướng của 2 véc tơ & Ứng dụng Câu 34. Biểu thức: f (x) = cos4 x + cos2 x sin2 x + sin2 x có giá trị bằng A. 1. B. 2. C. - 2. D. - 1. Lời giải Chọn A. f (x) = cos2 x (cos2 x + sin2 x)+ sin2 x = cos2 x + sin2 x = 1. Câu 35. Biểu thức tan2 x sin2 x - tan2 x + sin2 x có giá trị bằng A. - 1. B. 0 . C. 2. D. 1. Lời giải Chọn B. sin2 x tan2 x sin2 x - tan2 x + sin2 x = tan2 x (sin2 x - 1)+ sin2 x = (- cos2 x)+ sin2 x = 0 cos2 x . Câu 36. Giá trị của A = tan 5°.tan10°.tan15° tan 80°.tan 85° là A. 2. B. 1. C. 0 . D. - 1. Lời giải Chọn B. A = (tan 5°.tan 85° ).(tan10°.tan 80° ) (tan 40° tan 50° ).tan 45° = 1. Câu 37. Chọn mệnh đề đúng? A. sin4 x - cos4 x = 1- 2cos2 x . B. sin4 x - cos4 x = 1- 2sin2 x cos2 x . C. sin4 x - cos4 x = 1- 2sin2 x . D. sin4 x - cos4 x = 2cos2 x - 1. Lời giải Chọn A. sin4 x - cos4 x = (sin2 x - cos2 x)(sin2 x + cos2 x) = (1- cos2 x)- cos2 x = 1- 2cos2 x . Câu 38. Giá trị của B = cos2 73° + cos2 87° + cos2 3° + cos2 17° là A. 2 . B. 2. C. - 2. D. 1. Lời giải Chọn B. B = (cos2 73° + cos2 17° )+ (cos2 87° + cos2 3° ) = (cos2 73° + sin2 73° )+ (cos2 87° + sin2 87° ) = 2 . 1 3sin a + 4cosa Câu 39. Cho cota = . Giá trị của biểu thức A = là: 3 2sin a - 5cosa 15 15 A. - . B. - 13. C. . D. 13. 13 13 Lời giải Chọn D. 3sin a + 4sin a.cot a 3 + 4cot a A = = = 13. 2sin a - 5sin a.cot a 2 - 5cot a 2 cot a - 3tan a Câu 40. Cho biết cosa = - . Giá trị của biểu thức E = bằng bao nhiêu? 3 2cot a - tan a 25 11 11 25 A. - . B. - . C. - . D. - . 3 13 3 13 Lời giải Chọn C. Trang 6
7. Trắc nghiệm TOÁN 10 - Tích vô hướng của 2 véc tơ & Ứng dụng 3 2 4 - cot a - 3tan a 1- 3tan2 a 4 - 3(tan a + 1) 2 4cos2 a - 3 11 E = = = = cos a = = - 2cot a - tan a 2 - tan2 a 2 1 3cos2 a - 1 3 3 - (1+ tan a) 3 - cos2 a . Câu 41. Cho tan a + cot a = m . Tìm m để tan2 a + cot 2 a = 7 . A. m = 9. B. m = 3 . C. m = - 3. D. m = ± 3. Lời giải Chọn D. 2 7 = tan2 a + cot 2 a = (tan a + cot a) - 2 Þ m2 = 9 Û m = ± 3 . 2 Câu 42. Biểu thức (cot a + tana) bằng 1 1 1 1 A. - .B. cot 2 a + tan2 a2 . C. + . D. cot 2 a tan2 a + 2. sin2 a cos2 a sin2 a cos2 a Lời giải Chọn C. 2 1 1 (cot a + tana) = cot 2 a + 2cot a.tana + tan2 a = (cot 2 a + 1)+ (tan2 a + 1) = + sin2 a cos2 a . 2 2 Câu 43. Rút gọn biểu thức sau A = (tan x + cot x) - (tan x - cot x) A. A = 4. B. A = 1. C. A = 2. D. A = 3 Lời giải Chọn A. A = (tan2 x + 2tan x.cot x + cot 2 x)- (tan2 x - 2tan x.cot x + cot 2 x) = 4. Câu 44. Đơn giản biểu thức G = (1- sin2 x)cot 2 x + 1- cot 2 x . 1 A. sin2 x . B. cos2 x . C. . D. cosx . cosx Lời giải Chọn A. G = é1- sin2 x - 1ùcot 2 x + 1 = - sin2 x.cot 2 x + 1 = 1- cos2 x = sin2 x . ëê( ) ûú sin x Câu 45. Đơn giản biểu thức E = cot x + ta được 1+ cosx 1 1 A. sin x . B. . C. . D. cosx . cosx sin x Lời giải Chọn C. sin x cosx sin x cosx (1+ cosx)+ sin x.sin x E = cot x + = + = 1+ cosx sin x 1+ cosx sin x (1+ cosx) 2 cosx (1+ cosx)+ (1- cos x) cosx (1+ cosx)+ (1+ cosx)(1- cosx) 1 = = = . sin x (1+ cosx) sin x (1+ cosx) sin x cot 2 x - cos2 x sin x.cosx Câu 46. Rút gọn biểu thức sau A = + . cot 2 x cot x A. A = 1. B. A = 2. C. A = 3. D. A = 4 Lời giải Trang 7
8. Trắc nghiệm TOÁN 10 - Tích vô hướng của 2 véc tơ & Ứng dụng Chọn A. cot 2 x - cos2 x sin x.cosx cos2 x sin x.cosx A = + = 1- + = 1- sin2 x + sin2 x = 1. cot 2 x cot x cot 2 x cot x 1 Câu 47. Cho biết tan a = . Tính cot a . 2 1 1 A. cot a = 2. B. cot a = 2 . C. cot a = . D. cot a = . 4 2 Lời giải Chọn A. 1 tan a.cot a = 1 Þ cot x = = 2 . tan x Câu 48. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? 2 A.(sin x cosx) = 12sin x cosx . B. sin4 x + cos4 x = 12sin2 x cos2 x . 2 C. (sin x + cosx) = 1+ 2sin x cosx . D. sin6 x + cos6 x = 1sin2 x cos2 x . Lời giải Chọn D. 3 3 3 sin6 x + cos6 x = (sin2 x) + (cos2 x) = (sin2 x + cos2 x) - 3(sin2 x + cos2 x).sin2 x.cos2 x = 1- 3sin2 x.cos2 x . Câu 49. Khẳng định nào sau đây là sai? 1 A. sin2 a + cos2 a = 1. B. 1+ cot 2 a = (sin a ¹ 0). sin2 a 1 C. tan a.cot a = - 1 (sin a.cosa ¹ 0). D. 1+ tan2 a = (cosa ¹ 0). cos2 a Lời giải Chọn C. sin x cosx tan a.cot a = . = 1. cosx sin x 1- sin 2x Câu 50. Rút gọn biểu thức P = ta được 2sin x.cosx 1 1 A. P = tan x . B. P = cot x . C. P = 2cot x . D. P = 2tan x . 2 2 Lời giải Chọn B. 1- sin 2x cos2 x cosx 1 P = = = = cot x . 2sin x.cosx 2sin x.cosx 2sin x 2 Loại . HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC µ 0 Câu 1. Cho DABC có b = 6,c = 8,A = 60 . Độ dài cạnh a là: A. 2 13. B. 3 12. C. 2 37. D. 20. Lời giải Chọn A. Ta có: a2 = b2 + c2 - 2bc cosA = 36 + 64 - 2.6.8.cos600 = 52 Þ a = 2 13 . Trang 8
9. Trắc nghiệm TOÁN 10 - Tích vô hướng của 2 véc tơ & Ứng dụng Câu 2. Cho DABC có S = 84,a = 13,b = 14,c = 15. Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác trên là: A. 8,125. B. 130. C. 8. D. 8,5. Lời giải Chọn A. a.b.c a.b.c 13.14.15 65 Ta có: S = Û R = = = . DABC 4R 4S 4.84 8 Câu 3. Cho DABC có a = 6,b = 8,c = 10. Diện tích S của tam giác trên là: A. 48. B. 24. C. 12. D. 30. Lời giải Chọn B. a + b + c Ta có: Nửa chu vi DABC : p = . 2 Áp dụng công thức Hê-rông: S = p(p - a)(p - b)(p - c) = 12(12 - 6)(12 - 8)(12 - 10) = 24. Câu 4. Cho DABC thỏa mãn : 2cosB = 2 . Khi đó: A. B = 300. B. B = 600. C. B = 450. D. B = 750. Lời giải Chọn C. 2 Ta có: 2cosB = 2 Û cosB = Þ Bµ= 450. 2 µ 0 Câu 5. Cho DABC vuông tại B và có C = 25 . Số đo của góc A là: A. A = 650. B. A = 600. C. A = 1550. D. A = 750. Lời giải Chọn A. Ta có: Trong DABC Aµ+ Bµ+ Cµ= 1800 Þ Aµ= 1800 - Bµ- Cµ= 1800 - 900 - 250 = 650 . Câu 6. Cho DABC có B = 600,a = 8,c = 5. Độ dài cạnh b bằng: A. 7. B. 129. C. 49. D. 129 . Lời giải Chọn A. Ta có: b2 = a2 + c2 - 2ac cosB = 82 + 52 - 2.8.5.cos600 = 49 Þ b = 7 . Câu 7. Cho DABC có Cµ= 450,Bµ= 750 . Số đo của góc A là: A. A = 650. B. A = 700 C. A = 600. D. A = 750. Lời giải Chọn C. Ta có: Aµ+ Bµ+ Cµ= 1800 Þ Aµ= 1800 - Bµ- Cµ= 1800 - 750 - 450 = 600. Câu 8. Cho DABC có S = 10 3 , nửa chu vi p = 10 . Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác trên là: A. 3. B. 2. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn D. S 10 3 Ta có: S = pr Þ r = = = 3. p 10 Câu 9. Cho DABC có a = 4,c = 5,B = 1500.Diện tích của tam giác là: Trang 9
10. Trắc nghiệm TOÁN 10 - Tích vô hướng của 2 véc tơ & Ứng dụng A.5 3. B. 5. C. 10. D. 10 3. Lời giải Chọn B. 1 1 Ta có: S = a.c.sin B = .4.5.sin1500 = 5. DABC 2 2 Câu 10. Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2cosA = 1. Khi đó: A. A = 300. B. A = 450. C.A = 1200. D. A = 600. Lời giải Chọn D. 1 Ta có: 2cosA = 1 Û cosA = Þ Aµ= 600. 2 3 Câu 11. Cho tam giác ABC có b = 7; c = 5, cosA = . Đường cao h của tam giác ABC là 5 a 7 2 A. . B. 8. C. 8 3. D. 80 3. 2 Lời giải Chọn A. 3 Ta có: a2 = b2 + c2 - 2bc cosA = 72 + 52 - 2.7.5. = 32 Þ a = 4 2. 5 9 16 4 Mặt khác: sin2 A + cos2 A = 1 Þ sin2 A = 1- cos2 A = 1- = Þ sin A = (Vì 25 25 5 sin A > 0). 4 7.5. 1 1 bc sin A 5 7 2 Mà: SDABC = b.c.sin A = a.ha Þ ha = = = . 2 2 a 4 2 2 Câu 12. Cho tam giác ABC , chọn công thức đúng trong các đáp án sau: b2 + c2 a2 a2 + c2 b2 A. m2 = + . B. m2 = - . a 2 4 a 2 4 a2 + b2 c2 2c2 + 2b2 - a2 C. m2 = - . D. m2 = . a 2 4 a 4 Lời giải Chọn D. b2 + c2 a2 2b2 + 2c2 - a2 Ta có: m2 = - = . a 2 4 4 Câu 13. Cho tam giác ABC . Tìm công thức sai: a a c sin A A. = 2R. B. sin A = . C. bsin B = 2R. D. sinC = . sin A 2R a Lời giải Chọn C. a b c Ta có: = = = 2R. sin A sin B sinC Câu 14. Chọn công thức đúng trong các đáp án sau: 1 1 1 1 A. S = bc sin A. B. S = ac sin A. C. S = bc sin B . D. S = bc sin B . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A. Trang 10
11. Trắc nghiệm TOÁN 10 - Tích vô hướng của 2 véc tơ & Ứng dụng 1 1 1 Ta có: S = bc sin A = ac sin B = absinC . 2 2 2 Câu 15. Cho tam giác ABC có a = 8,b = 10, góc C bằng 600 . Độ dài cạnh c là ? A. c = 3 21 . B. c = 7 2 .C. c = 2 11.D. c = 2 21. Lời giải Chọn D. Ta có: c2 = a2 + b2 - 2a.b.cosC = 82 + 102 - 2.8.10.cos600 = 84 Þ c = 2 21 . Câu 16. Cho tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây là đúng ? 1 a A. S = a.b.c . B. = R . DABC 2 sin A b2 + c2 - a2 C. cosB = . D. 2bc 2b2 + 2a2 - c2 m2 = . c 4 Lời giải Chọn D. Câu 17. Cho tam giác ABC , chọn công thức đúng ? A. AB 2 = AC 2 + BC 2 - 2AC.AB cosC .B. AB 2 = AC 2 - BC 2 + 2AC.BC cosC . C. AB 2 = AC 2 + BC 2 - 2AC.BC cosC . D. AB 2 = AC 2 + BC 2 - 2AC.BC + cosC . Lời giải Chọn C. Câu 18. Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức b + c = 2a . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ? A. cosB + cosC = 2cosA. B. sin B + sinC = 2sin A. 1 C. sin B + sinC = sin A . D. sin B + cosC = 2sin A. 2 Lời giải Chọn B. Ta có: b + c a b c b c b + c b + c = = = 2R Þ 2 = = Û = Û sin B + sinC = 2sin A. sin A sin B sinC sin A sin B sinC 2sin A sin B + sinC Câu 19. Cho tam giác ABC. Đẳng thức nào sai ? B + C A A. sin(A + B - 2C) = sin 3C. B. cos = sin . 2 2 C. sin(A + B) = sinC. D. A + B + 2C C cos = sin . 2 2 Lời giải Chọn D. Ta có: æ ö æ ö æ ö 0 A + B + 2C 0 C çB + C ÷ ç 0 C ÷ çB + C ÷ C A + B + C = 180 Þ = 90 + Þ cosç ÷= cosç90 + ÷Û cosç ÷= - sin 2 2 èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ 2 . Trang 11
12. Trắc nghiệm TOÁN 10 - Tích vô hướng của 2 véc tơ & Ứng dụng 2 2 2 Câu 20. Gọi S = ma + mb + mc là tổng bình phương độ dài ba trung tuyến của tam giác ABC . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ? 3 A. S = (a2 + b2 + c2) . B. S = a2 + b2 + c2 . 4 3 C. S = (a2 + b2 + c2) . D. 2 S = 3(a2 + b2 + c2) . Lời giải Chọn A. Ta có: b2 + c2 a2 a2 + c2 b2 a2 + b2 c2 3 S = m2 + m2 + m2 = - + - + - = (a2 + b2 + c2). a b c 2 4 2 4 2 4 4 Câu 21. Độ dài trung tuyến mc ứng với cạnh c của DABC bằng biểu thức nào sau đây b2 + a2 c2 b2 + a2 c2 A. - . B. + . 2 4 2 4 1 b2 + a2 - c2 C. (2b2 + 2a2)- c2 . D. . 2 4 Lời giải Chọn C. b2 + a2 c2 b2 + a2 c2 1 Ta có: m2 = - Þ m = - = (2b2 + 2a2) - c2 . c 2 4 c 2 4 2 Câu 22. Tam giác ABC có cosB bằng biểu thức nào sau đây? b2 + c2 - a2 a2 + c2 - b2 A. . B. 1- sin2 B . C. cos(A + C). D. . 2bc 2ac Lời giải Chọn D. a2 + c2 - b2 Ta có: b2 = a2 + c2 - 2ac cosB Þ cosB = . 2ac Câu 23. Cho tam giác ABC có a2 + b2 - c2 > 0. Khi đó : A. Góc C > 900 B. Góc C 0 suy ra: cosC > 0 Þ C < 900 . Câu 24. Chọn đáp án sai : Một tam giác giải được nếu biết : A. Độ dài 3 cạnhB. Độ dài 2 cạnh và 1 góc bất kỳ C. Số đo 3 góc D. Độ dài 1 cạnh và 2 góc bất kỳ Lời giải Chọn C. Ta có: Một tam giác giải được khi ta biết 3 yếu tố của nó, trong đó phải có ít nhất một yếu tố độ dài (tức là yếu tố góc không được quá 2). Câu 25. Một tam giác có ba cạnh là 13,14,15. Diện tích tam giác bằng bao nhiêu ? A. 84. B. 84. C. 42. D. 168. Trang 12
13. Trắc nghiệm TOÁN 10 - Tích vô hướng của 2 véc tơ & Ứng dụng Lời giải Chọn A. a + b + c 13 + 14 + 15 Ta có: p = = = 21. 2 2 Suy ra: S = p(p - a)(p - b)(p - c) = 21(21- 13)(21- 14)(21- 15) = 84. Câu 26. Một tam giác có ba cạnh là 26,28,30. Bán kính đường tròn nội tiếp là: A. 16. B. 8. C. 4. D. 4 2. Lời giải Chọn B. a + b + c 26 + 28 + 30 Ta có: p = = = 42. 2 2 S p(p - a)(p - b)(p - c) 42(42 - 26)(42 - 28)(42 - 30) S = pr Þ r = = = = 8. p p 42 Câu 27. Một tam giác có ba cạnh là 52,56,60. Bán kính đường tròn ngoại tiếp là: 65 65 A. . B. 40. C. 32,5. D. . 8 4 Lời giải Chọn C. a + b + c 52 + 56 + 60 Ta có: p = = = 84. 2 2 Suy ra: S = p(p - a)(p - b)(p - c) = 84(84 - 52)(84 - 56)(84 - 60) = 1344 . abc abc 52.56.60 65 Mà S = Þ R = = = . 4R 4S 4.1344 2 Câu 28. Tam giác với ba cạnh là 3,4,5. Có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 2. Lời giải Chọn A. a + b + c 3 + 4 + 5 Ta có: p = = = 6. 2 2 S p(p - a)(p - b)(p - c) 6(6 - 3)(6 - 4)(6 - 5) Suy ra: S = pr Þ r = = = = 1. p p 6 Câu 29. Tam giác ABC có a = 6,b = 4 2,c = 2. M là điểm trên cạnh BC sao cho BM = 3 . Độ dài đoạn AM bằng bao nhiêu ? 1 A. 9. B. 9. C. 3. D. 108. 2 Lời giải Chọn C. Ta có: Trong tam giác ABC có a = 6 Þ BC = 6 mà BM = 3 suy ra M là trung điểm BC. b2 + c2 a2 Suy ra: AM 2 = m2 = - = 9 Þ AM = 3. a 2 4 r uuur r uuur Câu 30. Cho DABC , biết a = AB = (a1;a2) và b = AC = (b1;b2) . Để tính diện tích S của DABC . Một học sinh làm như sau: Trang 13
14. Trắc nghiệm TOÁN 10 - Tích vô hướng của 2 véc tơ & Ứng dụng r r a.b (I ) Tính cosA = r r a . b r r 2 (a.b) (II ) Tính sin A = 1- cos2A = 1- r 2 r 2 (a . b ) 1 1 r 2 r 2 r r 2 (III ) S = AB.AC.sinA = a b - (a.b) 2 2 1 2 (IV ) S = (a2 + a2 )(b2 + b2 )- (a b + a b ) 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 S = (a b + a b ) 2 1 2 2 1 1 S = (a b - a b ) 2 1 2 2 1 Học sinh đó đã làm sai bắt đàu từ bước nào? A. (I ) B. (II ) C. (III ) D. (IV ) Lời giải Chọn A. r r a.b Ta có: cosA = r r . a . b Câu 31. Câu nào sau đây là phương tích của điểm M (1;2) đối với đường tròn (C) . tâm I (- 2;1) , bán kính R = 2: A. 6. B. 8. C. 0. D. - 5. Lời giải Chọn A. uuur Ta có: MI = (- 3;1) Þ MI = 10 . Phương tích của điểm M đối với đường tròn (C) tâm I là: 2 MI 2 - R2 = ( (- 2 - 1)2 + (1- 2)2 ) - 4 = 6. Câu 32. Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 78o24' . Biết CA = 250m,CB = 120m . Khoảng cách AB bằng bao nhiêu ? A. 266m. B. 255m. C. 166m. D. 298m. Lời giải Chọn B. Ta có: AB 2 = CA2 + CB 2 - 2CB.CA.cosC = 2502 + 1202 - 2.250.120.cos78o24' ; 64835 Þ AB ; 255. Câu 33. Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí A , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 600 . Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30km / h , tàu thứ hai chạy với tốc độ 40km / h . Hỏi sau 2 giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu km ? A. 13. B. 15 13. C. 20 13. D. 15. Lời giải Chọn C Ta có: Sau 2h quãng đường tàu thứ nhất chạy được là: S1 = 30.2 = 60km. Trang 14
15. Trắc nghiệm TOÁN 10 - Tích vô hướng của 2 véc tơ & Ứng dụng Sau 2h quãng đường tàu thứ hai chạy được là: S2 = 40.2 = 80km. 2 2 0 Vậy: sau 2h hai tàu cách nhau là: S = S1 + S2 - 2S1.S2.cos60 = 20 13. Câu 34. Từ một đỉnh tháp chiều cao CD = 80m , người ta nhìn hai điểm A và B trên mặt đất dưới các góc nhìn là 72012' và 34026' . Ba điểm A,B,D thẳng hàng. Tính khoảng cách AB ? A. 71m. B. 91m. C. 79m. D. 40m. Lời giải Chọn B. Ta có: Trong tam giác vuông CDA : CD CD 80 tan 72012' = Þ AD = = ; 25,7. AD tan 72012' tan 72012' Trong tam giác vuông CDB : CD CD 80 tan 34026' = Þ BD = = ; 116,7. BD tan 34026' tan 34026' Suy ra: khoảng cách AB = 116,7 - 25,7 = 91m. Câu 35. Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 56016'. Biết CA = 200m , CB = 180m . Khoảng cách AB bằng bao nhiêu ? A. 163m. B. 224m. C. 112m. D. 180m. Lời giải Chọn D Ta có: AB 2 = CA2 + CB 2 - 2CB.CA.cosC = 2002 + 1802 - 2.200.180.cos56016' ; 32416 Þ AB ; 180. Câu 36. Cho đường tròn (C) đường kính AB với A(- 1;- 2) ; B(2;1) . Kết quả nào sau đây là phương tích của điểm M (1;2) đối với đường tròn (C) . A. 3. B. 4. C. - 5. D. 2. Lời giải Chọn D. uuur Ta có: AB = (3;3) Þ AB = 3 2 . æ ö ç1 - 1÷ Đường tròn (C) đường kính AB có tâm I ç ; ÷ là trung điểm AB và bán kính èç2 2 ÷ø AB 3 2 R = = . 2 2 Suy ra: phương tích của điểm M đối với đường tròn (C) là: MI 2 - R2 = 2. Câu 37. Cho các điểm A(1;- 2),B(- 2;3),C(0;4). Diện tích DABC bằng bao nhiêu ? 13 13 A. . B. 13. C. 26. D. . 2 4 Lời giải Chọn A. uuur uuur Ta có: AB = (- 3;5) Þ AB = 34 , AC = (- 1;6) Þ AC = 37 , uuur BC = (2;1) Þ BC = 5 . Trang 15
16. Trắc nghiệm TOÁN 10 - Tích vô hướng của 2 véc tơ & Ứng dụng AB + AC + BC 37 + 34 + 5 Mặt khác p = = . 2 2 13 Suy ra: S = p(p - AB)(p - AC)(p - BC) = . 2 Câu 38. Cho tam giác ABC có A(1;- 1),B(3;- 3),C(6;0). Diện tích DABC là A. 12. B. 6. C. 6 2. D. 9. Lời giải Chọn B. uuur uuur uuur Ta có: AB = (2;- 2) Þ AB = 2 2 ,AC = (5;1) Þ AC = 26 , BC = (3;3) Þ BC = 3 2 . uuur uuur Mặt khác AB.BC = 0 Þ AB ^ BC . 1 Suy ra: S = AB.BC = 6. DABC 2 r r r r Câu 39. Cho a = (2;- 3) và b = (5;m) . Giá trị của m để a và b cùng phương là: 13 15 A. - 6. B. - . C. - 12. D. - . 2 2 Lời giải Chọn D. r r 5 m 15 Ta có: a,b cùng phương suy ra = Þ m = - . 2 - 3 2 Câu 40. Cho các điểm A(1;1),B(2;4),C(10;- 2). Góc B·AC bằng bao nhiêu? A. 900 . B. 600. C. 450. D. 300. Lời giải Chọn A. uuur uuur Ta có: AB = (1;3) , AC = (9;- 3) . uuur uuur AB.AC · · 0 Suy ra: cosBAC = uuur uuur = 0 Þ BAC = 90 . AB . AC Câu 41. Tam giác với ba cạnh là 5;12;13 có bán kính đường tròn ngoại tiếp là ? 13 11 A. 6. B. 8. C. . D. . 2 2 Lời giải Chọn C. 13 Ta có: 52 + 122 = 132 Þ R = . (Tam giác vuông bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2 1 cạnh huyền ). 2 Câu 42. Cho tam giác ABC có a = 4,b = 6,c = 8. Khi đó diện tích của tam giác là: 2 A. 9 15. B. 3 15. C. 105. D. 15. 3 Lời giải Chọn B. a + b + c 4 + 6 + 8 Ta có: p = = = 9. 2 2 Trang 16
17. Trắc nghiệm TOÁN 10 - Tích vô hướng của 2 véc tơ & Ứng dụng Suy ra: S = p(p - a)(p - b)(p - c) = 3 15. Câu 43. Tam giác với ba cạnh là 5;12;13 có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu ? A. 2. B. 2 2. C. 2 3. D. 3. Lời giải Chọn A. 5 + 12 + 13 1 Ta có: p = = 15. Mà 52 + 122 = 132 Þ S = .5.12 = 30. 2 2 S Mặt khác S = p.r Þ r = = 2. p Câu 44. Tam giác với ba cạnh là 6;8;10 có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng bao nhiêu ? A. 5. B. 4 2. C. 5 2. D. 6. Lời giải Chọn A. 10 Ta có: 62 + 82 = 102 Þ R = = 5. (Tam giác vuông bán kính đường tròn ngoại tiếp 2 1 bằng cạnh huyền ). 2 Câu 45. Cho tam giác ABC thoả mãn : b2 + c2 - a2 = 3bc . Khi đó : A. A = 300. B. A = 450. C. A = 600. D. A = 750 . Lời giải Chọn A. b2 + c2 - a2 3bc 3 Ta có: cosA = = = Þ A = 300. 2bc 2bc 2 µ 0 0 Câu 46. Tam giác ABC có a = 16,8; B = 56 13'; Cµ= 71 . Cạnh c bằng bao nhiêu? A. 29,9. B. 14,1. C. 17,5. D. 19,9. Lời giải Chọn D. Ta có: Trong tam giác ABC : Aµ+ Bµ+ Cµ= 1800 Þ Aµ= 1800 - 710 - 56013' = 52047' . a b c a c a.sinC 16,8.sin 710 Mặt khác = = Þ = Þ c = = ; 19,9. sin A sin B sinC sin A sinC sin A sin 52047' Câu 47. Cho tam giác ABC , biết a = 24,b = 13,c = 15. Tính góc A ? A. 33034'. B. 117049'. C. 28037'. D. 58024'. Lời giải Chọn B. b2 + c2 - a2 132 + 152 - 242 7 Ta có: cosA = = = - Þ A ; 117049'. 2bc 2.13.15 15 µ 0 µ 0 Câu 48. Tam giác ABC có A = 68 12' , B = 34 44' , AB = 117. Tính AC ? A. 68. B. 168. C. 118. D.200. Lời giải Chọn A. Ta có: Trong tam giác ABC : Aµ+ Bµ+ Cµ= 1800 Þ Cµ= 1800 - 68012'- 34044' = 7704' . Trang 17
18. Trắc nghiệm TOÁN 10 - Tích vô hướng của 2 véc tơ & Ứng dụng Mặt khác a b c AC AB AB.sin B 117.sin 34044' = = Þ = Þ AC = = ; 68. sin A sin B sinC sin B sinC sinC sin 7704' Câu 49. Tam giác ABC có a = 8,c = 3,Bµ= 600. Độ dài cạnh b bằng bao nhiêu ? A. 49. B. 97 C. 7. D. 61. Lời giải Chọn C. Ta có: b2 = a2 + c2 - 2ac cosB = 82 + 32 - 2.8.3.cos600 = 49 Þ b = 7 . Câu 50. Cho tam giác ABC , biết a = 13,b = 14,c = 15. Tính góc B ? A. 59049'. B. 5307'. C. 59029'. D. 62022'. Lời giải Chọn C. a2 + c2 - b2 132 + 152 - 142 33 Ta có: cosB = = = Þ B ; 59029'. 2ac 2.13.15 65 Loại . TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ æ ö ç 3÷ Câu 1. Trong mp Oxy cho A(4;6), B (1;4), C ç7; ÷. Khảng định nào sau đây sai èç 2ø÷ uuur uuur æ ö uuur uuur ç 9÷ A.AB = (- 3;- 2), AC = ç3;- ÷. B. AB.AC = 0 . èç 2ø÷ uuur uuur 13 C. AB = 13 . D. BC = . 2 Lời giải Chọn D uuur Phương án A: AB = (- 3;- 2), nên loại A. uuur uuur Phương án B: AB.AC = 0 nên loại B. uuur uuur æ ö ç 9÷ Phương án C : AB = 13 nên loại C.AC = ç3;- ÷ èç 2ø÷ uuur æ ö æ ö2 ç 5÷ 2 ç5÷ 13 Phương án D: Ta có BC = ç6;- ÷ suy ra BC = 6 + ç ÷ = nên chọn D. èç 2ø÷ èç2ø÷ 2 r r r Câu 2. Cho a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0 . Trong các kết quả sau đây, hãy chọn kết quả đúng: r r r r r r r r r r r r A.a.b = a . b .B. a.b = 0.C. a.b = - 1.D. a.b = - a . b . Lời giải Chọn A Ta thấy vế trái của 4 phương án giống nhau. r r r r r Bài toán cho a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0 suy ra (a,b) = 00 r r r r r r Do đó a.b = a . b .cos0o = a . b nên chọn A r r Câu 3. Cho các vectơ a = (1;- 2), b = (- 2;- 6). Khi đó góc giữa chúng là A.45o . B. 60o . C. 30o . D. 135o . Trang 18
19. Trắc nghiệm TOÁN 10 - Tích vô hướng của 2 véc tơ & Ứng dụng Lời giải Chọn A r r r r r r a.b 10 2 r r Ta có a = (1;- 2), b = (- 2;- 6), suy ra cos(a;b) = r r = = Þ (a;b) = 45o . a . b 5. 40 2 uuur uuur uuur uuur Câu 4. Cho OM = (- 2;- 1), ON = (3;- 1). Tính góc của (OM ,ON ) 2 2 A.135o . B. - . C. - 135o . D. . 2 2 Lời giải Chọn A uuur uuur uuur uuur OM .ON - 5 2 uuur uuur Ta có cos(OM ,ON ) = uuur uuuur = = - Þ (OM ,ON ) = 135o . OM .ON 5. 10 2 r r r r Câu 5. Trong mặt phẳng Oxy cho a = (1;3), b = (- 2;1). Tích vô hướng của 2 vectơ a.b là: A. 1.B. 2. C. 3.D. 4. Lời giải Chọn A r r r r Ta có a = (1;3),b = (- 2;1), suy ra a.b = 1.(- 2)+ 3.1 = 1. Câu 6. Cặp vectơ nào sau đây vuông góc? r r r r A. a = (2;- 1) và b = (- 3;4). B. a = (3;- 4) và b = (- 3;4). r r r r C.a = (- 2;- 3) và b = (- 6;4). D. a = (7;- 3) và b = (3;- 7). Lời giải Chọn C r r Phương án A: a.b = 2.(- 3)+ (- 1).4 = - 10 ¹ 0 suy ra A sai. r r Phương án B: a.b = 3.(- 3)+ (- 4).4 ¹ 0 suy ra B sai. r r r r Phương án C: a.b = - 2.(- 6)- 3.4 = 0 Þ a ^ b suy ra C đúng. r r Phương án D: a.b = 7.3 + (- 3).(- 7) = 42 ¹ 0 suy ra D sai. r r Câu 7. Cho 2 vec tơ a = (a1;a2 ), b = (b1;b2 ), tìm biểu thức sai: r r r r r r r r A.a.b = a .b + a .b .B. a.b = a . b .cos a,b . 1 1 2 2 ( ) uur ur uur ur r r 1 é r r 2 ù r r 1 ér r 2 ù a.b = êa2 + b2 - a + b ú a.b = êa + b - a2 - b2 ú C. ê ( ) ú.D. ê( ) ú. 2 ë û 2 ë û Lời giải Chọn C r r Phương án A : biểu thức tọa độ tích vô hướng a.b = a1.b1 + a2.b2 nên loại A r r r r r r Phương án B : Công thức tích vô hướng của hai véc tơ a.b = a . b .cos(a,b) nên loại B uur ur uur ur uur ur 1 é r r 2 ù 1 é r r ù r r êa2 + b2 - a + b ú= a2 + b2 - a2 + b2 + 2ab = - ab Phương án C: ê ( ) ú ê ( )ú nên chọn C. 2 ë û 2 ëê ûú Câu 8. Cho tam giác đều ABC cạnh a = 2. Hỏi mệnh đề nào sau đây sai? Trang 19
20. Trắc nghiệm TOÁN 10 - Tích vô hướng của 2 véc tơ & Ứng dụng uuur uuur uuur uuur uuur uur A.(AB.AC )BC = 2BC .B. BC.CA = - 2 . uuur uuur uuur C.(AB + BC ).AC = - 4 . D. uuur uuur uuur (BC - AC ).BA = 2. Lời giải Chọn C Ta đi tính tích vô hướng ở các phương án. So sánh vế trái với vế phải. uuur uuur uuur uuur uuur uuur Phương án A:AB.AC = AB.AC cos60o = 2x Þ (AB.AC )BC = 2BC nên loại A. uuur uur Phương án B:BC.CA = BC.AC cos120o = - 2nên loại B. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur Phương án C:(AB + BC ).AC = AC.AC = 4, BC.CA = 2.2.cos120o = - 2 nên chọn C. uuur uur µ o Câu 9. Cho tam giác ABC cân tại A , A = 120 và AB = a . Tính BA.CA a2 a2 a2 3 a2 3 A. . B.- . C. . D. - . 2 2 2 2 Lời giải Chọn B uuur uur 1 Ta có BA.CA = BA.CA.cos120o = - a2 . 2 Câu 10. Cho ABC là tam giác đều. Mệnh đề nào sau đây đúng? uuur uuur uuur uuur uuur uuur A.AB.AC = 0 .B. AB.AC = - AC.AB . uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur C.(AB.AC )BC = AB (AC.BC ). D.AB.AC = BA.BC . Lời giải Chọn D uuur uuur Phương án A: DoAB.AC = AB.AC.cos60o ¹ 0nên loại A. uuur uuur ü AB.AC > 0 ï uuur uuur uuur uuur Phương án B: uuur uuur ýï Þ AB.AC ¹ - AC.AB nên loại B. - AC.AB < 0ï þï uuur uuur uuur uuur uuur uuur Phương án C: Do(AB.AC )BC vàAB (AC.BC ) không cùng phương nên loại C. uuur uuur uuur uuur a2 Phương án D:AB = AC = BC = a , AB.AC = BA.BC = nên chọn D. 2 Câu 11. Cho tam giác ABC có A(1;2), B (- 1;1), C (5;- 1).Tính cosA 2 - 1 1 - 2 A. .B. .C. .D. . 5 5 5 5 Lời giải Chọn B uuur uuur Ta có AB = (- 2;- 1), AC = (4;- 3) suy ra uuur uuur AB.AC (- 2).4 + (- 1).(- 3) - 5 1 cosA= = = = - . AB.AC 2 2 2 (- 2) + (- 1) . 42 + (- 3) 5 25 5 Câu 12. Cho hình vuông ABCD tâm O . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai? Trang 20
21. Trắc nghiệm TOÁN 10 - Tích vô hướng của 2 véc tơ & Ứng dụng uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur A.OA.OB = 0.B. OA.OC = OA.AC . 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur C.AB.AC = AB.CD .D. AB.AC = AC.AD . Lời giải Chọn C uuur uuur uuur uuur Phương án A:OA ^ OB suy ra OA.OB = 0nên loại A. uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur Phương án B:OA.OC = 0và OA.AC = 0 suy ra OA.OC = OA.AC = 0 nên loại B. 2 2 uuur uuur 2 Phương án C: AB.AC = AB.AC.cos45o = AB.AB 2. = AB 2 . 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB.CD = AB.DC.cos1800 = - AB 2 Þ AB.AC ¹ AB.CD nên chọn C. Câu 13. Trong mặt phẳng Oxy cho A(- 1;- 1), B (3;1), C (6;0). Khảng định nào sau đây đúng. uuur uuur uuur A.AB = (- 4;- 2), AC = (1;7). B.Bµ= 135o . C. AB = 20. D. uuur BC = 3. Lời giải Chọn B uuur Phương án A: do AB = (4;2)nên loại A Phương án B: uuur uuur uuur uuur Ta có AB = (4;2) suy ra AB = 20 , BA = (- 4;- 2); BC = (3;- 1) Þ BC = 10 . uuur uuur BA.BC - 10 - 1 cosB = = = Þ Bµ= 135o nên chọn B. BA.BC 20. 10 2 Câu 14. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai? uuur uuur uuur uuur A.DA.CB = a2 .B. AB.CD = - a2 . uuur uuur uuur C.(AB + BC ).AC = a2 .D. uuur uuur uuur uuur AB.AD + CB.CD = 0. Lời giải Chọn B uuur uuur Phương án A:DoDA.CB = DA.CB.cos00 = a2 nên loạiA. uuur uuur Phương án B:DoAB.CD = AB.CD.cos180o = - a2 nên chọn B. Câu 15. Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB = 4a , đáy nhỏ CD = 2a , đường cao AD = 3a ; I là trung điểm của AD . Câu nào sau đây sai? uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A.AB.DC = 8a2 .B. AD.CD = 0.C. AD.AB = 0.D. DA.DB = 0. Lời giải Chọn D uuur uuur Phương án A:AB.DC = AB.DC.cos0o = 8a2 nên loại A. uuur uuur uuur uuur Phương án B:AD ^ CD suy ra AD.CD = 0 nên loại B. uuur uuur uuur uuur Phương án C:AD ^ AB suy ra AD.AB = 0nên loại C. uuur uuur uuur uuur Phương án D:DA không vuông góc với DB suy ra DA.DB ¹ 0 nên chọn D . Trang 21
22. Trắc nghiệm TOÁN 10 - Tích vô hướng của 2 véc tơ & Ứng dụng Câu 16. Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB = 4a , đáy nhỏ CD = 2a , đường cao uur uur uur AD = 3a ; I là trung điểm của AD . Khi đó (IA + IB).ID bằng : 9a2 9a2 A. .B. - .C. 0 .D. 9a2 . 2 2 Lời giải Chọn B uur uur uur uur uur uuur uur uur uur 9a2 Ta có IA + IB .ID = IA + IA + AB .ID = 2IA.ID = - nên chọn B. ( ) ( ) 2 Câu 17. Cho tam giác đều ABC cạnh a , với các đường cao AH,BK ; vẽHI ^ AC. Câu nào sau đây đúng? uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur uur A.BA.BC = 2BA.BH . B.CB.CA = 4CB.CI . uuur uuur uuur uuur uuur C.(AC - AB).BC = 2BA.BC . D.Cả ba câu trên. Lời giải Chọn D uuur uuur uuur uuur uuur uuur Phương án A:BC = 2BH Þ BA.BC = 2BA.BH nên đẳng thức ở phương án A là đúng. uur uur uuur uur uuur uur Phương án B:CA = 4CI Þ CB.CA = 4CB.CI nên đẳng thức ở phương án B là đúng. uuur uuur uuur uuur uuur 2ïü (AC - AB).BC = BC.BC = a ï uuur uuur uuur uuur uuur Phương án C: uuur uuur ýï Þ (AC - AB).BC = 2BA.BC nên đẳng 1 2 ï 2BA.BC = 2.a.a. = a ï 2 þï thức ở phương án C là đúng. Vậy chọn D. Câu 18. Cho tam giác đều ABC cạnh a , với các đường cao AH,BK ; vẽ HI ^ AC. Câu nào sau đây đúng? uuur uuur uuur uuur uuur a2 uuur uuur a2 A. AB + AC .BC = a2 . B.CB.CK = . C.AB.AC = . ( ) 8 2 uuur uuur a2 D.CB.CK = . 2 Lời giải Chọn C uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur a2 a2 Phương án A:do AB + AC .BC = AB.BC + AC.BC = - + = 0 nên loại A ( ) 2 2 uuur uuur a2 Phương án B:do CB.CK = CB.CK .cos0o = nên loại B 2 uuur uuur a2 Phương án C:do AB.AC = AB.AC.cos60o = nên chọn C 2 Câu 19. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Mệnh đề nào sau đây sai? uuur uuur uuur uuur A.AB.AD = 0. B.AB.AC = a2 . uuur uuur uuur uuur uuur uuur C.AB.CD = a2 . D.(AB + CD + BC).AD = a2 . Lời giải Chọn C Ta đi tính tích vô hướng ở vế trái của 4 phương án. uuur uuur uuur uuur Phương án A:AB ^ AD Þ AB.AD = 0 nên loại A. uuur uuur Phương án B:AB.AC = AB.AC.cos45o = a2 nên loại B. Trang 22
23. Trắc nghiệm TOÁN 10 - Tích vô hướng của 2 véc tơ & Ứng dụng uuur uuur Phương án C:AB.CD = a.a.cos180o = - a2 nên chọn C. µ o Câu 20. Tam giác ABC vuông ở A và có góc B = 50 . Hệ thức nào sau đây là sai? uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A.(AB, BC ) = 130o .B. (BC, AC ) = 40o .C. (AB, CB) = 50o .D. (AC, CB) = 120o . Lời giải Chọn D uuur uuur uuur uuur Phương án A:(AB, BC ) = 1800 - (AB, CB) = 130o nên loại A. uuur uuur uuur uur Phương án B:(BC, AC ) = (CB, CA) = 40o nên loại B. uuur uuur uuur uuur Phương án C:(AB, CB) = (BA, BC ) = 50o nên loại C. uuur uuur uur uuur Phương án D:(AC, CB) = 1800 - (CA, CB) = 140o nên chọn D. r r r r r r r ur Câu 21. Trong mặt phẳng (O;i, j ) cho 2 vectơ : a = 3i + 6j và b = 8i - 4j. Kết luận nào sau đây sai? r r r r r r r r A.a.b = 0. B.a ^ b.C. a . b = 0.D. a.b = 0 . Lời giải Chọn C r r a = (3;6); b = (8;- 4) r r Phương án A:a.b = 24 - 24 = 0 nên loại A r r r r Phương án B:a.b = 0 suy ra a vuông góc b nên loại B r r 2 Phương án C: a . b = 32 + 62 . 82 + (- 4) ¹ 0 nên chọn C. Câu 22. Trong mặt phẳng Oxy cho A(1;2), B (4;1), C (5;4). Tính B·AC ? A.60o .B. 45o . C.90o .D. 120o . Lời giải Chọn B uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB.AC 10 2 Ta có AB = (3;- 1), AC = (4;2) suy ra cos(AB;AC ) = = = AB.AC 10. 20 2 uuur uuur Þ (AB;AC ) = 45o . r r r r r Câu 23. Cho các vectơ a = (1;- 3), b = (2;5). Tính tích vô hướng của a(a + 2b) A.16. B.26. C. 36 . D.- 16. Lời giải Chọn D r r r r r r r Ta có a.a = 10, a.b = - 13 suy ra a(a + 2b) = - 16 . uuur uur Câu 24. Cho hình vuông ABCD, tính cos(AB,CA) 1 1 2 2 A. .B. - .C. . D. - . 2 2 2 2 Lời giải Chọn D Trang 23
24. Trắc nghiệm TOÁN 10 - Tích vô hướng của 2 véc tơ & Ứng dụng uuur uur uuur uur Đầu tiên ta đi tìm số đo của góc (AB,CA) sau đó mới tính cos(AB,CA) uuur uur uuur uur uuur uur 2 Vì AB,CA = 180o - AB,CA = 135o Þ cos AB,CA = - . ( ) ( ) ( ) 2 Câu 25. Cho hai điểm A(- 3,2), B (4,3). Tìm điểm M thuộc trục Ox và có hoành độ dương để tam giác MAB vuông tại M A.M (7;0). B.M (5;0). C.M (3;0). D.M (9;0). Lời giải Chọn C uuuur Ta có A(- 3,2), B (4,3), gọi M (x;0),x > 0. Khi đó AM = (x + 3;- 2), uuur BM = (x - 4;- 3). uuuur uuur éx = - 2 (l ) Theo YCBT AM .BM = 0 Û x 2 - x - 6 = 0 Þ ê Þ M (3;0). êx = 3 ëê uuur uuur uuur Câu 26. ChoA(2; 5), B (1; 3),C (5; - 1). Tìm tọa độ điểm K sao cho AK = 3BC + 2CK A.K (- 4;5).B. K (- 4;5).C. K (4;- 5).D. K (- 4;- 5) Lời giải Chọn B Gọi K (x;y) với x,y Î ¡ . uuur uuur uuur Khi đó AK = (x - 2;y - 5), 3BC = (12;- 12), 2CK = (2x - 10;2y + 2). uuur uuur uuur ì ì ï x - 2 = 12 + 2x - 10 ï x = - 4 Theo YCBT AK = 3BC + 2CK nên í Û í Þ K - 4;5 . ï y - 5 = - 12 + 2y + 2 ï y = 5 ( ) îï îï uuur uuur Câu 27. Cho tam giácABC vuông cân tại A có BC = a 2 .Tính CA.CB uuur uuur uuur uuur uuur uuur a 2 uuur uuur A.CA.CB = a2 .B. CA.CB = a .C. CA.CB = .D. CA.CB = a 2 . 2 Lời giải Chọn A uuur uuur 2 Ta có CA.CB = a.a 2. = a2 . 2 uuur uuur Câu 28. Cho hình vuông ABCD có cạnh a . Tính AB.AD a2 A. 0 .B. a . C. .D. a2 . 2 Lời giải Chọn A uuur uuur Ta có AB.AD = a.a.cos90o = 0. r r Câu 29. Trong mặt phẳng Oxy , cho a = (2;- 1) và b = (- 3;4). Khẳng định nào sau đây là sai? A.Tích vô hướng của hai vectơ đã cho là - 10.B.Độ lớn của vectơ r a là 5 . r C.Độ lớn của vectơ b là 5.D.Góc giữa hai vectơ là 90o . Lời giải Chọn D Trang 24
25. Trắc nghiệm TOÁN 10 - Tích vô hướng của 2 véc tơ & Ứng dụng r 2 Ta có a = 22 + (- 1) = 5 nên B đúng. r 2 b = (- 3) + 42 = 5 nên C đúng. r r a.b = 2.(- 3)+ (- 1).4 = - 10 ¹ 0 nên A đúng, D sai. Câu 30. Cho M là trung điểm AB , tìm biểu thức sai: uuur uuur A.MA.AB = - MA.AB .B. uuur uuur MA.MB = - MA.MB . uuuur uuur uuur uuur C.AM .AB = AM .AB .D. MA.MB = MA.MB . Lời giải Chọn D uuur uuur uuur uuur Phương án A:MA,AB ngược hướng suy ra MA.AB = MA.AB.cos180o = - MA.AB nên loại A. uuur uuur uuur uuur Phương án B:MA,MB ngược hướng suy ra MA.MB = MA.MB.cos180o = - MA.MB nên loại B. uuuur uuur uuuur uuur Phương án C: AM ,AB cùng hướng suy ra AM .AB = AM .AB.cos0o = AM .AB nên loại C. uuur uuur uuur uuur Phương án D:MA,MB ngược hướng suy ra MA.MB = MA.MB. cos180o = - MA.MB nên chọn D. uuur uur Câu 31. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và H là trung điểm BC . Tính AH.CA 3a2 - 3a2 3a2 - 3a2 A. .B. .C. .D. . 4 4 2 2 Lời giải Chọn B uuur uur uuur uur a 3 3a2 Ta có AH.CA = AH.CA.cos AH,CA = .a.cos150o = - . ( ) 2 4 r r r r r r r Câu 32. Biếta , b ¹ 0 và a.b = - a . b . Câu nào sau đây đúng r r A.a và b cùng hướng. r r B.a và b nằm trên hai dường thẳng hợp với nhau một góc 120o . r r C.a và b ngược hướng. D. A, B, C đều sai. Lời giải Chọn C r r r r r r r r r r r r r r Ta có a.b = - a . b Û a . b cos(a,b) = - a . b Û cos(a,b) = - 1nên a và b ngược hướng r r r r 1 r r r r r Câu 33. Tính a,b biết a.b = - a . b , (a , b ¹ 0) ( ) 2 A.120o .B. 135o .C. 150o . D.60o . Lời giải Chọn A r r 1 r r r r r r 1 r r r r 1 r r a.b = - a . b Û a . b cos a,b = - a . b Û cos a,b = - nên a,b = 120o 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) Trang 25
26. Trắc nghiệm TOÁN 10 - Tích vô hướng của 2 véc tơ & Ứng dụng r uuur uuur uuur r uuur Câu 34. Cho tứ giác lồi ABCD có AD = 6 cm . Đặt v = AB - DC - CB .Tính v.AD A.18 cm2 .B. 24 cm2 .C. 36 cm2 .D. 48 cm2 . Lời giải Chọn C r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r uuur v = AB - DC - CB = AB + CD + BC = AD suy ra v.AD = AD 2 = 36 cm2 . r r r r r r r r Câu 35. Cho 2 vectơ a và b có a = 4 , b = 5 và (a,b) = 120o .Tính a + b A. 21 .B. 61 .C. 21.D. 61. Lời giải Chọn A r r r r 2 r 2 r 2 r r r 2 r 2 r r r r Ta có a + b = (a + b) = a + b + 2a.b = a + b + 2 a b cos(a,b) = 21. Câu 36. Cho tam giác ABC có cạnh BC = 6 cm và đường cao AH , H ở trên cạnh BC sao uuur uuur cho BH = 2HC .Tính AB.BC A.- 24 cm2 .B. 24 cm2 .C. 18 cm2 .D. - 18 cm2 . Lời giải Chọn A uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Ta có AB.BC = (AH + HB).BC = AH.BC + HB.BC = HB.BC = - 24 cm2 . uuur uuur Câu 37. Cho tam giác ABC có A(1;2), B (- 1;1), C (5;- 1).Tính AB.AC A.7 .B. 5.C. - 7 .D. - 5. Lời giải Chọn D uuur uuur Ta có AB.AC = (- 2).4 + (- 1).(- 3) = - 5. Câu 38. Trong mặt phẳngOxy cho A(- 1;1), B (1;3), C (1;- 1). Khảng định nào sau đây đúng. uuur uuur uuur uuur A.AB = (4;2), BC = (2;- 4).B. AB ^ BC . C. Tam giác ABC vuông cân tại A .D. Tam giác ABC vuông cân tại B . Lời giải Chọn C uuur Phương án A: do AB = (2;2) nên loại A. uuur uuur uuur uuur uuur uuur Phương án B:AB = (2;2),BC = (0;- 4),AB.BC = - 8suy raAB không vuông gócBC nên loại B. uuur uuur uuur Phương án C : Ta có AB = (2;2), AC = (2;- 2), BC = (0;- 4), suy ra AB = AC = 8 uuur uuur , AB.AC = 0 .Nên Tam giác ABC vuông cân tại A .Do đó chọn C. r r r r Câu 39. Cho a = (1;- 2), b = (- 1;- 3). Tính (a,b). r r r r r r r r A.(a,b) = 120o . B.(a,b) = 135o . C.(a,b) = 45o . D.(a,b) = 90o . Lời giải Chọn C Trang 26
27. Trắc nghiệm TOÁN 10 - Tích vô hướng của 2 véc tơ & Ứng dụng r r r r a.b 1.(- 1)+ (- 2).(- 3) 5 1 r r Ta có cos a,b = r r = = = Þ a,b = 45o . ( ) 2 2 2 ( ) a . b 12 + (- 1) . (- 1) + (- 3) 5 10 2 uuur uuur µ o Câu 40. Cho tam giác ABC vuông tại A có B = 60 ,AB = a . Tính AC.CB A. 3a2 . B.- 3a2 . C. 3a . D. 0 . Lời giải Chọn B uuur uuur æ 3÷ö o ç ÷ 2 Ta có AC.CB = AC.BC.cos150 = a 3.2a.ç- ÷= - 3a . èç 2 ø÷ uuur uur Câu 41. Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 12 cm . M là trung điểm AC . TínhBM .CA A.144 cm2 . B.- 144 cm2 . C.72 cm2 . D.- 72 cm2 . Lời giải Chọn D uuur uur uuur uuuur uur uuur uur uuuur uur uuuur uur BM .CA = (BA + AM ).CA = BA.CA + AM .CA = AM .CA = - 72 cm2 Câu 42. Cho tam giác ABC có đường cao BH (H ở trên cạnh AC ).Câu nào sau đây đúng uuur uur uuur uur uuur uur uuur uur A.BA.CA = BH.HC . B.BA.CA = AH.HC . C.BA.CA = AH.AC . D.BA.CA = HC.AC . Lời giải Chọn C uuur uur uuur uuur uur uuur uur uuur uur uuur uur Ta có BA.CA = (BH + HA).CA = BH.CA + HA.CA = HA.CA = AH.AC nên chọn C. r r r r r r r r Câu 43. Cho 2 vectơ đơn vị a và b thỏa a + b = 2. Hãy xác định (3a - 4b)(2a + 5b) A.7 .B. 5.C. - 7 .D. - 5. Lời giải Chọn C r r r r r r 2 r r a = b = 1, a + b = 2 Û (a + b) = 4 Û a.b = 1, r r r r r 2 r 2 r r (3a - 4b)(2a + 5b) = 6a - 20b + 7a.b = - 7. uuur uuuur uuur uuuur Câu 44. Cho tam giác ABC . Lấy điểm M trên BC sao choAB.AM - AC.AM = 0.Câu nào sau đây đúng A.M là trung điểm của BC . B. AM là đường phân giác của góc A . C.AM ^ BC . D. A, B, C đều sai. Lời giải Chọn C uuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuur Ta có AB.AM - AC.AM = 0 Û AM (AB - AC ) = 0 Û AM .CB = 0 nên AM ^ BC . Câu 45. Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB = 4a , đáy nhỏ CD = 2a , đường cao uuur uuur AD = 3a .Tính DA.BC A.- 9a2 . B. 15a2 . C. 0 . D. 9a2 Lời giải Chọn A uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur VìDA.BC = DA.(BA + AD + DC ) = DA.AD = - 9a2 nên chọn A. uuur uuur Câu 46. Cho tam giác ABC vuông tại C có AC = 9, BC = 5. Tính AB.AC Trang 27
28. Trắc nghiệm TOÁN 10 - Tích vô hướng của 2 véc tơ & Ứng dụng A.9. B. 81. C. 3 . D.5. Lời giải ChọnB uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Ta có AB.AC = (AC + CB).AC = AC.AC + CB.AC = AC.AC = 81nên chọn B. r r r r r r r r Câu 47. Cho hai vectơ a và b . Biết a =2 , b = 3 và (a,b) = 120o .Tính a + b A. 7 + 3 .B. 7 - 3 .C. 7 - 2 3 .D. 7 + 2 3 . Lời giải Chọn C r r r r 2 r 2 r 2 r r r 2 r 2 r r r r Ta có a + b = (a + b) = a + b + 2a.b = a + b + 2 a b cos(a,b) = 7 - 2 3 . uuur uuur uuur 2 Câu 48. Cho hai điểm B,C phân biệt. Tập hợp những điểm M thỏa mãn CM .CB = CM là : A.Đường tròn đường kínhBC . B. Đường tròn(B;BC ). C. Đường tròn (C;CB). D. Một đường khác. Lời giải Chọn A uuur uuur uuur 2 uuur uuur uuur 2 uuur uuur CM .CB = CM Û CM .CB - CM = 0 Û CM .MB = 0. Tập hợp điểm M là đường tròn đường kính BC . uuur uuur uur uuur Câu 49. Cho ba điểm A,B,C phân biệt. Tập hợp những điểm M mà CM .CB = CA.CB là : A. Đường tròn đường kínhAB . B.Đường thẳng đi qua A và vuông góc vớiBC . C. Đường thẳng đi qua B và vuông góc vớiAC . D. Đường thẳng đi qua C và vuông góc vớiAB . Lời giải Chọn B uuur uuur uur uuur uuur uuur uur uuur uuur uur uuur uuuur uuur CM .CB = CA.CB Û CM .CB - CA.CB = 0 Û (CM - CA).CB = 0 Û AM .CB = 0 . Tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC . · o Câu 50. Cho hai điểm A(2,2), B (5,- 2). Tìm M trên tia Ox sao cho AMB = 90 A.M (1,6). B. M (6,0).C. M (1,0) hay M (6,0).D. M (0,1). Lời giải Chọn C uuuur uuur Gọi M (x;0), với x Î R . Khi đó AM = (x - 2;- 2), BM = (x - 5;2). Theo YCBT ta có uuuur uuur éx = 1 Þ M (1;0) AM .BM = 0 Û (x - 2)(x - 5)- 4 = x 2 - 7x + 6 = 0 Þ ê ,nên chọn C. êx = 6 Þ M 6;0 ëê ( ) Trang 28