Bài tập Hình học 10 - Cơ bản & nâng cao

Nội dung text: Bài tập Hình học 10 - Cơ bản & nâng cao

1. Vũ Mạnh Hùng Trường THPT Nguyễn Hữu Huân Bài Tập 10 Cơ Bản & Nâng Cao (09-2006)
2. Vũ Mạnh Hùng - 17 - o Cho ΔABC với A = 120 , AB = 6cm, AC = 10cm. Tính BC, bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC và diện tích ΔABC. o Cho ΔABC với A = 60 , AB = 5cm, BC = 7cm. Tính AC, R, r, đường cao AH. o Cho ΔABC với A = 120 , BC = 7 cm, AC = 5 cm. Tính AB, R, r, trung tuyến AM, độ dài phân giác trong AD. Cho ΔABC có AB = 3 cm, BC = 5 cm, CA = 6 cm. Tính diện tích ΔABC, chiều cao AH và R. Cho ΔABC vuông tại A có AB = 5, AC = 12, đường cao AH. ¬. Tính bán kính các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ΔABC. −. Vẽ đường phân giác trong AD của ΔABC. Tính DB, DC, AD. o Cho ΔABC với AB = 8cm và A = 60 nội tiếp trong đường tròn (O) bán kính R = 7 3 . Tính độ dài các cạnh BC, AC và diện tích ΔABC. 3 o Cho ΔABC với A = 60 (B > C), bán kính các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp: R = 13 3 cm , r = 3 3 cm. Tính độ dài các cạnh và diện tích ΔABC. 3 2 Cho ΔABC với B = 60o, đường cao CH = 7 3 , nội tiếp trong đường tròn  2 bán kính R = 13 3 . Tính độ dài các cạnh và diện tích ΔABC. 3 *
3. - 16 - Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ & Ứng Dụng Chương 1 Trong ΔABC biết AB = c, BC = a, B = β. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM:MB = 3:2. Tính khoảng cách từ M đến trung điểm cạnh AC. VECTƠ Cho ΔABC có AB = c, AC = b (b > c), trung tuyến AM vuông góc với AB. Vectơ Tính BC.  Tổng của hai vectơ a và b là một vectơ, kí hiệu a + b, được định nghĩa như Cho ΔABC vuông tại A, kéo dài BC về phía C một đoạn CD = AB = 3 cm,     o sau: Từ một điểm O tùy ý, vẽ OA = a, rồi từ A vẽ AB = b. Khi đó OB = a + b. biết CAD = 30 . Tính các cạnh tam giác.        A a b a + b ù O B Cho ΔABC với AC = 13 cm, AB = 7 cm, BC = 15 cm. Tính B, bán kính  Hiệu của hai vectơ a và b, kí hiệu a – b, là một vectơ được định bởi: đường tròn ngoại tiếp ΔABC và độ dài đường cao BH. o a – b = a + (– b) Cho ΔABC với A = 120 , BC = 7 cm, AC = 5 cm. Tính AB, bán kính  Tích của số k với vectơ a, kí hiệu ka, là một vectơ cùng phương với a và: đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp ΔABC.    o 2 Š Cùng hướng với a nếu k > 0, ngược hướng với a nếu k Cho ΔABC có A = 60 , BC = 7 cm và diện tích S = 103 cm . Tính AB,   AC. Š ka = ka Cho ΔABC có AC = 2 cm, AB = 3cm, BC = 4 cm. Tính A, B, C.  Điều kiện để hai vectơ cùng phương: Nếu a  0: o Cho hình bình hành ABCD có AB = 5 cm, AD = 8 cm, A = 60 . b cùng phương với a  k: b = ka ¬. Tính độ dài 2 đường chéo BD, AC và diện tích của hình bình hành.  −. Tính trung tuyến BM và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ΔABD. “ BA = – AB. Cho ΔABC có BC = 2 3, CA = 2 2, AB = 6 – 2.     “ OA + OB = OC với OC là đường chéo hình bình hành cạnh OA, OB. ¬. Tính giá trị các góc A, B và độ dài đường cao AH của tam giác. “ AC = AB + BC, AC = BC – BA. −. Tính độ dài phân giác trong AE của góc A. “ o o Nếu M là trung điểm đoạn AB và O là 1 điểm tuỳ ý thì: Cho ΔABC với A = 120 , B = 45 , AC = 22 cm.  MA + MB = 0.  OA + OB = 2OM. ¬. Tính BA, BC, R, r , S. “ A, B, C thẳng hàng AB = kAC. −. Gọi I là tâm đ.tròn nội tiếp ΔABC, tính bán kính đ.tròn ngoại tiếp ΔBIC    sin A sin B sin C “ G là trọng tâm ΔABC  GA + GB + GC = 0. Cho ΔABC biết: = = . 6 2 1 + 3 “ Nếu a  b thì: ma + nb = 0  m = n = 0. ¬. Tính các góc của ΔABC. −. Nếu AC = 4cm. Tính R, S. “ So sánh 2 vectơ AB và CD: 2 2 Cho a = x + x + 1, b = 2x + 1, c = x – 1. Định x để a, b, c là độ dài 3 cạnh  Nếu AB  CD: Không so sánh. một tam giác.Với x tìm được, chứng minh rằng tam giác có 1 góc bằng 120o. JJJG JJJG JJJG JJJG o AB= k.CD khi AB CD Cho ΔABC với A = 60 , AB = 5, AC = 8.  Nếu AB  CD và AB = k.CD: ⎨JJJG JJJG JJJG JJJJG . ⎩AB=− k.CD khi AB CD ¬. Tính BC, diện tích ΔABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC. “ Tìm hệ thức liên hệ giữa 4 điểm M, A, B, C với A, B, C thẳng hàng: −. Đường tròn đường kính BC cắt AB và AC lần lượt tại M, N. Tính MN. JJJG JJJJG MB− kMC Cho ΔABC có AB = 6 − 2, BC = 23, CA = 6 + 2. Tính góc A, bán AB = kAC  MB – MA = k(MC – MA)  MA = . kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC và đường cao AH. 1k−
4. - 2 - Vectơ Vũ Mạnh Hùng - 15 - 1/ Cho hình bình hành ABCD và CE = BD. Chứng minh : Cho hai đường tròn đồng tâm. Chứng minh tổng bình phương khoảng cách từ 1 điểm của đường tròn này đến 2 điểm mút của đường kính của đường tròn ¬. AC + BD = AD + BC −. AB + BC + CD = AB + CE          kia không phụ thuộc vào vị trí của điểm và đường kính. ®. AC + BD + CB = DB + CE + BC Cho đường tròn tâm O bán kính R, điểm M nằm trên 1 đường kính của 2/ a, b, c cùng phương và c Xác định tập hợp các điểm M thoả MA.MB = k, trong đó A, B là 2 điểm cố MA + MB + MC + MD = 4MO. định và k  0 là hằng số. 4/ Chứng minh trong hình bình hành ABCD tìm được duy nhất 1 điểm M sao Cho ΔABC vuông tại C. Xác định tập hợp các điểm M thoả: 2 2 2 cho MA + MB + MC + MD = 0. MA + MB = 2MC . £ 5/ Cho lục giác đều ABCDEF. Chứng minh: AB + AC + AE + AF = 2AD. . Diện tích 6/ Cho tứ giác ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AB và DC. Cho ΔABC đều, N là 1 điểm trên cạnh AC sao cho AN = AC. Tính tỉ số Chứng minh AC + AD + BC + BD = 4MN. các bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABN và ΔABC. 7/ Cho ΔABC với M là trung điểm của AB, E là trung điểm của MC, AE cắt Cho ΔABC với A = α, BA = c, AC = b. Trên cạnh AC và AB lấy hai điểm BC tại F, đường thẳng qua M song song với AE cắt BC tại H. Chứng minh: M, N với M là trung điểm cạnh AC và dt(ΔAMN) = dt(ΔABC). Tính độ dài BH = HF = FC. đoạn MN. o 8/ Cho ΔABC với D là trung điểm của AC, E là trung điểm của BD, AE cắt BC Cho ΔABC với AB = 2cm, trung tuyến BD = 1cm, BDA = 30 . Tính AD, tại M. Chứng minh: BC = 3BM. BC và diện tích ΔABC. 9/ Nếu M là điểm trên đoạn AB với AM:MB = 2:3 và O là 1 điểm tuỳ ý. Đường tròn bán kính R đi qua 2 đỉnh A, B của ΔABC và tiếp xúc với AC tại Chứng minh: OM =  OA +  OB. A. Tính diện tích ΔABC nếu A = α, B = β. 2 o Cho ΔABC và ΔABC trọng tâm tương ứng G và G. Chứng minh rằng: dt(ΔABC) = 153 cm , A =120 , B > C. Khoảng cách từ A đến tâm đường GG = (AA + BB + CC). tròn nội tiếp trong tam giác là 2cm. Tính độ dài trung tuyến BM của ΔABC. Cho ΔABC với các trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng: Tính diện tích hình thoi ABCD nếu bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC và ΔABD là R và r. AD + BE + CF = 0. £. Tổng Hợp Cho ΔABC trung tuyến AK, BM. Phân tích theo a = AK và b = BM các Cho ΔABC đều, K và M là hai điểm trên AC và AB sao cho AK:KC = 2:1, vectơ AB, BC, CA. AM:MB = 1:2. Chứng minh KM bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC. Cho ΔABC với trung tuyến AM, BN, CP và G là trọng tâm. Trong hình bình hành ABCD với AB = a, BC = b, B = α. Tính khoảng cách ¬. Chứng minh nếu O là 1 điểm tuỳ ý thì: giữa tâm của hai đường tròn ngoại tiếp ΔBCD và ΔDAB. OA + OB + OC = OM + ON + OP = 3OG. Cho ΔABC với A = α, C = β, AC = b. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD −. Biểu diễn AM, BN, CP theo a = BC, b = CA. = 3DC. Qua B và D kẻ đường tròn tiếp xúc với AC. Tính bán kính đường tròn Trên cạnh Ox của góc xOy lấy 2 điểm A và B sao cho OA = a, AB = 2a. này. 2 2 2 2 2 Qua A, B kẻ các đường thẳng song song cắt Oy lần lượt tại C, D với OC = b. Chứng minh trong ΔABC ta có OG = R –  (a + b + c ) với G là trọng Phân tích CD, OD, AC, BD, AD, CB theo a và b. tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam         giác.
5. - 14 - Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ & Ứng Dụng Vũ Mạnh Hùng - 3 - Cho ΔABC, đường tròn nội tiếp trong tam giác tiếp xúc với các cạnh AB, Cho tứ giác ABCD với AB = a, BC = b, CD = c. Phân tích CA, DB, DA BC, CA lần lượt tại M, D, N. Tính độ dài đoạn MD nếu NA=2, NC=3, C = 60o.  theo a, b, c. Đường tròn nội tiếp trong ΔKLM tiếp xúc với KM tại A. Tính độ dài đoạn Cho hình bình hành ABCD với H là trung điểm của AD, F và M là 2 điểm o AL nếu AK = 10, AM = 4, L = 60 . trên BC sao cho BF = MC = BC. Phân tích theo a = AB và b = AD các vectơ o Cho ΔABC với B = 60 , AB + BC = 11cm (AB > BC). Bán kính đường tròn AM, MH, AF. nội tiếp trong ΔABC là 2:3 cm. Tính độ dài đường cao AH. Cho hình bình hành ABCD tâm O với H là trung điểm của OD, AH cắt CD Cho ΔABC cân tại A với A = α. Đường tròn tâm trên BC bán kính r tiếp xúc tại F. Phân tích BD, AC, BH, AH, AF theo a = AB và b = AD. với các cạnh AB, AC. Tiếp tuyến tại 1 điểm trên đường tròn cắt AB, AC tại M, Trong hình thang ABCD tỉ số độ dài 2 cạnh đáy AD và BC bằng m. Đặt AC N với MN = 2b. Tính BM, CN. = a và BD = b. Phân tích theo a và b các vectơ AB, BC, CD, DA. Cho ΔABC, đường tròn nội tiếp trong tam giác tiếp xúc với cạnh BC tại M. Cho hình thang ABCD đáy AB và CD, đường trung bình MP và O là trung Tính độ dài 2 cạnh AB, AC nếu BM = 6cm, MC = 8cm và bán kính đường tròn nội tiếp là 4cm. điểm của MP với AB = a, CD = b, AD = c. Phân tích theo a, b, c các vectơ BC, £}. Định Lí Hàm Số Sin AO, DO, OC và MP. Chứng minh nếu một tam giác có a:cosA = b:cosB thì tam giác đó cân. Cho ΔABC với AB = 10cm, BC = 8cm, CA = 5cm. Đường tròn nội tiếp Chứng minh trong ΔABC: trong ΔABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA tương ứng tại M, N, P. a(sinB – sinC) + b(sinC – sinA) + c(sinA – sinB) = 0. ¬. Tìm độ dài các đoạn AM, BN, CP. o ΔABC cân tại A với A = 30 , AB = AC = 5cm. Đường thẳng qua B và tâm −. Nếu CN = a, AP = b. Phân tích BA theo a và b. O đường tròn ngoại tiếp ΔABC cắt AC tại D. Tính BD. Cho tứ giác ABCD với AB = b, AC = c, AD = d. Cho ΔABC, đường tròn bán kính r qua A, B cắt BC tại D. Tìm bán kính ¬. Phân tích BC, CD, DB theo b, c, d. đường tròn qua 3 điểm A, D, C nếu AB = c, AC = b.       Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tìm bán kính đường tròn đi qua trung điểm −. Gọi Q là trọng tâm của ΔBCD. Phân tích AQ theo b, c, d. cạnh AB, tâm hình vuông và đỉnh C. Cho ΔABC với AB = a, AC = b. Gọi P, Q, R là 3 điểm sao cho BP = 2BC, Trong đường tròn bán kính R kẻ hai dây cung MN, PQ vuông góc. Tính AQ = AC, AR = AB. Phân tính theo a, b các vectơ RQ và RP. Suy ra P, Q, khoảng cách MP nếu NQ = a.         R thẳng hàng. Trong ΔABC với BC = a, A = α, B = β. Tìm bán kính đường tròn tiếp xúc Cho 3 vectơ khác 0 từng cặp không cùng phương a, b, c. với AC tại A và tiếp xúc với BC.     Tính a + b + c nếu a + b và c cùng phương, b + c và a cùng phương. Cho ΔABC với BC = a, B = β, C = γ. Đường phân giác góc A cắt đường          tròn ngoại tiếp ΔABC tại K. Tính AK. Trong ΔABC cho các điểm M, N sao cho AM = αAB, CN = βCM. £~. Độ dài trung tuyến Đặt a = AB, b = AC. Phân tích AN và BN theo a và b. Trong ΔABC với M là trung điểm cạnh AB. Tính CM nếu AC = 6, BC = 4, Trong ΔABC lấy 2 điểm M, N sao cho AM = αAB và AN = βAC. o C = 120 . ¬. Tìm quan hệ giữa α và β để MN và BC cùng phương. Cho đ.tròn tâm O đường kính AB = 2R. Trên AB lấy 2 điểm M, N sao cho −. Nếu α và β chọn sao cho MN và BC không cùng phương. Đặt BC = a, AM = MN = NB. Chứng minh với mọi điểm P trên đường tròn PM2 + PN2      không đổi. MN = b, phân tích AB và AC theo a và b. Cho hình thang cân ABCD đáy AB = a, cạnh xiên AD = b, góc giữa AB và o AD là 60 . Phân tích theo a và b các vectơ DC, CB, AC, DB.
6. - 4 - Vectơ Vũ Mạnh Hùng - 13 - Trên đường thẳng  cho 3 điểm P, Q, R và trên đường thẳng m cho 3 điểm P, Q , R sao cho PQ = kQR, PQ = kQR. Chứng minh rằng trung điểm của Hệ thức lượng trong tam giác a, b, c: độ dài các cạnh đối diện các đỉnh A, B, C. các đoạn PP, QQ, RR nằm trên 1 đường thẳng. ha, hb, hc: độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C. Cho ΔABC. Trên các đường thẳng BC, CA, AB cho tương ứng các cặp điểm ma, mb, mc: độ dài các trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C. (A , A ), (B , B ), (C , C ) sao cho A A + B B + C C = 0. Chứng minh rằng: 1 2 1 2 1 2  1 2  1 2  1 2  R, r: bán kính các đường tròn ngoại, nội tiếp ΔABC. BC:A1A2 = CA:B1B2 = AB:C1C2. p = (a + b + c): nửa chu vi. Trong ΔABC kẻ đường phân giác CC (C là chân đường phân giác). Phân    S: diện tích tam giác. tích CC theo CA và CB. ƒ Định lí cosin: a2 = b2 + c2 – 2bccosA Điểm I là tâm đường tròn nội tiếp trong ΔABC. Chứng minh rằng : a b c ƒ Định lí sin: = = = 2R BC.IA + CA.IB + AB.IC = 0. sin A sin B sin C 2 2 2 Cho ΔABC, tìm tập hợp các điểm M sao cho: 2 b + c a ƒ Độ dài trung tuyến: m a = − . ¬. MA +MB+MC = MB  – MC. −. 2MA+MB–MC = MA  + MB. 2 4 2 Cho hình bình hành ABCD và k > 0. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: 2 2 2 BC 2 Chú ý: Từ công thức tính độ dài trung tuyến: AB + AC = 2AM + ¬. MA  + MB + MC + MD = k . −. MA  + MB + MC + 3MD = k. 2 trong đó M là trung điểm của BC. ƒ Diện tích tam giác: ú Cho hình lục giác đều ABCDEF. ¬. S = aha = bhb = chc −. S = absinC = acsinB = bcsinA abc ¬. Biểu diễn các vectơ AC, AD, AF, EF qua các vectơ u = AB, v = AE. ®. S = ¯. S = pr °. S = p(p–a)(p–b)(p–c) (công thức Héron) −. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: 4R |MA + MB + MC + MD| = 3|MA – MD| £|. Định Lí cosin: ®. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: Giả sử a và b là độ dài cạnh hình bình hành, d1, d2 là độ dài hai đường chéo. Chứng minh d + d = 2(a2 + b2). |MA + MB + MC| + |MD + ME + MF| 1 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Chứng minh trong ΔABC nếu a = 2bcosC thì tam giác đó cân. Trong ΔABC biết AC = 13cm, AB + BC = 22cm, B = 60o. Tính AB, BC. Cho ΔABC trung tuyến CM. Đường thẳng CM cắt các đường thẳng BC,  Trong ΔABC biết AB = 3cm, AC = 5cm, A = 120o. Tính độ dài đường phân CA, AB tương ứng tại A, B, C. Chứng minh: AC+ BC= CA + CB.  Tứ giác ABCD có 2 đường chéo AC, BD vuông góc cắt nhau tại M nội tiếp giác trong BD và các đoạn AD, CD. o trong đường tròn (O). Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh Trong ΔABC biết B = 120 , AB = 6cm, AC = 10cm. Tính BC. rằng IMJO là hình bình hành. Tính độ dài phân giác trong của góc A trong ΔABC biết BC = 18cm, AC = Cho ΔABC trọng tâm G. Phân tích AG theo a = AB, b = AC. 15cm, AB = 12cm. Cho hình bình hành ABCD, gọi M và N lần lượt là trung điểm của cạnh CB, Cho ΔABC đều cạnh a. Trên các đoạn BC và AB lấy lần lượt hai điểm D, E CD. Tính AC nếu AM = a, AN = b. sao cho BD = a, AE = DE. Tính CE. Cho tứ giác lồi ABCD với E, F, H, G lần lượt là trung điểm của AB, BC, Cho hình bình hành ABCD, gọi M và N lần lượt là 2 điểm sao cho CM = CD, DA và O là giao điểm của EH, FG. Tìm độ dài các đường chéo của tứ giác CB, CN = CD. Tính AC, AB, AD nếu AM = a, AN = b. o ABCD nếu EH = a, FG = b, FOH = 60 .
7. - 12 - Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ & Ứng Dụng Vũ Mạnh Hùng - 5 - Cho ΔABC với A(5;0), B(0;1), C(3;3). Tìm các góc trong của tam giác. Cho ΔABC, gọi M, N là 2 điểm sao cho AB = –3AM, AN = 3NC, I và J lần Cho ΔABC với A(1;1), B(0;2), C(2;–1). Trong các góc trong của tam giác lượt là trung điểm của đoạn MN và BC. có góc tù không ? ¬. Phân tích AI, IJ theo a = AB, b = AC. Trong mpOxy lập phương trình tập hợp những điểm M cách đều 2 điểm A(3;–1), B(–3;5). −. Phân tích AB, AC theo m = IJ, n = MN. Trong mpOxy cho 2 điểm A(2;2), B(5;–3). Lập phương trình tập hợp các Cho đường tròn tâm O và 2 dây cung AB, CD vuông góc và cắt nhau tại E. 2 điểm M sao cho MA.MB = AB . ¬. Chứng minh rằng: OA + OB + OC + OD = 2OE. Cho A(–2;1), B(4;–2). −. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh rằng OIEJ là ¬. Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA:MB = 1:2. hình bình hành. −. Tìm tập hợp tâm của những đường tròn đi qua A, B. ®. Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA + MB + MC + MD = 2a (a > 0) Cho 2 điểm A(3;–2), B(– 4;3). Từ 1 điểm M ngoài đường tròn tâm O, kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB với đường ¬. Lập phương trình đường tròn (C) đường kính AB. tròn. Phân tích MO theo a = MA và b = MB nếu AMB = 2α. −. Lập phương trình tiếp tuyến với (C) tại A. Cho hình bình hành ABCD, gọi M, N là 2 điểm sao cho MB = –2MA, ND = Cho đường tròn tâm I(–3;2) và điểm A(1;1) trên đường tròn. Lập phương       trình tiếp tuyến với đường tròn tại A. CD, G là trọng tâm ΔBMN. Đặt AB = b, AC = c. 2 Lập phương trình tập hợp những điểm M sao cho MA.MB = 2MI trong đó ¬. Tính AN theo b và c. −. Tính AG theo b và c. A(0;5), B(– 4;3) và I là trung điểm đoạn AB. ®. Nếu I là 1 điểm sao cho BI = kBC. Xác định k để A, G, I thẳng hàng. Cho 3 điểm A(3;–5), B(–3;3), C(–1;–2). Cho ΔABC trọng tâm G, P là 1 điểm sao cho AP =kAB. Đặt AB = b, AC = c ¬. Chứng minh rằng A, B, C là các đỉnh của 1 tam giác. Tìm toạ độ điểm D       sao cho ABDC là hình bình hành. ¬. Tính CP theo b, c, k. Định k để C, P, G thẳng hàng. −. Tìm toạ độ điểm E sao cho AE = 2AB – 3AC. −. Tìm tập hợp các điểm M sao cho 4MA + MB + MC = MB  – MC. ®. Tính chu vi và diện tích ΔABC. Cho ΔABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AM và P là điểm sao ¯. Tìm toạ độ trọng tâm G, toạ độ trực tâm H của ΔABC, toạ độ tâm I của cho CM = 3 CP đường tròn ngoại tiếp ΔABC. Chứng minh I, H, G thẳng hàng. ¬. Chứng minh rằng NB + 5NC = 6NP. °. Tìm giao điểm của đường phân giác ngoài góc A với BC. Cho 2 điểm A(1;3), B(3;1). Tìm toạ độ điểm C sao cho ΔABC đều. −. Gọi K là điểm sao cho AK = kAB. Tính PK, NK theo b = AB và c = AC. Cho ΔABC vuông tại A, với AB = 3a, AC = 4a. Gọi M, N là 2 điểm sao cho Định k để N, K, P thẳng hàng. Cho hình bình hành ABCD, gọi M và N lần lượt là 2 điểm sao cho CM = BM = BA, BN = BC. Tìm trên CA điểm K sao cho BK  MN.   CB, CN = CD. & ¬. Tính AM, AN theo b = AB và c = AC. −. I, J là 2 điểm sao cho CI = αCD, BJ = βBI. Định α, β sao cho J là trọng tâm ΔAMN. Cho ΔABC, M và N là 2 điểm sao cho BM = 2BC – AB, CN = kAC – BC. ¬. Định k để C, M, N thẳng hàng. −. Định k để MN qua trung điểm I của AC. Tính IM:IN. Cho ΔABC, E và F là 2 điểm sao cho EC = – 2EA, FA = – 2FB.
8. - 6 - Vectơ Vũ Mạnh Hùng - 11 - ¬. Tính EF theo b = AB và c = AC. Cho ΔABC vuông tại A. Từ điểm I trên cạnh BC kẻ INAB cắt AC tại N và −. I là trung điểm của EF, AI ∩ BC = K. Xác định điểm K và tính AI:AK. IMAC cắt AB tại M. Đặt AB = u, AC = v và biết IB  = kIC . Cho ΔABC và v = 3MA – 2MB – MC với M là điểm bất kì. k 1 ¬. Chứng minh MN = v + u ¬. Chứng minh rằng v là vectơ không đổi. k −1 k −1 −. Dựng AD = v. AD cắt BC tại E, chứng minh rằng 2EB + EC = 0. −. Tìm k theo u và v để MN  AO (O là trung điểm của cạnh BC). ®. Dựng MN = v. Gọi P là trung điểm của CN, chứng minh rằng MP đi qua 1 điểm cố định khi M thay đổi. ù ÷ Cho a = (–1;2). Tìm toạ độ vectơ b cùng phương với a biết |b| = 10 . Cho a = (2;–3). Tìm toạ độ b cùng phương với a biết a.b = – 26. Trục Toạ Độ & Hệ Trục Toạ Độ Cho a = (–2;1). Tìm toạ độ b vuông góc với a biết |b| = 5. | Trục toạ độ (trục, trục số): Tìm x, y để các điểm A(2;0), B(0;2), C(0;7), D(x;y) là các đỉnh liên tiếp của ’ Trục là 1 đường thẳng trên đó có xác định 1 điểm O và 1 vectơ đơn vị i, kí hình thang cân. hiệu (O,i). Trục còn được kí hiệu là xOx hoặc Ox. Chứng minh ΔABC với A(1;3), B(–3;1), C(–2;–1) là tam giác vuông. Tìm D ’ Toạ độ của điểm và vectơ trên trục: để ABCD là hình chữ nhật. Cho A(5;–1), B(–1;3). + x là toạ độ của điểm M  OM = x.i. ¬. Tìm trên trục tung điểm P sao cho góc APB vuông. + a là toạ độ của a  a = a.i. −. Tìm trên trục hoành điểm M sao cho MA2 + 2MB2 nhỏ nhất. ’ Độ dài đại số của AB trên trục, kí hiệu AB, là toạ độ của AB: AB = AB.i JJJG JJJG G Cho ΔABC với A(–3;6), B(9;–10), C(–5;4). Xác định tâm I và tính bán kính |AB| nÆ u AB i đường tròn ngoại tiếp ΔABC. A B = ⎨ JJJG JJJGG ⎩− |AB| nÆ u AB i Chứng minh A(1;–1), B(5;1), C(3;5), D(–1;3) là các đỉnh của 1 hình vuông Xác định toạ độ điểm M đối xứng với điểm N(1;4) qua đường thẳng đi qua ’ Hệ thức Chasles: AB + BC = AC.       hai điểm A(– 4;–1), B(5;2). } Hệ Trục toạ độ: Cho 2 đỉnh đối diện của hình vuông ABCD: A(3;4), C(1;–2). Tìm hai đỉnh ’ Toạ độ điểm và vectơ: còn lại. + M(x;y)  OM = x.i + y.j. + a = (a1;a2)  a = a1.i + a2.j. Cho 2 đỉnh kề nhau của hình vuông ABCD: A(–1;–3), B(3;5). Tìm 2 đỉnh còn lại. Trong đó i = (1;0), j = (0;1) lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy. Cho ΔABC với A(2;– 4), B(1;3), C(11;2), tìm toạ độ trực tâm H. Giả sử a = (a ;a ) và b = (b ;b ).  1 2  1 2 Cho ΔABC với A(–2;6), B(6;2), C(1;–3), tìm toạ độ chân đường cao CH và ’ Vectơ bằng nhau – Toạ độ vectơ tổng, hiệu, tích vectơ với 1 số: tính độ dài đường cao này. Œ a = b ⇔ a = b , a = b .   1 1 2 2 Cho ΔABC với AB = (3;– 4), BC = (1;5). Tính độ dài đường cao CH. Œ a  b = (a1  b1;a2  b2). Œ ka = (ka1;ka2). Cho ΔABC với A(3;–5), B(1;–3), C(2;–2), tìm toạ độ chân các đường phân giác trong và ngoài góc B. ’ Toạ độ của AB: AB = (xB – xA;yB – yA). Cho ΔABC cân tại A, biết A = 120o, B(–1;2), C(4;1). Tìm toạ độ đỉnh A. aa12  ’ Hai vectơ cùng phương: a  b ⇔ a = kb ⇔ = (b1b2  0). b b Cho hình thoi ABCD với A(1;3), B(–1;–1). Tìm toạ độ C, D nếu đường 12 thẳng CD đi qua điểm M(6;7). o Cho h.thoi ABCD với B(1;–3), D(0;4), A = 60 . Tìm toạ độ các đỉnh A, C.
9. - 10 - Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ & Ứng Dụng Vũ Mạnh Hùng - 7 - ¬. Tính AM và PN. −. Xác định k để AM  PN. xxAB+ yyAB+ ’ Toạ độ trung điểm M của đoạn AB : xM = , yM = . Cho hình vuông ABCD có cạnh a = 5cm. 2 2 ¬. Xác định điểm I và J sao cho : IA – 3IB = 0, 3JC + JD = 0. xxxABC++ yyyABC++       ’ Toạ độ trọng tâm G của ΔABC: xG = , yG = 3 3 −. Tính IJ theo AB, AD . Suy ra tính tích vô hướng IJ.AC. Cho a = (2;–3), b = (5;4), c = (–2;–1). Tính toạ độ của 4a – 5b + c . ®. Tìm tập hợp những điểm M sao cho (MA – 3MB).BD = 0.       Cho ΔABC với các đường trung tuyến AM, BN, CP. Các đường cao AD, Cho a = (2;–3), b = (1;2), c = (9;4). Tìm p, q để c = pa + qb. BE cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: Cho a = (x;2y), b = (–2y;3x) và c = (4;–2). Xác định x, y để 2a – b = c. ¬. BA.BC = BH .BC = BH .BE.       Cho a = (3;–1), b = (1;–2), c = (–1;7). Biểu diễn p = a + b + c theo a và b. 2 2 2 −. AH.AM + BH .BN + CH .CP = (AB + BC + CA ). Cho 3 điểm A(–3;2), B(2;–1), C(5; 12). Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là giao điểm hai đường chéo. ¬. Tìm điểm M sao cho AM = 3AB – 5AC. 2 2 2 2 ¬. Tính AC , BD , AC + BD biết AB = a, AD = b, BAD = ϕ. −. Chứng minh rằng A, B, C không thẳng hàng. Tìm điểm D sao cho 2 2 2 2 −. Chứng minh rằng AB.AD = AE – BE = (AC – BD ). ABDC là hình bình hành. Cho ΔABC vuông tại A có AB = 6cm, AC = 8cm. Gọi M, N là hai điểm sao Cho A(–1;2), B(–3;–1). Tìm toạ độ điểm M đối xứng với B qua A. Cho M(4;1), N(2;–1), P(3;–2) là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA của cho AM = AB, CN = CB.      ΔABC. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác. ¬. Biểu diễn AN theo AB, AC. Tính AN. Cho ΔABC có A(–1;1), B(–3;–7), đỉnh C ở trên trục hoành, trọng tâm G ở −. Tinh AM.AN. Suy ra giá trị cạnh MN. trên trục tung. Tìm toạ độ của C, G. Cho A(3;–2), B(6;4). Đoạn AB được chia thành 3 phần bằng nhau, tìm toạ A , B , C là trung điểm các cạnh BC, CA, AB của ΔABC. Hãy tính:    độ các điểm chia. BC.AA + CA.BB + AB.CC. Chứng minh các điểm A(1;2), B(–2;–3), C(7;12) nằm trên 1 đường thẳng. Cho ΔABC đều, gọi M, N là 2 điểm sao cho MB = – 2MC, NB = NC. Chứng minh tứ giác ABCD với A(–1;2), B(2;3), C(6;1), D(–6;–3) là hình thang. ¬. Phân tích AM, AN theo b = AB, c = AC. Cho 2 vectơ không cùng phương a, b. Tìm x sao cho các vectơ c = (x – 2)a + −. P là 1 điểm sao cho AP = kAB. Xác định k để PN  PM. b và d = (2x + 1)a – b cùng phương. ®. G là trọng tâm của ΔABC, phân tích AG theo AM và AN. Cho a = (3;5), b = (3;–2) và điểm I(2;–3). Nếu IM = a + tb. Định t để O, M, I ¯. Tìm tập hợp các điểm I sao cho: (IC + 2IB)(IA – 2IB) = 0.     thẳng hàng. Cho ΔABC với AB = 5 cm, AC = 7 cm, BC = 8 cm. ¬. Tính giá trị góc B. −. Gọi M, N là 2 điểm sao cho BM = BA, BN = BC. Tính độ dài MN. ø ®. Tìm điểm D trên AC sao cho BD  MN. o Cho ΔABC với A = 120 , AB = 3 cm, AC = 5 cm. ¬. Tính độ dài cạnh BC và trung tuyến BM. −. N là 1 điểm sao cho BN = kBC. Tính AN theo AB và AC. Xác định k để AN  BM.
10. Vũ Mạnh Hùng - 9 - Chương II Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ Tính góc của 2 vectơ a và b biết 7a – 5b vuông góc với a + 3b và a – 4b vuông góc với 7a – 2b. & Ứng Dụng o Các vectơ a và b tạo với nhau góc 120 . Tìm x nếu |b| = 2|a| và vectơ a + xb Tích vô hướng của hai vectơ vuông góc với vectơ a – b.  Định nghĩa: a.b = a.b.cos(a, b). GGG G Cho 4 điểm tuỳ ý A, B, C, D. Chứng minh AB.CD + AC.DB + AD.BC = 0. |a||b|G nÆ u a bG ’ a ⊥ b ⇔ a.b = 0. ’ a.b = ⎨ G G . Cho hai hình vuông cùng hướng OABC và OABC và M là trung diểm của ⎩− |a||b| nÆ u a b 2 2 AC. Chứng minh rằng OM  AC ’ a = |a| . ’ a.b = a.chab. Cho ΔABC với AB = b, AC = c. Phân tích BM theo b và c trong đó M là  Biểu thức toạ độ: a.b = a b + a b .   1 1 2 2 chân đường cao kẻ từ B. 2 2  Độ dài (môđun) của vectơ: a = a + a . o          Cho hình thang cân ABCD đáy lớn AB, góc nhọn ở đáy là 60 . Đặt AB = a, 2 2  Khoảng cách giữa 2 điểm: AB = AB = (xB − xA)  + (yB − yA) . AD = b. Biểu diễn BC theo a, b. Tìm quan hệ giữa a và b để AC  BD. a.b a1b1 + a 2 b 2 Cho hình bình hành ABCD có AB = a và AD = b. Trên cạnh AD lấy 1 điểm  Góc của 2 vectơ: cos(a,b ) = = .     | a |.| b | 2 2 2 2 a1 + a 2 . b1 + b 2 M sao cho MA + 2MD = 0. o 1/ Cho ΔABC vuông tại A và BC= a, B = 60 . Tính tích vô hướng CB.BA. ¬. Chứng minh rằng 3BM = 2b – 3a. o 2/ Cho ΔABC vuông cân tại A với BC = a. Tính tích vô hướng BC.CA. −. Cho a = 2, b = 3 và (a,b) = 60 . Tính BM.AC 3/ Cho ΔABC, trên cạnh BC lấy 2 điểm E, F sao cho BE = EF = FC. Đặt AE = ®. Gọi N = AC  BM. Chứng minh 5AN = 2AC. 2 a, EB = b Cho ΔABC có đường cao CH và thoả hệ thức CA = AB.AH. ¬. Biểu thị AB, BC, AC theo a và b. ¬. Chứng minh rằng ΔABC vuông tại C. o −. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của HC và HB. Chứng minh: AI CJ. −. Tính AB.AC nếu b = 2, a = 5, (a,b) = 120 .  2 2 2 Cho ΔABC có AB = 3a, AC = 4a, BC = 5a. 4/ Cho ΔABC với AB = c, CB = a và CA = b. Chứng minh 2a.c = a + c – b 2 ¬. Tính AB.AC, BC.BA. 5/ Xác định hình dạng của ΔABC nếu AB.AC = AC . −. Gọi E, F là 2 điểm sao cho AE = – AC, AF = – AB. Gọi I là trung 6/ Cho ΔABC vuông cân tại A. Tính cosin góc tù tạo bởi các trung tuyến của       tam giác kẻ từ B và C. điểm của đoạn EF. Chứng minh rằng AI  BC. o o 7/ Tính a + b, a – b nếu (a,b) = 60 và a = 5, b = 8. Cho ΔABC với AB = 8, AC = 3, BAC = 60 . Gọi E, F là 2 điểm sao cho BE 8/ Cho a = 13, b = 19, a + b = 24. Tính a – b. = BC, CF = CA. 9/ Cho a = – i + j và b = i + 3j. Tìm góc của 2 vectơ ¬. Chứng minh EF = (AC – 2AB). c = 4a + b và d = – a +  b. −. Tính AB.AC, suy ra độ dài đoạn BC. Các vectơ a, b, c thoả a + b + c = 0 và |a| = 1, |b| = 3, |c| = 4. ®. I là một điểm trên BC sao cho BI = x. Xác định x để AI  EF. Tính a.b + b.c + c.a. ¯. Tìm tập hợp những điểm M sao cho (MA –3MB)(MA +MB –2MC) = 0. Tính góc của 2 vectơ a và b nếu biết |a| = |b|  0 và hai vectơ p = a + 2b, q = Cho ΔABC đều, gọi M, N, P là các điểm sao cho BM = BC, CN = CA, 5a – 4b vuông góc với nhau. AP = kAB. Đặt b = AB, c = AC.