Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Phương trình đường thẳng

Nội dung text: Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Phương trình đường thẳng

1. HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I LÝ THUYẾT. = I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng - Vectơ u 0, có giá song song hoặc trùng với đường thẳng được gọi là vectơ chỉ phương của . Nhận xét - Một đường thẳng có vô số véc tơ chỉ phương, chúng cùng phương với nhau tức là nếu vectơ u là một vectơ chỉ phương của đường thẳng thì ku, k 0 cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng . - Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một điểm mà nó đi qua và một véc tơ chỉ phương của nó. 2. Phương trình tham số của đường thẳng. - Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng qua M 0 x0 ; y0 và nhận véc tơ u u1;u2 làm vectơ chỉ x x0 u1t phương khi đó phương trình tham số của đường thẳng là , t , t là tham số. y y0 u2t Chú ý - Với mỗi giá trị t ta xác định được một điểm M x; y . Ngược lại, nếu M x; y thì có một số t x x0 u1t thoả mãn hệ phương trình . y y0 u2t 3. Phương trình chính tắc của đường thẳng. x x0 u1t u1 0 - Cho đường thẳng có phương trình tham số . Nếu thì y y0 u2t u2 0 x x0 u1t x x y y x x y y . 0 0 . Phương trình 0 0 được gọi là phương trình chính tắc của y y0 u2t u1 u2 u1 u2 đường thẳng . - Trong trường hợp u1 0 hoặc u2 0 thì không có phương trình chính tắc. 4. Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng. x x0 u1t - Cho đường thẳng có phương trình tham số . Nếu u1 0 thì từ phương trình tham số của y y0 u2t x x t 0 u2 u2 ta có u1 y y0 x x0 . Đặt k ta được y y0 k x x0 . u1 u1 y y0 tu2 Phương trình y y0 k x x0 được gọi là phương trình đường thẳng theo hệ số góc. u2 Vậy nếu đường thẳng có một vectơ chỉ phương u u1;u2 thì đường thẳng có hệ số góc là k . u1
2. II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG 1. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng. - Vectơ n 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng nếu giá của vectơ n vuông góc với đường thẳng . Nhận xét. - Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến và các vectơ pháp tuyến này cùng phương với nhau, tức là nếu n là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng thì k n, k 0 cũng là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng . - Một đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm mà nó đi qua và một vectơ pháp tuyến 2. Phương trình tổng quát của đường thẳng - Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng đi qua điểm M 0 x0 ; y0 và nhận vectơ n a;b làm vectơ pháp tuyến, khi đó phương trình của đường thẳng là a x x0 b y y0 0 ax by ax0 by0 0 ax by c 0 với c ax0 by0 . - Phương trình ax by c 0 với a2 b2 0 được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng . Các trường hợp đặc biệt Cho đường thẳng có phương trình ax by c 0 a2 b2 0 1 . - Nếu a 0 thì 1 trở thành by c 0 khi đó song song c hoặc trùng với trục Oy và cắt trục Oy tại điểm 0; b - Nếu b 0 thì 1 trở thành ax c 0 khi đó song song c hoặc trùng với trục Ox và cắt trục Ox tại điểm ;0 a - Nếu c 0 thì 1 trở thành ax by 0 khi đó đi qua gốc tọa độ O .
3. - Nếu a,b,c đều khác 0 thì phương trình đường thẳng có thể x y c c về dạng 1 , trong đó a0 , b0 . Phương trình a0 b0 a b x y 1 được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn a0 b0 chắn, đường thẳng này cắt Ox và Oy lần lượt tại M a0 ;0 và N 0;b0 . Nhận xét. - Nếu đường thẳng có phương trình ax by c 0 thì có một vectơ pháp tuyến là n a;b và có một vectơ chỉ phương là u b; a hoặc u b;a . III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Cho hai đường thẳng 1 và 2 có phương trình tổng quát lần lượt là a1x b1 y c1 0 và a2 x b2 y c2 0 . a1x b1 y c1 0 Tọa độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình I . a2 x b2 y c2 0 - Nếu hệ I có một nghiệm x0 ; y0 , khi đó 1 cắt 2 tại điểm M 0 x0 ; y0 . - Nếu hệ I có vô số nghiệm , khi đó 1 trùng với 2 . - Nếu hệ I vô, khi đó 1 song song 2 tại điểm . Đặc biệt. - Nếu a2b2c2 0 thì a1 b1 - 1  2 . a2 b2 a1 b1 c1 - 1 // 2 . a2 b2 c2 a1 b1 c1 - 1  2 . a2 b2 c2 Chú ý. - Khi hai đường thẳng 1 và 2 không cho dưới dạng tổng quát thì ta chuyển về dạng tổng quát rồi xét vị trí tương đối. IV. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Cho hai đường thẳng 1 và 2 có phương trình tổng quát lần lượt là a1x b1 y c1 0 và a2 x b2 y c2 0 , gọi là góc giữa hai đường thẳng 1 và 2 khi đó ta có     n1.n2 a b a b cos cos n ,n   1 1 2 2 . 1 2 2 2 2 2 n1 n2 a1 b1 a2 b2 Đặc biệt   - 1  2 n1  n2 a1b1 a2b2 0. - Nếu 1 và 2 có phương trình y k1x m1 và y k2x m2 thì 1  2 k1.k2 1 . - Khi hai đường thẳng 1 và 2 không cho dưới dạng tổng quát thì ta chuyển về dạng tổng quát rồi xác định góc giữa hai đường thẳng.
4. V. CÔNG THỨC TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng có phương trình ax by c 0 và điểm M 0 x0 ; y0 . Khoảng cách từ điểm M 0 x0 ; y0 đến đường thẳng ký hiệu là d M 0 , được xác định theo công thức ax0 by0 c d M 0 , . a2 b2 Đặc biệt. - Nếu M 0 x0 ; y0 thì d M 0 , 0 . - Khi đường thẳng không cho dưới dạng tổng quát, ta chuyển phương trình về dạng tổng quát rồi tính khoảng cách. II CÁC DẠNG BÀI TẬP. == DẠNG1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG DẠNG 1.1: Viết phương trình chính tắc đường thẳng 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng. - Vectơ u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu u 0 và giá của của u song song hoặc trùng với . 2. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng. - Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng đi qua điểm M x0 ; y0 và nhận vectơ u u1 ;u2 làm x x0 u1t vectơ chỉ phương có phương trình tham số là . y y0 u2t -Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng đi qua điểm M x0 ; y0 và nhận vectơ x x y y u a;b ab 0 làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là 0 0 . a b u2 - Nếu đường thẳng có vectơ chỉ phương u u1 ;u2 với u1 0 thì hệ số góc của là k . u1 - Nếu đường thẳng có hệ số góc k thì vectơ u 1;k là một vectơ chỉ phương của . Bài toán 1.1. Lập phương trình tham số đường thẳng , biết đi qua điểm A 1;3 và có vectơ chỉ phương u 4;1 . Bài toán 1.2. Lập phương trình tham số của đường thẳng , biết đi qua điểm A 2;1 và B 5; 3 . Bài toán 1.3. Lập phương trình tham số của đường thẳng , biết đi qua điểm A 1;1 và có hệ số góc k 2 .
5. Bài toán 1.4. Lập phương trình chính tắc của đường thẳng , biết đi qua điểm M 1; 2 và vuông góc với vectơ n 2; 3 . Trắc nghiệm Câu 1: Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ chỉ phương? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. Câu 2. Tìm tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua A 3;2 và B 1;4 là A. 1;2 . B. 2;1 . C. 2;6 . D. 1;1 . Câu 3. Tìm tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng song song trục Ox . A. 1;0 . B. (0; 1). C. ( 1;1). D. 1;1 . Câu 4. Tìm tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng song song trục Oy . A. 0;1 . B. (1; 1) C. 1;0 D. 1;1 Câu 5. Tìm tọa độ vectơ chỉ phương của đường phân giác góc phần tư thứ nhất. A. 1;1 . B. (0; 1) . C. 1;0 . D. ( 1;1) . x 2 4t Câu 6. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d : . Trong các điểm sau, điểm nào thuộc y 5 3t đường thẳng d ? A. A( 4;3) . B. B(2;3) . C. C( 4; 5) . D. D( 6;1) . x 2 3t 7 Câu 7. Cho đường thẳng d có phương trình tham số t và điểm A ; 2 . Điểm y 1 2t 2 A d ứng với giá trị nào của t ? 3 1 1 3 A. t . B. t . C. t . D. t . 2 2 2 2 x 1 t Câu 8. Cho đường thẳng d : . Điểm nào sau đây nằm trên đường thẳng? y 2t 1 A. 1;2 . B. 1;0 . C. ( 1;4) . D. ;1 . 2 x 2 3t Câu 9. Cho d : t . Điểm nào sau đây không thuộc d ? y 5 4t A. 5;3 . B. 2;5 . C. 1;9 . D. 8; 3 . Câu 10. Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(3; 6) và có vectơ chỉ phương u (4; 2) là: x 3 2t x 1 2t x 6 4t x 2 4t A. B. C. D. y 6 t y 2 t y 3 2t y 1 2t
6. Câu 11. Cho hai điểm A –1;3 , B 3;1 . Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng AB x 1 2t x 1 2t x 3 2t x 1 2t A. . B. . C. . D. . y 3 t y 3 t y 1 t y 3 t Câu 12. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm A(3 ; 7) và B(1 ; 7) . x t x t x t x 3 7t A. . B. . C. . D. . y 7 y 7 t y 7 y 1 7t Câu 13. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A 3; 1 và B 1;5 . x 3 t x 3 t x 1 t x 3 t A. . B. . C. . D. . y 1 3t y 1 3t y 5 3t y 1 3t x 3 t Câu 14. Đường thẳng nào sau đây song song với đường thẳng d : ? y 1 2t x 5 t x 5 t x 5 2t x 5 4t A. . B. . C. . D. . y 2t y 2t y t y 2t Câu 15. Cho tam giác ABC có A 2;3 , B 1; 2 ,C 5;4 . Đường trung tuyến AM có phương trình tham số: x 2 x 2 4t x 2t x 2 A. . B. . C. . D. . y 3 2t y 3 2t y 2 3t y 3 2t Câu 16. Cho tam giác ABC. Biết M 1;1 , N 5;5 , P 2;4 lần lượt là trung điểm của BC,CA, AB . Câu nào sau đây đúng? x 1 t x 2 t A. MN : t . B. AB : t . y 1 t y 4 t x 1 3t x 5 2t C. BC : t . D. CA : t . y 1 t y 5 t x 1 y 2 Câu 17. Cho đường thẳng có phương trình chính tắc . Trong các hệ phương trình được liệt 3 2 kê ở mỗi phương án A, B, C, D dưới đây, hệ phương nào là phương trình tham số của đường thẳng ? x 3t 1 x 3t 1 x 3t 1 x 3t 1 A. . B. . C. . D. . y 1 4t y 2t 1 y 2t 2 y 2t 2 Câu 18. Phương trình tham số của đường thẳng qua M –2;3 và song song với đường thẳng x 7 y 5 là: 1 5 x 2 t x 5 2t x t x 3 5t A. B. C. D. y 3 5t y 1 3t y 5t y 2 t
7. Câu 19. Cho A 1;5 , B 2;1 ,C 3;4 . Phương trình tham số của AB và BC lần lượt là: x 2 3t x 2 5t x 1 3t x 2 5t A. AB : ; BC : . B. AB : ; BC : . y 1 4t y 1 3t y 5 4t y 1 3t x 1 3t x 2 5t x 1 3t x 2 5t C. AB : ; BC : . D. AB : ; BC : . y 5 4t y 1 3t y 5 4t y 1 3t Câu 20. Phương trình nào dưới đây không là phương trình tham số của đường thẳng đi qua O và M 1; 3 ? x 1 t x 1 t x 1 2t x t A. . B. . C. . D. . y 3t y 3 3t y 3 6t y 3t DẠNG 1.2: Viết phương trình tổng quát đường thẳng 3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng. - Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng nếu n 0 và n vuông góc với vectơ chỉ phương của . 4. Phương trình tổng quát của đường thẳng. - Phương trình ax by c 0 với a2 b2 0 được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng. - Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng đi qua điểm M x0 ; y0 và nhận vectơ n a;b làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là a x x0 b y y0 0 ax by c 0 với c ax0 by0 . u b; a - Đường thẳng có vectơ pháp tuyến n a;b vectơ chỉ phương là . u b;a n u2 ; u1 - Đường thẳng có vectơ chỉ phương u u1 ;u2 vectơ pháp tuyến là . n u2 ;u1 Bài toán 1.1. Lập phương trình tham số đường thẳng , biết đi qua điểm A 0;7 và có vectơ pháp tuyến n 2; 3 . Bài toán 1.2. Lập phương trình tổng quát đường thẳng , biết đi qua điểm M 4;3 và có vectơ chỉ phương u 6;1 . Bài toán 1.3. Lập phương trình tổng quát đường thẳng , biết đi qua điểm H 2; 2 và K 5; 1
8. Bài toán 1.4. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng , biết đi qua điểm E 1;2 và có hệ số góc 1 k . 2 Bài toán 1.5. Cho tam giác ABC có A 1 ; 4 , B 3 ; 2 , C 7 ; 3 . Lập phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ A. Bài toán 1.6. Cho tam giác ABC có A 2;0 , B 0;3 ,C –3;1 .Viết phương trình đường thẳng d đi qua B và song song với AC . Bài toán 1.7. Cho ABC có A 1 ;1 , B 0 ; 2 , C 4 ;2 . Viết phương trình tổng quát của trung tuyến CM . Bài toán 1.8. Tam giác ABC có đỉnh A 1 ; 3 . Phương trình đường cao CC :3x 8 y 12 0 . Viết phương trình đường thẳng AB Bài toán 1.9. Gọi H là trực tâm tam giác ABC , có phương trình của cạnh AB : 7x y 4 0 và các đường cao tam giác là BH : 2x y 4 0 ; AH : x y 2 0 .Viết phương trình đường cao CH của tam giác ABC . Bài toán 1.10. Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: a. d đi qua A 1;2 và song song với đường thẳng 5x 1 0 . b. d đi qua B 7; 5 và vuông góc với đường thẳng x 3y 6 0 . Bài toán 1.11. x 2 3t Cho đường thẳng d : . Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường y 1 t thẳng đi qua M 0;1 và vuông góc với d .
9. Bài toán 1.12. x 2 2t Cho đường thẳng d : và điểm M 3;1 . y 1 2t a. Tìm toạ hình chiếu I của điểm M lên đường thẳng d. b. Xác định toạ độ điểm M ' đối xứng với M qua đường thẳng d . Câu 1. Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt A a;0 và B 0;b với a b . A. b; a . B. b;a . C. b;a . D. a;b . Câu 2. Tìm tọa độ vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua 2 điểm A( 3;2) và B 1;4 . A. 1;2 . B. 4;2 . C. 2;1 . D. 1;2 . Câu 3. Tìm tọa độ vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua 2 điểm A 2;3 và B 4;1 . A. 2; 2 . B. 2; 1 . C. 1;1 . D. 1; 2 . Câu 4. Tìm tọa độ vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua 2 điểm A a;0 và B 0;b . A. b;a . B. b;a . C. b; a . D. a;b . Câu 5. Tìm tọa độ vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song trục Ox . A. 0;1 . B. 1;0 . C. 1;0 . D. 1;1 . Câu 6. Tìm tọa độ vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song trục Oy . A. 1;1 . B. 0;1 . C. 1;0 . D. 1;0 Câu 7. Tìm tọa độ vectơ pháp tuyến của đường thẳng phân giác góc phần tư thứ nhất? A. 1;0 . B. 0;1 . C. 1;1 . D. 1;1 . Câu 8. Tìm tọa độ vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm A a;b ? A. a;b . B. 1;0 . C. b; a . D. a;b . Câu 9. Cho đường thẳng : x 3y 2 0 . Tọa độ của vectơ nào không phải là vectơ pháp tuyến của . 1 A. 1; –3 . B. –2;6 . C. ; 1 . D. 3;1 . 3 Câu 10. Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song với trục Ox . A. 0;1 . B. 1;0 . C. 1;1 . D. ( 1;0) . Câu 11. Cho hai điểm A 4;0 , B 0;5 . Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của đường thẳng AB? x 4 4t x y x 4 y 5 A. t . B. 1. C. . D. y x 15. y 5t 4 5 4 5 4
10. Câu 12. Viết phương trình tham số của đường thẳng qua O và song song với đường thẳng: 3x 4y 1 0 . x 4t x 3t x 3t x 4t A. . B. . C. . D. . y 3t y 4t y 4t y 1 3t Câu 13. Viết phương trình tham số của đường thẳng qua A 1;2 và song song với đường thẳng: 3x 13y 1 0 . x 1 13t x 1 13t x 1 13t x 1 3t A. . B. . C. . D. . y 2 3t y 2 3t y 2 3t y 2 13t Câu 14. Viết phương trình tham số của đường thẳng qua A 1;2 và vuông góc với đường thẳng: 2x y 4 0. x 1 2t x t x 1 2t x 1 2t A. . B. . C. . D. . y 2 t y 4 2t y 2 t y 2 t x 3 2t Câu 15. Viết phương trình đường thẳng qua A 4; 3 và song song với đường thẳng . y 1 3t A. 3x 2y 6 0 . B. 2x 3y 17 0 . C. 3x 2y 6 0 . D. 3x 2y 6 0 . Câu 16. Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng d : 2x 6y 23 0 ? x 0,5 3t x 5 3t x 5 3t x 5 3t A. . B. . C. . D. . y 4 t y 5,5 t y 5,5 t y 5,5 t x y Câu 17. Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng d : 1? 5 7 x 5 7t x 5 5t x 5 5t x 5 7t A. . B. . C. . D. . y 5t y 7t y 7t y 5t Câu 18. Cho hình bình hành ABCD biết A –2;1 và phương trình đường thẳng chứa CD là:3x – 4y – 5 0 . Phương trình tham số của cạnh AB là x 2 3t x 2 4t x 2 3t x 2 3t A. . B. . C. . D. . y 2 2t y 1 3t y 1 4t y 1 4t d :3x – 2y 5 0 d : 2x 4y – 7 0 d :3x 4y –1 0 Câu 19. Cho ba đường thẳng 1 , 2 , 3 . Phương trình d d d đường thẳng d đi qua giao điểm của 1 và 2 , và song song với 3 là: A. 24x 32y – 53 0 . B. 24x 32y 53 0 . C. 24x – 32y 53 0 . D. 24x – 32y – 53 0 . Câu 20. Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm của hai đường thẳng d1 : 2x – y 5 0 và d2 :3x 2y – 3 0 và đi qua điểm A –3; – 2 . A. 5x 2y 11 0 . B. x – y – 3 0 . C. 5x – 2y 11 0 . D. 2x – 5y 11 0 .
11. Câu 21. Gọi H là trực tâm tam giác ABC , phương trình của các cạnh và đường cao tam giác là: AB : 7x y 4 0 ; BH : 2x y 4 0 ; AH : x y 2 0 . Phương trình đường cao CH của tam giác ABC là: A. 7x y 2 0. B. 7x y 0. C. x 7y 2 0. D. x 7y 2 0. Câu 22. Cho hai đường thẳng d1 : x y 1 0 , d2 : x 3y 3 0 . Phương trình đường thẳng d đối xứng với d1 qua đường thẳng d2 là: A. x 7y 1 0 . B. x 7y 1 0 . C. 7x y 1 0 . D. 7x y 1 0 .
12. DẠNG 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG 1. Lý thuyết: Xét hai đường thẳng có phương trình tổng quát là 1 : a1x b1 y c1 0 và 2 : a2 x b2 y c2 0 . ïìa x + b y + c = 0 Tọa độ giao điểm của D và D là nghiệm của hệ phương trình: íï 1 1 1 . 1 2 ï îïa2 x + b2 y + c2 = 0 ● Nếu hệ có một nghiệm x0; y0 thì 1 cắt 2 tại điểm M 0 x0 ; y0 . ● Nếu hệ có vô số nghiệm thì 1 trùng với 2 . ● Nếu hệ vô nghiệm thì 1 và 2 không có điểm chung, hay 1 song song với 2 . Cách 2. Xét tỉ số a1 b1 c1 ● Nếu thì 1 trùng với 2 . a2 b2 c2 a1 b1 c1 ● Nếu thì 1 song song 2 . a2 b2 c2 a1 b1 ● Nếu thì 1 cắt 2 . a2 b2 Các trường hợp khác   ● Với n1 a1;b1 và n2 a2 ;b2 lần lượt là véc tơ pháp tuyến của 1 và 2 ; 1 vuông góc với   với 2 n1.n2 0 . ● Cách tìm điều kiện để ba đường thẳng 1 , 2 , 3 đồng quy: Ta tìm giao điểm của hai trong ba đường trên, sau đó tìm điều kiện để điểm vừa tìm được thuộc đường thẳng còn lại. II Các dạng bài tập. = 2.1. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng (không chứa tham số) Bài toán 2.1. x 2 2t Cho đường thẳng d : và điểm M 3;1 . y 1 2t a. Tìm toạ hình chiếu I của điểm M lên đường thẳng d. b. Xác định toạ độ điểm M ' đối xứng với M qua đường thẳng d . x 6 5t c) d5 :8x 10y 12 0 và d6 : y 6 4t. x 1 t x 2 2t d) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d7 : và d8 : . y 2 2t y 8 4t Bài toán 2.2. x 2 3t x 2t Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 : và d2 : . y 2t y 2 3t
13. Bài toán 2.3. Cho hai đường thẳng d1 : x 2y 5 0 và d2 :3x y 0. Tìm giao điểm của d1 và d2. Bài toán 2.4. Cho hai đường thẳng 1 : 3x y 3 0, 2 : x y 2 0 và điểm M (0;2) a) Tìm tọa độ giao điểm của 1 và 2 . b) Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt 1 và 2 lần lượt tại A và B sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng AM Bài toán 2.5. Cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng AB, BC,CA là AB :2x y 2 0 , BC :3x 2y 1 0 , CA :3x y 3 0 . Xác định vị trí tương đối của đường cao kẻ từ đỉnh A và đường thẳng :3x y 2 0 . 2.1.3. Bài tập luyện tâp: Câu 1. Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng 1 : x 2y 1 0 và 2 : 3x 6y 1 0 . A. Song song. B. Trùng nhau. C. Vuông góc nhau. D. Cắt nhau. x y Câu 2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng lần lượt có phương trình 2 và 6x 2y 8 0 2 3 A. Song song. B. Cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau. C. Trùng nhau. D. Vuông góc với nhau. x 3 2t x 2 3t ' Câu 3. Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng 1 : và 2 : y 1 3t y 1 2t ' A. Hai đường thẳng song song với nhau. B. Hai đường thẳng cắt nhau nhưng không vuông góc. C. Hai đường thẳng vuông góc nhau. D. Hai đường thẳng trùng nhau. Câu 4. Đường thẳng : 3x 2y 7 0 cắt đường thẳng nào sau đây? A. d1 :3x 2y 0. B. d2 :3x 2y 0. C. d3 : 3x 2y 7 0. D. d4 :6x 4y 14 0. Câu 5. Hai đường thẳng d1 : 4 x 3y 18 0; d2 :3x 5y 19 0 cắt nhau tại điểm có toạ độ: A. 3;2 . B. 3;2 . C. 3; 2 . D. 3; 2 . Câu 6. Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng 4x 3y 26 0 và 3x 4y 7 0. A. 2; 6 . B. 5;2 . C. 5; 2 . D. Không có giao điểm.
14. Câu 7. Phương trình nào sau đây biểu diễn đường thẳng không song song với đường thẳng d : y 2x 1? A. 2x y 5 0. B. 2x y 5 0. C. 2x y 0. D. 2x y 5 0. Câu 8. Cho 4 điểm A(0 ; 2), B( 1 ; 0), C(0 ; 4), D( 2 ; 0) . Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng AB và CD 3 1 A. (1 ; 4) . B. ; . 2 2 C. ( 2 ; 2) . D. Không có giao điểm. Câu 9. Cho 3 đường thẳng d1 :3x 2y 5 0 , d2 : 2x 4y 7 0 , d3 : 3x 4y 1 0 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của d1 , d2 và song song với d3 . A. 24x 32y 53 0 . B. 24x 32y 53 0 . C. 24x 32y 53 0 . D. 24x 32y 53 0 . x 1 2t Câu 10. Cho hai đường thẳng d và d biết d : 2x y 8 0 và d : . Biết I a; b là tọa độ y 3 t giao điểm của d và d . Khi đó tổng a b bằng A. 5. B. 1. C. 3. D. 6. Câu 11. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d : x 2y 1 0 . Nếu đường thẳng qua điểm M 1; 1 và song song với d thì có phương trình A. x 2y 3 0 . B. x 2y 3 0 . C. x 2y 5 0. D. x 2y 1 0 . x 2 3t Câu 12. Cho đường thẳng : t và điểm M 1; 6 . Phương trình đường thẳng đi qua y 1 t M và vuông góc với là A. 3x y 9 0 . B. x 3y 17 0 . C. 3x y 3 0 . D. x 3y 19 0 . Câu 13. Cho đường thẳng d1 :2x y 15 0 và d2 :x 2y 3 0. Khẳng định nào sau đây đúng? A. d1 và d2 vuông góc với nhau. B. d1 và d2 song song với nhau. C. d1 và d2 trùng nhau với nhau. D. d1 và d2 cắt nhau và không vuông góc với nhau. Câu 14. Cho bốn điểm A 1;2 , B 1;4 , C 2;2 , D 3;2 . Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng AB vàCD A. A 1;2 . B. B 3; 2 . C. 0; 1 . D. 5; 5 . Câu 15. Cho bốn điểm A 1;2 , B 4;0 , C 1; 3 , D 7; 7 . Vị trí tương đối của hai đường thẳng AB và CD A. Song song. B. Cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau. C. Trùng nhau. D. Vuông góc với nhau.
15. Dạng 2.2: Tìm điều kiện của tham số để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc và 3 đường thẳng đồng quy (Chứa tham số). Ví dụ 1 Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng 2 a) d1 : 3x 4y 10 0 và d2 : 2m 1 x m y 10 0 trùng nhau? b) d1 : mx m 1 y 2m 0 và d2 : 2x y 1 0 song song? 2 c) d1 : 3mx 2y 6 0 và d2 : m 2 x 2my 6 0 cắt nhau? Ví dụ 2 Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng x 2 3t a) d1 : 2x 3y 4 0 và d2 : cắt nhau. y 1 4mt x 1 at b) d1 : 2x 4y 1 0 và d2 : vuông góc với nhau? y 3 a 1 t x 2 2t c) d1 : và d2 : 4x 3y m 0 trùng nhau. y 1 mt Ví dụ 3 Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng x m 2t x 1 mt a) 1 : 2 và 2 : trùng nhau? y 1 m 1 t y m t x 2 3t x 2 3t b) d1 : và d2 : vuông góc? y 3 2t y 1 4mt Ví dụ 4 2 x 2 t a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai đường thẳng d1 : 4x 3my – m 0 và d2 : y 6 2t cắt nhau tại một điểm thuộc trục tung. b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba đường thẳng lần lượt có phương trình d1 : 3x 4 y 15 0 , d2 : 5x 2y 1 0 và d3 : mx 2m 1 y 9m 13 0 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để ba đường thẳng đã cho cùng đi qua một điểm.
16. C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng d1 :3x 4y 10 0 và 2 d2 : (2m 1)x m y 10 0 trùng nhau? A. m  . B. m 1. C. m 2 . D. m . Câu 2: Với giá trị nào của m hai đường thẳng sau đây trùng nhau? x m 2t x 1 mt và 1 : 2 2 : y 1 (m 1)t y m t 4 A. Không có m . B. m . C. m 1. D. m 3 . 3 Câu 3: Với giá trị nào của m hai đường thẳng sau đây trùng nhau? 2 1 : 3x 4y 1 0 và 2 : 2m 1 x m y 1 0 A. m 2 . B. Mọi m. C. Không có m. D. m 1. Câu 4: Hai đường thẳng d1 : m x y m 1; d2 : x my 2 song song khi và chỉ khi: A. m 2 . B. m 1. C. m 1. D. m 1. Câu 5: Với giá trị nào của m hai đường thẳng sau đây song song? 2 1 : 2x m 1 y 50 0 và 2 : mx y 100 0. A. m 1. B. Không có m . C. m 1. D. m 0. Câu 6: Với giá trị nào của m hai đường thẳng sau đây song song? x 8 (m 1)t 1 : và 2 : mx 6y 76 0. y 10 t A. m 3 . B. m 2 . m 2 C. . D. Không có m nào. m 3 x 1 at Câu 7: Hai đường thẳng 2x 4y 1 0 và vuông góc với nhau thì giá trị của a là: y 3 a 1 t A. a –2. B. a 2 . C. a –1. D. a 1. Câu 8: Định m sao cho hai đường thẳng 1 : (2m 1)x my 10 0 và 2 :3x 2y 6 0 vuông góc với nhau. 3 A. m 0. B. Không m nào. C. m 2 . D. m . 8 x 2 3t Câu 9: Định m để hai đường thẳng sau đây vuông góc: 1 : 2x 3y 4 0 và 2 : y 1 4mt 1 9 1 9 A. m . B. m . C. m . D. m . 2 8 2 8
17. Câu 10: Hai đường thẳng d1 : m x y m 1; d2 : x my 2 cắt nhau khi và chỉ khi: A. m 2 . B. m 1. C. m 1. D. m 1. Câu 11: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng d1 : x 3my 10 0 và d2 : mx 4y 1 0 cắt nhau? A. m . B. m 1. C. m 2 . D. m  . Câu 12: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng phân biệt d1 :3mx 2y 6 0 và 2 d2 : m 2 x 2my 6 0 cắt nhau? A. m 1. B. m 1. C. m . D. m 1 và m 1. Câu 13: Nếu ba đường thẳng d1 : 2x y – 4 0 ; d2 :5x – 2y 3 0 ; d3 : mx 3y – 2 0 đồng qui thì m có giá trị là: 12 12 A. . B. . C. 12. D. 12. 5 5 x 1 t Câu 14: Xác định a để hai đường thẳng d1 : ax 3y – 4 0 và d2 : cắt nhau tại một điểm y 3 3t nằm trên trục hoành. A. a 1. B. a –1. C. a 2 . D. a –2. Câu 15: Cho 3 đường thẳng d1 : 2x y –1 0, d2 : x 2y 1 0, d3 : mx – y – 7 0 . Để ba đường thẳng này đồng qui thì giá trị thích hợp của m là: A. m –6 B. m 6 C. m –5 D. m 5 x m 2t Câu 16: Cho đoạn thẳng AB với A 1;2 , B( 3;4) và đường thẳng d : . Định m để d cắt y 1 t đoạn thẳng AB. A. m 3 . B. m 3 . C. m 3 . D. Không có m nào. x 2t 3 Câu 17: Đường thẳng song song với đường thẳng : và cách A 1;1 một khoảng 3 5 là: y t 5 d : x by c 0 . Khi đó b c bằng A. 14 hoặc 16. B. 16 hoặc 14 . C. 10 hoặc 20. D. 10.
18. Dạng 2.3: Các bài toán sử dụng vị trí tương đối của hai đường thẳng liên quan đến tam giác. CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC THƯỜNG Đường cao của tam giác: Trong tam giác, đoạn thẳng kẻ vuông góc từ đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao. Tính chất: Ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm. điểm này gọi là trực tâm. Đường trung tuyến của tam giác: Trong tam giác, đoạn thẳng kẻ từ đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện gọi là đường trung tuyến. Tính chất: i) Ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại một điểm, điểm này gọi là trọng tâm. ii) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , A là điểm đối xứng với A quaG . Khi đó GBA C là hình bình hành. Đường trung trực của tam giác: đường trung trực của cạnh của tam giác là đường trung trực của tam giác. Tính chất: Ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua một điểm, điểm đó cách đều ba đỉnh của tam giác . Đường phân giác của tam giác: tia phân giác của góc của tam giác gọi là đường phân giác của góc đó. Trong tam giác có ba đường phân giác. Tính chất: i) Ba đường phân giác của tam giác đồng qui tại một điểm, điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác . ii) Điểm nằm trên tia phân giác của góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. iii) Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó. A. VÍ DỤ MẪU Ví dụ 1 3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có M ;0 là trung điểm đoạn AC . 2 Phương trình các đường cao AH , BK lần lượt là 2x y 2 0 và 3x 4 y 13 0 . Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC . \
19. Ví dụ 2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A 4; 1 phương trình đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh B lần lượt là 2x 3y 12 0 và 2x 3y 0 . Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác ABC. Ví dụ 3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC . Điểm M 2;0 là trung điểm của AB. Đường trung tuyến và đường cao kẻ từ A lần lượt có phương trình là 7x 2y 3 0 và 6x y 4 0 . Viết phương trình đường thẳng AC. Ví dụ 4 4 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A , có trọng tâm G ; . 3 3 Phương trình đường thẳng BC là x 2y 4 0, phương trình đường thẳng BG là 7x 4 y 8 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Ví dụ 5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A. Đường thẳng BC và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình x y 1 0,x 2y 2 0; Điểm M 2;1 thuộc đường cao kẻ từ C. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Ví dụ 6 4 7 Cho tam giác ABC có A ; và hai trong ba đường phân giác trong có phương trình lần lượt 5 5 là x 2y 1 0 , x 3y 1 0 . Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC . C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho tam giác ABC với A 2; 1 , B 4;5 , C 3;2 . Phương trình tổng quát của đường cao đi qua điểm A của tam giác ABC là A. 3x 7y 1 0. B. 3x 7y 13 0 . C. 7x 3y 13 0 . D. 7x 3y 11 0 . Câu 2. Trong mp Oxy , cho tam giác ABC với A 2;6 , B 3; 4 và C 5;1 . Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC . 57 10 57 10 57 10 57 10 A. H ; . B. H ; . C. H ; . D. H ; . 11 11 11 11 11 11 11 11
20. Câu 3. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Phương trình các cạnh và đường cao của tam giác là AB : 7x y 4 0 ; BH : 2x y 4 0 ; AH : x y 2 0 . Phương trình đường cao CH của tam giác ABC là A. 7x y 0. B. x 7y 2 0 . C. x 7y 2 0 . D. 7x y 2 0 . Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có C 1; 2 , đường cao BH : x y 2 0 , đường phân giác trong AN : 2x y 5 0. Tọa độ điểm A là. A. A 2;1 . B. A 2;1 . C. A 2; 1 . D. A 2; 1 . Câu 5. Cho tam giác ABC có A 2;7 ; B 3;5 ; C 1; 4 . Biết rằng trực tâm của tam giác a b a b ABC là điểm H ; , với a , b , m , n là các số nguyên dương và , là các phân số m n m n a b tối giản. Tính T . m n 95 43 72 54 A. T . B. T . C. T . D. T . 9 4 7 5 Câu 6. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có A 4; 1 , hai đường cao BH và CK có phương trình lần lượt là 2x y 3 0 và 3x 2y 6 0. Viết phương trình đường thẳng BC và tính diện tích tam giác ABC . 35 25 A. BC : x y 0 ; S . B. BC : x y 0 ; S . 2 2 25 35 C. BC : x y 0 ; S . D. BC : x y 0 ; S . 2 2 Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông ở A. Biết A( 1;4) , B(1; 4) , 7 đường thẳng BC đi qua điểm K ;2 . Biết điểm C(a;b) . Phát biểu nào sau đây đúng ? 3 A. b a . B. a2 b2 16. C. b (1;3) . D. b2 a 6. Câu 8. Trong hệ trục Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d : x 4y 2 0 , cạnh BC song song với d. Phương trình đường cao BH : x y 3 0 và trung điểm của cạnh AC là M (1;1) . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. 2 2 2 2 A. G( ; 1) B. G( ; 1) C. G( ;1) D. G( ;1) 3 3 3 3 Câu 9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với đỉnh A 2;1 , gọi m là đường cao qua đỉnh B có phương trình là x 3y 7 0 và n là đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình là x y 1 0 . Giả sử B x1; y1 ,C x2 ; y2 , tính P x1 y1 x2 y2 ? A. P 6 . B. P 4 . C. P 3 . D. P 5 .
21. 4 1 Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân đỉnh A, trọng tâm G( ; ) . 3 3 Phương trình đường thẳng BC là x 2y 4 0 và phương trình đường thẳng BG là 2 2 2 2 7x 4y 8 0 . Gọi đỉnh A(xA;y A ) , B(xB;yB ). Tính tổng x A y A x B y B A. 13. B. 1. C. 4 . D. 25.