18 Bộ học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh, thành phố Hồ Chí Minh – Hà Nội - Năm học 2017 – 2018

Nội dung text: 18 Bộ học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh, thành phố Hồ Chí Minh – Hà Nội - Năm học 2017 – 2018

1. 18 Bộ HSG Toán 9 Cấp Tỉnh, TP HCM – Hà Nội Năm học: 2017 – 2018 SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH THANH HÓA Năm học: 2017- 2018 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 1 Câu I x2 x x 1 1 2 x 2 x 1/ Cho biểu thức: P , với xx 0, 1. Rút gọn x x1 x x x x x2 x P và tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên. 4(x 1 )x2018 2 x 2017 2 x 1 13 2/ Tính giá trị biểu thức: P tại x. 23xx2 2 3 2 2 3 2 Câu II 1/ Biết phương trình (m2 )x2 2 (m 1 )x m 0 có hai nghiệm tương ứng là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Tìm m để độ dài đường cao ứng với cạnh huyền của 2 tam giác vuông đó bằng . 5 (x y)2 (8 x 2 8 y 2 4 xy 13 ) 5 0 2. Giải hệ phương trình 1 21x xy Câu III 1/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình y25 y 62 (y 2 )x 2 (y 2 6 y 8 )x. 2/ Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn p a22 b là số nguyên tố và p5 chia hết cho 8. Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn ax22 by chia hết cho p . Chứng minh rằng cả hai số x, y chia hết cho p . Câu IV Cho tam giác ABC có (O),(I),(Ia ) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A của tam giác với các tâm tương ứng là O,I,Ia . Gọi D là tiếp điểm của (I) với BC , P là điểm chính giữa cung BAC của (O) , PIa cắt (O) tại điểm K . Gọi M là giao điểm của PO và BC, N là điểm đối xứng với P qua O. 1. Chứng minh IBIa C là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh NIa là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác Ia MP. 3. Chứng minh DAI KAIa . Câu V : Cho x, y,z là các số thực dương thỏa mãn x z. Chứng minh rằng: xz y2 x25 z 2 . y yz xz yz x z 2 Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
2. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NAM ĐỊNH Năm học: 2017- 2018 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 2 Bài 1 1/ Rút gọn biểu thức: P 109 36 7 109 36 7 a3 b 3 c 3 abc 2/ Xét 3 số thực a, b, c thay đổi và thõa mãn điều kiện . Chứng minh a2 3b 2 5c 2 a b c 0 biểu thức Q có giá trị không đổi. (a b c)2 Bài 2 1/ Giải phương trình: x2 3x 3 x 2 7 x 0 x 3 2 (3y x)(y 1) 2/ Giải hệ pt: 2y 3 x y x 3 Bài 3 4 3 2 1/ Cho đa thức P (x) x ax bx cx d với (a,b,c,d ) thõa mãn P(1) = 3, P(2) = 6, P(3) = 11. Tính S = 10P(4) + P(-2). 2/ Phân tích số 16032018 thành tổng của một số hạng nguyên dương. Gọi S là tổng các lập phương của tất cả các số hạng đó. Hỏi S chia cho 6 dư bao nhiêu? Bài 4: Cho ABC nhọn, có AB < AC. Gọi I là trung điểm của BC. Hai đường cao BD và CE của tam giác cắt nhau tại H. Đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác BEI và đường tròn tâm O’ ngoại tiếp tam giác CDI cắt nhau tại K khác I, DE cắt BC tại M. 1/ CMR: Tứ giác AEKD nội tiếp đường tròn và ba điểm A, K, I thẳng hàng. 2/ CMR: EMK ECK 3/ Chứng minh ba đường thẳng EC, DB, MK đồng quy. Bài 5 1/ Xét 3 số thực không âm a, b, c thõa mãn a + b + c = 1 và không có hai số nào đồng thời 22 bằng 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P (c 2)(3 a b) (a b)(b c) (c a)(a b) 2/ Một hình tròn được chia thành 10 ô hình quạt như hình vẽ. Trên mỗi ô người ta đặt một viên bi. Nếu ta thực hện liên tục thao tác lấy ở hai ô bất kỳ mỗi ô một viên bi rồi chuyển sang ô liền kề thì có thể chuyển tất cả các viên bi về cùng một ô hay không? Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
3. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH THÁI BÌNH Năm học: 2017- 2018 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 3 ( 5 1)3 16 8 5 Bài 1: Cho x . Tính giá trị biểu thức A (77x2 35x 646) 2017 3 10 6 3 3 2 Bài 2: Cho các đa thức P(x) và Q(x) thõa mãn P(x) = Q(x) + (x – x + 1)Q(1-x) với x . Biết rằng các hệ số của P(x) là các số nguyên không âm và P(0) = 0. Tính giá trị Q(2017) Bài 3: Tìm nghiệm nguyên (x;y) của phương trình (2x – y - 2)2 = 7(x – 2y – y2 – 1) Bài 4 1/ Giải pt sau: 3x 1 x22 17x 1 x 3 x3 3xy 2 x 1 x 2 2xy y 2 2/ Giải hệ pt sau: y3 3xy 2 y1 y 2 2xy x 2 Bài 5 Cho tam ABC và M là một điểm nằm bên trong tam giác. Gọi D là điểm trên AB sao cho MD // BC. E là điểm trên BC sao cho ME // AC, F là điểm trên AC sao cho MF // AB. Kí hiệu SABC và SDEF lần lượt là diện tích của ABC và DEF. Chứng minh rằng: SABC 3SDEF. Bài 6 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O có đường cao AH = OA. Gọi E và F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB và AC. Chứng minh rằng đường thẳng EF đi qua trung điểm của đoạn OA. Bài 7 12 20 15 Cho các số thực dương x, y, z thõa mãn 1 . Tìm GTLN của biểu thức : xy yz zx 3 4 5 P x2 9 y 2 16 z 2 25 Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
4. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH TP. ĐÀ NẴNG Năm học: 2017- 2018 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 4 1 11 2 Bài 1: Tính A 2 11 18 5 11 x 2 x 1 x 1 Bài 2: Cho biểu thức A: với x > 0; x 1. x x 1 x x 1 1 2 x 2 Hãy rút gọn biểu thức A và Chứng minh A 3 Bài 3 Cho đường thẳng dm có phương trình y = mx + 2m – 1, với m tham số. a/ Chứng minh rằng khi tham số m thay đổi thì đường thẳng dm luôn đi qua một điểm H cố định. Tìm tọa độ điểm H. b/ Tìm giá trị của m sao cho khoảng cách từ điểm A(1;2) đến dm lớn nhất. Bài 4 a/ Tìm tất cả các số x thõa mãn: x4x22 x6x277 x2 2x y b/ Tìm tất cả bộ các số x, y, z thõa: y2 2y z x y z 1 x 1 0 Bài 5 Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu giảm chiều rộng đi 1m và tăng chiều dài thêm 2m thì diện tích không đổi; ngoài ra nếu giảm chiều dài 4m đồng thời tăng chiều rộng 3m ta được thửa ruộng hình vuông. Tính diện tích thửa ruộng ban đầu. Bài 6 Cho hình bình hành ABCD có độ dài đường chéo AC bằng 4, ABC 1500 . Gọi E, F lần lượt là chân đường cao hạ từ C đến đường thẳng AB và AD. Tính độ dài đoạn FE. Bài 7 Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt đường thẳng qua C và song song với AB tại D. a/ CMR: BC2 = AB.CD b/ Gọi G là trọng tâm tam giác ABC; E là giao điểm của CG và BD. Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt BG tại F Chứng minh rằng: EAB FAC Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
5. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH HƯNG YÊN Năm học: 2017- 2018 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 5 Bài 1 1 1 1 a/ Cho hai số thực a, b thõa mãn . CMR: a b a 2018 b 2018. a b 2018 b/ Cho a là nghiệm dương của phương trình 6x2 + 3 x - = 0. Tính giá trị biểu thức a2 A a42 a 2 a Bài 2 1/ Giải phương trình: (1 1 x)3 2 x x 2/ Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thõa mãn: (x – 2018)2 = y4 – 6y3 + 11y2 – 6y Bài 3 (x y)2 2x 1 2y 1 a/ Giải hệ phương trình: 2 (3x 2y)(y 1) 4 x2 1 3yz 4zx 5xy b/ Cho ba số thực dương x, y, z thõa mãn 2 y z . CMR: 4 x x y z Bài 4 Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định với OA = 2R; đường kính BC quay quanh O sao cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng OA tại điểm thứ hai I. Các đường thẳng AB, AC cắt (O; R) lần lượt tại điểm thứ hai D và E. Gọi K là giao điểm của DE và OA. a/ CMR: AK.AI = AE.AC b/ Tính độ dài AK theo R c/ Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn thuộc một đường thẳng cố định. Bài 5 Từ 625 số tự nhiên liên tiếp 1; 2; 3; ; 625 chọn ra 311 số sao cho không có hai số nào có tổng bằng 625. Chứng minh rằng trong 311 số được chọn, bao giờ cungxcos ít nhất một số chính phương. Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
6. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH BÌNH ĐỊNH Năm học: 2017 - 2018 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 6 Bài 1 1/ Chứng minh n6 – 2n4 + n2 chia hết cho 36 với mọi n nguyên dương. 2/ Cho ba số a, b, c phân biệt. Đặt : x = (a + b + c)2 – 9ab, y = (a + b + c)2 – 9bc, z = (a + b + c)2 – 9ac. Chứng minh rằng: Trong ba số x, y, z có ít nhất một số dương. Bài 2 1/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: (x – y)(2x + y + 1) + 9(y – 1) = 13 2/ Giải phương trình: x2 x 2018 2018 Bài 3 1/ Cho a, b, c là ba số không âm thỏa mãn điều kiện : a2 + b2 + c2 2(ab + bc + ca) và p, q, r là ba số thỏa mãn : p + q + r = 0. Chứng minh rằng : apq + bqr + crp 0. 2/ Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện ab = 1. 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a b 1 a22 b ab Bài 4 1/ Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF và trực tâm là H. a/ Chứng minh rằng: AC.BD.CE = BE.CD.BH; b/ Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AH và BC. Đường tròn đường kính AH cắt đoạn thẳng IJ tại K. Tia AK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại M và cắt đoạn thẳng BC tại P. Tia MD cắt đường tròn ngoại tiếp ABC tại Q. Chứng minh tứ giác AQDP là tứ giác nội tiếp. 2/ Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên các cạnh AB, AC sao cho BD = AE. Xác định vị trí các điểm D, E sao cho: a/ DE có độ dài nhỏ nhất. b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
7. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH BẮC GIANG Năm học: 2017 - 2018 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 7 Bài 1 x 1 x 1 3 x 1 x 2 1/ Cho biểu thức A: với x 0;x 1 x 1 x 11 x x 1 x 1 a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tìm x để biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất. 2 c/ Tìm giá trị của m để phương trình x – 2(m + 1)x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 2x12 1 2x 1 3 thõa mãn xx12 . x2 x 1 x 1 x 2 Bài 2 4 1/ Giải phương trình: 2x22 x 6 x 2 x x x x3 x 2 2y 2/ Giải hệ pt: (x,y ) 3(x23 x) y y Bài 3 1/ Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) sao cho 3(x4 – y2) = 2(x2 – y) + 7 1 2 3 2018 2/ Cho biểu thức B . So sánh: B2017 và B2018 16 162 16 3 16 2018 Bài 4 1/ Cho hai đường tròn(O; 4cm) và (I; 2cm) cắt nhau tai hai điểm phân biệt A, B sao cho OAI 900 . Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt đường (I) tại C khác A. Tiếp tuyến của đường tròn (I) tại A cắt đường tròn (O) tại D khác A. Gọi E là giao điểm của AB và CD. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AD, CD. Chứng minh rằng: a/ APQ và ABC đồng dạng. b/ ED = 4EC. 2/ Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O). Điểm E thuộc cung nhỏ CD của đường tròn (O), E khác C và D. Có EA cắt DB, DC lần lượt tại M và N; EB cắt CA, CD lần lượt tại P và Q. Gọi G là giao điểm của CM và DP. GM GP NQ Chứng minh rằng: 1 EM EP CD Bài 5 (x3 y 3 ) (x 2 y 2 ) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P , trong đó x, y là các số thực lớn (x 1)(y 1) hơn 1. Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
8. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HS GIỎI CẤP TP LỚP 9 TP. BẮC GIANG Năm học: 2017 - 2018 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 8 Bài 1: x 2 x 4 x 2 x 1 3 x 5 2 x 10 a/ Cho biểu thức M : x x 8x 1 x 2 x 6 x 5 Rút gọn M và tìm x để M > 1 a b b c c a b/ Cho a, b, c >0 thỏa mãn ab bc ca 1. Tính H = 1 c 1 a 1 b Bài 2: 55 a/ Giải phương trình 30 6xx22 6 xx22 2 b/ Tìm số thực x để 3 số x 3; x2 2 3; x là số nguyên x Bài 3: a/ Tìm x nguyên dương để 4x32 14 x 9 x 6 là số chính phương b/ Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z xyz. 1 1 xz2211 y2 1 1 Chứng minh rằng: xyz x y z Bài 4: Cho đoạn thẳng OA = R, vẽ đường tròn (O;R). Trên đường tròn (O;R) lấy H bấy kỳ sao cho AH < R, qua H vẽ đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O;R). Trên đường thẳng a lấy B và C sao cho H nằm giữa B và C và AB = AC = R. Vẽ HM vuông góc với OB (M OB), vẽ HN OC (N OC) a/ Chứng minh OM OB = ON OC và MN luôn đi qua 1 điểm cố định b/ Chứng minh OB OC = 2R2 c/ Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN khi H thay đổi Bài 5: Cho dãy số n, n + 1, n + 2, , 2n với n nguyên dương. Chứng minh trong dãy có ít nhất một lũy thừa bậc 2 của 1 số tự nhiên. Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
9. Đề 9 Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
10. Đề 10 Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
11. Đề 11 Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
12. Đề 12 Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
13. Đề 13 Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
14. Đề 14 Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
15. Đề 15 Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
16. Đề 16 Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
17. Đề 17 Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
18. Đề 18 Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.