17 Bộ đề học sinh giỏi Toán 9 các tỉnh, thành phố Hồ Chí Minh - Hà Nội - Phần 4

Nội dung text: 17 Bộ đề học sinh giỏi Toán 9 các tỉnh, thành phố Hồ Chí Minh - Hà Nội - Phần 4

1. 17 Bộ đề HSG Toỏn 9 cỏc Tỉnh, TP HCM – Hà Nội Phần 4 SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH THANH HểA NĂM HỌC 2016 - 2017 Mụn Toỏn : Lớp 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Đề số 1 Bài 1: (5,0 điểm) x+−2 x 1 x 1 Cho biểu thức: P = + + : . Với x 0, x 1. x x−1 x + x + 1 1 − x 2 a. Rỳt gọn biểu thức P. 2 b. Tỡm x để P = . 7 c. So sỏnh: P2 và 2P. Bài 2: (4,0 điểm) a. Tỡm x, y Z thỏa món: 2y2 x+ x + y + 1 = x 2 + 2 y 2 + xy b. Cho a, b, c là cỏc số nguyờn khỏc 0 thỏa món điều kiện: 2 1 1 1 1 1 1 + + =2 + 2 + 2 . a b c a b c Chứng minh rằng: a3++ b 3 c 3 chia hết cho 3. Bài 3: (4,0 điểm) a. Giải phương trỡnh sau: 4x22+ 20 x + 25 + x + 6 x + 9 = 10 x − 20 2 2 b. Cho x, y là 2 số thực thoả món: x + 2y + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất và giỏ trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1. Bài 4: (6,0 điểm) Cho hỡnh vuụng ABCD cú cạnh bằng a. N là điểm tựy ý thuộc cạnh AB. Gọi E là giao điểm của CN và DA. Vẽ tia Cx vuụng gúc với CE và cắt AB tại F. Lấy M là trung điểm của EF. a. Chứng minh: CM vuụng gúc với EF. b. Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng. c. Tỡm vị trớ của N trờn AB sao cho diện tớch của tứ giỏc AEFC gấp 3 lần diện tớch của hỡnh vuụng ABCD Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a b c a b c + + + + abbcca+ + + bc + ca + ab + Hết “Hố rỏc” Khớ hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 BèNH ĐỊNH Năm học: 2016 - 2017 Mụn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian phỏt đề) Đề số 2 Bài 1 (6,0 điểm). 2m+ 16 m + 6 m − 2 3 1. Cho biểu thức: P = + + − 2 m+2 m − 3 m − 1 m + 3 a) Rỳt gọn P. b) Tỡm giỏ trị tự nhiờn của m để P là số tự nhiờn. 2. Cho biểu thức: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc với a, b, c là cỏc số nguyờn. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 4 thỡ P chia hết cho 4. Bài 2 (5,0 điểm). 1 1 4 a) Chứng minh rằng: với mọi số thực x, y dương, ta luụn cú: + x y x+ y 2 b) Cho phương trỡnh: 2x+ 3 mx − 2 = 0 (m là tham số). Cú hai nghiệm x1 và x2 . Tỡm 2 22 2 11++xx12 giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: M = (xx12−) + − xx12 Bài 3 (2,0 điểm) Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 2+ 2 + 2 + + x+ yz y + xz z + xy2 xy yz zx Bài 4 (7,0 điểm). 1. Cho tam giỏc đều ABC nội tiếp đường trũn tõm O bỏn kớnh R. M là một điểm di động trờn cung nhỏ BC của đường trũn đú. a. Chứng minh MB + MC = MA b. Gọi H, I, K lần lượt là chõn đường vuụng gúc hạ từ M xuống AB, BC, CA. Gọi S, S’ lần lượt là diện tớch của tam giỏc ABC, MBC. Chứng minh rằng: Khi M di động ta luụn 2 3( S + 2S') cú đẳng thức: MH + MI + MK = 3R 2. Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn. AD, BE, CF là cỏc đường cao. Lấy M trờn đoạn FD, lấy N trờn tia DE sao cho MAN = BAC . Chứng minh MA là tia phõn giỏc của gúc NMF “Hố rỏc” Khớ hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.
3. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2015 - 2016 Mụn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề. Đề số 3 Cõu 1. (3,0 điểm) 5+ 3 + 5 − 3 1. Tớnh giỏ trị biểu thức P = +11 − 6 2 . 5+ 22 2. Cho cỏc số thực x, y, z thỏa món điều kiện x+ y + z = 2, x2+ y 2 + z 2 =18 và xyz =−1. 1 1 1 Tớnh giỏ trị của S = + +  xy+ z −111 yz + x − zx + y − Cõu 2. (5,0 điểm) 1. Giải phương trỡnh: 2 2x− 1 + x + 3 − 5 x + 11 = 0 . 2 y− y( x −1 + 1) + x − 1 = 0 2. Giải hệ phương trỡnh: 22 x+ y −7 x − 3 = 0. Cõu 3. (3,0 điểm) 1. Tỡm tất cả cỏc số nguyờn x, y thỏa món x22+ y + xy − x − y =1. 2. Chứng minh với mọi số nguyờn dương n lớn hơn 1 ta cú 2 3 4 (nn− 1) 3 . Cõu 4. (7,0 điểm) Cho tam giỏc nhọn ABC cú AB AC , nội tiếp đường trũn (O) và ngoại tiếp đường trũn ( I ) . Điểm D thuộc cạnh AC sao cho ABD= ACB . Đường thẳng AI cắt đường trũn ngoại tiếp tam giỏc DIC tại điểm thứ hai là E và cắt đường trũn (O ) tại điểm thứ hai là Q. 1. Đường thẳng đi qua E và song song với AB cắt BD tại P. 2. Chứng minh tam giỏc QBI cõn; 3. Chứng minh BP BI= BE BQ ; Gọi J là tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc ABD, K là trung điểm của JE. Chứng minh PK// JB. Cõu 5. (2,0 điểm) Cho một lớp học cú 35 học sinh, cỏc học sinh này tổ chức một số cõu lạc bộ mụn học. Mỗi học sinh tham gia đỳng một cõu lạc bộ. Nếu chọn ra 10 học sinh bất kỡ thỡ luụn cú ớt nhất 3 học sinh tham gia cựng một cõu lạc bộ. Chứng minh cú một cõu lạc bộ gồm ớt nhất 9 học sinh. Hết “Hố rỏc” Khớ hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.
4. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2010 - 2011 Mụn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phỳt, (khụng kể thời gian giao đề). Đề số 4 Bài 1. (2,0 điểm) a+ 1 a a − 1 a2 − a a + a − 1 Cho biểu thức: M = + + với a > 0, a 1. a a−− a a a a a) Chứng minh rằng M 4. 6 b) Với những giỏ trị nào của a thỡ biểu thức N = nhận giỏ trị nguyờn? M Bài 2. (2,0 điểm) a) Cho cỏc hàm số bậc nhất: y=+ 0,5x 3, y=− 6 x và y= mx cú đồ thị lần lượt là cỏc đường thẳng (d1), (d2) và ( m). Với những giỏ trị nào của tham số m thỡ đường thẳng ( m) cắt hai đường thẳng (d1) và (d2) lần lượt tại hai điểm A và B sao cho điểm A cú hoành độ õm cũn điểm B cú hoành độ dương? b) Trờn mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M và N là hai điểm phõn biệt, di động lần lượt trờn trục hoành và trờn trục tung sao cho đường thẳng MN luụn đi qua điểm cố định I(1; 2) . Tỡm hệ thức liờn hệ giữa hoành độ của M và tung độ của N; từ đú, suy ra giỏ trị nhỏ nhất của biểu 11 thức Q =+. OM22 ON Bài 3. (2,0 điểm) 17x+= 2 y 2011 xy a) Giải hệ phương trỡnh: x−=2 y 3 xy . 1 b) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của x, y, z sao cho: x+ y − z + z − x = (y + 3). 2 Bài 4. (3,0 điểm) Cho đường trũn (C ) với tõm O và đường kớnh AB cố định. Gọi M là điểm di động trờn (C ) sao cho M khụng trựng với cỏc điểm A và B. Lấy C là điểm đối xứng của O qua A. Đường thẳng vuụng gúc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N. Đường thẳng BN cắt đường trũn (C ) tại điểm thứ hai là E. Cỏc đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F. a) Chứng minh rằng cỏc điểm A, E, F thẳng hàng. b) Chứng minh rằng tớch AMAN khụng đổi. c) Chứng minh rằng A là trọng tõm của tam giỏc BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất. Bài 5. (1,0 điểm) Tỡm ba chữ số tận cựng của tớch của mười hai số nguyờn dương đầu tiờn. HẾT “Hố rỏc” Khớ hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.
5. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH THÁI BèNH Năm học: 2010 - 2011 Mụn thi: Toỏn ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phỳt, (khụng kể thời gian giao đề). Đề số 5 Bài 1. (3 điểm) Chứng minh rằng: 87 1 1 1 88 + + + 89 2 1 3 2 2011 2010 45 Bài 2. (3 điểm) Tỡm phần dư của phộp chia đa thức p(x) cho (x −1)(x3 +1) biết p(x) chia cho x −1 thỡ dư 1, p(x) chia cho x3 +1 thỡ dư x2 + x +1. Bài 3. (3 điểm) Giải phương trỡnh: 3 x +1 = x3 −15x2 + 75x −131 Bài 4. (3 điểm) Cho a, b, c là 3 số thực dương. Chứng minh rằng : a b c 3 + + b + c + 2a c + a + 2b a + b + 2c 2 Bài 5. (3 điểm) Cho tam giỏc ABC cú độ dài ba cạnh AB = c, BC = a, CA = b. Cỏc gúc A, B,C thỏa món C = 2A + B. Chứng minh rằng: c2 < 2a2 + b2. Bài 6. (3 điểm) Cho tam giỏc ABC nhọn nội tiếp đường trũn tõm O. Gọi M là điểm bất kỡ thuộc cung BC khụng chứa điểm A (M khụng trựng với B và C). Gọi A',B',C' lần lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc của M trờn BC, CA, AB. a. Chứng minh rằng: A',B',C' thẳng hàng. BC CA AB b. Chứng minh rằng: = + MA' MB' MC' Bài 7. (2 điểm) Cho hỡnh bỡnh hành ABCD và n = 4k + 1 (k nguyờn dương) đường thẳng, mỗi đường thẳng đú chia hỡnh bỡnh hành ABCD thành hai hỡnh thang cú tỷ số diện tớch là m (m là số dương cho trước). Chứng minh rằng cú ớt nhất k + 1 đường thẳng trong số n đường thẳng núi trờn đồng quy. (Hỡnh bỡnh hành cũng được xem như là hỡnh thang). Hết “Hố rỏc” Khớ hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.
6. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH VĨNH PHÚC Năm học: 1999 - 2000 Mụn thi: Toỏn ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phỳt, (khụng kể thời gian giao đề). Đề số 6 Bài 1: Cho phương trỡnh x2 − x − a = 0 ( a là tham số) a, Gọi xx12; là cỏc nghiệm thực dương của phương trỡnh. Tỡm GTLN của biểu 11 thức P=1 + x 1 + + 1 + x 1 + ( 11) ( ) xx22 b, Tỡm tất cả cỏc giỏ trị nguyờn của a để phương trỡnh cú và chỉ cú nghiệm hữu tỉ. c, Tỡm tất cả cỏc giỏ trị a nguyờn để phương trỡnh cú hai nghiệm xx12; thỏa món 3 2 3 2 x1(1+ 4 x 2) + x 2( 1 + 4 x 1 ) + 4 chia hết cho 6. Bài 2: a, Tỡm tất cả cỏc cặp (x;y) thỏa món x5− y 5 = x 3 − y 3 = x − y b, Giải phương trỡnh (x2+1)( y 2 + 3)( z 2 + 27) = 72 xyz Bài 3: n( n++1)( 2 n 1) a, Chứng minh đẳng thức 12+ 2 2 + +n 2 = 6 2 2 2 b, Tỡm số nguyờn dương n nhỏ nhất lớn hơn 1 sao cho 1+ 2 + + n là số chớnh n phương. Bài 4: Cho tam giỏc ABC, cỏc đường trũn (O), (I), (J) đụi một tiếp xỳc với nhau, (O) đi qua B,C; (I) đi qua C,A, (J) đi qua A,B. Biết rằng tam giỏc cú cỏc đỉnh là ABC đồng dạng với tam giỏc cú cỏc đỉnh là OIJ. Tớnh số đo cỏc gúc của tam giỏc ABC. Bài 5: Cho tam giỏc ABC cú độ dài cỏc cạnh AC=b, BC=a khụng đổi. Trờn cạnh AB về phớa ngoài tam giỏc dựng hỡnh vuụng ABDE. Gọi O là tõm hỡnh vuụng; M,N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Tỡm GTLN của tổng OM+ON khi gúc ACB thay đổi. Hết “Hố rỏc” Khớ hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.
7. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH VĨNH PHÚC Năm học: 2000 - 2001 Mụn thi: Toỏn ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phỳt, (khụng kể thời gian giao đề). Đề số 6 Cõu 1: a, Giải phương trỡnh x22+3 + x + 8 = 5 x 8x32− 12 x y − 9 y − 12 x = 0 b, Giải hệ phương trỡnh 2 3y−= 2 xy 1 Cõu 2: ax+ y + z =1 Cho hệ phương trỡnh: x+ ay + z = a 2 x+ y + az = a a, Giải hệ phương trỡnh với a = 2 b, Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của a để hệ phương trỡnh cú nghiệm nguyờn c, Tỡm số thực a 1 sao cho hệ phương trỡnh cú nghiệm thỏa món tổng A= x + y + z đạt GTNN. Cõu 3: Chứng minh rằng nếu phương trỡnh x4−20 ax 2 + b 2 + c 2 = chỉ cú đỳng hai nghiệm phõn biệt thỡ a > 0 và a8 +8( c 8 b 8 ) ab++11 Cõu 4: Hai số nguyờn dương a, b thỏa món điều kiện + là một số nguyờn. Gọi ba d là UCLN(a,b). Chứng minh rằng d + a b Cõu 5: Cho tứ giỏc ABCD, đường trũn đường kớnh AB tiếp xỳc với đường trũn đường kớnh CD tại điểm M khỏc với giao điểm của hai đường chộo của tứ giỏc. Gọi P là trung điểm AB, Q là trung điểm CD. Đường trũn tõm O1 đi qua 3 điểm A,M,C cắt PQ tại điểm thứ hai K; đường trũn tõm O2 đi qua 3 điểm D,M,B cắt PQ tại điểm thứ hai L. Chứng minh rằng: a, Bốn điểm O1,P,Q,O2 thuộc đường trũn. b, MK− ML = AB − CD Cõu 6: Điểm P thay đổi trờn cỏc cạnh của tam giỏc ABC vuụng tại A. Tỡm vị trớ của P sao cho tổng PA + PB + PC cú GTNN. “Hố rỏc” Khớ hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.
8. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH VĨNH PHÚC Năm học: 2001 - 2002 Mụn thi: Toỏn ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phỳt, (khụng kể thời gian giao đề). Đề số 7 Cõu 1: a, Giải phương trỡnh ( x −1)( x − 2)( x − 3)( x − 4) = 24 b, Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn n để n4 + 6n3 +11n + 6n Cõu 2: 1 x2 + x +1 a, Chứng minh rằng với mọi số thực x ta luụn cú 3 3 x2 − x +1 x2 + x +1 b, Tỡm tất cả số nguyờn x,y để giỏ trị của phõn thức là một số nguyờn. x2 − x +1 x3 + y = 3x + 4 3 Cõu 3: Giải hệ phương trỡnh: 2y + z = 6y + 6 3 3z + x = 9z + 8 Cõu 4: a, Cho tam giỏc ABC, gọi O là tõm đường trũn bàng tiếp cạnh BC của tam giỏc ABC. D là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABO. Chứng minh rằng bốn điểm A,B,C,D cựng nằm trờn một đường trũn. b, Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc vuụng. Tỡm GTNN của biểu thức (a + b)(b + c)(c + a) P = abc Bài 5 Cho tam giỏc ABC cú gúc A tự, đường trũn (O) đường kớnh AB cắt đường trũn (O’) đường kớnh AC tại giao điểm thứ hai là H. Một đường thẳng (d) quay quanh A cắt (O) và (O’) lần lượt tại M và N sao cho A nằm giữa M và N. a) Chứng minh C, H, B thẳng hàng và tứ giỏc BCNM là hỡnh thang vuụng. b) Chứng minh rằng: c) Gọi I là trung điểm của MN, K là trung điểm của BC. Chứng minh bốn điểm A, H, K, I cựng thuộc một đường trũn cố định. d) Xỏc định vị trớ của đường thằng (d) để diện tớch tam giỏc HMN lớn nhất. . Hết “Hố rỏc” Khớ hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.
9. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH THANH HểA Năm học: 2011 - 2012 Mụn thi: Toỏn ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phỳt, (khụng kể thời gian giao đề). Đề số 8 Cõu I (4đ) ổx-1 x + 8 ử ổ 3 x - 1 + 1 1 ử ỗỗữữ Cho biểu thức P = ỗỗ+-ữữ: ốỗỗ3+x - 110- x ứữữ ố x - 3 x - 1 - 1 x - 1 ứ 1. Rỳt gọn P 3 + 2 2 3 − 2 2 2. Tớnh giỏ trị của P khi x = 4 − 4 3 − 2 2 3 + 2 2 Cõu II (4đ) Trong cựng một hệ toạ độ, cho đường thẳng d: y = x – 2 và parabol (P): y = - x2. Gọi A và B là giao điểm của d và (P). 1. Tớnh độ dài AB. 2. Tỡm m để đường thẳng d’: y =- x = m cắt (P) tại hai điểm C và D sao cho CD = AB. Cõu III (4đ) x 2 + x = 2 y 1. Giải hệ phương trỡnh y 2 1 + y = . x 2 2. Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh 2x6 + y2 –2 x3y = 320 Cõu IV (6đ) Cho tam giỏc nhọn ABC cú AB > AC. Gọi M là trung điểm của BC; H là trực tõm; AD, BE, CF là cỏc đường cao của tam giỏc ABC. Kớ hiệu (C1) và (C2) lần lượt là đường trũn ngoại tiếp tam giỏc AEF và DKE, với K là giao điểm của EF và BC. Chứng minh rằng: 1. ME là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). 2. KH ⊥ AM. Cõu V (2đ) . Tỡm tất cả cỏc nghiệm của phương trỡnh: x y z 3 + + = Với 0 x; y; z 1 1+ y + zx 1+ z + xy 1+ x + yz x + y + z “Hố rỏc” Khớ hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.
10. PHềNG GD&ĐT LỤC NAM ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN Năm học: 2016 - 2017 Mụn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề Đề số 9 Cõu 1 (4,0 điểm) xy++ x xy x 1) Rỳt gọn biểu thức A=x++ 1 + + 1 : 1 − − x 1 với x 0;y 0; xy 1. xy+ 1 1 − xy xy − 1 xy + 1 3 3−+ 1 . 10 6 3 2017 ( ) 2 2) Cho x = , tớnh giỏ trị biểu thức P=( x +4 x − 2) . 21++ 4 5 3 Cõu 2 (5,0 điểm) 21+ 1) Cho x = là một nghiệm của phương trỡnh: ax2 + bx + 1 = 0. Với a, b là cỏc số 21− hữu tỉ. Tỡm a và b. 2) Cho P là số nguyờn tố lớn hơn 5. Chứng minh P20 – 1 chia hết cho 100. 3) Cho abc,, là độ dài của 3 cạnh một tam giỏc, chứng minh rằng: a4+ b 4 + c 4 2 a 2 b 2 + 2 a 2 c 2 + 2 b 2 c 2 Cõu 3 (4,0 điểm) 1) Tỡm cỏc số nguyờn x sao cho x3 – 3x2 + x + 2 là số chớnh phương. 6 2) Giải phương trỡnh: x2 + 3x + 2 x + 2 = 2x + x + + 5 x Cõu 4 (6,0 điểm) Cho hỡnh thoi ABCD cú AB = BD = a. Trờn tia đối của tia AB lấy điểm N, trờn tia đối của tia DB lấy điểm K sao cho AN + DK = 2a. Gọi giao điểm của CN với BD và AD thứ tự là I và M. Tia BM cắt ND tại P. 1) Chứng minh IC.CN = IN.CM. 2) Chứng minh DM.BN = a2 từ đú tớnh số đo gúc BPD. 3) Tỡm vị trớ điểm N và K để diện tớch tứ giỏc ADKN lớn nhất. Cõu 5 (1,0 điểm) 1 1 1 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng a5 + b5 + c5 + ++ ≥ 6. a b c HẾT “Hố rỏc” Khớ hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.
11. PHềNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN LỘC NINH Năm học: 2011 - 2012 Mụn thi: Toỏn ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phỳt, (khụng kể thời gian giao đề). Đề số 10 Bài 1(2.0đ): a/ Cho a,b,c cỏc số dương thỏa món: a2 + b2 + c2 = (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 và ab + bc + ca = 9. Tớnh (a + b + c)2 rồi suy ra a + b + c . 1 1 b/ Cho x, y cỏc số thực sao cho x + và y + cỏc số nguyờn. Chứng minh rằng : y x 22 1 xy + là số nguyờn. xy22 Bài 2(2.0đ): a/ Cho biểu thức : A = 2− 3 − 2 + 3 . Tớnh A2 và A − 2 b/ Tỡm x, biết : 3x2+ 6 x + 7 + 5 x 2 + 10 x + 14 = 4 − 2 x − x 2 2 Bài 3(2.5đ): Cho hàm số yx=+1 cú đồ thị (d). a/ Đơn giản hàm số (bỏ dấu và dấu ) b/ Vẽ đồ thị (d) của hàm số tỡm được ở cõu (a) Bài 4(1.0đ): Cho tam giỏc ABC cú CB−=900 và AH là đường cao của tam giỏc. Chứng minh rằng : AH2 = BH.CH. Bài 5(2.5đ): Cho nửa đường trũn tõm O đường kớnh AB = 2R và M là một điểm trờn nửa đường trũn đú (M khỏc A và B). Tiếp tuyến với đường trũn O tại M cắt cỏc tiếp tuyến Ax và By với nửa đường trũn lần lượt tại C và D. Gọi N là giao điểm của AD và BC . a/ Chứng minh MN // AC b/ Tớnh giỏ trị nhỏ nhất của tổng diện tớch của hai tam giỏc ACM và BDM. Khi dú ứng với vị trớ nào của M. “Hố rỏc” Khớ hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.
12. PHềNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN PHÙ NINH Năm học: 2009 - 2010 Mụn thi: Toỏn ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phỳt, (khụng kể thời gian giao đề). Đề số 11 Cõu 1: ( 6,0 điểm) 1) Giải phương trỡnh: x232x5+ + − + x2 − − 2x522 − = 2) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 1+ 4x + 4x22 + 4x − 12x + 9 Cõu 2: ( 3,0 điểm) 3 8 15 n2 − 1 Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiờn n 2 thỡ S= + + + + khụng 4 9 16 n2 thể là một số nguyờn. Cõu 3: ( 3,0 điểm) Trong một cuộc đua xe mụtụ, ba tay đua đó khởi hành cựng một lỳc. Mỗi giờ, người thứ hai chạy chậm hơn người thứ nhất 15km và nhanh hơn người thứ ba 3km nờn người thứ hai đến đớch chậm hơn người thứ nhất 12 phỳt và sớm hơn người thứ ba 3 phỳt. Tớnh vận tốc của ba tay đua mụtụ trờn. Cõu 4: ( 3,0 điểm) Cho tam giỏc ABC cõn ở A, đường cao AH bằng 10cm, đường cao BK bằng 12cm. Tớnh độ dài cỏc cạnh của tam giỏc ABC. Cõu 5: ( 5,0 điểm) Cho tam giỏc đều ABC cạnh bằng a và một điểm M chuyển động trờn đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC. 1) Chứng minh: nếu điểm M thuộc cung nhỏ AB thỡ MA + MB = MC. 2) Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức P = MA + MB + MC ( khi M thuộc cung nhỏ AB). Hết “Hố rỏc” Khớ hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.
13. PHềNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN KRễNG NĂNG Năm học: 2008 - 2009 Mụn thi: Toỏn ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phỳt, (khụng kể thời gian giao đề). Đề số 11 Bài 1: (2,5 điểm) a/ Chứng minh rằng : 3n4 – 14n3 + 21n2 – 10n 24 với mọi n N b/ Chứng minh rằng với mọi số nguyờn n lẻ thỡ : n2 + 4n + 5 khụng chia hết cho 8 Bài 2: (2,5 điểm)Rỳt gọn biểu thức: a) A = 4+ 2 3 − 4− 2 3 b) B = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5 Bài 3 : (3 điểm) a) Cho a, b, c là cỏc số khụng õm. Chứng minh rằng : 1+ a + b 1+ a + b + ab 2 2 + a + b b) Cho x + y = 1 và x, y đều khỏc 0. Tỡm giỏ trị lớn nhất của : 1 A = x3 + y3 + xy Bài 4: (3 điểm) Cho phương trỡnh : x2 – 2mx + m2 – 6m + 10 = 0 (1) (x là ẩn) a) Xỏc định m để phương trỡnh cú nghiệm. b) Xỏc định m để phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt đều dương. c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm phõn biệt của (1), lập một phương trỡnh bậc hai theo y cú hai nghiệm là y1 = x1–2x2, y2 = x2 – 2x1. Bài 5: (3 điểm) )Giải phương trỡnh: a) 3 2 − x + x −1 −1= 0 b) x + y + z + 4 = 2 x − 2 + 4 y − 3 + 6 z −5 Bài 6: (3 điểm) Cho đường trũn tõm O bỏn kớnh R và hai điểm A, B nằm ngoài đường trũn sao cho OA = 2R. Tỡm điểm M trờn đường trũn để AM + 2MB đạt giỏ trị nhỏ nhất. Bài 7: (3 điểm) Cho đường trũn tõm O v à đi ểm M ở trờn đ ường trũn đ ú. Đường trũn tõm M cắt đường trũn tõm O tại hai điểm phõn biệt A và B. Gọi C là điểm ở trờn đường trũn tõm M và ở miền ngoài đ ường trũn tõm O. Đường thẳng AC cắt đường trũn tõm O ở D. Chứng minh: MD vuụng gúc với BC. “Hố rỏc” Khớ hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.
14. PHềNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NINH HềA Năm học: 2009 - 2010 Mụn thi: Toỏn ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phỳt, (khụng kể thời gian giao đề). Đề số 12 Bài 1: (3đ) Chứng minh đẳng thức: 5− 3 − 29 − 12 5 = cotg450 x−4( x − 1) + x + 4( x − 1) 1 Bài 2: (4đ) Cho biểu thức Q =  1 − xx2 −−41( ) x −1 a) Tỡm điều kiện của x để Q cú nghĩa b) Rỳt gọn biểu thức Q y x−14 + x y − Bài 3: (3,5đ) Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức M = xy x22−− yz y xz Bài 4: (3,75đ) Chứng minh rằng nếu = x(11−− yz) y( xz) với x y, yz 1, xz 1, x 0, y 0, z 0 1 1 1 thỡ x+ y + z = + + x y z Bài 5: (3,75đ) Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A, M là trung điểm cạnh BC. Từ đỉnh M vẽ gúc 450 sao cho cỏc cạnh của gúc này lần lượt cắt AB, AC tại E, F. 1 Chứng minh rằng: SS MEF 4 ABC Bài 6: (2đ) Từ một điểm A ở ngoài đường trũn (O ; R), ta kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường trũn (B và C là cỏc tiếp điểm). Gọi M là một điểm bất kỳ trờn đường thẳng đi qua cỏc trung điểm của AB và AC. Kẻ tiếp tuyến MK của đường trũn (O). Chứng minh MK = MA “Hố rỏc” Khớ hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.
15. PHềNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN CÂM THỦY Năm học: 2011 - 2012 Mụn thi: Toỏn ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phỳt, (khụng kể thời gian giao đề). Đề số 13 Bài 1 ( 3,0 điểm) 2ab a + x + a − x 1 Cho cỏc số dương: a; b và x = . Xột biểu thức P = + b 2 +1 a + x − a − x 3b 1. Chứng minh P xỏc định. Rỳt gọn P. 2. Khi a và b thay đổi, hóy tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P. Bài 2 (3,0 điểm) x3 − 3x − 2 = 2 − y 3 Tỡm x; y; z thoả món hệ sau: y − 3y − 2 = 4 − 2z 3 z − 3z − 2 = 6 − 3x Bài 3 ( 3,0 điểm) n n 3 + 5 3 − 5 Với mỗi số nguyờn dương n ≤ 2008, đặt Sn = a +b , với a = ; b = . 2 2 n + 1 n + 1 n n 1. Chứng minh rằng với n ≥ 1, ta cú Sn + 2 = (a + b)( a + b ) – ab(a + b ) 2. Chứng minh rằng với mọi n thoả món điều kiện đề bài, Sn là số nguyờn. n n 2 3. Chứng minh Sn – 2 = 5 +1 5 −1 . Tỡm tất cả cỏc số n để Sn – 2 là số − 2 2 chớnh phương. Bài 4 (5,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB và điểm E nằm giữa điểm A và điểm B sao cho AE < BE. Vẽ đường trũn (O1) đường kớnh AE và đường trũn (O2) đường kớnh BE. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài MN của hai đường trũn trờn, với M là tiếp điểm thuộc (O1) và N là tiếp điểm thuộc (O2). 1. Gọi F là giao điểm của cỏc đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng đường thẳng EF vuụng gúc với đường thẳng AB. 2. Với AB = 18 cm và AE = 6 cm, vẽ đường trũn (O) đường kớnh AB. Đường thẳng MN cắt đường trũn (O) ở C và D, sao cho điểm C thuộc cung nhỏ AD. Tớnh độ dài đoạn thẳng CD. Bài 5: (4đ): Cho ABC đường thẳng d cắt AB và AC và trung tuyến AM theo thứ tự . Là E , F , N . AB AC 2AM a) Chứng minh : + = AE AF AN b) Giả sử đường thẳng d // BC. Trờn tia đối của tia FB lấy điểm K, đường thẳng KN cắt AB tại P đường thẳng KM cắt AC tại Q. Chứng minh PQ//BC. Bài 6: (2 điểm) Cho 0 < a, b,c <1 .Chứng minh rằng : 2a3 + 2b3 + 2c3 3+ a2b +b2c + c2a HẾT “Hố rỏc” Khớ hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.
16. PHềNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN THANH OAI Năm học: 2013 - 2014 Mụn thi: Toỏn ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phỳt, (khụng kể thời gian giao đề). Đề số 14 x+− y x y x++ y 2xy Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: P= + : 1 + . 1−+ xy 1 xy 1− xy a) Rỳt gọn biểu thức P. 2 b) Tớnh giỏ trị của P với x = . 23+ Bài 2: (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (D) và (L) lần lượt là đồ thị của hai hàm số: 13 yx= − + và yx= . 22 a) Vẽ đồ thị (D) và (L). b) (D) và (L) cắt nhau tại M và N. Chứng minh OMN là tam giỏc vuụng. Bài 3: (4 điểm) Giải phương trỡnh: 6x4− 5x 3 − 38x 2 − 5x + 6 = 0. Bài 4: (2 điểm) Qua đỉnh A của hỡnh vuụng ABCD cạnh là a, vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC ở M và cắt đường thẳng DC ở I. 1 1 1 Chứng minh rằng: +=. AM2 AI 2 a 2 Bài 5: (6 điểm) Cho hai đường trũn ( O ) và ( O/ ) ở ngoài nhau. Đường nối tõm OO/ cắt đường trũn ( O ) và ( O/ ) tại cỏc điểm A, B, C, D theo thứ tự trờn đường thẳng. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF, E ( O ) và F ( O/ ). Gọi M là giao điểm của AE và DF; N là giao điểm của EB và FC. Chứng minh rằng: a) Tứ giỏc MENF là hỡnh chữ nhật. b) MN ⊥ AD. c) ME.MA = MF.MD. Hết “Hố rỏc” Khớ hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.
17. PHềNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN KIM THÀNH Năm học: 2012 - 2013 Mụn thi: Toỏn ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phỳt, (khụng kể thời gian giao đề). Đề số 15 Bài 1: (4,0 điểm) 2x− 9 x + 3 2 x + 1 a) Rỳt gọn biểu thức A = −− x−5 x + 6 x − 2 3 − x b) Cho x, y, z thoả món: xy + yz + xz = 1. (1+y2 )(1 + z 2 ) (1 + z 2 )(1 + x 2 ) (1 + x 2 )(1 + y 2 ) Hóy tớnh giỏ trị biểu thức: A = x++ y z (1+++x2 ) (1 y 2 ) (1 z 2 ) Bài 2: (3,0 điểm) a) Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012 Tớnh f(a) tại a = 3316− 8 5 + 16 + 8 5 b) Tỡm số tự nhiờn n sao cho n2 + 17 là số chớnh phương? Bài 3: (4,0 điểm) Giải cỏc phương trỡnh sau: a) 1−xx + 4 + = 3 b) x2 +4 x + 5 = 2 2 x + 3 Bài 4: (3,0 điểm) a) Tỡm x; y thỏa món: 2(x y− 4 + y x − 4) = xy b) Cho a; b; c là cỏc số thuộc đoạn −1;2 thỏa món: a2 + b2 + c2 = 6 hóy chứng minh rằng: a + b + c 0 Bài 5: (6,0 điểm) Cho tam giỏc ABC nhọn; cỏc đường cao AK; BD; CE cắt nhau tại H. KC AC2+− CB 2 BA 2 a) Chứng minh: = KB CB2+− BA 2 AC 2 1 b) Giả sử: HK = AK. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3 3 2 0 c) Giả sử SABC = 120 cm và BÂC = 60 . Hóy tớnh diện tớch tam giỏc ADE? “Hố rỏc” Khớ hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.
18. PHềNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN TRỰC NINH Năm học: 2016 - 2017 Mụn thi: Toỏn ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phỳt, (khụng kể thời gian giao đề). Đề số 16 Bài 1 (4,0 điểm). 5+− 3 3 5 1) Rỳt gọn biểu thức: A = + 2+ 3 + 5 2 − 3 − 5 x22−+ x x x 2) Cho A =− x+ x +11 x − x + a) Nờu điều kiện xỏc định và rỳt gọn biểu thức A b) Đặt B = A + x – 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức B Bài 2 (4,0 điểm). Giải phương trỡnh x + 3 1) Giải phương trỡnh : x+2 x − 1 + x − 2 x − 1 = 2 2) Giải phương trỡnh: 2x22+ 5 x + 12 + 2 x + 3 x + 2 = x + 5 . Bài 3 (3,0 điểm). 1) Chứng minh rằng với k là số nguyờn thỡ 2016k + 3 khụng phải là lập phương của một số nguyờn. 2) Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh x2 −25 = y ( y + 6) Bài 4 (7,0 điểm) Cho nửa đường trũn tõm O đường kớnh AB. Gọi C là một điểm nằm trờn nửa đường trũn (O) (C khỏc A, C khỏc B). Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của C trờn AB, D là điểm đối xứng với A qua C, I là trung điểm của CH, J là trung điểm của DH. a) Chứng minh CIJã = CBHã b) Chứng minh D CJH đồng dạng với HIB c) Gọi E là giao điểm của HD và BI. Chứng minh HE.HD = HC2 d) Xỏc định vị trớ của điểm C trờn nửa đường trũn (O) để AH + CH đạt giỏ trị lớn nhất. a b c Bài 5 (2,0 điểm). Cho abc, , 0 . Chứng minh rằng + + 2 . b+ c c + a a + b HẾT “Hố rỏc” Khớ hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.
19. PHềNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN PHÚ LUONG Năm học: 2016 - 2017 Mụn thi: Toỏn ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phỳt, (khụng kể thời gian giao đề). Đề số 17 Bài 1 (2,0 điểm) x2 −+ x2 x x 21( x − ) 1) Rỳt gọn biểu thức: P = − +;xx 0, 1 x+ x +11 x x − 2 + 3 2 − 3 2) Rỳt gọn biểu thức: B = + 2 + 2 + 3 2 − 2 − 3 Bài 2 (2,0 điểm) x + 3 1) Giải phương trỡnh: x+2 x − 1 + x − 2 x − 1 = . 2 2) Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiờn n thỡ số A = n( n+1)( n + 2)( n + 3) + 1 là số chớnh phương. Bài 3 (2,0 điểm) 1) Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn cú 3 chữ số abc sao cho : 2 abc = n -1 Với n Z ; n >2 2 cba = (n − 2) 2) Cho tam giỏc ABC cú 3 cạnh a, b, c thỏa món a + b + c = 6 . Chứng minh rằng: 52 3( a2 + b2 + c2 ) + 2abc < 54 Bài 4 (3,0 điểm) Cho ABC vuụng tại A. Đường cao AH, kẻ HE, HF lần lượt vuụng gúc với AB, AC. Chứng minh rằng: 3 EB AB 1) = FC AC 2) BC . BE . CF = EF3 Bài 5 (1,0 điểm) Cho x, y, z là cỏc số dương thỏa món : x + y + z = 2016. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu x y z thức: A = + + x+ 2016x + yz y + 2016y + zx z + 2016z + xy “Hố rỏc” Khớ hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.