16 Bộ Toán 9 vào 10 chuyên các tỉnh cả nước - Năm học 2017 – 2018

Nội dung text: 16 Bộ Toán 9 vào 10 chuyên các tỉnh cả nước - Năm học 2017 – 2018

1. “Biển học” Kiến thức “Rỗng lớn” Mênh mông, chỉ lấy “Siêng năng” làm “Bờ bến” 16 Bộ Toán 9 vào 10 Chuyên các Tỉnh Cả Nước Năm học: 2017 – 2018 SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUÃNG NGÃI Năm học: 2017 – 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán – Chuyên Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề) Đề 1 Bài 1 1/ Giải phương trình: (x- 1)( x + 2) + 2 x2 + x + 1 = 0 2/ Cho x, y là các số thực dương. Chứng minh rằng: x++ y x y |- xy|| + + xy||x||y| = + 22 Đẳng thức trên còn đúng hay không, trong trường hợp x, y là các số thực âm? Tại sao? Bài 2 1/ Giả sử n số nguyên dương thõa mãn điều kiện n2 + n + 3 là số nguyên tố. Chứng minh rằng n chia 3 dư 1 và 7n2 + 6n + 2017 không phải là số chính phương. 2/ Tìm tất cả các số nguyên x, y thõa mãn phương trình 2x22+ 4y - 4xy + 2x + 1 = 2017 . Bài 3 3 2 1/ Cho đa thức P(x) = x – 6x + 15x – 11 và các số thực a, b thõa mãn P(a) = 1, P(b) = 5. Tính giá trị của a + b. 2/ Giả sử x, y là các số thực dương thay đổi và thõa mãn điều kiện x(xy + 1) = 2y2. Tìm y4 các giá trị nhỏ nhất của biểu thức H = . 1+ y2 + y 4( x 4 + x 2 ) Bài 4 1/ Cho hai điểm A, B phân biệt nằm trong góc nhọn xOy· sao cho xOA· = yOB· . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên Ox, Oy và P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên Ox, Oy. Giả sử M, N, P, Q đôi một phân biệt. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn. 2/ Cho tam giác ABC không cân, có ba góc nhọn. Một đường tròn qua B, C cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại D, E. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD, CE. a/ Chứng minh rằng các tam giác ABD, ACE đồng dạng với nhau và MAB· = NAC· . b/ Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên AB, K là hình chiếu vuông góc N lên AC và I là trung điểm của MN. Chứng minh tam giác IHK cân. Bài 5 Cho 9 số nguyên dương đôi một phân biệt, các số đó đều chỉ chứa các ước số nguyên tố 2; 3; 5. Chứng minh rằng trong 9 số đã cho, tồn tại hai số mà tích của chúng một số chính phương. Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
2. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH Năm học: 2017 – 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán – Chung Thời gian: 120 phút, (không kể thời gian giao đề) Đề 2 éù2 æöêú( x1+ ) ç 1 3 x+ 5 ÷êú Bài 1: Cho A1=ç +÷êú - với x > 0; x ¹ 1. èøçx1- x x- x - x + 1÷êú 4 x êú ëû a/ Rút gọn A b/ Đặt B=( x - x + 1) A. Chứng minh rằng: B > 1 với x > 0; x 1. Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P) y = x2 và đường thẳng (d) y = 2x + 2m + 8 (với m tham số). a/ Khi m = - 4, tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P). b/ Chứng minh rằng đường thẳng (d) và Parabol (P) luôn cắt nhau tại điểm phân biệt có hoành độ x1; x2. Tìm m để x1 + 2x2 = 2. ì 2 2 2 ï xy+ y - 2 = x + 3x Bài 3: Giải hệ phương trình: íï ï x+ y - 4 y - 1 = 0 îï Bài 4 Cho quãng đường AB dài 300km. Cùng một lúc xe ô tô thứ nhất xuất phát từ A đến B, xe ô tô thứ hai đi từ B về A. Sau khi xuất phát được 3 giờ thì hai xe gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe, biết thời gian đi cả quãng đường AB của xe thứ nhất nhiều hơn xe thứ hai là 2 giờ 30 phút. Bài 5 Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Điểm C là điểm bất kỳ trên (O), C không trùng với A, B. Tiếp tuyến tại C của (O; R) cắt tiếp tuyến tại A, B của (O; R) lần lượt tại P, Q. Gọi M là giao điểm của OP với AC, N là giao điểm của OQ với BC. a/ Chứng minh rằng: Tứ giác CMON là hình chữ nhật và AP.BQ = MN2. b/ Chứng minh rằng: AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính PQ. c/ Chứng minh rằng: PMNQ là tứ giác nội tiếp. Xác định vị trí điểm C để đường tròn ngoại tiếp tứ giác PMNQ có bán kính nhỏ nhất. Bài 6 1 1 1 Cho ba số thực dương x, y, z thõa mãn + + = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức: x2 y 2 z 2 y2 z 2 z 2 x 2 x 2 y 2 P = + + x( y2+ z 2) y( z 2 + x 2) z( x 2 + y 2 ) Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
3. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HẢI DƯƠNG Năm học: 2017 – 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán – Chuyên Nguyễn Trãi Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề) Đề 3 Bài 1 1/ Cho 3 số x, y, z đôi một khác nhau và thõa mãn điều kiện x + y + z = 0. Tính giá trị 2018(x y)(y z)(z x) của biểu thức: P = 2xy2+ 2yz 2 + 2zx 2 + 3xyz 1+- ax 1 bx 1 2a- b 2/ Rút gọn biểu thức: Q = với x = và 0 < a < b < 2a. 1-+ ax 1 bx ab Bài 2 1/ Giải phương trình: x2x+ 3 + 3( x + 5 + 1) = 3x + 2x2 + 13x15 + + 2x + 3 ì 22 ï x+ 4y13 - + (x - 3)x + y - 4 = 0 2/ Giải hệ phương trình: íï ï îï (x+ y - 3)y + (y1)x - + y + 1 = x + 3y - 5 Bài 3 1/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + 5y2 – 4xy – 4y + 3 = 0 2/ Tìm tất cả các số nguyên dương (x, y) thõa mãn: x2 + 3y và y2 + 3x là số chính phương. Bài 4 Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B (A, O, B không thẳng hàng). Trên tia đối của tia AB lấy điểm C, kẻ tiếp tuyến CD, DE với (O), trong đó D, E là các tiếp điểm và E nằm trong (O’). Đường thẳng AD, AE cắt (O’) lần lượt tại M và N (M, N khác A). Đường thẳng DE cắt MN tại I, OO’ cắt AB và DI lần lượt tại H và F. 1/ Chứng minh: FE.HD = FD.HE 2/ Chứng minh: MB.EB.DI = IB.AN.BD 3/ Chứng minh: O'I^ MN Bài 5 Cho x, y, z là ba số dương thõa mãn: x2+ y 2 + y 2 + z 2 + z 2 + x 2 = 6 . Tính giá trị x2 y 2 z 2 nhỏ nhất của biểu thức: M = + + y+ z z + x x + y Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
4. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NAM ĐỊNH Năm học: 2017 – 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán – Chuyên Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề) Đề 4 Bài 1 æ öæ ö çç1 2÷÷ 1 1/ Tìm tất cả các số tự nhiên x thõa mãn çç-÷÷ -11 ³ èççx x-+ 1 øè÷÷ x 1 ø 1 1 1 2/ Với a, b, c là các số thực thõa mãn điều kiện a + b + c = 3 và + + = 3. Tính giá a b c trị của biểu thức: P=( a - 3)2017( b - 3) 2017( c - 3) 2017 . Bài 2 1/ Giải phương trình: x+ 5 - x + 1( x2 + 6x + 5 + 1) = 4 ì ï 2 x+ 3y + 2 - 3 y = x + 2 2/ Giải hệ phương trình: íï ï îï x- 3x - 4 y + 10 = 0 Bài 3 Cho đường tròn (O), từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC, I là trung điểm của BH. Đường thẳng qua I vuông góc với OB cắt (O) tại hai điểm D, K (D thuộc cung nhỏ BC). Tia AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E. DK cắt BE tại F. 1/ Chứng minh rằng: Tứ giác ICEF nội tiếp đường tròn. 2/ Chứng minh rằng: DBH· = 2DHK· 3/ Chứng minh rằng: DB.CE = BE.CD và BF.CE2 = BE.CD2 Bài 4 1/ Tìm các số nguyên x, y thõa mãn phương trình sau: x3 + 1 = 4y2 2/ Tìm các số tự nhiên x thõa mãn biểu thức x4 – x2 – 10x – 25 là số nguyên tố. Bài 5 1/ Xét các số thực a, b, c không âm, khác I và thõa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị của 11 biểu thức P= + + (a + b)(4 + 5c) a++ bc b ac 2/ Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) bán kính R = 4cm (O nằm trong tứ giác ABCD). Xét 33 điểm phân biệt nằm trong tứ giác ABCD sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng trong 33 điểm đó luôn tìm được 3 điểm là 3 đỉnh của một tam giác có 33 diện tích nhỏ hơn (cm2). 4 Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
5. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC Năm học: 2017 – 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán – Chuyên Toán, Tin Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề) Đề 5 Bài 1: Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m2 – 3m + 1 = 0 (m tham số, x ẩn) a/ Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm. 9 b/ Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2. Chứng minh: | x+ x + x x | £ . 1 2 1 2 8 Bài 2: ì 2 ï 2x-= xy 1 Cho hệ phương trình: íï trong đó, m tham số và x, y ẩn số. ï 4x22+ 4xy - y = m îï a/ Giải hệ phương trình khi m = 7. b/ Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm. Bài 3 Cho hình thang ABCD với AD, BC là hai cạnh đáy; BC > AD. BC = BD = 1; AB = AC, CD 2017 . Trong đó kí hiệu min{ a,b,c}là số nhỏ nhất trong ba số a, b, c. Bài 5 Cho số tự nhiên n > 1 và n + 2 số nguyên dương a1; a2, , an+1 thõa mãn điều kiện 1£ a < a < < a £ 3n 1 2 n- 2 . Chứng minh rằng tồn tại hai số a,a1ij( £ j < i £ n + 2/i,j Î ¥ ) sao cho n < ai – aj < 2n. Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
6. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BẮC GIANG Năm học: 2017 – 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề) Đề 6 Bài 1 æö çx x+ x - 2 x + 2÷ x - 1 1/ Cho biểu thức A.=-ç ÷ với x³¹ 0; 1 èøç x1- x+ 3 x + 2÷ 2x + x 0 - 3 a/ Rút gọn biểu thức A x 1009+- 2017 1009 2017 b/ Tính giá trị biểu thức A khi =- 4 2 2 2/ Cho phương trình x2 – 2x – 2m – 1 = 0 (1) ( x ẩn, m tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thõa mãn: 2 x+( 2m + 5) x + 2m 2 122 12+= 22 11 x21+( 2m + 5) x + 2m Bài 2 1/ Giải phương trình: 2x22- x + 43x - = 2x - 2x2 + ì 2 2 2 ï x y+= 4 2y 2/ Giải hệ phương trình: íï ï xy+ 2 y - x = x33 y îï ( )( ) Bài 3 x+ y 2017 1/ Tìm tất cả bộ số nguyên dương (x, y, z) thõa mãn là số hữu tỉ đồng thời y+ z 2017 (y + 2)(4zx + 6y – 3) là số chính phương. 2/ Trong hình vuông cạnh 1dm đặt một số hình vuông nhỏ có tổng chu vi bằng 9dm. Chứng minh rằng luôn tồn tại một đường thẳng cắt ít nhất ba hình vuông nhỏ (không kể hình vuông bao ngoài) Bài 4 Cho tam giác OAI vuông tại A, B là điểm đối xứng với A qua đường thẳng OI. Gọi H, E lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BI. Trong đó D là giao điểm của đường thẳng AE và đường tròn(C) tâm O bán kính OA (D khác A). 1/ Chứng minh rằng: Tứ giác BHED nội tiếp. 2/Gọi J là giao điểm của đường thẳng ID và đường tròn (C) (J khác D). Chứng minh rằng: Tam giác BJA cân tại B. 3/ Gọi K là giao điểm của đường thẳng ID và đường tròn (C) (K khác D). Chứng minh rằng: IH2 = ID.IK – DH.HK Bài 5 x Cho hai số thực dương x, y thõa mãn 2 xy+= 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 y 4x P= + + 15xy. x 3y Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
7. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ TĨNH Năm học: 2017 – 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán - Chuyên Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề) Đề 7 Bài 1: 2 æö1 1 1 1 1 1 Cho a, b, c là các số thực khác 0, thõa mãnç + +÷ = + + . Chứng minh ç ÷ 2 2 2 èøça b c÷ a b c rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc. Bài 2 2 a/ Giải phương trình: 4x2 =( 3x - 2)( 2x + 1 - 1) ì 22 ï x- 2y = xy + x + y b/ Giải hệ phương trình: íï ï x 2y- y x - 1 = 4x - 4y îï Bài 3 22éù a/ Cho phương trình: (x- a) êú a( x - a) - a - 1 + 1 = 0. Tìm tất cả các giá trị tham số a ëûêú để phương trình có số nghiệm dương nhiều hơn số nghiệm âm. 1 2017 2018 b/ Cho a, b, c là các số dương thõa mãn + + £ 1. 1+ a 2017 + b 2018 + c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = abc. Bài 4: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, M là một điểm bất kỳ trên cạnh AB (M khác A và B). Gọi E là giao điểm của tia CM và tia DA. Trên tia đối của tia BA lấy điểm F sao cho BF = DE. Gọi N là trung điểm của đoạn EF. a/ Chứng minh hai tam giác EAC và NBC đồng dạng. b/ Xác định vị trí điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích tứ giác ACFE gấp 6 lần diện tích hình vuông ABCD. Bài 5 Trên một đường tròn cho 16 điểm phân biệt, dùng 3 màu xanh, đỏ, vàng để tô các điểm ấy (mỗi điểm chỉ tô một màu). Mỗi đoạn thẳng nối bắt kỳ trong 16 điểm trên được tô màu nâu hoặc màu tím. Chứng minh rằng: Với mỗi cách tô màu luôn tồn tại ít nhất một tam giác có các đỉnh cùng màu và các cạnh cũng cùng màu. Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
8. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH ĐỊNH Năm học: 2017 – 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán – Chuyên Toán (Lê Quý Đôn) Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề) Đề 8 Bài 1 æö2 ç x- 2 x + 2÷ x - 2x + 1 Cho biểu thức A =-ç ÷ èøç x- 1x++ 2 x 1÷ 2 a/ Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa. Rút gọn A. b/ Tìm x để A ³ 0 c/ Tìm giá trị lớn nhất của A. Bài 2 1/ Giải phương trình sau: 4x4 + 4x3 – 20x2 + 2x + 1 = 0. 2/ Chứng minh rằng nếu số tự nhiên abc là số nguyên tố thì b2 – 4ac không là số chính phương. Bài 3 2 Cho đa thức f(x) = x – 2(m + 2)x + 6m + 1 (m tham số). Bằng cách đặt x = t + 2. Tính t(x) theo t và tìm điều kiện của m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2. Bài 4 1/ Cho đường tròn (T) tâm O bán kính AB, trên tiếp tuyến tại A lấy một điểm P khác A, điểm K thuộc đoạn OB (K khác O và B). Đường thẳng PK cắt đường tròn (T) tại C và D (C nằm giữa P và D). H trung điểm của CD. a/ Chứng minh tứ giác AOHP nội tiếp đường tròn. b/ Kẻ DI // PO, điểm I thuộc AB, chứng minh: PDI· = BAH· c/ Chứng minh đẳng thức PA2 = PC.PD d/ BC cắt OP tại J, chứng minh Ạ // DB. 2/ Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ điểm I thuộc miền trong tam giác, kẻ IM^ BC , kẻ IN^^ AC,IK AB. Tìm vị trí của I sao cho tổng IM2 + IN2 + IK2 nhỏ nhất. Bài 5 Cho các số thực dương x, y, z thõa mãn xyz£ 1. Chứng minh rằng: x( 1 y3) y( 1 z 3) z( 1 x 3) + + ³ 0 y3 z 3 x 3 Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
9. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGHỆ AN Năm học: 2017 – 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán – Chuyên Phan Bội Châu. Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề) Đề 9 Bài 1 a/ Giải phương trình: 3x+ 7x - 4 = 14x + 4 - 20 ì 2 ï 6x+ 4y + 2 =( x + 1) b/ Giải hệ phương trình: íï ï 2 îï 6y+ 4x - 2 =( y - 1) Bài 2 Tìm số tự nhiên n thõa mãn S(n) = n2 – 2017n + 10 với S(n) là tổng các chữ số của n. Bài 3 Cho các số thực dương a, b, c thõa mãn ca³ . Chứng minh rằng: æa ö2 æ b ö 2 æ c ö 2 3 ç÷+ ç ÷ +4 ç ÷ ³ èça+ b ø÷ èç b + c ø÷ èç c + a ø÷ 2 Bài 4 Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M khác A. Qua M kẻ các tiếp tuyến MC, MD với (O’) (C, D là các tiếp điểm và D nằm trong (O)). a/ Chứng minh rằng: AD.BC = AC.DB b/ Các đường thẳng AC, AD cắt (O) lần lượt tại E, F (E, F khác A). Chứng minh đường thẳng CD đi qua trung điểm của È. c/ Chứng minh đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi. Bài 5 Trong đường tròn (O) có bán kính bằng 21 đơn vị, cho 399 điểm bắt kỳ A1; A2; ; A99. Chứng minh rằng tồn tại vô số đường tròn có bán kính bằng 1 đơn vị nằm trong đường tròn (O) và không chứa điểm nào trong 399 điểm A1; A2; ; A399. Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
10. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NINH BÌNH Năm học: 2017 – 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán – Chuyên Toán Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề) Đề 10 Bài 1 3 a a++ 1 5 a 2 Cho P = + + với a³¹ 0;a 4 a+- 2 a 2 4a- a/ Rút gọn biểu thức P 84 84 b/ Tính giá trị biểu thức P khi a=33 1 + + 1 - 99 Bài 2 a/ Giải phương trình: ( x+ 4 - x - 1)( x2 + 3x - 4 + 1) = 5 ïì x33- 3x = y + y b/ Giải hệ phương trình: íï ï 22 îï x=+ y 3 Bài 3 a/ Cho các số hữu tỉ a,b,c thõa mãn ab + bc + ca = 2017. Chứng minh răng: (a2+ 2017)( b 2 + 2017)( c 2 + 2017) là một số hữu tỉ. b/ Tìm x, y nguyên dương thõa mãn phương trình: 7x2 + 3y2 = 714 Bài 4 Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B (O và O’ thuộc hai nửa mặt phẳng bờ AB). Tiếp tuyến chung gần B của hai đường tròn lần lượt tiếp xúc với (O) và (O’) tại C, D. Qua A kẻ đường thẳng song song với CD lần lượt cắt (O) và (O’) tại M, N (M, N khác A). Các đường thẳng CM và DN cắt nhau tại E. Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng MN với đường thẳng BC và đường thẳng BD. Chứng minh rằng: a/ Đường thẳng AE ^ CD b/ Tứ giác BCED nội tiếp. c/ Tam giác EPQ cân. Bài 5 Cho các số thực a, b, c thõa mãn điều kiện a + b + c = 2018. Tìm giá trị lớn nhất của biểu a b c thức: P = + + . a+ 2018a + bc b + 2018b + ca c + 2018c + ab Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
11. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN TP. ĐÀ NẴNG Năm học: 2017 – 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán – Chuyên Lê Quý Đôn Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề) Đề 11 Bài 1 æöx+ 1 1 1 x a/ Giải bất phương trình:ç + -÷: ³ 2017 + 2017 èøç x+ 1 x + x x÷ x + 2 x + 1 33xy( 33 x- 2 y) b/ Cho các số dương x,y thõa mãn x=+ 4y 2xy . Tính P = 2xy Bài 2 a/ Cho phương trình x2 + 2(2m – 1)x – 3m = 0 với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x12 ,x sao cho biểu thức 22 2( x12+ x ) Q = đạt giá trị nguyên. xx12+ b/ Cho phương trình trình ax2 + bx + c = 0 với a, b, c là các số thực a ¹ 0 và 2a + b + c = 0. Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Tìm các nghiệm 2 đó khi biểu thức T=( x1 - x 2) + 2( x 1 + x 2 ) đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 3 3 a/ Giải phương trình: (x+ 1) =( x43 + 3x) x + 3 ì 22 ï x+ y + xy = 1 b/ Giải hệ phương trình: íï ï 2x6- 1 = xy 2x 2 y 2 - 3 îï ( ) Bài 4 Các điểm A1; A2; .; A2n (n2³ ) được sắp xếp theo thứ tự đó trên đường tròn (O) và chia đường tròn thành 2n cung tròn bằng nhau. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k thõa điều kiện 2< k £ 2n + 1 ta đều có hai dây cung A1Ak và A2Ak+n-1 vuông góc với nhau. Bài 5 a/ Cho tam giác nhọn ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn tâm O đường đường kính AD. Hai đoạn thẳng BC và AD cắt nhau tại I. Gọi M là điểm nằm trên đoạn thẳng CI (M khác C và I). Đường thẳng qua M song song với BD cắt CD tại K; đường thẳng qua M song song với CD cắt BD tại Q. Chứng minh rằng: AM vuông góc với QK. Bài 6 Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thõa mãn điều kiện 5x.3y + 1 = (3z + 2) Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
12. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN PHÚ THỌ Năm học: 2017 – 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán – Chuyên Hùng Vương Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề) Đề 12 Bài 1 a/ Cho 3 số a, b, c đôi một khác nhau thõa mãn a2 + b = b2 + c = c2 + a. Tính giá trị của biểu thức: T = (a + b – 1)(b + c – 1)(c + a -1 ) b/ Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt. xx43+ x22+ 3mx + 2m = 2 Bài 2 a/ Tìm các số nguyên m sao cho m2 + 12 là số chính phương. b/ Chứng minh rằng trong 11 số nguyên tố phân biệt, lớn hơn 2 bất kỳ luôn chọn được hai số gọi là a, b sao cho a2 – b2 chia hết cho 60. Bài 3 a/ Giải phương trình: 4x2 + 5 + 3x + 1 = 13x ì ï 2x+= 2y 6 b/ Giải hệ phương trình : íï ï 2x+ 5 + 2y + 9 = 8 îï Bài 4 Cho tam giác ABC cân với BAC· = 1200 , nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là giao điểm của đường thẳng AC với tiếp tuyến của (O) tại B; E là giao điểm của đường thẳng BO với đường tròn (O) (E ¹ B); F, I lần lượt là giao điểm của DO với AB, BC; M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. a/ CMR: Tứ giác ADBN nội tiếp. b/ CMR: Ba điểm F, N, E thẳng hàng. c/ CMR: Các đường thẳng MI, BO, FN đồng quy. Bài 5 Cho các số không âm x, y, z thõa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ 9 nhất của biểu thức: P= x2 + y 2 + z 2 + xyz 2 Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
13. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NINH Năm học: 2017 – 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán – Chuyên Hạ Long Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề) Đề 13 Bài 1 æ öæ ö çç3 3÷÷ x 3 Cho biểu thức: A1=çç +÷÷ + + (với x¹¹ 0;x 3 ) çç23÷÷ èççx+ x 3 + 3 x - 27 øè÷÷ 3 x ø 1/ Rút gọn biểu thức A 2/ Tính giá trị của biểu thức A khi x= 3 + 5 - 3 - 29 - 12 5 Bài 2 1/ Giải phương trình: x32- x - x x - 1 - 2 = 0 ì 22 ï x+ xy - 2y = 0 2/ Giải hệ phương trình: íï ï xy+ 3y2 + x = 3 îï Bài 3 Tìm các số tự nhiên n để A = n2018 + n2018 + 1 là số nguyên tố. Bài 4 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, M là một điểm tùy ý thuộc đường tròn (M khác A và B). Qua A và B lần lượt kẻ các đường thẳng d và d’ tiếp tuyến với đường tròn. Tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt d và d’ lần lượt tại C và D. Đường thẳng BM cắt d tại E. 1/ Chứng minh rằng: CM = CA = CE 2/ Chứng minh rằng: AD^ OE 3/ Tính độ dài đoạn thẳng AM theo R, nếu AE = BD. Bài 5 Cho a, b thõa mãn | a |³³ 2;| b | 2 . Chứng minh rằng: (a22+ 1)( b + 1) ³( a + b)( ab + 1) + 5 Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
14. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH THUẬN Năm học: 2017 – 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán – Chuyên Trần Hưng Đạo Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề) Đề 14 Bài 1 ì 2 ï y+= 1 xy Giải hệ phương trình: íï ï x22+ y + 1 + 2 x + y = 0 îï ( ) Bài 2 Cho n số nguyên a1; a2; .; an thõa mãn S = a1 + a2 + a3 + + an chia hết cho 6. Chứng 3 3 3 3 minh rằng: P= a1 + a 2 + a 3 + + a n cũng chia hết cho 6. Bài 3 Cho x, y, z là các số thực dương thõa: x + y + z = 4. Chứng minh rằng: æ öæ öæ ö çy÷÷÷ ç z ç x ç1xy+ +÷÷÷ ç 1yz + + ç 1zx + + ³ 27 èçz øè÷÷÷ ç x øè ç y ø Dấu “=” xảy ra khi nào? Bài 4 Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có AD là đường cao. H là trực tâm của tam giác ABC. Tia BH cắt đường tròn đường kính AC tại E, F sao cho BE < BF, tia CH cắt đường tròn đường kính AB tại G, K sao cho CG < CK, đường tròn ngoại tiếp tam giác EDG cắt BC tại điểm thứ hai P. a/ Chứng minh rằng: A là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác KEGF. b/ Chứng minh rằng: Ba điểm B, E, K thẳng hàng. c/ Chứng minh rằng: Bốn điểm K, D, P, F cùng thuộc một đường tròn. Bài 5 Trong ngày quốc tế thiếu nhi 1/6 vừa qua, có 97 em nhỏ đến từ 3 trường của một huyện miền núi được nhận mỗi em một món quà. Biết rằng chỉ có 4 loại quà được phát ra trong 5 em nhỏ bất kỳ đến từ cùng một trường, nhận cùng một loại quà thì có 2 em cùng tuổi. Chứng minh rằng luôn có 3 em nhỏ đến từ cùng một trường, cùng tuổi và nhận cùng một loại quà. Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
15. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÒA BÌNH Năm học: 2017 – 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán (Chung) - Hoàng Văn Thụ Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề) Đề 15 Bài 1 1/ Rút gọn các biểu thức sau: a / A= 5 - 125 + 3 45 b / B= 9 + 4 5 - 9 - 4 5 2x 2/ Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức sau: C=- (x 1) x2 -+ 2x 1 Bài 2 1/ Trong hệ trục tọa độ Oxy, hãy vẽ đồ thị hàm số y = 2x – 2 12 2/ Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BC = 5cm, AH= cm . Tính độ 5 dài cạnh AB và AC. ì 2 ï x+ y - 5 = 20 - y 3/ Giải hệ phương trình: íï ï xy=+ x2 5 îï Bài 3 Hai vật chuyển động với vận tốc không đổi trên một đường tròn có bán kính 20m, xuất phát cùng một lúc từ cùng một điểm. Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ sau 20 giây lại gặp nhau, nếu chúng chuyển động ngược chiều thì cứ sau 4 giây lại gặp nhau. Hãy tính vận tốc của mỗi vật. Bài 4 Cho đường tròn tâm O đường kính MN và dây cung PQ với góc với MN tại I (I khác M và N). Trên cung nhỏ NP lấy điểm J (J khác N và P), nối M với J cắt PQ tại H. Gọi giao điểm của PN với MJ là G, giao điểm của JQ với MN là K. Chứng minh rằng: 1/ Tứ giác GKNJ nội tiếp. 2/ KG /// PQ 3/ Điểm G là tâm đường tròn nội tiếp tam giác PKJ. Bài 5 Cho x, y, z các số tự nhiên thõa mãn: x + y + z = 2017. Tìm giá trị lớn nhất của P = xyz. Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
16. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG TRỊ Năm học: 2017 – 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề) Đề 16 3+ 5 - 13 + 48 Bài 1: Rút gọn biểu thức: A = 62+ Bài 2: x22 y 1 Cho biểu thức P = + + . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P trong các y x x+ y trường hợp sau: a/ x, y các số thực dương. b/ x, y các số nguyên dương. Bài 3 a/ Giải phương trình: 2 3- x + 2 + x = 5 ì 33 ï x+ y + 1 = 3xy b/ Giải hệ phương trình: íï ï x22+ 2xy + 2y = 5 îï Bài 4 4 a/ Tìm chữ số tận cùng của a= 20176 b/ Tìm tất cả các nghiệm nguyên (x,y) của phương trình: 7(x + y) = 3(x2 + xy + y2) Bài 5 Cho đường tròn tâm O, đường kính BC. A là một điểm tuộc đường tròn (A khác B, C). H là hình chiếu của điểm A trên BC. Vẽ đường tròn tâm (I) có đường kính AH cắt AB và AC lần lượt tại M và N. a/ CMR: Tứ giác BMNC nội tiếp. b/ Vẽ đường kính AK của đường tròn (O). Gọi E là trung điểm của HK. Chứng minh rằng: EM = EB Bài 6 Cho tam giác ABC nhọn. Gọi M là trung điểm của BC. Kẻ BH^Î AC(H AC) . Đường thẳng vuông góc với AM tại A cắt BH tại E. Gọi F là điểm đối xứng với E qua A, K là giao điểm của CF và AB. Chứng minh rằng M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CHK. Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.