Tổng hợp lý thuyết Toán Lớp 9

Nội dung text: Tổng hợp lý thuyết Toán Lớp 9

1. C|c công thức lũy thừa: 1 1. an = a . a . a 2. a0 = 1 ∀ a ≠ 0 3. a−n = an m thừa số am 4. an . am = an+m 5. = am−n 6. an . bn = a. b n an n n m a a n 7. = 8. an m = an.m 9. am = a n bn b m n k n.k 1 n n a với n = 2k + 1 10. a = a 11. a n = n 12. a = am a với n = 2k 7 hằng đẳng thức đ|ng nhớ: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 a2 − b2 = a − b (a + b) a + b 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 a − b 3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 a3 − b3 = a − b a2 + ab + b2 a3 + b3 = a + b a2 − ab + b2 Mở rộng: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac (a + b − c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab − 2bc − 2ac (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3 a + b b + c (c + a) Các phép toán cộng trừ nh}n chia đơn thức – đa thức Đơn thức: Đơn thức: L{ biểu thức chỉ gồm một số, một biến hoặc tích c|c số v{ c|c biến: 3; 3xy; trong biểu thức không có phép to|n cộng trừ Bậc của đơn thức l{ tổng số mũ của c|c biến: 3xy2z3: bậc 6 Đơn thức đồng dạng: l{ đơn thức giống nhau phần biến nhưng kh|c hệ số: 2xy; -3xy; 5xy Cộng, trừ đơn thức đồng dạng ta cộng hệ số còn giữ nguyên phần biến: 2xy+5xy = 7xy Nh}n 2 đơn thức: Nh}n hệ số với hệ số, biến với biến: 3xy2. 2x3y5 = 6x4y7 Chia hai đơn thức: Ta chia hệ số cho hệ số, biến cho biến: −12x3y2: 2x3y = −6xy Đa thức: Đa thức: l{ tổng c|c đơn thức trong biểu thức có phép to|n cộng trừ : 2x+3y-5; Bậc của đa thức l{ bậc của đơn thức cao nhất: 3xy2 − x4 + 12xy7 : Bậc 8 vì đơn thức có bậc cao nhất l{ 12xy7) Cộng trừ đa thức ta cộng c|c đơn thức đồng dạng với nhau: 3xy2 + xy − 2xy2 + 6xy = xy2 + 7xy Nh}n đơn thức với đa thức: Ta nh}n đơn thức với từng hạng tử của đa thức: 2xy x − 2y + 3 = 2xy. x − 2xy. 2y + 2xy. 3 = 2x2y − 4xy2 + 6xy Gv: Nguyễn Chí Thành
2. Nh}n hai đa thức: ta lấy từng hạng tử của đa thức n{y nh}n với từng hạng tử của đa thức kia: x − 2 x2 + 3y = x. x2 + x. 3y − 2. x2 − 2.3y = x3 + 3xy − 2x2 − 6y Chia đa thức cho đơn thức: Ta chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức: 2xy2 + 4x3y2 − 6x4y : xy = 2xy2: xy + 4x3y2: xy − 6x4y: xy = 2y + 4x2y − 6x3 Chia đa thức cho đa thức: Ta kẻ cột rồi thực hiện phép chia: Gi| trị tuyệt đối A ≥ 0 ∀ A : −3 = 3; 3 = 3 A nếu A ≥ 0 A = −A nếu A ≤ 0 f x = g(x) f x = g x  f x = −g(x) f x = g(x) f x = g(x) * . Điều kiện: g x ≥ 0 . (*)  . Tìm x , so s|nh đk v{ kết luận. f x = −g(x) Chú ý: 퐟 퐱 = 퐟(퐱)  퐟 퐱 ≥ ; 퐟 퐱 = − 퐟(퐱)  퐟 퐱 ≤ f x + g x + |k x |. . = L(x) : Cách 1: Xét dấu trên c|c khoảng rồi ph| dấu GTTĐ. Cách 2: Điều kiện L x ≥ 0 rồi dùng điều kiện của x tìm được để ph| dấu GTTĐ. Cách 3: Dùng bất đẳng thức: A + B ≥ A + B . Dấu bằng xảy ra khi : A. B ≥ 0 f x > : f x > ( ) Nếu a TH2: f x ≤ −a f(x)2 > g(x)2 g x ≥ 0 f x 0 => −a a Chú ý: x2 > a  với a > 0 . x2 <  − a < < a x < − a Phương trình chứa căn A ≥ 0 A ≥ 0 A = B  B ≥ 0 A = B  B ≥ 0 A = B A = B2 Gv: Nguyễn Chí Thành
3. B  B ≥ 0 A 0 A > B2 A ≥ 0 A 0 f(x) + g(x) = h(x)  A < B2 Điều kiện Chuyển vế( để hai vế dương) Bình phương hai vế Bất đẳng thức Bất đẳng thức AM-GM : n a1 + a2 + ⋯ an ≥ n a1. a2 an Tổng qu|t . Dấu bằng xảy ra khi: a1 = a2 = ⋯ an a + b ≥ 2 ab . Dấu bằng xảy ra khi: a = b a + b + c ≥ 33 abc . Dấu bằng xảy ra khi: a = b = c 1 1 4 + ≥ . Dấu bằng xảy ra khi: a = b a b a+b 1 1 1 9 + + ≥ . Dấu bằng xảy ra khi: a = b = c a b c a+b+c a2 + b2 ≥ 2ab . Dấu bằng xảy ra khi: a = b Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (Bunyakovsky): 2 2 2 2 2 2 2 Tổng qu|t: a1b1 + a2b2 + ⋯ an bn ≤ a1 + a2+. . an b1 + b2+. . bn . Dấu bằng xảy ra khi: a a a 1 = 2 n b1 b2 bn 2 2 2 2 2 a1 a2 a1b1 + a2b2 ≤ a1 + a2 b1 + b2 . Dấu bằng xảy ra khi: = b1 b2 Bất đẳng thức Schwarz x2 x2 x2 x +x +⋯x 2 x x x 1 + 2 + ⋯ n ≥ 1 2 n . Dấu bằng xảy ra khi: 1 = 2 = ⋯ n a1 a2 an a1+a2+⋯an a1 a2 an Bất đẳng thức Trê- bư-sép: a ≥ a . . . ≥ a 1 2 n b ≤ b ≤ b a b +a b +⋯a b a +a +a b +b +b Với 1 2 n thì 1 1 2 2 n n ≥ 1 2 n . 1 2 n . Dấu bằng xảy ra : a ≤ a . . . ≤ a n n n 1 2 n b1 ≥ b2 ≥ bn a = a . . . = a 1 2 n b1 = b2 = bn Gv: Nguyễn Chí Thành
4. Bất đẳng thức Bernoulli Với x > −1; > 1 hoặc r ≤ 0 => (1 + x)r ≥ 1 + rx Với 0 (1 + x)r ≤ 1 + rx Bất đẳng thức Netbitt : x y z 3 + + ≥ . Dấu bằng xảy ra khi x = y = z > 0 y+z x+z x+y 2 x y z t + + + ≥ 2 . Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = t > 0 y+z z+t x+t x+y Bất đẳng thức trung bình cộng: a1+a2 +an n ≥ 1 1 1 . Dấu bằng xảy ra khi: a1 = a2. . . = an n + +⋯ a1 a2 an Bất đẳng thức gi| trị tuyệt đối: x + y ≥ x + y . Dấu bằng xảy ra khi: xy ≥ 0 x − y ≤ x − y . Dấu bằng xảy ra khi: x − y y ≥ 0 Bất đẳng thức Mincopxki 2 2 2 2 2 2 2 2 a1 + b1+ a2 + b2 + ⋯ an + bn ≥ a1 + a2 + ⋯ an + b1 + b2 + ⋯ bn 3 abc + 3 xyz ≤ 3 a + x b + y (c + z) ac + bd ≤ a + b (c + d) Căn bậc 2, căn bậc 3. Số dương a có hai căn bậc hai l{ a và − a Số dương a có hai căn bậc hai số học l{ a A nếu A ≥ 0 A2 = A = −A nếu A < 0 A A A. B = AB ; = ; A2B = A . B B B A A B C C( A ∓ B) Trục căn thức: = ; = ; B B A ± B A−B 3 3 a3 = a; 3 a = a : Biểu thức trong căn bậc 3 không cần điều kiện. Biểu thức có nghĩa x|c định : Nếu có căn thì căn ≥ 0. Nếu có mẫu thì mẫu ≠ 0. Gv: Nguyễn Chí Thành
5. 1 A có nghĩa  A 0 có nghĩa  A > 0 A f(x) f(x) f(x) ≥ 0 có nghĩa khi g x ≠ 0 có nghĩa khi g(x) g(x) g(x) g(x) ≠ 0 f(x) ≥ a Nếu f x ≥ a thì với a>0 f(x) ≤ −a Nếu f x ≤ a thì -a ≤ f x ≤ a. với a>0 f(x) ≥ a Nếu f2 x ≥ a thì f x ≤ − a Nếu f2 x ≤ a thì - a ≤ f x ≤ a . x−a x − a x − b ≥ 0; ≥ 0 : Ta kẻ bảng xét dấu x−b C|c bước l{m b{i to|n rút gọn Bước 1: Tìm ĐKXĐ. Bước 2: Ph}n tích tử số v{ mẫu số th{nh nh}n tử có thể rút gọn nếu tử v{ mẫu có nh}n tử chung Bước 3: Tìm MSC rồi quy đồng, rút gọn. Chú ý: 퐚퐱 + 퐛 퐱 + 퐜 = có hai nghiệm l{ 퐱 ; 퐱 thì 퐚퐱 + 퐛 퐱 + 퐜 = 퐚 퐱 − 퐱 퐱 − 퐱 퐱 퐱 − = 퐱 − = 퐱 − 퐱 + 퐱 + So s|nh biểu thức với một số A − a ≥ 0 thì A ≥ a Để so s|nh A với a ta xét hiệu a ta xét hiệu A − a rồi đ|nh gi|: Nếu A − a 0 ta so s|nh A với 1: Nếu 0 0 h{m số đồng biến hoặc tạo với Ox góc nhọn hoặc đt có hướng đi lên Nếu a x v{ giao với Oy x=0 => y rồi vẽ. Gv: Nguyễn Chí Thành
6. Giao điểm của hai đồ thị y= f x v{ y = g x : Xét phương trình ho{nh độ giao điểm : f x =g x => x => y. Vị trí tương đối của hai đường thẳng: 퐲 = 퐚 퐱 + 퐛 ; 퐲 = 퐚 퐱 + 퐛 a1 = a2 a1 = a2 Cắt nhau: a1 ≠ a2 Song song: Trùng nhau: Vuông góc: b1 ≠ b2 b1 = b2 a1. a2 = −1 Hai đường thẳng 퐲 = 퐚 퐱 + 퐛 và 퐲 = 퐚 퐱 + 퐛 cắt nhau tại một điểm nằm trên trục ho{nh Ox - Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau : a1 ≠ a2 b b - Tìm giao điểm của đường thẳng thứ nhất với Ox: y = 0; x = − 1 suy ra A(− 1 ; 0 ) a1 a1 b b - Tìm giao điểm của đường thẳng thứ nhất với Ox: y = 0; x = − 2 suy ra B(− 2 ; 0) a2 a2 a1 ≠ a2 b b - Để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc Ox thì A ≡ B nên : 1 = 2 a1 a2 Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc trục tung Oy - Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau : a1 ≠ a2 - Tìm giao điểm của đường thẳng thứ nhất với Oy: x= 0; y = b1 suy ra A(0; b1 ) - Tìm giao điểm của đường thẳng thứ nhất với Oy: x = 0; y = b2 suy ra B(0; b2 ) a ≠ a - Để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc Oy thì A ≡ B nên : 1 2 b1 = b2 Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm có ho{nh độ m: - Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau: a1 ≠ a2 - Thay x =m v{o đường thẳng thứ nhất để tìm y. -Thay x= m v{ y tìm được ở bước 2 v{o đường thẳng thứ 2 để tìm m. - Kết hợp c|c điều kiện để kết luận. Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có tung độ y=m. - Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau: a1 ≠ a2 - Thay y =m v{o đường thẳng thứ nhất để tìm x. - Thay y= m v{ x tìm được ở bước 2 v{o đường thẳng thứ 2 để tìm m. - Kết hợp c|c điều kiện để kết luận. Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A 퐱 , 퐲 ); B(퐱 , 퐲 ) Gọi phương trình đường thẳng l{ y=a.x+b 1 - Thay tọa độ của A x1, y1); B(x2, y2) v{o 1 ta được hệ phương trình: Gv: Nguyễn Chí Thành
7. y = a. x + b 1 1 từ hệ phương trình trên tìm được a,b thay v{o 1 ta được phương trình đường y2 = a. x2 + b thẳng. Lập phương trình đường thẳng qua A 퐱 , 퐲 ) v{ có hệ số góc l{ k: Gọi đường thẳng l{ y=ax+b. Vì hệ số góc l{ k nên a=k. Vì đường thẳng qua A x1, y1) nên thay tọa độ A v{o đường thẳng để tìm b. Lập phương trình đường thẳng biết 1 điều kiện K v{ tiếp xúc với Parabol: Gọi đường thẳng l{ y = ax+b. Dựa v{o điều kiện K để tìm mối liên hệ giữa a v{ b. Dùng điều kiện tiếp xúc : ∆= 0 để tìm 1 phương trình liên quan giữa a v{ b. Kết hợp hai phương trình ở trên để tìm a, b. Tính khoảng c|ch từ gốc tọa độ đến đường thẳng: Để tính khoảng c|ch từ điểm O 0;0 đến một đường thẳng, ta tìm giao điểm của đường thẳng với hai trục Ox v{ Oy l{ A v{ B. Từ O kẻ OH vuông góc AB rồi tính OH dựa v{o tam gi|c vuông OAB. Tìm điểm cố định của y= f x,m chứng minh đồ thị luôn đi qua điểm cố định hoặc tìm điểm m{ đồ thị luôn đi qua với mọi m : Bước 1: Chuyển y= f x,m về dạng: f x,m -y=0 Bước 2: Nhóm c|c số chứa m lại với nhau: m.f x +g x,y =0 f x = 0 x =? Bước 3: Gọi I x,y l{ điểm cố định, suy ra => suy ra điểm cố định I. g x, y = 0 y =? Chứng minh 3 điểm trên tọa độ không thẳng h{ng thẳng h{ng . Tìm m để 3 điểm thẳng h{ng: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm, thay tọa độ điểm thứ 3 v{o, nếu thỏa m~n thì 3 điểm thẳng h{ng, nếu không thỏa m~n thì 3 điểm không thẳng h{ng. Tìm m để 3 đường thẳng đồng quy cùng đi qua 1 điểm : Tìm giao điểm của 2 đường thẳng 2 đường thẳng không chứa m để 3 đường thẳng đồng quy thì giao điểm đó phải thuộc đường thẳng thứ 3, Thay tọa độ giao điểm v{o đường thẳng thứ 3 tìm được m. H{m số 풚 = 풙 ( ≠ ) Nếu a > 0 thì h{m số nghịch biến khi x 0. Nếu a 0. H{m số đạt GTNN bằng 0 khi a > 0. H{m số đạt GTLN bằng 0 khi a < 0. Gv: Nguyễn Chí Thành
8. Vẽ đồ thị h{m số y= ax2 a≠ 0 : Đồ thị h{m số nhận Oy l{m trục đối xứng, C|c em kẻ bảng c|c gi| trị tương ứng x, y, tìm 5 điểm đồ thị đi qua rồi vẽ. Giao điểm h{m số bậc nhất y=f x =mx+n v{ bậc hai y=g(x)=ax2+bx+c: - Xét ho{nh độ giao điểm của 2 đồ thị thỏa m~n phương trình: f x =g x . - Đưa phương trình về dạng: Ax2 +Bx+C=0 (1). ≠ 0 - Để hai đồ thị tiếp xúc nhau thì phương trình 1 có nghiệm kép: ∆= 2 − 4 = 0 - Để hai đồ thị không cắt nhau thì phương trình 1 vô nghiệm: + Xét A=0. + Xét A≠ 0. Phương trình vô nghiệm khi: ∆= 2 − 4 0 퐚 퐱 + 퐛 퐲 = 퐜 Hệ phương trình 퐚 퐱 + 퐛 퐲 = 퐜 Giải hệ phương trình bằng phương ph|p thế: Rút x hoặc y từ một phương trình rồi thế v{o phương trình còn lại Giải hệ phương trình bằng phương ph|p cộng: Nh}n thêm v{o hai phương trình c|c hệ số phụ của cùng một ẩn rồi cộng hoặc trừ hai phương trình cho nhau. Giải hệ phương trình bằng phương ph|p đặt ẩn phụ: Khi đặt ẩn phụ cần chú ý điều kiện cho ẩn phụ 퐚 퐱 + 퐛 퐲 = 퐜 Giải v{ biện luận hệ phương trình: 퐚 퐱 + 퐛 퐲 = 퐜 C|ch 1 : Dùng vị trí tương đối của hai đường thẳng a b - Nếu 1 ≠ 1 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất a2 b2 a b c -Nếu 1 = 1 ≠ 1 Hệ phương trình vô nghiệm a2 b2 c2 a b c -Nếu 1 = 1 = 1 Hệ phương trình vô số nghiệm a2 b2 c2 C|ch 2: Dùng phương ph|p thế đưa về phương trình bậc nhất ax=b 1 Xét a =0; b=0. Phương trình 1 có vô số nghiệm nên hệ phương trình có vô số nghiệm. Xét a=0; b ≠ 0. Phương trình 1 vô nghiệm nên hệ vô nghiệm. Xét a ≠ 0. Phương trình 1 có nghiệm duy nhất nên hệ có nghiệm duy nhất. Gv: Nguyễn Chí Thành
9. 퐚 퐱 + 퐛 퐲 = 퐜 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa m~n điều kiện K. 퐚 퐱 + 퐛 퐲 = 퐜 a b - Tìm điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất: 1 ≠ 1. a2 b2 - Dùng phương ph|p cộng hoặc phương ph|p thế để tính x, y theo m. - Thay x, y v{o điều kiện K để tìm m, đối chiếu với điều kiện v{ kết luận. Giải b{i to|n bằng c|ch lập phương trình- Hệ phương trình Bước 1: Lập phương trình. – Chọn ẩn số v{ đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số. – Biểu diễn c|c đại lượng chưa biết kh|c theo ẩn v{ c|c đại lượng đ~ biết. – Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa c|c đại lượng. Bước 2: Giải phương trình. Bước 3: Kết luận: Kiểm tra xem trong c|c nghiệm của phương trình, nghiệm n{o thoả m~n điều kiện của ẩn, nghiệm n{o không, rồi kết luận. C|c công thức: Qu~ng đường – vận tốc – thời gian : 푆 = 푣. 푡 = + Chuyển động trên dòng nước: ô푖 푛 푛 푛 ượ = 푛 − 푛 ổ푛 푠ả푛 푕ẩ Năng suất: ă푛 푠 ấ푡 = 푡푕ờ푖 푖 푛 Diện tích hình vuông : 2 Chu vi hình vuông : 4 Diện tích hình chữ nhật : Chu vi hình chữ nhật : 2( + ) 1 Diện tích tam gi|c : đ| 푕푖ề 표 2 1 Diện tích tam gi|c vuông : 푡í 푕 푕 푖 ạ푛푕 ó 푣 ô푛 2 2. 3 Diện tích tam gi|c đều : 4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 1. C|ch giải phương trình bậc hai: ax2 bx c 0 ( a 0). Tính b2 4 ac : bb Nếu > 0 thì phương trình có 2 nghiệm ph}n biệt xx ; . 1222aa b Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép xx . 12 2a Nếu 0. Khi đó phương trình có 2 nghiệm ph}n biệt. 2. Công thức nghiệm thu gọn : Đối với phương trình bậc hai và bb 2 , Gv: Nguyễn Chí Thành
10. b2 ac : bb Nếu > 0 thì phương trình có 2 nghiệm ph}n biệt xx ; . 12aa b Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép xx . 12 a Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm. 3. Hệ thức Viet 2 Định lí Viet: Nếu xx12, l{ c|c nghiệm của phương trình ax bx c 0 ( a 0) thì: bc x x ; x x 1 2aa 1 2 Nếu hai số có tổng bằng S v{ tích bằng P thì hai số đó l{ hai nghiệm của phương trình: X2 SX P 0 Điều kiện để có hai số đó l{: SP2 40). Chú ý: Giải phương trình bằng c|ch nhẩm nghiệm: Nếu nhẩm được: x1 x 2 m n; x 1 x 2 mn thì phương trình có nghiệm x12 m, x n. c Nếu a b c 0 thì phương trình có nghiệm xx 1, . 12a c Nếu a b c 0 thì phương trình có nghiệm xx 1, . 12a C|ch tính gi| trị biểu thức m{ không giải phương trình: - Viết hệ thức Viet. - Sử dụng c|c công thức quy đổi bên dưới. 2 2 2 2 2 • x1 +x2=(x1+x2) −2x1x2 • (x1−x2) =(x1+x2) −4x1x2 3 3 3 4 4 2 2 2 2 2 • x1 +x2 =(x1+x2) −3x1x2(x1+x2) • x1 +x2=(x1 +x2) -2x1 x2 11xx12 2 • • x1 x 2 x 1 x 2 4 x 1 x 2 x1 x 2 x 1 x 2 • xx22 x x x x • xx44 = x2 x 2 x 2 x 2 = 12 1 2 1 2 12 1 2 1 2 • xx66 = ()()x2 3 x 2 3 x 2 x 2 x 4 x 2 x 2 x 4 = 12 1 2 1 2 1 1 2 2 2 • xx33 = xxxxxx 22 xx xx xx 12 121122 12 12 12 2 a x bx c 0có 2 nghiệm x1 , x2 và S = x1 + x2 ; P = x1 . x2 . Khi đó : 2 x1 x1 x2 x1 x1 x2 Sx1 P 3 2 2 2 2 x1 = x1.x1 x1. Sx1 P Sx1 Px1 = S. Sx1 P Px1 S x1 SP Px1 = S P x1 SP 4 3 3 2 x1 x1.x1 S 2SP x1 P S P . Gv: Nguyễn Chí Thành
11. 4. Giải v{ biện luận phương trình ax2+bx+c =0. + Xét a=0 suy ra giá trị của m, với m tìm được thay vào phương trình để kiểm tra xem có nghiệm không. + Xét a≠0, tính Δ = b2 − 4ac ( hoặc tính Δ′) - Nếu Δ 0, suy ra m, suy ra phương trình có hai nghiệm x = ; x = 1 2a 2 2a 5. Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm. - Xét a=0. Suy ra m, thay m lại phương trình để kiểm tra xem có nghiệm không. - Xét a ≠ 0. Để phương trình có nghiệm thì Δ ≥ 0 rồi tìm m. 6. Tìm m để phương trình vô nghiệm: - Xét a=0. Suy ra m, thay m lại phương trình để kiểm tra xem vô nghiệm không. - Xét a ≠ 0. Để phương trình vô nghiệm thì Δ 0 a ≠ 0 8. Tìm m để phương trình có nghiệm kép: từ đó tìm m. ∆ = 0 9. Tìm m để phương trình có 1 nghiệm: - Xét a =0 suy ra m, thay m v{o phương trình để kiểm tra lại. - Xét a ≠ 0. Phương trình có 1 nghiệm khi ∆ = 0 suy ra m. 10. Tìm m để phương trình có nghiệm x0. Tìm nghiệm còn lại : Thay x0 v{o phương trình để tìm m. Thay m tìm được v{o phương trình để giải phương trình bậc 2, tìm được nghiệm còn lại. 11: Tìm hai số khi biết tổng a+b v{ tích a.b: Dùng tính chất: Nếu a+b =S v{ a.b=P thì a v{ b l{ nghiệm phương trình: X2 –Sx +P =0. Giải phương trình để tìm a, b. 12. Giải phương trình ax4+bx2+c=0 : Đặt t=x2 t ≥ 0 . Suy ra at2+bt+c=0 rồi giải. 13. Tìm m để phương trình ax4+bx2+c=0 1 có 4 nghiệm: Đặt t=x2 t ≥ 0 . Suy ra at2+bt+c=0 (2) . Để phương trình 1 có 4 nghiệm thì phương trình 2 phải có hai nghiệm dương ph}n biệt. Suy ra: Gv: Nguyễn Chí Thành
12. a ≠ 0 ; ∆> 0 −b > 0 a => m c > 0 a 14. Tìm m để phương trình ax4+bx2+c=0 1 có 3 nghiệm: Đặt t=x2 t ≥ 0 . Suy ra at2+bt+c=0 (2) . Để phương trình 1 có 3 nghiệm thì phải có một nghiệm bằng 0. Thay x = 0 v{o phương trình ta tìm được m, thay m trả lại phương trình rồi giải để kiểm tra. 15. Tìm m để phương trình ax4+bx2+c=0 1 có 2 nghiệm: Đặt t=x2 t ≥ 0 . Suy ra at2+bt+c=0 (2) . Để phương trình 1 có 2 nghiệm thì phương trình 2 phải có : TH1: Xét a = 0 suy ra m, thay m trả lại kiểm tra. a ≠ 0 ; ∆= 0 −b > 0 TH2: Có nghiệm kép dương: a => m c > 0 a ≠ 0 ; TH3: Có hai nghiệm tr|i dấu: ∆> 0 => m 0 suy ra m. 0 ≠ 0 17. Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương hai nghiệm nằm bên phải trục tung ≠ 0; ∆ > 0 − 푆 = + = > 0 1 2 푃 = = > 0 1 2 18. Tìm m để phương trình có hai nghiệm }m ph}n biệt hai nghiệm nằm bên tr|i trục tung ≠ 0; ∆ > 0 − 푆 = 1 + 2 = 0 1 2 19. Tìm m để phương trình có hai nghiệm tr|i dấu hai nghiệm nằm hai phía trục tung : ≠ 0; ∆ > 0 푃 = = 0 20. Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu.: 푃 = = > 0 1 2 Gv: Nguyễn Chí Thành
13. 21.Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương : TH1: Xét a =0. TH2: Phương trình có hai nghiệm trái dấu. TH3: Phương trình có hai nghiệm dương ph}n biệt. 22. Tìm m để phương trình có 1 nghiệm dương: TH1: a =0. ≠ 0; TH2: Xét 훥 > 0 phương trình có hai nghiệm trái dấu. 0 2 TH4: Phương trình có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương. 23. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm : TH1: Xét a =0. TH2: Phương trình có hai nghiệm trái dấu. TH3: Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt. 24. Tìm m để phương trình có 1 nghiệm âm: TH1: a =0. ≠ 0; TH2: Xét 훥 > 0 phương trình có hai nghiệm trái dấu. < 0; ≠ 0; TH3: Xét 훥 = 0 phương trình có 1 nghiệm kép âm. − < 0 2 TH4: Phương trình có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm âm. Gv: Nguyễn Chí Thành
14. 25. Tìm m để a풙 +bx+c=0 có hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn. ≠ 0; 훥 > 0 − 0 − 0 ≠ 0; 27. Tìm m để phương trình a풙 +bx+c=0 có hai nghiệp đối nhau: 훥 > 0 푆 = 0; 푃 0 b S = x + x = − 1 2 a - Phần 2: - Dựa v{o định lý Viet : c theo m. P = x . x = 1 2 a Thay x1 + x2 ; x1. x2 v{o điều kiện K để tìm m, sau đó kết hợp điều kiện để kết luận. 30. Lập phương trình bậc 2 có c|c nghiệm X1 =f(x1); X2 =f(x2). Với x1; x2 l{ nghiệm của phương trình ax2 +bx+c=0. Tính S= X1 + X2 =f(x1)+f(x2); P= X1 . X2 =f(x1).f(x2) suy ra X1 ; X2 là nghiệm phương trình: X2-SX+P=0. 31. Chứng minh rằng 퐚 퐱 + 퐛 퐱 + 퐜 = và 퐚 퐱 + 퐛 퐱 + 퐜 = có ít nhất một phương trình có nghiệm. - Tính ∆1; ∆2. - Chỉ ra ∆1 + ∆2 ≥ 0 hoặc ∆1. ∆2 ≤ 0 nên có ít nhất một biệt số không }m C|c em chú ý đến giả thiết 32. C|c b{i to|n so s|nh một số với hai nghiệm của phương trình bậc 2: a ≠ 0; Tìm m để phương trình a퐱 +bx+c=0 có hai nghiệm 퐱 , 퐱 thỏa m~n 퐱 0 a. f(x0) < 0 Gv: Nguyễn Chí Thành
15. a ≠ 0; Δ > 0 b Tìm m để phương trình a퐱 +bx+c=0 có hai nghiệm 퐱 , 퐱 thỏa m~n 퐱 x 2a 0 a. f x0 > 0 a ≠ 0; Δ > 0 b Tìm m để phương trình a퐱 +bx+c=0 có hai nghiệm 퐱 , 퐱 thỏa m~n 퐱 0 Gv: Nguyễn Chí Thành